第七章第四节常见曲面及其方程

2 2 2
绕 z 轴旋转而成的旋转曲面的方程为： z_________ 2x 2 y
绕 y 轴旋转而成的旋转曲面的方程为：_________ x z 2y
2 2
1 1
2
z 2 x y
2 2

2
1
2
x z
2
2
2y 1
2 2
高等数学 第七章 向量代数与空间解析几何
. 当直线 L 绕 设 M 0 ( x0 , y0 , z0 ) 为直线 L 上任一点，
z 轴旋转时，
点 M 0 的轨迹是旋转面上的一个圆周， 对于此圆上任意一点
M ( x, y, z ) , 点 M 0 与点 M 到 z 轴的距离相等且竖坐标相同，
则有
2 2 x 2 y 2 x0 y0 , z z0 ,
x 2 y 2 g 2 ( x0 ) h2 ( z0 )
这就是所求的旋转曲面的方程.
A1 x B1 y C1 z D1 0 可见，已知直线 L :
A2 x B2 y C2 z D2 0
求直线 L 绕 z 轴旋转而成的曲面的方程： 只要由L的方程组解出 x, y 用 z 表示，如 x x( z ), y y( z ), 则旋转曲面的方程为：
x
z
其母线平行于 y 轴，准线 xoz 面上的曲线 l3.
l3
x
y
高等数学 第七章 向量代数与空间解析几何
7.4 常见曲面及方程
准线分别为坐标面上的圆、椭圆、抛物线和双曲线， 母线平行
于坐标轴的柱面，分别称为圆柱面、椭圆柱面、抛物柱面及双 曲柱面，统称为二次柱面. 方程 x 2 y 2 1 表示准线是 xoy 面上的单位圆， 母线平行于z 轴的圆柱面.
z
故所求方程为
M0
o
( x x 0 ) 2 ( y y0 ) 2 ( z z 0 ) 2 R 2 .
特别, 当球心在坐标原点时,球面方程为
M
y
x
x y z R
2 2 2
2
高等数学 第七章 向量代数与空间解析几何
7.4 常见曲面及方程
一般说来，
如下形式的三元二次方程
都可通过配完全平方的方法来研究它的图形.
7.4 常见曲面及方程
其它坐标面内曲线绕其坐标轴旋转类似可得.
注记： 求坐标面内的曲线绕此坐标面内一个坐标轴旋转一周而成的 旋转曲面的方程： 只要将坐标面内的曲线方程保持与旋转轴同名的变量不变， 另一变量用剩下的两个变量的平方和的平方根代替即可. 如： zOx 面上曲线
z 2 3x
2
z 2 3x 2 ( 即曲线 ) y0
2 2 x z 方程 2 1 表示准线是 zox 面上的椭圆， 2 z a b b
z
o
x
y
母线平行于y 轴的椭圆柱面.
a O
y
x
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7.4 常见曲面及方程
x y 方程 2 2 1 表示是以xoy面上的双曲线C: a b x2 y2 母线平行于z轴的双曲柱面. 2 1 为准线， 2 a b
x2 y2 x2 (z) y2 (z) .
求直线 L 绕 x 轴或 y 轴旋转而成的旋转曲面的方程类似处理.
高等数学 第七章 向量代数与空间解析几何
7.4 常见曲面及方程
例如， 求直线
x 1 y z3 绕 z 轴旋转而成的曲面的方程. 1 4 1
x 1 y z 3 解得 x z 4, y 4z 12 , , 由方程 1 4 1
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7.4 常见曲面及方程
建立 yoz 面上曲线 C 绕 z 轴旋转所成曲面的方程:
给定 yoz 面上曲线 C: 设
F ( y, z ) 0 ,
则有
M ( x, y, z )
z
M1 (0, y1 , z1 ) C ,
F ( y1 , z1 ) 0 ,
2
z
绕 z 轴旋转一周所形成的旋转曲面叫旋转抛物面. 它的方程为： 2 pz
x y .
2 2
将 xOy 面上椭圆
2 2
绕 y 轴旋转一周所形成的旋转曲面叫旋转椭球面. 它的方程为：
x y 2 1 2 a b
2
2
2
x
o
y
z
o
x z y 2 1 2 a b x2 y2 z2 2 2 1. 2 a b a
z
F ( x , y ) 0 (1)
它在xOy面上表示一条曲线C，
而在三维空间中则表示一张曲面. 这是因为， 若点 M ( x , y ,0) 在曲线C上， 任一点 N ( x , y, z ) 的坐标就满足方程(1)，
x
O
C
N ( x,
y, z )
y

M ( x , y ,0)
点M的坐标就满足方程(1)， 则过点M且平行于z轴的直线上的
( 0 ) 叫圆锥面的半顶角． 2
例如， 将 yoz 面上直线
z
绕 z 轴旋转一周所形成的圆锥面
的方程为：
c z y a
2

o
y
x
c z a
x2 y2
或
z x y . 2 2 c a
2 2Βιβλιοθήκη 高等数学 第七章 向量代数与空间解析几何
7.4 常见曲面及方程
将 yOz 面上抛物线 y 2 pz ( p 0)
O
2
2
2
x
(图1)
y
O
x
(图2)
y
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7.4 常见曲面及方程
下面讨论不在坐标面上的直线绕坐标轴旋转的情况：
A1 x B1 y C1 z D1 0 求直线 L : 绕 A2 x B2 y C2 z D2 0
z 轴旋转而成的曲面方程
( x x 0 ) 2 ( y y0 ) 2 ( z z 0 ) 2 k ,
其图形可能是 一个球面 ( k 0) 或点 ( k 0) 或虚轨迹 ( k 0) .
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7.4 常见曲面及方程
二、母线平行于坐标轴的柱面
平行定直线并沿定曲线 C 移动的直线 l 形成的轨迹 叫做柱面. 定曲线C 叫做准线, 动直线 l 叫做母线. 设有方程
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7.4 常见曲面及方程
2.椭球面
z
x2 y2 z2 2 2 1 ( a, b, c 为正数 2 a b c
(1)范围：
y
x a,
y b,
z c
x
(2)与坐标面交线或平行坐标面的平面的交线(若存在)是椭圆. (3) 当 a＝b 时为旋转椭球面; 当a＝b＝c 时为球面.
(*)
解得 x0 g( x0 ), y0 h( z0 ),
A1 x B1 y C1 z D1 0 从 A2 x B2 y C2 z D2 0
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7.4 常见曲面及方程
将 x0 g( x0 ), y0 h( z0 ), z0 z , 代入(*)式的第一个方程得
2
z 2 3x 绕 z 轴旋转而成的旋转曲面的方程为：_________
z 2 3 x y
2

2

3y
2
2
高等数学 第七章 向量代数与空间解析几何
7.4 常见曲面及方程
反过来， 已知旋转曲面的方程，
可以看出它的旋转轴及它是由哪条曲线旋转得来的？
如： 已知旋转曲面的方程为： 3 x 2 3 y 2 z 2 , 则
2 2 2
即为直线绕x轴的旋转而成曲面的方程.
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7.4 常见曲面及方程
四、椭圆锥面、椭球面、双曲面、抛物面
用坐标面和平行于坐标面的平面与曲面相截，考察其交线 (也称截线或截痕)的形状， 然后加以综合， 从而了解曲面的全貌． 这种方法叫截痕法. 下面就用这种方法考察几类方程表示的曲面.
C
M1 (0, y1 , z1 )
当绕 z 轴旋转时, 该点转到 则有
M ( x, y, z ) ,
z z1 ,
代入
o
x
y
且M 和M1 到 z 轴距离相等, 有 把
x 2 y 2 y1
2
y1 , z1
F ( y1 , z1 ) 0
得旋转曲面方程为
F ( x y , z) 0 .
椭球面的形状与旋转椭球面的形状类似.
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7.4 常见曲面及方程
3.双曲面 (1)双叶双曲面
z
O
x2 y2 z2 2 2 2 1 ( a, b, c 为正数 a b c
(方程中三个变量可互换位置) 当
则所求的旋转曲面方程为
x 2 y 2 ( z 4)2 (4z 12)2
即
x y 17z 104z 160 0 .
2 2 2
若由方程 x 1 y z 3
1
4
1
解出
2
y 4 x 4, z x 4,
则
y z ( 4 x 4) ( x 4)
则它的旋转轴为： z 轴， 它可以看成是 zOx 面上曲线 或它可看成是 yOz 面上曲线
z 2 3x