曲面及其方程 1
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各种曲面的方程
各种曲面的方程
1. 球面方程
球面是一种非常常见的曲面，它的方程为：
(x-a)² + (y-b)² + (z-c)² = r²
其中，a、b、c分别为球心的坐标，r为球的半径。
这个方程描述了一个以(a,b,c)为球心，半径为r的球面。
球面在几何学中有着广泛的应用，比如在计算机图形学中，球面可以用来表示三维空间中的物体表面，比如球体、球形天体等等。
2. 椭球面方程
椭球面是一种比球面更加复杂的曲面，它的方程为：
(x/a)² + (y/b)² + (z/c)² = 1
其中，a、b、c分别为椭球面在x、y、z轴上的半轴长度。
这个方程描述了一个以原点为中心，半轴长度分别为a、b、c的椭球面。
椭球面在几何学中也有着广泛的应用，比如在地球科学中，椭球面可以用来表示地球的形状，以及计算地球的重力场等等。
3. 双曲面方程
双曲面是一种非常特殊的曲面，它的方程为：
(x/a)² + (y/b)² - (z/c)² = 1
其中，a、b、c分别为双曲面在x、y、z轴上的半轴长度。
这个方程描述了一个以原点为中心，半轴长度分别为a、b、c的双曲面。
双曲面在几何学中也有着广泛的应用，比如在物理学中，双曲面可以用来表示电磁场中的等势面，以及计算电场、磁场等等。
曲面方程是几何学中非常重要的一部分，它们可以用来描述各种不同形状的曲面，以及在各种不同领域中的应用。
高等数学上册第七章第五节 曲面及其方程
0z 3
在
yOz面上的投影
z
3y2 ,
xOy面上的圆 x 2 y 2 R2
叫做它的准线，平行于 z 轴的直线 l 叫做它的母线。 其实在 yOz 面内的一条直线: y R, 绕z轴旋转而成的旋转
曲面就是该圆柱面,则圆柱面方程为: x 2 y 2 R. 即
x2 y2 R2.
9
P11
定义: 平行于定直线并沿定曲线C平行移动的直线 l形成的轨迹
方程 Fx, y 0, 在空间 z
Fx, y 0,
直角坐标系中表示：
o 母线平行于 z 轴的柱面,
其准线是 xOy 面上的曲线
y
C : Fx, y 0.
x
C
方程 Gx,z 0, 在空间
直角坐标系中表示：
方程中缺哪个字母，母线 平行于相应的轴。
母线平行于 y轴的柱面, 其准线是 xOz 面上的曲线
1
在空间解析几何中关于曲面的研究,有下列两个基本问题: (1) 已知曲面点的几何轨迹，求曲面的方程； (2) 已知曲面的方程，求这方程所表示的曲面的形状。
1、球面方程
例1 建立球心在 M 0 x0 , y0 , z0 ,
半径为 R 的球面 S 的方程.
解：Mx, y, z S M0M R
M0 M x x0 2 y y0 2 z z0 2 ,
xz 0
o
x
y
12
小 结：
1.曲面的概念
2.球面方程 x x0 2 y y0 2 z z0 2 R2
3.平面方程 Ax By Cz D 0 作业:习题7-5
4.旋转曲面
作业纸P50
设 C : f y, z 0 yoz面
下次交P49-50
高等数学第七章：曲面及其方程
这条定直线叫旋 转曲面的轴．
4/21
旋转过程中的特征：
如图 设 M (x, y, z),
(1) z z1
（2）点M 到z 轴的距离
z
d M1(0, y1, z1)
M f ( y,z) 0
o
y
d x2 y2 | y1 | x
将 z z1 6; 7 ;
（1）双曲线
x2 a2
z2 c2
1分别绕 x轴和z轴；
绕x 轴旋转
x2 a2
y2 c2
z2
1
旋 转
双
绕z 轴旋转
x2 a2
y2
z2 c2
1
曲 面
x
y z
y2
（2）椭圆
a
2
z2 c2
1绕 y 轴和z轴；
x 0
绕 y 轴旋转
y2 a2
x2 c2
z2
1
0
2
叫圆锥面的
半顶角．试建立顶点在坐标原点，旋转轴为z 轴，
半顶角为 的圆锥面方程． z
解 yoz面上直线方程为 z y cot
圆锥面方程
z x2 y2 cot x
M1(0, y1, z1 )
o
y
M( x, y, z)
例6 将下列各曲线绕对应的轴旋转一周， 求生成的旋转曲面的方程．
4/21
二、旋转曲面
定义 以一条平面 曲线绕其平面上的 一条直线旋转一周 所成的曲面称为旋 转曲面. 这条定直线叫旋转 曲面的轴．
4/21
4/21
旋转过程中的特征：
如图 设 M (x, y, z),
(1) z z1
（2）点M 到z 轴的距离
z
d M1(0, y1, z1)
M f ( y,z) 0
o
y
d x2 y2 | y1 | x
将 z z1 6; 7 ;
（1）双曲线
x2 a2
z2 c2
1分别绕 x轴和z轴；
绕x 轴旋转
x2 a2
y2 c2
z2
1
旋 转
双
绕z 轴旋转
x2 a2
y2
z2 c2
1
曲 面
x
y z
y2
（2）椭圆
a
2
z2 c2
1绕 y 轴和z轴；
x 0
绕 y 轴旋转
y2 a2
x2 c2
z2
1
0
2
叫圆锥面的
半顶角．试建立顶点在坐标原点，旋转轴为z 轴，
半顶角为 的圆锥面方程． z
解 yoz面上直线方程为 z y cot
圆锥面方程
z x2 y2 cot x
M1(0, y1, z1 )
o
y
M( x, y, z)
例6 将下列各曲线绕对应的轴旋转一周， 求生成的旋转曲面的方程．
4/21
二、旋转曲面
定义 以一条平面 曲线绕其平面上的 一条直线旋转一周 所成的曲面称为旋 转曲面. 这条定直线叫旋转 曲面的轴．
4/21
8.5 曲面及其方程
1 1 0
椭圆柱面
双曲柱面 抛物柱面
x 2 2 py 0
F( x 2 y 2 , z ) 0
或者
F ( x 2 y 2 , z ) 0
同理 绕 y 轴旋转所成曲面方程为
F( y, x 2 z 2 ) 0
或者
F ( y, x 2 z 2 ) 0
例 把双曲线
y2 b
2
z2 c
2
1 分别绕 z 轴 , y 轴旋转 ,
求所得旋转面的方程 解 绕 z 轴 , S1:
x2 y2 b
2
z2 c
2
1
S1 称为旋转单叶双曲面 绕 y 轴 , S2 :
y b
2 2
x z
2
2
c
2
1
S2 称为旋转双叶双曲面
3º 柱面
柱面 一直线沿着给定的曲线 C 平行移动形成
的曲面称为柱面 , 移动的直线称为此柱面的母线 , z 曲线 C 称为此柱面的准线 若 S 的母线平行于 z 轴 , 则对于柱面上的点 P(x , y , z) 若将 P = (x , y , z) 平行于 z 轴上下
2º 旋转曲面 旋转曲面: 由一条平面曲线绕着一平面上的
一条定直线旋转而产生的曲面称为旋转面 , 定直
线称为此曲面的轴 , 曲线称为此曲面的母线 z 设在 yz 平面上给定一条曲线 S F ( y, z ) 0 : x0 o 绕 z 轴旋转所成曲面 S
y
x
任取 P(x , y , z) S
§8.5 曲面及其方程
1º 曲面方程的概念
曲面是具有某种几何特征的空间点的轨迹 如果曲面 S 与三元方程 F ( x, y, z ) 0 具有以下关系： （1）曲面 S 上任一点的坐标都满足方程 F ( x, y, z ) 0 （2）不在曲面 S 上任一点的坐标都不满足方程
高等数学6(6)曲面及其方程
p 0,q 0
21
特殊地 当p q时, 方程变为
x2 y2 z ( p 0)
旋转抛物面
2p 2p
x2 y2 z 2 p 2q
(由 xOz面上的抛物线 x2 2 pz 绕z轴旋转
而成的)
用平面 z z1 (z1 0)去截这曲面,截痕为圆.
x2
y2
2 pz1
z z1
当 z1变动时，这种圆 的中心都在 z 轴上.
特点是: 平方项有一个取负号,另两个取正号.
z z
O
x
yx
O
y
炼油厂、炼焦厂的冷却塔就是单叶双曲面
的形状.
24
x2 a2
y2 b2
z2 c2
1
单叶双曲面
z
类似地, 方程
x 2 a2
y2 b2
z2 c2
1
O
ax22
y2 b2
z2 c2
1
x
y
亦表示 单叶双曲面.
想一想 以上两方程的图形是与此图形 一样吗?
f ( y, x2 z2 ) 0
4
例3 直线L绕另一条与L相交的直线旋转一周
所得旋转曲面称为圆锥面. 两直线的交点称为
圆锥面的顶点, 两直线的夹角 (0 )称为
2 圆锥面的半顶角. 试建立顶点在坐标原点O, 旋
转轴为z轴,半顶角为 的圆锥面的方程.
解 yOz面上直线方程为 z
z
z y cot
z z1
当z1 0时,截痕退缩为原点;当z1 0时, 截痕不存在. 原点叫做椭圆抛物面的顶点.
19
x2 y2 z 2 p 2q
(2) 用坐标面 xOz( y 0)去截这曲面, 截痕为抛物线.
曲面的参数方程1
当u,v取遍变动区域的一切值时， 向径 OM= r(u,v) =x(u,v)e1+y(u,v)e2+z(u,v)e3 的终点M(x(u,v),y(u,v),z(u,v)) 所画的轨迹一般为一张曲面。
x z M
Σ
o y
2、曲面的参数方程
定义 2.2.2
如果取 u, v a u b, c v d 的一切可能取的值，
根据题意有 | MA || MB |,
x 1 y 2 z 3
2 2
2
x 2 y 1 z 4 ,
2 2 2
化简得所求方程 2 x 6 y 2 z 7 0.
例2 求两坐标面xOz和yOz所成二面角的平分面的方程。 解：因为所求平分面是与两坐标面xOz和yOz有等距离 的点的轨迹，因此M(x,y,z)在平分面上的充要条件是 |y|=|x| 即 x+y=0 与 x-y=0
已知 O(0,0,0), M (2,3,4) ，点M到O，M的距离比为1:2,
求M的轨迹方程 解
设 M ( x , y , z ) 是曲面上任一点，
| MO | 1 , 根据题意有 | MM 0 | 2 x2 y2 z2
x 2 y 3 z 4
2 2
2
当平面z c 上下移动时， 得到一系列圆
c
o
x
y
圆心在(1,2, c )，半径为 1 c
半径随c 的增大而增大. 图形上不封顶，下封底． 以上方法称为截痕法.
空间常见的曲面有：平面，球面，柱面，锥面， 旋转曲面，二次曲面等。 以上几例表明研究空间曲面有两个基本问题： （1）已知曲面作为点的轨迹时，求曲面方程． （讨论旋转曲面） （2）已知坐标间的关系式，研究曲面形状． （讨论柱面、二次曲面）
x z M
Σ
o y
2、曲面的参数方程
定义 2.2.2
如果取 u, v a u b, c v d 的一切可能取的值，
根据题意有 | MA || MB |,
x 1 y 2 z 3
2 2
2
x 2 y 1 z 4 ,
2 2 2
化简得所求方程 2 x 6 y 2 z 7 0.
例2 求两坐标面xOz和yOz所成二面角的平分面的方程。 解：因为所求平分面是与两坐标面xOz和yOz有等距离 的点的轨迹，因此M(x,y,z)在平分面上的充要条件是 |y|=|x| 即 x+y=0 与 x-y=0
已知 O(0,0,0), M (2,3,4) ，点M到O，M的距离比为1:2,
求M的轨迹方程 解
设 M ( x , y , z ) 是曲面上任一点，
| MO | 1 , 根据题意有 | MM 0 | 2 x2 y2 z2
x 2 y 3 z 4
2 2
2
当平面z c 上下移动时， 得到一系列圆
c
o
x
y
圆心在(1,2, c )，半径为 1 c
半径随c 的增大而增大. 图形上不封顶，下封底． 以上方法称为截痕法.
空间常见的曲面有：平面，球面，柱面，锥面， 旋转曲面，二次曲面等。 以上几例表明研究空间曲面有两个基本问题： （1）已知曲面作为点的轨迹时，求曲面方程． （讨论旋转曲面） （2）已知坐标间的关系式，研究曲面形状． （讨论柱面、二次曲面）
第三节 曲面及其方程学习资料
M (x,y,z)的坐标也满足方程 x2 y2 R2 ,
沿曲线C, 平行于z轴的一切直线所形成的曲面上的点
的坐标都满足此方程
19
此曲面称为圆柱面.
z
M•
在空间, x2y2R2就是圆柱面方程.
•
C
因此,该方程的图形是以xOy面上圆为准线, x
OM1
• •
• •
y
•
母线平行于z轴的柱面.
L
20
z
第三节 曲面及其方程
z
一、曲面方程的概念
F(x, y,z) 0
S
曲面方程的定义
O
y
如果曲面S与三元方程 F (x ,y ,z) x0 有下述关系:
(1) 曲面S上任一点的坐标都满足方程;
(2) 不在曲面S上的点的坐标都不满足方程;
那么, 方 F (x 程 ,y ,z ) 0就叫做曲面S的方程,
而曲面S就叫做方程的图形.
13
圆锥面方程 zx2y2cot
即 z 2 a 2 (x 2 y 2 )( a co ) t
a1时, cot1
4
即 圆锥面方程 z2x2y2
(用得较多)
14
yOz面上直线方程为 yzcot
绕y轴旋转所得曲面方程及图形.
y x2z2cot
即 y 2 c2 o (x 2 t z2 )
绕 y轴 旋 转 ay22x2c2z21
旋 转
椭
绕 z轴 旋 转 x2a2y2cz22 1
球 面
(3) yO坐 z 标面上的抛y2物 2线 pz绕z轴.
x2y22pz 旋转抛物面
17
三、柱面 (cylindrical surface )
曲面及其方程
1( x − 1) + 2( y − 1) + 3( z − 1) π ∴ cos = 6 1 + 4 + 9 ( x − 1)2 + ( y − 1)2 + ( z − 1)2
化简得所求方程 2 x − 6 y + 2 z − 7 = 0.
2 2 例4 方程 z = ( x − 1) + ( y − 2) − 1的图形是怎样的？
解
根据题意有 z ≥ −1
用平面 z = c 去截图形得圆：
z
( x − 1)2 + ( y − 2)2 = 1 + c (c ≥ −1)
当平面 z = c 上下移动时， 得到一系列圆
F( x, y, z) = a1x + a2 y + a3z + a4 xy+ a5 yz + a6zx + a7 x + a8 y + a9z + a10
2 2 2
以下给出几例常用的曲面.
例 1 建立球心在点 M 0 ( x 0 , y 0 , z 0 ) 、半径为R 的球面方程 .
解
设 M ( x , y , z ) 是球面上任一点，
注意
方程
x=2
平面解析几何中
空间解析几何中
平行于 y 轴的直线 平行于 yoz 面的平面 圆心在( 0,0)，
x2 + y2 = 4
y = x+1
半径为 2 的圆
斜率为1的直线
以 z 轴为中心轴的圆柱面
平行于 z 轴的平面
练习 1、 解
x −1 y z 直线 L : = = 绕 z 轴旋转一周, 0 1 1 求旋转曲面的方程.
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(1)
yoz面上的双曲线
y2 z2 b2 c2 1
分别绕 y 轴和 z 轴;
绕 y轴:
y2 b2
z2 x2 c2
1
旋转双叶双曲面
绕 z 轴:
x2 y2 z2 b2 c2 1
旋转单叶双曲面
(2) yoz面上的椭圆
y2 b2
z2 c2
1
分别绕
y 轴和 z 轴;
绕 y轴:
y2 b2
z2 x2 c2
第三节 曲面及其方程-1 一、曲面方程的概念 ◆曲面的实例：水桶的表面、地球的表面等等． ◆在空间解析几何中,曲面被看成 空间点的几何轨迹． ◆曲面方程的定义：
如果曲面S与三元方程F ( x, y, z) 0有如下关系 : (1)曲面S上的点的坐标 都满足方程; (2)不在曲面S上的点的坐标 都不满足方程,
展开 x2 y2 z2 Ax By Cz D 0; 反之, 任给 x2 y2 z2 Ax By Cz D 0 的图形 ?
( x A)2 ( y B)2 (z C )2 1 ( A2 B2 C 2 4D),
2
2
24
若 A2 B2 C 2 4D 0, 方程的图形是球面; 若 A2 B2 C 2 4D 0, 方程的图形是一个点; 若 A2 B2 C 2 4D 0, 方程的图形不存在.
例2 已知A(1,2,3), B(2,1,4),求线段AB的中垂面方程. 解 设M ( x, y, z)是中垂面上的任意一点, | MA || MB |,
x 12 y 22 z 32 x 22 y 12 z 42 ,
化简,得 : 2x 6 y 2z 7 0, 又因为不在曲面上的点的坐标不满足上述方程, 所以, 上述方程即为所求的中垂面方程.
则称方程F ( x, y, z) 0是 曲面S的方程, 称曲面S是 方程F ( x, y, z,) 0的图形.
◆ 研究空间曲面的两个基本问题： 1. 已知曲面的形成条件，求曲面的方程; 2. 已知曲面方程，认识曲面的形状．
例1 建立球心在点M0( x0, y0, z0),半径为R的球面方程. 解 设M ( x, y, z)是球面上任意一点, | MM0 | R,
圆
绕 y 轴： x2 z2 y 0,
锥
面
即: y x2 z2 , 或 y2 x2 z2.
例3 求以O为顶点, z轴为旋转轴,半顶角为(0 )
的圆锥面的方程.
2
解 此圆锥面可视为 yoz 面上的直线 z y cot
绕z轴旋转面成的旋转曲面,
所求方程为: z x2 y2 cot ,
x x0 2 y y0 2 z z0 2 R,
x x0 2 y y0 2 z z0 2 R2,
又 不在球面上的点的坐标不满足上述方程, 上述方程即为所要求的球面方程.
◆特殊地,球心在原点时方程化为: x2 y2 z2 R2.
◆关于球面方程的说明:
x x0 2 y y0 2 z z0 2 R2
3
3 9
又因为不在曲面上的点的坐标不满足上述方程,
所以,上述方程即为所要求的曲面方程.
二、旋转曲面
定义 以一条平面曲线绕该平面上的一定直线旋转一周 所成的曲面称为旋转曲面.
该定直线叫旋转曲面的轴, 该曲线叫旋转曲面的母线.
◆旋转曲面的方程的求法：
如图: 显然 f ( y1, z1) 0, 又 (1) z1 z,
直线L叫母线. C
◆柱面举例：
z
• M(x, y,z)
• M( x, y,0)
o
y
x
x2 2y
抛物柱面
z
平面
o x
y
y x
z
圆柱面
o
y
x
x2 y2 4
◆从柱面方程看柱面的特征： •以上各柱面的方程的共同的特征是: 只含x, y而缺z. • 一般地, 若在xoy平面上,方程F ( x, y) 0表示一条曲线, 则方程F ( x, y) 0在空间的图形是 母线平行于z轴的柱面, 平面曲线F ( x, y) 0是该柱面的准线.
(2) 点M到z轴的距离
d x2 y2 | y1 |,
x
y1 x2 y2 ,
(0,0, z1)
z
f ( y,z) 0
M1(0, y1, z1)
M (x, y,z)
o
y
f ( x2 y2 , z) 0, 即为所求.
◆旋转曲面的方程的一般结果： 绕z轴 f ( x2 y2 , z ) 0,
例3 求与原点O及M0(2,3,4)的距离之比为1 : 2的点的全体 所组成的曲面方程.
解 设M ( x, y, z)是曲面上的任意一点, | MO | 1 , | MM0 | 2
即
x2 y2 z2
1,
x 22 y 32 z 42 2
x 2 2 y 12 z 4 2 116 ,
例1 根据上述结论,研究球面x2 y2 z2 R2的形成.
绕 x轴 解 x2 y2 R2 绕 y轴
x2 y2 z2 R2
例2 求yoz平面上的曲线 z y 0 分别绕z轴和y轴旋转 所成的旋转曲面的方程.
解 绕 z 轴： z x2 y2 0,
即 : z x2 y2 , 或 z2 x2 y2;
或 z2 ( x2 y2 )cot2 .
方程 z2 a2( x2 y2 ),a 0 均表示圆锥面;
方程 y2 a2(z2 x2 ),a 0 均表示圆锥面;
方程 x2 a2( y2 z2 ),a 0 均表示圆锥面.
练习 将下列各曲线绕对应的
绕 z 轴:
x2 y2 z2 b2 c2 1
球 面
(3) yoz面上的抛物线 y2 2 pz 绕 z 轴.
x2 y2 2 pz 旋转抛物面
p 0, 开口向上; p 0, 开口向下.
// 三、柱面 定义 平行于定直线并沿定曲线 C 移动的直线 L 所形成的曲面称为柱面.
L 曲线C叫准线,
1. f y, z 0
绕y轴 f ( y, x2 z2 ) 0;
绕x轴 f ( x, y2 z2 ) 0,
2. f x, y 0
绕y轴 f ( x2 z2 , y ) 0;
绕x轴 f ( x, y2 z2 ) 0,
3. f x, z 0
绕z轴 f ( x2 y2 , z ) 0.