近世代数课件(全)--3-5_环的同态、极大理想
合集下载
近世代数课件-3-5_素理想与极大理想
这一特征可描述为： 另外，也可这样定义一个素数：
描述为： 这两个概念。
这一特征可
2020/4/27
二、素理想的概念
2020/4/27
三、素理想的性质
2020/4/27
四、极大理想的概念
注1： 注2：
注3： 注：
2020/4/27
五、极大理想的性质
2020/4/27
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
作业：P91第1题。
2020/4/27
关系以及极大理想与域之间的关系。 利用素理想和极大理想构造整环和域是本节的重点，同时
也是难点。
2020/4/27
§3.5 素理想与极大理想
一.素理想与极大理想的引入 二.素理想的定义 三.素理想的性质 四.极大理想的定义 五.极大理想的性质
2020/4/27
18:19
一、极大理想和素理想概念的引入
近世代数
第三章 环
环是具有两种代数运算的代数系，它也是 近世代数的一个重要分支。
本章介绍环的一些初步理论。
2020/4/27
§3.5 素理想与极大理想
本节介绍两种特殊的理想——素理想与极大理想，并由此 给出由有单位元的交换环构造整环和域的一种方法。
本节教学目的与要求： 掌握素理想与极大理想的定义，掌握素理想与整环之间的
近世代数课件全 4 2 主理想整环欧式环 优质课件
1 ( f ( x), g( x)) g( x) x[ f ( x) g( x)x]
xf ( x) ( x2 1)g( x)
2019/12/11
例5
在 Z[i] 中, a 8 38i, b 11 7i ,求
s, t 使得(a, b) as bt.
因为 (r1 ) (r2 ) , 故最后必有某个
(不妨设为 rn1 )为零.从而有
(a, b) (b, r1) (r1, r2 ) (rn1, rn ) (rn, 0) rn
2019/12/11
而且 rn rn2 rn1qn rn2 (rn3 rn2qn1 )qn
2019/12/11
做成一个欧氏环.
例1 Z 是欧氏环.
证明： ( x) | x |, x Z
a, b Z, b 0, q, r Z, st. a bq r
且 0 r | b | r 0, 或者 (r) | r | (b) | b | .
Z 是欧氏环.
2019/12/11
近世代数
第四章 整环里的因子分解 §2 主理想整环、欧式环
2019/12/11
一、主理想整环 定义1：如果整环R的每一个理想都是一个
主理想， 称其为主理想环. 引理1：假定R是一个主理想环，若在序列
a1,a2,a3,…,(ai∈R)里每一个元是前面一个的 真因子，那么这个序列一定是一个有限序列.
引理2：假定R是一个主理想环，那么I的 一个不可约元P生成一个最大理想.
，令q a bi, r [( x a) ( y b)i] ,则 q Z[i] ,且 r q Z[i] ,而
xf ( x) ( x2 1)g( x)
2019/12/11
例5
在 Z[i] 中, a 8 38i, b 11 7i ,求
s, t 使得(a, b) as bt.
因为 (r1 ) (r2 ) , 故最后必有某个
(不妨设为 rn1 )为零.从而有
(a, b) (b, r1) (r1, r2 ) (rn1, rn ) (rn, 0) rn
2019/12/11
而且 rn rn2 rn1qn rn2 (rn3 rn2qn1 )qn
2019/12/11
做成一个欧氏环.
例1 Z 是欧氏环.
证明： ( x) | x |, x Z
a, b Z, b 0, q, r Z, st. a bq r
且 0 r | b | r 0, 或者 (r) | r | (b) | b | .
Z 是欧氏环.
2019/12/11
近世代数
第四章 整环里的因子分解 §2 主理想整环、欧式环
2019/12/11
一、主理想整环 定义1：如果整环R的每一个理想都是一个
主理想， 称其为主理想环. 引理1：假定R是一个主理想环，若在序列
a1,a2,a3,…,(ai∈R)里每一个元是前面一个的 真因子，那么这个序列一定是一个有限序列.
引理2：假定R是一个主理想环，那么I的 一个不可约元P生成一个最大理想.
，令q a bi, r [( x a) ( y b)i] ,则 q Z[i] ,且 r q Z[i] ,而
近世代数课件(全)--3-5 环的同态、极大理想
R S ( R S ) { a , b , } { u, v , } 令 R S ( R S ) { a , b , } { u, v , } 规定 : x x , x S , y y , y R S
运算
2012-9-19
2012-9-19
( 2) ( a b ) ( a ) ( b )
定理1 若 R 与 R 是各有两个代数运算的系统， 且 : R ~ R ，则当 R 是环时，R 也是环. 定理2 若 R 与 R 是环，且
(1) (0 R ) 0 R
( 3) ( a ) ( ( a ))
x y (
1
( x )
1
1
( y '))
x y (
1
( x )
( y '))
例4 设环 R {( a , b ) | a , b Z }, ( a1 , b1 ) ( a 2 , b2 ) ( a1 a 2 , b1 b2 ),
Z /( p ) 是域 p 是素数. 定理9：
2012-9-19
练习： 求Z12的全部最大理想.
2012-9-19
n n
:R~ R
，则
( 2) ( a ) ( a )
(4)当 R 是交换环时，R 也是交换环； (5)当 R 是有单位元环时，R 也是有 单位元环时，且 1 R (1 R ).
2012-9-19
问：同态环有无零因子传递吗？ 例1 R 为4阶循环环，即 R {0, a , 2 a , 3 a } ，且 a 2 a . : n na , ( n Z ) Z ~ R
运算
2012-9-19
2012-9-19
( 2) ( a b ) ( a ) ( b )
定理1 若 R 与 R 是各有两个代数运算的系统， 且 : R ~ R ，则当 R 是环时，R 也是环. 定理2 若 R 与 R 是环，且
(1) (0 R ) 0 R
( 3) ( a ) ( ( a ))
x y (
1
( x )
1
1
( y '))
x y (
1
( x )
( y '))
例4 设环 R {( a , b ) | a , b Z }, ( a1 , b1 ) ( a 2 , b2 ) ( a1 a 2 , b1 b2 ),
Z /( p ) 是域 p 是素数. 定理9：
2012-9-19
练习： 求Z12的全部最大理想.
2012-9-19
n n
:R~ R
，则
( 2) ( a ) ( a )
(4)当 R 是交换环时，R 也是交换环； (5)当 R 是有单位元环时，R 也是有 单位元环时，且 1 R (1 R ).
2012-9-19
问：同态环有无零因子传递吗？ 例1 R 为4阶循环环，即 R {0, a , 2 a , 3 a } ，且 a 2 a . : n na , ( n Z ) Z ~ R
《近世代数》课件
近世代数的重要性
近世代数是数学领域中的基础学科之 一，是学习其它数学分支的重要基础 。
它对于理解数学的抽象本质和掌握数 学的基本思想方法具有重要意义，有 助于培养学生的逻辑思维和抽象思维 能力。
课程大纲简介
本课程将介绍近世代数的基本概念和性质，包括集合、群、环、域等代数系统的 定义、性质和关系。
1.1 答案
对。因为$a^2$的定义是两个整数相乘，结果仍为整数。
第1章习题及解答
1.2 答案：（略）
1.3 答案：群的基本性质包括封闭性、结合律和存在单位元。
第2章习题及解答
2.1 判断题：若$a$是整数，则$a^3$也是整数。 2.2 选择题：下列哪个是环？
第2章习题及解答
要点一
2.3 简答题
编码理论中的应用
线性码
线性码是一类重要的纠错码，其生成矩阵和校验矩阵都是线性方程组的解。这 些矩阵的构造和性质都与代数理论紧密相关。
高斯-若尔当消元法
在编码理论中，经常使用高斯-若尔当消元法来求解线性方程组，这种方法在代 数中也有广泛的应用。
物理学中的应用
量子力学中的态空间
在量子力学中，态空间是一个复的向量空间，其基底对应于可观测物理量。这与代数学中的向量空间 概念非常相似。
如果E是F的一个子集，且E中的元素 都是方程f(x)=0的根，其中f(x)是F上 的一个多项式，那么E在F上形成一个 子域。
如果E是F的一个子集，且E中的元素 都是方程f(x)=0的根，其中f(x)是F上 的一个不可约多项式，那么E在F上形 成一个有限子域。
有限域
有限域的性质
有限域中的元素个数一定是某个素数的幂。
理想与商环
理想的定义与性质
介绍理想的定义，包括左理想、右理想、双边理想等 ，并讨论理想的封闭性、运算性质等。
《近世代数》精品课程25页PPT
《近世代数》精品课程
1、合法而稳定的权力在使用得当时很 少遇到 抵抗。 ——塞 ·约翰 逊 2、权力会使人渐渐失去温厚善良的美 德。— —伯克
3、最大限度地行使权力总是令人反感 ；权力 不易确 定之处 始终存 在着危 险。— —塞·约翰逊 4、权力会奴化一切。——塔西佗
5、虽然权力是一头固执的熊，可是金 子可以 拉着它 的鼻子 走。— —莎士 比
▪
26、要使整个人生都过得舒适、愉快，这是不可能的，因为人类必须具备一种能应付逆境的态度。——卢梭
▪
27、只有把抱怨环境的心情，化为上进的力量，才是成功的保证。——罗曼·罗兰
▪
28、知之者不如好之者，好之者不如乐之者。——孔子
▪
29、勇猛、大胆和坚定的决心能够抵得上武器的精良。——达·芬奇
▪
上。——叔本华
谢谢！
25
1、合法而稳定的权力在使用得当时很 少遇到 抵抗。 ——塞 ·约翰 逊 2、权力会使人渐渐失去温厚善良的美 德。— —伯克
3、最大限度地行使权力总是令人反感 ；权力 不易确 定之处 始终存 在着危 险。— —塞·约翰逊 4、权力会奴化一切。——塔西佗
5、虽然权力是一头固执的熊，可是金 子可以 拉着它 的鼻子 走。— —莎士 比
▪
26、要使整个人生都过得舒适、愉快，这是不可能的，因为人类必须具备一种能应付逆境的态度。——卢梭
▪
27、只有把抱怨环境的心情，化为上进的力量，才是成功的保证。——罗曼·罗兰
▪
28、知之者不如好之者，好之者不如乐之者。——孔子
▪
29、勇猛、大胆和坚定的决心能够抵得上武器的精良。——达·芬奇
▪
上。——叔本华
谢谢！
25
近世代数课件--3.5子环、环的同态
R
S
R
S
数学与计算科学学院
S
2018/11/9
思路分析：
(1) 构造 R S ( R S ) ； (2) 作 R 到 R 的对应关系 : R R,并证明 是双射；
~ R; (3) 在 R 中定义两个代数运算，并证明 R （P99的引理）
(4) 证明 S R 。
（只需证明 S 原有的运算和 R 新定义的运算是一致的）
2018/11/9 数学与计算科学学院
上两例表明：一个环有没有零因子这个性质经 过了一个同态满射后不一定能保持的。 但若把同态换为同构的话，则这个环的代数性 质当然没有什么区别了，所以有：
~R ， 定理3：设 R和 R 是两个环 ，并且 R 那么若 R 是整环 （除环、域），则 R 也是整环（除环、域）。
(1) S包 含 非 零 元 ； （ ）为加群； 1）（S， ( 2)a , b S a b S； S为R的子除环 * （ ）为群。 ( 3)a , b S，b 0 a b1 S . 2）（S ， 数学与计算科学学院 2018/11/9
例8：设 R {(a, b) | a, b Z } ，R Z 。现定义 R 的运算：
(a1 , b1 ) (a2 , b2 ) (a1 a2 , b1 b2 )
(a1 , b1 )(a2 , b2 ) (a1a2 , b1b2 )
（1）容易验证，R {(a, b) | a, b Z } 关于所定义的运算 构成一个环。 作
: R R, (a, b) a 。
（2）容易验证 是同态。 （3）可以看出 R Z 无零因子，而 R {(a, b) | a , b Z } 却有零因子，因为对于(a,0), (0, b) (0,0) ，我们有 (a ,0)(0, b) (0,0) 。 注：此例表明：R ~ R ，R 有零因子，但 R 却没有零因子。
近世代数简介ppt
若R是交换环，I是R的非空子集，如满足 1． a、b I， a－b I。 2． a I、r R， a r = r a I， 则I是R的理想子环，简称理想
若理想子环的所有元素可由一个元素a的各
次幂或各次幂的线性组合生成，则称该理想子环 主理想子环，简称主理想
域（Field)
一个集合，二种运算
不能被 x5+1 整除 不能被 x6+1 整除
…
…
不能被 x14+1 整除
能被 x15+1 整除 ∴ x4+x+1 是本原多项式
而 x4+ x3+ x2+ x+1
能被 x5+1 整除
能被 x15+1 整除
∴ x4+x3+x2+x+1是既约的，但不是本原的
多项式环Rq(x)g(x)
系数GF(q),模g(x)
对于有限域GF(q)上的m次既约多项式P(x)，若能 被它整除的最简首一多项式(x n -1)的次数n qm
–1, 则称该多项式为本原多项式。 本原多项式一定既约；
反之，既约多项式未必本原。
多项式循环群 Cycle Group
由多项式的各次幂所构成的群称为多项式循环群
比如， x4+x+1
(q=2, m=4, 2m-1=15)
VIP专享文档下载特权自VIP生效起每月发放一次， 每次发放的特权有效期为1个月，发放数量由您购买 的VIP类型决定。
每月专享9次VIP专享文档下载特权， 自VIP生效起每月发放一次，持续有 效不清零。自动续费，前往我的账号 -我的设置随时取消。
服务特 权
共享文档下载特权
VIP用户有效期内可使用共享文档下载特权下载任意下载券标价的文档（不含付费文档和VIP专享文档），每下载一篇共享文
若理想子环的所有元素可由一个元素a的各
次幂或各次幂的线性组合生成，则称该理想子环 主理想子环，简称主理想
域（Field)
一个集合，二种运算
不能被 x5+1 整除 不能被 x6+1 整除
…
…
不能被 x14+1 整除
能被 x15+1 整除 ∴ x4+x+1 是本原多项式
而 x4+ x3+ x2+ x+1
能被 x5+1 整除
能被 x15+1 整除
∴ x4+x3+x2+x+1是既约的，但不是本原的
多项式环Rq(x)g(x)
系数GF(q),模g(x)
对于有限域GF(q)上的m次既约多项式P(x)，若能 被它整除的最简首一多项式(x n -1)的次数n qm
–1, 则称该多项式为本原多项式。 本原多项式一定既约；
反之，既约多项式未必本原。
多项式循环群 Cycle Group
由多项式的各次幂所构成的群称为多项式循环群
比如， x4+x+1
(q=2, m=4, 2m-1=15)
VIP专享文档下载特权自VIP生效起每月发放一次， 每次发放的特权有效期为1个月，发放数量由您购买 的VIP类型决定。
每月专享9次VIP专享文档下载特权， 自VIP生效起每月发放一次，持续有 效不清零。自动续费，前往我的账号 -我的设置随时取消。
服务特 权
共享文档下载特权
VIP用户有效期内可使用共享文档下载特权下载任意下载券标价的文档（不含付费文档和VIP专享文档），每下载一篇共享文
《近世代数》PPT课件
定理1.5.1 假设一个集合A的代数运算 同时适合结合
律与交换律,那么在 a1a2 an中，元素的次序 可以调换.
例 判定下列有理数集Q上的代数运算 是否适合结合律，
交换律？
(1) a b a b ab (适合结合律和交换律 )
(2) ab(ab)2 (适合交换律，但不适合结合律)
(3) aba (适合结合律，但不适合交换律 )
定义1.9.2 设 是集合 A的代数运算. 若 是 A到 A的 一个同构映射(同态映射)，则称 是 A的一个自 同构 (自同态).
小结
同态是把代数运算考虑在内的映射，即是用来
比较两个代数结构的工具.
返回
在代数学中,两个同构的代数结构一般认为是相同的. 22
§1.10 等价关系与集合的分类
定义1.10.1 A设 是集合，D对，.错 一个 AA 到 D 的映射
注: 变换 是 A到A自身的一个映射.
小结
为了比较两个集合，我们引入了单射，满射，一
一映射和变换的概念.
返回
19
§1.8 同态
定义1.8.1 设 , 分别是集合的代数运算， : A A 是一个映
射,若 a,bA，有 (ab ) (a ) (b ),
则称 是 A到 A 的一个同态.
例1 A=Z (整数集)， 是普通加法； A ={1,-1}， 是普通乘法.
定义1.2.2 设 1 , 2是A到B的两个映射，若对 aA，
有 1(a)2(a), 则称 1 与 2 是相等的,记作 1 2.
注: 映射相等 构成映射的三要素（值域、定义域、对
应法则）全相同．
例5 设 AB 为正整数集 ．
定义 1 : ; a1 1 ( a ) ， a ,
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
I是R的一个理想，则 R/I是一个域 I是最大理想。
p 是素数. Z /( p ) 定理9： 是域
2015-3-10
练习： 求Z12的全部最大理想.
2015-3-10
( : a ker (a) )
2015-3-10
例5
Z[ x] / ( x 1) Z[i]
2
（ : f ( x) f (i)
Z[ x ] ~ Z[i ]
Ker ( x 2 1)
）
定理7
子环与理想在同态满射之下不变.
2015-3-10
三、最大理想 定义3：一个环 R 的一个不等于 R 的理想 I 叫做 一个最大理想，假如， 除了 R 同 I 自己以外，没有包含 I 的理想. 例6： 求整数环的所有最大理想. 所有理想：
2015-3-10
问：同态环有无零因子传递吗？ 例1 R 为4阶循环环，即 R {0, a, 2a, 3a} ，且 a 2 a .
: n na, (n Z ) Z~R 2 2a 2a 4a 4a 0 R 有零因子， Z 无.
2015-3-10
例2
做成环. : (a, b) a, (a, b Z ) R 的零元是 (0, 0) ，而
又令 S {( a, 0) | a Z }
SZ
Z
((a, 0) a) ( R S)
R Z {(a, b) | 0 b Z }, Z R
RR
2015-3-10
二、环同态基本定理 定理 5 R ~ R / I （ :aa I ） 定义2 设 为环 R到R 的同态,称集合 Ker {a R | (a) 0} 为同态 的核. 定理6（环同态基本定理）设 为环 R到R 的同态满射,则 (1) Ker为R的理想; ( 2) R / Ker R
( d ) dZ , d 0
是素数.
(d )
是最大理想
d
2015-3-10
引理 剩余类环R/I只有平凡理想 I是最大理想. 引理2：如果一个有单位元的交换环R 只有平凡理想， 那么R一定是一个域.
引理1：假定 I≠R 是环 R 的理想，
2015-3-10
定理8：假定R是一个有单位元的交换环，
2015-3-10
x y ( 1 ( x) 1 ( 1 ( y '))
例4 设环
R {(a, b) | a, b Z },
(a1 , b1 ) (a2 , b2 ) (a1 a2 , b1 b2 ), (a1 , b1 )(a2 , b2 ) (a1a2 , b1b2 )
(1) (a b) (a) (b) (2) ( a b) ( a) ( b)
如果 既是单映射又是满映射,则称 为同构，记作 : R R ,并称 R与R 同构.
2015-3-10
定理1 若 R 与 R 是各有两个代数运算的系统， 且 : R ~ R ，则当 R 是环时，R 也是环. 定理2 若 R 与 R 是环，且 : R ~ R ，则 (2) ( a) (a) (1) (0R ) 0R n n (3) (a ) ( (a)) (4)当 R 是交换环时，R 也是交换环； (5)当 R 是有单位元环时，R 也是有 单位元环时，且 1R (1R ).
近世代数
第三章 环与域 §5 环的同态、最大理想
2015-3-10
一、环同态的定义与性质 定义1 设 R和R 是两个环, 是集合 R到R 的映射.如果对任意的 a, b R ,有 ，则称 为环 R到R 的一个同态. 如果 为满映射,则称 为满同态, 记作 : R ~ R ,并称 R与R 同态.
R {(a, b) | a, b Z }, (a1 , b1 ) (a2 , b2 ) (a1 a2 , b1 b2 ), (a1 , b1 )(a2 , b2 ) (a1a2 , b1b2 )
R~ Z
( a, 0)(0, b) (0, 0)
，故 R 有零因子, Z 无. 注：同态环有无零因子不具传递性； 同态环性质不完全传递； 但是同构环性质完全相同.
2015-3-10
定理3 若 R 与 R 是环，且 R R ，则
R 是无零因子环（整环、除环、域）
R 是无零因子环（整环、除环、域）
2015-3-10
定理4（环的挖补定理） 设 S 为环 R 的子环，且 S 与环 S 同构， 即 R S S ，又若 S ( R S ) ，即 S 与 S 在 R 里的余集无公共元素，则存在 环 R ,使 R R ， S R. 证明: 令 S {a, b, }, S {a , b , }, x x , R S {u, v, } R S ( R S ) {a, b, } {u, v, } 令 R S ( R S ) {a , b , } {u, v, } 规定 : x x , x S , y y, y R S 运算
p 是素数. Z /( p ) 定理9： 是域
2015-3-10
练习： 求Z12的全部最大理想.
2015-3-10
( : a ker (a) )
2015-3-10
例5
Z[ x] / ( x 1) Z[i]
2
（ : f ( x) f (i)
Z[ x ] ~ Z[i ]
Ker ( x 2 1)
）
定理7
子环与理想在同态满射之下不变.
2015-3-10
三、最大理想 定义3：一个环 R 的一个不等于 R 的理想 I 叫做 一个最大理想，假如， 除了 R 同 I 自己以外，没有包含 I 的理想. 例6： 求整数环的所有最大理想. 所有理想：
2015-3-10
问：同态环有无零因子传递吗？ 例1 R 为4阶循环环，即 R {0, a, 2a, 3a} ，且 a 2 a .
: n na, (n Z ) Z~R 2 2a 2a 4a 4a 0 R 有零因子， Z 无.
2015-3-10
例2
做成环. : (a, b) a, (a, b Z ) R 的零元是 (0, 0) ，而
又令 S {( a, 0) | a Z }
SZ
Z
((a, 0) a) ( R S)
R Z {(a, b) | 0 b Z }, Z R
RR
2015-3-10
二、环同态基本定理 定理 5 R ~ R / I （ :aa I ） 定义2 设 为环 R到R 的同态,称集合 Ker {a R | (a) 0} 为同态 的核. 定理6（环同态基本定理）设 为环 R到R 的同态满射,则 (1) Ker为R的理想; ( 2) R / Ker R
( d ) dZ , d 0
是素数.
(d )
是最大理想
d
2015-3-10
引理 剩余类环R/I只有平凡理想 I是最大理想. 引理2：如果一个有单位元的交换环R 只有平凡理想， 那么R一定是一个域.
引理1：假定 I≠R 是环 R 的理想，
2015-3-10
定理8：假定R是一个有单位元的交换环，
2015-3-10
x y ( 1 ( x) 1 ( 1 ( y '))
例4 设环
R {(a, b) | a, b Z },
(a1 , b1 ) (a2 , b2 ) (a1 a2 , b1 b2 ), (a1 , b1 )(a2 , b2 ) (a1a2 , b1b2 )
(1) (a b) (a) (b) (2) ( a b) ( a) ( b)
如果 既是单映射又是满映射,则称 为同构，记作 : R R ,并称 R与R 同构.
2015-3-10
定理1 若 R 与 R 是各有两个代数运算的系统， 且 : R ~ R ，则当 R 是环时，R 也是环. 定理2 若 R 与 R 是环，且 : R ~ R ，则 (2) ( a) (a) (1) (0R ) 0R n n (3) (a ) ( (a)) (4)当 R 是交换环时，R 也是交换环； (5)当 R 是有单位元环时，R 也是有 单位元环时，且 1R (1R ).
近世代数
第三章 环与域 §5 环的同态、最大理想
2015-3-10
一、环同态的定义与性质 定义1 设 R和R 是两个环, 是集合 R到R 的映射.如果对任意的 a, b R ,有 ，则称 为环 R到R 的一个同态. 如果 为满映射,则称 为满同态, 记作 : R ~ R ,并称 R与R 同态.
R {(a, b) | a, b Z }, (a1 , b1 ) (a2 , b2 ) (a1 a2 , b1 b2 ), (a1 , b1 )(a2 , b2 ) (a1a2 , b1b2 )
R~ Z
( a, 0)(0, b) (0, 0)
，故 R 有零因子, Z 无. 注：同态环有无零因子不具传递性； 同态环性质不完全传递； 但是同构环性质完全相同.
2015-3-10
定理3 若 R 与 R 是环，且 R R ，则
R 是无零因子环（整环、除环、域）
R 是无零因子环（整环、除环、域）
2015-3-10
定理4（环的挖补定理） 设 S 为环 R 的子环，且 S 与环 S 同构， 即 R S S ，又若 S ( R S ) ，即 S 与 S 在 R 里的余集无公共元素，则存在 环 R ,使 R R ， S R. 证明: 令 S {a, b, }, S {a , b , }, x x , R S {u, v, } R S ( R S ) {a, b, } {u, v, } 令 R S ( R S ) {a , b , } {u, v, } 规定 : x x , x S , y y, y R S 运算