近世代数中的子环与理想的证明
近世代数课件-42唯一分解环
05
唯一分解环的应用实例
在数学中的应用
唯一分解环是数学中一个重要的概念，它在代数数论、代数几何等领域有着广泛的应用。例如，在代 数数论中，唯一分解环可以用来研究整数的分解质因数问题，以及求解一些代数方程的根的问题。
唯一分解环还可以用来研究一些代数学的基本问题，如群的构造和性质、环的理想理论等。这些问题 的研究对于深入理解代数学的基本概念和原理具有重要意义。
码学等领域的研究中。
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证明方法二
采用数学归纳法，假设存在一个非零元素可以表示为有限个 不可约元素的乘积，那么可以构造一个新元素，该元素可以 表示为无限个不可约元素的乘积，与假设矛盾。
定理的应用
01
在整数的唯一分解定理中，每个非零整数都可以唯 一地表示为有限个素数的乘积。
02
在多项式的唯一分解定理中，每个非零多项式都可 以唯一地表示为有限个不可约多项式的乘积。
近世代数课件-42唯一分 解环
• 引言 • 唯一分解环的定义和性质 • 唯一分解环的定理和证明 • 唯一分解环的推论和证明 • 唯一分解环的应用实例 • 总结与展望
01
引言
什么是唯一分解环
01
唯一分解环是一种特殊的环，其每个理想都可以唯一地表示为 一个有限生成的理想和若干不可约理想的乘积。
02
在工程领域中，唯一分解环也有着广 泛的应用。例如，在通信和信号处理 中，唯一分解环可以用来研究信号的 频谱分析和调制解调等问题。
在计算机科学中，唯一分解环也可以 用来研究一些算法和数据结构的设计 和分析问题。这些问题的研究对于深 入理解工程技术和应用具有重要意义。
06
总结与展望
总结唯一分解环的重要性和应用
近世代数2
G有4 个生成元，分别是1, 5, 7, 11。
令a=5，则
50=0 54=8 58=4
51=5 52=10 53=3 55=1 56=6 57=11 59=9 510=2 511=7
二、循环群 (6)
G有6 个循环子群，生成元分别是a1,a2,a3,a4,a6,a12。
令a=1，则
H1=(a1)=(1)={0,1,2,3,4,5 …10,11} 12阶
第二章
2.1
2.2
※2.3
群、环、域
群的基本概念
有限群、循环群 域
2.4
域的特征和素域
2.5 交换环与理想
一、域的概念 (1)
1. 定义
定义2.8 设F是至少有两个元素的集合,在F 中规定两种运算。一种叫加法，它的运算 结果称为‘和’，记作a+b；另一种叫乘法， 它的运算结果称为‘积’，记作a· b。即如 果a,b∈F，则a+b∈F，a· b∈F。如果这两个 运算满足以下规则：
1. 定义
注意：me的含义
定义2.11 设F为任一个域，e为F的单位元。 如果存在正整数m，使me=0，则称F的特征 不为0。适合条件pe=0的最小正整数p，称 作F的特征。 如果对于任意正整数m都有me≠0，就称F的 特征为0。 域的特征实际上是元素e 在域F上
na是n个元素a的加运算，即na=(a+a+…+a)。 与域中定义的乘法无关。
二、域的性质 (3)
2. 关于乘法的性质
性质6：域的单位元是唯一的。 性质7：每个非0元素的逆元素也是唯一的。 (a-1)-1=a。 性质8：消去律成立： 若ab=0，则a,b之中必有一个为0； 若ab=ac，且a≠0，则b=c。
《近世代数》课件
近世代数的重要性
近世代数是数学领域中的基础学科之 一，是学习其它数学分支的重要基础 。
它对于理解数学的抽象本质和掌握数 学的基本思想方法具有重要意义，有 助于培养学生的逻辑思维和抽象思维 能力。
课程大纲简介
本课程将介绍近世代数的基本概念和性质，包括集合、群、环、域等代数系统的 定义、性质和关系。
1.1 答案
对。因为$a^2$的定义是两个整数相乘，结果仍为整数。
第1章习题及解答
1.2 答案：（略）
1.3 答案：群的基本性质包括封闭性、结合律和存在单位元。
第2章习题及解答
2.1 判断题：若$a$是整数，则$a^3$也是整数。 2.2 选择题：下列哪个是环？
第2章习题及解答
要点一
2.3 简答题
编码理论中的应用
线性码
线性码是一类重要的纠错码，其生成矩阵和校验矩阵都是线性方程组的解。这 些矩阵的构造和性质都与代数理论紧密相关。
高斯-若尔当消元法
在编码理论中，经常使用高斯-若尔当消元法来求解线性方程组，这种方法在代 数中也有广泛的应用。
物理学中的应用
量子力学中的态空间
在量子力学中，态空间是一个复的向量空间，其基底对应于可观测物理量。这与代数学中的向量空间 概念非常相似。
如果E是F的一个子集，且E中的元素 都是方程f(x)=0的根，其中f(x)是F上 的一个多项式，那么E在F上形成一个 子域。
如果E是F的一个子集，且E中的元素 都是方程f(x)=0的根，其中f(x)是F上 的一个不可约多项式，那么E在F上形 成一个有限子域。
有限域
有限域的性质
有限域中的元素个数一定是某个素数的幂。
理想与商环
理想的定义与性质
介绍理想的定义，包括左理想、右理想、双边理想等 ，并讨论理想的封闭性、运算性质等。
近世代数——精选推荐
近世代数⽬录基本概念元素。
集合。
空集合。
⼦集 。
真⼦集 。
A =B ⟺A ⊆B ∧B ⊆A 。
幂集：⼀个集合所有⼦集组成的集合， P (A ) 。
交集。
并集。
性质：幂等性；交换律；结合律；⼆者之间有分配律。
关系：M ×M 的⼦集。
即 ∀a ,b ∈M ，法则 R 可以确定 a 和 b 符合/不符合这个法则。
记做 aRb 和 a ¯R b 。
等价关系：满⾜⾃反性（∀a ∈M ,aRa ）、对称性（ aRb ⇔bRa ）和传递性（ aRb ,bRc ⇒aRc ）的关系，⽤ ∼ 表⽰，即 a ∼b 。
分类：把集合 M 的全体元素分为若⼲互不相交的⼦集。
每个分类与⼀个等价关系⼀⼀对应。
映射：集合 A ,B ，有⼀个 法则 φ 使得所有的 x ∈A 存在唯⼀的 y ∈B 与之对应。
记作 φ:x ⟶y 或 y =φ(x ) 。
y 叫做 x 在映射 φ 下的像，把 x 叫做 y 在映射 φ 下的原像或逆像。
满射：B 中每个元素在 A 中都有原像。
单射：A 中不同的元素在 B 中像不同。
双射：满射+单射。
逆映射：只有双射才有逆映射，记为 φ−1 。
有限集合满⾜ |A |=|B | 且 φ 是 A 到 B 的⼀个映射，则 φ 是满射 ⟺ φ 是单射；推论：得出 φ 是双射。
相等映射 ： A 到 B 的映射 σ 和 τ 满⾜ ∀x ∈A ,σ(x )=τ(x ) 。
映射合成/映射乘法： τ:A ⟶B ,σ:B ⟶C ，则 x ⟶σ(τ(x ))(∀x ∈A ) 是 A 到 C 的⼀个映射，记为 στ(x ) 。
代数运算：集合 M 的对应法则 M ×M ⟶M ，即任意两个有次序的元素 a 和 b 有唯⼀确定的元素 d 与它们对应。
代数系统：有代数运算的集合。
（注意代数运算的封闭性。
即 d ∈M ）。
⽤“乘法表”法表⽰有限集合的代数运算时，注意每列⾏⾸（第⼀列）是参与运算第⼀个元素，每列列⾸（第⼀⾏）是第⼆个元素。
近世代数
个代数运算以定义个元素的集合上总共可、含有 n n 12n （ ） ）（群。
能作成对运算集合、由全体正整数作成的 a b a G 2b =3、循环群的子群仍是循环群。
（ ）4．正规子群的左陪集也一定是一个右陪集。
（ ）5．任何群G 都与其商群G/N 同态。
（ ） 13123321 61）（、=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛- （ ） 也是循环群是循环群，则，若是两个群且与、设G G G ~G G G 78．整数环Z 的每个理想不一定是主理想。
（ ）9．设环R 有单位元且每个非零元素都有逆元，若 | R |＞1，则R 一定是体。
（ ）10．无零因子的交换环不一定是整环。
（ ）11．环R 中所含元素的个数叫环R 的特征。
（ ）2、什么是理想？3什么是体？ 的行列式。
是矩阵其中同态映射，且是满射，的一个到是：普通乘法，证明：，代数运算是数的；再令运算是方阵的普通乘法数阶方阵作成的集合，代上全体是数域分）令三、（A |A | M M |A |A F M n F M 15−→−ϕ=四、（15分）设G 是一个群，且H ≤G ，K ≤G ，证明：H 与K 的交集是G 的一个子群。
五、（15分）设N 是群G 的任一正规子群，证明：G ~ G/N6、（15分）写出三次对称群S 3={(1),(12),(13),(23),(123),(132)}关于子群H={（1），（23）}的所有左陪集和所有右陪集。
一、判断题。
！个双射变换个元素的任意集合共有、含有 n n 12．在模8剩余类环Z 8中{}6,4,2,0 2>=<是一个极大理想。
（ ）4．整数环Z 的每个理想都是主理想。
（ ）二、单项选择题（每小题2分，共10分）1、关于半群的说法不正确的是： （ ）（A ）半群是带有一个代数运算的代数系统；(B) 半群的乘法一定适合结合律；(C) 半群的乘法不一定适合交换律；（D) 半群中一定有单位元。
2、设G 是一个群，H 是G 的一个非空子集，则H ≤G 的充要条件是 （ ）（A ） H ab H b ,a ∈⇒∈ (B) H a H a 1∈⇒∈-(C)H ab H b ,a 1∈⇒∈- (D) H b a H b ,a ∈+⇒∈ 3、设R 是一个环，下面说法不正确的是 （ ）（A ）R 中若有零因子，则一定既有左零因子也有右零因子；(B) R 中若无零因子，则一定既无左零因子也无右零因子；(C) 一个环一定有零因子；(D) R 中若有左零因子也一定有右零因子。
近世代数中关于集合的划分及其应用研究
近世代数中关于集合的划分及其应⽤研究近世代数中关于集合的划分及其应⽤研究摘要我们对集合并不陌⽣，我们所熟知的集合实际上是朴素集合.那么我们为什么要讨论集合的划分呢?因为它在商群、商环、商域等其他⽅⾯中有着极其重要的应⽤.我们要研究集合的划分就必须研究等价关系，因为它们是互相决定的。
因此我们先从等价关系开始说起，之后再来探讨集合的划分，然后观察集合的划分在各⽅⾯的应⽤.第⼀章等价关系与等价类定义1.1：设S 是⼀个⾮空集合，R 是关于S 的元素的⼀个条件.如果对S 中任意⼀个有序元素对（a ，b ），我们总能确定a 与b 是否满⾜条件R ，就称R 是S 的⼀个关系（relation ）.如果a 与b 满⾜条件R ，则称a 与b 满⾜条件R ，则称a 与b 有关系R ，记做aRb ;否则称a 与b ⽆关系R.关系R 也成为⼆元关系.定义1.2：设~是集合A 上的⼀个⼆元关系，若满⾜下列性质：（1）⾃反性：?a ∈A ,a~a;（2）对称性：?a,b ∈A,a~b,则b~a;（3）传递性：?a,b,c ∈A,a~b,b~c,则a~c.则称~A 上的⼀个等价关系.当a~b 时，称a 与b 等价.定义1.3：设⼀个集合A 分成若⼲个⾮空⼦集，使得A 中每⼀个元素属于且只属于⼀个⼦集，则这些⼦集的全体成为A 的⼀个分类。
每个⼦集称为⼀个类.类⾥任何⼀个元素称为这个类的⼀个代表.由定义可知，A 的⾮空⼦集族S={i A |i ∈I } 是A 的⼀个分类当且仅当其满⾜下列性质：（1） Ii iA ∈=A; （2）当j i ≠时，=j i A A ?，即不同的类互不相交.定理1.1 设S={i A |i ∈I } 是A 的⼀个分类，规定~为： a~b ?a 与b 同属于同⼀个类，则~是A 上的⼀个等价关系.证明：⾸先由分类的定义，~是A 的⼀个关系.⽽且，显然?a ∈A ，a~a ；⼜?a ，b ∈A ，若a~b ，则a 与b 属于同⼀个类，从⽽b~a ；?a ，b ，c ∈A ，若a~b ，b~c ，则a 与b 属于同⼀个类，b 与c 属于同⼀个类，于是a 与c 属于同⼀个类，从⽽a~c.因此~是A 上的⼀个等价关系.定理1.2 设~是A 上的⼀个等价关系，对于a ∈A ，令[a]={x|x ∈A,x~a},则A 的⼦集族是A 的⼀个分类.证明（1）?a ∈A ，因为,a~a ，所以a ∈[a]，从⽽[a]是⼀个⾮空⼦集，并且[]=∈ A a a A.（2）若[a] [b]≠?,则?c ∈[a] [b]，于是c~a ，c~b ，从⽽a~b.x ∈[a],有x~a ，于是x~b ，所以x ∈[b]，即[a]?[b].同理[b]?[a].这⾥就得到[a]=[b].所以不同的等价类互不相交.该定理中所构成的⼦集[a]称为A 的⼀个包含a 的~等价类.定义4：设~是A 上的⼀个等价关系，由A 的全体不同~等价类所组成的集合族称为A 关于~的商集，记作A/~.第⼆章商群我们研究商群必须要知道：它是由什么样的等价关系确定的什么样的等价类，然后由这些等价类构成的集合再定义⼀种什么样的运算才是商群，最后为了把⼀些较为复杂的群转化较为简单的群，再给出群的同态基本定理.⼀、什么样的等价关系我们知道由⼀个正整数m ，确定了整数间的⼀个等价关系m R ，即a m Rb ?m|a —b ，?a ，b ∈Z .其中Z 是⼀个由1⽣成的循环加群，（m ）是Z 的⼀个⼦加群，且从⽽m R 也可以认为是由Z 的⼀个⼦群（m ）所确定的.现在将这个思想推⼴到⼀般的群中，设H 是群G 的⼀个⼦群，在G 中定义⼀个关系R ：G b a H ab H a b aRb 1-1-∈?∈∈?，，且容易验证R 是⼀个等价关系.利⽤这个等价关系可以决定群G 的⼀个分类.⼆、什么样的等价类定义2.1 设H ≤G ，由等价关系R 所决定的类称为H 的陪集.定理2.1 设H ≤G ，则包含元素a 的陪集等于Ha aH 或.证明将包含元素a 的陪集记作[a].?b ∈[a]，有bRa ，即H h ba H h b a 2-111-∈=∈=且，即b=a 1h =∈a h 2Ha aH =，所以有[a]aH ?=Ha .反之，?b ∈Ha aH =，?21h h ，∈H ，使b=a h ah 21=，于是H h ba H h b a 2-111-∈=∈=且，即bRa ，从⽽b ∈[a]，所以有aH ]a [].a [Ha aH =?=因此.三、商群定理2.2 设G 是群，N G ，令G/N={aN |a ∈G},规定： ,/G bN aN N ab bN aN N ∈?=，，）（则（G/N,?）是⼀个群.证明⾸先证明?是G/N 的代数运算，即G/N 到G/N 的映射，也就是要证与代表元的选取⽆关.设aN N a 1=，，bN N b 1=则N n a a 111-∈=，.N n b b 21-1∈=因为N G ，所以11111使3111n b b n =，这样N n n n b b b n b b a a b b a ab 3231-111-111-11-111-∈====）（）（）（）（）（，从⽽（ab ）N=（11b a ）N ，所以?是G/N 的代数运算，⼜?,/G cN bN aN N ∈，，有=====N bc aN ]bc [a N ]c )ab [(cN N ab cN bN aN ）（）（）（）（），（cN bN aN ??从⽽?满⾜结合律，且,/G aN eN aN aN eN N ∈??=?，从⽽N=eN 是G/N 的单位元.?,/G aN N ∈存在,/G N a 1-N ∈使，eN aN N a N a aN -11-=?=?从⽽.aN N a 1-的逆元是因此G/N 是⼀个群. 该定理中够作的群G/N 称为G 关于N 的商群.四、有限阶群的阶和⼦群阶的关系定理2.3（Lagrange （拉格朗⽇））设G 是有限群，H 是G 的⼦群，则|G|=[G ：H]|H|证明因为G 是有限群，所以[G ：H]有限，设为k ，则G=U U H a H a 21…H a k U .⼜因为在H 和H a i 之间存在⼀个双射，所以|H a i |=|H|，因此|G|=H a 1+…+H a k =k|H|=[G ：H]|H|. 五、群的同态基本定理定理2.4（同态基本定理）设f 是群G 到G ’的同态，则（1）Kerf G ；（2）G/ Kerf ?Imf.证明（1）因为e ∈ Kerf ，所以Kerf ≠?.⼜?a ，b ∈ Kerf ，x ∈G ，即f （a ）=f （b ）=e '，则f （a 1b -）= f （a ）1b f -）（= e '1e -= e ',f(xa -1x )=f(x)f(a)1x f -）（= f(x) e '1x f -）（=e '，从⽽a 1b -，xa -1x ∈ Kerf ，因此Kerf G.（2）在G/ Kerf 到Imf 间规定⼀个法则：Φ：aKerf f （a ）.a) ? aKerf ，bKerf ∈Kerf G/ Kerf ，有aKerf=bKerf ?1a -∈Kerf ?f(1a -b)= e '1a f -）（f （b ）= e ' ? f （a ）=f （b ），从⽽Φ是⼀个G/ Kerf 到Imf 的映射.b ）?a ' ∈ Imf ，?a ∈G ，使 f （a ）= a '，于是Φ（aKerf ）= f （a ）=a '，从⽽Φ是满射.c) ? aKerf ，bKerf ∈Kerf G/ Kerf ，有Φ( aKerf)= Φ( bKerf) ? f （a ）=f （b ）?1a f -）（ f （b ）=e ' ?f(1a -b)=e ' ? 1a -b ∈Kerf ? aKerf=bKerf ，从⽽Φ是单射.d) ? aKerf ，bKerf ∈Kerf G/ Kerf ，有Φ( aKerf ?bKerf) =Φ( abKerf)=f(ab)= f （a ）f （b ）=Φ( aKerf)? Φ( aKerf)? Φ(bKerf)，从⽽Φ保持运算.因此Φ是同构.于是G/ Kerf ?Imf.第三章商环我们研究商环的思路是：在商加群的基础上再定义⼀种乘法运算，使得该种运算在某⼀⼦环下构成代数运算进⽽对该种运算构成半群且慢⾜：乘法运算对加法运算符合左分配律和右分配律，在学习过程中我们发现理想是可以在我们定义的乘法运算下满⾜上⾯条件的⼦环，因此我们先研究什么是理想，从⽽给出商环的定义，最后得出环的同态基本定理.⼀、理想定义3.1 设（R ，+，?）是⼀个环，（A ，+）是（R ，+）的⼀个⼦加群，（1）若?r ∈R ，a ∈A 有ra ∈A ，则称A 是R 的左理想；（2）若?r ∈R ，a ∈A 有ar ∈A ，则称A 是R 的右理想；（3）若A 既是R 的左理想，⼜是R 的右理想，则称A 是R 的⽴、理想，记作A R ．（4）若A R ，且A ≠R ，则称A 是R 的真理想.由定义可知理想⼀定是⼦环.⼆、商环定义3.2 设R 是环，A R ，在商群（R ，+）/(A ，+)={[x]|x ∈R}={x+A| x ∈R }中再规定：[x]?[y]=[xy]，? [x] ，[y] ∈R/A ，则（R/A ，+，?）是⼀个环（R/A 称为R 关于A 的商环或剩余类环，[x]=x+A 称为R 模A 的剩余类）.证明⾸先证明上⾯规定的乘法运算是代数运算，即与代表元的选取⽆关.设[x]=[1x ]，[y]=[1y ]，则x-1x ∈A ，y-1y ∈A.因为A 是R 的理想，所以xy-1x 1y =（x-1x ）y+1x （y-1y ）∈A ，从⽽[xy]= [1x 1y ].其次? [x]，[y] ，[z] ∈ R/A ，有（[x]?[y]）? [z]= [xy] ? [z]=[( xy)z]= [ x(yz)]= [x] ? [yz]= ([y] ? [z])，从⽽?满⾜结合律.且[x] ?（[y] +[z]）= [x] ?（[y] +[z]）=[x(y+z)]=[xy+xz]=[xy]+[xz]= [x]?[y]+ [x] ? [z] 从⽽?对+满⾜左右分配律.同理可证，?对+也满⾜右分配律.因此R/A 是⼀个环.三、环的同态基本定理定理3.1（同态基本定理）设f 是环R 到环R ’的同态，则（1） Kerf R ；（2） R/Kerf ?Imf.证明（1）Kerf 是(R ，+)的⼦加群，⼜a ?∈Kerf ，r ∈ R ，有f （ra ）=f （r ）f （a ）=f （r ）0'=0'， f （ar ）=f （a ）f （r ）=0’f(r)=0'，从⽽ra ，ar ∈Kerf R.（2）因为在R/Kerf 到Imf 间存在⼀个双射： ?：a+Kerf f （a ），且保持加法运算。
近世代数文档
近世代数引言近世代数是数学中一个重要的分支，研究代数结构及其性质的理论体系。
通常包括群论、环论、域论等内容。
近世代数的发展对于数学的各个领域产生了深远的影响，也在应用数学和计算机科学中起着重要作用。
群论群论是近世代数的一个基础概念和重要分支。
群由三个基本要素组成：集合、运算和满足一定性质（结合律、封闭性、单位元、逆元）的公理。
群论研究集合中的元素如何进行运算，并研究这些运算的性质。
•子群：给定一个群，若一个集合中的元素满足群的性质和封闭性，则称其为一个子群。
•循环群：由一个元素生成的群称为循环群，循环群的结构相对简单。
•群的同态：将一个群的元素映射到另一个群中，并保持运算结构，称为群的同态。
同态的研究对于理解群之间的关系和性质非常重要。
环论环论是近世代数的另一个重要分支，研究满足特定性质的运算集合和运算规则。
环由两个基本要素组成：集合和满足一定性质（结合律、封闭性、零元、乘法交换律、分配律）的公理。
环论的研究主要关注集合中的元素之间的加法和乘法运算。
•子环：给定一个环，若一个集合中的元素满足环的定义和封闭性，则称其为一个子环。
•理想：一个环中的子集，满足特定运算性质（左右理想、乘法吸收律）的集合。
•商环：对于一个环和其中的一个理想，可以通过模运算构建一个新的环，称为商环。
商环中的元素相当于原环中的一个等价类。
域论域论是近世代数中的一个重要分支，研究满足一定性质的运算集合和运算规则。
域是一个满足加法和乘法交换律、分配律以及存在加法和乘法的单位元和乘法的逆元的环。
域是一种结构相对简单但非常重要的代数结构。
•子域：给定一个域，若一个集合中的元素满足域的定义和封闭性，则称其为一个子域。
•拓展域：给定一个域F，在F中添加一个新的元素，并扩展运算规则，得到的新的集合和运算称为拓展域。
•有限域：域中的元素个数是有限的，则称该域为有限域。
有限域具有特殊的性质和应用。
应用领域近世代数的研究对于数学的各个领域产生了深远的影响，也在应用数学和计算机科学中起着重要作用。
关于模n剩余类的一点思考
关于模n剩余类的一点思考通过对模n剩余类的一点思考，总结出模n剩余类环的子环和理想的规律：所有理想为主理想，可以由n的所有因子作为生成元生成，且这些主理想的个数为n的欧拉数。
使我们得以迅速求解其子环和理想。
模n剩余类是近世代数里研究比较透彻的一种代数结构。
一，定义：在一个集合A里，固定n（n可以是任何形式），规定A元间的一个关系R，aRb，当而且只当n|a-b的时候这里，符号n|a-b表示n能整除a-b。
这显然是一个等价关系。
这个等价关系普通叫做模n的同余关系，并且用≡a b(n)来表示（读成a同余b模n）。
这个等价关系决定了A的一个分类。
这样得来的类叫做模n的剩余类。
二，我们规定A的一个代数运算，叫做加法，并用普通表示加法的符号来表示。
我们用[a]来表示a所在的剩余类。
规定：[a]+[b]=[a+b];[0]+[a]=[a];[-a]+[a]=[0];根据群的定义我们知道，对于这个加法来说，A作成一个群。
叫做模n剩余类加群。
这样得到的剩余类加群是循环群，并且[1]是其生成元，[0]是其单位元。
三，我们再规定A的另一个代数运算，叫做乘法，并且规定：[a][b]=[ab]；根据环的定义我们知道，对于加法和乘法来说，A作成一个环。
叫做模n剩余类环。
四，关于理想的定义：A环A的一个非空子集叫做一个理想子环，简称为理想，假如：A(i) a,b∈A⇒a-b∈；A∈A；(ii)a∈,b∈A⇒ba,abA所以如果一个模n剩余类环A的子环要作为一个理想，需要满足：A⇒∈A；(i) [a],[b]∈[a-b](ii)[a]∈A,[b]∈A⇒[ba],[ab]∈A；由以上四点可得到对一个模n剩余类环，求其所有子环和理想的一个方法。
思路：第一，模n剩余类环对加法构成加群，根据群的定义，找出所有子群；第三，对所有子群，根据环的定义，对乘法封闭，从所有子群里找出所有环；第四，对所有子环，根据理想的定义，找出所有理想。
例题:找出模12的剩余类环的所有理想。
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近世代数中的子环的证明以及理想的证明
1.证明：在环R到环R的一个同态满射之下,R的一个子环S的象S是R的一个子环。
证明:
S
为R的一个子环, 0S,
而0=(0)S, 故S非空。
对,abS,,abS,使得a=()a,b=()b
由于S是环R的子环，故abS,abS
ab=()a-()b=()abS
ab= ()a()b=()abS
故S是R的一个子环。
2. 证明：在环R到环R的一个同态满射之下, R的一个子环S的逆象S是R的一个子
环。
证明:
S为R的子环, 0
S
,
而0=(0)S, 0S,故S非空。
对,abS，,abS,使得 a=()a,b=()b,
由于S是环R的子环，
故 ab=()a-()b=()abS
ab
=()a()b=()abS
abS,abS
故S是R的一个子环。
3.证明：在环R到环R的一个同态满射之下，R的一个理想A的象A是R的一个理想。
证明:
A为R的理想,
0A,,而0=(0)A,故A非空。
对,abA,rR, ,abA,rR
使得 ()aa,()bb,()rr
2
由于A是环R的一个理想，故 abA,raA，arA
ab=()a-()b=()abA
ra=()r()a=()raA, ar=()a()r=()arA
故 A是环R的一个理想。
4.证明：在环R到环R的一个同态满射之下，R的一个理想A的逆象A是R的一个理想。
证明:
A为环R的理想,0
A
,
而0=φ(0)A, 0A, 故A非空。
对于,abA，rR，,abA,rR
使得 ()aa,()bb,()rr
由于A是环R的理想，
故 a-bA，arA，raA。
a-b
=()a-()b=()abA
ra=()r()a=()raA， ar=()a()r=()arA
abA,raA，arA
,
故 A是R的一个理想。