高数曲面及其方程
高数第七章7-4
2 2
( x − x 0 ) + ( y − y0 ) + ( z − z 0 )
2
=R
2
(球面方程的标准式 球面方程的标准式) 球面方程的标准式
2 2 2 2 特殊地： 特殊地：球心在原点时方程为 x + y + z = R
将方程（1）展开得 将方程（
2 2 2 x 2 + y 2 + z 2 − 2 x0 x − 2 y0 y − 2 z0 z + x0 + y0 + z0 − R = 0
例1
求与原点O 及 M 0 ( 2,3,4) 的距离之比为 1 : 2 是曲面上任一点， 设 M ( x , y , z ) 是曲面上任一点， 根据题意有
的点的全体所组成的曲面方程. 的点的全体所组成的曲面方程. 解
| MO | 1 = , | MM 0 | 2
( x − 2) + ( y − 3) + (z − 4)
yoz 坐标面上的已知曲线 f ( y , z ) = 0 绕 y 同理： 同理：
轴旋转一周的旋转曲面方程为 轴旋转一周的旋转曲面方程为 旋转曲面方程
f y, ± x2 + z2 = 0. xoy 坐标面上的已知曲线 f ( x , y ) = 0 绕 y 轴旋转
一周的旋转曲面方程为 一周的旋转曲面方程为
o
x
z
(3) 旋转曲面 定义 一条平面曲线 绕其所在平面上的一条定 直线旋转一周所成的曲面 称为旋转曲面 旋转曲面. 称为旋转曲面. 这条定直 线这条定直线叫旋转曲 ( y , z ) = 0 绕 z 轴旋转一周所得 的旋转面方程。 的旋转面方程。 设旋转面上任意一点 M ( x , y , z ) 是由 yOz 平 面的曲线 f ( y , z ) = 0 上 一点 M1 (0, y1 , z1 ) 绕 z 轴旋转而得的， 则 轴旋转而得的，
高等数学(下)教案曲面及其方程
高等数学(下)教案曲面及其方程教学目标：1. 理解曲面的概念，掌握曲面的基本性质。
2. 学习曲面的方程表示方法，掌握常见曲面的方程。
3. 能够利用曲面方程进行曲面的绘制和分析。
教学内容：一、曲面的概念与基本性质1. 曲面的定义2. 曲面的基本性质2.1 曲面的导数2.2 曲面的切线和法线2.3 曲面的曲率2.4 曲面的切平面和法平面二、曲面的方程表示方法1. 参数方程表示法2.1 参数方程的定义2.2 参数方程的求导和积分2. 普通方程表示法2.1 普通方程的定义2.2 普通方程的求导和积分3. 柱面和二次曲面的方程3.1 柱面的方程3.2 二次曲面的方程三、常见曲面的方程1. 圆锥面的方程2. 椭圆面的方程3. 双曲面的方程4. 抛物面的方程5. 直纹面的方程四、曲面的绘制和分析1. 利用参数方程绘制曲面2. 利用普通方程绘制曲面3. 曲面的切线和法线分析4. 曲面的曲率分析5. 曲面的切平面和法平面分析教学方法：1. 采用多媒体教学，通过图形和动画展示曲面的形状和性质。
2. 通过例题讲解和练习，使学生掌握曲面方程的求解和分析方法。
3. 引导学生运用曲面方程解决实际问题，提高学生的应用能力。
教学评价：1. 课堂讲解和练习的参与度。
2. 学生对曲面方程的掌握程度。
3. 学生能够运用曲面方程进行曲面的绘制和分析。
教学资源：1. 教学PPT和动画演示。
2. 曲面方程的相关教材和参考书。
3. 计算机软件进行曲面的绘制和分析。
六、曲面的切平面和法线1. 切平面的定义与性质6.1 切平面的定义6.2 切平面的性质2. 法线的定义与性质6.3 法线的定义6.4 法线的性质3. 切平面和法线的求法6.5 切平面和法线的求法七、曲面的曲率1. 曲率的定义与性质7.1 曲率的定义7.2 曲率的性质2. 曲率的计算7.3 曲率的计算方法3. 曲面的弯曲程度分析7.4 曲面的弯曲程度分析八、曲面的绘制与分析实例1. 实例一：圆锥面的绘制与分析8.1 圆锥面的参数方程8.2 圆锥面的普通方程8.3 圆锥面的切平面和法线分析2. 实例二：椭圆面的绘制与分析8.4 椭圆面的参数方程8.5 椭圆面的普通方程8.6 椭圆面的切平面和法线分析3. 实例三：双曲面的绘制与分析8.7 双曲面的参数方程8.8 双曲面的普通方程8.9 双曲面的切平面和法线分析九、曲面在实际问题中的应用1. 曲面在工程中的应用9.1 曲面在机械设计中的应用9.2 曲面在建筑设计中的应用2. 曲面在自然科学中的应用9.3 曲面在光学中的应用9.4 曲面在声学中的应用十、复习与练习1. 复习本章内容10.1 复习曲面的概念与基本性质10.2 复习曲面的方程表示方法10.3 复习常见曲面的方程2. 课堂练习10.4 完成课堂练习题3. 课后作业10.5 布置课后作业教学方法：1. 采用案例教学法，通过具体实例讲解曲面的绘制与分析方法。
高数下册常用常见知识点
高数下册常用常见知识点高等数学下册常用知识点第八章：空间解析几何与向量代数一、向量及其线性运算1.向量的概念及基本性质：包括向量相等、单位向量、零向量、向量平行、共线、共面等基本概念。
2.向量的线性运算：包括加减法和数乘。
3.空间直角坐标系：包括坐标轴、坐标面、卦限和向量的坐标分解式等。
4.利用坐标进行向量的运算：设向量a=(ax。
ay。
az)，向量b=(bx。
by。
bz)，则a±b=(ax±bx。
ay±by。
az±bz)，λa=(λax。
λay。
λaz)。
5.向量的模、方向角、投影：包括向量的模、两点间的距离公式、方向角、方向余弦和投影等。
二、数量积和向量积1.数量积：包括数量积的概念、性质和计算公式等。
2.向量积：包括向量积的概念、性质和计算公式等。
三、曲面及其方程1.曲面方程的概念：包括曲面方程的定义和基本性质等。
2.旋转曲面：包括旋转曲面的定义、方程和旋转后方程的计算等。
3.柱面：包括柱面的特点、方程和母线的概念等。
4.二次曲面：包括椭圆锥面的方程和图形等。
2.椭球面：$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}+\frac{z^2}{c^2}=1$3.旋转椭球面：$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}-\frac{z^2}{c^2}=1$4.单叶双曲面：$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}-\frac{z^2}{c^2}=1$5.双叶双曲面：$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}-\frac{z^2}{c^2}=-1$6.椭圆抛物面：$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=z$7.双曲抛物面（马鞍面）：$\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=z$8.椭圆柱面：$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1$9.双曲柱面：$\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1$10.抛物柱面：$2x=ay^2$空间曲线及其方程：1.参数方程：$\begin{cases}x=x(t)\\y=y(t)\\z=z(t)\end{cases}$，如螺旋线：$\begin{cases}x=a\cos t\\y=a\sin t\\z=bt\end{cases}$2.一般方程：$F(x,y,z)=0$，消去$z$，得到曲线在面$xoy$上的投影。
高等数学第七章：曲面及其方程
4/21
旋转过程中的特征：
如图 设 M (x, y, z),
(1) z z1
（2）点M 到z 轴的距离
z
d M1(0, y1, z1)
M f ( y,z) 0
o
y
d x2 y2 | y1 | x
将 z z1 6; 7 ;
（1）双曲线
x2 a2
z2 c2
1分别绕 x轴和z轴；
绕x 轴旋转
x2 a2
y2 c2
z2
1
旋 转
双
绕z 轴旋转
x2 a2
y2
z2 c2
1
曲 面
x
y z
y2
（2）椭圆
a
2
z2 c2
1绕 y 轴和z轴；
x 0
绕 y 轴旋转
y2 a2
x2 c2
z2
1
0
2
叫圆锥面的
半顶角．试建立顶点在坐标原点，旋转轴为z 轴，
半顶角为 的圆锥面方程． z
解 yoz面上直线方程为 z y cot
圆锥面方程
z x2 y2 cot x
M1(0, y1, z1 )
o
y
M( x, y, z)
例6 将下列各曲线绕对应的轴旋转一周， 求生成的旋转曲面的方程．
4/21
二、旋转曲面
定义 以一条平面 曲线绕其平面上的 一条直线旋转一周 所成的曲面称为旋 转曲面. 这条定直线叫旋转 曲面的轴．
4/21
高数考研中有关曲面积分问题的求解方法
分等。 笔者以近年研究生入学考试试题为例详细论述曲面积
分有关问题的求解方法。
1.利 用 公 式 转 化 为 二 重 积 分
曲面积分的基本的方法都是化为投影域上的二重积分来
计算。
第一型曲面积分的投影法的公式 ：设 曲 面S的 方 程 为z=z
（x，y），则 ：
姨%
22
蘩蘩f（x，y，z）dS=蘩蘩f（x，y，z（z，y）） 1+zx+zy dxdy。
V 坠x 坠y 坠z
S
（2）
其 中 （cosα，cosβ，cosγ）是 S外 法 线 的 单 位 向 量 。
应 用 高 斯 公 式 时 ，应 注 意 条 件 ：①S必 须 是 封 闭 曲 面 ，若 所
讨论的曲面不是封闭曲面，应当适当补上某块曲面，使它成为
封闭曲面 ；②P、Q、R在V上 连 续 且 偏 导 数 也 连 续 ，若 它 们 及 其
3
3
2
22
蘩蘩 2x dydz+2y dzdx+3（z -1）dxdy=蘩蘩蘩6（x +y +z）dxdydz
∑+∑1
Ω
2π
1
2
1-r
2
=6蘩0 dθ蘩0dr0 （z+r ）rdz
1
=12π蘩0［
1 2
22 3
2
r（1-r ） +r （1-r ）］dr=2π，
3
3
2
而蘩蘩2x dydz+2y dzdx+3（z -1）dxdy=- 蘩蘩 -3dxdy=3π，
蘩蘩 x + y
dxdy =
∑
D
%
姨
2
高等数学6(6)曲面及其方程
p 0,q 0
21
特殊地 当p q时, 方程变为
x2 y2 z ( p 0)
旋转抛物面
2p 2p
x2 y2 z 2 p 2q
(由 xOz面上的抛物线 x2 2 pz 绕z轴旋转
而成的)
用平面 z z1 (z1 0)去截这曲面,截痕为圆.
x2
y2
2 pz1
z z1
当 z1变动时，这种圆 的中心都在 z 轴上.
特点是: 平方项有一个取负号,另两个取正号.
z z
O
x
yx
O
y
炼油厂、炼焦厂的冷却塔就是单叶双曲面
的形状.
24
x2 a2
y2 b2
z2 c2
1
单叶双曲面
z
类似地, 方程
x 2 a2
y2 b2
z2 c2
1
O
ax22
y2 b2
z2 c2
1
x
y
亦表示 单叶双曲面.
想一想 以上两方程的图形是与此图形 一样吗?
f ( y, x2 z2 ) 0
4
例3 直线L绕另一条与L相交的直线旋转一周
所得旋转曲面称为圆锥面. 两直线的交点称为
圆锥面的顶点, 两直线的夹角 (0 )称为
2 圆锥面的半顶角. 试建立顶点在坐标原点O, 旋
转轴为z轴,半顶角为 的圆锥面的方程.
解 yOz面上直线方程为 z
z
z y cot
z z1
当z1 0时,截痕退缩为原点;当z1 0时, 截痕不存在. 原点叫做椭圆抛物面的顶点.
19
x2 y2 z 2 p 2q
(2) 用坐标面 xOz( y 0)去截这曲面, 截痕为抛物线.
高等数学曲面及其方程-2022年学习资料
二、旋转曲面-定义：以一条平面曲-线绕其平面上的一条-直线旋转一周所成的-曲面称为旋转曲面。-这条曲线和定 线一-次称为旋转曲面的母-线和旋转轴。
二、旋转曲面-定义：以一条平面曲-线绕其平面上的一条-直线旋转一周所成的-曲面称为旋转曲面。-这条曲线和定 线-次称为旋转曲面的母-线和旋转轴。
二、旋转曲面-定义：以一条平面曲-线绕其平面上的一条-直线旋转一周所成的-曲面称为旋转曲面。-这条曲线和定 线-次称为旋转曲面的母-线和旋转轴。-心
1、yOz面上曲线C绕z轴旋转所成曲面的方程：-设y0z面的曲线C:fy,z=0，点M10y121在曲线C -则f6y1,z=0-4-M0,y1,z1->Mx,y,ES,z=Z.-M点到z轴的距离d=Vx2+y2= 1-M0,y1,31-将z1=z,y1=±Vx2+y2代入（4得Mx,z}-ft2+y,=0-5-就是所求 转曲面的方程.
思考：当曲线C绕y轴旋转时，方程如何？-M-C:fy,z=0-X-------------------fy ±Vx2+z2=0
2、注意：绕哪个轴旋转，哪个变量不变-1oz平面上的母线C:f0,2=0-绕0z轴旋转得旋转曲面-x=0±Vx2+y2,z=0-2.oz平面上的母线C:fy2=0-绕oy轴旋转得旋转曲面-fy,±Vx2+z2= -3.xoy平面上的母线C:-fx,y=0-绕ox轴旋转得旋转曲面-1z=0-fx,±Vy2+z2=0
例2求到A1,2,3,B2,-1,4两点距离相等的点的轨迹方程.-解：设轨迹上的动点为Mx,y,z-有MA MB-即Vx-12+0-2+-3-=Vx-2}+6+1+-4-整理得2x-6y+2z-7=0-线段AB的垂 平分面-即为所求点的轨迹方程
高数下册知识点
高等数学下册（同济大学第七版）知识点高等数学下册知识点下册预备知识第八章 空间解析几何与向量代数（一） 向量及其线性运算1、 向量，向量相等，单位向量，零向量，向量平行、共线、共面；2、 线性运算：加减法、数乘；3、 空间直角坐标系：坐标轴、坐标面、卦限，向量的坐标分解式；4、 利用坐标做向量的运算：设),,(z y x a a a a = ，),,(z y x b b b b = ， 则 ),,(z z y y x x b a b a b a b a ±±±=±, ),,(z y x a a a a λλλλ= ；5、 向量的模、方向角、投影：1） 向量的模：222z y x r ++= ；2） 两点间的距离公式：212212212)()()(z z y y x x B A -+-+-=3） 方向角：非零向量与三个坐标轴的正向的夹角γβα,,4） 方向余弦：rz r y r x ===γβαcos ,cos ,cos 1cos cos cos 222=++γβα5） 投影：ϕcos Pr a a j u =，其中ϕ为向量a 与u 的夹角。
（二） 数量积，向量积1、 数量积：θcos b a b a=⋅1）2a a a =⋅高等数学（下）知识点 2）⇔⊥b a 0=⋅b az z y y x x b a b a b a b a ++=⋅2、 向量积：b a c⨯= 大小：θsin b a ，方向：c b a ,,符合右手规则1）0=⨯a a 2）b a //⇔0=⨯b a z y x z y x b b b a a a k j i b a =⨯ 运算律：反交换律 b a a b⨯-=⨯（三） 曲面及其方程1、 曲面方程的概念：0),,(:=z y x f S2、 旋转曲面： yoz 面上曲线0),(:=z y f C ，绕y 轴旋转一周：0),(22=+±z x y f 绕z 轴旋转一周：0),(22=+±z y x f3、 柱面：0),(=y x F 表示母线平行于z 轴，准线为⎪⎩⎪⎨⎧==00),(z y x F 的柱面 4、 二次曲面1）椭圆锥面：22222zbyax=+2）椭球面：1222222=++czbyax旋转椭球面：1222222=++czayax3）单叶双曲面：1222222=-+czbyax4）双叶双曲面：1222222=--czbyax5）椭圆抛物面：zbyax=+22226）双曲抛物面（马鞍面）：zbyax=-22227）椭圆柱面：12222=+byax8）双曲柱面：12222=-byax9）抛物柱面：ay x=2（四）空间曲线及其方程1、 一般方程：⎪⎩⎪⎨⎧==0),,(0),,(z y x G z y x F 2、 参数方程：⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧===)()()(t z z t y y t x x ，如螺旋线：⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧===btz t a y t a x sin cos 3、 空间曲线在坐标面上的投影⎪⎩⎪⎨⎧==0),,(0),,(z y x G z y x F ，消去z ，得到曲线在面xoy 上的投影⎪⎩⎪⎨⎧==00),(z y x H（五） 平面及其方程1、 点法式方程：0)()()(000=-+-+-z z C y y B x x A法向量：),,(C B A n = ，过点),,(000z y x2、 一般式方程：0=+++D Cz By Ax 截距式方程：1=++cz b y a x 3、 两平面的夹角：),,(1111C B A n = ，),,(2222C B A n = ，222222212121212121cos C B A C B A C C B B A A ++⋅++++=θ⇔∏⊥∏21 0212121=++C C B B A A⇔∏∏21// 212121C C B B A A ==4、 点),,(0000z y x P 到平面0=+++D Cz By Ax 的距离：222000C B A DCz By Ax d +++++=（六） 空间直线及其方程1、 一般式方程：⎪⎩⎪⎨⎧=+++=+++022221111D z C y B x A D z C y B x A 2、 对称式（点向式）方程：p z z n y y m x x 000-=-=-方向向量：),,(p n m s = ，过点),,(000z y x3、 参数式方程：⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+=+=+=ptz z nt y y mt x x 000 4、 两直线的夹角：),,(1111p n m s = ，),,(2222p n m s = ，222222212121212121cos p n m p n m p p n n m m ++⋅++++=ϕ⇔⊥21L L 0212121=++p p n n m m⇔21//L L 212121p p n n m m ==5、 直线与平面的夹角：直线与它在平面上的投影的夹角，222222sin p n m C B A CpBn Am ++⋅++++=ϕ⇔∏//L 0=++Cp Bn Am⇔∏⊥L pC n B m A ==第九章 多元函数微分法及其应用（一） 基本概念（了解）1、 距离，邻域，内点，外点，边界点，聚点，开集，闭集，连通集，区域，闭区域，有界集，无界集。
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绕x轴：x a
2 2
y2 z2 c2
1
(旋转双叶双曲面)
绕z轴：x
2
a2
y
2
z2 c2
1
(旋转单叶双曲面)
b. 柱面
在Oxyz中，方程x2＋y2 R2表示什么？
该方程表示： 以平行于z轴的直线为母线， 以xoy面上的圆周x2 y2 R2为准线的圆柱面.
Def 平行于定直线并绕定曲线C移动的动直 线L形成的轨迹叫做柱面； 称L为柱面的母线； 称C为柱面的准线。
即：
(x x0 )2 ( y y0 )2 (z z0 )2 R2 (*)
(*)即是球面上点的坐标所满足的方程。 而不在球面上的点的坐标都不满足方程(*). 故，(*)即为所求.
1. 曲面方程的概念
Def 若曲面S与三元方程
F(x, y, z) 0
(*)
满足下列关系：
(1) S上任一点的坐标满足方程(*);
1.截痕法 截痕：平面与曲面F(x,y,z)=0的交线；
截痕法：通过综合截痕的变化去研究曲面的形状。
2.伸缩变形法
（一）椭球面
x2 a2
y2 b2
z2 c2
1
椭球面与
三个坐标面 的交线：
x2
a2
y2 b2
1,
z 0
z
x2 a2
z2 c2
1 ,
y
0
2.两个基本问题：
(1)已知曲面是动点的轨迹，求曲面方程；
(2)已知一个三元方程，研究该方程所表示曲面的 形状。
思考：
求将xoz面上的抛物线z x2绕z轴旋转一周 所得曲面的方程.
z x2 y2.
---旋转抛物面
a. 旋转曲面
Def 1 平面曲线绕其平面内的一条直线旋转一周所成的 曲面叫做旋转曲面。 称旋转曲线为母线； 称定直线为轴。
思考题解答
方程
平面解析几何中 空间解析几何中
x2
平行于y 轴的直线 平行于 yoz 面的平面
圆心在(0,0) ，
x2 y2 4
半径为2 的圆
以z 轴为中心轴的圆柱面
y x 1 斜率为1的直线 平行于z 轴的平面
c. 二次曲面
Def 称三元二次方程F(x,y,z)=0表示的曲面为 二次曲面；相应地，把一次曲面称为平面.
§7-3 曲面及其方程
曲面方程的概念 讨论曲面时的两个基本问题：
(a)旋转曲面；(b)柱面；(c)二次曲面
例: 求球心在M0 (x0, y0, z0 ),半径为R的球面方程。
解：设M (x, y, z)为球面上任意一点. 根据已知得：
MM0 (x x0 )2 ( y y0 )2 (z z0 )2 R
x2 ay 抛物柱面
思考与练习：
x2 1.已知准线方程为 4
y2 8
z2 3
1，母线平行于y轴.
y 2
求此柱面方程.
2.下列方程表示什么图形： (1)x2 y2 2z; (2)x2 y2 2z2 4x 0.
内容小结
1. 空间曲面
三元方程 F(x, y , z) 0
y2 b2
z2 c2
1.
x 0
x
o
y
（二）抛物面
x2 a2
y2 b2
z
z
椭圆抛物面
xo
y
x2 a2
y2 b2
z
双曲抛物面（马鞍面）
用截痕法讨论： 图形如下：
z
o y
x
（三）双曲面
x2 a2
y2 b2
z2 c2
1
单叶双曲面
（1）用坐标面 xoy (z 0) 与曲面相截
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2. 二次曲面
三元二次方程
• 椭球面
• 抛物面:
( p, q 同号)
椭圆抛物面
x2 y2 z 2 p 2q
双曲抛物面
• 双曲面: 单叶双曲面
双叶双曲面
• 椭圆锥面:
x2 a2
y2 b2
z2
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作业
7－（3 第318页）： 8.(1)(5); 9.(2)(4); 10.(1)(3); 11.(3)
截得中心在原点 O(0,0,0) 的椭圆.
x2 a2
y2 b2
1
z 0
平面 x a 的截痕是两对相交直线.
单叶双曲面图形 z
o
y
x
x2 a2
y2 b2
z2 c2
1
双叶双曲面
o
y
x
x2 y2 z2 椭圆锥面； a2 b2 x2 y2 1 椭圆柱面； a2 b2 x2 y2 1 双曲柱面； a2 b2
称其为锥面； 称两直线的交点为锥面的顶点； 称两直线的夹角 (0 )为半顶角.
2
例1 建立顶点在原点O, 旋转轴为z轴,半顶角
为的圆锥面方程.
z2 a2 (x2 y2 ).
(a2 =cot2).
例2 求 xoz面上的双曲线
x2 z2 1
a2 c2 分别绕x轴、z轴旋转一周所得曲面的方程。
• 球面 (x x0 )2 ( y y0 )2 (z z0 )2 R2
• 旋转曲面
如,
曲线
f (y, z) x0
0
绕
z
轴的旋转曲面:
• 柱面
f ( x2 y2 , z) 0
如,曲面F(x , y) 0表示母线平行 z 轴的柱面.
又如,椭圆柱面, 双曲柱面, 抛物柱面等 .
结论：
1. F(x,y)=0 表示母线平行于Z轴的柱面，该柱面 的准线是在xoy面上的曲线C: F(x,y)=0.
2. G(x,z)=0,H(y,z)=0有类似结论。
思考题
指出下列方程在平面解析几何中和空 间解析几何中分别表示什么图形？
(1) x 2;
(2) x2 y2 4;
(3) y x 1.
(2) 不在S上的点的坐标都不满足(*).
称(*)为S的方程，S为(*)的图形.
举例
例1 一动点与点A(2,3,1), B(4,5, 6)等距离，求动点 轨迹方程。
例2 方程x2 y2 z2 2x 4 y 2z 0表示什么曲面？
注：一般地，形如下列的三元二次方程： Ax2 Ay2 Az2 Dx Ey Fz G 0 表示一个球面。
旋转曲面的方程： (1) yoz面上的曲线f ( y, z) 0绕z轴旋转所得的
旋转曲面的方程： f ( x2 y2 , z) 0
(2)xoz面上的曲线f (x, z) 0绕x轴旋转所得的 旋转曲面的方程：
f (x, y2 z2 ) 0
旋转曲面举例：
Def 2 : 直线L绕与其相交的直线旋转一周所得曲面