2012高考数学全国各地模拟试题分类汇编4 导数4 理

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2012年高考试题+模拟新题分类汇编(数学理)N 选修4系列

N2 选修4-2 矩阵21 B ．N2 [2012·江苏卷]已知矩阵A 的逆矩阵A－1＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤－14 3412 －12，求矩阵A 的特征值．21 B ．解：因为A －1A ＝E ，所以A ＝(A －1)－1.因为A －1＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤－143412－12，所以A ＝(A －1)－1＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤2 32 1，于是矩阵A 的特征多项式为f (λ)＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪λ－2 －3－2 λ－1＝λ2－3λ－4. 令f (λ)＝0，解得A 的特征值λ1＝－1，λ2＝4.21A ．N2 [2012·福建卷] 设曲线2x 2＋2xy ＋y 2＝1在矩阵A ＝⎝⎛⎭⎫a b 01(a ＞0)对应的变换作用下得到的曲线为x 2＋y 2＝1.(1)求实数a ，b 的值； (2)求A 2的逆矩阵．21A ．解： (1)设曲线2x 2＋2xy ＋y 2＝1上任意点P (x ，y )在矩阵A 对应的变换作用下的像是P ′(x ′，y ′)．由⎝⎛⎭⎫x ′y ′＝⎝⎛⎭⎫a b 01⎝⎛⎭⎫x y ＝⎝⎛⎭⎫ax bx ＋y ，得⎩⎪⎨⎪⎧x ′＝ax ，y ′＝bx ＋y .又点P ′(x ′，y ′)在x 2＋y 2＝1上，所以x ′2＋y ′2＝1，即a 2x 2＋(bx ＋y )2＝1，整理得(a 2＋b 2)x 2＋2bxy ＋y 2＝1.依题意得⎩⎪⎨⎪⎧ a 2＋b 2＝2，2b ＝2，解得⎩⎪⎨⎪⎧ a ＝1，b ＝1，或⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－1，b ＝1.因为a ＞0，所以⎩⎪⎨⎪⎧a ＝1，b ＝1.(2)由(1)知，A ＝⎝⎛⎭⎫11 01，A 2＝⎝⎛⎭⎫11 01⎝⎛⎭⎫11 01＝⎝⎛⎭⎫12 01，所以|A 2|＝1，(A 2)－1＝⎝⎛⎭⎫1－2 01.3．C3、N2[2012·上海卷] 函数f (x )＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪2 cos x sin x －1的值域是________．3.⎣⎡⎦⎤－52，－32 [解析] 考查二阶矩阵和三角函数的值域，以矩阵为载体，实为考查三角函数的值域，易错点是三角函数的化简．f (x )＝－2－sin x cos x ＝－2－12sin2x ，又－1≤sin2x ≤1，所以f (x )＝－2－12sin2x 的值域为⎣⎡⎦⎤－52，－32.N3 选修4-4 坐标系与参数方程12．N3[2012·天津卷] 已知抛物线的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2pt 2，y ＝2pt (t 为参数)，其中p ＞0，焦点为F ，准线为l .过抛物线上一点M 作l 的垂线，垂足为E .若|EF |＝|MF |，点M 的横坐标是3，则p ＝________.12．2 [解析] 本题考查抛物线的参数方程及抛物线的性质，考查运算求解能力及转化思想，中档题．将参数方程⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2pt 2，y ＝2pt 化为普通方程为y 2＝2px (p >0)，并且F ⎝⎛⎭⎫p 2，0，E ⎝⎛⎭⎫－p2，±6p ，又∵|EF |＝|MF |＝|ME |，即有3＋p2＝⎣⎡⎦⎤p 2－⎝⎛⎭⎫－p 22＋(±6p －0)2，解之得 p ＝±2(负值舍去)，即p ＝2. 10． N3[2012·上海卷] 如图1－1所示，在极坐标系中，过点M (2,0)的直线l 与极轴的夹角α＝π6，若将l 的极坐标方程写成ρ＝f (θ)的形式，则f (θ)＝________.图1－110.1sin ⎝⎛⎭⎫π6－θ [解析] 考查极坐标方程，关键是写出直线的极坐标方程，再按要求化简．由已知得直线方程为y ＝(x －2)tan π6，化简得x －3y －2＝0，转化为极坐标方程为：ρcos θ－3ρsin θ－2＝0，解得ρ＝2cos θ－3sin θ＝1sin ⎝⎛⎭⎫π6－θ，所以f (θ)＝1sin ⎝⎛⎭⎫π6－θ.15 C. N3 [2012·陕西卷]直线2ρcos θ＝1与圆ρ＝2cos θ相交的弦长为________．15C. 3 [解析] 本题考查了极坐标的相关知识，解题的突破口为把极坐标化为直角坐标．由2ρcos θ＝1得2x ＝1①，由ρ＝2cos θ得ρ2＝2ρcos θ，即x 2＋y 2＝2x ②，联立①②得y ＝±32，所以弦长为 3.23．N3[2012·辽宁卷]在直角坐标系xOy .圆C 1：x 2＋y 2＝4，圆C 2：(x －2)2＋y 2＝4.(1)在以O 为极点，x 轴正半轴为极轴的极坐标系中，分别写出圆C 1，C 2的极坐标方程，并求出圆C 1，C 2的交点坐标(用极坐标表示)；(2)求圆C 1与C 2的公共弦的参数方程．23．解：(1)圆C 1的极坐标方程为ρ＝2，圆C 2的极坐标方程为ρ＝4cos θ.解⎩⎪⎨⎪⎧ρ＝2，ρ＝4cos θ得ρ＝2，θ＝±π3.故圆C 1与圆C 2交点的坐标为⎝⎛⎭⎫2，π3，⎝⎛⎭⎫2，－π3. 注：极坐标系下点的表示不唯一． (2)(解法一)由⎩⎪⎨⎪⎧x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ得圆C 1与C 2交点的直角坐标分别为(1，3)，(1，－3)．故圆C 1与C 2的公共弦的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，y ＝t－3≤t ≤ 3.(或参数方程写成⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，y ＝y－3≤y ≤3)(解法二)在直角坐标系下求得弦C 1C 2的方程为x ＝1(－3≤y ≤3)．将x ＝1代入⎩⎪⎨⎪⎧x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ得ρcos θ＝1，从而ρ＝1cos θ.于是圆C 1与C 2的公共弦的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，y ＝tan θ，－π3≤θ≤π3. 23．N3[2012·课标全国卷]已知曲线C 1的参数方程是⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2cos φ，y ＝3sin φ(φ为参数)，以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 2的极坐标方程是ρ＝2，正方形ABCD 的顶点都在C 2上，且A ，B ，C ，D 依逆时针次序排列，点A 的极坐标为⎝⎛⎭⎫2，π3. (1)求点A ，B ，C ，D 的直角坐标；(2)设P 为C 1上任意一点，求|P A |2＋|PB |2＋|PC |2＋|PD |2的取值范围．23．解：(1)由已知可得A 2cos π3，2sin π3，B 2cos π3＋π2,2sin π3＋π2，C 2cos π3＋π,2sin π3＋π，D 2cos π3＋3π2,2sin π3＋3π2，即A (1，3)，B (－3，1)，C (－1，－3)，D (3，－1)． (2)设P (2cos φ，3sin φ)，令S ＝|P A |2＋|PB |2＋|PC |2＋|PD |2，则S ＝16cos 2φ＋36sin 2φ＋16 ＝32＋20sin 2φ.因为0≤sin 2φ≤1，所以S 的取值范围是[32,52]．21 C ．N3[2012·江苏卷]在极坐标系中，已知圆C 经过点P ⎝⎛⎭⎫2，π4，圆心为直线ρsin ⎝⎛⎭⎫θ－π3＝－32与极轴的交点，求圆C 的极坐标方程． 21C ．解：在ρsin ⎝⎛⎭⎫θ－π3＝－32中令θ＝0，得ρ＝1，所以圆C 的圆心坐标为(1,0)．因为圆C 经过点P ⎝⎛⎭⎫2，π4，所以圆C 的半径PC ＝(2)2＋12－2×1×2cos π4＝1，于是圆C 过极点，所以圆C 的极坐标方程为ρ＝2cos θ.9．N3[2012·湖南卷] 在直角坐标系xOy 中，已知曲线C 1：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝t ＋1，y ＝1－2t (t 为参数)与曲线C 2：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝a sin θ，y ＝3cos θ(θ为参数，a ＞0)有一个公共点在x 轴上，则a ＝________.9.32[解析] 考查直线与椭圆的参数方程，此类问题的常规解法是把参数方程转化为普通方程求解，此题的关键是，得出两曲线在x 轴上的一个公共点，即为曲线C 1与x 轴的交点，化难为易．曲线C 1：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝t ＋1，y ＝1－2t(t 为参数)的普通方程是2x ＋y －3＝0，曲线C 2的普通方程是x 2a 2＋y 29＝1，两曲线在x 轴上的一个公共点，即为曲线C 1与x 轴的交点⎝⎛⎭⎫32，0，代入曲线C 2，得⎝⎛⎭⎫322a 2＋029＝1，解得a ＝32.16．N3[2012·湖北卷]在直角坐标系xOy 中，以原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立坐标系．已知射线θ＝π4与曲线⎩⎪⎨⎪⎧x ＝t ＋1，y ＝(t －1)2(t 为参数)相交于A ，B 两点，则线段AB 的中点的直角坐标为________．16.⎝⎛⎭⎫52，52 [解析] 曲线⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝t ＋1，y ＝()t －12 化为直角坐标方程是y ＝()x －22，射线θ＝π4化为直角坐标方程是y ＝x ()x ≥0.联立⎩⎪⎨⎪⎧y ＝()x －22，y ＝x ()x ≥0，消去y 得x 2－5x ＋4＝0，解得x 1＝1，x 2＝4.所以y 1＝1，y 2＝4.故线段AB 的中点的直角坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫x 1＋x 22，y 1＋y 22，即⎝⎛⎭⎫52，52. 21B. N3 [2012·福建卷]在平面直角坐标系中，以坐标原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系．已知直线l 上两点M ，N 的极坐标分别为(2,0)，⎝⎛⎭⎫233，π2，圆C 的参数方程为⎩⎨⎧x ＝2＋2cos θ，y ＝－3＋2sin θ(θ为参数)． (1)设P 为线段MN 的中点，求直线OP 的平面直角坐标方程； (2)判断直线l 与圆C 的位置关系．21B. 解：(1)由题意知，M ，N 的平面直角坐标分别为(2,0)，⎝⎛⎭⎫0，233，又P 为线段MN 的中点，从而点P 的平面直角坐标为⎝⎛⎭⎫1，33，故直线OP 的平面直角坐标方程为y ＝33x .(2)因为直线l 上两点M ，N 的平面直角坐标分别为(2,0)，⎝⎛⎭⎫0，233，所以直线l 的平面直角坐标方程为3x ＋3y －23＝0. 又圆C 的圆心坐标为(2，－3)，半径r ＝2，圆心到直线l 的距离d ＝|23－33－23|3＋9＝32＜r ，故直线l 与圆C 相交．13．N3[2012·安徽卷] 在极坐标系中，圆ρ＝4sin θ的圆心到直线θ＝π6(ρ∈R )的距离是________．13.3 [解析] 本题考查极坐标与直角坐标的互化，圆的方程，点到直线的距离．应用极坐标与直角坐标的互化公式⎩⎪⎨⎪⎧x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ将圆ρ＝4sin θ化为直角坐标方程为x 2＋()y －22＝4，直线θ＝π6化为直角坐标方程为y ＝33x .因为x 2＋()y －22＝4的圆心为()0，2，所以圆心()0，2到直线y ＝33x ，即3x －3y ＝0的距离为d ＝||2×()－3()33＋32＝ 3.9．N3[2012·北京卷] 直线⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝2＋t ，y ＝－1－t (t 为参数)与曲线⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3cos α，y ＝3sin α(α为参数)的交点个数为________．9．2 [解析] 本题主要考查直线和圆的位置关系，考查参数方程和普通方程之间的转化等基础知识，考查数形结合思想的运用．方程转化为普通方程，直线为x ＋y ＝1，圆为x 2＋y 2＝9，法一：圆心到直线的距离为d ＝|1|2＝12<3，所以直线与圆相交，答案为2.法二：联立方程组⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋y 2＝9，x ＋y ＝1，消去y 可得x 2－x －4＝0，Δ>0，所以直线和圆相交，答案为2.14．N3[2012·广东卷] (坐标系与参数方程选做题)在平面直角坐标系xOy 中，曲线C 1和C 2的参数方程分别为⎩⎨⎧ x ＝t ，y ＝t (t 为参数)和⎩⎨⎧x ＝2cos θ，y ＝2sin θ(θ为参数)，则曲线C 1与C 2的交点坐标为________．14．(1,1) [解析] 本题考查参数方程与直角坐标方程之间的转化，突破口是把参数方程转化为直角坐标方程，利用方程思想解决，C 1的直角坐标方程为：y 2＝x (x ≥0)，C 2的直角坐标方程为：x 2＋y 2＝2，联立方程得：⎩⎪⎨⎪⎧ y 2＝x ，x 2＋y 2＝2，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，y ＝1，所以交点坐标为(1,1)．图1－315．N3[2012·江西卷] (1)(坐标系与参数方程选做题)曲线C 的直角坐标方程为x 2＋y 2－2x ＝0，以原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，则曲线C 的极坐标方程为________．N4(2)(不等式选做题)在实数范围内，不等式|2x －1|＋|2x ＋1|≤6的解集为________．15．(1)ρ＝2cos θ [解析] 考查极坐标方程与普通方程的转化；解题的突破口是利用点P 的直角坐标(x ，y )与极坐标(ρ，θ)的关系转化．由于ρ2＝x 2＋y 2，ρcos θ＝x ，因此x 2＋y 2－2x ＝0的极坐标方程为ρ＝2cos θ.(2)⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪－32≤x ≤32 [解析] 考查绝对值不等式的解法，以及分类讨论思想；解题的突破口是利用零点讨论法去掉绝对值符号，将不等式转化为一般不等式(组)求解．当x >12时，原不等式可化为2x －1＋2x ＋1≤6，解得x ≤32，此时12<x ≤32；当x <－12时，原不等式可化为－2x ＋1－2x －1≤6，解得x ≥－32，此时－32≤x <－12；当－12≤x ≤12时，原不等式可化为1－2x ＋2x ＋1≤6，解得x ∈R ，此时－12≤x ≤12.综上，原不等式的解集为⎣⎡⎦⎤－32，32.24．N3[2012浙江卷]在直角坐标系xOy 中，设倾斜角为α的直线l ：⎩⎨⎧ x ＝2＋t cos α，y ＝3＋t sin α(t 为参数)与曲线C ：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2cos θ，y ＝sin θ(θ为参数)相交于不同两点A ，B .(1)若α＝π3，求线段AB 中点M 的坐标；(2)若|P A |·|PB |＝|OP |2，其中P (2，3)，求直线l 的斜率．解：设直线l 上的点A ，B 对应参数分别为t 1，t 2.将曲线C 的参数方程化为普通方程x 24＋y 2＝1.(1)当α＝π3时，设点M 对应参数为t 0.直线l 方程为⎩⎨⎧x ＝2＋12t ，y ＝3＋32t(t 为参数)．代入曲线C 的普通方程x 24＋y 2＝1，得13t 2＋56t ＋48＝0，则t 0＝t 1＋t 22＝－2813，所以，点M 的坐标为⎝⎛⎭⎫1213，－313. (2)将⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2＋t cos α，y ＝3＋t sin α代入曲线C 的普通方程x 24＋y 2＝1，得(cos 2α＋4sin 2α)t 2＋(83sin α＋4cos α)t＋12＝0，因为|P A |·|PB |＝|t 1t 2|＝12cos 2α＋4sin 2α，|OP |2＝7，所以12cos 2α＋4sin 2α＝7. 得tan 2α＝516.由于Δ＝32cos α(23sin α－cos α)>0，故tan α＝54. 所以直线l 的斜率为54.N4 选修4-5 不等式选讲23．N4 [2012浙江卷]已知a ∈R ，设关于x 的不等式|2x －a |＋|x ＋3|≥2x ＋4的解集为A .(1)若a ＝1，求A ；(2)若A ＝R ，求a 的取值范围．23.解：(1)当x ≤－3时，原不等式化为－3x －2≥2x ＋4，综合得x ≤－3.当－3<x ≤12时，原不等式化为－x ＋4≥2x ＋4，综合得－3<x ≤0.当x >12时，原不等式为3x ＋2≥2x ＋4，得x ≥2.综上，A ＝{x |x ≤0或x ≥2}．(2)当x ≤－2时，|2x －a |＋|x ＋3|≥0≥2x ＋4成立．当x >－2时，|2x －a |＋|x ＋3|＝|2x －a |＋x ＋3≥2x ＋4，得x ≥a ＋1或x ≤a －13，所以a ＋1≤－2或a ＋1≤a －13，得a ≤－2，综上，a 的取值范围为a ≤－2. 15 A ．N4 [2012·陕西卷]若存在实数x 使|x －a |＋|x －1|≤3成立，则实数a 的取值范围是________．15A. －2≤a ≤4 [解析] 本题考查了不等式解法的相关知识，解题的突破口是理解不等式的几何意义．|x －a |＋|x －1|≤3表示的几何意义是在数轴上一点x 到1的距离与到a 的距离之和小于或等于3个单位长度，此时我们可以以1为原点找离此点小于或等于3个单位长度的点即为a 的取值范围，不难发现－2≤a ≤4.24．N4[2012·辽宁卷]已知f (x )＝|ax ＋1|(a ∈R )，不等式f (x )≤3的解集为{x |－2≤x ≤1}．(1)求a 的值；(2)若⎪⎪⎪⎪f (x )－2f ⎝⎛⎭⎫x 2≤k 恒成立，求k 的取值范围． 24．解：(1)由|ax ＋1|≤3得－4≤ax ≤2. 又f (x )≤3的解集为{x |－2≤x ≤1}，所以当a ≤0时，不合题意．当a ＞0时，－4a ≤x ≤2a，得a ＝2.(2)记h (x )＝f (x )－2f ⎝⎛⎭⎫x 2，则h (x )＝⎩⎨⎧1， x ≤－1，－4x －3，－1＜x ＜－12，－1， x ≥－12，所以|h (x )|≤1，因此k ≥1.24．N4[2012·课标全国卷]已知函数f (x )＝|x ＋a |＋|x －2|. (1)当a ＝－3时，求不等式f (x )≥3的解集；(2)若f (x )≤|x －4|的解集包含[1,2]，求a 的取值范围． 24．解：(1)当a ＝－3时，f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－2x ＋5，x ≤2，1，2<x <3，2x －5，x ≥3.当x ≤2时，由f (x )≥3得－2x ＋5≥3，解得x ≤1；当2<x <3时，f (x )≥3无解；当x ≥3时，由f (x )≥3得2x －5≥3，解得x ≥4；所以f (x )≥3的解集为{x |x ≤1}∪{x |x ≥4}． (2)f (x )≤|x －4|⇔|x －4|－|x －2|≥|x ＋a |. 当x ∈[1,2]时，|x －4|－|x －2|≥|x ＋a | ⇔4－x －(2－x )≥|x ＋a |⇔－2－a ≤x ≤2－a . 由条件得－2－a ≤1且2－a ≥2，即－3≤a ≤0. 故满足条件的a 的取值范围为[－3,0]．21 D ．N4 [2012·江苏卷]已知实数x ，y 满足：|x ＋y |＜13，|2x －y |＜16，求证：|y |＜518.21D ．证明：因为3|y |＝|3y |＝|2(x ＋y )－(2x －y )|≤2|x ＋y |＋|2x －y |，由题设知|x ＋y |<13，|2x －y |<16，从而3|y |<23＋16＝56，所以|y |<518.10．N4[2012·湖南卷] 不等式|2x ＋1|－2|x －1|＞0的解集为________． 10.⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪x >14 [解析] 考查解含绝对值不等式，此题的关键是转化为|2x ＋1|>2|x －1|，再两边平方，轻松求解．不等式转化为|2x ＋1|>2|x －1|，两边平方得(2x ＋1)2>4(x －1)2，化简得4x >1，解得x >14，故解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪x >14.6．N4[2012·湖北卷] 设a ，b ，c ，x ，y ，z 是正数，且a 2＋b 2＋c 2＝10，x 2＋y 2＋z 2＝40，ax ＋by ＋cz ＝20，则a ＋b ＋cx ＋y ＋z＝( )A.14B.13C.12D.346．C [解析] 由柯西不等式得(a 2＋b 2＋c 2)(x 2＋y 2＋z 2)＝10×40≥(ax ＋by ＋cz )2＝202，显然上式应取等号，此时a ＝kx ，b ＝ky ，c ＝kz ，则a 2＋b 2＋c 2＝k 2(x 2＋y 2＋z 2)＝40k 2＝10，得k ＝12(舍去负值)，所以a ＋b ＋c x ＋y ＋z ＝a x＝k ＝12.故选C.9．N4[2012·广东卷] 不等式|x ＋2|－|x |≤1的解集为________． 9.⎩⎨⎧x ⎪⎪⎭⎬⎫x ≤－12 [解析] 当x ≤－2，不等式化为：－x －2＋x ≤1，即－2≤1恒成立，所以此时解集为：{x |x ≤－2}；当－2<x ≤0时，不等式化为：x ＋2＋x ≤1，解得x ≤－12，所以不等式的解集是：⎩⎨⎧x ⎪⎪⎭⎬⎫－2<x ≤－12. 当x >0时，不等式化为：x ＋2－x ≤1，即2≤1，此时解集为空集．综上，不等式的解集为：⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪x ≤－12. 21C. N4 [2012·福建卷]已知函数f (x )＝m －|x －2|，m ∈R ，且f (x ＋2)≥0的解集为[－1,1]． (1)求m 的值；(2)若a ，b ，c ∈R ，且1a ＋12b ＋13c＝m ，求证：a ＋2b ＋3c ≥9.21C. 解：(1)因为f (x ＋2)＝m －|x |，f (x ＋2)≥0等价于|x |≤m ，由|x |≤m 有解，得m ≥0，且其解集为{x |－m ≤x ≤m }．又f (x ＋2)≥0的解集为[－1,1]，故m ＝1.(2)由(1)知1a ＋12b ＋13c ＝1，又a ，b ，c ∈R ，由柯西不等式得a ＋2b ＋3c ＝(a ＋2b ＋3c )⎝⎛⎭⎫1a ＋12b ＋13c ≥⎝⎛⎭⎫a ·1a ＋2b ·12b ＋3c ·13c 2＝9.2012模拟题3．[2012·湖北重点中学联考] 以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 1的极坐标方程为ρsin ⎝⎛⎭⎫θ＋π6＋m ＝0，曲线C 2的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝cos α，y ＝sin α(0<α<π)，若曲线C 1与C 2有两个不同的交点，则实数m 的取值范围是________．4. ⎝⎛⎭⎫－1，－12 [解析] 本题主要考查极坐标的基本运算．属于基础知识、基本运算的考查． C 1的极坐标方程为ρsin ⎝⎛⎭⎫θ＋π6＋m ＝0，化为普通方程是3y ＋x ＋2m ＝0，曲线C 2的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝cos α，y ＝sin α，化为普通方程是x 2＋y 2＝1(y >0)，画出图象可知曲线C 1与C 2有两个不同的交点，则实数m 的取值范围是⎝⎛⎭⎫－1，－12.4．[2012·唐山一模] 以直角坐标系的原点O 为极点，x 轴正半轴为极轴，并在两种坐标系中取相同的单位长度．已知直线l 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝12＋t cos α，y ＝t sin α(t 为参数，0<α<π)，曲线C 的极坐标方程为ρ＝2cos θsin 2θ.(1)求曲线C 的直角坐标方程；(2)设直线l 与曲线C 相交于A 、B 两点，当α变化时，求|AB |的最小值．9．解：(1)由ρ＝2cos θsin 2θ，得(ρsin θ)2＝2ρcos θ，所以曲线C 的直角坐标方程为y 2＝2x .(2)将直线l 的参数方程代入y 2＝2x ，得t 2sin 2α－2t cos α－1＝0. 设A 、B 两点对应的参数分别为t 1、t 2，则t 1＋t 2＝2cos αsin 2α，t 1t 2＝－1sin 2α，∴|AB |＝|t 1－t 2|＝(t 1＋t 2)2－4t 1t 2＝4cos 2αsin 4α＋4sin 2α＝2sin 2α，当α＝π2时，|AB |取最小值2.5．[2012·唐山一模] 设f (x )＝2|x |－|x ＋3|. (1)求不等式f (x )≤7的解集S ；(2)若关于x 的不等式f (x )＋|2t －3|≤0有解，求参数t 的取值范围．5．解：(1)f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧3－x ，x <－3，－3x －3，－3≤x ≤0，x －3，x >0.如图，函数y ＝f (x )的图象与直线4，x 2＝10的两点，由此得S ＝[－4,10]．(2)由(1)知，则不等式f (x )＋|2t －3|≤0有解必须且只需－3＋|2t －3|≤0，解得0≤t ≤3，真诚为您提供优质参考资料，若有不当之处，请指正。

山东省各地市2012年高考数学(理科)最新试题分类大汇编4导数(4)

山东省各地市2012年高考数学（理科）最新试题分类大汇编：第4部分：导数（4）一、选择题【山东省青州市2012届高三上学期期中理】3．已知00,(21)6tt x dx >-=⎰若，则t 的值等于（） A ．2 B ．3 C ．6 D ．8【答案】B【山东省日照市2012届高三上学期期末理】（6）由直线x y y x x cos 0,3,3===-=与曲线ππ所围成的封闭图形的面积为（A ）21 （B ）1 （C ）23 （D ）3 【答案】D解析：封闭图形的面积为：3)23(23)3sin(3sin |sin cos 3333=--=--==⎰-ππππππx xdx 。

【山东省临沭一中2012届高三9月调研理】12.已知函数()f x 在R 上可导，且2'()2(2)f x x xf =+，则(1)f -与(1)f 的大小关系为（）A. (1)f -=(1)fB. (1)f - ＞(1)fC. (1)f -＜ (1)fD.不确定【答案】B【山东省临沂市2012届高三上学期期中理】6．已知0t >，若0(22)8tx dx -=⎰，则t =（） A ．1 B ．2C ．4D ．2或4【答案】C【山东省青岛十九中2012届高三上学期模块检测理】5．曲线y= 323x x -有一条切线与直线3 x+y=0平行，则此切线方程为（）A ． x-3y+l=0B ． 3x+y-5=0C ． 3x - y -l = 0D ． 3x+ y -l= O 【答案】D【山东省青岛十九中2012届高三上学期模块检测理】6．已知(),()]f x g x 在[m,n 上可导，且()()f x g x ''<，则当m x n <<时，有（）A ．()()f x g x <B ．()()f x g x >C ．()()()()f x g n g x f n +<+D ．()()()()f x g m g x f m +<+【答案】C【山东省青岛市2012届高三期末检测理】4．已知函数2,()1,x f x x ⎧=⎨+⎩ 2002≤<≤≤-x x ，则dx x f )(22⎰-的值为A ．34B ． 4C ． 6D ．320【答案】D【山东省鄄城一中2012届高三上学期期中理】4. 已知)1(3)(2f x x x f '+=则)2(f '为( )A.1B.2C.4D.8 【答案】A【山东省潍坊市三县2012届高三10月联考理】5．函数f (x )＝x 3＋ax 2＋3x －9，已知f (x )在x ＝－3时取得极值，则a ＝ ( )A ．2B ．3C ．4D ．5【答案】D【解析】因为'2()323f x x ax =++，且f (x )在x ＝－3时取得极值，所以'(3)392(3)3f a -=⨯+⨯-+=0,解得a =5,故选D.【山东省潍坊一中2012届高三阶段测试理】若函数x x x f ln 2)(2-=在其定义域内的一个子区间（k-1,k+1) 内不是．．单调函数，则实数K 的取值范围是 A.),1[+∞ B.)2,23[ C.［1，2） D.［1，23）【答案】D【山东省泰安市2012届高三上学期期中理】7.由直线1x ,x 22==，曲线1y x x=及轴所围图形的面积为 A.154B.174C.1ln 22D.2ln2【答案】D【山东省烟台市2012届高三期末检测理】6.曲线)2(1+=x n y 在点P （－1，0）处的切线方程是A. 1+=x yB. 1+-=x yC. 12+=x yD. 12+-=x y【答案】A【山东省烟台市2012届高三期末检测理】10.由直线x y y x x sin 0,32,3====与ππ所围成的封闭图形的面积为A.21 B.1 C.23 D.3【答案】B【山东省烟台市2012届高三期末检测理】11.函数d cx bx x x f +++=23)(的大致图象如图所示，则2221x x +等于A. 98B.910C. 916D. 928【答案】C二、填空题【山东省淄博市第一中学2012届高三第一学期期中理】14、定积分⎠⎛01(1－x 2－x )d x 的值为_______________________【答案】π4-12【山东省临沭一中2012届高三9月调研理】14.由曲线2y x =，y =为______________________. 【答案】31 【山东省临沂市2012届高三上学期期中理】15．函数322()f x x ax bx a =+++在1x =处有极值10，则a b += 。

全国各地市高考数学模拟试题分类解析汇编4 导数(1)

全国各地市2012年模拟试题分类解析汇编第4部分：导数（1）【2012金华十校高三上学期期末联考文】设函数sin cos y x x x =+的图象上的点00(,)x y 处的切线的斜率为k ，若0()k g x =，则函数0()k g x =的图象大致为（）【答案】 A【解析】本题主要考查导数的计算公式、导数的几何意义及函数的图像. 属于基础知识、基本运算的考查.cos y x x '=，000()cos k g x x x ==由于它是奇函数，排除B,D;4x π=时，0k >，答案为A【2012厦门市高三上学期期末质检文】函数y ＝(3－x2)ex 的单调递增区是 A.(－∞,0) B. (0,＋∞) C. (－∞,－3)和(1,＋∞) D. (－3,1) 【答案】D 【解析】本题主要考查导数的计算及导数与单调性的关系、二次不等式的解法. 属于基础知识、基本运算的考查.2222(3)(23)023031x x x y xe x e e x x x x x '=-+-=--+>⇒+-<⇒-<<∴函数y ＝(3－x2)ex 的单调递增区是(－3,1)【2012安徽省合肥市质检文】已知函数()f x 的导函数的图像如图所示，若ABC ∆为锐角三角形，则一定成立的是（）A ．(sin )(cos )f A fB > B ．(sin )(cos )f A f B <C ．(sin )(sin )f A f B >D ．(cos )(cos )f A f B <【答案】A【解析】由导函数图象可知，0x >时，'()0f x >，即()f x 单调递增，又ABC ∆为锐角三角形，则2A B π+>，即022A B ππ>>->，故s i n s i n ()02A B π>->，即sin cos 0A B >>，故(sin )(cos )f A f B >，选A 。

2012高考(导数)真题4道及答案

1【2012高考全国文21】（本小题满分12分）已知函数ax x x x f ++=2331)( （Ⅰ）讨论()f x 的单调性；（Ⅱ）设()f x 有两个极值点21,x x ，若过两点))(,(11x f x ，))(,(22x f x 的直线l 与x 轴的交点在曲线)(x f y =上，求a 的值。

2【2012高考浙江文21】（本题满分15分）已知a ∈R ，函数3()42f x x ax a =-+ （1）求f(x)的单调区间（2）证明：当0≤x ≤1时，f(x)+ 2a -＞0.3.【2012高考辽宁文21】(本小题满分12分)设()ln 1f x x =，证明： (Ⅰ)当x ﹥1时，()f x ﹤ 32（ 1x -） (Ⅱ)当13x <<时，9(1)()5x f x x -<+4【2012高考陕西文21】（本小题满分14分）设函数()(,,)n n f x x bx c n N b c R +=++∈∈（1）设2n ≥，1,1b c ==-，证明：()n f x 在区间1,12⎛⎫⎪⎝⎭内存在唯一的零点；（2）设n 为偶数，(1)1f -≤，(1)1f ≤，求b+3c 的最小值和最大值；（3）设2n =，若对任意12,x x [1,1]∈-，有2122|()()|4f x f x -≤，求b 的取值范围；12、【答案】【解析】（1）由题意得2()122f x x a '=-，当0a ≤时，()0f x '≥恒成立，此时()f x 的单调递增区间为(),-∞+∞.当0a >时，()12())f x x x '=，此时函数()f x 的单调递增区间为⎡⎢⎣.(2)由于01x ≤≤，当2a ≤时，33()2422442f x a x ax x x +-=-+≥-+.当2a >时，333()242(1)244(1)2442f x a x a x x x x x +-=+--≥+--=-+.设3()221,01g x x x x =-+≤≤，则2()626()(33g x x x x '=-=-+. 则有所以min ()(1039g x g ==->. 当01x ≤≤时，32210x x -+>.；故3()24420f x a x x +-≥-+>.3、【答案】【解析】本题主要考查导数公式，以及利用导数，通过函数的单调性与最值来证明不等式，考查转化思想、推理论证能力、运算能力、应用所学知识解决问题的能力，难度较大。

2012年高考模拟试题——导数

2012年高考模拟试题——导数（2012，1海淀文）18．已知函数2()e ()x f x x ax a =+-，其中a 是常数. （Ⅰ）当1a =时，求()f x 在点(1,(1))f 处的切线方程；（Ⅱ）求()f x 在区间[0,)+∞上的最小值.（2012，1海淀理）18．已知函数2()e ()x f x x ax a =+-，其中a 是常数．（Ⅰ）当1a =时，求曲线()y f x =在点(1,(1))f 处的切线方程；（Ⅱ）若存在实数k ，使得关于x 的方程()f x k =在[0,)+∞上有两个不相等的实数根，求k 的取值范围．（2012,1西城文）18.已知函数21()ln 2f x ax x =+，其中a ∈R .（Ⅰ）求)(x f 的单调区间；（Ⅱ）若)(x f 在(0,1]上的最大值是1-，求a 的值.（2012,1西城理）19.已知函数)1ln(21)(2x axx x f +--=，其中a ∈R .（Ⅰ）若2x =是)(x f 的极值点，求a 的值；（Ⅱ）求)(x f 的单调区间；（Ⅲ）若)(x f 在[0,)+∞上的最大值是0，求a 的取值范围.（2012,1东城文）18.已知函数1331(223+-+=x m mxx x f ）(0)m >．（Ⅰ）若1=m ，求曲线)(x f y =在点))2(,2(f 处的切线方程；（Ⅱ）若函数)(x f 在区间(21,1)m m -+上单调递增，求实数m 的取值范围．（2012,1东城理）18．已知函数32()23f x ax x =-，其中0>a ．（Ⅰ）求证：函数)(x f 在区间(,0)-∞上是增函数；（Ⅱ）若函数[]()()()(0,1)g x f x f x x '=+∈在0x =处取得最大值，求a 的取值范围．（2012,1丰台文）19．已知函数x xb ax x f ln 2)(++=．（Ⅰ）若函数)(x f 在1=x ，21=x 处取得极值，求a ，b 的值；（Ⅱ）若(1)2f '=，函数)(x f 在),0(+∞上是单调函数，求a 的取值范围．（2012,1丰台理）19．设函数xb x a x x f +-=ln )(在1=x 处取得极值．（Ⅰ）求a 与b 满足的关系式；（Ⅱ）若1>a ，求函数)(x f 的单调区间；（Ⅲ）若3>a ，函数3)(22+=x a x g ，若存在1m ，21[,2]2m ∈，使得12()()9f m g m -<成立，求a 的取值范围．（2012,1朝阳文）18.设函数2()ln 2,R 2axf x a x x a =+-∈．（Ⅰ）当1a =时，试求函数()f x 在区间[1,e]上的最大值；（Ⅱ）当0a ≥时，试求函数()f x 的单调区间．（2012,1朝阳理）18.已知函数1()ln(1)1x f x ax x-=+++（0x ≥，a 为正实数）．（Ⅰ）若1a =，求曲线()y f x =在点(1,(1))f 处的切线方程；（Ⅱ）求函数()f x 的单调区间；（Ⅲ）若函数()f x 的最小值为1，求a 的取值范围．（2012,1石景山文）19.已知()ln ,()f x ax x a =-∈R ．（Ⅰ）当2=a 时，求曲线)(x f 在点))1(,1(f 处的切线方程；（Ⅱ）若)(x f 在1=x 处有极值，求)(x f 的单调递增区间；（Ⅲ）是否存在实数a ，使()f x 在区间(]e ,0的最小值是3，若存在，求出a 的值；若不存在，说明理由.（2012,4海淀文）18.已知函数211()ln (0)22f x a x x a a =-+∈≠且R ．（Ⅰ）求()f x 的单调区间；（Ⅱ）是否存在实数a ，使得对任意的[)1,x ∈+∞，都有()0f x ≤？若存在，求a 的取值范围；若不存在，请说明理由．（2012,4海淀理）18.已知函数21()e ()(0)kxf x x x k k-=+-<．（Ⅰ）求()f x 的单调区间；（Ⅱ）是否存在实数k ，使得函数()f x 的极大值等于23e-？若存在，求出k 的值；若不存在，请说明理由．（2012,4西城文）19.如图，抛物线29y x =-+与x 轴交于两点,A B ，点,C D 在抛物线上（点C 在第一象限），C D ∥A B ．记||2CD x =，梯形A B C D 面积为S ．（Ⅰ）求面积S 以x 为自变量的函数式；（Ⅱ）若||||C D k AB ≤，其中k 为常数，且01k <<，求S 的最大值．（2012,4西城理）18．已知函数()e(1)axa f x a x=⋅++，其中1-≥a ．（Ⅰ）当1a =时，求曲线()y f x =在点(1,(1))f 处的切线方程；（Ⅱ）求)(x f 的单调区间．（2012,4东城文）18．已知1=x 是函数()(2)e xf x ax =-的一个极值点．（Ⅰ）求实数a 的值；（Ⅱ）当1x ，[]20,2x ∈时，证明：12()()e f x f x -≤．（2012,4东城理）18．已知函数221()2e 3e ln 2f x x x x b =+--在0(,0)x 处的切线斜率为零．（Ⅰ）求0x 和b 的值；（Ⅱ）求证：在定义域内()0f x ≥恒成立；（Ⅲ）若函数()()a F x f x x'=+有最小值m ，且2e m >，求实数a 的取值范围．（2012,4丰台文）18．已知函数321()13f x x ax =-+()a ∈R ．（Ⅰ）若曲线()y f x =在(1,(1))f 处的切线与直线10x y ++=平行，求a 的值；（Ⅱ）若0a >，函数()y f x =在区间2(,3)a a -上存在极值，求a 的取值范围；（Ⅲ）若2a >，求证：函数()y f x =在(0,2)上恰有一个零点．（2012,4丰台理）18．已知函数2()(2)ln f x ax a x x =-++．（Ⅰ）当1a =时，求曲线()y f x =在点(1,(1))f 处的切线方程；（Ⅱ）当0a >时，函数()f x 在区间[1,]e 上的最小值为2-，求a 的取值范围；（Ⅲ）若对任意12,(0,)x x ∈+∞，12x x <，且1122()+2()+2f x x f x x <恒成立，求a 的取值范围．（2012,4朝阳文）18．已知函数2()(1)e x f x ax =-⋅，a ∈R ．（Ⅰ）若函数()f x 在1x =时取得极值，求a 的值；（Ⅱ）当0a ≤时，求函数()f x 的单调区间．（2012,4朝阳理）18．设函数2e(),1axf x a x R =∈+．（Ⅰ）当1a =时，求曲线()y f x =在点(0,(0))f 处的切线方程；（Ⅱ）求函数)(x f 单调区间.（2012,4石景山文）18．已知函数2()2ln f x x a x =+．（Ⅰ）若函数()f x 的图象在(2,(2))f 处的切线斜率为1，求实数a 的值；（Ⅱ）求函数()f x 的单调区间；（Ⅲ）若函数2()()g x f x x=+在[1,2]上是减函数，求实数a 的取值范围．（2012,4石景山理）18．已知函数2()2ln f x x a x =+．（Ⅰ）若函数()f x 的图象在(2,(2))f 处的切线斜率为1，求实数a 的值；（Ⅱ）求函数()f x 的单调区间；（Ⅲ）若函数2()()g x f x x=+在[1,2]上是减函数，求实数a 的取值范围．（2012,5海淀文）18.已知函数22()3x a f x x a+=+（0a ≠，a ∈R ）．（Ⅰ）求函数()f x 的单调区间；（Ⅱ）当1a =时，若对任意12,[3,)x x ∈-+∞，有12()()f x f x m -≤成立，求实数m 的最小值．（2012,5海淀理）19.已知函数21()ln()(0)2f x a x a x x a =--+<．（Ⅰ）求()f x 的单调区间；（Ⅱ）若12(ln 21)a -<<-，求证：函数()f x 只有一个零点0x ，且012a x a +<<+；（Ⅲ）当45a =-时，记函数()f x 的零点为0x ，若对任意120,[0,]x x x ∈且211,x x -=都有21()()f x f x m -≥成立，求实数m 的最大值．（本题可参考数据：99ln 20.7,ln 0.8,ln0.5945≈≈≈）（2012,5西城文）18.已知函数2221()1ax a f x x +-=+，其中a ∈R ．（Ⅰ）当1a =时，求曲线()y f x =在原点处的切线方程；（Ⅱ）求)(x f 的单调区间．（2012,5西城理）19.已知函数2221()1ax a f x x +-=+，其中a ∈R ．（Ⅰ）当1a =时，求曲线()y f x =在原点处的切线方程；（Ⅱ）求)(x f 的单调区间；（Ⅲ）若)(x f 在[0,)+∞上存在最大值和最小值，求a 的取值范围．（2012,5东城文）18.已知函数21()2e 2xf x x x a =-+-．（Ⅰ）若1a =，求()f x 在1x =处的切线方程；（Ⅱ）若)(x f 在R 上是增函数，求实数a 的取值范围．（2012,5东城理）19.已知函数11()()ln f x a x x ax=++-（1a >）．（Ⅰ）试讨论()f x 在区间(0,1)上的单调性；（Ⅱ）当[)3,a ∈+∞时，曲线()y f x =上总存在相异两点11(,())P x f x ，22(,())Q x f x ，使得曲线()y f x =在点P ，Q 处的切线互相平行，求证：1265x x +>．（2012,5朝阳文）18．设函数22()ln (0)a f x a x a x=+≠．（Ⅰ）已知曲线()y f x =在点(1,(1))f 处的切线l 的斜率为23a -，求实数a 的值；（Ⅱ）讨论函数()f x 的单调性；（Ⅲ）在（Ⅰ）的条件下，求证：对于定义域内的任意一个x ，都有()3f x x ≥-．（2012,5朝阳理）18．已知函数22()ln (0)a f x a x x a x=++≠．（Ⅰ）若曲线()y f x =在点(1,(1))f 处的切线与直线20x y -=垂直，求实数a 的值；（Ⅱ）讨论函数()f x 的单调性；（Ⅲ）当(,0)a ∈-∞时，记函数()f x 的最小值为()g a ，求证：21()e 2g a ≤．（2012,5丰台文）20．已知函数()ln f x x =，()b g x ax x=+，两函数图象的交点在x 轴上，且在该点处切线相同．（Ⅰ）求a ，b 的值；（Ⅱ）求证：当1x >时，()()f x g x <成立；（Ⅲ）证明：1111...ln(1)23n n++++>+（*n ∈N ）．（2012,5丰台理）20．设函数()ln ()ln()f x x x a x a x =+--(0)a >．（Ⅰ）当1a =时，求函数()f x 的最小值；（Ⅱ）证明：对∀x 1，x 2∈R +，都有[]11221212ln ln ()ln()ln 2x x x x x x x x +≥++-；（Ⅲ）若211ni i x ==∑，证明：21ln ln 2nn i i i x x =≥-∑ *(,)i n ∈N．。

数学_2012年浙江省高考数学仿真模拟试卷4(理科)(含答案)

2012年浙江省高考数学仿真模拟试卷4（理科）一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，满分50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1.设全集U =R ，集合A ={x|0≤x ≤2}，B ={x|1≤x ≤3}，则(∁U A)∪B =( ) A (2, 3] B (−∞, 1]∪(2, +∞) C [1, 2) D (−∞, 0)∪[1, +∞) 2. 设复数z 1=1−3i ，z 2=3+2i ，则z1z 2在复平面内对应的点在（）A 第一象限B 第二象限C 第三象限D 第四象限3. 从2012名学生中选取50名组成参观团，若采用下面的方法选取：先用简单随机抽样从2012人中剔除12人，剩下的2000人再按系统抽样的方法进行．则每人入选的概率（） A 不全相等 B 都相等，且为251006 C 均不相等 D 都相等，且为1404. 设b 、c 表示两条直线，α，β表示两个平面，则下列命题是真命题的是（）A 若b ⊂α，c // α，则b // cB 若b ⊂α，b // c ，则c // αC 若c // α，α⊥β，则c ⊥βD 若c // α，c ⊥β，则α⊥β5. 下列四个函数：①y =|tanx|，②y =lg|x|，③y =sin(x −π2)，④y =2x ，其中是偶函数，又在区间(0, 1)内增的函数的个数是（） A 0 B 1 C 2 D 3 6. 已知sin2α=2425，0<α<π2，则√2cos(π4−α)的值为( ) A 15 B −15 C 75 D ±15 7.(实数x ，y 满足不等式组{y ≥0，x −y ≥0，2x −y −2≤0，则P =x 2+(y −1)2的取值范围是( )A [1, 5]B [√22，5] C [12，5] D [12，3√55]8. 有七名同学站成一排照毕业纪念照，其中甲不能和乙站在一起，并且乙、丙两位同学要站在一起，则不同的站法有（）A 1200种B 1330种C 1320种D 600种9. 已知条件P:a >0，条件q:a 2>a ，则￢P 是￢q 的（）A 充分不必要条件B 必要不充分条件C 充要条件D 既不充分也不必要条件10. 由直线y =x +1上的一点向圆(x −3)2+y 2=1引切线，则切线长的最小值为（） A 1 B 2√2 C √7 D 3二、填空题：本大题共7小题，每小题4分，共28分．11. 一个五面体的三视图如下，正视图与侧视图是等腰直角三角形，俯视图为直角梯形，部分边长如图所示，则此五面体的体积为________12. (x 2+1x +1)5展开式中x 4的系数为________（用数字作答）． 13. 已知程序框图如图，则输出的i ＝________．14. 已知函数f(x)={|x +1|−ax ≤0log 3xx >0有三个不同零点，则实数a 的取值范围为________． 15. 如图，第n(n ∈N ∗)个图形是由正n +2边形“扩展”而来，则第n 个图形中共有________个顶点（相临两条边的交点即为顶点）．16. 在△ABC 中，∠BAC =120∘，AB =4，AC =2，D 是BC 上的一点，DC =2BD ，则AD →⋅BC →=________．17. 若实数x ，y 满足x 2+y 2=4，则xy x+y−2的最小值是________．三、解答题：本大题共5小题，共72分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 18. 在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且满足ccosB +bcosC −3acosA =0．（1）求cosA 的值；（2）若△ABC 的面积是√15，求AB →⋅AC →的值．19. 已知数列{a n }中，a 1=1，a 2=3，且a n+1=a n +2a n−1(n ≥2)．（1）设b n =a n+1+λa n ，是否存在实数λ，使数列{b n }为等比数列．若存在，求出λ的值，若不存在，请说明理由；（2）求数列{a n }的前n 项和S n ．20. 已知长方形ABCD 的AB =3，AD =4．AC ∩BD =O ．将长方形ABCD 沿对角线BD 折起，使AC =a ，得到三棱锥A −BCD ，如图所示．过A 作BD 的垂线交BD 于E ．（1）问a 为何值时，AE ⊥CD ；（2）当二面角A −BD −C 的大小为90∘时，求二面角A −BC −D 的正切值． 21. 设椭圆M:x 2a 2+y 22=1(a >√2)的右焦点为F 1，直线l:x =2√a 2−2与x 轴交于点A ，若OF 1→+2AF 1→=0（其中O 为坐标原点）．（1）求椭圆M 的方程；（2）设P 是椭圆M 上的任意一点，EF 为圆N:x 2+(y −2)2＝1的任意一条直径（E 、F 为直径的两个端点），求PE →⋅PF →的最大值．22. 已知函数f(x)的定义域为I ，导数f n (x)满足0<fn(x)<2且fn(x)≠1，常数c 1为方程f(x)−x =0的实数根，常数c 2为方程f(x)−2x =0的实数根．（1）若对任意[a, b]⊆I ，存在x 0∈(a, b)，使等式f(b)−f(a)=(b −a)f n (x 0)成立．求证：方程f(x)−x =0不存在异于c 1的实数根；（2）求证：当x >c 2时，总有f(x)<2x 成立；（3）对任意x 1、x 2，若满足|x 1−c 1|<1，|x 2−c 1|<1，求证：|f(x 1)−f(x 2)|<4．2012年浙江省高考数学仿真模拟试卷4（理科）答案1. D2. C3. B4. D5. D6. C7. C8. A9. D 10. C 11. 1 12. 20 13. 9 14. (0, 1]15. (n +2)(n +3) 16. −20317. 1−√218. 解：（1）由正弦定理a sinA=b sinB=c sinC化简已知的等式得：sinCcosB +sinBcosC −3sinAcosA =0，即sinCcosB +sinBcosC =3sinAcosA ，∴ sin(B +C)=3sinAcosA ，即sinA =3cosAsinA ，又sinA ≠0， ∴ cosA =13；（2）∵ cosA =13，A 为三角形的内角，∴ sinA =√1−cos 2A =2√23，由题意，得S △ABC =12bcsinA =√23bc =√15，∴ bc =3√302，则AB →⋅AC →=bccosA =3√302×13=√302． 19. （1）方法1：假设存在实数λ，使数列{b n }为等比数列，则有b 22=b 1b 3． ①…由a 1=1，a 2=3，且a n+1=a n +2a n−1，得a 3=5，a 4=11．所以b 1=a 2+λa 1=3+λ，b 2=a 3+λa 2=5+3λ，b 3=a 4+λa 3=11+5λ，… 所以(5+3λ)2=(3+λ)(11+5λ)，解得λ=1或λ=−2．…当λ=1时，b n =a n+1+a n ，b n−1=a n +a n−1，且b 1=a 2+a 1=4，有b nbn−1=an+1+a na n+an−1=(a n +2a n−1)+a na n +a n−1=2(n ≥2)．…当λ=−2时，b n =a n+1−2a n ，b n−1=a n −2a n−1，且b 1=a 2−2a 1=1，有b nbn−1=an+1−2a na n−2an−1=(a n +2a n−1)−2a na n −2a n−1=−1(n ≥2)．…所以存在实数λ，使数列{b n }为等比数列．当λ=1时，数列{b n }为首项是4、公比是2的等比数列；当λ=−2时，数列{b n }为首项是1、公比是−1的等比数列．… 方法2：假设存在实数λ，使数列{b n }为等比数列，设b nbn−1=q(n ≥2)，…即a n+1+λa n =q(a n +λa n−1)，… 即a n+1=(q −λ)a n +qλa n−1．…与已知a n+1=a n +2a n−1比较，令{q −λ=1qλ=2.…解得λ=1或λ=−2．…所以存在实数λ，使数列{b n }为等比数列．当λ=1时，数列{b n }为首项是4、公比是2的等比数列；当λ=−2时，数列{b n }为首项是1、公比是−1的等比数列．… （2）解法1：由（1）知a n+1+a n =4×2n−1=2n+1(n ≥1)，…当n 为偶数时，S n =(a 1+a 2)+(a 3+a 4)+(a 5+a 6)+...+(a n−1+a n )… =22+24+26+...+2n … =4(1−4n2)1−4=13(2n+2−4)．…当n 为奇数时，S n =a 1+(a 2+a 3)+(a 4+a 5)+...+(a n−1+a n )... =1+23+25+...+2n (1)8(1−4n−12)1−4=13(2n+2−5)．…故数列{a n }的前n 项和S n ={13(2n+2−4)，n 为偶数13(2n+2−5)，n 为奇数…注：若将上述和式合并，即得S n =13[(2n+2−4)+(−1)n −12]．解法2：由（1）知a n+1−2a n =(−1)n+1(n ≥1)，…所以a n+12n+1−an2n =(−1)n+12n+1=(−12)n+1(n ≥1)，…当n ≥2时，a n 2n=a 121+(a 222−a 121)+(a 323−a 222)+⋯+(a n 2n −a n−12n−1)=12+(−12)2+(−12)3+⋯+(−12)n =12+(−12)2[1−(−12)n−1]1−(−12)=12+16[1−(−12)n−1]．因为a121=12也适合上式，…所以a n 2n=12+16[1−(−12)n−1](n ≥1)．所以a n =13[2n+1+(−1)n ]．…则S n =13[(22+23+24+⋯+2n+1)+((−1)1+(−1)2+(−1)3+⋯+(−1)n )]， (13)4(1−2n )1−2+(−1)(1−(−1)n )1−(−1)]…=13[(2n+2−4)+(−1)n −12]．…解法3：由（1）可知，{a n+1+a n =4×2n−1a n+1−2a n =1×(−1)n−1.…所以a n =13[2n+1+(−1)n ]．…则S n =13[(22−1)+(23+1)+(24−1)+(25+1)+⋯+(2n +(−1)n−1)+(2n+1+(−1)n )]，…当n 为偶数时，S n =13(22+23+24+25+⋯+2n +2n+1)…=13×4(1−2n )1−2=13(2n+2−4)．…当n 为奇数时，S n =13[(22+23+24+25+⋯+2n +2n+1)−1]… =13×[4(1−2n )1−2−1]=13(2n+2−5)．…故数列{a n }的前n 项和S n ={13(2n+2−4)，n 为偶数13(2n+2−5)，n 为奇数… 注：若将上述和式合并，即得S n =13[(2n+2−4)+(−1)n −12]．20. （1）证明：根据题意，在△ABD 中，AE ⊥BD ， ∵ AB =3，AD =4，∴ BD =5，∴ AE =125∴ DE =165，∵ cos∠BDC =35，∴ CE 2=9+25625−2×3×165×35=19325当△ACE 为直角三角形时，有a =√3375，即a =√3375时，△ACE 为直角三角形此时∵ AE ⊥BD ，AE ⊥EC ，BD ∩EC =E∴ AE ⊥面BCD ，∴ AE ⊥CD ．（2）解：∵ 二面角A −BD −C 的大小为90∘，AE ⊥BD ，∴ AE ⊥面BCD ，过E 作BC 的垂线交BC 于F ，连接AF ，∵ AE ⊥BC ，BC ⊥EF ，∴ BC ⊥面AEF ，∴ BC ⊥AF ， ∴ ∠AFE 就是二面角A −BC −D 的平面角， ∵ EF =2725，而AE =125，∴ tan∠AFE =AE EF=209．21. 由题设知，A(2√a 2−20)，F 1(√a 2−2,0)，由OF 1→+2AF 1→=0，得√a 2−2=2(2√a 2−2−√a 2−2)．解得a 2＝6．所以椭圆M 的方程为M:x 26+y 22=1．方法1：设圆N:x 2+(y −2)2＝1的圆心为N ，则PE →⋅PF →=(NE →−NP →)⋅(NF →−NP →) =(−NF →−NP →)⋅(NF →−NP →)⋯=NP →2−NF →2=NP →2−1．从而求PE →⋅PF →的最大值转化为求NP →2的最大值．因为P 是椭圆M 上的任意一点，设P(x 0, y 0)，所以x 026+y 022=1，即x 02=6−3y 02．因为点N(0, 2)，所以NP →2=x 02+(y 0−2)2=−2(y 0+1)2+12．因为y 0∈[−√2,√2]，所以当y 0＝−1时，NP →2取得最大值12，所以PE →⋅PF →的最大值为11，方法2：设点E(x 1, y 1)，F(x 2, y 2)，P(x 0, y 0)，因为E ，F 的中点坐标为(0, 2)，所以{x 2=−x 1y 2=4−y 1.所以PE →⋅PF →=(x 1−x 0)(x 2−x 0)+(y 1−y 0)(y 2−y 0)⋯＝(x 1−x 0)(−x 1−x 0)+(y 1−y 0)(4−y 1−y 0)=x 02−x 12+y 02−y 12+4y 1−4y 0=x 02+y 02−4y 0−(x 12+y 12−4y 1)．因为点E 在圆N 上，所以x 12+(y 1−2)2=1，即x 12+y 12−4y 1=−3．因为点P 在椭圆M 上，所以x 026+y 022=1，即x 02=6−3y 02．所以PE →⋅PF →=−2y 02−4y 0+9=−2(y 0+1)2+11．因为y 0∈[−√2,√2]，所以当y 0＝−1时，(PE →⋅PF →)max =11．方法3：①若直线EF 的斜率存在，设EF 的方程为y ＝kx +2，由{y =kx +2x 2+(y −2)2=1 ，解得x =√k 2+1．因为P 是椭圆M 上的任一点，设点P(x 0, y 0)，所以x 026+y 022=1，即x 02=6−3y 02．所以PE →=(√k 2+1x 0√k 2+12−y 0)，PF →=√k 2+1x 0,√k 2+1+2−y 0)⋯所以PE →⋅PF →=x 02−1k 2+1+(2−y 0)2−k 2k 2+1=x 02+(2−y 0)2−1=−2(y 0+1)2+11．因为y 0∈[−√2,√2]，所以当y 0＝−1时，PE →⋅PF →取得最大值11， ②若直线EF 的斜率不存在，此时EF 的方程为x ＝0，由{x =0x 2+(y −2)2=1 ，解得y ＝1或y ＝3．不妨设，E(0, 3)，F(0, 1)．因为P 是椭圆M 上的任一点，设点P(x 0, y 0)，所以x 026+y 022=1，即x 02=6−3y 02．所以PE →=(−x 0,3−y 0)，PF →=(−x 0,1−y 0)．所以PE →⋅PF →=x 02+y 02−4y 0+3=−2(y 0+1)2+11．因为y 0∈[−√2,√2]，所以当y 0＝−1时，PE →⋅PF →取得最大值11，综上可知，PE →⋅PF →的最大值为11，22. 证明：（1）假设方程f(x)−x =0有异于c 1的实根m ，即f(m)=m ，则有m −c 1=f(m)−f(c 1)=(m −c 1)f n (x 0)成立．因为m ≠c 1，所以必有f n (x 0)=1，这与f n (x)≠1矛盾，因此方程f(x)−x =0不存在异于c 1的实数根．… （2）令ℎ(x)=f(x)−2x ，∵ ℎn (x)=f n (x)−2<0，∴ 函数ℎ(x)为减函数．又∵ ℎ(c 2)=f(c 2)−2c 2=0，∴ 当x >c 2时，ℎ(x)<0，即f(x)<2x 成立．… （3）不妨设x 1≤x 2，∵ f n (x)>0，∴ f(x)为增函数，即f(x 1)≤f(x 2)．又∵ f n (x)<2，∴ 函数f(x)−2x 为减函数，即f(x 1)−2x 1≥f(x 2)−2x 2． ∴ 0≤f(x 2)−f(x 1)≤2(x 2−x 1)．即|f(x 2)−f(x 1)|≤2|x 2−x 1|．∵ |x 2−x 1|=|x 2−c 1+c 1−x 1|≤|x 2−c 1|+|x 1−c 1|<2， ∴ |f(x 1)−f(x 2)|<4．…。

2012全国各地模拟试题理科数学分类汇编理4：导数2

2012全国各地模拟分类汇编理：导数（2）【湖北省黄冈市黄州区一中2012届高三10月综合理】用max{}a b ，表示a ，b 两个数中的最大数，设2()max{f x x =1()4x ≥，那么由函数()y f x =的图象、x 轴、直线14x =和直线2x =所围成的封闭图形的面积是【答案】3512【湖北省黄冈市黄州区一中2012届高三10月综合理】用max{}a b ，表示a ，b 两个数中的最大数，设2()max{f x x =1()4x ≥，那么由函数()y f x =的图象、x 轴、直线14x =和直线2x =所围成的封闭图形的面积是【答案】3512【西安市第一中学 2012学年度第一学期期中】在平面直角坐标系中，由x 轴的正半轴、y 轴的正半轴、曲线x y e =以及该曲线在(1)x a a =≥处的切线所围成图形的面积是( )A ．a eB ．1a e -C ．12ae D ．121a e -【答案】D【黑龙江省绥棱一中2012届高三理科期末】())(0)f x ϕϕπ=+<<,若()()f x f x '+是奇函数，则ϕ=【答案】【福建省南安一中2012届高三上期末】设[)[]⎪⎩⎪⎨⎧∈∈=22,1,11,0,)(e x xx x x f （其中e 为自然对数的底数），则⎰2)(e dx x f 的值为．【答案】37【湖北省武昌区2012届高三年级元月调研】函数y= sin ,[0,]x x π∈的图象与x 轴所围成图形的面积为。

【答案】2【湖北省黄冈市黄州区一中2012届高三10月综合理】若曲线12y x -=在点12,a a -⎛⎫ ⎪⎝⎭处的切线与两个坐标围成的三角形的面积为18，则a = A ．64 B ．32 C ．16 D ．8【答案】A【北京市西城区 2012学年度第一学期期末】已知函数)1ln(21)(2x ax x x f +--=，其中a ∈R .（Ⅰ）若2x =是)(x f 的极值点，求a 的值；（Ⅱ）求)(x f 的单调区间；（Ⅲ）若)(x f 在[0,)+∞上的最大值是0，求a 的取值范围. 【答案】（Ⅰ）解：(1)(),(1,)1x a ax f x x x --'=∈-+∞+. ………………2分依题意，令(2)0f '=，解得 13a =. ………………3分经检验，13a =时，符合题意. ………………4分（Ⅱ）解：① 当0=a 时，()1xf x x '=+.故)(x f 的单调增区间是(0,)+∞；单调减区间是)0,1(-. ………………5分 ② 当0a >时，令()0f x '=，得10x =，或211x a=-. 当10<<a 时，()f x 与()f x '的情况如下：所以，()f x 的单调增区间是(0,1)a -；单调减区间是)0,1(-和(1,)a-+∞. …6分当1=a 时，)(x f 的单调减区间是),1(+∞-. ………………7分当1a >时，210x -<<，()f x 与()f x '的情况如下：所以，()f x 的单调增区间是(1,0)a -；单调减区间是(1,1)a--和(0,)+∞. …8分 ③ 当0<a 时，)(x f 的单调增区间是(0,)+∞；单调减区间是)0,1(-. ……9分综上，当0a ≤时，)(x f 的增区间是(0,)+∞，减区间是)0,1(-；当10<<a 时，()f x 的增区间是1(0,1)a -，减区间是)0,1(-和1(1,)a-+∞；当1=a 时，)(x f 的减区间是),1(+∞-；当1a >时，()f x 的增区间是1(1,0)a -；减区间是1(1,1)a--和(0,)+∞. ………………10分（Ⅲ）由（Ⅱ）知 0a ≤时，)(x f 在(0,)+∞上单调递增，由0)0(=f ，知不合题意. ………………11分当10<<a 时， )(x f 在(0,)+∞的最大值是1(1)f a-，由1(1)(0)0f f a->=，知不合题意. ………………12分当1≥a 时，)(x f 在(0,)+∞单调递减，可得)(x f 在[0,)+∞上的最大值是0)0(=f ，符合题意.所以，)(x f 在[0,)+∞上的最大值是0时，a 的取值范围是[1,)+∞. …………14分【湖北省黄冈市黄州区一中2012届高三10月综合理】（本小题满分12分）某分公司经销某种品牌产品，每件产品的成本为3元，并且每件产品需向总公司交a 元（3a 5）的管理费，预计当每件产品的售价为x 元（9x 11）时，一年的销售量为（12－x ）2万件。

2012年导数高考题汇编(含答案)

2012年导数高考题汇编一、选择题：1.（2012年辽宁文）函数21ln 2y x x =-的单调递减区间为 A .(1,1]- B .(0,1] C .[1,)+∞ D .(0,)+∞解：1(1)(1),0x x y x x x x+-'=-=>.当01x <<时，0y '<，函数单调递减；当1x >时，0y '>，函数单调递增.故函数单调递减区间为(0,1]. 答案：B2.（2012福建理）如图所示，在边长为1的正方形O ABC 中任取一点P ，则点P 恰好取自阴影部分的概率为A .14 B .15 C .16 D .17解：设阴影面积为S，则312120021211)|32326S x dx x x ==-=-=⎰，又正方形面积1S '=，∴由几何概型知，P 恰好取自阴影部分的概率为16. 答案：C3.（2012年陕西理）设函数()e x f x x =，则A .1x =为()f x 的极大值点B .1x =为()f x 的极小值点C .1x =-为()f x 的极大值点D .1x =-为()f x 的极小值点解：()e e e (1)x x x f x x x '=+=+，当1x <-时，()0f x '<，()f x 单调递减；当1x >-时，()0f x '>，()f x 单调递增.故当1x =-时，函数()f x 有极小值.答案：C4.（2012年江西理）计算定积分121(sin )d x x x -+=⎰ .解：∵321cos sin 3x x x x '⎛⎫-=+ ⎪⎝⎭，∴11231112(sin )d cos 33x x x x x --⎛⎫+=-=⎪⎝⎭⎰. 答案：23. 5.（2012年江西文）设函数2()ln f x x x=+，则A .12x =为()f x 的极大值点 B .12x =为()f x 的极小值点 C .2x =为()f x 的极大值点 D .2x =为()f x 的极小值点6.已知函数33y x x c =-+的图象与x 轴恰有两个公共点，则c =A .2-或2B .9-或3C .1-或1D .3-或17.（2012重庆理）设函数()f x 在R 上可导，其导函数为()f x '，且函数(1)()y x f x '=-的图象如图所示，则下列结论中一定成立的是A .函数()f x 有极大值(2)f 和极小值(1)fB .函数()f x 有极大值(2)f -和极小值(1)fC .函数()f x 有极大值(2)f 和极小值(2)f -D .函数()f x 有极大值(2)f -和极小值(2)f8.（2012重庆文）设函数()f x 在R 上可导，其导函数为()f x '，且函数()f x 在2x =-处取得极小值，则函数()y xf x '=的图象可能是解：∵()f x 在2x =-处取得极小值，∴当2x <-时，()f x 单调递减，即()0f x '<；当2x >-时，()f x 单调递增，即()0f x '>. ∴当2x <-时，()0y xf x '=>；当2x =-时，()0y xf x '==；当20x -<<时，()0y xf x '=<；当0x =时，()0y xf x '==；当0x >时，()0y xf x '=>.答案：选C9.（2012年新课标理）设点P 在曲线1e 2x y =上，点Q 在曲线ln(2)y x =上，则||PQ 的最小值为A .1ln2- Bln 2)- C .1ln2+ Dln 2)+解：函数1e 2x y =与ln(2)y x =互为反函数，图象关于直线y x =对称，故||PQ 的最小值就应是点P （或点）到直线y x =的最小距离的2倍.设函数1e 2x y =图象上点00(,)P x y 处的切线平行于直线y x =.则有0001|e 1ln212x x x k y x y ='===⇒=⇒=,因此，直线y x =与曲线1e 2x y =ln 2)-ln 2)2ln 2)-⨯-. 答案：选B变式设点P 在曲线e x y =上，点Q 在曲线11y x=-上，则||PQ 的最小值为 A1)- B1)- CD解：函数e x y =的反函数为ln y x =，考查函数ln y x =与图象11y x =-的公共点情况，即考查方程1ln 1x x=-的解的个数，即考查函数1()ln 1h x x x=+-的零点个数.1()ln 1h x x x =+-，22111()x h x x x x-'=-=，当01x <<时，()0h x '<，()h x 递减；当1x >时，()0h x '>，()h x 递增.故0x >时，()(1)0h x h ≥=，即1ln 1x x≥-，仅当1x =时，取等号.因此||PQ 最小值就是函数e x y =及其反函数ln y x =图象上两点距离最小值，易知A BC D此时(0,1)P ，(1,0)Q ，故||PQ .答案：选C10.（2012年湖南文）设定义在R 上的函数()f x 是最小正周期为2π的偶函数，()f x '是()f x 的导数，当[0,]x π∈时，0()1f x <<；当(0,)x π∈且2x π≠时，()02x f x π⎛⎫'-> ⎪⎝⎭.则函数()sin y f x x=-在[2,2]ππ-上的零点个数为A .2B .4C .5D .8解：根据函数()f x 的性质，将()sin y f x x =-的零点个数转化为函数1()y f x =与2sin y x =图象的交点的个数. ∵()02πx f x ⎛⎫'-> ⎪⎝⎭，当2πx π<<时，()0f x '>，∴()f x 在,2ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭上是增函数；当02πx <<时，()0f x '<，∴()f x 在0,2π⎛⎫⎪⎝⎭上是减函数.设2πx π≤≤，则02πx π≤-≤.由()f x 是以2π为最小正周期的偶函数知(2)()f πx f x -=.故2πx π≤≤时，0()1f x <<. 依题意作出草图可知，1()y f x =与2sin y x =在[2,2]ππ-上有四个交点. 答案：选B11.（2012年辽宁理）若[0,)x ∈+∞，则下列不等式恒成立的是 A .2e 1x x x ≤++ B 211124x x ≤-+ C .21cos 12x x ≥- D .21ln(1)8x x x +≥-解：对选项A ，在区间[0,)+∞上，函数e x y =和21y x x =++的增长速度不在同一个“档次”上，随着x 的增大，e x y =的增长速度越来越快，会超过并会远远大于21y x x =++的增长速度，故不等式2e 1x x x ≤++不能恒成立.对选项B ：令t ，则1t ≥，21x t =-.于是，原不等式对[0,)x ∈+∞是否恒成立534740t t t ⇔-+-≥对[1,)t ∈+∞是否恒成立.记53()4740,[1,)f t t t t t =-+-≥∈+∞，则42()51275(1)(1),[1,)f t t t t t t t t ⎛'=-+=+-∈+∞ ⎝，易知()f t 在⎛ ⎝内递减.当t ⎛∈ ⎝时，()(1)0f t f <=，故不等式534740t t t -+-≥对[1,)t ∈+∞不恒成立，从而排除选项B. 对选项C ：记21()c o s 1,[0,)2f x x x x =+-∈+∞，()sin 0f x x x '=-≥在[0,)+∞上恒成立，故()f x 在[0,)+∞上递增，所以()(0)0f x f ≥=，即当[0,)x ∈+∞时，不等式21cos 12x x ≥-+恒成立.对选项D ：取4x =，则左边2ln5lne 2=<==右边，此时21ln(1)8x x x +<-，从而排除选项D. 答案：选C12.（2012年福建文）已知32()69,f x x x x abc a b c =-+-<<，且()()()0f a f b f c ===.现给出如下结论：①(0)(1)0f f >；②(0)(1)0f f <；③(0)(3)0f f >；④(0)(3)0f f <.其中正确结论的序号是A .①③B .①④C .②③D .②④13.（2012山东文）设函数1()f x x=，2()g x x bx =-+，若()y f x =的图象与()y g x =的图象有且只有两个不同的公共点11(,)A x y ，22(,)B x y ，则下列判断正确的是A .120x x +>，120y y +>B .120x x +>，120y y +<C .120x x +<，120y y +>D .120x x +>，120y y +<解：设32()1F x x bx =-+，则方程()0F x =与()()f x g x =同解，故其有且仅有两个不同零点12,x x .由()0F x '=得0x =或23x b =.这样，必须且只需(0)0F =或203F b ⎛⎫= ⎪⎝⎭.因为(0)1F =，故必有203F b ⎛⎫= ⎪⎝⎭，由此得b 不妨设12x x <，则223x b =所以1()()(F x x x x =-，比较系数得1x -，故1x =120x x +，由此知12121212110x x y y x x x x ++=+=<. 答案：B13.（2012全国大纲理）已知函数33y x x c =-+的图象与x 轴恰有两个公共点，则c = A .2-或2 B .9-或3 C .1-或1 D .3-或1解：∵2333(1)(1)y x x x '=-=+-，∴当1x <-时，0y '>，函数单调递增；当11x -<<时，0y '<，函数单调递减；当1x >时，0y '<，函数单调递增.因此，当1x =-时，函数取得极大值2c +；当1x =时，函数取得极小值2c -. 当函数图象与轴恰有两个公共点时，必有20c +=或20c -=，∴2c =-或2c =. 答案：B二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.13.（2012新课标文）曲线(3ln 1)y x x =+在点(1,1)处的切线方程为 .提示：33ln 13ln 4y x x x x'=++⋅=+，故1|4x k y ='==，所求切线方程为14(1)y x -=-，即43y x =-. 答案：43y x =-.14.（2012年广东理）曲线33y x x =-+在点(1,3)处的切线方程为 .15.（2012年山东理）设0a >，若曲线y =x a =，0y =所围成封闭图形的面积为2a ，则a = .提示：3322202233S x x a a ====⎰，故49a =.答案：49. 16.（2012年浙江理、文）定义：曲线C 上的点到直线l 的距离的最小值称为曲线C 到直线l 的距离.已知曲线21:C y x a =+到直线:l y x =的距离等于曲线222:(4)2C x y ++=到直线:l y x =的距离，则实数a = .曲线2C 是圆心为(0,4)-，半径r 圆心到直线:l y x =的距离1d 所以曲线2C 到直线l 的距离为1d r -.设曲线1C 上的点00(,)x y 到直线:l y x =的距离最短为d ，则过00(,)x y 的切线平行于直线y x =.已知函数2y x a =+，则0|21x xy x ='==，即012x =，014y a =+，点00(,)x y 到直线:l y x =的距离111||||a a d ⎛⎫-+- ⎪，由题意1||a -74a =-或94a =.当74a =-时，直线l 与曲线1C 相交，不合题意，故舍去.答案：49. 16.（2012年江西理）计算定积分121(sin )d x x x -+=⎰ .解：111112231111112(sin )d d sin d cos 33x x x x x x x x x -----+=+=-=⎰⎰⎰. 答案：23. 三、解答题：本大题共6小题，共70分. 17.（2012年新课标文）设函数()e 2x f x ax =--.（1）求()f x 的单调区间；（2）若1a =，k 为整数，且当0x >时，()()10x k f x x '-++>，求k 的最大值.解：（1）()f x 的定义域为(,)-∞+∞，()e x f x a '=-. 若0a ≤，则()0f x '>，所以()f x 在(,)-∞+∞上单调递增.若0a >，则当(,ln )x a ∈-∞时，()0f x '<；当(ln ,)x a ∈+∞时，()0f x '>.所以，()f x 在(,ln )a -∞上单调递减，在(ln ,)a +∞上单调递增.故()f x 的递减区间为(,ln )a -∞，递增区间为(ln ,)a +∞. （2）由于1a =，所以()()1()(e 1)1x x k f x x x k x '-++=--++. 故当0x >时，()()10x k f x x '-++>等价于1(0)e 1x x k x x +<+>-.① 令1()e 1x x g x x +=+-，则22e 1e (e 2)()1(e 1)(e 1)x x x x x x x g x ----'=+=--. 由（1）知，函数()e 2x h x x =--在(0,)+∞上单调递增.而(1)0h <，(2)0h >，所以()h x 在(0,)+∞上存在唯一的零点，故()g x '在(0,)+∞上存在唯一的零点.设此零点为α，则(1,2)α∈.当(0,)x α∈时，()0g x '<；当(,)x α∈+∞时，()0g x '>.所以()g x 在(0,)+∞上的最小值为()g α. 又由()0g α'=，可得e 2αα=+，所以()1(2,3)g αα=+∈. 由于①式等价于()k g α<，故整数k 的最大值为2.18.（2012年新课标理）已知函数121()(1)e (0)2x f x f f x x -'=-+.（1）求()f x 的解析式及单调区间；（2）若21()2f x x ax b ≥++，求(1)a b +的最大值.解：（1）求导：1()(1)e (0)x f x f f x -''=-+，令1x =，则0(1)(1)e (0)1(0)1f f f f ''=-+⇒=. 在原函数中，令0x =，则01(0)(1)e 1(1)e f f f -''==⇒=，故21()e 2x f x x x =-+. 由于()e 1x f x x '=-+，故当(,0)x ∈-∞时，()0f x '<；当(0,)x ∈+∞时，()0f x '>. 从而，()f x 的单调递减区间为(0,)+∞，单调增区间为(0,)+∞.（2）由已知条件得e (1)x a x b -+≥.（*） ①若10a +<，则对任意实数b ，当0x <，且11bx a -<+时，可得e (1)x a x b -+<，因此（*）式不成立. ②若10a +=，则(1)0a b +=.③若10a +>，设()e (1)x g x a x =-+，则()e (1)x g x a '=-+.当(,ln(1))x a ∈-∞+时，()0g x '<；当(ln(1),)x a ∈++∞时，()0g x '>. 从而()g x 在(,ln(1))a -∞+上单调递减，在(ln(1),)a ++∞上单调递增. 故()g x 有最小值(ln(1))1(1)ln(1)g a a a a +=+-++.所以21()2f x x ax b ≥++等价于1(1)ln(1)b a a a ≤+-++.（**）因此22(1)(1)(1)ln(1)a b a a a +≤+-++.设22()(1)(1)ln(1)h a a a a =+-++，则()(1)[12l n (1)]ha a a '=+-+.所以()h a 在121,e 1⎛⎫-- ⎪ ⎪⎝⎭上单调递增，在12e 1,⎛⎫-+∞ ⎪ ⎪⎝⎭上单调递减，故()h a 在12e 1a =-处取得最大值.从而e ()2h a ≤，即e (1)2a b +≤.当12e 1a =-，12e 2b =时，（**）式成立，故21()2f x x ax b ≥++.综上，(1)a b +的最大值为e 2.19.（2012年江苏理）已知,a b 是实数，1和1-是函数32()f x x ax bx =++的两个极值点. （1）求a 和b 的值；（2）设函数()g x 的导数()()2g x f x '=+，求()g x 的极值点；（3）设()(())h x f f x c =-，其中[2,2]c ∈-，求函数()y h x =的零点个数.解：（1）由题设知2()32f x x ax b '=++，且(1)320f a b '-=-+=，(1)320f a b '=++=，解得0a =，3b =-.（2）由（1）知3()3f x x x =-.因为2()2(1)(2)f x x x +=-+，所以()0g x '=的根为121x x ==，32x =-，于是函数()g x 的极值点只可能是1或2-.当2x <-时，()0g x '<；当21x -<<时，()0g x '>，故2-是()g x 的极值点. 当21x -<<或1x >时，()0g x '>，故1不是()g x 的极值点. 所以的极值点为2-.（3）令()f x t =，则()()h x f t c =-.先讨论关于x 的方程()f x d =根的情况，[2,2]d ∈-. 当||2d =时，由（2）可知，()2f x =-的两个不同的根为1和2-，注意到()f x 是奇函数，所以()2f x =的两个不同的根为1-和2.当||2d <时，因为(1)(2)20f d f d d --=-=->，(1)(2)20f d f d d -=--=--<，所以2-，1-，1，2都不是()f x d =的根. 由（1）知()3(1)(1)f x x x '=+-.①当(2,)x ∈+∞时，()0f x '>，于是()f x 是单调递增函数，从而()(2)2f x f >=，此时()f x d =无实根.同理，()f x d =在(,2)-∞-上无实根.②当(1,2)x ∈时，()0f x '>，于是()f x 是单调递增函数.又(1)0f d -<，(2)0f d ->，()y f x d =-的图象不间断，所以()f x d =在(1,2)内有唯一实根.同理，()f x d =在(2,1)--内有唯一实根.③当(1,1)x ∈-时，()0f x '<，故()f x 是单调减函数.又(1)0f d -->，(1)0f d -<，()y f x d =-的图象不间断，所以()f x d =在(1,1)-内有唯一实根.由上可知：当||2d =时，()f x d =有两个不同的实根1x ，2x 满足1||1x =，2||2x =；当||2d <时，()f x d =有三个不同的实根345,,x x x 满足||2,3,4,5i x i <=.现考虑函数()y h x =的零点.（ⅰ）当||2c =时，()f t c =有两个根12,t t 满足1||1t =，2||2t =，而1()f x t =有三个不同的根，2()f x t =有两个不同的根，故()y h x =有5个零点.（ⅱ）当||2c <时，()f t c =有三个不同的根345,,t t t 满足||2(3,4,5)i t i <=，而()(3,4,5)i f x t i ==有三个不同的根，故()y h x =有9个零点.综上可知，当||2c =时，函数()y h x =有5个零点；当||2c <时，函数()y h x =有9个零点.20.（2012山东）已知函数ln ()e xx kf x +=（k 为常数，e 2.71828= 是自然对数的底数），曲线()y f x =在点(1,(1))f 处的切线与x 轴平行.（1）求k 的值；（2）求()f x 的单调区间；（3）（理）设2()()()g x x x f x '=+，其中()f x '为()f x 的导函数，证明：对任意0x >，2()1e g x -<+.（文）设()()g x xf x '=，其中()f x '为()f x 的导函数，证明：对任意0x >，2()1e g x -<+.解：（1）由ln ()e x k f x +=，得1ln (),(0,)e kx x xf x x x --'=∈+∞. 因为曲线()y f x =在(1,(1))f 处的切线与x 轴平行，所以(1)0f '=，因此1k =. （2）由（1）得1ln (),(0,)e xx x xf x x x --'=∈+∞，当(0,1)x ∈时，10x ->，ln 0x ->，()0f x '>；当(1,)x ∈+∞时，10x -<，ln 0x x -<，()0f x '<. 所以()f x 的单调增区间是(0,1)，单调递减区间是(1,)+∞. （3）（文）因为()()g x xf x '=，所以1()(1ln ),(0,)e xg x x x x x =--∈+∞. 令()1ln ,(0,)h x x x x x =--∈+∞，则2()ln 2(ln ln e ),(0,)h x x x x -'=--=--∈+∞.因此，当2(0,e )x -∈时，()0h x '>，()h x 单调递增；当2(e ,)x -∈+∞时，()0h x '<，()h x 单调递减. 所以()h x 的最大值为22(e )1e h --=+，故2()1e h x -≤+. 又当(0,)x ∈+∞时，101e x<<，故当(0,)x ∈+∞时，所以21()1e e h x -<+，即2()1e g x -<+. （理）证明：因为2()()()g x x x f x '=+，所以1()(1ln ),(0,)e xx g x x x x x +=--∈+∞. 因此，对任意0x >，2()1e g x -<+等价于2e 1ln (1e )1xx x x x ---<++.令()1ln ,(0,)h x x x x x =--∈+∞，则2()ln 2(ln ln e ),(0,)h x x x x -'=--=--∈+∞.因此，当2(0,e )x -∈时，()0h x '>，()h x 单调递增；当2(e ,)x -∈+∞时，()0h x '<，()h x 单调递减. 所以()h x 的最大值为22(e )1e h --=+，故21ln 1e x x x ---≤+.设()e (1)x x x ϕ=-+.因为0()e 1e e x x x ϕ'=-=-，所以当(0,)x ∈+∞时，()0x ϕ'>，()x ϕ单调递增，()(0)0x ϕϕ>=，故当(0,)x ∈+∞时，()e (1)0x x x ϕ=-+>，即e 11xx >+. 所以22e 1ln 1e (1e )1x x x x x ----≤+<++.因此对任意0x >，2()1e g x -<+.21.（2012年安徽理）设函数1()e (0)e x xf x a b a a =++>. （1）求()f x 在[0,)+∞内的最小值；（2）设曲线()y f x =在点(2,(2))f 处的切线方程为32y x =，求,a b 的值. 解：（1）1()e e x f x a a '=-，当ln x a <-时，()0f x '<，()f x 在(,ln )a -∞-上递减；当ln x a >-时，()0f x '>，()f x 在(ln ,)a -+∞上递增.①若01a <<，ln 0a ->，()f x 在(0,ln )a -上递减，在(ln ,)a -+∞上递增，从而()f x 在[0,)+∞上的最小值为(ln )2f a b -=+； ②若1a ≥，ln 0a -≤，()f x 在(0,ln )a -上递增，从而()f x 在[0,)+∞上的最小值为1(0)f a b a=++.（2）依题意2213(2)e e 2f a a '=-=，解得2e 2a =或21e 2a =-（舍去），所以22e a =，代入原函数可得1232b ++=，即12b =，故22e a =，12b =. 变式（2012年安徽文）设定义在(0,)+∞上的函数1()(0)f x ax b a ax=++>. （1）求()f x 的最小值；（2）设曲线()y f x =在点(1,(1))f 处的切线方程为32y x =，求,a b 的值. 解：（1）2222211()()11()a x x a x a a f x a ax ax x +--'=-==，当10x a <<时，()0f x '<，()f x 在10,a ⎛⎫ ⎪⎝⎭上递减；当1x a >时，()0f x '>，()f x 在1,a⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭上递增. 所以当1x a=时，()f x 取最小值为2b +. 解法二：由题设和均值不等式可知，1()2f x ax b b ax =++≥+，其中等号成立当且仅当1ax =，即1x a=时，()f x 取最小值为2b +. （2）21()f x a ax '=-，依题意13(1)2f a a '=-=，解得2a =或12a =-（舍去），将2a =代入13(1)2f ab a =++=，解得1b =-，故2ea =，1b =-.22.（2012年浙江理）已知0a >，b ∈R ，函数3()42f x ax bx a b =--+.（1）证明：当01x ≤≤时，①函数()f x 的最大值为|2|a b a -+；②()|2|0f x a b a +-+≥. （2）若1()1f x -≤≤对[0,1]x ∈恒成立，求a b +的取值范围.解：（1）①22()122126b f x ax b a x a ⎛⎫'=-=-⎪⎝⎭.当0b ≤时，有()0f x '≥，此时()f x 在[0,)+∞上单调递增；当0b >时，()12f x a x x ⎛'= ⎝，此时()f x在⎡⎢⎢⎣上单调递减，在⎫⎪⎪⎭上单调递增. 所以当01x ≤≤时，max 3,2,()max{(0),(1)}max{,3}|2|,2a b b a f x f f a b a b a b a a b b a-≤⎧==-+-==-+⎨-+>⎩.②由于01x ≤≤，故当2b a ≤时，333()|2|()34224222(221)f x a b a f x a b ax bx a ax ax a a x x +-+=+-=-+≥-+=-+. 当2b a >时，3333()|2|()42(1)244(1)244(1)22(221)f x a b a f x a b ax b x a ax a x a ax a x a a x x +-+=-+=+-->+-->+--=-+. 设3()221,01g x x x x =-+≤≤，则2()626g x x x x ⎛'=-= ⎝⎭⎝⎭，于是()g x '，()g x 随x 的变化情况如下：所以，min ()10g x g ==.所以当01x ≤≤时，32210x x -+>.故3()|2|2(221)f x a b a a x x +-+≥-+. （2）由①知，当01x ≤≤时，m ax ()|2|f x a b a =-+，所以|2|1a b a -+≤.若|2|1a b a -+≤，则由②知()(|2|)1f x a b a ≥--+≥-.所以1()1f x -≤≤对任意01x ≤≤恒成立的充要条件是|2|1,0,a b a a -+≤⎧⎨>⎩即20,31,0a b a b a -≥⎧⎪-≤⎨⎪>⎩或20,1,0.a b b a a -<⎧⎪-≤⎨⎪>⎩（*）在直角坐标系aOb 中，（*）所表示的平面区域为如图所示的阴影部分，其中不包括线段BC . 做一组平行直线()a b t t +=∈R ，得13a b -<+≤，所以a b +的取值范围是(1,3]-.23.（2012年浙江文）已知a ∈R ，函数3()42f x ax ax a =-+. （1）求()f x 的单调区间；（2）证明：当01x ≤≤时，()|2|0f x a +->.解：（1）依题意得2()122f x x a '=-.当0a ≤时，()0f x '≥恒成立，此时()f x 的单调增区间为(,)-∞+∞；当0a >时，()12f x a x x ⎛'= ⎝，此时()f x的单调增区间为,⎛-∞ ⎝和⎫⎪⎪⎭，递减区间为⎛ ⎝. （2）证明：由于当01x ≤≤时，故当2a ≤时，33()|2|422442f x a x ax x x +-=-+≥-+；当2a >时，333()|2|42(1)244(1)2442f x a x a x x x x x +-=+--≥+--=-+. 设3()221,01g x x x x =-+≤≤，则2()626g x x x x ⎛'=-= ⎝⎭⎝⎭，于是()g x '，()g x 随x 的变化情况如下：所以，min ()10g x g ==.所以当01x ≤≤时，32210x x -+>.故3()|2|4420f x a x x +-≥-+>.24.（2012年辽宁理）设()ln(1)f x x ax b =++（,a b ∈R ，,a b 为常数），曲线()y f x =与直线32y x =在点(0,0)相切. （1）求,a b 的值；（2）证明：当02x <<时，9()6xf x x <+. 解：（1）由()y f x =过点(0,0)，得1b =-. 由()y f x =在(0,0)点的切线斜率为32，又0013||12x x y a x ==⎛'==+ +⎝，得0a =. （2）证法一：由均值不等式，当0x >时，112x x ++=+12x+.记9()()6x h x f x x =-+，则312(1)1545454(6)216(1)2()1(6)(6)2(1)(6)4(1)(6)x x x h x x x x x x x x +++-+'=<-=+++++++. 令3()(6)216(1)g x x x =+-+，则当02x <<时，2()3(6)2160g x x '=+-<. 因此()g x 在(0,2)内是递减函数.又(0)0g =，得()0g x <，所以()0h x '<. 因此()h x 在(0,2)内是递减函数.又(0)0h =，得()0h x <. 于是当02x <<时，9()6xf x x <+. （2）证法二：由（1）知()ln(1)1f x x =+.由均值不等式，当0x >时，112x x ++=+12x +.①记()ln(1)k x x x =+-，则(0)0k =，1()1011x k x x x -'=-=<++，故()0k x <，即ln(1)x x +<.② 由①②得，当0x >时，3()2f x x <. 记()(6)()9h x x f x x =+-，则当02x <<时，311()()(6)()9(6)(9[3(1)(6)(218(1)]212(1)h x f x x f x x x x x x x x x ''=++-<++-=+++-+++1[3(1)(6)(3)18(1)](718)02(1)24(1)x xx x x x x x x <++++-+=-<++. 因此()h x 在(0,2)内是递减函数.又(0)0h =，得()0h x <.即9()6xf x x <+. 25.（2012年辽宁文）设()ln 1f x x =.证明：（1）当1x >时，3()(1)2f x x <-；（2）当13x <<时，9(1)()5x f x x -<+.解：（1）证法一：记3()ln 1(1)2g x x x =--，则当1x >时，13()02g x x '=<.又(1)0g =，所以有()0g x <，即3()(1)2f x x <-.证法二：当1x >时，1x +122x+.① 令()ln 1k x x x =-+，则(1)0k =，1()10k x x'=-<，故()0k x <，即ln 1x x <-.②由①②得，当1x >时，3()(1)2f x x <-.（2）证法一：记9(1)()()5x h x f x x -=-+，由（1）得3112()1545454554(5)21622()(5)(5)2(5)4(5)4(1)(5)x x x x h x x x x x x x x x x ++++-'=<-=-=++++++. 令3()(5)216G x x x =+-，则当13x <<时，2()3(5)2160G x x '=+-<，因此()G x 在(1,3)上是减函数. 又由(1)0G =，得()0G x <，所以()0h x '<.因此()h x 在(1,3)内是递减函数.又(1)0h =，得()0h x <. 于是当13x <<时，9(1)()5x f x x -<+. （2）证法二：记()(5)()9(1)h x x f x x =+--，则当13x <<时，由（1）得231111()()(5)()9(1)(5)(9[3(1)(5)(2)18](73255)022224x h x f x x f x x x x x x x x x x x x''=++-<-++-=-++++-=-+<.因此()h x 在(1,3)内是递减函数.又(1)0h =，得()0h x <.即9(1)()5x f x x -<+. 26.（2012年福建理）已知函数2()e e ()x f x ax x a =+-∈R .（1）若曲线()y f x =在点(1,(1))f 处的切线平行于x 轴，求函数()f x 的单调区间；（2）试确定a 的取值范围，使得曲线()y f x =上存在唯一的点P ，曲线在该点处的切线与曲线只有一个公共点P .解：（1）由于()e 2e x f x ax '=+-，曲线()y f x =在点(1,(1))f 处的切线斜率20k a ==，所以0a =，即()e e x f x x =-. 此时()e e x f x '=-.当(,1)x ∈-∞时，()0f x '<，当(1,)x ∈+∞时，()0f x '>. 故()f x 的单调递减区间为(,1)-∞，单调递增区间为(1,)+∞.（2）设点00(,())P x f x ，曲线()y f x =在点P 处的切线方程为000()()()y f x x x f x '=-+，令000()()()()()g x f x f x x x f x '=---，故曲线()y f x =在点P 处的切线与曲线只有一个公共点P 等价于函数()g x 有唯一零点.因为0()0g x =，且000()()()e e 2()x x g x f x f x a x x '''=-=-+-.①若0a ≥，当0x x >时，()0g x '>，则0()()0g x g x >=；当0x x <时，()0g x '<，则0()()0g x g x >=. 故()g x 只有唯一零点0x x =.由P 的任意性知，0a ≥不合题意. ②若0a <，令00()e e 2()x x h x a x x =-+-，则0()0h x =，()e 2x h x a '=+.当(,ln(2))x a ∈-∞-时，()0h x '<，从而()h x 在(,ln(2))a -∞-内单调递减；当(ln(2),)x a ∈-+∞时，()0h x '>，从而()h x 在(ln(2),)a -+∞内单调递增.（ⅰ）若0ln(2)x a =-，当(,ln (2))x a ∈-∞-时，0()()()0g x h x h x '=>=；当(ln (2),)x a ∈-+∞时，0()()()0g x h x h x '=>=.所以()g x 在R 上单调递增.所以函数()g x 在R 上有且只有一个零点ln(2)x a =-.（ⅱ）若0ln(2)x a >-，由于()h x 在(ln(2),)a -+∞内单调递增，且0()0h x =，则当(ln(2),)x a ∈-+∞时有0()()()0g x h x h x '=<=，0()()0g x g x >=；任取10(ln(2),)x a x ∈-有1()0g x >.又当1(,)x x ∈-∞时，易知122200000000()e (e ())()()e (e ())()()x x g x ax f x x f x x f x ax f x x f x x f x ax bx c ''''=+-+-+<+-+-+=++，其中0(e ())b f x '=-+，1000e ()()x c f x x f x '=-+. 由于0a <，则必存在21x x <，使得2220ax bx c ++<. 所以2()0g x <，故()g x 在21(,)x x 内存在零点，即()g x 在R 上至少有两个零点. （ⅲ）若0ln(2)x a <-，仿（ⅱ）并利用3e 6x x >，可证函数()g x 在上R 至少有两个零点. 综上，当0a <时，曲线()y f x =上存在唯一的点(ln(2),(ln(2)))P a f a --，曲线在该点处的切线与曲线有且只有一个公共点P .27.（2012福建文）已知函数3()sin ()2f x ax x a =-∈R ，且在0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的最大值为32π-.（1）函数()f x 的解析式；（2）判断函数()f x 在(0,)π内的零点个数，并加以证明.28.（2012天津理）已知函数()ln()f x x x a =-+的最小值为0，其中0a >.（1）求a 的值；（2）若对任意的[0,)x ∈+∞，有2()f x kx ≤成立，求实数k 的最小值；（3）证明：12ln(21)2()21ni n n i *=-+<∈-∑N .解：(1)()f x 的定义域为(,)a -+∞. 由()ln()f x x x a =-+，得1(1)()1x a f x x a x a--'=-=++，显然导函数零点1(,)x a a =-∈-+∞. 当1a x a -<<-时，()0f x '<，()f x 递减；当1x a >-时，()0f x '>，()f x 递增.故1x a =-时，()f x 有极小值(1)1f a a -=-，因为()f x 是单峰函数，故m in ()(1)10f x f a a =-=-=，得1a =. （2）设22()()ln(1)(0)g x kx f x kx x x x =-=-++≥，则()0g x ≥对[0,)x ∈+∞恒成立当且仅当m in ()0(0)g x g ≥=，取1x =，则应有(1)1ln20g k =-+≥，从而0k >. 1[(12)]()2112(1)x x k g x kx x k x --'=-+=++. ①若120k -<，即12k >，则当(0,)x ∈+∞时，()0g x '>，()g x 递增. 这时有m in ()0(0)g x g ≥=，故12k >适合题意. ②若120k ->，即12k <，则当(0,12)x k ∈-时，()0g x '<，()g x 递减；当(12,)x k ∈-+∞时，()0g x '>，()g x 递增. 取0(0,12)x k ∈-，有2000()(0)0()0g x g kx f x <=⇒-<，即200()f x kx ≤不成立.故102k <<不合题意.③若12k =，则2()01x g x x '=≥+在[0,)+∞上恒成立，仅当0x =时取等号，故()g x 递增. 综上，k 的最小值为12. （3）当1n =时，不等式左边2ln32=-<=右边，所以不等式成立. 当2n ≥时，1111122222ln 1[ln(21)ln(21)]ln(21)2121212121nn n n ni i i i i f i i n i i i i i =====⎡⎤⎛⎫⎛⎫=-+=-+--=-+⎪ ⎪⎢⎥-----⎝⎭⎝⎭⎣⎦∑∑∑∑∑. 在（2）中取12k =，得21()(0)2f x x x ≤≥，从而222(,2)21(21)(23)(21)f i i i i i i *⎛⎫≤<∈≥ ⎪----⎝⎭N ，所以有112222221ln(21)(2)2ln32ln312212121(23)(21)21nn n ni i i i n f f f i i i i i n ====⎛⎫⎛⎫-+==+<-+=-+-< ⎪ ⎪------⎝⎭⎝⎭∑∑∑∑. 综上，12ln(21)2()21ni n n i *=-+<∈-∑N . 29.（2012天津文）已知函数3211(),32a f x x x ax a x -=+--∈R ，其中0a >.（1）求函数()f x 的单调区间；（2）若函数()f x 在区间(2,0)-内恰有两个零点，求a 的取值范围；（3）当1a =时，设函数()f x 在区间[,3]t t +上的最大值为()M t ，最小值为()m t ，记()()()g t M t m t =-，求函数()g t 在区间[3,1]--上的最小值.30.（2012陕西理）设函数()(,,)n n f x x bx c n b c *=++∈∈N R（1）设2n ≥，1b =，1c =-，证明：()n f x 在区间1,12⎛⎫⎪⎝⎭内存在唯一零点；（2）设2n =，若对任意12,[1,1]x x ∈-，有2122|()()|4f x f x -≤，求b 的取值范围；（3）在（1）的条件下，设n x 是()n f x 在1,12⎛⎫⎪⎝⎭内的零点，判断数列23,,,,n x x x 的增减性.30.（2012陕西文）设函数()(,,)n f x x bx c n b c *=++∈∈N R（1）设2n ≥，1b =，1c =-，证明：()n f x 在区间1,12⎛⎫⎪⎝⎭内存在唯一零点；（2）设n 为偶数，|(1)|1f -≤，|(1)|1f ≤，求3b c +的最小值和最大值；（3）设2n =，若对任意12,[1,1]x x ∈-，有12|()()|4f x f x -≤，求b 的取值范围.31.（2012湖南理）已知函数()e ax f x x =-，其中0a ≠.（1）对一切x ∈R ，()1f x ≥恒成立，求a 的取值范围；（2）在函数()f x 的图象上取定两点11(,())A x f x ，2212(,())()B x f x x x <，记直线AB 的斜率为k .问：是否存在012(,)x x x ∈，使0()f x k '>成立？若存在，求0x 的取值范围；若不存在，请说明理由.32.（2012湖南文）已知函数()e x f x ax =-，其中0a >.（1）对一切x ∈R ，()1f x ≥恒成立，求a 的取值集合；（2）在函数()f x 的图象上取定两点11(,())A x f x ，2212(,())()B x f x x x <，记直线AB 的斜率为k .证明：存在012(,)x x x ∈，使0()f x k '=成立.33.（2012北京理）已知函数2()1(0)f x ax a =+>，3()g x x bx =+.（1）若曲线()y f x =与曲线()y g x =在它们的交点(1,)c 处具有公共切线，求,a b 的值；（2）当24a b =时，求函数()()f x g x +的单调区间，并求其在区间(,1]-∞-上的最大值.34.（2012北京文）已知函数2()1(0)f x ax a =+>，3()g x x bx =+.（1）若曲线()y f x =与曲线()y g x =在它们的交点(1,)c 处具有公共切线，求,a b 的值；（2）当3a =，9b =-时，求函数()()f x g x +在区间[,2]k 上的最大值为28，求k 的取值范围.35.（2012江西理）若函数()h x 满足①(0)1h =，(1)0h =；②对任意[0,1]a ∈，有(())h h a a =；③在(0,1)上单调递减.则称()h x 为补函数.已知函数11()(1,0)1ppp x h x λp λx ⎛⎫-=>-> ⎪+⎝⎭. （1）判断函数()h x 是否为补函数，并证明你的结论；（2）若存在[0,1]m ∈，使()h m m =，称m 是函数()h x 的中介元.记1()p n n*=∈N 时()h x 的中介元为n x ，且1nn i i S x ==∑对任意的n *∈N ，都有12n S <，求λ的取值范围；（3）当0λ=，(0,1)x ∈时，函数()y h x =的图象总在直线1y x =-的上方，求p 的取值范围.36.（2012江西文）已知函数2()()e x f x ax bx c =++在[0,1]上单调递减且满足(0)1f =，(1)0f =. （1）求a 的取值范围；（2）设()()()g x f x f x '=-，求()g x 在[0,1]上的最大值和最小值.37.（2012湖北理）（1）已知函数()(1)(0)r f x rx x r x =-+->，其中r 为有理数，且01r <<.()f x 求的最小值；（2）试用（1）的结果证明如下命题：设10a ≥，20a ≥，12,b b 为正有理数. 若121b b +=，则12121122b ba a ab a b ≤+；（3）请将（2）中的命题推广到一般形式，并用数学归纳法．．．．．证明你所推广的命题.注：当α为正有理数时，有求导公式1()ααx αx -'=. 解：（1）11()(1)r r f x r rx r x --'=-=-.当01x <<时，()0f x '<，故()f x 单调递减；当1x >时，()0f x '>，故()f x 单调递增. 故函数()f x 在1x =处取得最小值(1)0f =.（2）由（1）知，当(0,)x ∈+∞时，有()(1)0f x f ≥=，即(1)r x rx r ≤+-. ①若12,a a 中有一个为0，则12121122b ba a ab a b ≤+成立. 若12,a a 均不为0，由121b b +=，可得211b b =-，于是在①中令12a x a =，1r b =，可得1111122(1)b a a b b a a ⎛⎫≤⋅+- ⎪⎝⎭，即111121121(1)b b a a a b a b -≤+-，亦即111121122b ba a ab a b -≤+. 综上，对10a ≥，20a ≥，12,b b 为正有理数，且121b b +=，总有111121122b ba a ab a b -≤+. ② （3）（2）中的命题推广形式为：设12,,,n a a a 为非负实数，12,,,n b b b 为正有理数，若121n b b b +++= ，则12121122n b b b n n n a a a a b a b a b ≤+++ .③用数学归纳法证明如下：（ⅰ）当1n =时，11b =，有11a a ≤，③成立.（ⅱ）假设当n k =时，③成立，即若12,,,k a a a 为非负实数，12,,,k b b b 为正有理数，且121k b b b +++= ，则12121122kb b bk k k a a a a b a b a b ≤+++ .当1n k =+时，已知121,,,,k k a a a a + 为非负实数，121,,,,k k b b b b + 为正有理数，且1211k k b b b b +++++= ，此时101k b +<<，即110k b +->，于是12111111112121111121121121()()kkk kk k k k k k b b b b b b b b b b b b b b b bk k k k k k a a a a a a a a a a a a +++++++----+++==⋅ . 因为121111111k k k k b b b b b b ++++++=--- ，由归纳假设可得 12111111112212121211111111k k k k b b b b b b k k k kk k k k k b a b a b a b b b a a aa a ab b b b +++---+++++++≤⋅+⋅++⋅=---- . 从而1111211122121111k kk k b b b b b bk k k k k k a b a b a b a a a a a b +++-+++⎛⎫+++≤⋅ ⎪-⎝⎭.又因为11(1)1k k b b ++-+=，由②得11111221122111111221111(1)11k k b b k k k kk k k k k k k k k k a b a b a b a b a b a b a b a b a b a b a b a b b b ++-++++++++⎛⎫++++++⋅≤⋅-+=++++ ⎪--⎝⎭，从而112121112211kk b b b bk k k k k k a a a a a b a b a b a b ++++≤++++ .故当1n k =+时，③成立.由（ⅰ）、（ⅱ）可知，对一切正整数n ，所推广的命题成立.38.（2012湖北文）设函数()(1)(0)n f x ax x b x =-+>，n 为正整数，,a b 为常数，曲线()y f x =在(1,(1))f 处的切线方程为1x y +=.（1）求,a b 的值；（2）求函数()f x 的最大值；（3）证明：1()ef x n <. （1）解：因为(1)f b =，由点(1,)b 在直线1x y +=上，可得11b +=，即0b =. 因为1()(1)n n f x anx a n x -'=-+，所以(1)f a '=-.又因为切线1x y +=的斜率为1-，所以1a -=-，即1a =.故1a =，0b =.（2）解：有（1）知1()(1)n n n f x x x x x +=-=-，1()(1)1n n f x n x x n -⎛⎫'=+-⎪+⎝⎭.当0,1n x n ⎛⎫∈ ⎪+⎝⎭时，()0f x '>，故()f x 单调递增；当,1n x n ⎛⎫∈+∞⎪+⎝⎭时，()0f x '<，故()f x 单调递减. 故()f x 在(0,)+∞上的最大值为1111(1)nn n nn n f n n n n ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=⋅-= ⎪ ⎪⎪++++⎝⎭⎝⎭⎝⎭. （3）证明：令1()ln 1(0)φt t t t =-+>，则22111()(0)t φt t t t t-'=-=>. 当(0,1)t ∈时，()0φt '<，故()φx 单调递减；当(1,)t ∈+∞时，()0φt '>，故()φt 单调递增. 故在(0,)+∞上()φt 的最小值为(1)0φ=，所以()0(1)φt t >>，即1ln 1(1)t t t>->.令11t n =+，得11ln 1n n n +>+，两边取对数得11ln ln e n n n ++⎛⎫> ⎪⎝⎭，所以11e n n n ++⎛⎫> ⎪⎝⎭，即11(1)en n n n n +<+. 由（2）知11()(1)en n n f x n n +≤<+.39.（2012大纲理）设函数()cos ,[0,]f x ax x x π=+∈.（1）讨论()f x 的单调性；（2）设()1sin f x x ≤+，求a 的取值范围.解：（1）()sin f x a x '=-.①当1a ≥时，()0f x '≥，且仅当1a =，2x π=时，()0f x '=，所以()f x 在[0,]π上是增函数；②当0a ≤时，()0f x '≤，且仅当0a =，0x =，或x π=时，()0f x '=，所以()f x 在[0,]π上是减函数；当01a <<时，方程()0f x '=有两实根1x ，2x . 当1[0,)x x ∈时，sin x a <，()0f x '>，()f x 是增函数；当12(,)x x x ∈时，sin x a >，()0f x '<，()f x 是减函数；当2(,]x x π∈时，sin x a <，()0f x '>，()f x 是增函数. （2）.40.（2012全国大纲文）已知函数321()3f x x x ax =++.（1）讨论()f x 的单调性；（2）设()f x 有两个极值点12,x x ，若过两点11(,())x f x ，22(,())x f x 的直线l 与x 轴的交点在曲线()y f x =上，求a 的值.41.（2012四川理）已知a 为正实数，n 为自然数，抛物线22na y x =-+与x 轴正半轴相交于点A .设()f n 为该抛物线在点A 处的切线在y 轴上的截距.（1）用a 和n 表示()f n ；（2）求对所有n 都有33()1()11f n n f n n -≥++成立的a 的最小值；（3）当01a <<时，比较11()(2)nk f k f k =-∑与27(1)()4(0)(1)f f n f f -⋅-的大小，并说明理由.解：（1）由已知得，交点A 的坐标为⎫⎪⎪⎭，对212ny x a=-+求导得2y x '=-，则抛物线在A 处的切线方程为y x =，即n y a =+，则()n f n a =.（2）由（1）知()n f n a =，则33()1()11f n n f n n -≥++成立的充要条件是321n a n ≥+.即知321n a n ≥+对所有n 成立.特别地，取2n =，得到a当a 3n ≥时，122331223332314(13)1C 3C 3C 31C 3C 3C 312[5(2)(25)]212n n n n n n n n n a n n n n n >=+=+⋅+⋅+⋅+≥+⋅+⋅+⋅=++-+->+ .当0,1,2n =时，显然321n n ≥+.故当a 3()1()11f n n f n n -≥++对所有自然数n 都成立.所以满足条件的a . （3）由（1）知()k f k a =，则21111()(2)nnk kk k f k f k a a ===--∑∑，(1)()(0)(1)1nf f n a a f f a--=--. 下面证明：1127(1)()()(2)4(0)(1)nk f f n f k f k f f =->⋅--∑.首先证明：当01x <<时，21274x x x ≥-. 设函数227()()1,014g x x x x x =-+<<，则812()43g x x x ⎛⎫'=- ⎪⎝⎭.当203x <<时，()0g x '<；当213x <<时，()0g x '>. 故()g x 在区间(0,1)上的最小值min 2()03g x g ⎛⎫== ⎪⎝⎭.所以，当01x <<时，()0g x ≥，即得21274x x x ≥-. 由01a <<知01()k a k *<<∈N ，因此21274k kka a a ≥-，从而 121111127272727(1)()()(2)441414(0)(1)n n nnn k k k k k k a a a a f f n a f k f k a a a a f f +===---=≥=⋅>⋅=⋅-----∑∑∑. 42.（2012四川文）已知a 为正实数，n 为自然数，抛物线22na y x =-+与x 轴正半轴相交于点A .设()f n 为该抛物线在点A 处的切线在y 轴上的截距.（1）用a 和n 表示()f n ；（2）求对所有n 都有()1()11f n nf n n -≥++成立的a 的最小值；（3）当01a <<时，比较111(1)(2)(2)(4)()(2)f f f f f n f n +++--- 与(1)(1)6(0)(1)f f n f f -+⋅-的大小，并说明理由.解：（1）由已知得，交点A 的坐标为⎫⎪⎪⎭，对212ny x a=-+求导得2y x '=-，则抛物线在A 处的切线方程为y x =，即n y a =+，则()n f n a =.。

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2012全国各地模拟分类汇编理：导数（4）【山西省康杰中学2012届高三上学期9月月考理】已知定义在R 上的函数)(),(x g x f 满足x a x g x f =)()(，且),()()()(x g x f x g x f '<' 25)1()1()1()1(=--+g f g f ，则a 的值是（） A ．2 B ．21 C ．3 D ．31 【答案】B【四川省南充高中2012届高三第一次月考理】已知点P 是曲线2ln y x x =-上的一个动点，则点P 到直线:2l y x =-的距离的最小值为（）A ．1BC ．2D 【答案】B【四川省南充高中2012届高三第一次月考理】已知定义在实数集R 上的函数)(x f 满足)1(f =1，且)(x f 的导数)(x f '在R 上恒有)(x f '<)(21R x ∈，则不等式212)(22+<x x f 的解集为（）A ．),1(+∞B ．)1,(--∞C ．)1,1(-D ．)1,(--∞∪),1(+∞【答案】D【哈尔滨市六中2012学年度上学期期末】设R a ∈,函数()e e x xf x a -=+⋅的导函数是()f x '，且()f x '是奇函数，若曲线()y f x =的一条切线的斜率是32，则切点的横坐标为（） A. ln 22-B.ln 2-C.ln 22D. ln 2 【答案】D【临川十中2012学年度上学期期末】设a R ∈，函数()x xf x e a e -=+⋅的导函数'()y f x =是奇函数，若曲线()y f x =的一条切线斜率为32，则切点的横坐标为（）A ．ln 22 B ．ln 2 C ．ln 22- D ．ln 2- 【答案】B【江西省赣州市2012届上学期高三期末】若6π1(sin cos ),)0a t t dt x ax=++⎰则(的展开式中常数项是A.18- B.18 C.52-D.52【答案】D【江西省2012届十所重点中学第二次联考】设函数)0()(2≠+=a c ax x f ,若1000()()01f x dx f x x =≤≤⎰,则0x 的值为( )A ．21B ．43C ．23D ．33【答案】D【哈尔滨市六中2012学年度上学期期末】若dx x c dx x b xdx a ⎰⎰⎰-=-==121101,1,，则c b a ,,的大小关系是（）A.c b a <<B.b c a <<C.c a b <<D.a b c <<【答案】A【辽宁省沈阳四校协作体2012届高三上学期12月月考】如果)(x f '是二次函数, 且 )(x f '的图象开口向上,顶点坐标为(1,3), 那么曲线)(x f y =上任一点的切线的倾斜角α的取值范围是 ( ) A.]3,0(πB. )2,3[ππC. ]32,2(ππD. ),3[ππ【答案】B【银川一中2012届高三年级第二次月考】设M {}0|2≤-=x x x ，函数)1ln()(x x f -=的定义域为N ，则M N =（）A ．[)0,1B ．()0,1C ．[]0,1D ．(]1,0-/【答案】A【辽宁省沈阳四校协作体2012届高三上学期12月月考】已知R 上的不间断函数)(x g 满足：①当0>x 时，0)(>'x g 恒成立；②对任意的R x ∈都有)()(x g x g -=。

又函数)(x f 满足：对任意的R x ∈，都有)()3(x f x f -=+成立，当]3,0[∈x 时，x x x f 3)(3-=。

若关于x 的不等式)2()]([2+-≤a a g x f g 对]3,3[-∈x 恒成立，则a 的取值范围( ) A.10≥≤a a 或 B. 10≤≤a C. 11≤≤-a D. R a ∈ 【答案】A【2012大庆铁人中学第一学期高三期末】已知点P 在曲线x x y 33-=上移动，在点P 处的切线倾斜角为 α，则 α的取值范围是A.]2,0[πB.),32[ππC.),32[)2,0[πππD. ),65[)2,0[πππ【答案】C【湖北省武昌区2012届高三年级元月调研】函数()f x 的定义域为R ，对任意实数x 满足(1)(3)f x f x -=-，且(1)(3)f x f x -=-．当l ≤x ≤2时，函数()f x 的导数()0f x '>，则()f x 的单调递减区间是（）A ．[2,21]()k k k Z +∈B ．[21,2]()k k k Z -∈C ．[2,22]()k k k Z +∈D ．[22,2]()k k k Z -∈【答案】A【株洲市2012届高三质量统一检测】如图4所示，函数122++-=x x y 与y=1相交形成一个闭合图形（图中的阴影部分），则该闭合图形的面积是．【答案】34【哈尔滨市六中2012上学期期末】已知函数),4()0,(,,()(23+∞⋃-∞∈+++=k d c b d cx bx x x f 为常数），当时，0)(=-k x f只有一个实根；当k ∈（0，4）时，0)(=-k x f 只有3个相异实根，现给出下列4个命题： ①04)(=-x f 和0)(='x f 有一个相同的实根；②0)(0)('==x f x f 和有一个相同的实根；③03)(=-x f 的任一实根大于01)1(=-f 的任一实根； ④05)(=+x f 的任一实根小于02)(=-x f 任一实根. 其中正确命题的序号是________________ 【答案】)4)(2)(1(【辽宁省沈阳四校协作体2012届高三上学期12月月考】设2(01)()2(12)x x f x x x ⎧≤<=⎨-<≤⎩ 则20()f x dx ⎰= ；【答案】65 【银川一中2012届高三年级第二次月考】由曲线12-=x y ，直线2=x 和x 轴所围成的图形的面积是 . 【答案】38 【广东省江门市2012年普通高中高三调研测试】=+⎰-11)2(dx x e x ．【答案】1--e e【临川十中2012学年度上学期期末】1sin )x dx ⎰＝_____【答案】1cos 14-+π【银川一中2012届高三年级第二次月考】设函数xxe e xf -+=)(，若曲线)(x f y =上在点))(,(00x f x P 处的切线斜率为32，则=0x 【答案】2ln【山东聊城市五校2012届高三上学期期末联考】直线l 过点(1,3)-，且与曲线12y x =-在点(1,1)-处的切线相互垂直，，则直线l 的方程为【答案】40x y -+= 【安师大附中2012届高三第五次模拟】已知函数()1(0,)xf x e a x a e =-->为自然对数的底数.（1）求函数()f x 的最小值；（2）若()f x ≥0对任意的x ∈R 恒成立，求实数a 的值；（3）在（2）的条件下，证明：121()()()()(*)1n n n n n n e n n n n n e -++⋅⋅⋅++<∈-N 其中【答案】解：（1）由题意0,()xa f x e a '>=-，由()0xf x e a '=-=得l n x a =.当(,l n)x a ∈-∞时, ()0f x '<；当(l n,)x a ∈+∞时，()0f x '>. ∴()f x 在(,l n )a -∞单调递减，在(l n ,)a +∞单调递增. 即()f x 在l n x a =处取得极小值，且为最小值，其最小值为l n (l n )l n 1l n 1.af a e a a a a a =--=-- ………………5分（2）()0f x ≥对任意的x ∈R 恒成立，即在x ∈R 上，m i n ()0f x ≥. 由（1），设()l n 1.g a a aa =--，所以()0g a ≥. 由()1l n 1l n 0g a a a '=--=-=得1a =.易知()g a 在区间(0,1)上单调递增，在区间(1,)+∞上单调递减， ∴ ()g a 在1a =处取得最大值，而(1)0g =.因此()0g a ≥的解为1a =，∴1a =. ………………9分（3）由（2）知，对任意实数x 均有1xe x --≥0，即1xx e +≤. 令kx n =-(*,0,1,2,3,1)n k n ∈=-N …,，则01kn k e n - <-≤. ∴ (1)()kn n kn k e en - --=≤.∴ (1)(2)21121()()()()1n n n n n n n n e e e e n n n n -------+++++++++≤……1111111n e e e e e ----=<=---. ……………………13分【哈尔滨市六中2011-2012学年度上学期期末】已知函数)0.()1ln()(2≤++=a ax x x f(1)若)(x f 在0=x 处取得极值，求a 的值；（2分） (2)讨论)(x f 的单调性；（5分）(3)证明：e N n e n ,()311)...(8111)(911(*2∈<+++为自然对数的底数）（5分）解：（1）()0,122=++='x a xxx f 是)(x f 的一个极值点，则 ()0,00=∴='a f ，验证知a =0符合条件…………………….（2分）（2）()2221212x ax ax a x x x f +++=++='1）若a =0时，()+∞∴,0)(在x f 单调递增，在()0,∞-单调递减；2）若()恒成立，对时，得，当R x x f a a ∈≤'-≤⎩⎨⎧≤∆<0100R x f 在)(∴上单调递减…………………………………（4分）3）若()020012>++>'<<-a x ax x f a 得时，由 aa x a a 221111---<<-+-∴再令()可得,0<'x f aa x a a x 221111-+-<--->或上单调递增，在)11,11()(22aa a a x f ----+-∴在上单调递减和),11()11,(22+∞----+--∞aa a a -------（6分）综上所述，若),()(1+∞-∞-≤在时，x f a 上单调递减，若时，01<<-a 上单调递增，在)11,11()(22aa a a x f ----+-上单调递减和),11()11,(22+∞----+--∞aa a a 。