Gauss整数环的主理想及其商环研究

Gauss 整数环的主理想及其商环研究摘要:本文给出了Gauss 整数环的若干性质,并用一种新的初等方法解决了文献[1]中提出的一个猜想: Gauss 整数环的商环[]()Z i n m i +元素个数是22m n +. 关键词:Gauss 整数环;商环;素元;主理想;单位Research the Principal Ideal and Quotient Ring ofGaussian Integral DomainWang xiao-juan(Department of Mathematics,Xiaogan University 031114328)Abstract :This paper gives some proterties of Gaussian integral domain, and proves the two conjectuires of Arch.[1] with a new and elementary method. In light of the Gaussian integral domain,the number of elements of its ring of quotients is 22m n +. Key words : Gaussian integral domain; quotient ring; prime element; principal ideal;unit.1 介绍在文献[1]中,提出两个猜想 :(1) Gauss 整数环的商环[]()Z i n mi +元素个数是22m n +;(2) 对于[]()Z i n i +,显然1,2i i ++为素元,问n i +形式的素元是否为无穷多.文献[1]证明了:对0m = (或0n =)以及1m =但n 任意(或1n =但m 任意)的情形有[]()Z i n mi +的元素个数恰为22m n +.近期有关Gauss 整数环的商环[]()Z i n mi +所含元素的个数, 文献[12]-都讨论了这个问题,并得到了很好的结果,即︱[]()Z i n mi +︱=22m n +其中()n mi +表示由n mi +所生成的主理想.本文以一种新的初等的方法明确了[]()Z i n mi +的元素个数就是22m n +,为了解决上述两个猜想,首先给出Gauss 整数环的一些相关定义. 我们用X 表示集合X 的元素个数，n mi +的范数用22()N n mi m n +=+来表示，α表示Gauss 整数环中的元素α的共轭.下面给出Gauss 整数环的一些相关定义：设Z 表示整数环，i 表示虚数单位，则高斯整数环[]Z i 是指一切形如a bi + (2,,1a b Z i ∈=-)的复数关于数的普通加法与乘法作成的环, 高斯整数环中的元素称为高斯整数.因此我们有以下定义：定义1 设Z 表示整数环,则环[]{|,}Z i a bi a b Z =+∀∈称为Gauss 整数环. 定义2 若环R 的非空子集I 满足下面条件:（1）I 是一个子加群；（2） 对任意a ∈I , r ∈R ,元素,ar ra 都在I 中.此时我们称I 是环R 的一个理想.定义3 我们称环(R /I ,+,.)为环R 关于理想I 的商环,其中R /I ,={a + I ,a ∈R }(a +I )+(b +I )=()a b ++I(a +I ).(b+I )=ab I +定义4 设H =()n mi +={()()|,}x yi n mi x y Z ++∀∈为[]Z i 的一个主理想. 2 性质Gauss 整数环有下列显然的基本性质:命题1 []Z i 的单位(可逆元)是1,1,,i i --.证明 设[]x y i Z i +∈， x y i +可逆，其逆元为[]a bi Z i +∈，则()()1x yi a bi ++=两边取模并平方，得到2222()()1x y a b ++=由于22()x y Z +∈，22()a b Z +∈，故221x y +=，于是10x y =⎧⎨=⎩，或10x y =-⎧⎨=⎩，或01x y =⎧⎨=⎩，或01x y =⎧⎨=-⎩ 即[]Z i 的单位(可逆元)是1,1,,i i --.命题2 []Z i 是欧氏环,因而是主理想环和唯一分解环证明 见文献[3]中.命题3[4] []Z i 中的素元当且仅当是不可约元。

证明 设α为[]Z i 中的不可约元，并有αβγ（,[]Z i βγ∈），由命题2知： []Z i δ∃∈，使得(,)()αβδ=令1212,,,[]Z i αεδβεδεε==∈,因为α是Z[i]的不可约元，故1,εδ中必有一个是单位。

若1ε是单位，则11121,()δεαβεεα--==即αβ 若δ是单位，由()(,)δαβ=故可设3434,,[]Z i δεαεβεε=+∈，于是11241δεαδεβ--=+则1124γδεαγδεβγ--=+，由 于α|βγ及α|αγ，所以α|γ,因此α是[]Z i 中的素元。

反之，设α是z[i]的素元，若αβγ=,则有α|β或α|γ,不妨设α|β，可设βεα=[]Z i ε∈,故()αβγεγα==，由[]Z i 是无零因子环，所以有1εγ=，即得γ是单位，故α是不可约的。

命题[4]4 设[]Z i α∈，如果()N α是z 中的素数，则α是Z[i]的素元；若β是Z[i]中的素元则β也是[]Z i 中的素元。

证明 设[]a bi Z i α=+∈,由22()N a b α=+是Z[i]中的素数，若α是Z[i]中的可约元，可设1212,,ααααα=⋅均不是Z[i]中的单位，由1212()()(),(),()N N N N N ααααα=均不为1，与()N α是Z[i]中的素数矛盾，所以α是Z[i]中的不可约元， 由命题3知α是z[i]中的素元。

设12121212()()b b i b b i c c i d d i β=+=+=++，则12121212()()()()c c i d d i c c i d d i ββ==++=-- 由β可约可知β可约，因此β是Z[i]中的素元，则β也是。

命题[4]5 设α是Z[i]中的素数且1(mod 4)p ≡,当且仅当P 中Z[i]中的可约元。

由文献[5]5455p -中的高斯平方和定理即知命题5成立。

3 商环定理1 22[]()Z i m n n mi =++，这里记()H n mi =+，则元素z 所在的陪集记为:{}()(),,z H z x yi n mi x y Z +=+++∀∈，简记为[]z引理1［３］ 设H 是环R 的一个理想，则12z H z H +=+，即12[][]z z =的充分必要条件是12z z H -∈定理1的证明当(,)1m n =时，下证220,1,2,,1m n +-这22m n +个数在不同的陪集中，即 x y ∀≠,对,a b ∈22{0,1,2,,1}m n +-,有a b H -∉，即设2201b a m n <<<+-，有对任何,x y Z ∈,()()a b x yi n mi -≠++,令c a b =-即对任何0<c<22m n +都有 ()()c x yi n mi ≠++(反证法)假设()()c x yi n mi =++，则有0n x m y c m x n y -=⎧⎨+=⎩ (1)(2) 由(2)式mx ny =-及(,)1m n =得 m|ny, n|mx 故m y ，n x∴令,y ms x nt ==并将其代入mx ny =-得 mnt mns =-0mn ≠∴s t =-即,x nt y mt ==-再代入(1)式得22()t m n c +=0c > ∴0t >∴2222()c t m n m n =+≥+与上式0<c<22m n +矛盾∴当(,)1m n =时有22[]()Z i m n n mi =++成立 下证:对任意[]u vi Z i +∈,必存在整数c 且2201c m n ≤<+-使得 u vi c H +-∈或()()c u vi n mi -+∈+(,)1m n =∴,,.s t Z s t ∃∈ 1ms nt +=等式两边同乘以v 得 ms vn t v v += ∴()u vi u msv ntv i +=++=()()n mi vs vti nvs mvt u ++-++=()()()v s ti n mi u mvt nvs ++++-=22()()()v s ti n mi m n q r +++++=()n mi z r ++其中220,r m n q Z ≤<+∈ ∴()()u vi r H n mi +-∈=+∴u vi +在陪集[]r H r +=中即 22[][],(01)u vi r r m n +=≤≤+-引理[6]2 设R 是一个环,I 与J 都是R 的理想,I J ⊂则//R R I J J I ≅,由环的第二同态基本定理得 ||||/||R R J J I I= 对Gauss 整数环[]Z i ,主理想(){I n mi =+=()()|,}x yi n mi x y Z ++∀∈若(,)1m n d =>,则11,,.m n Z s t ∃∈ 11,m m d n n d ==且11(,)1m n ={}()(),,I x yi n mi x y Z =++∀∈={}11()(),,d x yi n mi x y Z ++∀∈若主理想11()J n m i =+{()(x yi =+11)n m i +|,}x y Z ∈则显然I J ⊂且有11[][]||||/||()()Z i Z i J n m i n mi I=++ ∴2211[]||()/||()Z i J m n n mi I =++ 下证2||J d I=: 在J 中选取2d 个元素:()k li +(11)n m i +J ∈ (3) 其中,0,1,2...,1k l d =-对(3)中的任意两个不同的元素α与β:1111()()k l i n m i α=++β=2211()()k l i n m i ++其中1122,,,k l k l 不全相同，即坐标 1122(,)(,)k l k l ≠ 则αβ-=121211[()()]()k k l l i n m i -+++下证:I αβ-∉(反证法)假设I αβ-∈,则121211[()()]()k k l l i n m i -+-+11()()d x yi n m i =++11(,)0n m ≠∴1212()()k k l l i -+-dx dyi =+∴12k k dx -=12l l dy -=∴1212||d k k d l l -⎧⎨-⎩ 这显然矛盾,故假设不成立 即商环J I至少有2d 个不同的陪集 又对 γ∀()(x yi =+11)n m i +J ∈由带余除法,设11x q d x =+,21y q d y =+其中11(0,0)x d y d ≤<≤<则γ()(x yi =+11)n m i +=[(11q d x +)+(21q d y +)i 11]()n m i +1211()()d q q i n m i =+++1111()()x y i n m i ++所以γ-1111()()x y i n m i ++=1211()()d q q i n m i ++=12()q q i +()n mi +I ∈这说明γ与元素1111()()x y i n m i ++在同一个陪集中,而1111()()x y i n m i ++必为(3)中的一个元素，故商环J I中元素的个数为2d . 即 2||J d I= . 4 素元对于Gauss 整数环[]Z i ,它的元素可以分为两部分,一部分是整数,另一部分是形如,,a bi a b Z +∈的元素.下面讨论[]Z i 中的素元及形如n i +的素元的个数. 首先，[]Z i 中的非素数肯定不是[]Z i 中的素元，因为素元要求除本身及单位外无其它因子，故只有素数才可能是[]Z i 中的素元．但素数在[]Z i 中是素元，在[]Z i 中则不一定．如素数2，在[]Z i 可分解为2(1)(1)i i =+-,1i ±都不是2的相伴元．显然它不是[]Z i 中的素元.引理[9]1 若[]a bi Z i +∈，a bi +是素元,且,0a b ≠ 则(,)1a b =应用反证法．不难看出结论是显然的。