人教版九年级数学上册22.1.3 二次函数的图像和性质(第1课时)一等奖优秀教学设计
人教版义务教育课程标准实验教科书九年级上册
22.1.3. 二次函数的图像和性质教学设计
一、教材分析 1、地位作用：
二次函数y=ax 2+k 的图像和性质是人教版九年级数学上册第二十一章第三节第一课时的内容，是在学生学习了二次函数的基本概念及y=ax 2的图像和性质之后引入的新内容。
本节课的教学内容既是对y=ax 2的图像和性质的引申，也是后面研究y=a(x-h)2+k 和一般形式的二次函数图像性质的基础。
所以，学习本节内容我们既要对前段的内容进行升华，又要对后段内容进行启发。
2、教学目标：
（1）能够准确绘制y=ax 2+k 二次函数图像；通过图像发现和研究二次函数y=ax 2+k 的性质。
（2）会应用二次函数的性质解决问题.
（3）经历观察，推理和交流等过程，获得研究问题与合作交流的方法和经验；体验数学活动中的探索性和创造性。
3、教学重、难点
教学重点：用描点法画二次函数的图像；探索二次函数y=ax 2+k 的图像特点和性质。
教学难点：二次函数y=ax 2+k 的性质的应用。
突破难点的方法：类比一次函数的平移和二次函数2ax y 的性质学习，构建一个知识体系。
二、教学准备：多媒体课件，几何画板.
三、教学过程:。
《二次函数y=a(x-h)2+k的图象和性质》优质课一等奖课件
左
y = a( x - h )2 + k
上
右
下
平
（h，k）
平
移
移
（0，k）
y = ax2 + k
顶点 坐标
（h，0） y = a(x - h )2
温馨提示： 1.上下平移，
括号外 上加下减； 2.左右平移，
上下平移
（0，0）
y = ax2
左右平移
括号内 左加右减.
3.二次项系数a不变.
课 1.抛物线y=-3(x+2)2-4的顶点坐标是 （-2，-4） ，当x ≤ -2 时，函
数值y随x的增大而增大.
堂 2.若抛物线的对称轴为x=-1，与x轴的一个交点坐标为（1,0），则这条抛物
练
线与x轴的另一个交点是 （-3 ，0）.
3.已知二次函数的图象顶点坐标为（-4，3），且经过坐标原点，则这个二
开口方向 对称轴
顶点坐标 函数的增减性
最值
向上
向下
直线 x=h
直线 x=h
（h,k）
当x<h时，y随x增大而减小；当x>h时， y随x增大而增大.
x=h时，y最小值=k
（h,k）
当x<h时，y随x增大而增大；当x>h时， y随x增大而减小.
x=h时，y最大值=k
第二十二章 二次函数
22.1.3 二次函数y=a(x-h)2+k的图象和性质
若命中篮圈中心，则她与篮底的距离l是( B )
力
A. 3.5 m
提Leabharlann B. 4 mC. 4.5 m
升
D. 4.6 m
第二十二章 二次函数
人教版九年级数学上册22.1.3二次函数 的图像和性质(第一课时)
>2
x轴上方，则k____；若顶点位于x轴下方
，则k
<2
.
课堂检测
基础巩固题
5.不画函数y=-x2和y=-x2+1的图象回答下面的问题：
（1）抛物线y=-x2+1经过怎样的平移才能得到抛物线y=-x2.
向下平移1个单位.
>0
（2）函数y=-x2+1，当x
对称轴右侧y随x增大而减小
__________________________
探究新知
二次函数y=ax2+k（a≠0）的性质
y=ax2+k
a＞0
a＜0
开口方向
向上
向下
对称轴
y轴（x=0）
y轴（x=0）
顶点坐标
（0,k）
（0,k）
最值
增减性
当x=0时，y最小值=k 当x=0时，y最大值=k
当x＜0时，y随x的
是 y轴 ，在 对称轴左 侧，y随着x的增大而增大；
在 对称轴右侧，y随着x的增大而减小.
探究新知
知识点 4
二次函数y=ax2+k的图象及平移
从数的角度探究
解析式
点的坐标
y=2x2-1
-1
(x, 2x2-1 )
+1
y=2x2
(x, 2x2 )
y=2x2+1
(x, 2x2+1)
函数对应值表
x
…
y=2x2-1
(0，-1)
y=x
2
探究新知
素养考点 1
二次函数y = ax2 +k的图象的画法
人教版数学九年级上册22.1.3二次函数的图像(1)课件
y y＝x2+1
y = x2
y＝x2-1
x O1
知识梳理
（一）抛物线y=ax2+k特点：
1.当a>0时，开口向 ；当a<0时，开口 ；
2. 顶点坐标是
；
3. 对称轴是
。
（二）抛物线y=ax2+k与y=ax2形状相同，位置不同，y=ax2+k
是由y=ax2 平移得到的。
二次函数图象的平移规律：上 下 。
，它们
的形状__________，当x= 时，y有最 值是 。
3．由抛物线y=5x2-3平移，且经过（1,7）点的抛物线的解析式
是
，是把原抛物线向 平移 个单位得到的。
4. 写出一个顶点坐标为（0，－3），开口方向与抛物线y=-x2
的方向相反，形状相同的抛物线解析
式
．
当堂反馈
5. 抛物线y=4x2+1关于x轴对称的抛物线解析式为 _________________．
探索知新
（一）画二次函数y＝x2，y＝x2+1，y 1 2 3 …
y＝
x2+1
…
…
y＝x2-
1
… 开口
方向
顶 点
对 称 轴
有最 高(低)
点
增减… 性
y y＝x2+1
y = x2
22.1.3 二次函数的y=a(x-h)2+k的图像和性质2024-2025学年人教版数学九年级上册
的解析式为 = −. − ，则=____
(3) 若抛物线 = + 的最小值为 4，且经过点(1，5)，
则该抛物线的解析式是_________，将此抛物线向下平移
3
= +
= +
个单位，得到的新的抛物线的解析式是__________.
课堂小结
第二十二章 二次函数
22.1 二次函数的图象和性质
第3课时 二次函数的
= ( − ) +的图像和性质
第1节 二次函数 = + 的图像和性质
第2节 二次函数 = ( − ) 的图象和性质
第3节 二次函数 = ( − ) +的图象和性质
九年级上册•人教版
学习目标
中的三条抛物线分别表示桥上的三条钢梁,轴表示桥面,轴经过中
间抛物线的最高点,左右两条抛物线关于轴对称.经过测算,中间抛
物线的函数解析式为 =
−
+ .
你能计算出中间抛物线的最高点离轴的高度吗?
O
猎豹图书
x
获取新知
例1
在同一直角坐标系中，通过画出二次函数 = + ，
1 x2
y
;把抛物线
2 向右 平移 1 个单位就
得到抛物线y - 12（x-1）
2
(
− )
平移
的图象还可以由抛物线
2
个单位得到.
y
O
-4
-2
2
y - 1（x-1）
2
2
4 x
-2
2
y - 1（x+1）
2
-4
-6
-8
人教版九年级上册22.二次函数的图像与性质课件(共129张)
一般地，二次函数 y = ax2 + bx + c（a≠0）的图象叫做抛物线y = ax2 + bx + c
思考：这个二次函数图象有什么特征？
（1）形状是开口向上的抛物线
9
6
（2）图象关于y轴对称
3
（3）有最低点，没有最高点
－3
3
y轴是抛物线y = x 2 的对称轴，抛物线y = x 2 与它的对称 轴的交点（0,0）叫做抛物线y = x2 的顶点，它是抛物线y = x 2 的最低点．
联系(1)等式一边都是ax2＋bx＋c且 a ≠0 (2)方程ax2＋bx＋c=0可以看成是 函数y= ax2＋bx＋c中y=0时得到的. 区分:前者是函数.后者是方程.等式另一 边前者是y,后者是0
知识运用
例1:下列函数中，哪些是二次函数？
(1)y=3x-1 (不是 )
(2)y=3x2 （ 是 )
画形如y=ax2的函数图像： 1、函数y=x2的图像；视察y=x2的表达式,选择适当x值,并计算 相应的y值,完成下表：
x … -3 -2 -1 0 1 2 3 … y=x2 … 9 4 1 0 1 4 9 …
描点,连线 y 10
y=x2
8
6
4
2
?
-4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 x -2
…二次函数的图像和性质…
• y=ax2的函数图像 • y=ax2 +k 的函数图像 • y=a(x-h)2的函数图像 • y=a(x-h)2 +k 的函数图像 • y=ax2+bx+c 的函数图像
…二次函数的图像和性质…
• y=ax2的函数图像 • y=ax2 +k 的函数图像 • y=a(x-h)2的函数图像 • y=a(x-h)2 +k 的函数图像 • y=ax2+bx+c 的函数图像
2024年人教版九年级数学上册教案及教学反思全册第22章 二次函数的图象和性质第1课时教案
22.1二次函数的图象和性质22.1.3二次函数y=a（x-h）²+k的图象和性质（第1课时）一、教学目标【知识与技能】1.能画出二次函数y=ax2+k的图象；2.掌握二次函数y=ax2与y=ax2+k图象之间的联系；3.掌握二次函数y=ax2+k的图象及其性质.【过程与方法】通过画二次函数y=2x2+1与y=2x2-1的图象，感受它们与y=2x2的联系，并由此得到y=ax2与y=ax2+k的图象及性质的联系和区别.【情感态度与价值观】在通过类比的方法获取二次函数y=ax2+k的图象及其性质过程中，进一步增强学生的数形结合意识，体会通过探究获得知识的乐趣.二、课型新授课三、课时第1课时，共3课时。
四、教学重难点【教学重点】1.二次函数y=ax2与y=ax2+k的图象之间的联系；2.二次函数y=ax2+k的图象及其性质.【教学难点】二次函数y=ax2+k的性质的基本应用.五、课前准备课件、三角尺、铅笔等六、教学过程（一）导入新课这个函数的图象是如何画出来呢？（出示课件2）（二）探索新知探究一二次函数y=ax2+k图象的画法在同一直角坐标系中，画出二次函数y=x2,y=x2+1,y=x2-1的图象.（出示课件4）学生自主操作，画图，教师加以巡视，纠正画图过程中可能出现的失误，并引导他们进行分析，发现规律，获得感性认识.1.列表：x…-3-2-10123…y=x2…9410149…y=x2+1…105212510…y=x2-1…830-1038…2.描点，连线：（出示课件5）教师问：抛物线y=x2、y=x2+1、y=x2-1的开口方向、对称轴、顶点各是什么？（出示课件6）学生独立思考并整理.抛物线开口方向对称轴顶点坐标y=x2向上x=0（0,0）y=x2+1向上x=0(0，1)y=x2-1向上x=0(0，-1)出示课件7：例在同一直角坐标系中，画出二次函数y=2x2+1，y=2x2-1的图象.学生自主操作，画图，教师加以巡视.解：先列表：x…-2-1.5-1-0.500.51 1.52…y=2x2+1…9 5.53 1.51 1.53 5.59…y=2x2-1…7 3.51-0.5-1-0.51 3.57…然后描点画图：（出示课件8）教师问：抛物线y=2x2+1,y=2x2-1的开口方向、对称轴和顶点各是什么？（出示课件9）学生独立思考并整理.抛物线开口方向对称轴顶点坐标y=2x2+1向上x=0（0,1）y=2x2-1向上x=0（0，-1）探究二二次函数y=ax2+k的性质教师归纳：（出示课件10）二次函数y=ax2+k(a＞0)的性质：开口方向：向上.对称轴：x=0.顶点坐标：（0，k）.最值：当x=0时，有最小值，y=k.增减性：当x＜0时，y 随x 的增大而减小；当x＞0时，y 随x 的增大而增大.出示课件11：在同一坐标系中，画出二次函数212y x =-，2122y x =-+，2122y x =--的图像，并分别指出它们的开口方向，对称轴和顶点坐标.学生自主操作，画图，并整理.解：如图所示.抛物线开口方向对称轴顶点坐标y =12-x 2向下x =0（0,0）y =12-x 2+2向下x =0（0,2）y =12-x 2-2向下x =0（0，-2）出示课件12：在同一坐标系内画出下列二次函数的图象：231x y -=；23121--=x y ；23122+-=x y .学生自主操作，画图，教师巡视加以指导.出示课件13，14：根据图象回答下列问题:(1)图象的形状都是;(2)三条抛物线的开口方向_______;(3)对称轴都是__________;(4)从上而下顶点坐标分别是_____________________;(5)顶点都是最____点，函数都有最____值，从上而下最大值分别为_______、_______﹑________;(6)函数的增减性都相同：____________________________.学生独立思考并口答.⑴抛物线；⑵向下；⑶直线x=0；⑷(0，2)，(0，0)，(0，-2)；⑸高；大；y=2，y=0，y=-2；⑹对称轴左侧y随x增大而增大,对称轴右侧y随x增大而减小师生共同归纳：二次函数y=ax2+k（a≠0）的性质（出示课件15）y=ax2+k a＞0a＜0开口方向向上向下对称轴y轴（x=0）y轴（x=0）顶点坐标（0,k）（0,k）出示课件16：已知二次函数y＝ax2+c,当x取x1，x2（x1≠x2）时，函数值相等，则当x＝x1+x2时，其函数值为________.学生独立思考后，师生共同解答.解：由二次函数y＝ax2+c图象的性质可知，x1，x2关于y轴对称，即x1+x2＝0.把x＝0代入二次函数表达式求出纵坐标为c.教师归纳：方法总结：二次函数y＝ax2+c的图象关于y轴对称，因此左右两部分折叠可以重合，函数值相等的两点的对应横坐标互为相反数．出示课件17：抛物线y=−2x2+3的顶点坐标是________,对称轴是________，在________侧，y随着x的增大而增大；在________侧，y随着x的增大而减小.学生口答：（0,3）；y轴；对称轴左；对称轴右探究三二次函数y=ax2+k的图象及平移出示课件18：从数的角度探究：出示课件19：从形的角度探究：观察图象可以发现，把抛物线y=2x2向_____平移1个单位长度，就得到抛物线_____；把抛物线y=2x2向_____平移1个单位长度，就得到抛物线y=2x2-1.学生观察图象并解答：上；y=2x2+1；下师生共同归纳：二次函数y=ax2与y=ax2+k（a≠0）的图象的关系（出示课件20）二次函数y=ax2+k的图象可以由y=ax2的图象平移得到：当k>0时,向上平移k个单位长度得到.当k<0时,向下平移k个单位长度得到.教师强调：上下平移规律：平方项不变，常数项上加下减.出示课件21：二次函数y＝－3x2＋1的图象是将()A．抛物线y＝－3x2向左平移3个单位得到B．抛物线y＝－3x2向左平移1个单位得到C．抛物线y＝3x2向上平移1个单位得到D．抛物线y＝－3x2向上平移1个单位得到学生独立思考并口答：D出示课件22：想一想：教师问1.二次函数y=ax2+k图象的画法分几步？学生答：第一种方法：平移法，分两步，即第一步画y=ax2的图象；第二步把y=ax2的图象向上（或向下）平移︱k︱单位.第二种方法：描点法，分三步即列表、描点和连线.教师问2.抛物线y=ax2+k中的a决定什么？怎样决定的？k决定什么？它的对称轴是什么？顶点坐标怎样表示？学生答：a决定开口方向和大小；k决定顶点的纵坐标.（三）课堂练习（出示课件23-27）1.将二次函数y=x2﹣1的图象向上平移3个单位长度，得到的图象所对应的函数表达式是．2.抛物线y=2x2向下平移4个单位，就得到抛物线．3.填表：函数开口方向顶点对称轴有最高（低）点y=3x2y=3x2＋1y=-4x2－54.已知点（m,n)在y=ax2+a（a不为0）的图象上，点(-m,n)___（填“在”或“不在”）y=ax2+a（a不为0）的图象上.5.若y=x2+（k-2）的顶点是原点，则k____；若顶点位于x轴上方，则k____；若顶点位于x轴下方，则k____.6.不画函数y=-x2和y=-x2+1的图象回答下面的问题：⑴抛物线y=-x2+1经过怎样的平移才能得到抛物线y=-x2.（2）函数y=-x2+1，当x_____时，y随x的增大而减小；当x_____时，函数y有最大值，最大值y是_____，其图象与y轴的交点坐标是_____，与x轴的交点坐标是_____.（3）试说出抛物线y=x2-3的开口方向、对称轴和顶点坐标.7.对于二次函数y=(m+1)x m2-m+3,当x>0时y随x的增大而增大，则m=____.8.已知二次函数y=(a-2)x2+a2-2的最高点为（0，2），则a=____.9.抛物线y=ax2+c与x轴交于A（-2,0）﹑B两点，与y轴交于点C(0，-4),则三角形ABC的面积是_______.参考答案：1.y=x2+22.y=2x2－43.函数开口方向顶点对称轴有最高（低）点y=3x2向上（0,0）y轴有最低点y=3x2＋1向上（0,1）y轴有最低点y=-4x2－5向下（0,-5）y轴有最高点4.在5.=2；＞2；＜26.⑴向下平移1个单位.⑵>0；=0；1；(0,1)；(-1,0),(1,0)⑶开口方向向上，对称轴是y轴，顶点坐标（0，-3）.7.28.-29.8（四）课堂小结通过这节课的学习，你有哪些收获和体会?说说看.（五）课前预习预习下节课（22.1.3第2课时）的相关内容.七、课后作业配套练习册内容八、板书设计：九、教学反思：本课时教学重点在于培养学生的比较能力，旨在希望学生通过对比发现函数图象的性质，从而进一步增强学生的数形结合意识，体会通过探究获得知识的乐趣.。
人教版九年级数学上22.1.3第一课时二次函数y=ax2+k的图象优秀教学案例优秀教学案例姬永霞
c.完成课本相关练习题，巩固所学知识。
2.姬老师提醒学生在完成作业时，要注重思考、总结，不断提高自己的数学素养。
直接输出：
四、教学内容与过程
（一）导入新课
1.姬老师以一个简单的实际问题引入新课：“同学们，你们在生活中见过抛物线形状的事物吗？比如，当我们投篮时，篮球的轨迹就是一个抛物线。那么，你们知道这个抛物线是如何形成的吗？”通过这个问题，姬老师成功吸引了学生的注意力，激发了学生的探究兴趣。
2.接着，姬老师利用多媒体展示一些生活中的抛物线实例，如拱桥、卫星轨道等，让学生直观地感受二次函数在实际生活中的应用，从而引出本节课的主题——二次函数y=ax²+k的图一次函数的图像特点，然后引导学生思考：“如果我们在一次函数的基础上加上一个常数项k，会发生什么变化？”通过这个问题，姬老师引导学生发现二次函数y=ax²+k与一次函数的关系，从而引出二次函数的图像特点。
2.姬老师详细讲解二次函数y=ax²+k的图像规律，通过动态演示和板书，让学生直观地理解二次函数图像的平移现象。同时，她强调a和k的取值对图像的影响，让学生掌握二次函数图像的性质。
（二）过程与方法
1.通过自主探究、小组合作等方式，让学生在探索二次函数图像规律的过程中，培养观察、分析、归纳的能力。
2.引导学生运用描点法绘制二次函数图像，提高学生动手操作和实际应用的能力。
3.设计具有梯度的问题，引导学生逐步深入地理解二次函数的性质，培养学生的问题解决策略。
4.结合生活实例，让学生感受数学与实际生活的联系，增强学生的应用意识。
在教学过程中，姬老师充分考虑到九年级学生的认知水平，结合二次函数的基本知识，巧妙设计教学环节。她从生活中的实例引入二次函数，引导学生观察、思考、总结，进而引导他们探索二次函数y=ax²+k的图像规律，使学生在轻松愉快的氛围中掌握知识，提升能力。通过本节课的学习，学生将能够直观地理解二次函数图像的平移现象，并能够运用所学知识解决实际问题，为后续学习打下坚实基础。
人教数学九上22.1.3二次函数的图象和性质[时老师]【市一等奖】优质课
教学目标
(一)知识与技能:
会用描点法画出二次函数y=a(x-h)2图像;通过图象了解它们的图象特征和性质。
(二)过程与方法:
经历探索和发现二次函数图像的特点和性质的过程;体会数形结合的数学思想在数学中的应用。
(三)情感、态度与价值观:
经历观察,推理和交流等过程,获得研究问题与合作交流的方法和经验;体验数学活动中的探索性和创造性。
2学情分析
(一)教学内容分析
二次函数y=a(x-h)2的图像和性质是人教版九年级数学上册第二十二章第一节第四课时的内容,是在学生学习了二次函数的基本概念及二次函数y=ax2 ,y=ax2+k 的图像和性质之后引入的新内容。
本节课的教学内容既是对y-ax2 ,y=ax2+k 的图像和性质的引申,也是后面研究一般形式的二次函数图像性质的基础。
所以,学习本节内容我们既要对前段的内容进行升华,又要对后段内容进行启发。
(二)教学对象分析
九年级的学生在前面的学习过程中已经接触过一次函数和反比例函数的内容,从学习情况看,他们对函数的理解和掌握情况并不理想。
通过课下的了解,学生们对二次函数有一定的畏难情绪,对学习非常的不利。
所以我们在教学过程中,要想方设法的调动学生的积极性,帮助他们突破难点。
(三)教学环境分析
利用多媒体设备,几何画板软件,实物投影等为本节课的教学提供了方便。
3重点难点
教学重点:用描点法画二次函数y=a(x-h)2的图像;观察图象,得出上述二次函数的图象特征和性质。
教学难点:二次函数y=a(x-h)2的图像特点和性质的得出过程。
4教学过程
4.1 第一学时。