第15讲 环的理想

作业：P89, 5.
(ab + ar + sb) + I = ab + I (a, b∈R, s, r∈I)
ar + sb ∈I. (a, b∈R, s, r∈I) ar, ra ∈I. (a∈R, r∈I). (＊)
定理2.6.1 定义1 设 I 是环 R 的子集, 如果 a∈R, s, t ∈I 有 (1) s－ t ∈I; (2) sa, as∈I; 则称 I 为R的理想, 记为 Ｉ◁Ｒ．
命题
设R是环, a∈R . 则主理想 (a)=∩{a} H◁R H (R可换) = aR = Ra.
设 I 是环 R的 子加群, 如果 a∈R, s ∈I 有
sa ∈I; as
则称 I 为R的 右理想, 左理想,
记为Ｉ lrＲ. ◁ Ｒ.
(a)r= aR是右理想,
(a)l = Ra 是左理想.
扩 张 理 论
商环Ｒ／Ｉ
设I是环R的子加群, 希望在商群R/I上定义运算 a,b∈R, (a+I)(b+I)=ab+I,
使商群R/I作成一个环. 这里必须分析定义的合理性,
即c∈(a +I), d∈(b +I) 有 (a+I)(b+I)= (c+I)(d+I), 即 ab+I= cd+I.
设 c = a + s, d = b + r, s, r∈I, 则有 cd+I=(a+s)(b+r)+I=(ab+ar+sb+sr)+I = (ab+ar + sb)+I . 于是 cd + I = ab + I (a, b∈R)
第15讲
环的理想
数学 是人类先进文化的典范，是科 学研究的基础，是技术创新的艺术。 是发展基础教育，提高国民素质不可 缺少的文化。
群 论 方 法 正规 子群 商群Ｇ／Ｎ 群结 构的 基本 单元 反 馈 过 程 加群的商群 分类：陪集空间
平移到环论中
是环 加Ｒ 群的 的子 子环 群Ｉ
环的陪集分解
单 群 分 类
Hale Waihona Puke 证明 (1) r,s∈ker( f ), a∈R. f(r s)=f(r) f(s) f 0 r s∈ker( f ), (2) 令： R/ker( = ) T Im( f )，a+ker( f ) f(a) , 则 的定义是良性的： a T ker( f ) =b + ). 同理, f(ar)=f(a) f(r)=f(a) 0T =0+ ar∈ker( f ker( f ) ra∈ker( f ). a b ∈ ker( f ) f(a) f(b)= f(a b)=0T f(a) = f(b) 所以, ker( f ) ◁R.
( a + ker( f ))= (b + ker( f ) ).
上述过程同时还证明了 是单射. 显然, 是满射.
故 是双射. 最后, 容易验证 保持运算。故 是同构.
生成理想
设S是环R的非空子集,
在R的包含S的所有理想中, 按包含关系,
最小的一个称为由 S 生成理想, 记为 (S). 由一个元素 a 生成的理想 称为主理想. 记为 (a).
设I是环R的理想,在商群R/I 上定义运算: a,b∈R, (a+I)(b+I)=ab+I, (a+I)+(b+I)=a+b+I,
则 (i) R/I作成一个环, 称为R对 I 的商环. (ii) 映射 f : R R/I, a a+I 是环同 态, 称为R到商环的自然同态. 证明 直接验证即得. 其零元是 I, 单位元是 1+I.
例6
每个环R都有两个理想：
R和{0},
都叫做R的平凡理想 .
其中, {0}又叫零理想; R是唯一含有单位元的理想. 只有平凡理想的环叫做单环
域是单环.
定理2.6.2(环的同态基本定理) 设 f : R T 是环同态, 则 (1) 核ker( f ) ◁R； (2) R/ker( f ) ≌Im( f )。
♥2.6 理想和同态定理
定义
设Ｒ是环,
Ｍ◁R.
如果M ≠R, 且 Ｍ H◁R Ｍ=H 或 H=R. 则称 M 是 R 的 极大理想.
定理 设R是交换环, I是R的理想, 则R/I是域I是R的极大理想.
定理 设R是交换环, I是R的理想,则R/I是域I是R的极大理想.
证明 必要性. 设R/I是域, I N◁R且N ≠ I, 则N/I◁R/I, 域是单环 N/I=R/I N=R . 所以, I 是 R 的极大理想. 充分性. 设 I 是 R 的极大理想, 则 I≠R 交换环R/I 至少有两个元, 任取R/I的非零元 a +I, a I , 求 b∈R 使 (a+I)(b+I)=1+I, 即 ab+I=1+I, 等价于求 b∈R, m∈I 使 ab+m=1. 为此,考虑N={ab+m: b∈R, m∈I}. 则 N ◁ R N = R 1∈N. 得证. ■