(完整版)第三节曲面及其方程教案
高等数学(下)教案曲面及其方程
高等数学(下)教案曲面及其方程教学目标：1. 理解曲面的概念，掌握曲面的基本性质。
2. 学习曲面的方程表示方法，掌握常见曲面的方程。
3. 能够利用曲面方程进行曲面的绘制和分析。
教学内容：一、曲面的概念与基本性质1. 曲面的定义2. 曲面的基本性质2.1 曲面的导数2.2 曲面的切线和法线2.3 曲面的曲率2.4 曲面的切平面和法平面二、曲面的方程表示方法1. 参数方程表示法2.1 参数方程的定义2.2 参数方程的求导和积分2. 普通方程表示法2.1 普通方程的定义2.2 普通方程的求导和积分3. 柱面和二次曲面的方程3.1 柱面的方程3.2 二次曲面的方程三、常见曲面的方程1. 圆锥面的方程2. 椭圆面的方程3. 双曲面的方程4. 抛物面的方程5. 直纹面的方程四、曲面的绘制和分析1. 利用参数方程绘制曲面2. 利用普通方程绘制曲面3. 曲面的切线和法线分析4. 曲面的曲率分析5. 曲面的切平面和法平面分析教学方法：1. 采用多媒体教学，通过图形和动画展示曲面的形状和性质。
2. 通过例题讲解和练习，使学生掌握曲面方程的求解和分析方法。
3. 引导学生运用曲面方程解决实际问题，提高学生的应用能力。
教学评价：1. 课堂讲解和练习的参与度。
2. 学生对曲面方程的掌握程度。
3. 学生能够运用曲面方程进行曲面的绘制和分析。
教学资源：1. 教学PPT和动画演示。
2. 曲面方程的相关教材和参考书。
3. 计算机软件进行曲面的绘制和分析。
六、曲面的切平面和法线1. 切平面的定义与性质6.1 切平面的定义6.2 切平面的性质2. 法线的定义与性质6.3 法线的定义6.4 法线的性质3. 切平面和法线的求法6.5 切平面和法线的求法七、曲面的曲率1. 曲率的定义与性质7.1 曲率的定义7.2 曲率的性质2. 曲率的计算7.3 曲率的计算方法3. 曲面的弯曲程度分析7.4 曲面的弯曲程度分析八、曲面的绘制与分析实例1. 实例一：圆锥面的绘制与分析8.1 圆锥面的参数方程8.2 圆锥面的普通方程8.3 圆锥面的切平面和法线分析2. 实例二：椭圆面的绘制与分析8.4 椭圆面的参数方程8.5 椭圆面的普通方程8.6 椭圆面的切平面和法线分析3. 实例三：双曲面的绘制与分析8.7 双曲面的参数方程8.8 双曲面的普通方程8.9 双曲面的切平面和法线分析九、曲面在实际问题中的应用1. 曲面在工程中的应用9.1 曲面在机械设计中的应用9.2 曲面在建筑设计中的应用2. 曲面在自然科学中的应用9.3 曲面在光学中的应用9.4 曲面在声学中的应用十、复习与练习1. 复习本章内容10.1 复习曲面的概念与基本性质10.2 复习曲面的方程表示方法10.3 复习常见曲面的方程2. 课堂练习10.4 完成课堂练习题3. 课后作业10.5 布置课后作业教学方法：1. 采用案例教学法，通过具体实例讲解曲面的绘制与分析方法。
高等数学(下)教案曲面及其方程
高等数学(下)教案曲面及其方程教案内容：一、教学目标1. 让学生理解曲面的概念，掌握曲面的表示方法。
2. 让学生了解曲面的性质，如曲率、切线和法线等。
3. 让学生学会求解曲面的方程，并能运用曲面方程解决实际问题。
二、教学内容1. 曲面的概念及其表示方法曲面的定义曲面的表示方法：参数方程、直角坐标方程、柱面方程等。
2. 曲面的性质曲率：定义、计算方法及应用切线和法线：定义、计算方法及应用曲面的形状和分类：平面、柱面、锥面、二次曲面等。
3. 曲面的方程求解曲面的参数方程求解曲面的直角坐标方程求解曲面的柱面方程求解三、教学方法1. 采用多媒体教学，通过图形、动画等方式展示曲面的形象，帮助学生直观理解曲面的概念和性质。
2. 结合实例讲解曲面的方程求解方法，引导学生通过实践掌握曲面方程的求解技巧。
3. 开展课堂讨论，鼓励学生提出问题，共同探讨曲面的性质和应用。
四、教学安排1. 课时：2学时2. 教学方式：课堂讲解、实践练习、课堂讨论3. 教学过程：曲面的概念及其表示方法（0.5学时）曲面的性质（0.5学时）曲面的方程求解（0.5学时）课堂讨论（0.5学时）五、教学评价1. 课堂练习：要求学生在课堂上完成曲面方程的求解练习，检验学生对曲面方程的掌握程度。
2. 课后作业：布置有关曲面方程求解的课后作业，巩固学生对曲面方程的知识。
3. 课程考试：设置有关曲面方程的考试题目，全面评估学生对曲面及其方程的掌握情况。
六、教学内容1. 曲面的切平面与法线切平面的概念及其求法法线的概念及其求法切平面和法线在几何图形中的应用2. 曲面的图形描绘利用参数方程描绘曲面的图形利用直角坐标方程描绘曲面的图形利用柱面方程描绘曲面的图形七、教学方法1. 采用案例分析法，通过具体实例讲解曲面的切平面和法线的求法。
2. 利用计算机软件，演示曲面的图形描绘过程，帮助学生直观理解曲面的图形。
3. 鼓励学生参与讨论，分享曲面图形的描绘技巧，提高学生的动手能力和解决问题的能力。
(完整版)第三节曲面及其方程教案
重庆科创职业学院授课教案课名：高等数学（工本0023）班级：_______ 教研窒：数理教研室编写时间：________课题：第四节空间曲面及其方程教学目的及要求：知道旋转曲面、柱面，了解常见的二次曲面的方程及图形。
介绍空间曲线的各种表示形式。
是为重积分、曲面积分作准备的，学生应知道各种常用立体的解析表达式，并简单描图，对投影等应在学习时特别注意。
教学重点：1. 旋转曲面、柱面2. 空间曲线的一般表示形式3. 空间曲线在坐标面上的投影教学难点：空间曲线在坐标面上的投影而M o M (x x o)2(y y。
)2(z z。
)2所以(x X。
)2(y y。
)2(z z o)2R2这就是以点M0(x0,y0,z0)为球心，R为半径的球面方程。
当x0y0z00时，得球心在原点，半径为R的球面方程为2 2 2 2x y z R三、柱面动直线I沿给定曲线C平行移动所形成的曲面，称为柱面。
直线I称为柱面的母线，定曲线C称为柱面的准线。
我们只讨论准线在坐标面内，母线平行于坐标轴的柱面。
建立以xoy 面上的曲线C; f(x,y)=O 为准线，母线平行于z轴的柱面方程。
设M(x,y,x)是柱面上的任意一点，过点M的母线与xoy面的交点N —定在准线C 上(见图9.26 )。
点N的坐标为(x,y,0 );不论点M的竖坐标z取何值，它的横坐标x和纵坐标y都满足方程f(x,y)=0,因此所求柱面方程为f(x,y)=0在平面直角坐标系中，方程f(x,y)=0 表示一条平面曲线，在空间直角坐标系中，方程f(x,y)=0表示以xoy面上的曲线；f y)。
为准线，母线四、 旋转曲面平面曲线C 绕同一平面上定直线I 旋转一周所形成的曲面，称为旋 转曲面。
定直线称为旋转轴。
建立yoz 面上的一条曲线 C:f(y,z)=0,绕z 轴旋转一周所形成的旋转曲面的方程(见图 9.31)设M(x,y,z)为旋转曲面上的任一点，过点M 做平面垂直于Z 轴，交z 轴于点P(0,0,z),交曲线C 于点M °(0, y o ，z 。
第八章 第3节 曲面及其方程
以下给出几例常见的曲面. 例1
解 根据题意有
M M0
球心在原点时
---球面的标准方程
4
上半球面 ： 下半球面：
5
例2.研究方程 的曲面？ 解: 配方得
此方程表示: 球心为 半径为
的球面.
表示怎样
说明: 如下形式的三元二次方程 ( A≠ 0 )
---球面的一般方程
都可通过配方研究它的图形. 其图形可能是
20
旋转曲面
21
旋转曲面
22
旋转曲面
23
旋转曲面
重播
24
建立yoz面上曲线C 绕 z 轴旋转所成曲面的方程: 母线:
将
代入
得旋转曲面方程
：
25
26
27
例5
解 所以圆锥面方程为
两边平方 ---圆锥面的标准方程
28
练习1 即
z
o
y
x
29
练习1
即 ---旋转双叶双曲面
---旋转单叶双曲面
o
y
x
o
y
x
67
小结
1. 空间曲面 球面
旋转曲面 如, 曲线
三元方程 绕 z 轴的旋转曲面:
柱面
如,曲面
表示母线平行 z 轴的柱面
又如,圆柱面、椭圆柱.面、双曲柱面、抛物柱面等 .
68
一个球面 , 或点 , 或虚轨迹.
6
例3 解
根据题意有
化简得所求方程
--平面方程
7
例4 方程 解 ？根据题意有
的图形是怎样的
图形上不封顶，下封底．
8
以上几例表明研究空间曲面有两个基本问题： （1）已知曲面作为点的轨迹时，求曲面方程．
高等数学(下)教案曲面及其方程
高等数学(下)教案曲面及其方程一、教学目标1. 理解曲面的概念，掌握曲面的基本性质。
2. 学习曲面的方程，了解常见的曲面方程及其图形。
3. 学会利用曲面方程解决问题，提高空间解析几何能力。
二、教学内容1. 曲面的概念及分类曲面及其定义曲面的例子曲面的分类2. 曲面的基本性质曲面的导数曲面的切线和法线曲面的切平面和法平面曲面的曲率3. 曲面的方程曲面方程的定义参数方程直角坐标方程柱面和锥面的方程旋转曲面的方程4. 曲面的图形及性质曲面的图形曲面的对称性曲面的边界曲面的连通性5. 曲面的应用曲面上的点、线、面曲面的投影曲面的截面曲面的面积三、教学方法1. 讲授法：讲解曲面的概念、性质和方程，阐述曲面的图形及应用。
2. 直观演示法：利用图形软件展示曲面的图形，增强学生对曲面的直观认识。
3. 案例分析法：分析典型例题，引导学生学会利用曲面方程解决问题。
4. 小组讨论法：分组探讨曲面的性质和应用，提高学生的合作能力。
四、教学准备1. 教学课件：制作曲面及其方程的教学课件，包括图形、例题等。
2. 图形软件：准备曲面图形的展示软件，如Mathematica、GeoGebra等。
3. 练习题库：准备与曲面及其方程相关的练习题，包括基础题、提高题和综合题。
五、教学评价1. 课堂参与度：观察学生在课堂上的发言和提问情况，评估学生的参与度。
2. 作业完成情况：检查学生提交的练习题，评估学生对曲面及其方程的理解和掌握程度。
3. 小组讨论报告：评估学生在小组讨论中的表现，包括分析问题、解决问题和合作能力。
4. 期中考试：设置期中考试，全面测试学生对曲面及其方程的掌握情况。
六、教学内容6. 曲面的切线和法线切线和法线的定义切线和法线的计算切线和法线的性质7. 曲面的曲率和曲率半径曲率的定义和计算曲率半径的概念曲率与图形的关系8. 曲面的渐近线和奇点渐近线的定义和性质奇点的定义和分类奇点与曲面的图形关系9. 曲面的面积和体积曲面的面积计算曲面的体积计算曲面面积和体积的应用10. 曲面的参数方程和直角坐标方程的转换参数方程和直角坐标方程的关系参数方程和直角坐标方程的转换方法转换过程中的注意事项七、教学方法1. 讲授法：讲解曲面的切线、法线、曲率、渐近线和奇点的概念及其性质。
第三节 空间曲面及方程
即
( x x0 )2 ( y y0 )2 ( z z0 )2 R
x2+y2+z2=R2
故球面方程为: (x-x0)2+(y-y0)2+(z-z0)2=R2 特别,当M0在原点时,球面方程为: 球面方程的一般式为: x2+y2+z2+Ax+By+Cz+D=0 其特征为: (1) x2, y2, z2系数相同； (2)无 xy , xz, yz项。 例: x2+y2+z2 -2x+4z -4=0 配方得(x-1)2+y2+(z+2)2=32
缺谁,母线平行谁
a
o
b y
y a o
x
x
14
柱面
z
(3) 抛物柱面: y2 =2x
母线平行于z 轴,
o x y z
准线为xoy 面上的抛物线:
(4) 平面: y-2z=0 母线平行于x 轴,
y2 =2x
。
y-2z=0
•
准线为yoz 面上的直线: y-2z=0 。
x
y
o
x2 y2 ——— =1 (1) 椭圆柱面: ——— + a2 b2
M•
任取曲面S上点M(x, y, z), 其点必是由曲线L上点M0(x0, y0, z0) 绕 z 轴转旋转而来. 则有: z=z0; x2+ y2 =y0; 因为f (y0, z0)=0, x
• M0
S
L
y
所以f ( x2+ y2 , z)=0.
6
旋转曲面
2、设yoz面上曲线 L: f (y, z)=0 绕 z 轴旋转一周, 所成曲面的方程为:
高等数学(下)教案曲面及其方程
高等数学(下)教案曲面及其方程一、教学目标1. 理解曲面的概念，掌握曲面的表示方法。
2. 学习曲面的方程，了解曲面的性质和分类。
3. 能够运用曲面的知识解决实际问题。
二、教学内容1. 曲面的概念及表示方法曲面的定义曲面的表示方法：参数方程、普通方程、参数曲线2. 曲面的方程曲面的方程的定义曲面的方程的求法曲面的方程的性质3. 曲面的性质和分类曲面的基本性质：连续性、differentiability、smoothness 曲面的分类：凸面、凹面、平面、空间曲线4. 曲面的切线和法线曲面的切线的定义和性质曲面的法线的定义和性质5. 曲面的实例分析球面平面圆柱面圆锥面三、教学方法1. 讲授法：讲解曲面的概念、性质和分类，讲解曲面的方程的求法。
2. 案例分析法：分析具体的曲面实例，引导学生理解曲面的性质和方程。
3. 互动教学法：引导学生参与课堂讨论，提问和解答问题。
四、教学准备1. 教案和教学PPT2. 相关数学软件和模型五、教学评价1. 课堂参与度：学生参与课堂讨论、提问和解答问题的积极性。
2. 作业完成情况：学生完成作业的情况和答案的正确性。
3. 期末考试：期末考试中关于曲面及其方程的题目得分情况。
六、教学重点与难点1. 教学重点：曲面的概念及表示方法曲面的方程的求法和性质曲面的性质和分类曲面的切线和法线的性质2. 教学难点：曲面的方程的求法曲面的切线和法线的求法1. 课时安排：本章共安排8课时。
2. 课时分配：曲面的概念及表示方法（2课时）曲面的方程（2课时）曲面的性质和分类（2课时）曲面的切线和法线（1课时）曲面的实例分析（1课时）八、教学步骤1. 引入曲面的概念，引导学生思考曲面在现实生活中的应用。
2. 讲解曲面的表示方法，包括参数方程、普通方程和参数曲线。
3. 引导学生学习曲面的方程的求法，通过实例讲解。
4. 讲解曲面的性质和分类，引导学生理解曲面的不同特征。
5. 讲解曲面的切线和法线的性质，引导学生掌握切线和法线的求法。
高等数学教案：曲面及其方程+高一数学必备知识点
高等数学教案：曲面及其方程+高一数学必备知识点高等数学教案：曲面及其方程介绍各种常用的曲面，为下学期学习重积分、线面积分打下基础。
学生应该会写出常用的曲面方程，并对已知曲面方程能知道所表示曲面的形状。
本授课单元教学内容（包括基本内容、重点、难点，以及引导学生解决重点难点的方法、例题等）：基本内容：曲面方程的概念，几种常见曲面的方程及简单几何性质重点：几种常见曲面的方程及其图形难点：旋转曲面对学生的引导及重点难点的解决方法：从曲面方程的一般概念入手，围绕空间解析几何中关于曲面研究的两个基本问题展开讨论.讲清如何将曲面上点满足的几何关系表达成解析式，得出曲面的方程，及如何由已知方程讨论其图形在几何上的性态.本次课程除了给出各种曲面的一般形式，应突出在多元微分学中常用的几种曲面:球面，柱面及其旋转抛物面和各种柱面.在讲授时应把抽象的几何图形与现实生活中的事物联系起来.本节的难点是旋转曲面和柱面方程的建立.在建立方程时，一定要抓住哪些量在变，哪些量没变，变化的量之间的关系如何挖掘，从而找出问题的突破口，在解决问题时尽量结合直观的几何图形.。
例题：实例：水桶的表面、台灯的罩子面等，曲面在空间解析几何中被看成是点的几何轨迹例1：建立球心在、半径为R的球面的方程。
例2：设有点和，求线段的垂直平分面的方程。
其他例题参见PPT本授课单元教学手段与方法：本节教学采用多媒体教学同时结合一些实物.把抽象的几何图形具体化.本授课单元思考题、讨论题、作业：高等数学（同济五版）P3181.7.10（1）（4）.本授课单元参考资料（含参考书、文献等，必要时可列出）高等数学（同济五版）P310---P319注：1.每单元页面大小可自行添减；2.一个授课单元为一个教案；3.“重点”、“难点”、“教学手段与方法”部分要尽量具体；4.授课类型指：理论课、讨论课、实验或实习课、练习或习题课。
高一数学必备知识点三篇高一数学必备知识点1两个平面的位置关系：（1）两个平面互相平行的定义：空间两平面没有公共点（2）两个平面的位置关系：两个平面平行——没有公共点；两个平面相交——有一条公共直线。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
重庆科创职业学院授课教案
课名：高等数学（工本0023）教研窒：数理教研室班级：编写时间：
课题：
第四节 空间曲面及其方程
教学目的及要求：
知道旋转曲面、柱面，了解常见的二次曲面的方程及图形。
介绍空间曲线的各种表示形式。
是为重积分、曲面积分作准备的，学生应知道各种常用立体的解析表达式，并简单描图，对投影等应在学习时特别注意。
教学重点：
1.旋转曲面、柱面
2.空间曲线的一般表示形式
3.空间曲线在坐标面上的投影
教学难点：空间曲线在坐标面上的投影 教学步骤及内容 ：
一、 曲面方程的概念
曲面S 和三元方程F(x,y,z)=0满足：
（1）曲面S 上的任意一点的坐标都满足方程F(x,y,z)=0； （2）不在曲面S 上的点的坐标不满足方程F(x,y,z)=0；
那么称方程F(x,y,z)=0为曲面S 的方程，曲面S 称为方程F(x,y,z)=0的图形（见课本P159页图9.23）
我们通常知道平面方程式关于x,y,z 的三元一次方程，所以平面是曲面的特殊情形，本节讨论一些常见的含x,y,z 的二次方程所表示的曲面，称之为二次曲面。
二、 球面
建立以),,(0000z y x M 为球心，R 为半径的球面方程。
设M(x,y,z)是球面上的任意一点（见图9.24），则有R M M 0
旁批栏：
而2020200)()()(z z y y x x M M -+-+-=
所以 2
202020)()()(R z z y y x x =-+-+-
这就是以点),,(0000z y x M 为球心，R 为半径的球面方程。
当0000===z y x 时，得球心在原点，半径为R 的球面方程为
2222R z y x =++
三、柱面
动直线l 沿给定曲线C 平行移动所形成的曲面，称为柱面。
直线l 称为柱面的母线，定曲线C 称为柱面的准线。
我们只讨论准线在坐标面内，母线平行于坐标轴的柱面。
建立以xoy 面上的曲线C ；f(x,y)=0为准线，母线平行于z 轴的柱面方程。
设M(x,y,x)是柱面上的任意一点，过点M 的母线与xoy 面的交点N 一定在准线C 上（见图9.26）。
点N 的坐标为（x,y,0）;不论点M 的竖坐标z 取何值，它的横坐标x 和纵坐标y 都满足方程f(x,y)=0,因此所求柱面方程为
f(x,y)=0
在平面直角坐标系中，方程f(x,y)=0表示一条平面曲线，在空间直角坐
旁批栏：
6
四、 旋转曲面
平面曲线C 绕同一平面上定直线l 旋转一周所形成的曲面，称为旋
转曲面。
定直线称为旋转轴。
建立yoz 面上的一条曲线C:f(y,z)=0,绕z 轴旋转一周所形成的旋
转曲面的方程（见图9.31）
设M(x,y,z)为旋转曲面上的任一点，过点M 做平面垂直于Z 轴，
交z 轴于点P(0,0,z),交曲线C 于点),,,0(000z y M 由于点M 可以由点0M 绕z 轴旋转得到，因此有
)1.4.9(,0
0z z PM PM ==
因为,,0022y PM y x PM =+=
所以
)
2.4.9(2
20y x y +±=
又因为0M 在曲线C 上，所以0),(00=z y f ,将（9.4.1）,(9.4.2)代入上式，即得旋转曲面方程0),(2
2
=+±z y x f
可见，求平面曲线f(y,z)=0绕z 轴旋转的旋转曲面方程，只要将f(y,z)=0中的y 换成2
2y x +±
而z 保持不变，即得旋转曲面方程。
同理，曲线f(y,z)=0绕y 轴旋转的旋转曲面方程为
0),,(22=+±z x y f
五、 几种常见的二次曲面 1） 椭球面 2） 单叶双曲面 3） 双叶双曲面
4） 椭圆抛物面
7
双曲抛物面（鞍形曲面）方程为
z q
y p x =+-2222 （p 与q 同号） 当p >0， q >0时，其形状如图所示。
3．双曲面
单叶双曲面方程为
122
2222=-+c
z b y a x 双叶双曲面方程为
122
2222-=+-c
z b y a x 各种图形注意规律特点，可以写出其它的方程表达式。
小结与思考：曲面方程的概念，旋转曲面的概念及求法，柱面的概念(母线、准线)，了解方程对应的图形形状，并利用截痕法简单地描出图形。
作业：见作业本7.3。