高一下期中考数学试卷
2023-2024学年河南省平顶山市叶县高一下册期中数学试题(含解析)
2023-2024学年河南省平顶山市叶县高一下册期中数学试题一、单选题1．在ABC ∆中，,,A B C 的对边分别为,,a b c ，已知1,60,2a B c ==︒=，则b =（）A ．1B C D【正确答案】D【分析】直接由余弦定理可得答案.【详解】由余弦定理可得22212cos 1421232b ac ac B =+-=+-⨯⨯⨯=所以b =故选：D2．已知i 是虚数单位，设复数2021i 1z =+，则z 的虚部为（）A ．1B ．1-C ．iD ．-i【正确答案】A【分析】根据虚数单位的定义，化简复数即可得出答案.【详解】根据虚数单位i 的定义可知：24i 1i 1=-=，2021i 11iz =+=+所以z 的虚部为1，选项A 正确，选项BCD 错误.故选：A.3．若a b，均为非零向量，则“·a b a b = ”是“a 与b 共线”的（）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件【正确答案】A【分析】根据向量数量积得cos ,a b a b a b ⋅=⋅ ，则有,0a b =，此时共线，则正向可以推出，反之，,a b还可能是π，则反向无法推出，即可得到答案.【详解】cos ,a b a b a b ⋅=⋅ ，||||a b a b ⋅= 则cos ,1a b = ，[],0,πa b ∈ ，则,0a b = ，此时//a b .当//a b时，,a b 还可能是π，此时a b a b ⋅=- ，故“a b a b ⋅= ”是“//a b ”的充分而不必要条件，故选：A.4．如图，A O B '''V 表示水平放置的AOB 的直观图.点B '在x '轴上，A O ''和x '轴垂直，且2A O ''=，则AOB 的边OB 上的高为（）A ．2B ．C ．D ．4【正确答案】C【分析】作//A C x '''轴，交y '轴于C '，根据勾股定理求出O C ''=，再利用直观图性质即可求出答案.【详解】如图，作//A C x '''轴，交y '轴于C '，由已知得2A C O A ''''==，则O C ''=在直角坐标系xOy 的y 轴上取C 点，使得2OC O C ''==，则AOB 的边OB 上的高为.故选：C.5．设非零向量a 与b 的夹角为θ，定义a 与b 的“向量积”：a b ⨯是一个向量，它的模sin a b a b θ⨯=，若()2,0a =r ，(b = ，则a b ⨯= （）A ．2B ．CD ．1【正确答案】B【分析】根据()2,0a =r，(b = ，利用数量积运算求得夹角，进而得到夹角的正弦值，再代入公式sin a b a b θ⨯= 求解.【详解】 ()2,0a =r，(b = ，2a ∴=，2b = ，2cos 214a b a b θ⋅∴===⋅，则sin 2θ=，∴sin 22a b a b θ⨯==⨯= 故选：B .6．已知ABC 的三个内角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，若2cos c a B =，则ABC 一定为（）A ．直角三角形B ．等腰三角形C ．等边三角形D ．等腰直角三角形【正确答案】B【分析】运用正弦定理化简边角关系，从而判断三角形的形状.【详解】根据题意，2cos c a B =，结合正弦定理可得：sin 2sin cos C A B =，又三角形中()sin sin C A B =+()sin 2sin cos A B A B ∴+=，化简计算得：()sin 0B A -=由三角形中，00B A B A ππ<<<<∴=，ABC ∴ 必定为等腰三角形，选项B 正确，选项ACD 错误故选：B.7．若非零向量32,2b a c b c a =-==，则a 与b的夹角余弦值为（）A ．34B ．14C ．34-D ．14-【正确答案】D【分析】根据题意设a 与b的夹角为θ，且a t = ，则2b c t ==，由32b a c =-可得222491612t t t a c=+-⋅，变形可得274a c t ⋅= ，由此求出ab ⋅ 的值，结合数量积的计算公式可得答案.【详解】根据题意设a 与b的夹角为θ，且a t = ，则2b c t ==，又由32b a c=-，则()2232b a c =-，即222491612t t t a c =+-⋅ ，变形可得274a c t ⋅= ，则有()2222713232322a b a a c a a c t t t ⋅=⋅-=-⋅=-=- ，所以1cos 4a b a bθ⋅==- .故选：D8．如图正三棱柱ABC A B C '''-2，一只蚂蚁要从顶点A 沿三棱柱的表面爬到顶点C '，若侧面AA C C ''紧贴墙面（不能通行），则爬行的最短路程是（）A B ．2C ．4D【正确答案】A【分析】将侧面ABB A ''与BCC B ''展开，在展开图中，连接AC '求解即可.【详解】将侧面ABB A ''与BCC B ''展开，如图：连接AC '，则4AC '==.将侧面ABB A ''与'AC B''展开，如图：连接AC '，则()22332232()132AC '=+-⨯⨯⨯-=故选：A9．已知一个圆锥的底面积为π，侧面积为2π，则该圆锥的体积为（）．A ．86πB ．46πC ．33πD ．22π3【正确答案】C【分析】由条件底面积和侧面积建立方程，求出圆锥的底面半径和侧棱，再求出高，然后再求体积.【详解】设圆锥的底面半径、高、母线长分别为r ，h ，l ，则2,2,r rl ππππ⎧=⎨=⎩解得1,2.r l =⎧⎨=⎩所以3h =圆锥的体积211313333V Sh ππ==⨯⨯=故选：C10．a 和b 是异面直线，P a ∉且P b ∉，则过点P 与,a b 都相交的直线（）A ．不存在B ．无数条C ．唯一一条D ．最多一条【正确答案】D由点P 和直线a 确定一平面，利用直线与平面的位置关系判断．【详解】∵P a ∉，∴由点P 和直线a 确定一平面α，,a b 是异面直线，则直线b 与平面α可能相交可能平行，若//b α，则过P 直线不可能同时与,a b 都相交，若b 与α相交，则过交点与P 的直线与a 相交或平行，∴过点P 与,a b 都相交的直线最多只有一条．故选：D ．二、多选题11．已知i 是虚数单位，下列说法正确的是（）A ．若复数z 满足2z ∈R ，则z R ∈B ．若复数z 满足z R ∈，则z R ∈C ．若复数2i1iz =+，则z 的值为2D ．若复数z 满足i 3i z z +=-，则||z 的最小值为1【正确答案】BD【分析】A 举反例判断；B 根据复数代数形式证明判断；C 计算复数模判断；D 根据Z 点轨迹方程判断．【详解】解：对于A ，当i z =时，21z R =-∈，但i z =∉R ，所以A 错；对于B ，设i z a b =+，(,)a R b R ∈∈，因为z R ∈，所以0b =，于是i z a b a =-=∈R ，所以B 对；对于C ，因为2i1iz =+，所以|2i |||2|1i |z =≠+，所以C 错；对于D ，设i z x y =+，(,)x R y R ∈∈，由|i ||3i |z z +=-=理得1y =，即|i ||3i |z z +=-的轨迹是直线1y =，所以||z 的最小值为点(0,0)到直线1y =的距离，即min ||1z =，所以D 对．故选：BD ．12．下列说法正确的是（）A ．在ABC 中，若0AB BC ⋅>，则ABC 为锐角三角形B ．若(3,4),(1,2)a b ==-，则a 在b方向上的投影向量为(1,2)-C ．若(1,)(2,2)a k b ，==，且a b + 与a 共线，则a b⊥D ．设M 是ABC 所在平面内一点，且330,22MB MA MC ++=uuu r uuu r uuu r r 则4ABCMACS S =V V 【正确答案】BD【分析】A 根据向量数量积为负，确定其夹角为钝角，从而判断；B 求向量投影判断；C 用反证法判断；D 用向量加法几何意义判断．【详解】解：对于A ，因为0AB BC ⋅> ，所以0BA BC ⋅<uu r uu u r ，于是2B π∠>，所以ABC 为钝角三角形，所以A 错；对于B ，因为(3,4),(1,2)a b ==-，则a 在b 方向上的投影向量为25(1,2)(1,2)5||||||a b b a b b b b b ⋅⋅⋅=⋅=⋅-=- ，所以B 对；对于C ，假设C 对，则a b ⊥，从而220a b k ⋅=+= ，于是1k =-，所以(3,1)a b += 与(1,1)a =- 不共线，所以与ab +与a共线矛盾，所以C 错；对于D ，取AC 中点D ，连接MB 、MD ，延长MD 到N ，使MD DN =，连接AN 、CN ，则四边形ANCM 为平行四边形，于是1()2MD MA MC =+ ，又因为33022MB MA MC ++=，所以11()23MD MA MC MB =+=- ，所以B 、M 、D 共线，且14MD BD =，所以4ABC MACS S =V V ，所以D 对．故选：BD．三、填空题13．复数z 的共轭复数为z ，已知26i z z -=（i 是虚数单位），则z =______【正确答案】2i【分析】设()i ,z x y x y R =+∈，可得i z x y =-，代入条件根据复数相等可得答案.【详解】设()i ,z x y x y R =+∈，则i z x y =-则()()22i i 6iz z x y x y -=+--=即3i 6i x y +=，所以036x y =⎧⎨=⎩，即02x y =⎧⎨=⎩所以2i z =故2i14．在ABC 中，AD 是BC 边上的中线，2,1AB AC AD ===，则ABC 的面积为______【分析】由已知可得到12AD AB AC →→→⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，进一步222124AD AB AC AB AC →→→→→⎛⎫=++⋅ ⎪⎝⎭，进而通过平面向量数量积的定义求出cos BAC ∠，再求出sin BAC ∠，最后利用面积公式得到答案.【详解】由题意，12AD AB AC →→→⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，所以222124AD AB AC AB AC →→→→→⎛⎫=++⋅ ⎪⎝⎭，因为2,1AB AC AD ===，所以()113422cos cos4BAC BAC =++⨯∠⇒∠=sin4BAC ∠==，所以ABC 的面积为12244=.故答案为15．“中国天眼”是我国具有自主知识产权、世界最大单口径、最灵敏的球面射电望远镜（如图，其反射面的形状为球冠（球冠是球面被平面所截后剩下的曲面，截得的圆为底，垂直于圆面的直径被截得的部分为高，设球冠底的半径为r ，球冠的高为h ，则球的半径R =______________．【正确答案】222h r h+【分析】作出图形，可知球心到截面圆的距离为R h -，利用勾股定理列等式可求得R .【详解】如下图所示：球心到截面圆的距离为R h -，由勾股定理可得()222R h r R -+=，化简得222r h Rh +=，解得222r h R h +=.故答案为.222h r h+四、解答题16．已知i 是虚数单位，设复数121i,2i()z z m m R =+=-∈.（1）若12z z 为纯虚数，求m 的值；（2）若21z z 在复平面上对应的点位于第三象限，求m 的取值范围.【正确答案】（1）2m =-（2）()2,2-【分析】（1）利用复数的乘法运算、纯虚数的定义即可得出答案.（2）利用复数的除法运算、复数在复平面上对应的点的坐标即可得出答案.【详解】由复数121i,2i()z z m m R =+=-∈则()()()121i 2i 22i m m z m z =+-=++-，由12z z 为纯虚数所以2020m m +=⎧⎨-≠⎩，所以2m =-（2）()()()()()212i 1i 22i 2i 1i 1i 1i 2m m m z m z ----+-===++-由21z z 在复平面上对应的点位于第三象限所以202202m m -⎧<⎪⎪⎨+⎪-<⎪⎩，解得22m -<<m 的取值范围：()2,2-17．已知单位向量12e e ，的夹角60︒，向量1221a e e b e te t R =+=-∈，，.（1）若//a b，求t 的值；（2）若2t =，求向量a b，的夹角.【正确答案】（1）1t =-；（2）23π.【分析】（1）根据题意，设a kb =，又12,e e 不共线，根据系数关系，列出方程，即可求出t的值；（2）根据题意，设向量,a b的夹角为θ；由数量积的计算公式可得b 、a r 以及a b ⋅ ，又由cos a ba bθ⋅=⋅，即可求出结果．【详解】（1）根据题意，向量1221a e e b e te =+=-r u r u r r u r u r,，若//a b，设a kb = ，则有()()122112e e k e te kte ke +=-=-+u r u r u r u r u r u r ，则有11kt k =-⎧⎨=⎩，解可得1t =-；（2）根据题意，设向量,a b的夹角为θ；若2t =，则212b e e =-，所以()222221212124cos 604523b e e e e e e =-=-⋅︒+=-=r u r u r u r u r u r u r ，所以b = ，又12a e e =+，则()22221212122cos 601113a e e e e e e =+=++⋅︒=++=r u r u r u r u r u r u r，所以a =又()()22122121121322cos 601222a b e e e e e e e e ⋅=+⋅-=--︒=--=-r r u r u r u r u r u r u r u r u r ，所以312cos 2a ba bθ-⋅==-⋅r r r r ，又由0θπ≤≤，所以23πθ=；故向量,a b 的夹角为23π．本题考查了平面向量共线定理和平面向量数量积的计算，涉及向量模、夹角的计算公式，属于基础题．18．已知函数2()cos 22f x x x π⎛⎫=--+ ⎪⎝⎭.（1）求函数f （x ）的单调性；（2）在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c，且2A f ⎛⎫= ⎪⎝⎭，a =c ＝1，求△ABC 的面积.【正确答案】（1）在5,1212k k ππππ⎡⎤-+⎢⎥⎣⎦上单调递增，在511,1212k k ππππ⎛⎤++ ⎥⎝⎦上单调递减，k ∈Z ；（2（1）利用二倍角公式逆应用和辅助角公式化简整理，求单调区间即可；（2）求出A 角，利用正弦定理得C 角和B 角，再由1sin 2ABC S ac B ∆=计算即可.【详解】解：（1）())sin 21cos 2sin 222sin 23f x x x x x x π⎛⎫=++==- ⎪⎝⎭，由222232k x k πππππ--+，得51212k x k ππππ-+，k ∈Z ；由3222232k x k πππππ+<-+，得5111212k x k ππππ+<+，k ∈Z .故f （x ）在5,1212k k ππππ⎡⎤-+⎢⎥⎣⎦上单调递增，在511,1212k k ππππ⎛⎤++ ⎥⎝⎦上单调递减，k ∈Z ；（2）2sin 23A f A π⎛⎫⎛⎫=-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭sin 3A π⎛⎫-= ⎪⎝⎭，∵A ∈（0，π），∴33A ππ-=，即23A π=，由正弦定理得，sin sin a c A C =1sin 2C =，解得1sin 2C =，∴6C π=或56π，当C ＝56π时，A +C ＞π，舍去，所以6C π=，故6B π=，∴111sin 1222ABC S ac B ∆==⨯=.本题考查了三角恒等变换、三角函数单调区间和解三角形的综合应用，属于中档题.19．如图，在平面四边形ABCD 中，2,AC CD AD BC BC CA ====⊥.（1）求BA BD ⋅的值；（2）若BD mBA nBC =+，求m n +的值【正确答案】（1）6；（2）22+.【分析】（1）由已知得ACD 是边长为2等边三角形，ACB △是直角边长为2等腰直角三角形，45BAC ∠=，60CAD ∠=o，所以BA BD BA BA BA AD ⋅=⋅+⋅ ，由数量积公式可得答案；（2）取AC 的中点E ，连接DE 得//BC DE ，2DE CB=，所以12BD CD CB CA =-=-，又()BD mCA n m CB =-+可得答案.【详解】（1）因为2AC CD AD BC ====，所以ACD 是边长为2等边三角形，因为BC CA ⊥，所以ACB △是直角边长为2等腰直角三角形，且BA =，45BAC ∠= ，60CAD ∠=o ，所以()BA BD BA BA AD BA BA BA AD⋅=⋅+=⋅+⋅(()()2cos 180604584530BA AD =+⋅--=++1826222⎫=+⨯⨯=⎪⎪⎭.（2）取AC 的中点E ，连接DE ，则AC ED ⊥，所以//BC DE ，在DEC Rt △中，cos 30DE CD =⨯=DE =，所以1122222BD CD CB CE ED CB CA CB CB CA CB =-=+-=--=-，又()()BD mBA nBC m CA CB nCB mCA n m CB =+=--=-+，所以1,2m n m =+=n =所以n m +=20．已知ABC ∆的三个内角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，在条件①222()(cos cos )a b c a B b A abc +-⋅+=，条件②sin cos()6c A a C π=-这两个条件中任选一个作为已知条件，解决以下问题.（1）若c =ABC 的外接圆直径；（2）若ABC ∆的周长为6，求边c 的取值范围.【正确答案】（1）2（2）[)2,3【分析】（1）选择①：结合正弦定理和已知条件，推出a 2+b 2﹣c 2＝ab ，再由由余弦定理，求得3C π=，然后由2sin cR C=可得解；选择②：利用正弦定理将已知等式中的边化角，再结合两角差的余弦公式、同角三角函数的商数关系，求得3C π=，然后由2sin cR C=可得解；（2）由（1）知3C π=，由正弦定理，知,sin a A b B =，结合两角差的正弦公式、辅助角公式，推出612sin()6c A π=++，然后根据正弦函数的图象与性质，得解．【详解】解：（1）选择①：由正弦定理知，sin a A ＝sin b B ＝sin c C，∵()()222cos cos a b c a B b A abc+-⋅+=∴()()222sin cos sin cos sin a b c A B B Aab C +-⋅+=∴()()222sin sin a b c A B ab C +-⋅+=，即()222sin sin a b c C ab C +-⋅=，∵sin C ≠0，所以222a b c ab +-=，由余弦定理知，cos C ＝2222a b c ab+-＝122ab ab =，又0C π<<∴3C π=，由2sin cR C=，知2Rsin 32，∴R ＝1，∴△ABC 的外接圆直径为2．选择②：由正弦定理知，sin aA ＝sin c C，∵sin cos()6c A a C π=-，∴sin C sin A ＝sin A cos 6C π⎛⎫-⎪⎝⎭，∵sin A ≠0，∴sin C ＝cos 6C π⎛⎫-⎪⎝⎭，∴1sin sin 22C C C =+，即sin CC ，∴tan C ＝sin cos CC∵0C π<<∴3C π=，由2R ＝sin cC，知2Rsin 32，∴R ＝1，∴△ABC 的外接圆直径为2．（2）由（1）知，3C π=，由正弦定理知，sin a A ＝sin bB ＝sin cC ＝sin 3cπ∴aA ，bsin B ，∵△ABC 的周长为6，所以())266sin sin 6sin sin 3c a b A B A A π⎤⎛⎫=-+=-+=-+- ⎪⎥⎝⎭⎦16sin cos sin 62sin226A A A c A π⎡⎤⎛⎫=-++=-+⎥ ⎪⎝⎭⎦∴c ＝612sin()6A π++，∵20,3A π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，∴A +5,666πππ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，1sin ,162A π⎛⎫⎛⎤+∈ ⎪ ⎥⎝⎭⎝⎦，所以[)2,3c ∈．21．已知圆锥的侧面展开图为半圆，母线长为（1）求圆锥的底面积；（2）在该圆锥内按如图所示放置一个圆柱，当圆柱的侧面积最大时，求圆柱的体积.【正确答案】（1）3π；（2）98π.（1）先由圆的周长公式求出圆锥的底面圆的半径，再求圆锥的底面积；（2）圆柱的高1OO h =，OD r =，再由11AO D △AOB 求出,h r 的关系式，进而得出圆柱的侧面积，再结合二次函数的性质以及圆柱的体积公式求解即可.【详解】解：（1）沿母线AB 剪开，侧展图如图所示：设OB R =，在半圆⊙A 中，AB =弧长'BB =，这是圆锥的底面周长，所以2R π=，所以R =，故圆锥的底面积为23S R ππ==圆锥；（2）设圆柱的高1OO h =，OD r =，在Rt AOB 中，3AO =，11AO D △AOB ，所以111AO O D AO OB=，即33h -=3h =，222(3)()S rh r r ππ===-圆柱侧面积，222r π⎛=--+ ⎝⎭，所以，当2r =，32h =时，圆柱的侧面积最大，此时298V r h ππ==圆柱.关键点睛：在第一问中，关键是由圆锥底面圆的周长与侧面展开扇形的弧长相等，从而求出圆锥底面圆的半径.五、单选题22．函数1()ln 1f x x x =++的定义域是（）A ．(1,0)-B ．(1,)-+∞C ．(0,)+∞D ．,1(1,)∞∞--⋃-+（）【正确答案】C【分析】由解析式有意义列不等式求x 的取值范围即可.【详解】因为1()ln 1f x x x =++有意义，所以0,10x x >+≠，解不等式可得0x >，所以函数1()ln 1f x x x =++的定义域是(0,)+∞，故选：C.23．已知点()tan ,cos P αα在第三象限，则角α的终边位置在（）A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限【正确答案】B【分析】由P 所在的象限有tan 0,cos 0αα<<，即可判断α所在的象限.【详解】因为点()tan ,cos P αα在第三象限，所以tan 0,cos 0αα<<，由tan 0α<，可得角α的终边在第二、四象限，由cos 0α<，可得角α的终边在第二、三象限或x 轴非正半轴上，所以角α终边位置在第二象限，故选：B.24．设0.73a =，0.7log 0.8b =，3tan 4c π=，则,,a b c 的大小关系为（）A ．c b a <<B ．b a c <<C ．b<c<aD ．c a b<<【正确答案】A【分析】由指数函数，对数函数单调性分析a 和b 与1和0的关系，由正切函数性质分析c 与1和0的关系，即可得出答案.【详解】0.70331a =>=，即1a >，0.70.7log 0.8log 0.71b =<=，且0.70.7log 0.8log 00b =>=，即01b <<，由正切函数性质可知3tan 04c π=<，即0c <，故c b a <<，故选：A.25．函数()22log f x x x =-+的零点所在的区间为（）A ．()01，B ．()12，C ．()23，D ．()34，【正确答案】B【分析】判断函数的单调性，计算区间端点处函数值，由局零点存在定理即可判断答案.【详解】函数()22log f x x x =-+,0x >是单调递增函数，当0x +→时，()f x →-∞，2(1)1,(2)10,(3)1log 30,(4)40f f f f =-=>=+>=>，故(1)(2)0f f ⋅<故函数的零点所在的区间为()12，，故选：B26．奇函数()f x 满足()()4f x f x +=，当()0,2x ∈时，()132xf x =+，则()2023f =（）A ．72-B ．32C ．72D ．552【正确答案】A【分析】由()(4)f x f x =+，可得到函数()f x 的周期是4，利用函数的周期性和奇偶性，将()2023f 转化为()1f -，代入函数解析式求解即可.【详解】解：已知奇函数()f x 满足()()4f x f x +=，()f x ∴是以4为周期的奇函数，又当()0,2x ∈时，()132xf x =+，()()()()1172023311322f f f f ⎛⎫∴==-=-=-+=- ⎪⎝⎭，故选：A.27．已知函数π()sin 3f x x ω⎛⎫=+ ⎪⎝⎭（0ω>），若()f x 在2π0,3⎡⎤⎢⎥⎣⎦上有两个零点，则ω的取值范围是（）A ．5[,4)2B ．5[,)2+∞C ．511[,22D ．5[,4]2【正确答案】A 【分析】求出π3x ω+的范围，数形结合得到关于2ππ33ω+的范围，求出ω的取值范围.【详解】2π0,3x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，0ω>，则ππ2ππ,3333x ωω⎡⎤+∈+⎢⎥⎣⎦，故[)2ππ2π,3π33ω+∈，解得.5[,4)2ω∈故选：A六、多选题28．下列命题为真命题的是（）A ．若0a b >>，则22ac bc >B ．若0a b >>，则22a b >C ．若0a b <<，则22a ab b <<D ．若0a b <<，则11a b>【正确答案】BD【分析】利用不等式的运算法则与性质即可求解.【详解】对于A ：当0c =，22ac bc =，故A 错误；对于B ： 0a b >>，∴22a b >，故B 正确；对于C ：当2a =-，1b =-时，则24a =，2ab =，21b =，则22a ab b >>，故C 错误；对于D ： 0a b <<，∴11a b>，故D 正确；故选：BD.29．下列说法正确的是（）A ．命题3:0,0p x x ∀>>的否定为.30,0x x ∃>≤B ．2()lg f x x =与()2lg g x x =为同一函数C ．若幂函数()y f x =的图象过点，则(9)2f =D ．函数2x y =和2log y x =的图象关于直线y x =对称【正确答案】AD【分析】根据全称量词的否定是存在量词，可知A 正确；根据两个函数的定义域不同，可知B 不正确；利用待定系数法求出()f x 的解析式，再根据解析式求出(9)f ，可知C 不正确；根据函数2x y =与2log y x =互为反函数，可知D 正确.【详解】对于A ，命题3:0,0p x x ∀>>的否定为：30,0x x ∃>≤，故A 正确；对于B ，2()lg f x x =与()2lg g x x =的定义域不同，所以不为同一函数，故B 不正确；对于C ，设()f x x α=，则(2)2a f ==，所以12α=，所以12(9)93f ==，故C 不正确；对于D ，函数2x y =与2log y x =互为反函数，它们的图象关于直线y x =对称，故D 正确.故选：AD30．已知函数()sin(3)f x x ϕ=+22ππϕ⎛⎫-<< ⎪⎝⎭的图象关于直线4x π=对称，则（）A ．函数12f x π⎛⎫+ ⎪⎝⎭为奇函数B ．函数()f x 在123ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦，上单调递增C ．若()()122f x f x -=，则12x x -的最小值为3πD ．函数()f x 的图象向右平移4π个单位长度得到函数cos3y x =-的图象【正确答案】AC利用()sin(3)f x x ϕ=+的图象关于直线4x π=对称，即可求出ϕ的值，从而得出()f x 的解析式，再利用三角函数的性质逐一判断四个选项即可.【详解】因为()sin(3)f x x ϕ=+的图象关于直线4x π=对称，所以()342k k Z ππϕπ⨯+=+∈，得4k πϕπ=-+，Z k ∈，因为22ππϕ-<<，所以0,4k πϕ==-，所以()sin 34f x x π⎛⎫=-⎪⎝⎭，对于A ：sin 3sin 312124f x x x πππ⎡⎤⎛⎫⎛⎫+=+-= ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦，所以12f x π⎛⎫+ ⎪⎝⎭为奇函数成立，故选项A正确；对于B ：123x ππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，时，30,434x ππ⎡⎤⎢⎥⎣∈⎦-，函数()f x 在123ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦，上不是单调函数；故选项B不正确；对于C ：因为()max 1f x =，()min 1f x =-，又因为()()122f x f x -=，所以12x x -的最小值为半个周期，即21323ππ⨯=，故选项C 正确；对于D ：函数()f x 的图象向右平移4π个单位长度得到()sin 3sin 3sin 344y x x x πππ⎡⎤⎛⎫=--=-=- ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦，故选项D 不正确；故选：AC本题主要考查了利用三角函数的对称轴求函数解析式，考查了三角函数平移变换、三角函数的周期、单调性、最值，属于中档题七、填空题31．已知函数()()()sin 0,0,0f x A x A ωϕωϕπ=+>>≤<的图象如图所示.则函数()f x 的解析式为_________.【正确答案】()2sin(2)3f x x π=+【分析】根据最值可求A ，根据周期可求ω，代入特殊值可求ϕ.【详解】由图可知，2A =， 313341234T πππ=-=，∴T π=， 2T ππω==，∴2ω=，又0ω>，∴2ω=.∴()()()2sin 2,0f x x ϕϕπ=+≤<，当3x π=时，()222sin 02333f k k Z πππϕϕππ⎛⎫⎛⎫=+=+=+∈ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，，解得3πϕ=.故答案为.()2sin(2)3f x x π=+32．以等边三角形每个顶点为圆心，以边长为半径，在另两个顶点间作一段弧，三段弧围成的曲边三角形就是勒洛三角形.勒洛三角形是由德国机械工程专家、机构运动学家勒洛首先发现，所以以他的名字命名.一些地方的市政检修井盖、方孔转机等都有应用勒洛三角形.如图，已知某勒洛三角形的一段弧 AB 的长度为π，则该勒洛三角形的面积为___________.【正确答案】92π-【分析】计算出等边ABC 的边长，计算出由弧 AB 与AB 所围成的弓形的面积，进而可求得勒洛三角形的面积.【详解】设等边三角形ABC 的边长为a ，则3a ππ=，解得3a =，所以，由弧 AB 与AB所围成的弓形的面积为22211939sin 323236424a a ππππ⨯-⨯=⨯-=-，所以该勒洛三角形的面积332S π⎛=⨯= ⎝⎭.故答案为.92π-八、解答题33．已知角α的始边与x 轴的非负半轴重合，终边与单位圆的交点M 的坐标为03(,)5y ，且3(,2)2παπ∈.(1)求sin α的值；(2)求9cos()cos(23sin()tan()2ππααπααπ-+++⋅-）的值.【正确答案】(1)45-(2)14【分析】（1）由三角函数的定义与三角函数的象限符号即可求解；（2）由同角三角函数的关系即可求解.【详解】（1）∵角α的终边与单位圆的交点为M 03(,)5y ∴35=cos α∵3(,2)2παπ∈∴sin 0α<∴4sin 5α==-.（2）原式cos sin cos sin 1tan cos tan sin tan ααααααααα--++===-⋅又∵sin tan s 43co ααα==-∴原式4113443-==-34．某居民小区欲在一块空地上建一面积为21200m 的矩形停车场，停车场的四周留有人行通道，设计要求停车场外侧南北的人行通道宽3m ，东西的人行通道宽4m ，如图所示（图中单位：m ），问如何设计停车场的边长，才能使人行通道占地面积最小？最小面积是多少？【正确答案】设计矩形停车场南北侧边长为30m ，则其东西侧边长为40m ，人行通道占地面积最小5282m ．【分析】设矩形停车场南北侧边长为m x ，则其东西侧边长为1200xm ，人行通道占地面积为1200(6)81200S x x ⎛⎫=++- ⎪⎝⎭，再由基本不等式可得答案.【详解】设矩形停车场南北侧边长为()m 0x x >，则其东西侧边长为1200xm ，人行通道占地面积为()212007200681200848m S x x x x ⎛⎫=++-=++ ⎪⎝⎭，由均值不等式，得2720084848224048528m S x x =++≥=⨯+=，当且仅当72008x x =，即30m x =时，2min 528m S =，此时120040m x =．所以，设计矩形停车场南北侧边长为30m ，则其东西侧边长为40m ，人行通道占地面积最小528m 2．35．已知函数()()2f x x ax b a b R =+-∈，．(1)若1b =-，且函数()f x 有零点，求实数a 的取值范围；(2)当1b a =-时，解关于x 的不等式()0f x ≤；(3)若正数a b ，满足43a b+≤，且对于任意的[)()10x f x ∈+∞≥，，恒成立，求实数a b ，的值．【正确答案】(1)(,2][2,)-∞-+∞ ；(2)2a <时[1,1]a --；2a =时{}1-；2a >时[1,1]a --；(3)1,2a b ==；【分析】(1)由240a ∆=-≥可得结果；(2)1b a =-时，()21f x x ax a =++-()()11x x a =++-，分三种情况讨论，分别利用一元二次不等式的解法求解即可；(3)[)1x ∈+∞，时()0f x ≥恒成立，当且仅当()10f ≥，即10a b +-≥，即1a b ≥-，由43a b+≤，可得43a b ≤-，则413b b -≤-，解不等式即可的结果．【详解】(1)1b =-时，()21f x x ax =++，由函数()f x 有零点，可得240a ∆=-≥，即2a ≤-或2a ≥；(2)1b a =-时，()21f x x ax a =++-()()11x x a =++-，当11a -<-即2a <时，()0f x ≤的解集为[]11a --，，当11a -=-即2a =时，()0f x ≤的解集为{}1-，当11a ->-即2a >时，()0f x ≤的解集为[]11a --，；(3)二次函数()f x 开口响上，对称轴2a x =-，由2a >可得()f x 在[)1+∞，单调递增，[)1x ∈+∞，时()0f x ≥恒成立，当且仅当()10f ≥，即10ab +-≥，即1a b ≥-，由43a b +≤，可得43a b≤-，则413b b-≤-，由0>可得2440b b -+≤，即()220b -≤，则2b =，此时11a ≤≤，则1a =．本题主要考查函数的零点、一元二次不等式的解法、二次函数的性质以及分类讨论思想的应用，属于中档题．分类讨论思想解决高中数学问题的一种重要思想方法，是中学数学四种重要的数学思想之一，尤其在解决含参数问题发挥着奇特功效，提高了解题能力与速度．运用这种方法的关键是将题设条件研究透，这样才能快速找准突破点．充分利用分类讨论思想方法能够使问题条理清晰，进而顺利解答，希望同学们能够熟练掌握并应用与解题当中．36．设函数()212x xa f x =+-(a 为实数).(1)当0a =时，求方程1|()|2f x =的实数解；(2)当1a =-时，存在[1,2]t ∈使不等式22(2)(2)0f t t f t k --->成立，求k 的范围；【正确答案】(1)=1x -或23log 2x =(2)(3,)+∞【分析】（1）代入得1|()|2f x =，解出x 值即可；（2）根据复合函数单调性得1()212x x f x =--在R 上单调递增，转化为2222t t t k ->-，则()2min 2k t t >+，求出右边最小值即可.【详解】（1）当0a =时，()21x f x =-，则1|()|2f x =⇔1212x -=-或1212x -=，⇔=1x -或23log 2x =.（2）当1a =-时，1()212x x f x =--，因为2x y =在(,)-∞+∞上单调递增，12xy =在(,)-∞+∞上单调递减，所以1()212x x f x =--在R 上单调递增.因为存在[1,2]t ∈，使不等式22(2)(2)0f t t f t k --->成立，所以22(2)(2)f t t f t k ->-，所以2222t t t k ->-，所以只需()2min 2k t t >+，又当[1,2]t ∈时，()22211t t t +=+-，则当1t =时，()22min 21213t t +=+⨯=，所以3k >，.即k的取值范围为(3,)。
2023~2024学年度第二学期高一年级期中考试数学试卷
唐山市第三十六中学2023-2024学年高一下学期期中考试数学试卷一、选择题1．判断下列各命题的真假：①向量与平行，则与的方向相同或相反；②两个有共同起点而且相等的向量，其终点必相同；③零向量是没有方向的；④向量就是有向线段.其中假命题的个数为（ ）A ．2B ．3C ．4D ．52．如图，分别是长方体的棱的中点，则等于（ ）A ．B ．C ．D ．3．已知，，为非零平面向量，则下列说法正确的是（ ）A ．B ．若，则C ．若，则，D ．4．已知向量，，且，则实数的值为（ ）A ．B ．3C ．8D ．125．已知单位向量，的夹角为，则（ ）A ．1BCD ．36．在中，角A ，B ，C 所对边分别为，，，，则值等于（ ）a b a b E F ，ABCD A B C D '-'''AB CD ，AB CF + AD 'AC ' DE AE a b c()()a b c a b c ⋅⋅=⋅⋅ a c b c ⋅=⋅ a b =//a bλR ∃∈λb a = ||||||a b a b ⋅=⋅ (2,4)a = (,6)b m =- //a bm 3-a b 2π3a b -= ABC V ,,a b c π3A =2b =8c =22a b c sinA sinB sinC -+-+AB ．CD7．已知复数在复平面内对应的点在第四象限，则实数的取值范围是（ ）A ．B ．C ．D ．8．在三棱锥P －ABC 中，PA ⊥底面ABC ，PA ＝2，底面ABC 是边长为的正三角形，M 为AC 的中点，球O 是三棱锥P －ABM 的外接球．若D 是球0上一点，则三棱锥D －PAC 的体积的最大值是（ ）A．2B ．CD二、多项选择题9．在△ABC 中，下列说法正确的是（ ）A ．若，则B ．若，则C ．若，则D ．若，则10．若关于 方程 （ 是实数）有两个不等复数根 ，其中 （ 是虚数单位），下面四个选项正确的有（ ）A ．B．C ．D ．11．如图，在直三棱柱中，，，E 为的中点，过AE 的截面与棱BB 、分别交于点F 、G ，则下列说法中正确的是（ ）(2)(1)i z m m =+++m (2,1)--(,2)(1,)⋃-∞--+∞(1,)-+∞(,2)-∞-A B C >>sinA sinB sinC>>A B C >>222sin A sin B sin C>>A B C >>cosA cosB cosC<<A B C >>222cos A cos B cos C<<x 的20x px q ++=p q ，αβ和12α=-+i 1αβ⨯=21αβ=2αβ=332αβ+=111ABC A B C -90ACB ∠=︒12AC BC CC ===11B C 11A CA ．当点F 为棱中点时，截面B ．线段长度的取值范围是C ．当点F 与点B 重合时，三棱锥的体积为D ．存在点F ，使得三、填空题12．已知平面和直线，给出条件：①；②；③；④；⑤．（1）当满足条件 时，有；（2）当满足条件 时，有．（填所选条件的序号）13．下列说法正确的序号为 ．①若复数，则；②若全集为复数集，则实数集的补集为虚数集；③已知复数，，若，则，均为实数；④复数的虚部是1．14．如图，在四边形 中，对角线 与 相交于点 .已知 ，， ，且 是 的中点，若 ，则 的值为 .四、解答题15．如图，在平面四边形ABCD 中，已知，，△ABC 为等边三角形，记．1BB AFEG 3++1C G []01，C AEF -431A F AE ⊥αβ，m αm P αm ⊥αm ⊂αβ⊥αβP βm P βm ⊥3i z =+13i 1010z =-1z 2z 12z z >1z 2z 3i 1z =-+ABCD AC BD O AC BC =AC BC ⊥AD BD ⊥O AC 2AD AB CD CB ⋅-⋅= AC BD ⋅ 1AD =2CD =αADC ∠=（1）若，求△ABD 的面积；（2）若，求△ABD 的面积的取值范围．16．已知向量.（1）当时，求的值；（2）设函数，且，求 的最大值以及对应的的值.17．已知是关于x 的实系数一元二次方程.（1）若a是方程的一个根，且，求实数k 的值；（2）若，是该方程的两个实根，且，求使的值为整数的所有k 的值.18．如图，多面体 中，底面 是菱形， ，四边形 是正方形且 平面 .（1）求证：平面 ；（2）若 ，求多面体 的体积 .19．如图，两个相同的正四棱锥底面重合组成一个八面体，可放入一个底面为正方形的长方体内，且长方体的正方形底面边长为2，高为4，已知重合的底面与长方体的正方形底面平行，八面体的各顶点均在长方体的表面上．πα3=πα,π2⎛⎫∈⎪⎝⎭)1cos 12a x x b ⎛⎫==- ⎪ ⎪⎝⎭，a b ⊥ tan x ()()f x a b b =+⋅ π02x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，()f x x 24410kx kx k -++=1a =1x 2x Z k ∈1221x x x x +ABCDEF ABCD 60BCD ∠=︒BDEF DE ⊥ABCD //CF ADE AE =ABCDEF V（2）求该八面体表面积S的取值范围．。
人教版高一下学期期中考试数学试卷及答案解析(共五套)
人教版高一下学期期中考试数学试卷（一）注意事项：本试卷满分150分，考试时间120分钟，试题共22题．答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、班级等信息填写在试卷规定的位置．一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分）在每小题所给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.点C是线段AB靠近点B的三等分点，下列正确的是（）A．B．C．D．2.已知复数z满足z（3+i）＝3+i2020，其中i为虚数单位，则z的共轭复数的虚部为（）A．B．C．D．3.如图，▱ABCD中，∠DAB＝60°，AD＝2AB＝2，延长AB至点E，且AB＝BE，则•的值为（）A．﹣1 B．﹣3 C．1 D．4.设i是虚数单位，则2i+3i2+4i3+……+2020i2019的值为（）A．﹣1010﹣1010i B．﹣1011﹣1010iC．﹣1011﹣1012i D．1011﹣1010i5.如图，在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，异面直线A1B与CD所成的角为（）A．30°B．45°C．60°D．135°6.在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若（a﹣2b）cos C＝c（2cos B﹣cos A），△ABC的面积为a2sin，则C＝（）A．B．C．D．7.在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，下列四个结论中错误的是（）A．直线B1C与直线AC所成的角为60°B．直线B1C与平面AD1C所成的角为60°C．直线B1C与直线AD1所成的角为90°D．直线B1C与直线AB所成的角为90°8.如图，四边形ABCD为正方形，四边形EFBD为矩形，且平面ABCD与平面EFBD互相垂直．若多面体ABCDEF的体积为，则该多面体外接球表面积的最小值为（）A．6πB．8πC．12πD．16π二、多选题（本大题共4小题，每小题5分，选对得分，选错、少选不得分）9.在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若a2＝b2+bc，则角A可为（）A．B．C．D．10.如图，四边形ABCD为直角梯形，∠D＝90°，AB∥CD，AB＝2CD，M，N分别为AB，CD的中点，则下列结论正确的是（）A．B．C．D．11.下列说法正确的有（）A．任意两个复数都不能比大小B．若z＝a+bi（a∈R，b∈R），则当且仅当a＝b＝0时，z＝0C．若z1，z2∈C，且z12+z22＝0，则z1＝z2＝0D．若复数z满足|z|＝1，则|z+2i|的最大值为312.如图，已知ABCD﹣A1B1C1D1为正方体，E，F分别是BC，A1C的中点，则（）A．B．C．向量与向量的夹角是60°D．异面直线EF与DD1所成的角为45°三、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分．不需写出解答过程，请把答案直接填写在横线上）13.已知正方形ABCD的边长为2，点P满足＝（+），则||＝；•＝．14.若虛数z1、z2是实系数一元二次方程x2+px+q＝0的两个根，且，则pq＝．15.已知平面四边形ABCD中，AB＝AD＝2，BC＝CD＝BD＝2，将△ABD沿对角线BD折起，使点A到达点A'的位置，当A'C＝时，三棱锥A﹣BCD的外接球的体积为．16.已知一圆锥底面圆的直径为3，圆锥的高为，在该圆锥内放置一个棱长为a 的正四面体，并且正四面体在该几何体内可以任意转动，则a的最大值为．四、解答题（本大题共6小题，共70分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17.在四边形ABCD中，AB∥CD，AD＝BD＝CD＝1．（1）若AB＝，求BC；（2）若AB＝2BC，求cos∠BDC．18.（1）已知z1=1﹣2i，z2=3+4i，求满足=+的复数z．（2）已知z，ω为复数，（1+3i）﹣z为纯虚数，ω=，且|ω|=5．求复数ω．19.如图，墙上有一壁画，最高点A离地面4米，最低点B离地面2米．观察者从距离墙x（x＞1）米，离地面高a（1≤a≤2）米的C处观赏该壁画，设观赏视角∠ACB＝θ．（1）若a＝1.5，问：观察者离墙多远时，视角θ最大？（2）若tanθ＝，当a变化时，求x的取值范围．20.如图，已知复平面内平行四边形ABCD中，点A对应的复数为﹣1，对应的复数为2+2i，对应的复数为4﹣4i．（Ⅰ）求D点对应的复数；（Ⅱ）求平行四边形ABCD的面积．21.如图所示，等腰梯形ABFE是由正方形ABCD和两个全等的Rt△FCB和Rt△EDA组成，AB＝1，CF＝2．现将Rt△FCB沿BC所在的直线折起，点F移至点G，使二面角E﹣BC﹣G的大小为60°．（1）求四棱锥G﹣ABCE的体积；（2）求异面直线AE与BG所成角的大小．22.如图，四边形MABC中，△ABC是等腰直角三角形，AC⊥BC，△MAC是边长为2的正三角形，以AC为折痕，将△MAC向上折叠到△DAC的位置，使点D在平面ABC内的射影在AB上，再将△MAC向下折叠到△EAC的位置，使平面EAC⊥平面ABC，形成几何体DABCE．（1）点F在BC上，若DF∥平面EAC，求点F的位置；（2）求直线AB与平面EBC所成角的余弦值．参考答案一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分）在每小题所给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.点C是线段AB靠近点B的三等分点，下列正确的是（）A．B．C．D．【答案】D【分析】根据共线向量的定义即可得结论．【解答】解：由题，点C是线段AB靠近点B的三等分点，＝3＝﹣3，所以选项A错误；＝2＝﹣2，所以选项B和选项C错误，选项D正确．故选：D．【知识点】平行向量（共线）、向量数乘和线性运算2.已知复数z满足z（3+i）＝3+i2020，其中i为虚数单位，则z的共轭复数的虚部为（）A．B．C．D．【答案】D【分析】直接利用复数代数形式的乘除运算化简，然后利用共轭复数的概念得答案．【解答】解：∵z（3+i）＝3+i2020，i2020＝（i2）1010＝（﹣1）1010＝1，∴z（3+i）＝4，∴z＝，∴＝，∴共轭复数的虚部为，故选：D．【知识点】复数的运算3.如图，▱ABCD中，∠DAB＝60°，AD＝2AB＝2，延长AB至点E，且AB＝BE，则•的值为（）A．﹣1 B．﹣3 C．1 D．【答案】C【分析】利用图形，求出数量积的向量，然后转化求解即可．【解答】解：由题意，▱ABCD中，∠DAB＝60°，AD＝2AB＝2，延长AB至点E，且AB＝BE，可知＝+＝，＝﹣＝﹣2，所以•＝（）•（﹣2）＝﹣2﹣2＝1．故选：C．【知识点】平面向量数量积的性质及其运算4.设i是虚数单位，则2i+3i2+4i3+……+2020i2019的值为（）A．﹣1010﹣1010i B．﹣1011﹣1010iC．﹣1011﹣1012i D．1011﹣1010i【答案】B【分析】利用错位相减法、等比数列的求和公式及其复数的周期性即可得出．【解答】解：设S＝2i+3i2+4i3+ (2020i2019)∴iS＝2i2+3i3+ (2020i2020)则（1﹣i）S＝i+i+i2+i3+……+i2019﹣2020i2020．＝＝i+＝＝﹣2021+i，∴S＝＝．故选：B．【知识点】复数的运算5.如图，在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，异面直线A1B与CD所成的角为（）A．30°B．45°C．60°D．135°【答案】B【分析】易知∠ABA1即为所求，再由△ABA1为等腰直角三角形，得解．【解答】解：因为AB∥CD，所以∠ABA1即为异面直线A1B与CD所成的角，因为△ABA1为等腰直角三角形，所以∠ABA1＝45°．故选：B．【知识点】异面直线及其所成的角6.在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若（a﹣2b）cos C＝c（2cos B﹣cos A），△ABC的面积为a2sin，则C＝（）A．B．C．D．【答案】C【分析】先利用正弦定理将已知等式中的边化角，再结合两角和公式与三角形的内角和定理，可推出sin B＝2sin A；然后利用三角形的面积公式、正弦定理，即可得解．【解答】解：由正弦定理知，＝＝，∵（a﹣2b）cos C＝c（2cos B﹣cos A），∴（sin A﹣2sin B）cos C＝sin C（2cos B﹣cos A），即sin A cos C+sin C cos A＝2（sin B cos C+cos B sin C），∴sin（A+C）＝2sin（B+C），即sin B＝2sin A．∵△ABC的面积为a2sin，∴S＝bc sin A＝a2sin，根据正弦定理得，sin B•sin C•sin A＝sin2A•sin，化简得，sin B•sin cos＝sin A•cos，∵∈（0，），∴cos＞0，∴sin＝＝，∴＝，即C＝．故选：C．【知识点】正弦定理、余弦定理7.在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，下列四个结论中错误的是（）A．直线B1C与直线AC所成的角为60°B．直线B1C与平面AD1C所成的角为60°C．直线B1C与直线AD1所成的角为90°D．直线B1C与直线AB所成的角为90°【答案】B【分析】连接AB1，求出∠ACB1可判断选项A；连接B1D1，找出点B1在平面AD1C上的投影O，设直线B1C与平面AD1C所成的角为θ，由cosθ＝可判断选项B；利用平移法找出选项C和D涉及的异面直线夹角，再进行相关运算，即可得解．【解答】解：连接AB1，∵△AB1C为等边三角形，∴∠ACB1＝60°，即直线B1C与AC所成的角为60°，故选项A正确；连接B1D1，∵AB1＝B1C＝CD1＝AD1，∴四面体AB1CD1是正四面体，∴点B1在平面AD1C上的投影为△AD1C的中心，设为点O，连接B1O，OC，则OC＝BC，设直线B1C与平面AD1C所成的角为θ，则cosθ＝＝＝≠，故选项B错误；连接BC1，∵AD1∥BC1，且B1C⊥BC1，∴直线B1C与AD1所成的角为90°，故选项C正确；∵AB⊥平面BCC1B1，∴AB⊥B1C，即直线B1C与AB所成的角为90°，故选项D正确．故选：B．【知识点】直线与平面所成的角、异面直线及其所成的角8.如图，四边形ABCD为正方形，四边形EFBD为矩形，且平面ABCD与平面EFBD互相垂直．若多面体ABCDEF的体积为，则该多面体外接球表面积的最小值为（）A．6πB．8πC．12πD．16π【答案】A【分析】由题意可得AC⊥面EFBD，可得V ABCDEF＝V C﹣EFBD+V A﹣EFBD＝2V A﹣EFBD，再由多面体ABCDEF 的体积为，可得矩形EFBD的高与正方形ABCD的边长之间的关系，再由题意可得矩形EFBD的对角线的交点为外接球的球心，进而求出外接球的半径，再由均值不等式可得外接球的半径的最小值，进而求出外接球的表面积的最小值．【解答】解：设正方形ABCD的边长为a，矩形BDEF的高为b，因为正方形ABCD，所以AC⊥BD，设AC∩BD＝O'，由因为平面ABCD与平面EFBD互相垂直，AC⊂面ABCD，平面ABCD∩平面EFBD＝BD，所以AC⊥面EFBD，所以V ABCDEF＝V C﹣EFBD+V A﹣EFBD＝2V A﹣EFBD＝2•S EFBD•CO'＝•a•b•a ＝a2b，由题意可得V ABCDEF＝，所以a2b＝2；所以a2＝，矩形EFBD的对角线的交点O，连接OO'，可得OO'⊥BD，而OO'⊂面EFBD，而平面ABCD⊥平面EFBD，平面ABCD∩平面EFBD＝BD，所以OO'⊥面EFBD，可得OA＝OB＝OE＝OF都为外接球的半径R，所以R2＝（）2+（a）2＝+＝+＝++≥3＝3×，当且仅当＝即b＝时等号成立．所以外接球的表面积为S＝4πR2≥4π•3×＝6π．所以外接球的表面积最小值为6π．故选：A．【知识点】球的体积和表面积二、多选题（本大题共4小题，每小题5分，选对得分，选错、少选不得分）9.在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若a2＝b2+bc，则角A可为（）A．B．C．D．【答案】BC【分析】由已知利用余弦定理整理可得cos A＝，对于A，若A＝，可得b＝＜0，错误；对于B，若A＝，可得b＝＞0，对于C，若A＝，可得b＝＞0，对于D，若A＝，可得c＝0，错误，即可得解．【解答】解：因为在△ABC中，a2＝b2+bc，又由余弦定理可得：a2＝b2+c2﹣2bc cos A，所以b2+bc＝b2+c2﹣2bc cos A，整理可得：c＝b（1+2cos A），可得：cos A＝，对于A，若A＝，可得：﹣＝，整理可得：b＝＜0，错误；对于B，若A＝，可得：＝，整理可得：b＝＞0，对于C，若A＝，可得：cos＝＝，整理可得：b＝＞0，对于D，若A＝，可得：cos＝﹣＝，整理可得：c＝0，错误．故选：BC．【知识点】余弦定理10.如图，四边形ABCD为直角梯形，∠D＝90°，AB∥CD，AB＝2CD，M，N分别为AB，CD的中点，则下列结论正确的是（）A．B．C．D．【答案】ABC【分析】由向量的加减法法则、平面向量基本定理解决【解答】解：由，知A正确；由知B正确；由知C正确；由N为线段DC的中点知知D错误；故选：ABC．【知识点】向量数乘和线性运算、平面向量的基本定理11.下列说法正确的有（）A．任意两个复数都不能比大小B．若z＝a+bi（a∈R，b∈R），则当且仅当a＝b＝0时，z＝0C．若z1，z2∈C，且z12+z22＝0，则z1＝z2＝0D．若复数z满足|z|＝1，则|z+2i|的最大值为3【答案】BD【分析】通过复数的基本性质，结合反例，以及复数的模，判断命题的真假即可．【解答】解：当两个复数都是实数时，可以比较大小，所以A不正确；复数的实部与虚部都是0时，复数是0，所以B正确；反例z1＝1，z2＝i，满足z12+z22＝0，所以C不正确；复数z满足|z|＝1，则|z+2i|的几何意义，是复数的对应点到（0，﹣2）的距离，它的最大值为3，所以D正确；故选：BD．【知识点】复数的模、复数的运算、虚数单位i、复数、命题的真假判断与应用12.如图，已知ABCD﹣A1B1C1D1为正方体，E，F分别是BC，A1C的中点，则（）A．B．C．向量与向量的夹角是60°D．异面直线EF与DD1所成的角为45°【答案】ABD【分析】在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，建立合适的空间直角坐标系，设正方体的棱长为2，根据空间向量的坐标运算，以及异面直线所成角的向量求法，逐项判断即可．【解答】解：在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，以点A为坐标原点，分别以AB，AD，AA1为x 轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系，设正方体的棱长为2，则A（0，0，0），A1（0，0，2），B（2，0，0），B1（2，0，2），C （2，2，0），D（0，2，0），D1（0，2，2），所以，故，故选项A正确；又，又，所以，，则，故选项B正确；，所以，因此与的夹角为120°，故选项C错误；因为E，F分别是BC，A1C的中点，所以E（2，1，0），F（1，1，1），则，所以，又异面直线的夹角大于0°小于等于90°，所以异面直线EF与DD1所成的角为45°，故选项D正确；故选：ABD．【知识点】异面直线及其所成的角三、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分．不需写出解答过程，请把答案直接填写在横线上）13.已知正方形ABCD的边长为2，点P满足＝（+），则||＝；•＝．【分析】根据向量的几何意义可得P为BC的中点，再根据向量的数量积的运算和正方形的性质即可求出．【解答】解：由＝（+），可得P为BC的中点，则|CP|＝1，∴|PD|＝＝，∴•＝•（+）＝﹣•（+）＝﹣2﹣•＝﹣1，故答案为：，﹣1．【知识点】平面向量数量积的性质及其运算14.若虛数z1、z2是实系数一元二次方程x2+px+q＝0的两个根，且，则pq＝．【答案】1【分析】设z1＝a+bi，则z2＝a﹣bi，（a，b∈R），根据两个复数相等的充要条件求出z1，z2，再由根与系数的关系求得p，q的值．【解答】解：由题意可知z1与z2为共轭复数，设z1＝a+bi，则z2＝a﹣bi，（a，b∈R 且b≠0），又，则a2﹣b2+2abi＝a﹣bi，∴（2a+b）+（a+2b）i＝1﹣i，∴，解得．∴z1＝+i，z2＝i，（或z2＝+i，z1＝i）．由根与系数的关系，得p＝﹣（z1+z2）＝1，q＝z1•z2＝1，∴pq＝1．故答案为：1．【知识点】复数的运算15.已知平面四边形ABCD中，AB＝AD＝2，BC＝CD＝BD＝2，将△ABD沿对角线BD折起，使点A到达点A'的位置，当A'C＝时，三棱锥A﹣BCD的外接球的体积为．【分析】由题意画出图形，找出三棱锥外接球的位置，求解三角形可得外接球的半径，再由棱锥体积公式求解．【解答】解：记BD的中点为M，连接A′M，CM，可得A′M2+CM2＝A′C2，则∠A′MC＝90°，则外接球的球心O在△A′MC的边A′C的中垂线上，且过正三角形BCD的中点F，且在与平面BCD垂直的直线m上，过点A′作A′E⊥m于点E，如图所示，设外接球的半径为R，则A′O＝OC＝R，，A′E＝1，在Rt△A′EO中，A′O2＝A′E2+OE2，解得R＝．故三棱锥A﹣BCD的外接球的体积为．故答案为：．【知识点】球的体积和表面积16.已知一圆锥底面圆的直径为3，圆锥的高为，在该圆锥内放置一个棱长为a的正四面体，并且正四面体在该几何体内可以任意转动，则a的最大值为．【分析】根据题意，该四面体内接于圆锥的内切球，通过内切球即可得到a的最大值．【解答】解：依题意，四面体可以在圆锥内任意转动，故该四面体内接于圆锥的内切球，设球心为P，球的半径为r，下底面半径为R，轴截面上球与圆锥母线的切点为Q，圆锥的轴截面如图：则OA＝OB＝，因为SO＝，故可得：SA＝SB＝＝3，所以：三角形SAB为等边三角形，故P是△SAB的中心，连接BP，则BP平分∠SBA，所以∠PBO＝30°；所以tan30°＝，即r＝R＝×＝，即四面体的外接球的半径为r＝．另正四面体可以从正方体中截得，如图：从图中可以得到，当正四面体的棱长为a时，截得它的正方体的棱长为a，而正四面体的四个顶点都在正方体上，故正四面体的外接球即为截得它的正方体的外接球，所以2r＝AA1＝a＝a，所以a＝．即a的最大值为．故答案为：．【知识点】旋转体（圆柱、圆锥、圆台）四、解答题（本大题共6小题，共70分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17.在四边形ABCD中，AB∥CD，AD＝BD＝CD＝1．（1）若AB＝，求BC；（2）若AB＝2BC，求cos∠BDC．【分析】（1）直接利用余弦定理的应用求出结果；（2）利用余弦定理的应用建立等量关系式，进一步求出结果．【解答】解：（1）在四边形ABCD中，AD＝BD＝CD＝1．若AB＝，所以：cos∠ADB＝＝，由于AB∥CD，所以∠BDC＝∠ABD，即cos∠BDC＝cos∠ABD＝，所以BC2＝BD2+CD2﹣2•BD•CD•cos∠BDC＝＝，所以BC＝．（2）设BC＝x，则AB＝2BC＝2x，由余弦定理得：cos∠ADB＝＝，cos∠BDC＝＝＝，故，解得或﹣（负值舍去）．所以．【知识点】余弦定理18.（1）已知z1=1﹣2i，z2=3+4i，求满足=+的复数z．（2）已知z，ω为复数，（1+3i）﹣z为纯虚数，ω=，且|ω|=5．求复数ω．【分析】（1）把z1，z2代入=+，利用复数代数形式的乘除运算化简求出，进一步求出z；（2）设z=a+bi（a，b∈R），利用复数的运算及（1+3i）•z=（1+3i）（a+bi）=a﹣3b+（3a+b）i为纯虚数，可得，又ω==i，|ω|=5，可得，即可得出a，b，再代入可得ω．【解答】解：（1）由z1=1﹣2i，z2=3+4i，得=+==，则z=；（2）设z=a+bi（a，b∈R），∵（1+3i）•z=（1+3i）（a+bi）=a﹣3b+（3a+b）i为纯虚数，∴．又ω===i，|ω|=5，∴．把a=3b代入化为b2=25，解得b=±5，∴a=±15．∴ω=±（i）=±（7﹣i）．【知识点】复数的运算19.如图，墙上有一壁画，最高点A离地面4米，最低点B离地面2米．观察者从距离墙x（x＞1）米，离地面高a（1≤a≤2）米的C处观赏该壁画，设观赏视角∠ACB＝θ．（1）若a＝1.5，问：观察者离墙多远时，视角θ最大？（2）若tanθ＝，当a变化时，求x的取值范围．【分析】（1）首项利用两角和的正切公式建立函数关系，进一步利用判别式确定函数的最大值；（2）利用两角和的正切公式建立函数关系，利用a的取值范围即可确定x的范围．【解答】解：（1）如图，作CD⊥AF于D，则CD＝EF，设∠ACD＝α，∠BCD＝β，CD＝x，则θ＝α﹣β，在Rt△ACD和Rt△BCD中，tanα＝，tanβ＝，则tanθ＝tan（α﹣β）＝＝（x＞0），令u＝，则ux2﹣2x+1.25u＝0，∵上述方程有大于0的实数根，∴△≥0，即4﹣4×1.25u2≥0，∴u≤，即（tanθ）max＝，∵正切函数y＝tan x在（0，）上是增函数，∴视角θ同时取得最大值，此时，x＝＝，∴观察者离墙米远时，视角θ最大；（2）由（1）可知，tanθ＝＝＝，即x2﹣4x+4＝﹣a2+6a﹣4，∴（x﹣2）2＝﹣（a﹣3）2+5，∵1≤a≤2，∴1≤（x﹣2）2≤4，化简得：0≤x≤1或3≤x≤4，又∵x＞1，∴3≤x≤4．【知识点】解三角形20.如图，已知复平面内平行四边形ABCD中，点A对应的复数为﹣1，对应的复数为2+2i，对应的复数为4﹣4i．（Ⅰ）求D点对应的复数；（Ⅱ）求平行四边形ABCD的面积．【分析】（I）利用复数的几何意义、向量的坐标运算性质、平行四边形的性质即可得出．（II）利用向量垂直与数量积的关系、模的计算公式、矩形的面积计算公式即可得出．【解答】解：（Ⅰ）依题点A对应的复数为﹣1，对应的复数为2+2i，得A（﹣1，0），＝（2，2），可得B（1，2）．又对应的复数为4﹣4i，得＝（4，﹣4），可得C（5，﹣2）．设D点对应的复数为x+yi，x，y∈R．得＝（x﹣5，y+2），＝（﹣2，﹣2）．∵ABCD为平行四边形，∴＝，解得x＝3，y＝﹣4，故D点对应的复数为3﹣4i．（Ⅱ）＝（2，2），＝（4，﹣4），可得：＝0，∴．又||＝2，＝4．故平行四边形ABCD的面积＝＝16．【知识点】复数的代数表示法及其几何意义21.如图所示，等腰梯形ABFE是由正方形ABCD和两个全等的Rt△FCB和Rt△EDA组成，AB＝1，CF＝2．现将Rt△FCB沿BC所在的直线折起，点F移至点G，使二面角E﹣BC﹣G的大小为60°．（1）求四棱锥G﹣ABCE的体积；（2）求异面直线AE与BG所成角的大小．【分析】（1）推导出GC⊥BC，EC⊥BC，从而∠ECG＝60°．连接DG，推导出DG⊥EF，由BC⊥EF，BC⊥CG，得BC⊥平面DEG，从而DG⊥BC，进而DG⊥平面ABCE，DG是四棱锥G ﹣ABCE的高，由此能求出四棱锥G﹣ABCE的体积．（2）取DE的中点H，连接BH、GH，则BH∥AE，∠GBH既是AE与BG所成角或其补角．由此能求出异面直线AE与BG所成角的大小．【解答】解：（1）由已知，有GC⊥BC，EC⊥BC，所以∠ECG＝60°．连接DG，由CD＝AB＝1，CG＝CF＝2，∠ECG＝60°，有DG⊥EF①，由BC⊥EF，BC⊥CG，有BC⊥平面DEG，所以，DG⊥BC②，由①②知，DG⊥平面ABCE，所以DG就是四棱锥G﹣ABCE的高，在Rt△CDG中，．故四棱锥G﹣ABCE的体积为：．（2）取DE的中点H，连接BH、GH，则BH∥AE，故∠GBH既是AE与BG所成角或其补角．在△BGH中，，，则．故异面直线AE与BG所成角的大小为．【知识点】异面直线及其所成的角、棱柱、棱锥、棱台的体积22.如图，四边形MABC中，△ABC是等腰直角三角形，AC⊥BC，△MAC是边长为2的正三角形，以AC为折痕，将△MAC向上折叠到△DAC的位置，使点D在平面ABC内的射影在AB上，再将△MAC向下折叠到△EAC的位置，使平面EAC⊥平面ABC，形成几何体DABCE．（1）点F在BC上，若DF∥平面EAC，求点F的位置；（2）求直线AB与平面EBC所成角的余弦值．【分析】（1）点F为BC的中点，设点D在平面ABC内的射影为O，连接OD，OC，取AC 的中点H，连接EH，由题意知EH⊥AC，EH⊥平面ABC，由题意知DO⊥平面ABC，得DO∥平面EAC，取BC的中点F，连接OF，则OF∥AC，从而OF∥平面EAC，平面DOF∥平面EAC，由此能证明DF∥平面EAC．（2）连接OH，由OF，OH，OD两两垂直，以O为坐标原点，OF，OH，OD所在直线分别为x，y，z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出直线AB与平面EBC所成角的余弦值．【解答】解：（1）点F为BC的中点，理由如下：设点D在平面ABC内的射影为O，连接OD，OC，∵AD＝CD，∴OA＝OC，∴在Rt△ABC中，O为AB的中点，取AC的中点H，连接EH，由题意知EH⊥AC，又平面EAC⊥平面ABC，平面EAC∩平面ABC＝AC，∴EH⊥平面ABC，由题意知DO⊥平面ABC，∴DO∥EH，∴DO∥平面EAC，取BC的中点F，连接OF，则OF∥AC，又OF⊄平面EAC，AC⊂平面EAC，∴OF∥平面EAC，∵DO∩OF＝O，∴平面DOF∥平面EAC，∵DF⊂平面DOF，∴DF∥平面EAC．（2）连接OH，由（1）可知OF，OH，OD两两垂直，以O为坐标原点，OF，OH，OD所在直线分别为x，y，z轴，建立如图所示空间直角坐标系，则B（1，﹣1，0），A（﹣1，1，0），E（0，1，﹣），C（1，1，0），∴＝（2，﹣2，0），＝（0，2，0），＝（﹣1，2，﹣），设平面EBC的法向量＝（a，b，c），则，取a＝，则＝（，0，﹣1），设直线与平面EBC所成的角为θ，则sinθ＝＝＝．∴直线AB与平面EBC所成角的余弦值为cosθ＝＝．【知识点】直线与平面平行、直线与平面所成的角人教版高一下学期期中考试数学试卷（二）注意事项：本试卷满分150分，考试时间120分钟，试题共22题．答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、班级等信息填写在试卷规定的位置．一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分）在每小题所给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．（2﹣i）z对应的点位于虚轴的正半轴上，则复数z对应的点位于（）1.已知复平面内，A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限2.平行四边形ABCD中，点E是DC的中点，点F是BC的一个三等分点（靠近B），则＝（）A．B．C．D．3.已知向量＝（6t+3，9），＝（4t+2，8），若（+）∥（﹣），则t＝（）A．﹣1 B．﹣C．D．14.已知矩形ABCD的一边AB的长为4，点M，N分别在边BC，DC上，当M，N分别是边BC，DC的中点时，有（+）•＝0．若+＝x+y，x+y＝3，则线段MN的最短长度为（）A．B．2 C．2D．25.若z∈C且|z+3+4i|≤2，则|z﹣1﹣i|的最大和最小值分别为M，m，则M﹣m的值等于（）A．3 B．4 C．5 D．96.已知球的半径为R，一等边圆锥（圆锥母线长与圆锥底面直径相等）位于球内，圆锥顶点在球上，底面与球相接，则该圆锥的表面积为（）A．R2B．R2C．R2D．R27.农历五月初五是端午节，民间有吃粽子的习惯，粽子又称粽籺，俗称“粽子”，古称“角黍”，是端午节大家都会品尝的食品，传说这是为了纪念战国时期楚国大臣、爱国主义诗人屈原．小明在和家人一起包粽子时，想将一丸子（近似为球）包入其中，如图，将粽叶展开后得到由六个边长为4的等边三角形所构成的平行四边形，将粽叶沿虚线折起来，可以得到如图所示的粽子形状的六面体，则放入丸子的体积最大值为（）A．πB．πC．πD．π8.已知半球O与圆台OO'有公共的底面，圆台上底面圆周在半球面上，半球的半径为1，则圆台侧面积取最大值时，圆台母线与底面所成角的余弦值为（）A．B．C．D．二、多选题（本大题共4小题，每小题5分，选对得分，选错、少选不得分）9.下列有关向量命题，不正确的是（）A．若||＝||，则＝B．已知≠，且•＝•，则＝C．若＝，＝，则＝D．若＝，则||＝||且∥10.若复数z满足，则（）A．z＝﹣1+i B．z的实部为1 C．＝1+i D．z2＝2i11.如图，在平行四边形ABCD中，E，F分别为线段AD，CD的中点，AF∩CE＝G，则（）A．B．C．D．12.已知正方体ABCD﹣A1B1C1D1，棱长为2，E为线段B1C上的动点，O为AC的中点，P 为棱CC1上的动点，Q为棱AA1的中点，则以下选项中正确的有（）A．AE⊥B1CB．直线B1D⊥平面A1BC1C．异面直线AD1与OC1所成角为D．若直线m为平面BDP与平面B1D1P的交线，则m∥平面B1D1Q三、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分．不需写出解答过程，请把答案直接填写在横线上）13.已知向量＝（m，1），＝（m﹣6，m﹣4），若∥，则m的值为．14.将表面积为36π的圆锥沿母线将其侧面展开，得到一个圆心角为的扇形，则该圆锥的轴截面的面积S＝．15.如图，已知有两个以O为圆心的同心圆，小圆的半径为1，大圆的半径为2，点A 为小圆上的动点，点P，Q是大圆上的两个动点，且•＝1，则||的最大值是．16.如图，在三棱锥A﹣BCD的平面展开图中，已知四边形BCED为菱形，BC＝1，BF＝，若二面角A﹣CD﹣B的余弦值为﹣，M为BD的中点，则CD＝，直线AD与直线CM所成角的余弦值为．四、解答题（本大题共6小题，共70分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17.已知，．（1）若与同向，求；（2）若与的夹角为120°，求．18.已知a、b、c是△ABC中∠A、∠B、∠C的对边，a＝4，b＝6，cos A＝﹣．（1）求c；（2）求cos2B的值．19.已知：复数z1与z2在复平面上所对应的点关于y轴对称，且z1（1﹣i）＝z2（1+i）（i为虚数单位），|z1|＝．（Ⅰ）求z1的值；（Ⅱ）若z1的虚部大于零，且（m，n∈R），求m，n的值．20.（Ⅰ）在复数范围内解方程|z|2+（z+）i＝（i为虚数单位）（Ⅱ）设z是虚数，ω＝z+是实数，且﹣1＜ω＜2．（1）求|z|的值及z的实部的取值范围；（2）设，求证：μ为纯虚数；（3）在（2）的条件下求ω﹣μ2的最小值．21.如图，直三棱柱A1B1C1﹣ABC中，AB＝AC＝1，，A1A＝4，点M为线段A1A 的中点．（1）求直三棱柱A1B1C1﹣ABC的体积；（2）求异面直线BM与B1C1所成的角的大小．（结果用反三角表示）22.如图所示，在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，点G在棱D1C1上，且D1G＝D1C1，点E、F、M分别是棱AA1、AB、BC的中点，P为线段B1D上一点，AB＝4．（Ⅰ）若平面EFP交平面DCC1D1于直线l，求证：l∥A1B；（Ⅱ）若直线B1D⊥平面EFP．（i）求三棱锥B1﹣EFP的表面积；（ii）试作出平面EGM与正方体ABCD﹣A1B1C1D1各个面的交线，并写出作图步骤，保留作图痕迹．设平面EGM与棱A1D1交于点Q，求三棱锥Q﹣EFP的体积．答案解析一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分）在每小题所给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．（2﹣i）z对应的点位于虚轴的正半轴上，则复数z对应的点位于（）1.已知复平面内，A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限【答案】B【分析】直接利用复数的运算和几何意义的应用求出该点所表示的位置．【解答】解：设z＝a+bi（a，b∈R），所以（2﹣i）（a+bi）＝2a+b+（2b﹣a）i，由于对应的点在虚轴的正半轴上，所以，即，所以a＜0，b＞0．故该点在第二象限．故选：B．【知识点】复数的代数表示法及其几何意义2.平行四边形ABCD中，点E是DC的中点，点F是BC的一个三等分点（靠近B），则＝（）A．B．C．D．【答案】D【分析】利用平行四边形的性质以及向量相等的概念，再利用平面向量基本定理进行转化即可．【解答】解：因为ABCD为平行四边形，所以，故．故选：D．【知识点】平面向量的基本定理3.已知向量＝（6t+3，9），＝（4t+2，8），若（+）∥（﹣），则t＝（）A．﹣1 B．﹣C．D．1【答案】B【分析】根据平面向量的坐标表示和共线定理，列方程求出t的值．【解答】解：向量＝（6t+3，9），＝（4t+2，8），所以+＝（6t+3，11），﹣＝（4t+2，5）．又（+）∥（﹣），所以5（6t+3）﹣11（4t+2）＝0，解得t＝﹣．故选：B．【知识点】平面向量共线（平行）的坐标表示4.已知矩形ABCD的一边AB的长为4，点M，N分别在边BC，DC上，当M，N分别是边BC，DC的中点时，有（+）•＝0．若+＝x+y，x+y＝3，则线段MN的最短长度为（）A．B．2 C．2D．2【答案】D【分析】先根据M，N满足的条件，将（+）•＝0化成的表达式，从而判断出矩形ABCD为正方形；再将+＝x+y，左边用表示出来，结合x+y ＝3，即可得NC+MC＝4，最后借助于基本不等式求出MN的最小值．【解答】解：当M，N分别是边BC，DC的中点时，有（+）•＝＝＝，所以AD＝AB，则矩形ABCD为正方形，设，，则＝．则x＝2﹣λ，y＝2﹣μ．又x+y＝3，所以λ+μ＝1．故NC+MC＝4，则MN＝＝（当且仅当MC＝NC＝2时取等号）．故线段MN的最短长度为2．故选：D．【知识点】平面向量数量积的性质及其运算5.若z∈C且|z+3+4i|≤2，则|z﹣1﹣i|的最大和最小值分别为M，m，则M﹣m的值等于（）A．3 B．4 C．5 D．9【答案】B【分析】由题意画出图形，再由复数模的几何意义，数形结合得答案．【解答】解：由|z+3+4i|≤2，得z在复平面内对应的点在以Q（﹣3，﹣4）为圆心，以2为半径的圆及其内部．如图：|z﹣1﹣i|的几何意义为区域内的动点与定点P得距离，则M＝|PQ|+2，m＝|PQ|﹣2，则M﹣m＝4．故选：B．【知识点】复数的运算6.已知球的半径为R，一等边圆锥（圆锥母线长与圆锥底面直径相等）位于球内，圆锥顶点在球上，底面与球相接，则该圆锥的表面积为（）A．R2B．R2C．R2D．R2【答案】B【分析】设圆锥的底面半径为r，求得圆锥的高，由球的截面性质，运用勾股定理可得r，由圆锥的表面积公式可得所求．【解答】解：如图，设圆锥的底面半径为r，则圆锥的高为r，则R2＝r2+（r﹣R）2，解得r＝R，则圆锥的表面积为S＝πr2+πr•2r＝3πr2＝3π（R）2＝πR2，故选：B．【知识点】球内接多面体、旋转体（圆柱、圆锥、圆台）7.农历五月初五是端午节，民间有吃粽子的习惯，粽子又称粽籺，俗称“粽子”，古称“角黍”，是端午节大家都会品尝的食品，传说这是为了纪念战国时期楚国大臣、爱国主义诗人屈原．小明在和家人一起包粽子时，想将一丸子（近似为球）包入其中，如图，将粽叶展开后得到由六个边长为4的等边三角形所构成的平行四边形，将粽叶沿虚线折起来，可以得到如图所示的粽子形状的六面体，则放入丸子的体积最大值为（）A．πB．πC．πD．π【答案】A【分析】先根据题意求得正四面体的体积，进而得到六面体的体积，再由图形的对称性得，内部的丸子要是体积最大，就是丸子要和六个面相切，设丸子的半径为R，则，由此求得R，进而得到答案．【解答】解：由题意可得每个三角形面积为，由对称性可知该六面体是由两个正四面体合成的，可得该四面体的高为，故四面体的体积为，∵该六面体的体积是正四面体的2倍，。
2023-2024学年合肥市一中高一数学(下)期中考试卷附答案解析
2023-2024学年合肥市一中高一数学（下）期中考试卷（考试时间：150分钟满分：120分）一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．复数z 满足()2i i z -=（i 是虚数单位），则在复平面内z 对应的点位于（）A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限2．在ABC 中，sin :sin :sin 2:3:4A B C =，则cos C =（）A ．23-B ．14-C ．13-D ．143．非零向量a ，b 满足2a b a b +=- ，若a b = ，则a ，b 的夹角为（）A ．π6B ．π3C ．2π3D ．5π64．以边长为2的正三角形的一边所在直线为旋转轴，将该正三角形旋转一周所得几何体的侧面积为（）A ．B ．4πC ．D ．8π5．圆台上底面半径为2cm ，下底面半径为4cm ，母线8cm AB =，A 在上底面上，B 在下底面上，从AB 中点M 拉一条绳子，绕圆台侧面一周到B 点，则绳子最短距离为（）cm A ．10B ．12C ．16D ．206．安徽省肥西县紫蓬山风景秀丽，紫蓬山山顶有座塔.某同学为了测量塔高，他在地面C 处时测得塔底B 在东偏北45︒的方向上，向正东方向行走50米后到达D 处，测得塔底B 在东偏北75︒的方向上，此时测得塔顶A 的仰角为45︒，则塔顶A 离地面的高度AB 为（）A ．米B ．50米C ．25+米D ．50米7．已知直角ABC 中，3AB =，4AC =，5BC =，I 是ABC 的内心，P 是IBC 内部（不含边界）的动点，若(),AP AB AC λμλμ=+∈R，则λμ+的取值范围为（）A ．11,42⎛⎫ ⎪⎝⎭B ．17,212⎛⎫⎪⎝⎭C ．7,112⎛⎫⎪⎝⎭D ．1,12⎛⎫ ⎪⎝⎭8．“阿基米德多面体”也称为半正多面体，是由边数不全相同的正多边形围成的多面体，它体现了数学的对称美.如图所示，将正方体沿交同一顶点的三条棱的中点截去一个三棱锥，共可截去八个三棱锥，得到八个面为正三角形、六个面为正方形的一种阿基米德多面体.已知1AB =，则关于图中的半正多面体，下列说法正确的有（）A B ．该半正多面体过A ，B ，C 三点的截面面积为334C ．该半正多面体外接球的表面积为8πD ．该半正多面体的表面积为6+二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9．如图，A B C ''' 是水平放置的ABC 的斜二测直观图，其中2O C O A O B ''''''==，2O B ''=.则以下正确的有（）A ．4OA =B ．ABC 是等腰直角三角形C ．4OB =D ．ABC 的面积为810．已知平面向量()2,3a =-r，()2,1b = ，则（）A ．()2a b b⊥-B ．a 与b可作为一组基底向量C ．a 与bD ．a 在b方向上的投影向量的坐标为21,33⎛⎫ ⎪⎝⎭11．已知a ，b ，c 分别是ABC 的三个内角A ，B ，C 的对边，其中正确的命题有（）A ．已知60A ∠=︒，4b =，2c =，则ABC 有两解B ．若90A ∠=︒，3b =，4c =，ABC 内有一点P 使得PA ，PB ，PC两两夹角为120︒，则22230PA PB PC ++= C ．若90A ∠=︒，1b =，c =ABC 内有一点P 使得PA 与PB 夹角为90︒，PA 与PC夹角为120︒，则3tan 4PAC ∠=D ．已知60A ∠=︒，4b =，设a t =，若ABC 是钝角三角形，则t 的取值范围是()()4+∞ 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12．已知某圆锥的侧面展开图是一个半径为r 的半圆，且该圆锥的体积为3π，则r =.13．甲船在B 岛的正南方向A 处，10AB =千米，甲船以4千米/小时的速度向正北方向航行，同时，乙船自B 岛出发以6千米/小时的速度向北偏东60︒的方向驶去，航行时间不超过2.5小时，则当甲、乙两船相距最近时，它们航行的时间是小时.14．如图，某公园内有一块边长为2个单位的正方形区域ABCD 市民健身用地，为提高安全性，拟在点A 处安装一个可转动的大型探照灯，其照射角PAQ ∠始终为45︒（其中P ，Q 分别在边BC ，CD 上），则AP AQ ⋅的取值范围.四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15．如图所示，底面边长为P ABCD -被平行于其底面的平面所截，截去一个底面边长为，高为4的正四棱锥1111P A B C D -.(1)求棱台1111A B C D ABCD -的体积；(2)求棱台1111A B C D ABCD -的表面积.16．如图，在ABC 中，已知2,4,60AB AC BAC ==∠=︒，M 是BC 的中点，N 是AC 上的点，且,,AN xAC AM BN=uuu r uuu r 相交于点P ．设,AB a AC b ==.(1)若13x =，试用向量,a b表示,AM PN uuu r uuu r ;(2)若AM PN ⊥，求实数x 的值．17．在ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ，c ，且sin C C a =，b =(1)求角B ；(2)若2a c +=，求边AC 上的角平分线BD 长；(3)求边AC 上的中线BE 的取值范围.18．在ABC 中，内角,,A B C 所对的边分别是a ，b ，c ，已知sin sin cos sin cos sin sin a A a C B b C A b B c A ++=+.(1)若2a =，且ABC 为锐角三角形，求ABC 的周长的取值范围；(2)若2b ac =，且外接圆半径为2，圆心为O ，P 为圆O 上的一动点，试求PA PB ⋅的取值范围.19．现定义“n 维形态复数n z ”：cos isin n z n n θθ=+，其中i 为虚数单位，*n ∈N ，0θ≠.(1)当π4θ=时，证明：“2维形态复数”与“1维形态复数”之间存在平方关系；(2)若“2维形态复数”与“3维形态复数”相等，求πsin 4θ⎛⎫+ ⎪⎝⎭的值；(3)若正整数m ，()1,2n m n >>，满足1m z z =，2n m z z =，证明：存在有理数q ，使得12m q n q =⋅+-.1．B【分析】利用复数代数形式的乘除运算化简复数z ,求出复数z 在复平面内对应的点的坐标即可．【详解】由()2i i z -=,得()()()i 2i i 12i 2i 2i 2i 55z +===-+--+,∴复数z 在复平面内对应的点的坐标为12,55⎛⎫- ⎪⎝⎭，位于第二象限．故选:B ．2．B【分析】根据正弦定理及余弦定理求解.【详解】由正弦定理可知，::2:3:4a b c =，设2,3,4a k b k c k ===，则22222213161cos 2124a b c k k C ab k +--===-.故选：B 3．B【分析】由题意利用求向量的模的方法，求得22a b b ⋅= ，从而利用向量的夹角公式求解即可.【详解】∵非零向量a ，b满足2a b a b +=- ，且a b = ，设a ，b的夹角为θ，则2222244a a b b a a b b +⋅+=-⋅+ ，且22a b = ，所以22a b b ⋅= .∴22112cos 2b a b a b bθ⋅===⋅ .∵[]0,πθ∈，∴π3θ=.故选:B ．4．C【分析】根据正三角形绕一边所在直线为旋转轴旋转一周，得到几何体是两个同底的全等圆锥,根据圆锥的侧面积公式求解．【详解】如图，正三角形ABC 绕AB 所在直线为旋转轴旋转一周，得到几何体是两个同底的全等圆锥，底面半径3r =母线长2l =,由圆锥的侧面积公式可得该几何体的侧面积为2π3243π⨯=.故选:C.5．D【分析】由题意需先画出圆台的侧面展开图，并还原成圆锥展开的扇形，则所求的最短距离是平面图形两点连线，根据条件求出扇形的圆心角以及半径长，再求出最短的距离．【详解】画出圆台的侧面展开图，并还原成圆锥展开的扇形，且设扇形的圆心为O ,由图得：所求的最短距离是MB '，设OA R =，圆心角是α，则由题意知，4πR α=①，()8π8R α=+②，由①②解得，π,82R α==，∴12,16OM OB '==，则22121620cm MB '=+=．则则绳子最短距离为20cm ．故选:D ．6．A【分析】设塔高为h 米，利用仰角的正切表示出BD h =，在BCD △中利用正弦定理列方程求得h 的值.【详解】设雷锋塔AB 的高度为h 米,在地面C 处时测得塔顶A 在东偏北45︒的方向上，45BCD ∠=︒,测得塔顶A 在东偏北75︒的方向上,仰角为45︒，在Rt △ABD 中，45ADB ∠=︒，tan 45hBD h ==︒，在BCD △中,754530CBD ∠=︒-︒=︒，由正弦定理得，sin 30sin 45CD BD=︒︒，即5012=h =.故选：A.7．C【分析】由题意得AB AC ⊥，以A 为坐标原点，,AB AC 所在的直线分别为,x y 轴建立平面直角坐标系，利用等面积法先求出I 的位置，设(),P x y ，根据AP AI IP =+ ，可得1134IP AB AC λμ⎛⎫⎛⎫=-+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，故,34x yλμ==，34x y λμ+=+，根据线性规划即可求解.【详解】因为3AB =，4AC =，5BC =，所以222AB AC BC +=，即AB AC ⊥.如图建立平面直角坐标系：设内切圆的半径为r ，则()()()0,0,3,0,0,4A B C ．∵ABC ABI BCI ACI S S S S =++V V V V ,∴2222AB AC AB r BC r AC r⋅⋅⋅⋅=++,即3434562222r r r r ⨯=++=,解得1r =，所以()1,1I ，∴1134AI AB AC =+ .∴1134AP AI IP AB AC IP =+=++ ，即1134AB AC AB AC IP λμ+=++ ，可得1134IP AB AC λμ⎛⎫⎛⎫=-+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.设(),P x y ，则()()()()111,13,00,431,4134x y λμλμ⎛⎫⎛⎫--=-+-=-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，∴3,4x y λμ==，即,34x yλμ==，∴34x y λμ+=+.∵()()3,0,0,4B C ，∴直线BC 的方程为134x y+=.设34x y z λμ=+=+，表示与134x y+=平行的直线，平移34x y z =+，当34x y z =+经过点I 时，1173412z =+=；当34x y z =+与134x y +=重合时，134x y z =+=.因为P 是IBC 内部（不含边界）的动点，所以7,112z ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，即7,112λμ⎛⎫+∈ ⎪⎝⎭.故答案为:7,112⎛⎫⎪⎝⎭.【点睛】关键点睛：设(),P x y ，求出34x yλμ+=+，根据线性规划求解λμ+的范围.8．D【分析】先将该半正多面体补形为正方体，利用正方体与棱锥的体积公式判断A ，利用该半正多面体的对称性，得到截面为正六边形与外接球的球心位置，从而判断BC ，利用正三角形与正方体的面积公式判断D.【详解】A ：如图，因为1AB =，的正方体沿各棱中点截去8个三棱锥所得到的，所以该半正多面体的体积为：2311832223V ⎛⎫=-⨯⨯⨯⨯= ⎪ ⎪⎝⎭，故A 错误；B ：根据该半正多面体的对称性可知，过,,A B C 三点的截面为正六边形ABCFED ，又1AB =，所以正六边形面积为261S ==，故B 错误；C ：根据该半正多面体的对称性可知，该半正多面体的外接球的球心为正方体的中心，即正六边形ABCFED 的中心，故半径为1AB =，所以该半正多面体外接球的表面积为224π4π14πS R ==⨯=，故C 错误；D ：因为该半正多面体的八个面为正三角形、六个面为正方形，棱长皆为1，所以其表面积为2281616+⨯=+，故D 正确.故选：D.【点睛】关键点点睛：本题解决的关键有二，一是将该半正多面体补形为正方体，二是充分利用该半正多面体的对称性，从而得解.9．ABC【分析】根据直观图画出原图，进而判断出正确答案.【详解】画出原图如下图所示，根据斜二测画法的知识可知：4OC OA OB ===，三角形ABC 是等腰直角三角形，面积为()1444162⨯+⨯=.所以ABC 选项正确，D 选项错误.故选：ABC10．BC【分析】对A ：计算()2a b b -⋅即可得；对B ：借助基底向量的定义即可得；对C ：借助平面向量夹角公式计算即可得；对D ：借助投影向量定义计算即可得.【详解】对A ：()22,5a b -=--，则()()222519a b b +⋅-=-⨯-⨯=- ，故A 错误；对B ：易得a 与b 为不共线的向量，故a 与b可作为一组基底向量，故B 正确；对C ：cos ,a b a b a b ====⋅C 正确；对D：121,555a bb b bb⋅⎛⎫⋅== ⎪⎝⎭ ，故D 错误.故选：BC.11．CD【分析】对A ：由余弦定理可计算出a 有唯一解；对B ：借助余弦定理与等面积法计算即可得；对C ：设PAC θ∠=，由余弦定理可得sin sin AP ACACP APC=∠∠，代入数据计算即可得解；对D ：分B ∠为钝角及C ∠为钝角，结合直角的临界状态计算即可得.【详解】对A：a ==ABC 有唯一解，故A 错误；对B ：在PBC 、PAC △、PAB 中，分别有2222342cos120PB PC PB PC +=+-⋅︒，即2225PB PC PB PC =++⋅，22232cos120PA PC PA PC =+-⋅︒，即229PA PC PA PC =++⋅，22242cos120PA PB PA PB =+-⋅︒，即2216PA PB PA PB =++⋅，即有()222259162PA PB PC PA PB PB PC PA PC ++=+++⋅+⋅+⋅，即()222502PA PB PB PC PA PC PA PB PC -⋅+⋅+⋅++=，又13462ABC PBC PAC PAB S S S S =++=⨯⨯= ，即()1sin12062PA PB PB PC PA PC ⋅+⋅+⋅︒=，即PA PB PB PC PA PC ⋅+⋅+⋅=，即有22225PA PB PC ++=-，故B错误；对C ：设PAC θ∠=，则在直角三角形PAB 中，APB θ∠=，PA θ=，在PAC △中，有sin sin AP ACACP APC=∠∠1sin120=︒，313222=4sin θθ=，即3tan 4θ=，故C 正确；对D ：若B ∠为钝角，如图，作CD AB ⊥于点D ，有CD BC AC <<，即sin b A a b ⋅<<，即234t <<，若C ∠为钝角，如图，作CD AC ⊥于点C ，有BC CD >，即tan a b A >⋅，即43t >综上所述，t 的取值范围是()()23,43,∞⋃+，故D 正确.故选：CD.【点睛】关键点点睛：D 选项中关键点在于分B ∠为钝角及C ∠为钝角，分别找出直角的临界情况求出范围.12．23【分析】设圆锥的底面圆的半径为R ，高为h ，则母线长为r 且2R r =，根据勾股定理求得32h r =，结合圆锥的体积公式计算即可求解.【详解】由题意知，设圆锥的底面圆的半径为R ，高为h ，则圆锥的母线长为r ，且12π2π2R r =⨯，得2R r =，所以2232h r R r -=，又圆锥的体积为3π，所以211π33V Sh R h ==，即2133ππ()322r r =⨯，解得23r =.故答案为：13．514【分析】设经过x 小时距离最近,分别表示出甲乙距离B 岛的距离,由余弦定理表示出两船的距离,根据二次函数求最值的方法得到答案.【详解】设经过x 小时两船之间的距离为s 千米,甲船由A 点到达C 点，乙船由B 点到达D 点，则4,104,6AC x BC x BD x ==-=，11820060CBD ∠︒=︒-.由余弦定理可得()()()2222110462104628201002s x x x x x x ⎛⎫=-+--⋅⋅-=-+ ⎪⎝⎭，当205 2.522814x ==<⨯时，2s 最小,则两船之间的距离最小,此时它们航行的时间为514小时.故答案为:514.14．8,4⎡⎤⎣⎦【分析】设,tan PAB t θθ∠==，可得2tan 2BP t θ==,()[]21,0,11t DQ t t-=∈+，以点A 为坐标原点,,AB AD 所在直线分别为,x y 轴建立坐标系,然后求出,AP AQ 的坐标,结合数量积的运算和对勾函数的性质求解.【详解】设,tan PAB t θθ∠==,则2tan 2BP t θ==，()()[]21tan 21π2tan ,0,141tan 1t DQ t t θθθ--⎛⎫=-=∈ ⎪++⎝⎭.以点A 为坐标原点,,AB AD 所在直线分别为,x y 轴建立坐标系,则()()()210,0,2,2,,21t A P t Q t ⎛⎫- ⎪+⎝⎭，()()212,2,,21t AP t AQ t ⎛⎫-== ⎪+⎝⎭,所以()412441211t AP AQ t t t t -⎛⎫⋅=+=++- ⎪++⎝⎭ .令1u t =+，[]1,2u ∈，则242AP AQ u u ⎛⎫⋅=+- ⎪⎝⎭ ，[]1,2u ∈.由对勾函数的性质可得()2f u u u =+在(上单调递减，在)2上单调递增，所以()min f u f ==又()()13,23f f ==，所以()2f u u u =+在[]1,2u ∈上的值域为⎡⎤⎣⎦，所以2428,4AP AQ u u ⎛⎫⎡⎤⋅=+-∈- ⎪⎣⎦⎝⎭ .故答案为:8,4⎡⎤⎣⎦.15．(1)2243(2)112【分析】（1）借助正四棱锥于棱台的性质可得棱台的高，结合棱台体积公式计算即可得；（2）求出棱台各个面的面积后相加即可得.【详解】（1）过点P 作PO ⊥底面ABCD 于点O ，PO 交平面1111D C B A 于点1O ，由正四棱锥及棱台的性质可知，O 为底面ABCD 的中心，则111114O O PO PO PO PO PO =--==，即棱台1111A B C D ABCD -的高4h =，(1111111113A B C D ABCD ABCD A B C D V S S h-=⨯+⨯((22112244564333⎡=⨯+⨯=⨯⨯=⎢⎣，（2）连接OA，则22422AO AB ==，则112AA AP ===作1A M AB ⊥于点M ，则1A M =故1111114ABCD A B C DA ABB S S S S=++表正方形正方形梯形(((22142=++⨯⨯32872112=++=.16．(1)1122AM a b =+ ，11412PN a b =-+uuu r r r (2)25【分析】（1）根据向量的加法运算即可求得AM ；设()PN tBN t AN AB ==-uuu r uuu r uuu r uu u r ，利用向量的线性运算结合图形关系可得1(1)3AP t b ta =-+uu u r r r ，再由向量共线的性质得到14t =，最后表示出所求向量即可；（2）利用向量垂直的性质和数量积的定义式计算可得.【详解】（1）111()222AM AB AC a b =+=+uuu r uu u r uuu r r r ，设()PN tBN t AN AB ==-uuu r uuu r uuu r uu u r ，因为13AN AC = ，所以1()(1)(1)3AP AN NP AN t AN AB t AN t AB t AC t AB =+=--=-+=-+uu u r uuu r uu u r uuu r uuu r uu u r uuu r uu u r uuu r uu u r，即1(1)3AP t b ta =-+uu u r r r ，由,AP AM uu u r uuu r 共线得：1(1)3t t -=，解得：14t =，所以1111()124124PN t BN t AN AB AC AB b a ==-=-=-uuu r uuu r uuu r uu u r uuu r uu u r r r ，所以1111,22412AM a b PN a b =+=-+ .（2）BN BA AN AB x AC a xb =+=-+=-+uuu r uu r uuu r uu u r uuu r r r ，因为AM PN ⊥，由于,BN PN uuu r uuu r 共线，故AM BN ⊥ ，所以1111()28402222AM BN a b a xb x x ⎛⎫⎛⎫⋅=+⋅-+=-++-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ ，解25x =．17．(1)π3(2)6(3)33,22⎤⎥⎝⎦【分析】（1）根据正弦定理结合两角和的正弦公式化简求值即可；（2）依据余弦定理及已知得13ac =，然后利用面积分割法列方程求解即可；（3）利用向量的加法运算及数量积模的运算得()1324BE ca =+ ，利用正弦定理得π2sin 216ac A ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭，然后利用正弦函数的性质求解范围即可.【详解】（1）因为sin C C a +=，根据正弦定理sin sin sin b A C C B=，即()sin sin cos sin B C B C b A B C =+,即sin sin sin B C B C =，又sin 0C ≠，所以tan B =，因为()0,πB ∈，所以π3B =.（2）由π3B =及余弦定理得22π32cos 3c a ac =+-，即()22233c a ac a c ac =+-=+-，又因为2a c +=，所以13ac =，所以111sin sin sin 22222ABC ABD BCD B B S S S c BD a BD ac B =+=⋅⋅+⋅⋅= ，所以()ππsin sin 63BD a c ac ⋅+⋅=，即132122BD =⨯（3）因为E 是AC 的中点，所以()12BE BA BC =+ ，则()()2222211322444ca BE BA BA BC BC c a ac +=+⋅+=++= ，由正弦定理得，2sin 4sin sin 4sin sin πsin sin 3b b ac A C A C A A B B ⎛⎫=⋅==- ⎪⎝⎭即2πcos 2sin sin 2cos 212sin 216ac A A A A A A ⎛⎫=+-+=-+ ⎪⎝⎭，因为()()20,π,π0,π3A C A ∈=-∈，所以20,π3A ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，所以π172π,π666A ⎛⎫-∈- ⎪⎝⎭，所以π1sin 2,162A ⎛⎫⎛⎤-∈- ⎪ ⎥⎝⎭⎝⎦，所以(]π2sin 210,36ac A ⎛⎫=-+∈ ⎪⎝⎭，所以23239,444ca BE +⎛⎤=∈ ⎥⎝⎦，所以322BE ⎛⎤∈ ⎥ ⎝⎦，即边AC 上的中线BE 的取值范围为3322⎛⎤ ⎥ ⎝⎦.18．(1)(3++;(2)[]2,6-.【分析】（1）直接利用正余弦定理即可求出角B ,利用正弦定理将周长转化为关于角A 的三角函数，利用三角函数的值域即可求解；（2）易得ABC 为等边三角形，取AB 中点M ，可得2223PA PB PM MA PM ⋅=-=- ，由P 为圆O 上的一动点，可得[]1,3PM ∈，进而可求PA PB ⋅ 的取值范围.【详解】（1）因为sin sin cos sin cos sin sin a A a C B b C A b B c A ++=+，所以由正弦定理可得22cos cos a ac B bc A b ac ++=+，由余弦定理可得2222222222a c b b c a a b ac +-+-++=+，即222a c b ac +=+，所以2221cos 222a cb ac B ac ac +-===.因为0πB <<，所以π3B =；由ABC 为锐角三角形，π3B =，所以π022ππ032A C A ⎧<<⎪⎪⎨⎪<=-<⎪⎩,可得ππ,62A ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭.由正弦定理sin sin sin a bcA B C ==,得22πsin sin 32cA A ==⎛⎫- ⎪⎝⎭，则2π2sin 31sin A b c A ⎛⎫- ⎪⎝⎭====则ABC的周长为22cos cos 12333sin 2sin cos tan 222AA a b c A A A A +++==+=+.由ππ,62A ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，则ππ,2124A ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭.因为2π2tanππ12tan tan 2π6121tan 12⎛⎫=⨯== ⎪⎝⎭-整理得2ππtan 101212+-=，解得πtan 212=πtan 212=-（舍），所以()tan 22A ∈，所以(33tan 2A ++，即ABC的周长的取值范围为(3+.（2）由正弦定理2sin bR B =（R 为ABC的外接圆半径），则212b ac b ===.由222a c b ac +=+，可得2224a c +=，则a c ==ABC 为等边三角形.取AB 中点M，如图所示：则()()PA PB PM MA PM MB ⋅=+⋅+ ()2PM PM MA MB MA MB =+⋅++⋅ 2223PM MA PM =--= .由2,1OP OM ==，则[]1,3PM ∈，则[]2,6PA PB ⋅∈- ．19．(1)证明见解析；(3)证明见解析.【分析】(1)当π4θ=时,ππcos isin 44n z n n =+,)11i z =+,2i z =，由221z z =,即可证明“2维形态复数”与“1维形态复数”之间存在平方关系；(2)由“2维形态复数”与“3维形态复数”相等,可得cos 2i sin 2cos3i sin 3θθθθ+=+，利用复数相等的条件得到()2πk k θ=∈Z ,即可求πsin 4θ⎛⎫+ ⎪⎝⎭；(3)由1m z z =得cos i sin cos i sin m m θθθθ+=+,利用复数相等的条件得到()112π1k k m θ=∈-Z 和()222π2k k n θ=∈-Z ,则()12122π2π,12k k k k m n =∈--Z ,则()11221,2k m k k n k -=∈-Z ,进一步得()()111122222211,k k k m n n k k k k k =-+=⋅+-∈Z ,即可证明存在有理数12k q k =,使得12m q n q =⋅+-.【详解】（1）当π4θ=时,ππcos isin 44n z n n =+,则)1ππcos isin 1i 44z =++,2ππcos isin 2i 2z +==.因为)()2221211i 12i i i 22z z ⎤=+=++==⎥⎣⎦，故“2维形态复数”与“1维形态复数”之间存在平方关系.（2）因为“2维形态复数”与“3维形态复数”相等,所以cos 2i sin 2cos3i sin 3θθθθ+=+,因此cos 2cos3sin 2sin 3θθθθ=⎧⎨=⎩，解cos 2cos3θθ=，得()322πk k θθ=+∈Z 或()322πk k θθ+=∈Z ,解sin 2sin 3θθ=，得()322πk k θθ=+∈Z 或()322ππk k θθ+=+∈Z ,由于两个方程同时成立,故只能有()322πk k θθ=+∈Z ,即()2πk k θ=∈Z .所以πππsin sin 2πsin 444k θ⎛⎫⎛⎫+=+== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭（3）由1m z z =，得cos i sin cos i sin m m θθθθ+=+,由(2)同理可得()112πm k k θθ=+∈Z ,即()()1112πm k k θ-=∈Z .因为1m >,所以()112π1k k m θ=∈-Z .因为221n m z z z ==,由(1)知221z z =,所以2n z z =.由(2)同理可得()2222πn k k θθ=+∈Z ,即()()2222πn k k θ-=∈Z .因为2n >,所以()222π2k k n θ=∈-Z ,所以()12122π2π,12k k k k m n =∈--Z ,又因为0θ≠,所以120k k ≠,所以()11221,2k m k k n k -=∈-Z ,即()()111122222211,kk km n n k k k k k =-+=⋅+-∈Z ，所以存在有理数12kq k =,使得12m q n q=⋅+-.【点睛】关键点点睛：利用复数相等求出参数然后求解.。
2023-2024学年湖南省长沙市高一下册期中考试数学试题(含解析)
2023-2024学年湖南省长沙市高一下册期中考试数学试题一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。
在每小题给出的4个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．已知log 23x=，则x 的值为（）A ．2B ．4C ．6D ．82．已知集合M ⊆{2，3，5}，且M 中至少有一个奇数，则这样的集合M 共有（）A ．5个B ．6个C ．7个D ．8个3．若复数5i 2z =-，则z 的虚部为（）A ．i B ．1C ．1-D ．i -4．2023sin6π=（）A ．12B ．32C ．12-D ．32-5．已知m ，n 是两条不重合的直线，α，β是两个不重合的平面，下列命题正确的是（）A ．若m α∥，m β∥，n α∥，n β∥，则αβ∥B ．若m n ⊥，m α∥，n β⊥，则αβ⊥C ．若m n ⊥，m α⊂，n β⊂，则αβ⊥D ．若m n ∥，m α⊥，n β⊥，则αβ∥6．若[]0,4x ∃∈，使得不等式220x x a -+>成立，则实数a 的取值范围（）A ．1a >-B ．1a >C ．8a >D ．8a >-7．已知O 是△ABC 外接圆的圆心，若3AB = ，7BC = ，则BO CA ⋅= （）A ．10B ．20C ．−20D ．−108．已知圆柱12O O 的底面半径和母线长均为1，A ，B 分别为圆2O 、圆1O 上的点，若AB =2，则异面直线1O B ，2O A 所成的角为（）A ．6πB ．4πC ．3πD ．2π二、多选题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
全部选对得5分，部分选对得2分，有选错的得0分。
9．下列关于复数21iz =-的四个命题，其中为真命题的是（）A ．z =B ．22iz =C ．z 的共轭复数为1i -+D ．z 是关于x 的方程2220x x -+=的一个根10．下列说法正确的是（）A ．若0a b ⋅= ，则0a = 或0b = B ．6x π=是函数()2cos 23f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的一条对称轴C ．sin1sin3π<D ．若a b ∥，则a 在b 方向上的投影向量的模为a11．如图，在正方体ABCD −A 1B 1C 1D 1中，点P 在线段BC 1上运动，有下列判断，其中正确的是（）A ．异面直线A 1P 与AD 1所成角的取值范围是0,3π⎛⎤ ⎥⎝⎦B ．三棱锥D 1−APC 的体积不变C ．平面PB 1D ⊥平面ACD 1D ．若AB =1，则CP +PD 112．己知函数()f x 的定义域为R ，12f x ⎛⎫+⎪⎝⎭为奇函数，且对于任意x ∈R ，都有()()2f x f x -=，则（）A ．()()1f x f x +=B ．102f ⎛⎫-= ⎪⎝⎭C ．()2f x +为偶函数D ．12f x ⎛⎫-⎪⎝⎭为奇函数三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
广东省广州市广州中学2023-2024学年高一下学期期中考试数学试卷(含简单答案)
广州市广州中学2023-2024学年高一下学期期中考试数学试卷一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1. 已知向量，，则（ ）A. 2B. 3C. 4D. 52（ ）A. B. C. D. 3. 如图，四边形中，，则必有（ ）A. B. C. D. 4. 如图，在空间四边形中、点、分别是边、上的点，、分别是边、上的点，，，则下列关于直线，的位置关系判断正确的是（ ）A. 与互相平行；B. 与是异面直线；C. 与相交，其交点在直线上；D. 与相交，且交点在直线上．5.已知，，且与互相垂直，则与的夹角为（ ）A. B. C. D. .(2,1)a =(2,4)b =- ||a b -= ()i 13i 1i-=+2i +2i -2i-+2i--ABCD AB DC =AD CB=DO OB=AC DB=OA OC=ABCD E H AB AD F G BC CD EH FG ∥EH FG ≠EF GH EF GH EF GH EF GH BD EF GH AC a = 1b = a b - 2a b + a b30︒45︒60︒90︒6. 已知圆锥的底面圆周在球的球面上，顶点为球心，圆锥的高为3，且圆锥的侧面展开图是一个半圆，则球的表面积为（ ）A. B. C. D.7. 函数的部分图象如图所示，则函数的单调递减区间为（ ）A. B. C. D. 8. 如图的曲线就像横放的葫芦的轴截面的边缘线，我们叫葫芦曲线（也像湖面上高低起伏的小岛在水中的倒影与自身形成的图形，也可以形象地称它为倒影曲线），它每过相同的间隔振幅就变化一次，且过点，其对应的方程为（，其中为不超过的最大整数，）.若该葫芦曲线上一点到轴的距离为，则点到轴的距离为（ ）A.B.C.D.二、选择题：本题共3个小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．9. 如图，弹簧挂着的小球做上下运动，它在时相对于平衡位置的高度（单位：）由关系式O O O 12π16π48π96π()()πsin 1002f x A x A ωϕωϕ⎛⎫=++>>< ⎪⎝⎭，，()π16g x f x ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭πππ,π,Z 66k k k ⎡⎤-+∈⎢⎥⎣⎦ππ2π,2π,Z 66k k k ⎡⎤-+∈⎢⎥⎣⎦π5ππ,π,Z 36k k k ⎡⎤++∈⎢⎥⎣⎦πππ,π,Z 63k k k ⎡⎤-+∈⎢⎥⎣⎦π,24P ⎛⎫⎪⎝⎭122sin 2πx y x ω⎛⎫⎡⎤=- ⎪⎢⎥⎣⎦⎝⎭0x ≥[]x x 05ω<<M y 4π3M x 1412s t h cm，确定，其中，，．小球从最高点出发，经过后，第一次回到最高点，则（ ）A B.C. 与时的相对于平衡位置的高度D. 与时的相对于平衡位置的高度之比为10. 下列说法正确的是（ ）A. 向量在向量上的投影向量可表示为B. 若，则与的夹角θ的范围是C. 若是等边三角形，则D 已知，，则11. 如图，在直三棱柱中，分别是棱上的点，，，则下列说法正确的是（ ）A. 直三棱柱的体积为..()sin h A t ωϕ=+[)0,t ∞∈+0A >0ω>(]0,πϕ∈2s π4ϕ=πω=3.75s t =10s t =h 3.75s t =10s t =h 12ab a b b b b⋅⋅0a b ⋅< a bπ,π2⎛⎤⎥⎝⎦ABC V π,3AB BC <>=(1,2)A -(1,1)B ()2AB =-,1111ABC A B C -,E F 11,B B C C 11111224AA A B A C ===111π3A CB ∠=111ABC A B C -B. 直三棱柱外接球的表面积为；C. 若分别是棱的中点，则直线；D. 当取得最小值时，有三、填空题：本小题共3小题，每小题5分，共15分12. 在复平面内，对应的复数是，对应的复数是，则点之间的距离是______．13. 已知不共线的三个单位向量满足与的夹角为，则实数____________.14. 将函数且的图象上各点的横坐标伸长为原来的2倍，再将所得图形向左平移个单位长度后，得到一个奇函数图象，则__________.四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15. （1）将向量运算式化简最简形式．（2）已知，且复数，求实数的值．16. 如图所示，正六棱锥的底面周长为24，H 是的中点，O 为底面中心，，求：（1）正六棱锥的高；（2）正六棱锥斜高；（3）正六棱锥的侧棱长.17. （1）在三角形中，内角所对的边分别是，其中，，求．（2）热气球是利用加热的空气或某些气体，比如氢气或氦气的密度低于气球外的空气密度以产生浮力飞行．热气球主要通过自带的机载加热器来调整气囊中空气的温度，从而达到控制气球升降的目的．其工作的基本原理是热胀冷缩，当空气受热膨胀后，比重会变轻而向上升起，热气球可用于测量．如图，在离地为的111ABC A B C -64π3,E F 11,B B C C 1A F AE ∥1AE EF FA ++1A F EF=AB1i -AD 1i +,B D ,,a b c0,a b c a λ++=bπ3λ=()sin cos (,R f x a x b x a b =+∈0)b ≠π3ab =AB CB DC DE FA --++x ∈R ()222522i 0x x x x -++--=x BC 60SHO ∠=︒ABC ,,A B C ,,a b c 2c a =1sin sin sin 2b B a A a C -=cos B面高的热气球上，观测到山顶处的仰角为，山脚处的俯角为，已知，求山的高度．18. 如图，在梯形中，，，且，，，在平面内过点作，以为轴将四边形旋转一周．（1）求旋转体的表面积；（2）求旋转体的体积；（3）求图中所示圆锥的内切球体积．19. 如图，在的边上做匀速运动的点，当时分别从点，，出发，各以定速度向点前进，当时分别到达点．（1）记，点为三角形的重心，试用向量线性表示（注：三角形的重心为三角形三边中线的公共点）（2）若的面积为，求的面积的最小值．（3）试探求在运动过程中，的重心如何变化？并说明理由．800m M C 15︒A 45︒60BAC ∠=︒BC ABCD 90ABC ∠=︒AD BC ∥AD a =2BC a =60DCB ∠=︒ABCD C l CB ⊥l ABCD CO ABC V ,,D E F 0=t A B C ,,B C A 1t =,,B C A ,AB a AC b == G ABC ,a bBG ABC V S DEF V DEF V广州市广州中学2023-2024学年高一下学期期中考试数学试卷简要答案一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．【1题答案】【答案】D【2题答案】【答案】B【3题答案】【答案】B【4题答案】【答案】D【5题答案】【答案】D【6题答案】【答案】C【7题答案】【答案】C【8题答案】【答案】D二、选择题：本题共3个小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．【9题答案】【答案】BC【10题答案】【答案】AB【11题答案】【答案】ABD三、填空题：本小题共3小题，每小题5分，共15分【12题答案】【答案】2【13题答案】【答案】-1【14题答案】【答案】四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．【15题答案】【答案】（1）；（2）2.【16题答案】【答案】（1）6；（2）3）【17题答案】【答案】（1）；（2）【18题答案】【答案】（1）（2（3【19题答案】【答案】（1）（2）（3）的重心保持不变，理由略.FE341200m 2(9πa +3a 3πa 1233BG b a =-14S DEF V。
2023-2024学年湖南省高一下册期中联考数学试题(含解析)
2023-2024学年湖南省高一下册期中联考数学试题一、单选题1．设集合1Z 32A x x ⎧⎫=∈-<<⎨⎬⎩⎭，{}1,0,1,2B =-，能正确表示图中阴影部分的集合是（）A ．{}1,0,1-B ．{}1,2C ．{}0,1,2D ．{}2【正确答案】B【分析】先求得集合{}2,1,0A =--，结合题意及集合的运算，即可求解.【详解】由题意，集合{}1Z 32,1,02A x x ⎧⎫=∈-<<=--⎨⎬⎩⎭，根据图中阴影部分表示集合B 中元素除去集合A 中的元素，即为{}1,2.故选：B.2．用一个平面截一个几何体，得到的截面是三角形，这个几何体不可能是（）A ．长方体B ．圆锥C ．棱锥D ．圆台【正确答案】D【分析】作图，结合空间想象，即可得出答案.【详解】对于A 项，如图1，用平面1ACD 截长方体，得到的截面是三角形，故A 项正确；对于B 项，如图2，用平面PAB 截圆锥，得到的截面是三角形，故B 项正确；对于C 项，三棱锥各个面即为三角形；除三棱锥外，过棱锥底面不相邻两顶点和棱锥顶点的截面为三角形，故C 项正确；对于D 项，圆台的截面不可能为三角形，故D 项错误.故选：D.3．复平面内表示复数1iiz -=的点位于（）A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限【正确答案】C【分析】化简复数可得1i z =--，即可根据复数的几何意义得出答案.【详解】根据复数的除法运算求解()1i i 1i i 11i i i i 1z --+====--⋅-，所以，复平面内表示该复数的点为()1,1--，所以，复平面内表示复数1iiz -=的点位于第三象限.故选：C.4．已知a ，b 为非零实数，则“1ba≥”是“b a ≥”的（）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件【正确答案】A【分析】利用特殊值法结合充分条件、必要条件的定义判断可得出结论.【详解】由222222111||||b b b b a b a a a a ⎛⎫≥⇒≥⇒≥⇒≥⇒≥ ⎪⎝⎭，即b a ≥成立，故充分性成立；取2b =-，1a =，则b a ≥成立，但1ba≥不成立，故必要性不成立.因此，“1ba≥”是“b a ≥”的充分不必要条件.故选：A 5．函数()4cos 22x xxf x -=-的部分图象大致为（）A ．B ．C ．D ．【正确答案】C【分析】根据函数的奇偶性排除AB ，再由特殊值排除D 即可得解.【详解】因为()4cos 22x xxf x -=-的定义域为{|0}x x ≠，关于原点对称，所以4cos()4cos ()()2222x x x x x xf x f x ----===---，即函数为奇函数，排除AB ，当2x =时，224cos 2(2)022f -=<-，排除D.故选：C6．如图，AB 是底部不可到达的一座建筑物，A 为建筑物的最高点，某同学选择地面CD 作为水平基线，使得C ，D ，B 在同一直线上，在C ，D 两点用测角仪器测得A 点的仰角分别是45°和75°，10CD =，则建筑物AB 的高度为（）A ．5B ．52C ．D ．52+【正确答案】A【分析】根据正弦定理求出AD ，再在直角三角形中求解即可.【详解】在ACD 中，根据正弦定理可得()sin 10sin 45sin sin 7545CD ACD AD DAC ∠︒===∠︒-︒，在Rt △ABD 中，)sin 75sin 30cos 45cos30sin 4554AB AD =︒=︒︒+︒︒==，故选：A7．如图，在ABC 中，点O 在BC 上，AO AB AC αβ=⋅+⋅ ，则2αβαβ+⋅的最小值为（）A ．5B ．3-C ．D ．3+【正确答案】D【分析】由已知可推得1αβ+=，又212αβαβαβ+=+⋅，根据“1”的代换，利用基本不等式，即可求出最小值.【详解】由题意可得，,,B O C 三点共线，则,BO BC uu u r uu u r共线.则存在唯一实数λ，使得BO BC λ=，01λ<<，即()AO AB AC AB λ-=-uuu r uu u r uuu r uu u r ，整理可得，()1AO AB AC λλ=-+uuu r uu u r uuu r .又AO AB AC αβ=⋅+⋅，所以1αλ=-，βλ=，所以1αβ+=，且0α>，0β>，又212αβαβαβ+=+⋅()1223βααβαβαβ⎛⎫=++=++ ⎪⎝⎭33≥=，当且仅当2βααβ=，即1a =，2β=-时等号成立.所以，2αβαβ+⋅的最小值为3+.故选：D.8．已知a ，b是不共线的两个向量，2a = ，a b ⋅= t ∀∈R ，2b ta -≥ ，则b 的最小值为A ．2B ．4C ．D ．【正确答案】B【分析】由2b ta -≥可推得，(22416b t ≥--+ .令()(2416f t t =-+，根据函数的最大值，即可得出()2max 16b f t ≥= ，进而得出答案.【详解】由2b ta -≥ 可得，()224b ta b ta-=-≥，即22224b ta b t a -⋅+≥ .因为2a =，a b ⋅=(222244124b t b t -+=+--≥ ，所以，(22416b t ≥--+ .令()(2416f t t =-+，因为，(241616t -+≤，所以()max 16f t =.又对t ∀∈R ，2b ta -≥ 恒成立，所以()2max 16b f t ≥= ，所以4b ≥.故选：B.二、多选题9．向量,a b 满足：4a = ，2b = ，3a b ⋅≥ ，则向量b 在向量a上的投影向量的模的可能值是（）A ．1B ．14C ．34D ．2【正确答案】CD【分析】根据题意，结合向量b 在向量a上的投影向量的模公式，即可求解.【详解】由题意，向量,a b 满足4,2a b == 且3a b ⋅≥ ，所以向量b 在向量a上的投影向量的模为3cos ,4a b b a b a⋅=≥.故选：CD10．在ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，则下列选项正确的是（）A ．a b A B<⇔<B ．sin sin A B A B≥⇔≥C ．若ABC 为锐角三角形，则sin cos A B >D ．()cos cos A B C +=【正确答案】ABC【分析】根据大边对大角，即可得出A 项；根据正弦定理，结合A 项，即可得出B 项；由已知可推出ππ022B A <-<<，根据正弦函数的单调性，即可得出C 项；()()cos cos πA B C +=-，根据诱导公式化简，即可判断D 项.【详解】对于A 项，根据大边对大角，知A 项正确；对于B 项，由A 知，A B a b ≥⇔≥.由正弦定理sin sin a b A B =可得，sin 1sin A a B b=≥，所以sin sin A B ≥.由sin sin A B ≥，根据正弦定理sin sin a bA B=可得，sin 1sin a A b B=≥，所以a b ≥，所以A B ≥，故B 项正确；对于C 项，由已知可得，π2A B +>，所以ππ022B A <-<<，因为正弦函数在π0,2⎛⎫⎪⎝⎭上单调递增，所以πsin sin cos 2A B B ⎛⎫>-= ⎪⎝⎭，故C 项正确；对于D 项，()()cos cos πcos A B C C +=-=-，故D 项错误.故选：ABC.11．已知()0,πx ∈，2sin cos 3x x +=-，则下列结论正确的是（）A ．πsin 43x ⎛⎫+=-⎪⎝⎭B ．5sin 29x =-C ．sin cos 3x x -=-D ．1tan 0x -<<【正确答案】ABD【分析】辅助角公式化简已知，即可得出A 项；由已知可得，()24sin cos 9x x +=，展开即可得出B 项；先得出()29s s 4n co 1i x x -=，根据已知可得sin cos 0x x ->，开方即可判断C 项；根据2sin cos 03x x +=-<，结合三角函数的符号，即可推出sin cos x x <，进而得出tan 1x <，即可得出D 项.【详解】对于A项，因为sin cos sin cos 22x x x x ⎫++⎪⎪⎭π243x ⎛⎫=+=- ⎪⎝⎭，所以πsin 4x ⎛⎫+= ⎪⎝⎭A 项正确；对于B 项，由已知可得，()24sin cos 9x x +=，即224sin cos 2sin cos 1sin 29x x x x x ++=+=，所以，5sin 29x =-，故B 项正确；对于C 项，()2229s s in c 2o 14sin cos 2in cos s 1sin x x x x x x x +-=-=-=.由已知2sin cos 3x x +=-，()0,πx ∈，可知π,π2x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，所以sin cos 0x x ->，所以，sin cos x x -=C 项错误；对于D 项，因为2sin cos 03x x +=-<，sin 0x >，cos 0x <，所以sin cos x x <，所以，sin tan 1cos xx x=<.又tan 0x <，所以1tan 0x -<<，故D 项正确.故选：ABD.12．已知函数()()()2sin 0f x x ωϕω=+>，下列说法正确的是（）A ．若函数()y f x =为偶函数，则sin 0ϕ=B ．若0ϕ=时，且()f x 在ππ,43⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上单调，则30,2ω⎛⎤∈ ⎥⎝⎦C ．若0ϕ=时，()y f x =的图象在长度为π的任意闭区间上与直线1y =最少有3个交点，最多有4个交点，则5,23ω⎡⎫∈⎪⎢⎣⎭D ．若函数()g x f x ϕω⎛⎫=- ⎪⎝⎭在π,π2⎡⎤⎢⎥⎣⎦上至少有两个最大值点，则913,5,22ω⎡⎤⎡⎫∈⋃+∞⎪⎢⎥⎢⎣⎦⎣⎭【正确答案】BD【分析】由已知求出ϕ的表达式，代入即可判断A ；求出x ω的范围，根据已知列出方程组，求解即可得出B 项；先解1sin 2x ω=，然后得出相邻交点最小的距离为2π3ω，最大距离为4π3ω.结合已知列出ω的不等式，求解即可判断C 项；由已知可推出4ω≥，进而结合正弦函数的图象与性质，得出所有的可能，分别列出不等式组，求解即可得出ω的取值范围，进而判断D 项.【详解】对于A 项，要使函数()()()2sin 0f x x ωϕω=+>为偶函数，则ππ,2k k ϕ=+∈Z ，则sin 1ϕ=±，故A 项错误；对于B 项，0ϕ=时，()2sin f x x ω=，因为ππ,43x ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦，所以ππ,43x ωωω⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦，因为()f x 在ππ,43⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上单调，所以有ππ42ππ32ωω⎧-≥-⎪⎪⎨⎪≤⎪⎩，解得302ω<≤，故B 项正确；对于C 项，由题意2sin 1x ω=，则1sin 2x ω=，π2π,6x k k ω=+∈Z 或5π2π,6x k k ω=+∈Z ，则π2π,6k x k ωω=+∈Z 或5π2π,6k x k ωω=+∈Z ，所以，相邻交点最小的距离为2π3ω，最大距离为4π3ω.由题意，相邻四个交点之间的最大距离不大于π，相邻五个交点之间的最小距离不大于π，所以，10ππ3ω≤，且4π2πT ω=>，所以，1043ω≤<，故C 项错误；对于D 项，()2sin 2sin g x f x x x ϕϕωϕωωω⎡⎤⎛⎫⎛⎫=-=-+= ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦，故ππ2T -≥，所以2ππ2ω≤，所以4ω≥.因为ππ2x ≤≤，所以ππ2x ωωω≤≤.由于4ω≥，所以π2π2ω≥，则①π5π229ππ2ωω⎧≤⎪⎪⎨⎪≥⎪⎩，解得952ω≤≤；②5ππ9π22213ππ2ωω⎧<≤⎪⎪⎨⎪≥⎪⎩，解得1392ω≤≤；③9ππ13π22217ππ2ωω⎧<≤⎪⎪⎨⎪≥⎪⎩，解得913ω<≤.④当13ω>时，ππ13ππ222ωωω-=>，满足()sin h x x ω=在π,π2⎡⎤⎢⎥⎣⎦上至少有两个最大值点.综上所述，913,5,22ω⎡⎤⎡⎫∈⋃+∞⎪⎢⎥⎢⎣⎦⎣⎭.故选：BD思路点睛：D 项，先化简函数表达式，进而根据已知得出ω的大致范围，进而结合正弦函数的图象与性质，列出关系式，求解即可得出ω的取值范围.三、填空题13．幂函数m y x =的图象过点11,28⎛⎫⎪⎝⎭，则函数()()log n f x x m =+恒过定点___________.【正确答案】(2,0)-【分析】根据幂函数过点求出m ，再由对数函数的性质求出所过定点.【详解】因为幂函数m y x =的图象过点11,28⎛⎫⎪⎝⎭，所以1182m⎛⎫= ⎪⎝⎭，解得3m =，即()()log 3n f x x =+，当2x =-时，(2)0f -=，所以函数()()log n f x x m =+恒过定点(2,0)-.故(2,0)-14．若πcos 3x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭πcos 23x ⎛⎫-= ⎪⎝⎭___________.【正确答案】13【分析】因为ππ22π33x x ⎛⎫-=+- ⎪⎝⎭，根据诱导公式可得c πc πos 223os 3x x ⎛⎫-⎪⎛⎫-= +⎭ ⎝⎪⎭⎝，然后根据二倍角的余弦公式展开，即可得出答案.【详解】因为ππ22π33x x ⎛⎫-=+- ⎪⎝⎭，所以，2πc πco s 3s πo 23x x ⎡⎤⎛⎫+- ⎪⎢⎥⎛⎫-=⎝⎭⎭⎣ ⎪⎝⎦πcos 23x ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭22π112cos 12333x ⎛⎛⎫=-+=-⨯= ⎪ ⎝⎭⎝⎭.故答案为.1315．筒车是我国古代发明的一种水利灌溉工具，因其经济又环保，至今还在农业生产中使用.明朝科学家徐光启在《农政全书》中用图画描绘了筒车的工作原理.如图是一个半径为6m 的筒车，筒车转轮的中心到水面的距离为3m ，每2分钟逆时针匀速旋转一圈.筒车上的一个盛水筒P （视为质点）从水中浮现（图中点A ）时开始记时.建立如图平面直角坐标系，将P 到水面距离()m y 表示为时间()s t 的函数()y f t =，则()f t =___________.【正确答案】ππ6sin 3(0)606t t ⎛⎫-+≥ ⎪⎝⎭【分析】根据三角函数的周期求出角速度，再利用正弦函数求圆上点的纵坐标即可得出.【详解】由题意周期260120T =⨯=秒，所以角速度2ππ12060ω==（rad/s ），当经过时间t 秒()0t ≥，质点P 从A 运动到如图M所在位置，如图，此时π60MOA t t ω∠==，因为水车半径6OA =米，水车中心离水面距离3AC =米,所以π6AOC ∠=，ππ606MOB t ∠=-，所以P 到水面距离ππππ6sin 6sin 3606606y t AC t ⎛⎫⎛⎫=-+=-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，即ππ()6sin 3606f t t ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭(0)t ≥，故ππ6sin 3606t ⎛⎫-+ ⎪⎝⎭(0)t ≥16．定义在R 上的函数()f x 满足()()122f x f x +=，且当[]0,1x ∈时，()()1f x f x -=；当[]0,2x ∈时，()()2f x f x -=-；当10,2x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，()161x f x =-.若对[),x m ∀∈+∞，都有()12f x ≤，则m 的取值范围是__________.【正确答案】215log 34m ≥-【分析】根据已知可得出函数在区间[]0,1以及区间[]0,2上的对称性，进而可作出函数的图象.根据图象设01,2A x ⎛⎫ ⎪⎝⎭，以及09,52x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦.进而根据已知条件，推出函数()f x 在9,52⎡⎤⎢⎥⎣⎦内的解析式，进而求解()12f x =即可得出0x 的值，进而得出m 的取值范围.【详解】由当[]0,1x ∈时，()()1f x f x -=，可得()f x 的图象在该区间内关于直线12x =对称；由当[]0,2x ∈时，()()2f x f x -=-，可得()f x 的图象在该区间内关于点()1,0对称.结合已知条件，作出函数()f x 的部分图象如下图由图象可设01,2A x ⎛⎫ ⎪⎝⎭，且0x x >时，都有()()012f x f x <=，且09,52x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦.设112x ≤≤，则1012x ≤-≤，()11161xf x --=-.因为，当[]0,1x ∈时，()()1f x f x -=，所以()()11161xf x f x -=-=-，112x ≤≤.当9,52x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，14,12x ⎡⎤-∈⎢⎥⎣⎦，所以()()1454161161x x f x ----=-=-.又函数()f x 满足()()122f x f x +=，所以，()()()4224f x f x f x -=-=，所以，()()5416144x f x f x ---==.令()5161142x f x --==，解得215log 34x =-，即2115log 3,42A ⎛⎫- ⎪⎝⎭.所以，215log 34m ≥-.故215log 34m ≥-四、解答题17．已知关于x 的方程2320x ax a -+=，a ∈R .(1)当1a =时，在复数范围内求方程的解；(2)已知复数2i z a =+，若方程2320x ax a -+=有虚根，求z 的模的取值范围.【正确答案】(1)1i 33x =±(2)1z <<【分析】（1）代入1a =，配方得到21239x ⎛⎫-=- ⎪⎝⎭，开方即可得出答案；（2）由已知可得Δ0<，求解得出a 的取值范围，进而得出2137z <<，开方即可得出答案.【详解】（1）当1a =时，方程为23210x x -+=，配方可得，21239x ⎛⎫-=- ⎪⎝⎭，两边开方可得，133x -=±，所以，方程的解为133x =±.（2）要使方程2320x ax a -+=有虚根，则()222434120a a a a ∆=--⨯=-<，所以0<<3a ，所以209a <<.又2241z a =+，所以2137z <<，所以，1z <<18．为了增强生物实验课的趣味性，丰富生物实验教学内容，我校计划沿着围墙（足够长）划出一块面积为100平方米的矩形区域ABCD 修建一个羊驼养殖场，规定ABCD 的每条边长均不超过20米．如图所示，矩形EFGH 为羊驼养殖区，且点A ，B ，E ，F 四点共线，阴影部分为1米宽的鹅卵石小径．设AB ＝x （单位：米），养殖区域EFGH 的面积为S （单位：平方米）．（1）将S 表示为x 的函数，并写出函数的定义域；（2）当AB 为多长时，S 取得最大值？并求出此最大值．【正确答案】（1）S ＝102－200x－x ，定义域为[5，20]；（2）当AB ＝米时，S 取得最大值，最大值为102－．【分析】（1）由已知得到AD ＝100x，进一步得到EF ,FG 的长度用x 表示，即可得到S ；（2）利用基本不等式即可求得最大值.【详解】解：（1）因为AB ＝x ，所以AD ＝100x ，EF ＝x －2，FG ＝100x－1，所以S ＝(x －2)(100x －1)＝102－200x－x ，因为0＜x ≤20，0＜100x≤20，解得5≤x ≤20，所以S ＝102－200x －x ，定义域为[5，20]．（2）S ＝102－200x －x ≤102－102－当且仅当x ＝∈[5，20]时取等号，答：当AB ＝S 取得最大值，最大值为102－．19．如图，在四边形ACBD 中，AB 与CD 交于点M ，且CD xCA yCB =+.(1)若2AM MB = ，3CD CM =，求x ，y 的值；(2)若2CB =，4CA =，45ACD ∠=︒，60BCD ∠=︒，求x ，y 满足的等量关系.【正确答案】(1)1x =，2y =(2)223=【分析】（1）根据已知条件可推得，2233AM CB CA =- ，进而得出1233C CA CB M =+.根据3CD CM =，即可得出,x y 的值；（2）根据数量积公式，求出2226CA CB ⋅=-.进而求出(162226CA CD x y ⋅=+ ，又根据数量积公式有22CA CD CD ⋅= ，即可得出(4213CD y =+.同理可得出(22264CD x y =+，联立即可得出关系式.【详解】（1）由已知可得，AB CB CA =-.又2AM MB =，所以222333AM AB CB CA ==- .所以，22123333C C A M C A B C A A C B AM C C =+=+-=+.又3CD CM = ，所以122333CD CA CB CA CB ⎛⎫==+ ⎪⎝⎭+ .又CD xCA yCB =+，所以1x =，2y =.（2）由已知可得，105ACB ∠=︒，则5cos co 0s1ACB ∠=︒()5cos 460=︒+︒62cos cos sin sin 445604560=︒︒-︒︒=-，则62cos 4222264CA CB CA CB ACB ⎛⎫⋅=∠=⨯⨯-=- ⎪ ⎪⎝⎭则()CA CD CA xCA yCB ⋅⋅=+ (2162226CA C y x xCA B y ⋅=+-+=，又2cos 4222CA CD CA CD ACD CD CD ⋅=∠=⨯⨯= ,所以，(16x y =+ ，则(1CD y =+.()CB CD CB xCA yCB ⋅⋅=+ (24x yC y B =⋅++= .又1cos 22CB CD CB CD BCD CD CD ⋅=∠=⨯⨯= ，所以，(4CD x y =+.所以，有((41x y y +=+，整理可得，=.20．函数()()πsin 0,0,02f x A x A ωϕωϕ⎛⎫=+>><< ⎪⎝⎭在一个周期内的图象如图所示，30,2⎛⎫ ⎪⎝⎭与π3,32⎛⎫⎪⎝⎭为该图象上两点，且函数()f x 的一个零点为5π12.(1)求()f x 的解析式；(2)将()y f x =的图象向左平移π6个单位长度，再将得到的图象横坐标不变，纵坐标变为原来的13，得到()y g x =的图象.令()()()F x f x g x =，求()F x 的最大值，若()F x 取得最大值时x 的值为0x ，求0tan 4x .【正确答案】(1)π()3sin 26f x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭(2)94【分析】（1）求出对称轴可得出函数周期，由周期求出ω，再由过点5π,012⎛⎫⎪⎝⎭求出ϕ，代入30,2⎛⎫ ⎪⎝⎭求A ，即可得出函数解析式；（2）根据图象平移得出()g x 解析式，利用三角恒等变换化简()F x ，即可得出最大值及对应的自变量，再求出对应正切即可.【详解】（1）由图象过30,2⎛⎫ ⎪⎝⎭与π3,32⎛⎫⎪⎝⎭知π6x =为函数的对称轴，所以5πππ41264T =-=，即πT =，所以2π2π2πT ω===，又函数图象经过5π,012⎛⎫⎪⎝⎭，所以5πsin 2012A ϕ⎛⎫⨯+= ⎪⎝⎭，即5πsin 06ϕ⎛⎫+= ⎪⎝⎭，又π02ϕ<<，所以π6ϕ=，因为图象过点30,2⎛⎫ ⎪⎝⎭，所以3πsin 26A ⎛⎫= ⎪⎝⎭，解得3A =，所以函数解析式为π()3sin 26f x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭.（2）()y f x =的图象向左平移6π个单位长度可得π3sin 23cos 22y x x ⎛⎫=+= ⎪⎝⎭，得到的图象横坐标不变，纵坐标变为原来的13，得到()cos 2y g x x ==，所以2π1()()()3sin 2cos 23sin 2cos 2cos 262F x f x g x x x x x x ⎫⎛⎫==+=+⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭333π34cos 4sin 4444264x x x ⎛⎫=++++ ⎪⎝⎭，当ππ42π, Z 62x k k +=+∈，即0ππ,Z 122k x k =+∈时，()F x 有最大值94，此时0ππtan 2πtan ta 3n 43x k ⎛⎫=+== ⎪⎝⎭21．在ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，D 是AC 边上的点，()()2sin 2sin 2sin b B a c A c a C =-+-.(1)求ABC ∠的大小；(2)若1CD =，2AD BD ==，求BC 的长.【正确答案】(1)π3【分析】（1）由正弦定理角化边，整理可得222a c b ac +-=，然后根据余弦定理即可求得1cos 2ABC ∠=，进而根据角的范围，即可得出答案；（2）在BDC 以及BDA △中，分别根据余弦定理，结合πBDC BDA ∠+∠=，整理化简可得222180c a +-=.在ABC 中，根据余弦定理推出229a c ac +-=.联立两个方程，即可得出答案.【详解】（1）由正弦定理以及已知可得，()()2222b a a c c c a =-+-，整理可得，222a c b ac +-=.由余弦定理可得，2221cos 222a c b ac ABC ac ac +-∠===.又()0,πABC ∠∈，所以π3ABC ∠=.（2）在BDC 中，由余弦定理可得，22225cos 24BD CD BC a BDC BD CD +--∠=⋅.在BDA △中，由余弦定理可得，22228cos 28BD AD AB c BDA BD AD +--∠==⋅.又πBDC BDA ∠+∠=，所以cos cos BDC BDA ∠=-∠，即225848a c --=-，整理可得222180c a +-=.因为3b AC AD CD ==+=，在ABC 中，由余弦定理可得，2222cos b a c ac ABC =+-∠，即2222π92cos3a c ac a c ac =+-=+-，整理可得，229a c ac +-=.联立222221809c a a c ac ⎧+-=⎨+-=⎩可得a c ⎧=⎪⎨=⎪⎩.所以，BC a =.22．已知()241xf x a =-+是定义在R 上的奇函数，()()22x xg x m -=+.(1)若[]1,2x ∈-时，()()()h x f x g x =的最大值为2，求m 的值；(2)设直线1x x =，2x x =与函数()2y f x =⎡⎤⎣⎦的图象分别交于A ，B 两点，直线1x x =，2x x =与函数()2y g x ⎡⎤=⎣⎦的图象分别交于C ，D 两点，若存在12x x ≠，且[]12,0,1x x ∈，使得//AB CD ，求m 的取值范围.【正确答案】(1)815m =或43m =-(2)1881,225252m ⎛⎫⎛⎫∈-- ⎪⎝⎭⎝⎭U 【分析】（1）根据()00f =，求出1a =，然后代入函数验证奇偶性.化简得到()()22x x h x m -=-，结合22x x y -=-的单调性，根据m 与0的关系，得到函数的单调性，进而得出最大值，列出方程，即可求出答案；（2）写出各点的坐标，得出向量，根据易知即可得出()()()()22222211f x g x f x g x -=-⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦.令()()()22H x f x g x =-⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦，代入整理可得()()()222412222x x xx H x m --=--++，令()222x xt -=+换元，根据题意结合对勾函数的单调性，即可求出m 的取值范围.【详解】（1）因为()f x 为R 上的奇函数，所以()00f =，即021041a a -=-=+，所以1a =.当1a =时，()24114141x x x f x -=-=++，()()41144141x x x x f x f x -----===-++，因此，()f x 为奇函数.所以，()()()()412241x x xx h x f x g x m --⋅+=+=()()412282224141x x x x x x x x x m m---++--==++()()()21612412241x x x x x x xmm m ----==⋅-=-+.当[]1,2x ∈-时，22x x y -=-单调递增，若0m =，则()0h x =恒成立，不符合题意；若0m >，则()h x 单调递增，此时()()max 15224h x h m ===，所以815m =；若0m <，则()h x 单调递减，此时()()max 3122h x h m =-=-=，所以43m =-.综上所述，815m =或43m =-.（2）由题意可得，()()211,A x f x ⎡⎤⎣⎦，()()222,B x f x ⎡⎤⎣⎦，()()211,C x g x ⎡⎤⎣⎦，()()222,D x g x ⎡⎤⎣⎦，则()()()222121,AB x x f x f x =--⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦uu u r ，()()()222121,CD x x g x g x =--⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦uu u r.由//AB CD 可知，()()()()22222121f x f x g x g x -=-⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦，即()()()()22222211f x g x f x g x -=-⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦，设()()()22H x f x g x =-⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦，由题意可得，存在[]12,0,1x x ∈，()12x x ≠使得()()12H x H x =.()()()22H x f x g x =-⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦()222222222x x x x x x m ---⎛⎫-=-+ ⎪+⎝⎭()()222412222x x x x m --=--++.令()222x xt -=+，该函数关于x 单调递增，且[]0,1x ∈时，254,4t ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦.设()241l t m t t ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭，由题意可知()l t 在254,4⎡⎤⎢⎥⎣⎦上不单调，当0m =时，不符合题意；当0m ≠时，对勾函数24y m t t =+在20,m ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭上单调递减，在2,m ⎛⎫+∞ ⎪ ⎪⎝⎭上单调递增，因此22544m <<，解得1881,,225252m ⎛⎫⎛⎫∈-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭U .。
北京市2023-2024学年高一下学期期中考试数学试题含答案
北京2023—2024学年第二学期期中练习高一数学（答案在最后）2024.04说明：本试卷共4页，共120分.考试时长90分钟.一､选择题（本大题共10小题，每小题4分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1.sin120︒的值等于（）A.12-B.12C.2D.2【答案】D 【解析】【分析】根据特殊角的三角函数值得到2，从而可求解.【详解】由题意可得sin1202︒=，故D 正确.故选：D.2.若角α的终边过点()4,3，则πsin 2α⎛⎫+= ⎪⎝⎭（）A.45B.45-C.35D.35-【答案】A 【解析】【分析】根据余弦函数定义结合诱导公式计算求解即可.【详解】因为角α的终边过点()4,3，所以4cos 5α==，所以π4sin cos 25αα⎛⎫+== ⎪⎝⎭.故选：A3.已知扇形的弧长为4cm ，圆心角为2rad ，则此扇形的面积是（）A.22cmB.24cm C.26cm D.28cm 【答案】B【解析】【分析】由条件结合弧长公式l R α=求出圆的半径，然后结合扇形的面积公式12S lR =可得答案．【详解】因为扇形的圆心角2rad α=，它所对的弧长4cm l =，所以根据弧长公式l R α=可得，圆的半径2R =，所以扇形的面积211424cm 22S lR ==⨯⨯=；故选：B ．4.向量a ，b ，c在正方形网格中的位置如图所示，若向量c a b λ=+，则实数λ=（）A.2-B.1-C.1D.2【答案】D 【解析】【分析】将3个向量的起点归于原点，根据题设得到它们的坐标，从而可求λ的值.【详解】如图，将,,a b c的起点平移到原点，则()()()1,1,0,1,2,1a b c ==-= ，由c a b λ=+可得()()()2,11,10,1λ=+-，解得2λ=，故选：D.5.下列四个函数中以π为最小正周期且为奇函数的是（）A.()cos2f x x =B.()tan2x f x =C.()()tan f x x =- D.()sin f x x=【答案】C 【解析】【分析】根据三角函数的周期性和奇偶性对选项逐一分析，由此确定正确选项.【详解】对于A ，函数()cos2f x x =的最小正周期为π，因为()()()cos 2cos 2f x x x f x -=-==，所以()cos2f x x =为偶函数，A 错误，对于B ，函数()tan 2xf x =的最小正周期为2π，因为()()tan tan 22x x f x f x ⎛⎫-=-=-=- ⎪⎝⎭，所以函数()tan 2x f x =为奇函数，B 错误，对于C ，函数()()tan f x x =-的最小正周期为π，因为()()()tan tan f x x x f x -==--=-，所以函数()()tan f x x =-为奇函数，C 正确，对于D ，函数()sin f x x =的图象如下：所以函数()sin f x x =不是周期函数，且函数()sin f x x =为偶函数，D 错误，6.在ABC 中，4AB =，3AC =，且AB AC AB AC +=- ，则AB BC ⋅= （）A.16B.16- C.20D.20-【答案】B 【解析】【分析】将AB AC AB AC +=- 两边平方，即可得到0AB AC ⋅=，再由数量积的运算律计算可得.【详解】因为AB AC AB AC +=- ，所以()()22AB ACAB AC +=-，即222222AB AB AC AC AB AB AC AC +⋅+=-⋅+uu u r uu u r uuu r uuu r uu u r uu u r uuu r uuu r ，所以0AB AC ⋅= ，即AB AC ⊥ ，所以()220416AB BC AB AC AB AB AC AB ⋅=⋅-=⋅-=-=- .故选：B7.函数cos tan y x x =⋅在区间3,22ππ⎛⎫⎪⎝⎭上的图像为（）A.B.C.D.【答案】C 【解析】【分析】分别讨论x 在3,,[,)22ππππ⎛⎫⎪⎝⎭上tan x 的符号，然后切化弦将函数化简，作出图像即可.【详解】因为3,22x ππ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，所以sin ,,23sin ,.2x x y x x πππ⎧-<<⎪⎪=⎨⎪≤<⎪⎩故选：C.8.已知函数()sin 24f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，则“()ππ8k k α=+∈Z ”是“()f x α+是偶函数，且()f x α-是奇函数”的（）A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件【解析】【分析】首先求出()f x α+、()f x α-的解析式，再根据正弦函数的性质求出使()f x α+是偶函数且()f x α-是奇函数时α的取值，再根据充分条件、必要条件的定义判断即可.【详解】因为()sin 24f x x π⎛⎫=+⎪⎝⎭，则()sin 224f x x ααπ⎛⎫+=++ ⎪⎝⎭，()sin 224f x x ααπ⎛⎫-=-+ ⎪⎝⎭，若()f x α-是奇函数，则112π,Z 4k k απ-+=∈，解得11π,Z 82k k απ=-∈，若()f x α+是偶函数，则222π,Z 42k k αππ+=+∈，解得22π,Z 82k k απ=+∈，所以若()f x α+是偶函数且()f x α-是奇函数，则π,Z 82k k απ=+∈，所以由()ππ8k k α=+∈Z 推得出()f x α+是偶函数，且()f x α-是奇函数，故充分性成立；由()f x α+是偶函数，且()f x α-是奇函数推不出()ππ8k k α=+∈Z ，故必要性不成立，所以“()ππ8k k α=+∈Z ”是“()f x α+是偶函数，且()f x α-是奇函数”的充分不必要条件.故选：A9.已知向量,,a b c 共面，且均为单位向量，0a b ⋅= ，则a b c ++ 的最大值是（）A.1+ B.C.D.1-【答案】A 【解析】【分析】根据题意，可设出向量,,a b c 的坐标，由于这三个向量都是单位向量，则向量,,a b c的终点都落在以坐标原点为圆心的单位圆上，作出示意图，由向量的性质可知，只有当c 与a b +同向时，a b c ++ 有最大值，求解即可.【详解】因为向量,,a b c 共面，且均为单位向量，0a b ⋅= ，可设()1,0a =，()0,1b = ，(),c x y = ，如图，所以2a b += ，当c 与a b +同向时，此时a b c ++ 有最大值，为21+.故选：A .10.窗花是贴在窗户玻璃上的贴纸，它是中国古老的传统民间艺术之一在2022年虎年新春来临之际，人们设计了一种由外围四个大小相等的半圆和中间正方形所构成的剪纸窗花（如图1）．已知正方形ABCD 的边长为2，中心为O ，四个半圆的圆心均为正方形ABCD 各边的中点（如图2），若P 为 BC 的中点，则()PO PA PB ⋅+=（）A .4B.6C.8D.10【答案】C 【解析】【分析】根据平面向量的线性运算将()PO PA PB ⋅+ 化为OA 、OB 、OP表示，再根据平面向量数量积的运算律可求出结果.【详解】依题意得||||2OA OB ==，||2OP =，3π4AOP =Ð，π4BOP =Ð，所以3π2||||cos 22(242OA OP OA OP ⋅=⋅=⨯-=- ，π2||||cos 22242OB OP OB OP ⋅=⋅=⨯= ，所以()PO PA PB ⋅+= ()OP OA OP OB OP -⋅-+- 22||OA OP OB OP OP =-⋅-⋅+ 222228=-+⨯=.故选：C二､填空题（本大题共5小题，每小题4分，共20分，把答案填在题中横线上）11.写出一个与向量()3,4a =-共线的单位向量_____________.【答案】34,55⎛⎫- ⎪⎝⎭（答案不唯一）【解析】【分析】先求出a r ，则aa±即为所求.【详解】5a ==所以与向量()3,4a =- 共线的单位向量为34,55⎛⎫- ⎪⎝⎭或34,55⎛⎫- ⎪⎝⎭.故答案为：34,55⎛⎫- ⎪⎝⎭（答案不唯一）12.已知函数()()sin 0,0,2πf x A x A ωϕωϕ⎛⎫=+>><⎪⎝⎭的部分图象如图，则π3f ⎛⎫= ⎪⎝⎭__________.【解析】【分析】根据图象可得函数()f x 的最大值，最小值，周期，由此可求,A ω，再由5π212f ⎛⎫=⎪⎝⎭求ϕ，由此求得的解析式，然后求得π3f ⎛⎫⎪⎝⎭.【详解】由图可知，函数()f x 的最大值为2，最小值为2-，35ππ3π41234T =+=，当5π12x =时，函数()f x 取最大值2，又()()sin 0,0,2πf x A x A ωϕωϕ⎛⎫=+>>< ⎪⎝⎭所以2A =，32π3π44ω⨯=，所以2ω=，所以()()2sin 2f x x ϕ=+，又5π212f ⎛⎫=⎪⎝⎭，所以5π5π2sin 2126f ϕ⎛⎫⎛⎫=+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，由于πππ5π4π,22363ϕϕ-<<<+<，所以5πππ,623ϕϕ+==-，所以()π2sin 23f x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，ππ2sin 33f ⎛⎫== ⎪⎝⎭.13.已知函数()()πsin 0,2f x x ωϕωϕ⎛⎫=+>< ⎪⎝⎭的图象过点10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭，则ϕ=__________.，若将函数()f x 图象仅向左平移π4个单位长度和仅向右平移π2个单位长度都能得到同一个函数的图象，则ω的最小值为__________.【答案】①.π6##1π6②.83##223【解析】【分析】由条件列方程求ϕ，再利用平移变换分别得到变换后的函数解析式，并根据相位差为2π,Z k k ∈求解；【详解】因为函数()()sin f x x ωϕ=+的图象过点10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭，所以1sin 2ϕ=，又π2ϕ<，所以π6ϕ=，函数()πsin 6f x x ω⎛⎫=+⎪⎝⎭（0ω>）的图象仅向左平移π4个单位长度得到函数ππππsin sin 4646y x x ωωω⎡⎛⎫⎤⎛⎫=++=++ ⎪ ⎢⎥⎝⎭⎦⎝⎭⎣的图象，函数()πsin 6f x x ω⎛⎫=+⎪⎝⎭（0ω>）的图象仅向右平移π2个单位长度得到ππππsin sin 2626y x x ωωω⎡⎤⎛⎫⎛⎫=-+=-+ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦的图象，则ππππ2π4626k ωω⎛⎫⎛⎫+--+=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭（Z k ∈），化简得3π2π4k ω=（Z k ∈），解得83k ω=（Z k ∈），由于0ω>，所以当1k =时，ω取得最小值83，故答案为：π8,63．14.已知边长为2的菱形ABCD 中，π3DAB ∠=，点E 满足3BE EC = ，点F 为线段BD 上一动点，则AF BE ⋅的最大值为______.【答案】3【解析】【分析】建立如图平面直角坐标系，设BF BD λ= ，利用平面向量线性运算与数量积的坐标表示可得AF BE⋅关于λ的表达式，从而得解.【详解】如图，以A为原点建立平面直角坐标系，则(0,0),(2,0),A B C D ，因为3BE EC =，所以(33333,4444BE BC ⎛⎫=== ⎪ ⎪⎝⎭，由题意，设()01BF BD λλ=≤≤，则(()BF λλ=-=- ，则()()()2,02,AF AB BF λλ=+=+-=-，所以()3333324422AF BE λλ⋅=-+=+，因为01λ≤≤，所以当1λ=时，AF BE ⋅的最大值为3.故答案为：3.15.声音是由物体振动产生的声波.我们听到的每个音都是由纯音合成的，纯音的数学模型是函数sin y A t ω=.音有四要素，音调､响度､音长和音色.它们都与函数sin y A t ω=及其参数有关，比如：响度与振幅有关，振幅越大响度越大，振幅越小响度越小；音调与频率有关，频率低的声音低沉，频率高的声音尖锐.我们平时听到的乐音不只是一个音在响，而是许多音的结合，称为复合音.我们听到的声音对应的函数是111sin sin 2sin 3sin 4234y x x x x =++++⋯..给出下列四个结论：①函数1111sin sin 2sin 3sin 4sin1023410y x x x x x =++++⋯+不具有奇偶性；②函数()111sin sin2sin3sin4234f x x x x x =+++在区间ππ,88⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上单调递增；③若某声音甲对应的函数近似为()11sin sin 2sin 323g x x x x =++，则声音甲的响度一定比纯音()1sin22h x x =的响度小；④若某声音乙对应的函数近似为()1sin sin 22x x x ϕ=+，则声音乙一定比纯音()1sin22h x x =更低沉.其中所有正确结论的序号是__________.【答案】②④【解析】【分析】对①，结合奇偶性的定义判断即可；对②，利用正弦型函数的单调性作出判断；对③，分别判断()(),g x h x 的振幅大小可得；对④，求出周期，可得频率，即可得出结论.【详解】对于①，令()1111sin sin2sin3sin4sin1023410F x x x x x x =++++⋯+，所以()()()()()()1111sin sin 2sin 3sin 4sin 1023410F x x x x x x -=-+-+-+-+⋯+-，所以()1111sin sin2sin3sin4sin1023410F x x x x x x -=-----⋅⋅⋅-，所以()()F x F x -=-，所以()F x 是奇函数，①错误；对于②，由ππ88x -≤≤可得，ππ244x -≤≤，3π3π388x -≤≤，ππ422x -≤≤，所以111sin ,sin2,sin3,234x x x x 都在ππ,88⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上单调递增，所以()111sin sin2sin3sin4234f x x x x x =+++在ππ,88⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上单调递增，所以函数()f x 在区间ππ,88⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上单调递增，②正确；对于③．因为()11sin sin 2sin 323g x x x x =++，所以π223g ⎛⎫= ⎪⎝⎭，所以()max 23g x ≥，即()g x 的振幅比()1sin22h x x =的振幅大，所以声音甲的响度一定比纯音()1sin22h x x =的响度大，所以③错误；对于④，因为()()()()112πsin 2πsin 24πsin sin 222x x x x x x ϕϕ+=+++=+=，所以函数()x ϕ为周期函数，2π为其周期，若存在02πα<<，使()()x x ϕϕα=+恒成立，则必有()()0ϕϕα=，()()110sin 0sin 00sin sin 222ϕϕααα∴=+===+，()sin 1cos 0αα∴+=，因为02πα<<，πα∴=，又()()()11πsin πsin 2πsin sin 222x x x x x ϕ+=+++=-+与()1sin sin 22x x x ϕ=+不恒相等，所以函数()1sin sin22x x x ϕ=+的最小正周期是2π，所以频率1112πf T ==而()h x 的周期为π，频率21πf =，12f f <，所以声音乙一定比纯音()1sin22h x x =更低沉，所以④正确．故答案为：②④.三､解答题（本大题共5小题，共60分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）16.如图，在ABC 中，2BD DC = ，E 是AD 的中点，设AB a = ，AC b = .（1）试用a ，b 表示AD ，BE ；（2）若1a b == ，a 与b 的夹角为60︒，求AD BE ⋅ .【答案】（1）1233AD a b =+ ，5163BE a b =-+ （2）518-【解析】【分析】（1）利用向量加法减法的三角形法则及数乘运算即可求解；（2）根据（1）的结论，利用向量的数量积运算法则即可求解.【小问1详解】因为2BD DC = ，所以23BD BC = ，所以221)212(333333AB AC AB AB AC a b AD AB BD AB BC +-=+=+=+=+= .因为E 是AD 的中点，所以()11211()22323BE BA BD AB BC AB AC AB ⎛⎫=+=-+=-+- ⎪⎝⎭ 51516363AB AC a b =-+=-+ .【小问2详解】因为1a b == ，a 与b 的夹角为60︒，所以11cos ,1122a b a b a b ⋅==⨯⨯= ，由（1）知，1233AD a b =+ ，5163BE a b =-+ ，所以22125154233631899AD BE a b a b a a b b ⎛⎫⎛⎫⋅=+⋅-+=--⋅+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭541251892918=--⨯+=-.17.已知函数()π3sin 24f x x ⎛⎫=+⎪⎝⎭（1）求()f x 的最小正周期；（2）求函数()f x 的单调递增区间；（3）若函数()f x 在区间[]0,a 内只有一个零点，直接写出实数a 的取值范围.【答案】（1）()f x 的最小正周期为π，（2）函数()f x 的单调递增区间是3πππ,π88k k ⎡⎤-+⎢⎥⎣⎦()k ∈Z ；（3）a 的取值范围为3π7π,88⎡⎫⎪⎢⎣⎭.【解析】【分析】（1）根据正弦型函数的周期公式求解即可；（2）利用正弦函数的单调区间结论求解；（3）求出()0f x =的解后可得a 的范围．【小问1详解】因为()π3sin 24f x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，所以函数()f x 的最小正周期2ππ2T ==；【小问2详解】由πππ2π22π242k x k -≤+≤+，Z k ∈，可得3ππππ88k x k -≤≤+，Z k ∈，所以函数()f x 的单调递增区间是3πππ,π88k k ⎡⎤-+⎢⎥⎣⎦()k ∈Z ；【小问3详解】由π()3sin(204f x x =+=可得，π2π4x k +=，Z k ∈所以ππ28k x =-，Z k ∈，因为函数()f x 在区间[]0,a 上有且只有一个零点，所以3π7π88a ≤<，所以实数a 的取值范围为3π7π,88⎡⎫⎪⎢⎣⎭.18.已知()()()4,0,0,4,cos ,sin ,(0π)A B C ααα<<.（1）若OA OC += （O 为坐标原点），求OB 与OC 的夹角；（2）若⊥ AC BC ，求sin cos αα-的值.【答案】（1）OB 与OC 的夹角为π6，（2）sin cos 4αα-=【解析】【分析】（1）根据向量模长以及夹角的坐标公式计算即可；（2）由向量垂直得到数量积为0，进而得到1sin cos 4αα+=，通过平方得到2sin cos αα，进而可得()2sin cos αα-，再根据α的范围确定正负，开方得解.【小问1详解】因为()()()4,0,0,4,cos ,sin A B C αα，所以()()()4,0,0,4,cos ,sin OA OB OC αα=== ，所以()4cos ,sin OA OC αα+=+ ，由OA OC += ()224+cos sin 21αα+=，所以1cos 2α=，又0πα<<，，所以π3α=，13,22C ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭，设OB 与OC 的夹角为β()0πβ≤≤，则cos OB OC OB OC β⋅= 23342==,又0πβ≤≤，故OB 与OC 的夹角为π6，【小问2详解】由⊥ AC BC 得0AC BC ⋅= ，又()cos 4,sin AC αα=- ，()cos ,sin 4BC αα=- ，所以()()cos 4cos sin sin 40αααα-+-=，所以1sin cos 4αα+=，所以152sin cos 016αα-=<，又0πα<<，所以ππ2α<<,所以()21531sin cos 11616αα--=-=，所以sin cos 4αα-=.19.已知函数()()πsin 0,0,2f x A x A ωϕωϕ⎛⎫=+>><⎪⎝⎭，且()f x 图像的相邻两条对称轴之间的距离为π2，再从条件①､条件②､条件③中选择两个作为一组已知条件.（1）确定()f x 的解析式；（2）设函数()π24g x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，则是否存在实数m ，使得对于任意1π0,2x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，存在2π0,2x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，()()12m g x f x =-成立？若存在，求实数m 的取值范围：若不存在，请说明理由.条件①：()f x 的最小值为2-；条件②：()f x 图像的一个对称中心为5π,012⎛⎫ ⎪⎝⎭；条件③：()f x 的图像经过点5π,16⎛⎫- ⎪⎝⎭.注：如果选择多组条件分别解答，按第一个解答计分.【答案】（1）选①②，②③，①③答案都为()2sin(2)6f x x π=+，（2）存在m 满足条件，m 的取值范围为2,0⎤⎦.【解析】【分析】（1）先根据已知求出()f x 的最小正周期，即可求解ω，选条件①②：可得()f x 的最小值为A -，可求A ．根据对称中心可求ϕ，即可得解函数解析式；选条件①③：可得()f x 的最小值为A -，可求A ．根据函数()f x 的图象过点5π,16⎛⎫⎪⎝⎭，可求ϕ，可得函数解析式；选条件②③：根据对称中心可求ϕ，再根据函数()f x 的图象过点5π,16⎛⎫⎪⎝⎭，可求A 的值，即可得解函数解析式．（2）求出函数()f x ，()g x 在π0,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的值域，再结合恒成立、能成立列式求解作答.【小问1详解】由于函数()f x 图像上两相邻对称轴之间的距离为π2，所以()f x 的最小正周期π2π2T =⨯=，所以2π2T ω==，此时()()sin 2f x A x ϕ=+.选条件①②：因为()f x 的最小值为A -，所以2A =．因为()f x 图象的一个对称中心为5π,012⎛⎫⎪⎝⎭，所以5π2π(Z)12k k ϕ⨯+=∈，所以56k ϕπ=π-，()k ∈Z ，因为||2ϕπ<，所以π6ϕ=，此时1k =，所以()2sin(2)6f x x π=+．选条件①③：因为()f x 的最小值为A -，所以2A =．因为函数()f x 的图象过点5π,16⎛⎫-⎪⎝⎭，则5π()16f =-，所以5π2sin()13ϕ+=-，即5π1sin()32ϕ+=-．因为||2ϕπ<，所以7π5π13π636ϕ<+<，所以5π11π36ϕ+=，所以π6ϕ=，所以()2sin(2)6f x x π=+．选条件②③：因为函数()f x 的一个对称中心为5π,012⎛⎫⎪⎝⎭，所以5π2π(Z)12k k ϕ⨯+=∈，所以5ππ(Z)6k k ϕ=-∈．因为||2ϕπ<，所以π6ϕ=，此时1k =．所以π()sin(26f x A x =+．因为函数()f x 的图象过点5π,16⎛⎫-⎪⎝⎭，所以5π(16f =-，所以5ππsin 136A ⎛⎫+=-⎪⎝⎭，11πsin 16A =-，所以2A =，所以()2sin(2)6f x x π=+．综上，不论选哪两个条件，()2sin(2)6f x x π=+.【小问2详解】由（1）知，()2sin(2)6f x x π=+，由20,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦得：2ππ7π2,666x ⎡⎤+∈⎢⎥⎣⎦，2π1sin 2,162x ⎛⎫⎡⎤+∈- ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦，因此[]2()1,2f x ∈-，由10,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦得：1ππ5π2,444x ⎡⎤+∈⎢⎥⎣⎦，1πsin 2,142x ⎡⎤⎛⎫+∈-⎢⎥ ⎪⎝⎭⎣⎦，因此1()g x ⎡∈-⎣，从而1()1,g x m m m ⎡-∈---+⎣，由()()12m g x f x =-得：()()21f x g x m =-，假定存在实数m ，使得对1π0,2x ⎡⎤∀∈⎢⎥⎣⎦，2π0,2x ⎡⎤∃∈⎢⎥⎣⎦，()()12m g x f x =-成立，即存在实数m ，使得对1π0,2x ⎡⎤∀∈⎢⎥⎣⎦，2π0,2x ⎡⎤∃∈⎢⎥⎣⎦，()()21f x g x m =-成立，则[]1,1,2m m ⎡---+⊆-⎣，于是得112m m --≥-⎧⎪⎨-+≤⎪⎩，解得20m -≤≤，因此存在实数m ，使得对1π0,2x ⎡⎤∀∈⎢⎥⎣⎦，2π0,2x ⎡⎤∃∈⎢⎥⎣⎦，()()12m g x f x =-成立，所以实数m的取值范围是2,0⎤⎦.20.对于定义在R 上的函数()f x 和正实数T 若对任意x ∈R ，有()()f x T f x T +-=，则()f x 为T -阶梯函数.（1）分别判断下列函数是否为1-阶梯函数（直接写出结论）：①()2f x x =；②()1f x x =+.（2）若()sin f x x x =+为T -阶梯函数，求T 的所有可能取值；（3）已知()f x 为T -阶梯函数，满足：()f x 在,2T T ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递减，且对任意x ∈R ，有()()2f T x f x T x --=-.若函数()()F x f x ax b =--有无穷多个零点，记其中正的零点从小到大依次为123,,,x x x ⋅⋅⋅；若1a =时，证明：存在b ∈R ，使得()F x 在[]0,2023T 上有4046个零点，且213240464045x x x x x x -=-=⋅⋅⋅=-.【答案】（1）①否；②是（2）2πT k =，*k ∈N （3）证明见解析【解析】【分析】（1）利用T -阶梯函数的定义进行检验即可判断；（2）利用T -阶梯函数的定义，结合正弦函数的性质即可得解；（3）根据题意得到()()F x T F x +=，()()F T x F x -=，从而取3344TT b f ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，结合零点存在定理可知()F x 在(),1mT m T +⎡⎤⎣⎦上有且仅有两个零点：4T mT +，34T mT +，从而得解.【小问1详解】()2f x x =，则22(1)()(1)211f x f x x x x +-=+-=+≠；()1f x x =+，则(1)()11f x f x x x +-=+-=，故①否；②是.【小问2详解】因为()f x 为T -阶梯函数，所以对任意x ∈R 有：()()()()()sin sin sin sin f x T f x x T x T x x x T x T T +-=+++-+=+-+=⎡⎤⎣⎦.所以对任意x ∈R ，()sin sin x T x +=，因为sin y x =是最小正周期为2π的周期函数，又因为0T >，所以2πT k =，*k ∈N .【小问3详解】因为1a =，所以函数()()F x f x x b =--，则()()()()()()()F x T f x T x T b f x T x T b f x x b F x +=+-+-=+-+-=--=，()()()()()()()2F T x f T x T x b f x T x T x b f x x b F x -=----=+----=--=.取3344TT b f ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，则有3330444TT T F f b ⎛⎫⎛⎫=--= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，30444T T T F F T F ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-== ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，由于()f x 在,2T T ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递减，因此()()F x f x x b =--在,2T T ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递减，结合()()F T x F x -=，则有()F x 在0,2T ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上有唯一零点4T ，在,2T T ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上有唯一零点34T .又由于()()F x T F x +=，则对任意k ∈Ζ，有044T T F kT F ⎛⎫⎛⎫+== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，33044T T F kT F ⎛⎫⎛⎫+== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，因此，对任意m ∈Z ，()F x 在(),1mT m T +⎡⎤⎣⎦上有且仅有两个零点：4T mT +，34T mT +.综上所述，存在3344TT b f ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，使得()F x 在[]0,2023T 上有4046个零点，且14T x =，234T x =，354T x =，474T x =，L ，404580894T x =，404680914T x =，其中，2132404640452T x x x x x x -=-=⋅⋅⋅=-=.【点睛】关键点睛：本题解决的关键是充分理解新定义T -阶梯函数，从而在第3小问推得()()F x T F x +=，()()F T x F x -=，由此得解.。
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（▲）
A．
g
x
sin
4
x
6
B．
g
x
sin
4x
3
C． gx sin 2x
6
D． gx sin 2x
4．已知数列{an} 满足 a1 1, an1 an 2(n N*) ，则
A． an 2n1
B． an 2n 1
C． Sn 2n1
5．已知 cos cos 1 ,sin sin 1 ，则 cos
sin C
sin B
则 m 的值为
（▲）
A． 5 5
B． 2 5 5
C． 3 3
D． 2 3 3
二、填空题（本大题共 7 小题，多空题每题 6 分，单空题每题 4 分，共 36 分）
11．在 ABC 中，角 A，B，C 的对边分别为 a, b, c ，若 a 4, c 2 ， B 60 ，
则b
19. （本小题满分 15 分）在 ABC 中，角 A，B，C 的对边分别为 a, b, c ，已知 a 3 ， 且 b2 c2 3 bc ． （I）求角 A 的大小； （II）求 b sin C 的最大值．
2
20．（本小题满分 15 分）已知 Sn 为等差数列{an}的前 n 项和， a4 2, S21 252 . （I）求 an ； （II）设 Tn a1 a2 an ，求 Tn .
2
3
D． Sn n2
（▲） （▲）
A． 59 72
59
B．
72
13
C．
36
D． 13 36
6．已知 ABC 中，角 A，B，C 的对边分别为 a, b, c ，若满足 b 2, B 60 的三角形有
两解，则边长 a 的取值范围是
（▲）
A． 2 a 2 3
B． 2 a 4 3 3
C． 3 a 2 2
零点，则 a5
▲
， b10
▲．
15．在各项均为正数的等比数列{an}中，若 log2 a2a3a5a7a8 5 ，则 a1a9
▲.
16．若一个三角形的三边为连续自然数，且最大角是最小角的两倍，则此三角形的面积
为▲．
17．在 ABC 中，角 A，B，C 的对边分别为 a, b, c ，设 ABC 的面积为 S ，
21.
（本小题满分
15
分）如图，在
ABC
中，B
3
，BC
2
，点
D
在边
AB
上，AD
DC
，
DE AC ， E 为垂足．
（I）若 BCD 的面积为 3 ，求 CD 的长； 3
第 21 题
（II）若 DE 6 ，求角 A 的大小． 2
第 21 题
22. （本小题满分 15 分）已知数列 an 的前 n 项和为 Sn ， a1 4 且 an Sn 4 ．其中 为
若 3a2
2b 2
c2
，则
b2
S 2c2
的最大值为
▲
．
三、解答题（本大题共 5 小题，共 74 分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
18．（本小题满分 14 分）已知函数 f x 3 cos 2x 2sin x cos x ．
3
（I）求 f x 的最小正周期； （II）求 f x 在 0, 上单调递增区间．
常数．
（I）求 的值及数列an 的通项公式；
（II）记 bn
1 log2 an
1 log 2 an1
，数列bn 的前 n 项和为 Tn ，若不等式
1n12n 5Tn
k
n 2n1 n2
0 对任意 n N * 恒成立，求实数 k
的取值范围．
3
（▲）
A． 2
B． 2
1
C．
2
D． 1 2
2．已知等比数列an 的各项均为正，5a3, a2 ,3a4 成等差数列，则数列an 的公比是（ ▲ ）
1
A．
2
B． 2
1
C．
3
D． 2
3. 函数 f x sinx 0的最小正周期为 ，若将函数 f x 的图象向右平移
3
6
个单位，得到函数 gx 的图象，则 gx 的解析式为
杭州学军中学 2018 学年第二学期期中考试
高一数学试卷
命题人：尉贵生
审题人：李丽丽
一、选择题（本大题共 10 小题，每小题 4 分 ，共 40 分．在每小题给出的四个选项中，
只有一项是符合题目要求的）
1．在平面直角坐标系中，角 以 x 轴非负半轴为始边，终边在射线 y 2xx 0上，则
tan 的值是
C．
1 2
,1
D．
1 3
,
1 2
1
9．在 ABC 内有任意三点不共线的 2016 个点，加上 A，B，C 三个顶点，共 2019 个点，
把这 2019 个点连线形成互不重叠的小三角形，则一共可以形成小三角形的个数为（ ▲ ）
A．4033
B．4031
C．4029
D．4027
10．已知 O 为锐角 ABC 的外接圆的圆心，tan A 2 ，若 cos B AB cos C AC 2mAO ，
7．已知
sin
3
1 3
，则
sin
6
2
D． 1 a 2 2
（▲）
A． 7 9
7
B．
9
C． 7 9
D． 2 9
8．已知数列an 满足 an
1 3
a
n
2, n
8
，若对于任意
n
N
都有 an
an1
，
an7 , n 8
则实数 a 的取值范围是
（▲）
A．
0,
1 3
B．
0,
1 2
▲
，C
▲
．
12．记 Sn 为等差数列an 的前 n 项和，公差为 d ，若 a4 a5 24 ， S6 48 ．
则d
▲
， Sn
▲
．
13．已知 0
2
， tan
4 3
， cos(
)
2 10
．
则 sin = ▲ ， cos = ▲ ．
14．已知数列{an}，{bn} 满足 a1 1，且 an ， an1 是函数 f (x) x 2 bn x 2n 的两个