Gauss整数环及其推广

目录摘要 (1)关键词 (1)Abstract. (1)Key words (1)引言 (1)1 高斯整数环及其商环的定义 (1)定义1.1 Gauss整数环的定义 (1)定义1.2商环的定义 (1)定义1.3范数的定义, (1)定义1.4素元的定义 (1)2 有关高斯整数环的一些引理 (2)引理2.1. (2)引理2.2 (2)引理2.3 (2)引理2.4 (2)3 高斯整数环及其商环的性质 (2)性质3.1 (2)性质3.2 (2)性质3.3 (3)性质3.4 (3)性质3.5 (3)性质3.6 (4)4Gauss整数环的一些定理 (4)4.1Gauss整数环素元的判定条件 (4)4.2Gauss整数环的欧氏环性 (5)4.3 (5)5 高斯整数环的性质和定理的实际应用 (6)6 结束语 (8)致谢 (8)参考文献 (8)Gauss 整数环及其推广数学与应用数学专业学生 颜双喜指导老师 李荣摘要：高斯整数环是近世代数中极为重要的一个概念，本文探讨了Gauss 整数环及其商环的定义和一些性质, 引入素元定义，并探讨Gauss 整数环中素元的性质.证明了Gauss 整数环是欧氏环和通过构造一个映射证明s ,并给出适当例题.关键词：高斯整数环 商环 素元Gaussian integer ring and promotion of itPure and Applied Mathematics Yan ShuangxiTutor Li RongAbstract ：Gaussian integer ring is an extremely important concept in modern algebra. This paper discusses definition and properties of Gaussian integer ring and Quotient ring. It also introduces the concept of Prime element, explores its properties in Gaussian integer ring and proves that Gaussian integer ring is a Euclidean ring .Through a mapping, it proves ()2Z[i][x]1x ≅+ andprovides some examples.Key words ：Gaussian integer ring; Quotient ring,; Prime element 引言：1801年, 高斯出版了著作《算术研究》, 深入研究二元二次型22ax bxy cy n ++=的整数解问题(其中a ，b ，c ，n 均为整数).以方程222x y +=为例, 他把此方程写成()()n x iy x iy =+-的形式, 其中i =高斯研究形如a ib +的数(其中a 和b 是整数), 这种数现在称为高斯整数.高斯整数所成的集合[]z i 中可以进行加减乘运算, 这是一个交换环, 称为高斯整数环.1 高斯整数环及其商环的定义定义1.1 设Z 为整数集, 定义[]{}2,,1Z i a bi a b Z i =+∈=-, 则[]Z i 是一个环, 称为高斯整数环.定义1.2 设N 是[]Z i 的一个主理想, 称Z[ i] 的模N 的剩余类为商环, 记为[]Z i N .定义1.3 设[]a bi Z i α=+∈, 定义()22a b ϕα=+为[]Z i 中元素α的范数. 显然, ()ϕα为非负整数[]a bi Z i α=+∈,且有()()()ϕαβϕαϕβ=,[]Z i β∈. 定义1.4 设[]p Z i ∈, 如果p 既不是[]Z i 的零元, 也不是单位, 并且p 只有平凡因子, 称p 是[]Z i 中的素元.2 有关高斯整数环的一些引理引理2.1 若[]Z i α∈.α为一单位, 则有[]Z i β∈, 使得1αβ=.引理2.2 设m ni +是[]Z i 的素元, 则[]{}[]()()()()[]{}[][]()22,(1){(1)()[]}()()()[],:[],[],,Z x X ax b a b z X x x f x Z x ax b ax b Z x X ax b cx d a c x b dax b cx d ad bc x bd ac ax b cx dZ x X Z i a bi a b Z Z i Z x X ai b ax bax b Z x X ai b Z i ai b ax bai b ci d a c b dax b cx d σσ=+∈=+=+∈+=++++=+++++=++-+=+=+∈→+→+∀+∈+∈+=++=+==+=+是一个域.引理2.3 设[]Z x 是整数环Z 上的一元多项式, []Z x 的元()11110n n n n g x a x a x a x a --=++⋅⋅⋅++的最高系数n a 是Z 的一个单位. 那么[]Z x 的任意多项式()()()()f x q x g x r x =+, 其中()()[],q x r x Z x ∈,()0r x =或者()r x 的次数小于()g x 的次数n .引理2.4 设[]Z i 的子环{},S ma nb nci m n Z =++∈, 其中,,a b c Z ∈, 并且0c ≠时, ()22a b c +, 则：(1)当0c =时, S 是[]Z i 的理想当且仅当0a b ==；(2)当0c ≠时,S 是[]Z i 的理想当且仅当c a ,c b ，22b c c a+. 3 高斯整数环及其商环的性质性质3.1 若[]a bi Z i +∈，a bi +是素元,且,0a b ≠ 则(,)1a b =应用反证法．不难看出结论是显然的.性质3.2 []Z i 的单位(可逆元)是1,1,,i i --证明 设[]x yi Z i +∈， x yi +可逆，其逆元为[]a bi Z i +∈，则()()1x yi a bi ++=两边取模并平方，得到2222()()1x y a b ++=由于22()x y Z +∈，22()a b Z +∈，故221x y +=，于是10x y =⎧⎨=⎩，或10x y =-⎧⎨=⎩，或01x y =⎧⎨=⎩，或01x y =⎧⎨=-⎩ 即[]Z i 的单位(可逆元)是1,1,,i i --.性质3.3 []Z i 是欧氏环,因而是主理想环和唯一分解环证明 见文献[3]中.性质3.4 []Z i 中的素元当且仅当是不可约元.证明 设α为[]Z i 中的不可约元，并有αβγ（,[]Z i βγ∈），由命题2知： []Z i δ∃∈，使得(,)()αβδ=令1212,,,[]Z i αεδβεδεε==∈,因为α是Z[i]的不可约元，故1,εδ中必有一个是单位.若1ε是单位，则11121,()δεαβεεα--==即αβ若δ是单位，由()(,)δαβ=故可设3434,,[]Z i δεαεβεε=+∈，于是11241δεαδεβ--=+则1124γδεαγδεβγ--=+，由 于α|βγ及α|αγ，所以α|γ,因此α是[]Z i 中的素元.反之，设α是z[i]的素元，若αβγ=,则有α|β或α|γ,不妨设α|β，可设βεα=[]Z i ε∈,故()αβγεγα==，由[]Z i 是无零因子环，所以有1εγ=，即得γ是单位，故α是不可约的.性质3.5 设[]Z i α∈，如果()N α是z 中的素数，则α是Z[i]的素元；若β是Z[i]中的素元则β也是[]Z i 中的素元.证明 设[]a a bi Z i =+∈,由[]N α是[]Z i 中的素数，若α是[]Z i 中的可约元，可设12ααα=⋅，1α，2α均不是[]Z i 中的单位，由均不为1，[]N α与是[]Z i 中的素数矛盾，所以α是[]Z i 中的不可约元， 由命题3知α是[]Z i 中的素元. 设()()12121212b b i b b i c c i d d i β=+=+=++，则12121212()()()()c c i d d i c c i d d i ββ==++=-- 由β可约可知β可约，因此β是[]Z i 中的素元，则β也是.性质3.6 设α是Z[i]中的素数且1(mod 4)p ≡,当且仅当P 中Z[i]中的可约元。

由文献[5]5455p -中的高斯平方和定理即知命题5成立.4 Gauss 整数环的一些定理4.1 Gauss 整数环素元的充要条件若[]a bi Z i +∈,且,0a b ≠,则a bi +是素元的充要条件是：22a b +是素数. 证明 （充分性）设有11,a b i +22[]a b i Z i +∈使得1122()()a bi a b i a b i +=++∴22a b +2211()a b =+2222()a b + 因22a b +是素数，∴22111a b +=或22221a b += ∴11a b i +或22a b i +是单位a bi ∴+是素元（必要性）假设有自然数12,n n ，使 2212a b n n +=，另一方面，由于22a b +()()a bi a bi =+-，而a bi +是素元∴a bi +|1n 或a bi +2|n不妨设a bi +|1n ,即存在[]x yi Z i +∈使得()()a bi x yi ++=1n ，根据引理1应有(,)1a b =,进一步根据引理2，得22a b +|1n∴有自然数k 使(22a b +)1k n =,代入2212a b n n +=，得到22a b +=(22a b +)2.k n∴2.k n 1=∴21,1k n ==∴22a b +是素数.4.2 Gauss 整数环是欧氏环证明 定义()22v a bi a b +=+,对任何[]a bi Z i *+∈.任取[]a bi Z i α*=+∈，[]c di Z i β=+∈，下面我们来找[],q r Z i ∈使q r βα=+其中0r =或()()v r v α<.令q u wi =+,则()()()2222ac bd ad bc r q c di u wi a bi a bi u w i a b a b βα⎡+-⎤⎛⎫⎛⎫=-=+-++=+-+- ⎪ ⎪⎢⎥++⎝⎭⎝⎭⎣⎦, 总可选择适当的整数u 与 w ，使0r =或2212ac bd u a b +-≤+,2212ad bc w a b --≤+ 利用复数性质可得()()()1212v v v αααα=,可得()()()221122v r v a bi v a bi ⎡⎤⎛⎫⎛⎫≤++<+⎢⎥ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎣⎦即存在[],q r Z i ∈使 q r βα=+,其中0r =或()()v r v α<所以[]Z i 是欧氏环.4.3 Gauss 整数环[]Z i 同构于x 的整系数多项式环[]Z x 对于理想2(1)X x =+的商环[]Z x X .证明 因[]Z x 是有单位元的交换环, 所以22(1){(1)()[]}X x x f x Z x =+=+∈故()[]f x Z x ∀∈, 由引理2, 有2()()(1)f x q x x ax b =+++, 其中,a b Z ∈, 即2()[mod(1)]f x ax b x ≡++因,[]ax b cx d Z X ∀++∈, 当且仅当,a b c d ==时等号成立, 所以[]{},Z x X ax b a b z =+∈, 而ax b ax b +=+ .[]Z x X 的加法和乘法分别表示为()()()()ax b cx d a c x b d +++=+++；()()()()ax b cx d ad bc x bd ac ++=++-由此可见, []Z x X 由一些剩余类ax b +组成,a b z ∈，当且仅当，,a b c d ==时，ax b cx d +=+.下证[][]Z i Z x X ≅,{}[],Z i a bi a b Z =+∈.建立映射[]:[],Z i Z x X ai b ax b σ→+→+ ⑴[]ax b Z x X ∀+∈，有[]ai b Z i +∈，使得()ai b ax b σ+=+，故σ是满射；又若ai b ci d +=+则,a c b d ==，因此ax b cx d +=+，故σ是单射；因此σ是一一映射。