3.3环上的同余,理想
初中数学竞赛教程《同余3》
初中数学竞赛教程《同余3》同余是数论中一个重要的概念，也是初中数学竞赛中常考的知识点之一、同余关系可以帮助我们解决一些整数求余的问题，同时也有一些重要的应用，如模运算、同余方程等。
本文将介绍同余的基本概念、性质以及应用。
一、同余的基本概念同余的定义：设a、b为任意两个整数，m为一个正整数，如果m整除(a-b)，则称a与b对于模m同余，记作a≡b(mod m)，读作a与b模m 同余。
二、同余的性质1. 自反性：对于任意整数a，有a≡a(mod m)。
证明：因为m整除（a-a），所以a与a对于模m同余。
2. 对称性：若a≡b(mod m)，则b≡a(mod m)。
证明：由a≡b(mod m)，得m整除a-b，又由整除的性质，得m整除-(a-b)，即m整除b-a，所以b≡a(mod m)。
3. 传递性：若a≡b(mod m)，b≡c(mod m)，则a≡c(mod m)。
证明：由a≡b(mod m)和b≡c(mod m)，得m整除a-b和b-c所以m整除（a-b）+（b-c），即m整除a-c，所以a≡c(mod m)。
三、同余的应用1. 求余数：当m=10时，对一个正整数n，n≡a(mod 10)的意义就是n的个位数是a。
比如，1234≡4(mod 10)。
2. 模运算：同余关系可以推广到任意的四则运算和乘幂运算中。
比如，对于任意整数a、b，若a≡b(mod m)，那么对于任意整数c，有(a+c)≡(b+c)(mod m)和(a-c)≡(b-c)(mod m)。
另外，如果a≡b(mod m)，则a^k≡b^k(mod m)。
3. 同余方程：同余方程是指形如ax≡b(mod m)的方程，其中a、b、m是已知的整数，x是未知的整数。
同余方程在密码学、计算机算法等领域有广泛的应用。
解同余方程的方法一般有试错法、中国剩余定理等。
在解同余方程时，我们要先求出模m意义下的倒数，一般记作b^-1，满足b*b^-1≡1(mod m)。
近世代数课件--3.8 剩余类环,同态与理想
我们现在用符号
a b A
a b A a b A 即 来表示（读成 a 与 b 模 A 同余）。
一个类 a 包含所有可以写成
au
u A
的形式的元. 两个元的剩余类相等的条件是：
[ a ] [b ] a b A
1
证明: 1.分两步 1) a , b I a b I 2) a I , r R ra , ar R 2-5 同学自行给出.
8.4 同态基本定理
定理 2 假定R同 R 是两个环，并且R与 R 同态，那么
R A R
这里 A 是同态满射的核. 证明 设 个映射 : R
例1. 设 : Z Z n , ( n ) [ n ] (1)证明 是同态满射 (2)求 k er (3)写出 Z 的一个商环, 使它与 Z n 同构.
例2. 证明 Q [ x ] /( x ) Q 例3. 证明
Q [ x ] /( x 1) Q [ i ]
2
8.5 同态的性质
: R R 是已知的同态满射,
A R
*
利用它构造一
( a ) a a
(1) 是一个aຫໍສະໝຸດ R A与 R
间的映射。因为：
*
b
a bA ab ab 0 a b
*
( a ) ( b )
是一个 R A 与 R 的映射。
记 k er f I ,[a]=a+I.
它有以下性质: 1. ker f I 是理想 2. [ a ] [ b ] f ( a ) f ( b ) 3. x [ a ] f ( x ) f ( a ) 4. f ([ a ]) { f ( a )} . 5. 记 a f ( a ) ,那么 f ( a ) [ a ]
环的同态、最大理想
Z /( p ) 是域 p 是素数. 定理9：
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练习： 求Z12的全部最大理想.
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(1) ( a b) ( a) ( b) (2) ( a b) ( a) ( b)
如果 既是单映射又是满映射,则称 为同构，记作 : R R ,并称 R与R 同构.
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定理1 若 R 与 R 是各有两个代数运算的系统， 且 : R ~ R ，则当 R 是环时，R 也是环. 定理2 若 R 与 R 是环，且 : R ~ R ，则 (2) ( a) ( a) (1) (0R ) 0R n n (3) (a ) ( (a)) (4)当 R 是交换环时，R 也是交换环； (5)当 R 是有单位元环时，R 也是有 单位元环时，且 1R (1R ).
又令 S {( a, 0) | a Z }
((a, 0) a) Z ( R S)
SZ
R Z {(a, b) | 0 b Z }, Z R
RR
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二、环同态基本定理 定理 5 R ~ R / I （ :aa I ） 定义2 设 为环 R到R 的同态,称集合 Ker {a R | (a) 0} 为同态 的核. 定理6（环同态基本定理）设 为环 R到R 的同态满射,则 (1) Ker为R的理想; ( 2) R / Ker R
近世代数
第三章 环与域 §5 环的同态、最大理想
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一、环同态的定义与性质 定义1 设 R和R 是两个环, 是集合 R到R 的映射.如果对任意的 a, b R ,有 ，则称 为环 R到R 的一个同态. 如果 为满映射,则称 为满同态, 记作 : R ~ R ,并称 R与R 同态.
环的同态基本定理
环的同态基本定理(1) R 是环，S 是它的理想，则R 到商环SR 有满同态()S a a +=ηη:，S a ∈∀， 称为R 到SR 的自然同态； (2) R ，R '是环，ϕ是环R 到环R '的满同态，令ϕKer K =，则商环K R 与环R '同构．证明 (1) ()()()()()b a S b S a S b a b a ηηη+=+++=++=+， ()()()()()b a S b S a S ab ab ηηη=++=+=，()S +=11η．故η保持加法和乘法，且把单位元映成单位元，它是同态．又()(){}{}S R R a S a R a a R =∈+=∈=ηη，即η是满同态．(2) 首先，作为像集合()()a K a ϕϕ=+．这是因为K 中任一元k 在ϕ下的像为零，则()()()()()a a k a K a ϕϕϕϕϕ=+=+=+0． 由此有K R 到R '的映射R SR '−→−ϕ ()()a K a K a ϕϕ=++ ．又()()K b K a +++ψψ＝()()()()K b a b a b a ++=+=+ψϕϕϕ＝()()()K b K a +++ψ，()()K b K a ++ψψ＝()()()()K ab ab b a +==ψϕϕϕ＝()()()K b K a ++ψ，()()R R R K '==+111ϕψ，故ψ是K R 到R '的环同态．又R 到R '的环的满同态ϕ，只看R 与R '的加法群结构是加法群的满同态．而ϕKer K =是加法群同态的核．由群的同态基本定理，ψ是K R 到R '的加法群同构，即ψ是双射．故ψ是环同构．例11 F 是域，[]x F 是F 上多项式环，N 是[]x F 的非零理想，则有非零多项式()x m ，使()[]()()x m x F x m N ==．证明 取N 中次数最低的多项式为()x m ，任取()N x f ∈，作除法算式()()()()x r x m x q x f +=，这里()0=x r 或()()()()x m x r ∂<∂．若()0≠x r ，则()()()()x m x r ∂<∂．由于N 是理想，()()N x m x q ∈，又()N x f ∈，故()()()()N x m x q x f x r ∈-=．这与()x m 是N 中最低次数多项式矛盾，因此()0=x r ，()()()x q x m x f =．这就证明了()[]x F x m N =．例12 ()F M n 只有零元的理想和自身两个理想．证明 设N 是()F M n 的非零理想．记ij e 为第i 行第j 列的元为1，其余位置上元为零的F 上n n ⨯方阵．回忆有性质⎪⎩⎪⎨⎧≠==.,0,,i s i s e e e lj ij ls 当当F 上任意n n ⨯方阵()ij a A =，可写成 ∑==n j i ij ij e a A 1,．现设N A ∈≠0，则有0≠ik a ，某l ，k ．于是∑=∈==n j i lk lk kk ij ll ij kk ll N e a ee e a Ae e 1,．对任i ，j ，作()ij kj lk lk illk e e e a e a =-1，则N e ij ∈．于是任意()N e e b e b n j i ij ii ij n j i ij ij ∈=∑∑==1,1,．这就证明了()F M N n =．模同态基本定理设η是-R 模M 到-R 模M '的一个模同态，则由η诱导出模同构()M N M ηη→：，()ηker =N ，使()()x N x ηη=+，M x ∈． 证明 设η为M 到M '的一个模同态，则其核()ηker 是M 的一个子模，同态象()M η是M '的一个子模．()ηker =N ，规定()x N x ηη +：()()x N x ηη=+，M x ∈ 于是η即为N M 到()M η的一个同构映射．这是因为：1)若N y N x +=+，则 N n ∈∃，使n y x +=，()()()()()y n y n y x ηηηηη=+=+=，故()()N y N x +=+ηη， 即在η之下，N M 的每一个元在()M η中有唯一的象，从而η是映射；2)()M x η∈'∀，M x ∈∃，()x x '=η，由η的定义知()()x x N x '==+ηη，故η是满射；3)若()()N y N x +=+ηη，则()()y x ηη=，于是()()()N y N x N y x N y x y x y x +=+⇒+∈⇒∈-⇒=-⇒=-00ηηη， 故η为单射；４）η为N M 到()M η的模同态．事实上R a N M N y N x ∈∈++∀，，有 ()()()()()N y x N y N x ++=+++ηη()()()()()N y N x y x y x +++=+=+=ηηηηη ()()()()ax N ax N x a ηηη=+=+()()N x a x a +==ηη 因此，η为N M 到()M η的模同构，即()M≅MηN其中()ηN为η的核．ker=参考文献[16] 胡庆平，李丹，胡志刚．系统间的一类联系——同态与同构[J]．昭通师范高等专科学校学报，2002，24(5)：5－11．。
中国剩余定理
中国剩余定理孙子定理是中国古代求解一次同余式组（见同余）的方法。
是数论中一个重要定理。
又称中国余数定理。
一元线性同余方程组问题最早可见于中国南北朝时期（公元5世纪）的数学著作《孙子算经》卷下第二十六题，叫做“物不知数”问题，原文如下：有物不知其数，三三数之剩二，五五数之剩三，七七数之剩二。
问物几何？即，一个整数除以三余二，除以五余三，除以七余二，求这个整数。
《孙子算经》中首次提到了同余方程组问题，以及以上具体问题的解法，因此在中文数学文献中也会将中国剩余定理称为孙子定理。
中文名孙子定理外文名Chinese remainder theorem(CRT)分类数学提出孙子问题一元线性同余方程组又名余数定理目录.1公式.2文献.3交换环上推广.▪主理想整环.▪一般的交换环.4数论相关.5例题解析公式用现代数学的语言来说明的话，中国剩余定理给出了以下的一元线性同余方程组：有解的判定条件，并用构造法给出了在有解情况下解的具体形式。
中国剩余定理说明：假设整数m1,m2, ... ,m n两两互质，则对任意的整数：a1,a2, ... ,a n，方程组有解，并且通解可以用如下方式构造得到：设是整数m1,m2, ... ,m n的乘积，并设是除了m i以外的n- 1个整数的乘积。
设为模的数论倒数(为模意义下的逆元)方程组的通解形式为在模的意义下，方程组只有一个解：证明 [1]：从假设可知，对任何，由于，所以这说明存在整数使得这样的叫做模的数论倒数。
考察乘积可知：所以满足：这说明就是方程组的一个解。
另外，假设和都是方程组的解，那么：而两两互质，这说明整除. 所以方程组的任何两个解之间必然相差的整数倍。
而另一方面，是一个解，同时所有形式为：的整数也是方程组的解。
所以方程组所有的解的集合就是：文献一元线性同余方程组问题最早可见于中国南北朝时期（公元5世纪）的数学著作《孙子算经》卷下第二十六题，叫做“物不知数”问题，原文如下：有物不知其数，三三数之剩二，五五数之剩三，七七数之剩二。
环与域 高等代数中的抽象代数概念
环与域高等代数中的抽象代数概念高等代数是数学的一个分支，其中包括了许多抽象的代数概念。
在高等代数中，环与域是两个非常重要的概念。
本文将介绍环与域的定义、性质以及它们在数学中的应用。
一、环的定义和性质1.1 环的定义在抽象代数中，环是一个包含了加法和乘法两种运算的集合，同时满足一些基本的性质。
具体来说，一个环需要满足以下条件：（1）集合中有两个二元运算，分别是加法和乘法。
（2）加法运算满足结合律、交换律、存在零元素和存在相反元素。
（3）乘法运算满足结合律和分配律。
1.2 环的性质在环的定义中，我们可以得到一些重要的性质：（1）加法运算满足交换律。
（2）乘法运算不一定满足交换律。
（3）环中存在一个乘法单位元素。
（4）任意元素都存在相反元素。
二、域的定义和性质2.1 域的定义域是一种广义的环，更加严格地定义了乘法运算。
具体来说，一个域需要满足以下条件：（1）集合中有两个二元运算，分别是加法和乘法。
（2）加法运算满足结合律、交换律、存在零元素和存在相反元素。
（3）乘法运算满足结合律、存在单位元素。
（4）每个非零元素都存在乘法的逆元素。
2.2 域的性质与环相比，域更加严格，因此具有更多的性质：（1）加法运算和乘法运算都满足交换律。
（2）存在加法单位元素和乘法单位元素。
（3）每个非零元素都存在乘法逆元素。
（4）对于乘法运算满足消去律。
三、环与域的应用环与域作为抽象代数的基础概念，在数学中有着广泛的应用。
以下是一些常见的应用领域：3.1 线性代数线性代数中的向量空间和矩阵空间可以被看作是特定类型的环。
通过对环的研究，我们可以推导出许多线性代数中的重要结论和算法，例如矩阵的乘法、行列式的计算等。
3.2 代数几何代数几何研究的是通过代数方程和环的方法来研究几何问题。
环论在解析几何、射影几何等领域的研究中起着重要的作用，能够通过代数方法来描述和解决几何问题。
3.3 数论数论研究的是整数的性质和规律，而环论和域论在数论中扮演着重要的角色。
同余模定理-概述说明以及解释
同余模定理-概述说明以及解释1.引言1.1 概述同余模定理是数论中的一个基本概念，它与同余的关系密切相关。
在数学中，同余是指两个整数除以同一个正整数所得的余数相等。
同余模定理则是对同余关系的一种整理和归纳，它展示了同余关系的一些重要性质和运算规则。
同余模定理不仅在数学领域具有重要意义，而且在计算机科学中也有广泛的应用。
同余模定理具体包括几个重要的方面，包括同余关系的定义、等价关系的性质、同余运算的基本规律等。
通过学习同余模定理，我们可以更好地理解和应用数论中的同余概念，进行更加深入的数论研究。
本篇文章将首先介绍同余模的概念，包括同余关系的定义和性质。
接着，我们将探讨同余模的一些重要性质，如传递性、对称性和反射性等，以及同余运算的基本规律。
最后，我们将深入探讨同余模定理在数学和计算机科学中的应用领域，如密码学、编码理论和算法设计等。
通过本文的学习，读者将能够全面了解同余模定理的基本概念和重要性质，掌握同余运算的基本规律，并对同余模定理在数学和计算机科学中的应用有更深入的认识。
同余模定理的研究不仅拓展了数论的理论体系，而且对于解决实际问题，提高计算效率具有重要意义。
在未来的发展中，同余模定理有望在更多领域中发挥作用，并推动数学和计算机科学的发展进步。
1.2文章结构文章结构部分的内容：文章正文分为三个主要部分：引言、正文和结论。
引言部分概述了文章的主题，介绍了同余模定理的概念和重要性。
同余模定理是数论中重要的概念之一，它描述了整数之间的特定关系。
本文将对同余模的概念、性质和应用进行详细讨论。
正文部分将从三个方面介绍同余模：同余模的概念、同余模的性质和同余模的应用。
首先，我们将详细解释同余模的定义和运算规则，了解同余模的基本概念。
其次，我们将探讨同余模具有的一些重要性质，如传递性、互反性和可加性等，这些性质对于解决数论问题具有重要意义。
最后，我们将介绍同余模在密码学、编程和计算机科学等领域的应用，这些应用充分展示了同余模定理的实际意义和价值。
第17讲第3章第5,7节子环,环同态和理想
所以 (a ,b )(a ) (b ) (d)
从而 (a,b)(d)
所有理想：(d)dZ,d0
( d ) 是最大理想 d 是素数.
事实上,若d是素数p，设I是Z的理想且（p） I Z,则 aI但a(p)(p,a)1s,tZ,psat 1 由（p） I及I是理想1I I Z(p)最大 反之，设(d)是最大理想，则d必为素数，否则d为合数 dst(1s,t d)(d)(s)Z,矛盾.
x R , x r , r x I 1 , 且 x r , r x I 2 , x r , r x I 1 I 2
I1 I2是 R 的理想.
定义 设 R 为环, a R , 称环 R 中所有
包含 a 的理想的交为由 a 生成的主理想,
记作 ( a ) ,即 ( a ) I .
IR a I
分别称为理想 I 1 , I 2 的和与交.
定理6 (1)环 R 的两个理想 I 1 , I 2 的和
I 1 I 2 与交 I1 I2 都是 R 的理想;
(2)环 R 的任意有限多个理想的和还是理想. 环 R 的任意多个理想的交还是理想.
证明 (1) r a 1 a 2 ,s b 1 a 1,b b1 2 II 1 1 , a2I ,2 b,2I2，
判定 S R "a,bS,
有 abS,abS"
例 (1)R{2a|aZ}Z；
(2)任 意 环 R ， 都 有 两 个 子 环 R 和 {0}， 叫 平 凡 子 环 ； （ 3） 任 意 环 R ,C(R){xR|xaax, aR }R
定义 设 R为环, I 为 R的非空子集. 如果 I 满足:
例 在 Z 中,如果a,bZ,则 ( a , b ) 是怎样
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(3.3 Congruence on Ring and Ideal)
3.3.1 环上同余 (Congruence on Ring)
Def：设有环（R,+，· ）， 是集R上的一个等价关系， 若 则称 为环上的同余。 例: 整数环(Z,+，· )，模n同余(n≥1)是环Z上的同余.
2.任意数域F上的多项式环F[x]为主理想整环；
3.任何域都是主理想整环。 End
ab, c d (a c) (b d ), (ac) (bd )
3.3.2 理想 （Ideal）
在前一章我们看到，不变子群在群的研究中 起着重要作用. 在环的研究中，理想这个概念类似 于子群的不变子群.
Def：设有环（R,+,·），I是它的一个子环，
（1） a∈I, r∈R ar ∈I ，则称I为R 的一个 左理想； （2） a∈I, r∈R ra ∈I ，则称I为R的一个 右理想； （3）a∈I, r∈R ra ,ar ∈I ，则称I为R 的一个 理想。 注1．当R 为交换环时，左理想=右理想=理想 （相当于左、右陪集） 注2．平凡理想——{0}和R 本身。 若环 R 内无非平凡理想，则称R为单环。
推论：
a {(na sa at xay) n Z , s, t, x, y R}
特别地，当R是有单位元的可换环时，
a {xa x R} aR
3.3.4 主理想整环
Def：一个有单位元的整环中，若每一个理想都是主理 想，则称此环为主理想整环。 例：1.<Z，+， >是主理想整环；
2.u ( x) F x , u ( x) f ( x) S , f ( x) u ( x) S .
例3．①数域F上的全矩阵环Mn(F)是单环；
②除环和域也是单环。 命题：设A,B是R的理想，则
和① A B {a b a A, b B}
交②
A B {a a A, a B}
n i 1
积③ AB { aibi ai A, bi B, n N }
商④ ( A : B) {r r R, b B br, rb eneration of Ideal)
Def：设X是环R的非空子集，则包含X的最小子环 称为由X生成的子环，记作[X]，它是包含X的所 有子环的交。 包含X的最小理想称为由X生成的理想，记作 <X>，它是包含X的所有理想的交。 Th：设X是环R的非空子集，则
X { ni xi rj x j xk rk sl xlsl ni Z , rj , rk , sl , sl R, xi , x j , xk , xl X }
Def：设X={a}是由一个元素组成的集合，则称 A=<X>为由a 生成的主理想，简记为A=<a>。
Th1.环R 的非空子集I是R 的理想 （i） a, b I a b I
（ii） r R, a I ar , ra I 证明：必要性显然，下证充分性,
a, b I a b I
由
知（I，+）是（R，+）的一个子群，又由
r R, a I ar , ra I 知I是环R的理想。
例1．整数环Z的子集 N={m的一切倍数} 是Z的理想.
例2．数域F上的多项式环F[x], 令
S {a1x a2 x2 an xn ai F , n Z }
则S是F[x]的一个理想。
1. f ( x), g ( x) S , f ( x) a1 x an x n , g ( x) b1 x bn x n , f ( x) g ( x) (a1 b1 ) x (an bn ) x n S