近世代数复习思考题
近世代数课后习题答案
近世代数课后习题答案近世代数课后习题答案近世代数是数学中的一个重要分支，研究的是抽象代数结构及其性质。
在学习近世代数的过程中，课后习题是巩固知识、加深理解的重要途径。
本文将为大家提供一些近世代数课后习题的答案，希望对大家的学习有所帮助。
一、群论1. 设G是一个群，证明恒等元素是唯一的。
答案：假设G中有两个恒等元素e和e'，则有e * e' = e'和e' * e = e。
由于e是恒等元素，所以e * e' = e' = e' * e。
再由于e'是恒等元素，所以e * e' = e =e' * e。
因此，e = e'，即恒等元素是唯一的。
2. 设G是一个群，证明每个元素在G中的逆元素是唯一的。
答案：假设G中的元素a有两个逆元素b和c，即a * b = e，a * c = e。
则有a * b = a * c。
两边同时左乘a的逆元素a'，得到a' * (a * b) = a' * (a * c)。
根据结合律和逆元素的定义，等式右边可以化简为b = c。
因此，元素a的逆元素是唯一的。
二、环论1. 设R是一个环，证明零元素是唯一的。
答案：假设R中有两个零元素0和0'，则有0 + 0' = 0'和0' + 0 = 0。
由于0是零元素，所以0 + 0' = 0' = 0' + 0。
再由于0'是零元素，所以0 + 0' = 0 = 0' + 0。
因此，0 = 0'，即零元素是唯一的。
2. 设R是一个环，证明每个非零元素在R中的乘法逆元素是唯一的。
答案：假设R中的非零元素a有两个乘法逆元素b和c，即a * b = 1，a * c = 1。
则有a * b = a * c。
两边同时左乘a的乘法逆元素a'，得到(a * b) * a' = (a * c) *a'。
近世代数课后习题参考答案(张禾瑞)-2
近世代数课后习题参考答案第二章 群论1 群论1. 全体整数的集合对于普通减法来说是不是一个群?证 不是一个群,因为不适合结合律.2. 举一个有两个元的群的例子.证 }1,1{-=G 对于普通乘法来说是一个群.3. 证明, 我们也可以用条件1,2以及下面的条件 ''5,4来作群的定义:'4. G 至少存在一个右单位元e ,能让a ae = 对于G 的任何元a 都成立'5. 对于G 的每一个元a ,在G 里至少存在一个右逆元,1-a 能让 e aa =-1证 (1) 一个右逆元一定是一个左逆元,意思是由e aa =-1得e a a =-1因为由'4G 有元'a 能使e a a =-'1 所以))(()('111a a a a e a a ---=e a a a e a a aa a ====----'1'1'11][)]([ 即 e a a =-1(2) 一个右恒等元e 一定也是一个左恒等元,意即 由 a ae = 得 a ea = a ae a a a a aa ea ====--)()(11即 a ea =这样就得到群的第二定义. (3) 证 b ax =可解 取b a x 1-=b be b aa b a a ===--)()(11这就得到群的第一定义.反过来有群的定义得到''5,4是不困难的.2 单位元,逆元,消去律1. 若群G 的每一个元都适合方程e x =2,那么G 就是交换群. 证 由条件知G 中的任一元等于它的逆元,因此对G b a ∈,有ba a b ab ab ===---111)(.2. 在一个有限群里阶大于2的元的个数是偶数.证 (1) 先证a 的阶是n 则1-a 的阶也是n .e e a a e a n nn===⇒=---111)()(若有n m 〈 使e a m =-)(1 即 e a m =-1)(因而 1-=e a m e a m =∴ 这与a 的阶是n 矛盾.a 的阶等于1-a 的阶 (2)a 的阶大于2, 则1-≠a a 若 e a a a =⇒=-21 这与a 的阶大于2矛盾(3) b a ≠ 则 11--≠b a总起来可知阶大于2的元a 与1-a 双双出现,因此有限群里阶大于2的元的个数一定是偶数3. 假定G 是个数一个阶是偶数的有限群,在G 里阶等于2的元的个数一定是奇数.证 根据上题知,有限群G 里的元大于2的个数是偶数;因此阶2≤的元的个数仍是偶数,但阶是1的元只有单位元,所以阶 2≤的元的个数一定是奇数.4. 一个有限群的每一个元的阶都是有限的.证 G a ∈故 G a a a a nm∈ ,,,,,,2由于G 是有限群,所以这些元中至少有两个元相等: nma a = )(n m 〈 故 e amn =-m n -是整数,因而a 的阶不超过它.4 群的同态假定在两个群G 和-G 的一个同态映射之下,-→a a ，a 和-a 的阶是不是一定相同? 证 不一定相同 例如 }231,231,1{i i G +-+-= }1{=-G对普通乘法-G G ,都作成群,且1)(=x φ(这里x 是G 的任意元,1是-G 的元)由 φ可知 G ∽-G 但231,231i i --+-的阶都是3.而1的阶是1.5 变换群1. 假定τ是集合的一个非一一变换,τ会不会有一个左逆元1-τ,使得εττ=-1?证 我们的回答是回有的},3,2,1{ =A1τ: 1→1 2τ 1→12→1 2→3 3→2 3→4 4→3 4→5 … …τ显然是一个非一一变换但 εττ=-12. 假定A 是所有实数作成的集合.证明.所有A 的可以写成b a b ax x ,,+→是有理数,0≠a 形式的变换作成一个变换群.这个群是不是一个交换群? 证 (1) :τ b ax x +→:λ d cx x +→:τλ d cb cax d b ax c x ++=++→)( d cb ca +,是有理数 0≠ca 是关闭的.(2) 显然时候结合律(3) 1=a 0=b 则 :ε x x → (4) :τ b ax + )(1:1ab x a x -+→-τ而 εττ=-1所以构成变换群.又 1τ: 1+→x x :2τ x x 2→ :21ττ )1(2+→x x :12ττ 12+→x x 故1221ττττ≠因而不是交换群.3. 假定S 是一个集合A 的所有变换作成的集合,我们暂时仍用旧符号τ:)('a a a τ=→来说明一个变换τ.证明,我们可以用21ττ: )()]([2121a a a ττττ=→来规定一个S 的乘法,这个乘法也适合结合律,并且对于这个乘法来说ε还是S 的单位元. 证 :1τ )(1a a τ→ :2τ )(2a a τ→那么:21ττ )()]([2121a a a ττττ=→ 显然也是A 的一个变换. 现在证这个乘法适合结合律:)]()[(:)(321321a a ττττττ→)]]([[321a τττ= =→)]([:)(321321a a ττττττ)]]([[321a τττ 故 )()(321321ττττττ= 再证ε还是S 的单位元 :ε )(a a a ε=→:ετ )()]([a a a ττε=→τ:τε )()]([a a a τετ=→ ∴ τεετ=4． 证明一个变换群的单位元一定是恒等变换。
近世代数复习题及答案
近世代数复习题及答案1. 群的定义是什么？请给出一个例子。
答案：群是一个集合G，配合一个运算*，满足以下四个条件：封闭性、结合律、单位元的存在性、逆元的存在性。
例如，整数集合Z在加法运算下构成一个群。
2. 什么是子群？如何判断一个子集是否为子群？答案：子群是群G的一个非空子集H，使得H中的元素在G的运算下满足群的四个条件。
判断一个子集是否为子群，需要验证它是否在群运算下封闭，是否包含单位元，以及每个元素是否有逆元。
3. 什么是正规子群？请给出一个例子。
答案：正规子群是群G的一个子群N，对于G中任意元素g和N中任意元素n，都有gng^-1属于N。
例如，整数集合Z在加法运算下的子群2Z（所有偶数的集合）是一个正规子群。
4. 什么是群的同态？请给出一个例子。
答案：群的同态是两个群G和H之间的函数φ，使得对于G中任意两个元素a和b，都有φ(a*b) = φ(a) * φ(b)。
例如，函数φ: Z → Z_2定义为φ(n) = n mod 2，是整数群Z到模2整数群Z_2的一个同态。
5. 什么是群的同构？请给出一个例子。
答案：群的同构是两个群G和H之间的双射同态。
这意味着G和H不仅满足相同的群运算规则，而且它们之间存在一一对应关系。
例如，群Z_3（模3整数群）和群{1, -1}在乘法下构成的群是同构的。
6. 什么是环？请给出一个例子。
答案：环是一个集合R，配合两个运算+和*，满足以下条件：(R, +)是一个交换群，(R, *)满足结合律，且乘法对加法满足分配律。
例如，整数集合Z在通常的加法和乘法运算下构成一个环。
7. 什么是理想？如何判断一个子集是否为理想？答案：理想是环R的一个子集I，满足以下条件：I在加法下封闭，对于R中任意元素r和I中任意元素i，都有ri和ir属于I。
判断一个子集是否为理想，需要验证它是否在加法下封闭，以及是否满足吸收性质。
8. 什么是环的同态？请给出一个例子。
答案：环的同态是两个环R和S之间的函数φ，使得对于R中任意两个元素a和b，都有φ(a+b) = φ(a) + φ(b)和φ(a*b) = φ(a) * φ(b)。
近世代数 复习整理
【lagrange 定理及推论】定理5 (Lagrange 定理) 设G H ≤ ,如果n H N G ==,,且[]H G :j =,那么 .nj N = 证明: []H G :j =,这表明H 在G 中的右陪集只有j 个,从而有G 的右陪集分解: j Ha Ha Ha Ha G 321= （其中H Ha =1） 由引理知,n Ha Ha Ha j==== 21所以 nj N j Ha G =⇒=1.由上等式“nj N =”知子群H 的阶n 是G 的N 阶的因子，于是可得到下面 推论：设是G 有限群，G a ∈∀，若m a =，那么m 必是G 的因子。
证明：由元素a 生成G 的一个循环子群 ()a H =.由Lagrange 定理知G H ,但 .m H =G m ∴.推论2：设G =N ，则G ∈∀H ，有H 的阶数只能是N 的因式例：{}，，，对G10a a 0Z G ==其所有子群阶数只能是1,2,5,10证：书p70|3：假定a 和b 是一个群G 的两个元，并且ab=ba ，又假定a 的阶是m ，b 的阶是n ，并且（m ，n ）=1，证明：ab 的阶是mn 。
证明：【群同态】例1：设}0|||)({)(≠∈=A R M A R GL n n .}1|||)({)(=∈=A R M A R SL n n .},{⋅=∙R G ——非零实数的乘法群。
首先有，G R GLn →)(:ϕ,其中||)(A A =ϕ，可知ϕ是群同态满射（证明略），即∙R R GLn ～)(，因为1=e ， 故知)()(R SL Ker n =ϕ，由定理2∙≅⇒R R SL R GLn n )()(.定理3—4. 设G G →:ϕ是群同态满射,于是有下列结果(1) 若 G H ≤,那么 ()G H ≤ϕ. (2) 若 G H ,那么 ()G H ϕ.(3) 若 ()G H G H ≤⇒≤-1ϕ,并ker ()()H 1-≤ϕϕ (4) 若 ()G H G H 1-⇒ϕ且 ker ()()H 1-≤ϕϕ.证明: (1) ()()g g H g G g H =∈∃∈=ϕϕ使 表示H 在ϕ下的象.于是 ()H y x H y x ∈∃⇒∈∀,,ϕ 使 ()()y y x x ϕϕ==, ,进而 , ()()()xy y x y x ϕϕϕ==,因为 H xy G H ∈⇒≤ ()H x ϕ=∴-1.由上知 ()G H ≤ϕ.(2) G H ≤, 由(1)()G H ≤⇒ϕ,另外, ()G g H x ∈∀∈∀,ϕ, ()()g g x x G g H x ϕϕ==∈∃∈∃∴,使 和 于是 ()()()()111---==gxgg x g g x g ϕϕϕϕ，因为 H gxgG H∈⇒-1()()()H gx g H gxgϕϕϕ∈⇒∈∴--11 即 ()G H ϕ.注意4. 在(1)的证明中,没有用到ϕ是满射的条件,但在(2)中用到了.(3) ()H y x 1,-∈∀ϕ,那么 ()().,H y y H x x ∈=∈=ϕϕ于是 ()()()H y x y x xy ∈==ϕϕϕ ()()H xy G H 1-∈⇒≤ϕ另外,()()H xx x ∈==---111ϕϕ ()G H ()H x11--∈∴ϕ由上知 ()G H ≤-1ϕ，且 ()()()()()H H He a a 11ker ker --≤⇒⇒∈=⇒∈∀ϕϕϕϕϕ（4） ,G H ≤ 由 （3）()G H ≤⇒-1ϕ()H x 1-∈∀ϕ，G g ∈∀. 则 ϕ()()()()()()111---==g x g g x g gxg ϕϕϕϕϕH gx g ∈=-1,()()H gxgG H 11--∈⇒ϕ, ()G H 1-∴ϕ.注意5. (3)和(4)的证明都没有用到ϕ是满射的条件.【子群的判定】 例1设G 为任意一个群，那么由G 的单位元组成子集}{e ，自然有G e ≤}{，另外G 本身也有G G ≤，所以G 一般有两个子群，统称它们为的G 平凡子群。
近世代数复习思考题
近世代数复习思考题一、基本概念与基本常识的记忆（一）填空题1.剩余类加群Z 12有_________个生成元.2、设群G 的元a 的阶是n ，则a k 的阶是________.3. 6阶循环群有_________个子群.4、设群G 中元素a 的阶为m ，如果e an =，那么m 与n 存在整除关系为———。
5. 模8的剩余类环Z 8的子环有_________个.6.整数环Z 的理想有_________个.7、n 次对称群Sn 的阶是——————。
8、9-置换⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛728169345987654321分解为互不相交的循环之积是————。
9.剩余类环Z 6的子环S={［0］,［2］,［4］}，则S 的单位元是____________.10. 24Z 中的所有可逆元是：__________________________.11、凯莱定理的内容是：任一个子群都同一个________同构。
12. 设()G a =为循环群，那么（1）若a 的阶为无限，则G 同构于___________，（2）若a 的阶为n ，则G 同构于____________。
13. 在整数环Z 中，23+=__________________；14、n 次对称群S n 的阶是_____.15. 设12,A A 为群G 的子群，则21A A 是群G 的子群的充分必要条件为___________。
16、除环的理想共有____________个。
17. 剩余类环Z 5的零因子个数等于__________.18、在整数环Z 中，由｛2，3｝生成的理想是_________.19. 剩余类环Z 7的可逆元有__________个.20、设Z 11是整数模11的剩余类环，则Z 11的特征是_________.21. 整环I={所有复数a+bi(a,b 是整数)}，则I 的单位是__________.22. 剩余类环Z n 是域⇔n 是_________.23、设Z 7 ={0，1，2，3，4，5，6}是整数模7的剩余类环，在Z 7 [x]中, (5x-4)(3x+2)=________.24. 设G 为群，a G ∈，若12a =，则8a =_______________。
近世代数辅导(四)(复习指导).doc
近世代数辅导（四）（复习指导）第一部分内容提要一、基本概念1.集合概念；子集；运算：交、并、积2.映射定义；满射；单射；一一映射；变换3.代数运算定义；运算律：结合律、交换律、分配律4.同态与同构同态映射；同态满射；同态；同构映射；同构；自同构5.等价关系与集合的分类二、群论1.样的定义及基本性质笫一定义：I, II, in；笫二定义：I, II, iv, v；有限群的另一定义：I, II, nr2.了集定义；判定条件3.群的同态群的同态；样的同构4.变换群与置换群定义；置换的两种表示方法；凯莱定理5.循环群定义；整数加样与模n的剩余类加群；循环样的构造6.子群的陪集右陪集与左陪集；两个元同在一个右（左）陪集的条件；子群的指数；拉格朗口定理7.不变子群与商群不变子群的定义及其判定条件；商群的定义；群的同态基本定理三、环与域1.环的定义及其计算规则2.有附加条件的环交换环；冇单位元环；无零因了环及其特征；整环；除环及其乘群；域3.子环、环的同态子环、子除环的定义及其判定条件；环的同态（同构）4.理想与剩余类环理想（了环）的定义；主理想的定义；剩余类环的定义；环的同态基木定理5. 设A=｛所有实数｝, 入=｛所有2()的实数｝, A和瓜的代数运算是普通乘法，证明：A第二部分思考题1.设A=｛1, 2,…，10｝,给出一个AXA到A的映射，这个映射是不是单射？2.设A=｛1, 2, 3｝,规定A的一个代数运算，这个代数运算是不是适合交换律?3.设人=｛所有实数｝,瓜=｛所有>0的实数｝,给出一个A-L/I间的一一映射。
4.设A=｛所有实数｝,给出A的两个不同的一一变换(恒等变换除外)。
到入的映射O : X -> X2, x G A是A到入的一个同态满射。
6.设A二｛所有有理数｝, A的代数运算是普通加法，证明：A到A的映射①:x —> 2x , x e A是A的一个自同构映射。
7.举一个有两个元的群的例，并写出它的运算表。
近世代数复习题
近世代数复习思考题一、基本概念与基本常识的记忆(一)填空题1、剩余类加群Z 12有_________个生成元、2、设群G 的元a 的阶就是n,则a k 的阶就是________、3、 6阶循环群有_________个子群、4、设群G 中元素a 的阶为m ,如果e an=,那么m 与n 存在整除关系为———。
5、 模8的剩余类环Z 8的子环有_________个、6、整数环Z 的理想有_________个、7、n 次对称群Sn 的阶就是——————。
8、9-置换⎪⎪⎭⎫⎝⎛728169345987654321分解为互不相交的循环之积就是————。
9、剩余类环Z 6的子环S={［0］,［2］,［4］},则S 的单位元就是____________、 10、24中的所有可逆元就是:__________________________、11、凯莱定理的内容就是:任一个子群都同一个________同构。
12、 设()G a =为循环群,那么(1)若a 的阶为无限,则G 同构于___________,(2)若a 的阶为n,则G 同构于____________。
13、 在整数环中,23+=__________________; 14、n 次对称群S n 的阶就是_____、15、 设12,A A 为群G 的子群,则21A A 就是群G 的子群的充分必要条件为___________。
16、除环的理想共有____________个。
17、 剩余类环Z 5的零因子个数等于__________、18、在整数环Z 中,由｛2,3｝生成的理想就是_________、 19、 剩余类环Z 7的可逆元有__________个、20、设Z 11就是整数模11的剩余类环,则Z 11的特征就是_________、 21、 整环I={所有复数a+bi(a,b 就是整数)},则I 的单位就是__________、 22、 剩余类环Z n 就是域⇔n 就是_________、23、设Z 7 ={0,1,2,3,4,5,6}就是整数模7的剩余类环,在Z 7 [x]中, (5x-4)(3x+2)=________、24、 设G 为群,a G ∈,若12a =,则8a =_______________。
近世代数习题解答2
近世代数习题解答2近世代数习题解答第二章群论1 群论1. 全体整数的集合对于普通减法来说是不是一个群?证不是一个群,因为不适合结合律.2. 举一个有两个元的群的例子.证 }1,1{-=G 对于普通乘法来说是一个群.3. 证明, 我们也可以用条件1,2以及下面的条件''5,4来作群的定义:'4. G 至少存在一个右单位元e ,能让a ae = 对于G 的任何元a 都成立'5. 对于G 的每一个元a ,在G 里至少存在一个右逆元,1-a 能让 e aa =-1证 (1) 一个右逆元一定是一个左逆元,意思是由e aa =-1 得e a a =-1 因为由'4G 有元'a 能使e a a =-'1所以))(()('111a a a a e a a ---=e a a a e a a aa a ====----'1'1'11][)]([即 e a a =-1(2) 一个右恒等元e 一定也是一个左恒等元,意即由 a ae = 得 a ea =a ae a a a a aa ea ====--)()(11即 a ea =这样就得到群的第二定义.(3) 证 b ax =可解取b a x 1-=b be b aa b a a ===--)()(11这就得到群的第一定义.反过来有群的定义得到''5,4是不困难的.2 单位元,逆元,消去律1. 若群G 的每一个元都适合方程e x =2,那么G 就是交换群.证由条件知G 中的任一元等于它的逆元,因此对G b a ∈,有ba a b ab ab ===---111)(.2. 在一个有限群里阶大于2的元的个数是偶数.证(1) 先证a 的阶是n 则1-a 的阶也是n .e e a a e a n n n ===?=---111)()(若有n m ? 使e a m =-)(1 即 e a m =-1)(因而 1-=e a m e a m =∴ 这与a 的阶是n 矛盾.a Θ的阶等于1-a 的阶 (2) a 的阶大于2, 则1-≠a a 若e a a a =?=-21 这与a 的阶大于2矛盾(3) b a ≠ 则 11--≠b a总起来可知阶大于2的元a 与1-a 双双出现,因此有限群里阶大于2的元的个数一定是偶数3. 假定G 是个数一个阶是偶数的有限群,在G 里阶等于2的元的个数一定是奇数.证根据上题知,有限群G 里的元大于2的个数是偶数;因此阶2≤的元的个数仍是偶数,但阶是1的元只有单位元,所以阶2≤的元的个数一定是奇数.4. 一个有限群的每一个元的阶都是有限的.证G a ∈故G a a a a n m ∈K K K ,,,,,,2由于G 是有限群,所以这些元中至少有两个元相等:n m a a = )(n m ? 故 e a m n =-m n -是整数,因而a 的阶不超过它.4 群的同态假定在两个群G 和-G 的一个同态映射之下,-→a a ，a 和-a 的阶是不是一定相同? 证不一定相同例如 }231,231,1{i i G +-+-= }1{=-G 对普通乘法-G G ,都作成群,且1)(=x φ(这里x 是G 的任意元,1是-G 的元)由φ可知G ∽-G但 231,231i i --+-的阶都是3. 而1的阶是1.。
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近世代数复习思考题一、基本概念与基本常识的记忆（一）填空题1. 剩余类加群Z12有____ 个生成元.2、设群G 的元 a 的阶是n，则a k的阶是.3. 6 阶循环群有____ 个子群.4、设群G 中元素a的阶为m，如果a n e，那么m与n存在整除关系为———。
5. 模8 的剩余类环Z8 的子环有___ 个.6. 整数环Z 的理想有___ 个.7、n 次对称群Sn的阶是——————。
8、9-置换 1 2 3 4 5 6 7 8 9分解为互不相交的循环之积是—5 4 3 96 1 8 2 7———。
9. 剩余类环Z6 的子环S={[0],[2],[4]}，则S 的单位元是10. Z 24中的所有可逆元是： ____________________ .11、凯莱定理的内容是：任一个子群都同一个_ 同构。
12. 设G （a）为循环群，那么（1）若a的阶为无限，则G 同构于_ ，（2）若a的阶为n，则G 同构于 ___ 。
13. 在整数环Z 中， 2 3 = _________________ ；14、n 次对称群S n的阶是.15. 设A1, A2为群G的子群，则A1A2是群G的子群的充分必要条件为 ________ 。
16、除环的理想共有_______ 个。
17. 剩余类环Z5 的零因子个数等于____ .18、在整数环Z 中，由｛2，3｝生成的理想是.19. 剩余类环Z7 的可逆元有 ____ 个.20、设Z11是整数模11 的剩余类环，则Z11的特征是_.21. 整环I=｛所有复数a+bi(a,b是整数)｝，则I的单位是22. 剩余类环Z n是域n 是_______ .23、设Z7 =｛0，1，2，3，4，5，6｝是整数模7 的剩余类环，在Z7 [x]中, (5x-4)(3x+2)= .24. 设G为群，a G，若 a 12，则a8_______________ 。
25、设群G=｛e，a1，a2，⋯，a n-1｝，运算为乘法，e为G的单位元，则a1n =___.26. 设A=｛a,b,c｝，则A到A的一一映射共有__ 个.27、整数环Z 的商域是__ .28. 整数加群Z 有______ 个生成元.29、若R是一个有单位元的交换环，I是R的一个理想，那么R I是一个域当且仅当I是————————。
30. 已知 1 2 3 4 5为S5上的元素，则1＝______________ 。
3 1 2 54 531. 每一个有限群都与一个______ 群同构。
32、设I 是唯一分解环，则I[ x]与唯一分解环的关系是二、基本概念的理解与掌握。
（二）选择题1. 设集合 A 中含有 5 个元素，集合 B 中含有 2 个元素，那么， A 与 B 的积集合 A ×B 中含有（）个元素。
A.2B.5C.7D.102.设A＝B＝R（实数集），如果 A 到 B 的映射：x→x＋2，x∈R，则是从 A 到 B 的（）A.满射而非单射B.单射而非满射C.一一映射D.既非单射也非满射3.设Z15是以15 为模的剩余类加群，那么，Z 15的子群共有（）个。
A.2B.4C.6D.84、G是12 阶的有限群，H 是G的子群，则H的阶可能是（）A 5；B 6 ；C7； D 9.5、下面的集合与运算构成群的是( )A {0 ，1} ，运算为普通的乘法；B {0 ， 1} ，运算为普通的加法 ;C {-1 ，1} ，运算为普通的乘法；D {-1 ，1} ，运算为普通的加法 ;6、关于整环的叙述，下列正确的是 ( )7、关于理想的叙述，下列不正确的是 ( )A 在环的同态满射下，理想的象是理想 ;B 在环的同态满射下，理想的逆象是理想C 除环只有两个理想，即零理想和单位理想D 环的最大理想就是该环本身 .8. 整数环 Z 中，可逆元的个数是 ( )A.1 个B.2 个C.4 个D.无限个9. 设 M 2(R)= a b a,b,c,d ∈R ，R 为实数域 按矩阵的加法和 cd 乘法构成 R 上的二阶方阵环，那么这个方阵环是 ( )。
A. 有单位元的交换环B. 无单位元的交换环C. 无单位元的非交换环D. 有单位元的非交换环 a ,当a 为偶数时10. 设Z 是整数集，σ(a)=a 21 ，a Z ，则σ是R 的 a 1,当a 为奇数时2( ).A. 满射变换 A 左、右消去律都成立；B 左、右消去律都不成立D 每个非零元都没有逆元 B. 单射变换C.变换D. 不是R 的变换11、设A=｛所有实数x｝，A 的代数运算是普通乘法，则以下映射作成 A 到 A 的一个子集的同态满射的是（）.A、x→ 10xB、x→ 2xC、x→ |x| D 、x→ -x .12、设是正整数集Z上的二元运算，其中 a b max a,b （即取 a 与b中的最大者），那么在Z中（）A、不适合交换律B、不适合结合律C、存在单位元D、每个元都有逆元.13.设S3 =｛（1），（ 1 2），（1 3），（2 3），（1 2 3），（1 3 2）｝，则S3 中与元（ 1 2 3）不能交换的元的个数是（）A、1B、2C、 3D、4.14、设G, 为群，其中G 是实数集，而乘法: a b a b k ，这里k为G中固定的常数。
那么群G, 中的单位元e和元x 的逆元分别是（）A、0 和x；B、1 和0；C、k 和x 2k ；D、k 和（x 2k）15、设H 是有限群G的子群，且G有左陪集分类H,aH,bH,cH 。
如果H 6,那么G的阶G （）A、6B、24C、10 D 、1216.整数环Z 中，可逆元的个数是（）.A、1 个B、2 个C、4 个D、无限个。
17、设 f :R1 R2 是环同态满射，f(a) b ，那么下列错误的结论为( )A、若a是零元，则b是零元B、若a是单位元，则b是单位元C、若a不是零因子，则b不是零因子D、若R2 是不交换的，则R1不交换18、下列正确的命题是( )A、欧氏环一定是唯一分解环B、主理想环必是欧氏环C、唯一分解环必是主理想环D、唯一分解环必是欧氏环19. 下列法则，哪个是集 A 的代数运算( ).A. A=N, a b=a+b-2B. A=Z,a b= a bC. A=Q, a b= abD. A=R, a b=a+b+ab20. 设A={ 所有非零实数x},A 的代数运算是普通乘法，则以下映射作成 A 到 A 的一个子集 A 的同态满射的是( ).1A. x→ -xB. x→xA. 3 个B. 4 个C. 5 个D. 6 个23、设a,b, c和x都是群G中的元素且x2a bxc 1,acx xac ，那么D. 3 个x （）A.bc 1a 1；B. c 1a 1；C. a 1bc 1；D. b 1ca 。
24、设 f :G1 G2是一个群同态映射，那么下列错误的命题是（） A. f 的同态核是G1 的不变子群;B. G1的不变子群的象是G2 的不变子群。
C. G1 的子群的象是G2的子群；D.G2 的不变子群的逆象是G1的不变子群；25、设H 是群G 的子群，且G 有左陪集分类H,aH,bH,cH 。
如果H 6 ，那么G 的阶G （）A.6 ；B.24 ；C.10 ；D.12 。
（三）判断题（每小题 2 分，共12分）1、设 A 、 B 、D都是非空集合，则 A B到D 的每个映射都叫作二元运算。
（）2、除环中的每一个元都有逆元。
（）3、如果循环群G a 中生成元a的阶是无限的，则G 与整数加群同构。
（）4、如果群G的子群H是循环群，那么G也是循环群。
（）5、域是交换的除环。
（）6、唯一分解环I 的两个元a和b不一定会有最大公因子。
（）7、设f：G G 是群G 到群G 的同态满射，a∈ G ，则a 与 f （a）的阶相同。
（）8、一个集合上的全体一一变换作成一个变换群。
（）9、循环群的子群也是循环群。
（）10、整环I 中的两个元素a，b 满足 a 整除 b 且 b 整除a，则a＝b。
（）11、一个环若没有左零因子，则它也没有右零因子。
（）12、只要 f 是A到A的一一映射，那么必有唯一的逆映射 f 1。
（）13、如果环R的阶2，那么R的单位元 1 0。
（）14、指数为 2 的子群不是不变子群。
（）15 、在整数环Z 中，只有± 1 才是单位，因此在整数环Z 中两个整数相伴当且仅当这两数相等或只相差一个符号。
（）16、两个单位和的乘积也是一个单位。
（）17、环K 中素元一定是不可约元；不可约元一定是素元。
（）18、由于零元和单位都不能表示成不可约元之积，所以零元和单位都不能唯一分解。
（）19 、整环必是唯一分解环。
（）20 、在唯一分解环K 中，p 是K 中的素元当且仅当p 是K 中的不可约元。
（）21 、设K 是唯一分解环，则K 中任意二个元素的最大公因子都存在，且任意二个最大公因子相伴。
（）22、整数环Z和环Q x 都是主理想环。
（）23、K是主理想环当且仅当K 是唯一分解环。
（）24 、整数环Z 、数域P 上的一元多项式环P x 和Gauss 整环Zi 都是欧氏环。
（）25、欧氏环必是主理想环，因而是唯一分解环。
反之亦然。
（）26、欧氏环主理想环唯一分解环有单位元的整环。
（）27、设环R, , 的加法群是循环群, 那么环R必是交换环. （）28、对于环R,若a是R的左零因子, 则a必同时是R 的右零因子. （）29、剩余类Z m是无零因子环的充分必要条件是m为素数. （）30、整数环是无零因子环，但它不是除环。
（）31、S2 0 C 是M2 C 的子域. （）2232、在环同态下，零因子的象可能不是零因子。
（）33、理想必是子环, 但子环未必是理想. （）34、群G 的一个子群H 元素个数与H 的每一个左陪集aH 的个数相等. （）35、有限群G 中每个元素a的阶都整除群G 的阶。
（）三、基本方法与技能掌握。
（四）计算题1．设为整数加群, , 求[Z : H ] ?解在Z 中的陪集有:, ,, ,所以, [Z : H ] 5 .2、找出S3 的所有子群。
解：S3显然有以下子群：本身；（（1））=｛（1）｝；（（12））=｛（12），（1）｝；（（13））=｛（13），（1）｝；（（23））=｛（23），（1）｝；（（123））=｛（123），（132），（1）｝若S3 的一个子群H 包含着两个循环置换，那么H 含有（12），（13）这两个2-循环置换，那么H 含有（12）（13）=（123），（123）（12）=（23），因而H=S3。
同理，若是S3 的一个子群含有两个循环置换（21），（23）或（31），（32）。
这个子群也必然用完全类似的方法，可以算出，若是S3 的一个子群含有一个2-循环置换和一个3-循环置换，那么这个子群也必然是S3。