山东省潍坊市2019届高三上学期期末测试数学(理科)试卷含答案
本道题化简式子,计算出 ,结合
,即可.
【详解】
3
,得到sin伪 = 3 ,所以
,故选 C. 【点睛】本道题考查了二倍角公式,难度较小.
4.双曲线 ：
，当变化时，以下说法正确的是（ ）
A. 焦点坐标不变 B. 顶点坐标不变 C. 渐近线不变 D. 离心率不变
【答案】C
【解析】
【分析】
本道题结合双曲线的基本性质，即可。
，所以斜率为
，故选 A。
【点睛】本道题考查了抛物线的基本性质，难度中等。
11.由国家公安部提出，国家质量监督检验检疫总局发布的《车辆驾驶人员血液、呼气酒精含量阀 值与检验标准（GB/T19522-2010）》于 2011 年 7 月 1 日正式实施.车辆驾驶人员酒饮后或者醉酒后 驾车血液中的酒精含量阀值见表.经过反复试验，一般情况下，某人喝一瓶啤酒后酒精在人体血液
所以2an = Sn + 2，
当n = 1时，2a1 = a1 + 2，所以a1 = 2，
当 时，Sn = 2an - 2，
，
两式相减得
，
所以
，
所以数列{an}是首项为 ，公比为2的等比数列，
所以an = 2n.
（2）
所以
，
11
=
2(
n
-
n
+
1)，
所以
. 【点睛】本道题考查了等比数列通项计算方法以及裂项相消法,难度中等.
中的变化规律的“散点图”见图，且图表示的函数模型 一瓶啤酒后至少经过多长时间才可以驾车（时间以整小时计算）？（参考数据：
）
，则该人喝 ，
驾驶行为类型
阀值
饮酒后驾车 醉酒后驾车
车辆驾车人员血液酒精含量阀值
， < 80
喝 1 瓶啤酒的情况 A. 5 B. 6 C. 7 D. 8 【答案】B 【解析】 【分析】 本道题结合题意,建立不等式,即可. 【详解】当酒精含量低于 20 时才可以开车,故结合分段函数建立不等式,
【解析】
【分析】
（1）结合椭圆性质，得到椭圆方程，联解直线与椭圆方程，结合 面积，即可。（2）设出直线 l 的方程，代入椭圆方程，利用 计算最值，即可。
2a
【详解】解：（1）依题意，因2c
=
2
1 ，又c = 3，得a = 3
2，b2 = 9
，计算 ，建立关于 k，m 的式子，
所以椭圆C的方程为
，
设A(x1,y1)、B(x2,y2)，当k = 1时，直线：y = x - 3
1
1
A. 15 B. 10 C.
D.
【答案】C
【解析】
【分析】
令 B 为 1，结合古典概型计算公式，得到概率值，即可。
【详解】A,B 只能有一个可能为 1，题目求最大，令 B 为 1，则总数有 30 个，1 号有 10 个，则概率
为 ，故选 C。 【点睛】本道题考查了古典概型计算公式，难度较小。
10.已知抛物线 斜率为（ ）
的焦点为 ， 为抛物线上一点，
，当
周长最小时， 所在直线的
A.
B.
【答案】A
【解析】
【分析】
C.
D.
本道题绘图发现三角形周长最小时 A,P 位于同一水平线上，计算点 P 的坐标，计算斜率，即可。 【详解】结合题意，绘制图像
要计算三角形 PAF 周长最小值，即计算 PA+PF 最小值，结合抛物线性质可知，PF=PN，所以 ，故当点 P 运动到 M 点处，三角形周长最小，故此时 M 的坐标为
高三理科数学
一、选择题：本大题共 12 个小题,每小题 5 分,共 60 分.在每小题给出的四个选项中， 只有一项是符合题目要求的.
1.已知集合
，
，则
A.
B.
C.
D. [1,2]
【答案】D
【解析】
【分析】
本道题计算集合 A 的范围,结合集合交集运算性质,即可.
【详解】
,所以
【点睛】本道题考查了集合交集运算性质,难度较小.
17.已知数列 的前n项和为 ，且 ， ， 成等差数列. （1）求数列{an}的通项公式；
（2）数列 满足
【答案】（1）
2n
（2）n + 1
【解析】
【分析】
1
，求数列的{bn}前n项和 .
(1)利用
,计算通项,即可.(2)将数列{an}通项代入,利用裂项相消法,即可.
【详解】解：（1）因为2，an， 成等差数列，
【详解】1 号得到:
.令 ,t > 0代入原式,得到
或
,解得两个方程各有一个根,故正确;2 号建立方程
,解得
x = 1,所以f(x)为偶函数,而
,
,故不
止一个实根,故错误.3 号
解得 x=2，0,-2.-4,…..而令t = 2x，故g(x)的范围
为
，因而
当
，
，而当
，一共有七个根，故正确。4 选项 ，根本就不存在这样的点，故错误。
18.如图，正方形 所在平面与等腰梯形
所在平面互相垂直，已知
，
，
.
（1）求证：平面
平面BDE；
（2）求平面ABF与平面BCE所成锐二面角的余弦值.
【答案】（1）见解析（2） 【解析】
【分析】
(1)分别证明 BD 垂直 DE 和 AD,结合直线与平面垂直判定,即可.(2)建立坐标系,分别计算两个平面 的法向量,结合向量数量积公式,即可.
23
【答案】(1, 3 ) 【解析】
【分析】
，则
的取值范围是
本道题结合余弦定理处理
,结合锐角这一条件,计算出角 A 的大小,化简
,计算范围,即可.
【详解】运用余弦定理,
,代入
,结合正弦定理,可得
,得到
所以 而
,而
,所以
,
,解得
,所以
,而
所以 【点睛】本道题考查了余弦定理和三角值化简,难度较大.
三、解答题 （本大题共 6 小题，共 70 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步 骤.）
整理得：m(2k2 + 1) = 3k，
2
，等号成立时k = - 2 .
32
2
故当截距m最小为 - 4 时，k = - 2 ，此时直线的方程为x + 2y - 3 = 0.
【点睛】本道题注意考查了直线与椭圆位置关系等综合性问题，难度较大。
20.某钢铁加工厂新生产一批钢管，为了了解这批产品的质量状况，检验员随机抽取了100件钢管 作为样本进行检测，将它们的内径尺寸作为质量指标值，由检测结果得如下频率分布表和频率分 布直方图：
14.二项式 【答案】 【解析】 【分析】
的展开式中， 的系数为__________．（用数字填写答案）
本道题利用二项式系数
,代入,计算,即可.
【详解】利用二项式系数公式
,故 的系数为
,所以为 【点睛】本道题考查了二项式系数公式,难度较小.
15.已知圆台的上、下底面都是球 的截面，若圆台的高为6，上、下底面的半径分别为 ，4，则球 O的表面积为__________．
6.某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（ ）
主视图
左视图
俯视图
A.
B.
【答案】C
40
C. 3
32
D. 5
【解析】
【分析】
结合三视图，还原直观图，计算体积，即可。
【详解】结合三视图，还原直观图，得到是一个四棱柱去掉了一个角，如图
该几何体体积
，故选 C.
【点睛】本道题考查了三视图还原直观图，难度较大。
设
，则DB = 3，可得
，
，
由CD = CB，
由此可得
，
设平面 的法向量为
，可得，
，
，
，
，则
，
可得
，
3
令z = 1，则x = 1，y = 3 ，所以
，
由（1）知，
，
，所以
是平面BDE的一个法向量.
.
21
所以所求锐二面角的余弦值为 7 .
【点睛】本道题考查了直线与平面垂直判定和二面角计算方法,难度中等.
D.
【答案】B
【解析】
【分析】
结合不等式，绘制可行域，平移目标函数，计算最值，即可。
【详解】结合不等式组，建立可行域，如图
图中围成的封闭三角形即为可行域，将
转化成
从虚线处平移，要计算 z 的最大值，
即可计算该直线截距最小值，当该直线平移到 A(-1,-1)点时候，z 最小，计算出
z=1,故选 B。
【点睛】本道题考查了线性规划计算最优解问题，难度中等。
【答案】
【解析】
【分析】
本道题结合半径这一条件，利用勾股定理，建立等式，计算半径，即可。
【详解】设球半径为 R，球心 O 到上表面距离为 x，则球心到下表面距离为 6-x,结合勾股定理，建
立等式
，解得 ，所以半径
因而表面积 【点睛】本道题考查了球表面积计算方法，难度中等。
16.锐角螖ABC的内角A，B，C的对边分别为，b，.若 __________．
【点睛】本道题考查了二次函数的性质和偶函数的性质，难度较大。
二、填空题（每题 5 分，满分 20 分，将答案填在答题纸上）
13.设向量
，
，若
，则实数 __________．
【答案】
【解析】
【分析】
结合向量垂直满足数量积为 0，计算的值，即可。
【详解】
因而
，则
【点睛】本道题考查了向量垂直的坐标表示，难度较小。
{x2 y2 + =1
2019秋高三数学上学期期末试题汇编：14.解三角形 1 Word版含解析
（山东省潍坊市2019届高三上学期期末测试数学（理科）试题）16.锐角的内角，，的对边分别为，，.若，则的取值范围是__________．【答案】【解析】【分析】本道题结合余弦定理处理,结合锐角这一条件,计算出角A的大小,化简,计算范围,即可.【详解】运用余弦定理,,代入,得到,结合正弦定理,可得所以,而,所以,而,解得,所以,而所以【点睛】本道题考查了余弦定理和三角值化简,难度较大.（湖北省2019届高三1月联考测试数学（理）试题）10.在中，角、、的对边分别是、、，若，则的最小值为（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】由题意利用正弦定理化简已知等式，利用同角三角函数间基本关系可求tan A＝3tan B，进而利用正弦定理，基本不等式化简所求即可求解．【详解】解：∵a cos B﹣b cos A，∴由正弦定理化简得：sin A cos B﹣sin B cos A sin C sin（A+B）sin A cos B cos A sin B，整理得：sin A cos B＝3cos A sin B，∴cos A cos B＞0，∴tan A＝3tan B；∴则222．∴可得的最小值为．故选：D．【点睛】本题主要考查了正弦定理，同角三角函数间基本关系，基本不等式在解三角形中的综合应用，考查了转化思想，属于中档题．（辽宁省实验中学、大连八中、大连二十四中、鞍山一中、东北育才学校2019届高三上学期期末考试数学（文）试题）9.在中，角所对的边分别是，已知，且，则的面积是（）A. B. C. 或 D. 或【答案】D【解析】【分析】先利用两角和与差的正弦公式、二倍角公式化简已知条件，并用正弦定理转为边的形式，然后用余弦定理列方程组，解方程组求得的长，由三角形面积公式求得三角形的面积.【详解】依题意有，即或.当时，由正弦定理得①，由余弦定理得②，解由①②组成的方程组得，所以三角形面积为.当时，，三角形为直角三角形，，故三角形面积为.综上所述，三角形的面积为或，故选D.【点睛】本小题主要考查两角和与差的正弦公式、二倍角公式，考查利用正弦定理和余弦定理解三角形，考查三角形的面积公式，考查了化归与转化的数学思想方法.在化简的过程中，要注意运算化简，当时，可能是或者，即解的情况有两种，不能直接两边约掉.【点睛】解三角形常利用正、余弦定理进行边角的统一．即将条件化为只含角的三角函数关系式，然后利用三角恒等变换得出内角之间的关系式；或将条件化为只含有边的关系式，然后利用常见的化简变形得出三边的关系．结论一般为特殊的三角形．如等边三角形、等腰三角形、直角三角形、等腰直角三角形等．另外，在变形过程中要注意A，B，C的范围对三角函数值的影响．【点睛】本小题主要考查正弦定理、余弦定理、面积公式等基础知识，考查运算求解能力，考查化归与转化思想、函数与方程思想等.【点睛】本小题主要考查正弦定理、余弦定理及三角恒等变换等基础知识，考查运算求解能力，考查化归与转化思想、函数与方程思想等，考查应用意识.（湖北省2019届高三1月联考测试数学（理）试题）15.《数书九章》中对已知三角形三边长求三角形的面积的求法填补了我国传统数学的一个空白，与著名的海伦公式完全等价，由此可以看出我国古代已具有很高的数学水平，其求法是：“以小斜幂并大斜幂减中斜幂，余半之，自乘于上，以小斜幂乘大斜幂减上，余四约之，为实.一为从隅，开平方得积.”若把以上这段文字写成公式，即.已知满足.且，则用以上给出的公式可求得的面积为____．【答案】【解析】【分析】由题意可得：c＝2a＝2，a，利用正弦定理化简已知等式可得a2+c2﹣b2＝ac，根据题意利用三角形的面积公式即可计算得解．【详解】解：∵AB＝2BC＝2，∴由题意可得：c＝2a＝2，a，∵（sin A﹣sin B）（sin A+sin B）＝sin A sin C﹣sin2C，∴由正弦定理可得：（a﹣b）（a+b）＝ac﹣c2，可得：a2+c2﹣b2＝ac，∴S ac．故答案为：．【点睛】本题主要考查了正弦定理在解三角形中的应用，考查了计算能力和转化思想，属于基础题．（江西省新余市2019届高三上学期期末考试数学（理）试题）10.在中，内角所对的边分别为，已知，的面积，且，则（）A. B. C. D.【答案】C【解析】因为，所以由余弦定理，得，即，再由正弦定理得，即，∵，∴，即，∵，∴，∴，∵，∴.∵，∴，∵，解得，∴，即，∴.故选C．（广西桂林、贺州、崇左三市2018届高三第二次联合调研考试数学（理）试题）16.已知的内角分别为,，，，且的内切圆面积为,则的最小值为__________．【答案】6【解析】又的内切圆面积为，则的内切圆半径，则的面积由余弦定理可得将代入整理得即解得（舍），即（当且仅当时取等号），故的最小值为6.即答案为6.（湖南省长沙市2019届高三上学期统一检测文科数学试题）16.中，内角，，所对的边分别为，，.已知，且，则面积的最大值是__________．【答案】【解析】【分析】由正弦定理将已知化简可得角B，再由余弦定理和基本不等式得ac的最大值，即可得到面积的最大值.【详解】由及正弦定理得，，即，又，于是可得，即，.在中，由余弦定理得，即，又因为，，由此可得，当且仅当时等号成立，面积，故面积最大值为.故答案为：【点睛】本题考查正弦定理，余弦定理和三角形面积公式的应用，考查利用基本不等式求最值问题，属于常考题型.（湖南省湘潭市2019届高三上学期第一次模拟检测数学（理）试题）14.的内角所对的边分别为，已知，，则的最小值为__________．【答案】【解析】【分析】先由正弦定理将化为，，可求出，再由余弦定理可得，即可的a的最小值.【详解】因为，所以，因为，所以，由余弦定理，得，即.【点睛】本题主要考查正弦定理和余弦定理的运用，结合基本不等式即可求三角形边的最值.（湖北省宜昌市2019届高三元月调研考试理科数学试题）9.已知锐角外接圆的半径为2，，则周长的最大值为（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】由正弦定理解得角C，再利用正弦定理得出a+b+c关于B的三角函数，从而得出周长的最大值．【详解】∵锐角外接圆的半径为2，，∴即，∴，又为锐角，∴，由正弦定理得，∴a＝4sin A，b＝4sin B，c＝∴a+b+c＝24sin B+4sin（B）＝6sin B+2cos B+24sin（B）+2，∴当B即B时，a+b+c取得最大值46．故选：B．【点睛】本题考查了三角恒等变换，正弦函数的图象与性质，正弦定理解三角形，属于中档题．（河北省张家口市2019届高三上学期期末考试数学（文）试题）16.在锐角中，，,在边上，并且，，则的面积为__________．【答案】【解析】【分析】在中，由正弦定理，可得到，在中，由正弦定理，可得到，由是锐角，可知，，结合三角形的面积公式可得到答案。
数学分类汇编(12)三角函数的化简与求值(含答案)
（山东省德州市2019届高三期末联考数学（理科）试题）8.第24届国际数学家大会会标是以我国古代数学家赵爽的弦图为基础设计的，会标是四个全等的直角三角形与一个小正方形拼成的一个大正方形，如果小正方形的面积为，大正方形的面积为，直角三角形中较小的锐角为，则（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】由图形可知三角形的直角边长度差为a，面积为6，列方程组求出直角边得出sinθ，代入所求即可得出答案．【详解】由题意可知小正方形的边长为a，大正方形边长为5a，直角三角形的面积为6，设直角三角形的直角边分别为x，y且x＜y，则由对称性可得y＝x+a，∴直角三角形的面积为S xy＝6，联立方程组可得x＝3a，y＝4a，∴sinθ，tanθ＝．∴===，故选：D．【点睛】本题考查了解直角三角形，三角恒等变换，属于基础题．（山东省潍坊市2019届高三上学期期末测试数学（理科）试题）3.若，则（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】本道题化简式子,计算出,结合,即可.【详解】,得到,所以,故选C.【点睛】本道题考查了二倍角公式,难度较小.（山东省烟台市2018届高三下学期高考诊断性测试数学（文）试题）14.已知,则_______【答案】【解析】原式化为，，所以，，填。
（江西省新余市2019届高三上学期期末考试数学（理）试题）15.已知，则______．【答案】【解析】【分析】根据同角的三角函数的关系和二倍角公式即可求出．【详解】解：，，，，，故答案为：．【点睛】本题考查同角的三角函数关系式和二倍角公式的应用，属于基础题．（湖南省长沙市2019届上学期高三统一检测理科数学试题）15.在平面直角坐标系中，角的顶点在原点，始边与轴的非负半轴重合，终边过点，则__________.【答案】【解析】【分析】结合终边过点坐标，计算出，结合二倍角公式和余弦两角和公式，即可。
【详解】，所以【点睛】本道题考查了二倍角公式与余弦的两角和公式，难度中等。
潍坊市2019届高三上学期期末数学理科试卷及答案解析
潍坊市2019届高三上学期期末数学理科试卷一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分.1．已知集合A＝{x|x2﹣2x﹣3≥0}，B＝{x|﹣2≤x≤2}，则A∩B＝（）A．[﹣2，﹣1]B．[﹣1，2]C．[﹣1，1]D．[1，2] 2．已知函数f（x）为奇函数，且当x＞0时，f（x）＝x2﹣，则f（﹣2）＝（）A．B．C．﹣D．﹣3．若cos（）＝﹣，则cos2α＝（）A．﹣B．﹣C．D．4．双曲线C：＝λ（λ≠0），当λ变化时，以下说法正确的是（）A．焦点坐标不变B．顶点坐标不变C．渐近线不变D．离心率不变5．若实数x，y满足，则z＝x﹣2y的最大值是（）A．2B．1C．﹣1D．﹣46．某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（）A．B．16C．D．7．若将函数y＝sin2x的图象向右平移个单位长度，则平移后所得图象对应函数的单调增区间是（）A．[﹣+kπ，+kπ]（k∈Z）B．[﹣+kπ，+kπ]（k∈Z）C．[+kπ，+kπ]（k∈Z）D．[+kπ，+kπ]（k∈Z）8．已知函数f（x）＝，则不等式|f（x）|≥1的解集为（）A．（﹣∞，]B．（﹣∞，0]∪[2，+∞）C．[0，]∪[2，+∞）D．（﹣∞，]∪[2，+∞）9．四色猜想是世界三大数学猜想之一，1976年被美国数学家阿佩尔与哈肯证明，称为四色定理其内容是：“任意一张平面地图只用四种颜色就能使具有共同边界的国家涂上不同的颜色”用数学语言表示为“将平面任意地细分为不相重叠的区域，每一个区域总可以用1，2，3，4四个数字之一标记，而不会使相邻的两个区域得到相同的数字”如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗实线围成的各区域上分别标有数字1，2，3，4的四色地图符合四色定理，区域A和区域B标记的数字丢失若在该四色地图上随机取一点，则恰好取在标记为1的区域的概率所有可能值中，最大的是（）A．B．C．D．10．已知抛物线y2＝4x的焦点为F，P为抛物线上一点，A（1，1），当△PAF周长最小时，PF所在直线的斜率为（）A．﹣B．﹣C．D．11．由国家公安部提出，国家质量监督检验检疫总局发布的《车辆驾驶人员血液、呼气酒精含量阀值与检验标准（GB/T19522﹣2010）》于2011年7月1日正式实施．车辆驾驶人员饮酒后或者醉酒后驾车血液中的酒精含量阀值见表1．经过反复试验，一般情况下，某人喝一瓶啤酒后酒精在人体血液中的变化规律的“散点图”见图1，且图1表示的函数模型f（x）＝，则该人喝一瓶啤酒后至少经过多长时间才可以驾车（时间以整小时计算）？（参考数据：ln15≈2.71，ln30≈3.40）（）驾驶行为类别阀值（mg/100mL）饮酒后驾车≥20，＜80醉酒后驾车≥80表1车辆驾驶人员血液酒精含量阀值A．5B．6C．7D．812．已知偶函数f（x）的定义域为R，且满足f（x+2）＝f（﹣x），当x∈[0，1]时f（x）＝x，g （x）＝4x﹣2x﹣2．①方程|g（x）|＝1有2个不等实根；②方程g（f（x）＝0只有1个实根；③当x∈（﹣∞，2]时，方程f（g（x）＝0有7个不等实根；④存在x0∈[0，1]使g（﹣x0）＝﹣g（x0）正确的序号是（）A．①②B．①③C．①④D．②④二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分13．设向量＝（3，2），＝（1，﹣1），若（+）⊥，则实数λ＝．14．二项式（x2+）5的展开式中，x7的系数为（用数字填写答案）15．已知圆台的上、下底面都是球O的截面，若圆台的高为6，上、下底面的半径分别为2，4，则球O的表面积为．16．锐角△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若a2﹣c2＝bc，则﹣的取值范围是．三、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答第2223题为选考题，考生根据要求作答（一）必考题：共60分17．（12分）已知数列{a n}的前n项和为S n，且2，a n，S n成等差数列．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）数列{b n}满足b n＝log2a1+log2a2+…+log2a n，求数列{}的前n项和T n．18．（12分）如图，正方形CDEF所在平面与等腰梯形ABCD所在平面互相垂直，已知AB∥CD，AB＝2AD，∠BAD＝60°．（1）求证：平面ADE⊥平面BDE；（2）求平面ABF与平面BDE所成锐二面角的余弦值．19．（12分）已知椭圆C：＝1（a＞b＞0）的左、右焦点分别为F1，F2，椭圆C的长轴长与焦距之比为：1，过F2（3，0）的直线l与C交于A，B两点．（1）当l的斜率为1时，求△F1AB的面积；（2）当线段AB的垂直平分线在y轴上的截距最小时，求直线l的方程．20．（12分）某钢铁加工厂新生产一批钢管，为了了解这批产品的质量状况，检验员随机抽取了100件钢管作为样本进行检测，将它们的内径尺寸作为质量指标值，由检测结果得如下频率分布表和频率分布直方图：分组频数频率25.05～25.1520.0225.15～25.2525.25～25.351825.35～25.4525.45～25.5525.55～25.65100.125.65～25.7530.03合计1001（1）求a，b；（2）根据质量标准规定钢管内径尺寸大于等于25.75或小于25.15为不合格，钢管内径尺寸在[25.15，25.35）或[25.45，25.75）为合格，钢管内径尺寸在[25.35，25.45）为优等．钢管的检测费用为2元/根，把样本的频率分布作为这批钢管的概率分布．（i）若从这批钢管中随机抽取3根，求内径尺寸为优等钢管根数X的分布列和数学期望；（ii）已知这批钢管共有m（m＞100）根，若有两种销售方案：第一种方案：不再对该批剩余钢管进行检测，扣除100根样品中的不合格钢管后，其余所有钢管均以50元/根售出；第二种方案：对该批剩余钢管进行一一检测，不合格钢管不销售，并且每根不合格钢管损失20元，合格等级的钢管50元/根，优等钢管60元/根．请你为该企业选择最好的销售方案，并说明理由．21．（12分）已知f（x）＝a sin x（a∈R），g（x）＝e x．（1）若0＜a≤1，判断函数G（x）＝f（1﹣x）+lnx在（0，1）的单调性；（2）证明：sin+sin+sin+…+sin＜ln2，（n∈N+）；（3）设F（x）＝g（x）﹣mx2﹣2（x+1）+k（k∈Z），对∀x＞0，m＜0，有F（x）＞0恒成立，求k的最小值．[选修4-4：坐标系与参数方程]22．（10分）已知在平面直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为（α为参数），以x轴的非负半轴为极轴，原点O为极点建立极坐标系，两种坐标系中取相同的长度单位，若直线θ＝和θ＝（ρ∈R）分别与曲线C相交于A、B两点（A，B两点异于坐标原点）．（1）求曲线C的普通方程与A、B两点的极坐标；（2）求直线AB的极坐标方程及△ABO的面积．[选修4-5：不等式选讲]23．设函数f（x）＝|x﹣a|+|x+|（a＞0）．（1）证明f（x）≥4；（2）若不等式f（x）﹣|x+|≥4x的解集为{x|x≤2}，求实数a的值．2018-2019学年山东省潍坊市高三（上）期末数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1．已知集合A＝{x|x2﹣2x﹣3≥0}，B＝{x|﹣2≤x≤2}，则A∩B＝（）A．[﹣2，﹣1]B．[﹣1，2]C．[﹣1，1]D．[1，2]【分析】求出A中不等式的解集确定出A，找出A与B的交集即可．【解答】解：由A中不等式变形得：（x﹣3）（x+1）≥0，解得：x≤﹣1或x≥3，即A＝（﹣∞，﹣1]∪[3，+∞），∵B＝[﹣2，2]，∴A∩B＝[﹣2，﹣1]，故选：A．【点评】此题考查了交集及其运算，熟练掌握交集的定义是解本题的关键．2．已知函数f（x）为奇函数，且当x＞0时，f（x）＝x2﹣，则f（﹣2）＝（）A．B．C．﹣D．﹣【分析】根据题意，由函数的解析式可得f（﹣2）的值，结合函数的奇偶性可得f（2）＝﹣f（﹣2），即可得答案．【解答】解：根据题意，当x＞0时，f（x）＝x2﹣，则f（﹣2）＝4﹣＝，又由函数f（x）为奇函数，则f（2）＝﹣f（﹣2）＝﹣；故选：C．【点评】本题考查函数的奇偶性的性质以及应用，注意利用奇4﹣函数的性质进行分析．3．若cos（）＝﹣，则cos2α＝（）A．﹣B．﹣C．D．【分析】由题意利用诱导公式求得sinα的值，再利用二倍角公式求得要求式子的值．【解答】解：∵cos（）＝﹣sinα＝﹣，∴sinα＝，则cos2α＝1﹣2sin2α＝1﹣2×＝，故选：C．【点评】本题主要考查利用诱导公式、二倍角公式进行化简三角函数式，属于基础题．4．双曲线C：＝λ（λ≠0），当λ变化时，以下说法正确的是（）A．焦点坐标不变B．顶点坐标不变C．渐近线不变D．离心率不变【分析】判断双曲线的焦点坐标，顶点坐标以及离心率，再求解渐近线方程，即可得到结果．【解答】解：当λ＞0时，双曲线的焦点坐标以及顶点坐标在x轴上，离心率也随实轴的变而变化，只有渐近线方程为：y＝±x不变．故选：C．【点评】本题考查双曲线的简单性质的应用，是基本知识的考查．5．若实数x，y满足，则z＝x﹣2y的最大值是（）A．2B．1C．﹣1D．﹣4【分析】作出不等式组对应的平面区域，利用z的几何意义，利用数形结合即可得到结论．【解答】解：作出实数x，y满足对应的平面区域如图：由z＝x﹣2y得y＝x﹣z，平移直线y＝x﹣z，由图象可知当直线y＝x﹣z，经过点A时，直线y＝x﹣z，的截距最小，此时z最大，由，解得A（﹣1，﹣1），z＝1．故选：B．【点评】本题主要考查线性规划的应用，利用z的几何意义，通过数形结合是解决本题的关键．6．某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（）A．B．16C．D．【分析】根据三视图知该几何体是长方体去掉一个三棱锥，结合题意画出图形，由图中数据计算该几何体的体积．【解答】解：根据三视图知该几何体是长方体去掉一个三棱锥，如图所示；则该几何体的体积为4×2×2﹣××2×2×4＝．故选：C．【点评】本题考查了利用三视图求几何体体积的应用问题，是基础题．7．若将函数y＝sin2x的图象向右平移个单位长度，则平移后所得图象对应函数的单调增区间是（）A．[﹣+kπ，+kπ]（k∈Z）B．[﹣+kπ，+kπ]（k∈Z）C．[+kπ，+kπ]（k∈Z）D．[+kπ，+kπ]（k∈Z）【分析】根据函数y＝A sin（ωx+φ）的图象变换规律，正弦函数的单调性，求得平移后所得图象对应函数的单调增区间．【解答】解：将函数y＝sin2x的图象向右平移个单位长度，可得y＝sin（2x﹣）的图象．令2kπ﹣≤2x﹣≤2kπ+，求得kπ﹣≤x≤kπ+，可得平移后所得图象对应函数的单调增区间为[﹣+kπ，+kπ]（k∈Z），故选：A．【点评】本题主要考查函数y＝A sin（ωx+φ）的图象变换规律，正弦函数的单调性，属于基础题．8．已知函数f（x）＝，则不等式|f（x）|≥1的解集为（）A．（﹣∞，]B．（﹣∞，0]∪[2，+∞）C．[0，]∪[2，+∞）D．（﹣∞，]∪[2，+∞）【分析】去掉绝对值，解各个区间上的x的范围，取并集即可．【解答】解：|f（x）|≥1，即f（x）≥1或f（x）≤﹣1，由≥1，解得：x≤0，由log2x≥1，解得：x≥2，由≤﹣1，无解，由log2x≤﹣1，解得：0＜x≤，故不等式的解集是（﹣∞，]∪[2，+∞），故选：D．【点评】本题考查了解绝对值不等式问题，考查分类讨论思想，转化思想，考查指数函数以及对数函数的性质，是一道常规题．9．四色猜想是世界三大数学猜想之一，1976年被美国数学家阿佩尔与哈肯证明，称为四色定理其内容是：“任意一张平面地图只用四种颜色就能使具有共同边界的国家涂上不同的颜色”用数学语言表示为“将平面任意地细分为不相重叠的区域，每一个区域总可以用1，2，3，4四个数字之一标记，而不会使相邻的两个区域得到相同的数字”如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗实线围成的各区域上分别标有数字1，2，3，4的四色地图符合四色定理，区域A和区域B标记的数字丢失若在该四色地图上随机取一点，则恰好取在标记为1的区域的概率所有可能值中，最大的是（）A．B．C．D．【分析】当区域A标记的数字是2，区域B标记的数字是1时，恰好取在标记为1的区域的概率所有可能值最大．【解答】解：当区域A标记的数字是2，区域B标记的数字是1时，恰好取在标记为1的区域的概率所有可能值最大，此时所在的小方格个数n＝5×6＝30，标记为1的区域中小方格的个数m＝10，∴恰好取在标记为1的区域的概率所有可能值中，最大的是P＝．故选：C．【点评】本题考查概率的求法，考查古典概型等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．10．已知抛物线y2＝4x的焦点为F，P为抛物线上一点，A（1，1），当△PAF周长最小时，PF所在直线的斜率为（）A．﹣B．﹣C．D．【分析】求△PAF周长的最小值，即求|PA|+|PF|的最小值．设点P在准线上的射影为D，则根据抛物线的定义，可知|PF|＝|PD|．因此问题转化为求|PA|+|PD|的最小值，根据平面几何知识，当D、P、A三点共线时|PA|+|PD|最小，由此即可求出P的坐标，然后求解PF所在直线的斜率．【解答】解：求△PAF周长的最小值，即求|PA|+|PF|的最小值，设点P在准线上的射影为D，根据抛物线的定义，可知|PF|＝|PD|因此，|PA|+|PF|的最小值，即|PA|+|PD|的最小值根据平面几何知识，可得当D，P，A三点共线时|PA|+|PD|最小，因此的最小值为x A﹣（﹣1）＝1+1＝2，∵|AF|＝1，此时P（，1），F（1，0）PF所在直线的斜率为：＝﹣故选：A．【点评】考查抛物线的定义、标准方程，以及简单性质的应用，判断当D，P，A三点共线时|PA|+|PD|最小，是解题的关键．11．由国家公安部提出，国家质量监督检验检疫总局发布的《车辆驾驶人员血液、呼气酒精含量阀值与检验标准（GB/T19522﹣2010）》于2011年7月1日正式实施．车辆驾驶人员饮酒后或者醉酒后驾车血液中的酒精含量阀值见表1．经过反复试验，一般情况下，某人喝一瓶啤酒后酒精在人体血液中的变化规律的“散点图”见图1，且图1表示的函数模型f（x）＝，则该人喝一瓶啤酒后至少经过多长时间才可以驾车（时间以整小时计算）？（参考数据：ln15≈2.71，ln30≈3.40）（）驾驶行为类别阀值（mg/100mL）饮酒后驾车≥20，＜80醉酒后驾车≥80表1车辆驾驶人员血液酒精含量阀值A．5B．6C．7D．8【分析】由图知车辆驾驶人员血液中的酒精小于20毫克/百毫升时可以驾车，此时x＞2；令90•e﹣0.5x+14＜20，解得x的取值范围，结合题意求得结果．【解答】解：由图知0≤x＜2时，函数f（x）取得最大值，此时f（x）＝40sin（x）+13，x≥2时，函数f（x）＝90•e﹣0.5x+14；当车辆驾驶人员血液中的酒精小于20毫克/百毫升时可以驾车，此时x＞2；由90•e﹣0.5x+14＜20，得e﹣0.5x＜，两边取自然对数，得lne﹣0.5x＜ln，即﹣0.5x＜﹣ln15，解得x＞≈＝5.42，所以喝啤酒后需6个小时后才可以合法驾车．注：如果根据图象可猜出6个小时．故选：B．【点评】本题考查了散点图的应用问题，也考查了分段函数与不等式的应用问题，是中档题．12．已知偶函数f（x）的定义域为R，且满足f（x+2）＝f（﹣x），当x∈[0，1]时f（x）＝x，g （x）＝4x﹣2x﹣2．①方程|g（x）|＝1有2个不等实根；②方程g（f（x）＝0只有1个实根；③当x∈（﹣∞，2]时，方程f（g（x）＝0有7个不等实根；④存在x0∈[0，1]使g（﹣x0）＝﹣g（x0）正确的序号是（）A．①②B．①③C．①④D．②④【分析】由g（x）＝1，g（x）＝﹣1解方程可判断①；设t＝f（x），g（t）＝0，结合f（x）的周期性可判断②；设m＝g（x），则f（m）＝0，可得m为偶数，再由g（x）的值域，可判断③；由g（﹣x0）＝﹣g（x0），结合二次函数和指数函数的单调性，可判断④．【解答】解：对于①，g（x）＝4x﹣2x﹣2，由g（x）＝1可得2x＝或2x＝（舍去），即x＝log2；由g（x）＝﹣1可得2x＝或2x＝（舍去），故①正确；对于②，方程g（f（x）＝0，设t＝f（x），即g（t）＝0，解得t＝1，即f（x）＝1，由f（x+2）＝f（﹣x）＝f（x），可得f（x）为周期为2的函数，f（x）＝1的根为x＝2k﹣1，k∈Z，故②错误；对于③，当x∈（﹣∞，2]时，方程f（g（x）＝0，可设m＝g（x），则f（m）＝0，可得m＝2k，k∈Z，由g（x）在x≤2的值域为[﹣，10]，可得m＝﹣2，0，2，4，6，8，10，有7个不等实根，故③正确；对于④由g（﹣x0）＝﹣g（x0），即4x0﹣2x0﹣2+4﹣x0﹣2﹣x0﹣2＝0，可设t＝2x0+2﹣x0，则t2﹣t﹣4＝0，解得t＝+，由2x0+2﹣x0＝+，即4x0﹣（+）2x0+1＝0，由△＝（+）2﹣4＝+，可得2x0＝＞2，即x0＞1，故④错误．故选：B．【点评】本题考查函数的性质和运用，主要是周期性和值域的求法，考查方程思想和运算能力，属于中档题．二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分13．设向量＝（3，2），＝（1，﹣1），若（+）⊥，则实数λ＝﹣13．【分析】可求出，根据即可得出，进行数量积的坐标运算即可求出λ的值．【解答】解：；∵；∴；解得λ＝﹣13．故答案为：﹣13．【点评】考查向量垂直的充要条件，向量加法、数乘和数量积的坐标运算．14．二项式（x2+）5的展开式中，x7的系数为10（用数字填写答案）【分析】在二项展开式的通项公式中，令x的幂指数等于7，求出r的值，即可求得x7的系数．【解答】解：二项式（x2+）5的展开式中通项公式为T r+1＝•，令10﹣＝7，求得r＝2，故x7的系数为＝10，故答案为：10．【点评】本题主要考查二项式定理的应用，二项展开式的通项公式，二项式系数的性质，属于基础题．15．已知圆台的上、下底面都是球O的截面，若圆台的高为6，上、下底面的半径分别为2，4，则球O的表面积为80π．【分析】在轴截面等腰梯形中计算出sin A与BD，然后利用正弦定理计算出△ABD的外接圆半径，即为球O的半径，再利用球体的表面积公式可得出球O的表面积．【解答】解：如下图所示，设圆台的一个轴截面为等腰梯形ABCD，则AB＝8，CD＝4，过点C、D分别作CE⊥AB、DF⊥AB，垂足分别为点E、F，则，且CE＝DF＝6，所以，，在Rt△ADF中，，，设球O的半径为R，则2R为△ABD外接圆的直径，由正弦定理可得，，因此，球O的表面积为．故答案为：80π．【点评】本题考查球体的表面积的计算，解决本题的关键在于计算球体的半径长，考查计算能力与转化能力，属于中等题．16．锐角△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若a2﹣c2＝bc，则﹣的取值范围是（1，）．【分析】由已知及余弦定理可得b＝c（1+2cos A），从而可求＝，由A的范围，利用正弦函数的图象和性质可求sin A的范围，化简所求即可得解．【解答】解：∵△ABC中，a2＝c2+bc，又∵由余弦定理可得：a2＝b2+c2﹣2bc cos A，∴c2+bc＝b2+c2﹣2bc cos A，整理可得：b＝c（1+2cos A），①∴a2＝c2+c2（1+2cos A）＝c2（2+2cos A），∴＝＞0，∴由①利用正弦定理可得：sin B＝sin C+2sin C cos A＝sin C cos A+sin A cos C，可得：sin（A﹣C）＝sin C，∴可得：A﹣C＝C，或A﹣C+C＝π（舍去），∴A＝2C，又∵A+B+C＝π，A，B，C均为锐角，由于：3C+B＝π，0＜2C＜，0＜C＜，0＜3C＜，∴可得：＜B＜，可得：＜C＜，∵在锐角△ABC中，A∈（，），sin A∈（，1），∴∈（1，），∴﹣＝＝＝＝＝∈（1，）．故答案为：（1，）．【点评】此题考查了正弦定理，余弦定理，正弦函数的图象和性质在解三角形中的应用，熟练掌握定理是解本题的关键，考查了计算能力和转化思想，属于中档题．三、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答第2223题为选考题，考生根据要求作答（一）必考题：共60分17．（12分）已知数列{a n}的前n项和为S n，且2，a n，S n成等差数列．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）数列{b n}满足b n＝log2a1+log2a2+…+log2a n，求数列{}的前n项和T n．【分析】（1）由题意可得2a n＝2+S n，运用数列的递推式：当n＝1时，a1＝S1，n≥2时，a n＝S n﹣S n﹣1，结合等比数列的定义和通项公式，即可得到所求通项；（2）求得log2a n＝log22n＝n，b n＝n（n+1），＝＝2（﹣），由数列的裂项相消求和，化简整理，可得所求和．【解答】解：（1）2，a n，S n成等差数列，可得2a n＝2+S n，当n＝1时，a1＝S1＝2a1﹣2，解得a1＝2，n≥2时，a n＝S n﹣S n﹣1＝2a n﹣2﹣2a n﹣1+2，化为a n＝2a n﹣1，可得数列{a n}为首项为2，公比为2的等比数列，即有a n＝2n，n∈n*；（2）log2a n＝log22n＝n，b n＝log2a1+log2a2+…+log2a n＝1+2+…+n＝n（n+1），＝＝2（﹣），即有前n项和T n＝2（1﹣+﹣+…+﹣）＝2（1﹣）＝．【点评】本题考查数列的通项公式的求法，注意运用数列的递推式和等比数列的定义和通项公式，考查数列的求和方法：裂项相消求和，考查化简整理的运算能力，属于中档题．18．（12分）如图，正方形CDEF所在平面与等腰梯形ABCD所在平面互相垂直，已知AB∥CD，AB＝2AD，∠BAD＝60°．（1）求证：平面ADE⊥平面BDE；（2）求平面ABF与平面BDE所成锐二面角的余弦值．【分析】（1）推导出DE⊥平面ABCD，DE⊥BD，BD⊥AD，从而BD⊥平面ADE，由此能证明平面ADE⊥平面BDE．（2）以D为原点，DA为x轴，DB为y轴，DE为z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出平面ABF与平面BDE所成锐二面角的余弦值．【解答】证明：（1）∵平面CDEF⊥平面ABCD，平面CDEF∩平面ABCD＝CD，DE⊥CD，∴DE⊥平面ABCD，∴DE⊥BD，在△ABD中，AB＝2AD，∠BAD＝60°，由余弦定理得BD＝AD，∴AB2＝AD2+BD2，∴∠ADB＝90°，∴BD⊥AD，∵AD⊂平面ADE，DE⊂平面ADE，AD∩DE＝D，∴BD⊥平面ADE，又BD⊂平面BDE，∴平面ADE⊥平面BDE．解：（2）∵四边形ABCD是等腰梯形，∠BAD＝60°，又由（1）知∠ADB＝90°，∴∠CBD＝∠CDB＝30°，∴AD＝BC＝CD，以D为原点，DA为x轴，DB为y轴，DE为z轴，建立空间直角坐标系，设AD＝1，由DB＝，A（1，0，0），B（0，，0），由CD＝CB，∠CDB＝30°，得C（﹣，，0），∴F（﹣，，1），＝（﹣），＝（﹣），设平面ABF的法向量＝（x，y，z），则，取z＝1，得＝（1，，1），平面BDE的法向量＝（1，0，0），设平面ABF与平面BDE所成锐二面角为θ，则cosθ＝＝＝，∴平面ABF与平面BDE所成锐二面角的余弦值为．【点评】本题考查面面垂直的证明，考查二面角的余弦值的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，考查数形结合思想，是中档题．19．（12分）已知椭圆C：＝1（a＞b＞0）的左、右焦点分别为F1，F2，椭圆C的长轴长与焦距之比为：1，过F2（3，0）的直线l与C交于A，B两点．（1）当l的斜率为1时，求△F1AB的面积；（2）当线段AB的垂直平分线在y轴上的截距最小时，求直线l的方程．【分析】（1）先由已知条件得出c＝3，再由离心率得出a的值，然后求出b的值，从而可得出椭圆的方程，然后写出直线l的方程，将直线方程与椭圆方程联立，求出交点坐标，然后利用三角形的面积可求出△F1AB的面积；（2）设直线l的方程为y＝k（x﹣1），将直线l的方程与椭圆C的方程联立，列出韦达定理，求出线段AB中点H的坐标，然后求出AB中垂线与y轴交点的纵坐标，利用基本不等式求出截距的最小值，利用等号成立求出k的值，从而求出直线l的方程．【解答】解：（1）依题意，因，又c＝3，所以，，b＝3，所以，椭圆C的标准方程为．设点A（x1，y1）、B（x2，y2），当k＝1时，直线l的方程为y＝x﹣3，将直线与椭圆的方程联立得，消去x得，y2+2y﹣3＝0，解得y1＝﹣3，y2＝1，则|y1﹣y2|＝4，所以，；（2）设直线l的斜率为k，由题意可知k＜0，由，消去y得，（2k2+1）x2﹣12k2x+18（k2﹣1）＝0，△＞0恒成立，由韦达定理得，设线段AB的中点为H（x0，y0），则，，设线段AB的垂直平分线与x轴的交点为D（0，m），则k DH•k AB＝﹣1，得，整理得m•（2k2+1）＝3k，，等号成立时．故当截距m 最小为时，，此时，直线l 的方程为．【点评】本题考查直线与椭圆的综合问题，考查韦达定理在椭圆综合问题中的应用，同时考查计算能力与推理能力，属于中等题．20．（12分）某钢铁加工厂新生产一批钢管，为了了解这批产品的质量状况，检验员随机抽取了100件钢管作为样本进行检测，将它们的内径尺寸作为质量指标值，由检测结果得如下频率分布表和频率分布直方图：分组频数频率25.05～25.1520.0225.15～25.2525.25～25.351825.35～25.4525.45～25.5525.55～25.65100.125.65～25.7530.03合计1001（1）求a ，b ；（2）根据质量标准规定钢管内径尺寸大于等于25.75或小于25.15为不合格，钢管内径尺寸在[25.15，25.35）或[25.45，25.75）为合格，钢管内径尺寸在[25.35，25.45）为优等．钢管的检测费用为2元/根，把样本的频率分布作为这批钢管的概率分布．（i ）若从这批钢管中随机抽取3根，求内径尺寸为优等钢管根数X 的分布列和数学期望；（ii ）已知这批钢管共有m （m ＞100）根，若有两种销售方案：第一种方案：不再对该批剩余钢管进行检测，扣除100根样品中的不合格钢管后，其余所有钢管均以50元/根售出；第二种方案：对该批剩余钢管进行一一检测，不合格钢管不销售，并且每根不合格钢管损失20元，合格等级的钢管50元/根，优等钢管60元/根．请你为该企业选择最好的销售方案，并说明理由．【分析】（1）由频率分布直方图先求出b，由此列方程能求出a．（2）（i）钢管内径尺寸为优等的概率为0.3，X所有可能的取值为0，1，2，3，分别求出相应的概率，由此能求出X的分布列和E（X）．（ii）按第一种方案：y1＝50（m﹣2）﹣200＝50m﹣300，按第二种方案：y2＝0.68×m×50+0.3×m ×60﹣2m﹣0.02×m×20＝49.6m，y1﹣y2＝（50m﹣300）﹣49.6m＝0.4m﹣300，由此根据m的取值范围能求出结果．【解答】解：（1）由题意知b＝＝1.8，∴（a+2.3+1.8+1.4+1+0.3+0.2）×0.1＝1，解得a＝3．（2）（i）由（1）知钢管内径尺寸为优等的概率为0.3，X所有可能的取值为0，1，2，3，P（X＝0）＝＝0.343，P（X＝1）＝＝0.441，P（X＝2）＝＝0.189，P（X＝3）＝＝0.027，∴X的分布列为：X0123P0.3430.4410.1890.027E（X）＝0×0.343+1×0.441+2×0.189+3×0.027＝0.9．（ii）按第一种方案：y1＝50（m﹣2）﹣200＝50m﹣300，按第二种方案：y2＝0.68×m×50+0.3×m×60﹣2m﹣0.02×m×20＝49.6m，y1﹣y2＝（50m﹣300）﹣49.6m＝0.4m﹣300，若m＞750时，y1＞y2，则按第一种方案；若m＝750时，y1＝y2，则第一、第二种方案均可；若100＜m＜750时，y1＜y2，由按第二种方案．【点评】本题考查频率、概率的求法及应用，考查频率分布表、频率分布直方图、二项分布等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．21．（12分）已知f（x）＝a sin x（a∈R），g（x）＝e x．（1）若0＜a≤1，判断函数G（x）＝f（1﹣x）+lnx在（0，1）的单调性；（2）证明：sin+sin+sin+…+sin＜ln2，（n∈N+）；（3）设F（x）＝g（x）﹣mx2﹣2（x+1）+k（k∈Z），对∀x＞0，m＜0，有F（x）＞0恒成立，求k的最小值．【分析】（1）由题意：G（x）＝a sin（1﹣x）+lnx，G′（x）＝﹣a cos（1﹣x），证明当0＜x＜1，0＜a≤1时，G′（x）＞0恒成立即可证明结论．（2）当a＝1时，G（x）＝sin（1﹣x）+lnx在（0，1）单调增，推出sin＜ln﹣ln，然后证明即可．（3）化简F（x）＝e x﹣mx2﹣2x+k﹣2＞0即：F（x）min＞0，求出导数F′（x）＝e x﹣2mx﹣2，二次导数F″（x）＝e x﹣2m判断导函数的符号，推出函数的单调性，求出最值，列出不等式，k＞（﹣1）e+x0+2，x0∈（0，ln2）恒成立，构造函数，利用函数的导数，求解最值，然后推出最小整数k的值【解答】（1）解：由题意：G（x）＝a sin（1﹣x）+lnx，G′（x）＝﹣a cos（1﹣x）+，当0＜x＜1，0＜a≤1时，＞1，cos x＜1，∴G′（x）＞0恒成立，∴函数G（x）＝f（1﹣x）+g（x）在区间（0，1）上是增函数；（2）证明：由（1）知，当a＝1时，G（x）＝sin（1﹣x）+lnx在（0，1）单调递增，∴sin（1﹣x）+lnx＜G（1）＝0，∴sin（1﹣x）＜ln，（0＜x＜1），设1﹣x＝，则x＝1﹣＝，∴sin ＜ln ＝ln ﹣ln ，∴sin +sin +sin +…+sin ＜ln ﹣ln +ln ﹣ln +…+ln ﹣ln ＝ln 2﹣ln ＜ln 2，即结论成立；（3）解：由F （x ）＝g （x ）﹣mx 2﹣2（x +1）+k ＝e x ﹣mx 2﹣2x +k ﹣2＞0，即：F （x ）min ＞0，∴F ′（x ）＝e x ﹣2mx ﹣2，∴F ′′（x ）＝e x ﹣2m ，∵m ＜0，∴F ″（x ）＞0，∴F ′（x ）单调递增，又F ′（0）＜0，F ′（1）＞0，则必然存在x 0∈（0，1），使得F ′（x 0）＝0，∴F （x ）在（﹣∞，x 0）单调递减，（x 0，+∞）单调递增，∴F （x ）≥F （x 0）＝e﹣mx 02﹣2x 0+k ﹣2＞0，∵e﹣2mx 0﹣2＝0，∴m ＝，∴k ＞（﹣1）e+x 0+2，又m ＜0，则x 0∈（0，ln 2），∴k ＞（﹣1）e+x 0+2，x 0∈（0，ln 2）恒成立，令m （x ）＝（﹣1）e x +x +2，x ∈（0，ln 2），则m ′（x ）＝（x ﹣1）e x +1，m ″（x ）＝xe x ＞0，∴m ′（x ）在x ∈（0，ln 2）单调递增，又m ′（0）＝＞0，∴m′（x）＞0，∴m（x）在x∈（0，ln2）单调递增，∴m（x）＜m（ln2）＝2ln2，∴k＞2ln2，又k为整数．∴最小整数k的值为：2．【点评】本题考查函数的导数的综合应用，函数的单调性以及函数的最值的求法，二次导数的应用，考查构造法以及转化思想的应用，难度比较大．[选修4-4：坐标系与参数方程]22．（10分）已知在平面直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为（α为参数），以x轴的非负半轴为极轴，原点O为极点建立极坐标系，两种坐标系中取相同的长度单位，若直线θ＝和θ＝（ρ∈R）分别与曲线C相交于A、B两点（A，B两点异于坐标原点）．（1）求曲线C的普通方程与A、B两点的极坐标；（2）求直线AB的极坐标方程及△ABO的面积．【分析】（1）曲线C和参数方程消去参数α能求出曲线C的普通方程，从而能求出曲线C的极坐标方程；将直线θ＝和θ＝代入圆的极坐标方程能求出A、B两点的极坐标．（2）由x＝ρcosθ，y＝ρsinθ，得A（，），B（﹣，），根据两点式方程得直线AB的方程为y＝x+1，由此能求出AB的极坐标方程及△ABO的面积．【解答】解：（1）曲线C和参数方程为，∴消去参数α得曲线C的普通方程为x2+y2﹣2y＝0，∴曲线C的极坐标方程为ρ＝2sinθ．将直线θ＝和θ＝代入圆的极坐标方程得ρ1＝，ρ2＝1，∴A、B两点的极坐标分别为A（），B（1，）．（2）由x＝ρcosθ，y＝ρsinθ，得A（，），B（﹣，），根据两点式方程得直线AB的方程为y＝x+1，∴AB的极坐标方程为．∴直线AB恰好经过圆的圆心，故△ABO为直角三角形，且|OA|＝，|OB|＝1，＝＝．∴S△ABO【点评】本题考查曲线的普通方程、点的极坐标方程、直线的极坐标方程、三角形面积的求法，考查参数方程、极坐标方程、直角坐标方程的互化等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．[选修4-5：不等式选讲]23．设函数f（x）＝|x﹣a|+|x+|（a＞0）．（1）证明f（x）≥4；（2）若不等式f（x）﹣|x+|≥4x的解集为{x|x≤2}，求实数a的值．【分析】（1）根据绝对值不等式的性质证明即可；（2）通过讨论x的范围，求出不等式的解集，根据对应关系得到关于a的方程，求出a的值即可．【解答】解：（1）证明，f（x）＝|x﹣a|+|x+|≥|x﹣a﹣x﹣|＝a+≥2＝4；（2）由f（x）﹣|x+|≥4x，可得|x﹣a|≥4x，（a＞0），当x≥a时，x﹣a≥4x，解得：x≤﹣，这与x≥a＞0矛盾，故不成立，当x＜a时，a﹣x≥4x，解得：x≤，又不等式的解集是{x|x≤2}，故＝2，解得：a＝10．【点评】本题考查了解绝对值不等式问题，考查绝对值不等式的性质以及分类讨论思想，转化思想，是一道常规题．。
2019届山东省潍坊市高三上学期期末测试数学(文科)试卷(word版)
2019届山东省潍坊市高三上学期期末测试数学（文科）试卷一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合，，则（）A. B. C. D.【答案】D2.已知函数为奇函数，且当时，，则（）A. B. C. D.【答案】C3.若，则（）A. B. C. D.【答案】C4.双曲线：，当变化时，以下说法正确的是（）A. 焦点坐标不变B. 顶点坐标不变C. 渐近线不变D. 离心率不变【答案】C5.若实数，满足，则的最大值是（）A. B. C. D.【答案】B6.某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（）主视图左视图俯视图A. B. C. D. 【答案】C 7.若将函数的图象向右平移个单位长度，则平移后所得图象对应函数的单调增区间是（ ）A.B.C.D.【答案】A8.四色猜想是世界三大数学猜想之一，1976年数学家阿佩尔与哈肯证明，称为四色定理.其内容是：“任意一张平面地图只用四种颜色就能使具有共同边界的国家涂上不同的颜色.”用数学语言表示为“将平面任意地细分为不相重叠的区域，每一个区域总可以用，，，四个数字之一标记，而不会使相邻的两个区域得到相同的数字.”如图，网格纸上小正方形的边长为，粗实线围城的各区域上分别标有数字，，，的四色地图符合四色定理，区域和区域标记的数字丢失.若在该四色地图上随机取一点，则恰好取在标记为的区域的概率所有可能值中，最大的是（ ）A. B. C. D. 【答案】C 9.已知函数,则不等式的解集为（ ）A. B. C. D.【答案】D 10.已知抛物线的焦点为，为抛物线上一点，，当周长最小时，所在直线的斜率为（ ）A.B.C. D.【答案】A【点睛】本道题考查了抛物线的基本性质，难度中等。
11.由国家公安部提出，国家质量监督检验检疫总局发布的《车辆驾驶人员血液、呼气酒精含量阀值与检验标准（GB/T19522-2010）》于2011年7月1日正式实施.车辆驾驶人员酒饮后或者醉酒后驾车血液中的酒精含量阀值见表.经过反复试验，一般情况下，某人喝一瓶啤酒后酒精在人体血液中的变化规律的“散点图”见图，且图表示的函数模型，则该人喝一瓶啤酒后至少经过多长时间才可以驾车（时间以整小时计算）？（参考数据：，）阀值，车辆驾车人员血液酒精含量阀值喝1瓶啤酒的情况A. B. C. D.【答案】B12.已知偶函数的定义域为，且满足，当时，，.①方程有个不等实根；②方程只有个实根；③当时，方程有个不等实根；④存在使.A. ①②B. ①③C. ①④D. ②④【答案】B二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13.设向量，，若，则实数__________．【答案】14.若直线与两坐标轴分别交于，两点，为坐标原点，则的内切圆的标准方程为__________．【答案】15.已知圆台的上、下底面都是球的截面，若圆台的高为，上、下底面的半径分别为，，则球的表面积为__________．【答案】16.的内角，，的对边分别为，，，且，的面积为，，则的最大值为__________．【答案】三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17.已知数列的前项和为，且，，成等差数列.（1）求数列的通项公式；（2）数列满足，求数列的前项和.【答案】（1）;（2）.【解析】【分析】(1)利用,计算通项,即可.(2)将数列通项代入,利用裂项相消法,即可.【详解】解：（1）因为，，成等差数列，所以，当时，，所以，当时，，，两式相减得，所以，所以数列是首项为，公比为的等比数列，所以.（2），所以，所以.【点睛】本道题考查了等比数列通项计算方法以及裂项相消法,难度中等.18.如图，四棱锥中，底面是平行四边形，，，底面.（1）求证：平面平面；（2）若，求三棱锥的高.【答案】（1）见解析（2）【解析】【分析】(1)分别证明AD垂直EC,AC,然后结合平面与平面判定,即可.(2)法一,利用,即可.法二,证明得到为三棱锥的高,即可.【详解】证明：（1）因为在平行四边形中，，，由余弦定理可得：，所以，所以，故，又因为底面，所以，又因为，所以平面，所以平面平面.（2）因为，所以，又因为，所以，所以.（法一）设三棱锥的高为，由可得：，解得，所以三棱锥的高为.（法二）在内，作，垂足为，由（1）知平面平面，又平面平面，所以平面，所以为三棱锥的高，故在中，，即，解得，所以三棱锥的高为.【点睛】本道题考查了平面与平面垂直判定以及性质,难度中等.19.已知椭圆：的左、右焦点分别为，，椭圆的长轴长与焦距之比为，过且斜率不为的直线与交于，两点.（1）当的斜率为时，求的面积；（2）若在轴上存在一点，使是以为顶点的等腰三角形，求直线的方程.【答案】（1）12（2）【解析】【分析】(1)结合椭圆的基本性质,分别计算a,b,c的值，代入直线方程，即可。
山东省潍坊市临朐县2019届高三上学期质检理科数学试卷Word版含解析
山东省潍坊市临朐县2019届高三上学期质检理科数学试卷一、选择题：本大题共10个小题，每小题5分，共50分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．已知集合A={x|x 2﹣4x+3＜0}，B={y|y=2x ﹣1，x ≥0}，则A ∩B=（ ）A ．∅B ．[0，1）∪（3，+∞）C ．AD ．B2．若a ∈R ，则“a=0”是“cosa ＞sina ”的（ ）A ．必要不充分条件B ．充分不必要条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件3．下列函数中，既是奇函数又是减函数的是（ ）A ．f （x ）=x 3，x ∈（﹣3，3）B ．f （x ）=tanxC ．f （x ）=x|x|D ．4．已知＜α＜π，3sin2α=2cos α，则cos （α﹣π）等于（ ）A ．B ．C ．D ．5．已知x ，y 满足约束条件，且z=2x+y 的最大值是最小值的3倍，则a 的值是（ ）A ．B ．C ．7D ．不存在6．如图，阴影区域的边界是直线y=0，x=2，x=0及曲线y=3x 2，则这个区域的面积是（ ）A ．4B ．8C ．D ．7．将函数f （x ）=sin （+πx ）图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），再把图象上所有的点向右平移1个单位，得到函数g （x ）的图象，则函数g （x ）的单调递减区间是（ ）A ．[2k ﹣1，2k+2]（k ∈Z ）B ．[2k+1，2k+3]（k ∈Z ）C ．[4k+1，4k+3]（k ∈Z ）D ．[4k+2，4k+4]（k ∈Z ）8．若a ＞b ＞1，0＜c ＜1，则下列不等式错误的是（ ）A ．a c ＞b cB ．ab c ＞ba cC ．log a c ＞log b cD ．alog b c ＞blog a c9．已知函数f （x ）=，若函数y=f （x ）﹣4有3个零点，则实数a 的值为（ ） A ．﹣2 B ．0 C ．2 D ．410．已知集合M={（x ，y ）|y=f （x ）}，若对于任意（x 1，y 1）∈M ，存在（x 2，y 2）∈M ，使得x 1x 2+y 1y 2=0成立，则称集合M 是“理想集合”．给出下列5个集合：①M={（x ，y ）|y=}；②M={（x ，y ）|y=x 2﹣2x+2}；③M={（x ，y ）|y=e x ﹣2}；④M={（x ，y ）|y=lgx}；⑤M={（x ，y ）|y=sin （2x+3）}．其中所有“理想集合”的序号是（ ）A ．①②B ．③⑤C ．②③⑤D ．③④⑤二、填空题（每题5分，满分25分，将答案填在答题纸上）11．已知2cos 2x+sin2x=Asin （ωx+φ）+b （A ＞0），则A= ，b= ．12．已知曲线y=3x ﹣lnx ，则其在点（1，3）处的切线方程是 ．13．若实数a ＞0，b ＞0，且+=1，则当的最小值为m 时，不等式m |x ﹣1|﹣|x+2|＜1解集为 ．14．已知cos （α﹣）+sin α=，则cos （α+）的值是 ． 15．已知R 上的不间断函数g （x ）满足：①当x ＞0时，g'（x ）＞0恒成立；②对任意的x ∈R 都有g （x ）=g （﹣x ）．又函数f （x ）满足：对任意的x ∈R ，都有f （+x ）=﹣f （x ）成立，当x ∈[0，]时，f （x ）=x 3﹣3x ．若关于x 的不等式g[f （x ）]≤g （a 2﹣a+2），对于x ∈[2﹣3，2+3]恒成立，则a 的取值范围为 ．三、解答题（本大题共6小题，共75分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）16．已知命题p ：指数函数y=（a ﹣1）x 在R 上是单调函数；命题q ：∃x ∈R ，x 2﹣（3a ﹣2）x+1=0．若命题“p ∨q ”为真命题，命题“p ∧q ”为假命题，求实数a 的取值范围．17．已知函数f （x ）=cosx （cosx+sinx ）．（Ⅰ）求f （x ）的最小值；（Ⅱ）在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c ，S △ABC =，c 2=7，若f （C ）=1，求△ABC 的周长．18．设函数f （x ）=2x+log 3为奇函数，a 为常数． （Ⅰ）求实数a 的值；（Ⅱ）求函数f （x ）的单调区间；（Ⅲ）若对于区间[2，3]上的每一个x 值，不等式f （x ）＞（）x •m 恒成立，求实数m 的取值范围．19．某企业共有20条生产线，由于受生产能力和技术水平等因素的影响，会产生一定量的次品．根据经验知道，每台机器产生的次品数p 万件与每台机器的日产量x 万件（4≤x ≤12）之间满足关系：p=0.1125x 2﹣3.6lnx+1．已知每生产1万件合格的产品可以以盈利3万元，但每生产1万件次品将亏损1万元． （Ⅰ）试将该企业每天生产这种产品所获得的利润y 表示为x 的函数；（Ⅱ）当每台机器的日产量为多少时，该企业的利润最大，最大为多少？20．设x ，y 均为非零实数，且满足=tan ．（1）求的值；（2）在△ABC中，若tanC=，求sin2A+2cosB的最大值．21．已知函数f（x）=+1（a≠0）．（Ⅰ）若函数f（x）图象在点（0，1）处的切线方程为x﹣2y+1=0，求a的值；（Ⅱ）求函数f（x）的极值；（Ⅲ）若a＞0，g（x）=x2e mx，且对任意的x1，x2∈[0，2]，f（x1）≥g（x2）恒成立，求实数m的取值范围．山东省潍坊市临朐县2019届高三上学期质检理科数学试卷参考答案一、选择题：本大题共10个小题，每小题5分，共50分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．已知集合A={x|x 2﹣4x+3＜0}，B={y|y=2x ﹣1，x ≥0}，则A ∩B=（ ）A ．∅B ．[0，1）∪（3，+∞）C ．AD ．B【考点】交集及其运算．【分析】求解一元二次不等式化简集合A ，求解函数的值域化简B ，然后直接利用并集运算得答案．【解答】解：A={x|x 2﹣4x+3＜0}=（1，3），B={y|y=2x ﹣1，x ≥0}=[1，+∞），∴A ∩B=（1，3）=A ，故选：C ．2．若a ∈R ，则“a=0”是“cosa ＞sina ”的（ ）A ．必要不充分条件B ．充分不必要条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断．【分析】运用充分必要条件的判断，通过举例即可得到结论．【解答】解：a=0时，cosa=1，sina=0，cosa ＞sina 成立，则“a=0”是“cosa ＞sina ”的充分条件；a=﹣≠0，cosa ＞sina 成立，故“a=0”是“cosa ＞sina ”的充分不必要条件．故选：B ．3．下列函数中，既是奇函数又是减函数的是（ ）A ．f （x ）=x 3，x ∈（﹣3，3）B ．f （x ）=tanxC ．f （x ）=x|x|D ．【考点】奇偶性与单调性的综合．【分析】根据函数的奇偶性的定义，单调性的定义判断，从而可得答案．【解答】解：A 、∵f （x ）=x 3，定义域为（﹣3，3），∴f （﹣x ）=﹣f （x ），x 1＜x 2，则x 13＜x 23，∴f （x ）=x 3是奇函数又是增函数，不正确，B 、f （x ）=tanx 在定义域上不是减函数，不正确，C 、f （x ）=x|x|=，在定义域上不是减函数，不正确，D 、f （x ）=（e ﹣x ﹣e x ）ln2，f （﹣x ）=（e x ﹣e ﹣x ）ln2=﹣f （x ），是奇函数，且在定义域上是减函数，正确， 故选D ．4．已知＜α＜π，3sin2α=2cosα，则cos（α﹣π）等于（）A．B．C．D．【考点】二倍角的正弦．【分析】由条件求得sinα和cosα的值，再根据cos（α﹣π）=﹣cosα求得结果．【解答】解：∵＜α＜π，3sin2α=2cosα，∴sinα=，cosα=﹣．∴cos（α﹣π）=﹣cosα=﹣（﹣）=，故选：C．5．已知x，y满足约束条件，且z=2x+y的最大值是最小值的3倍，则a的值是（）A．B．C．7 D．不存在【考点】简单线性规划．【分析】作出不等式组对应的平面区域，利用z的几何意义，求出最优解，建立方程关系，即可得到结论．【解答】解：作出不等式组对应的平面区域如图：由z=2x+y得y=﹣2x+z，平移直线y=﹣2x+z，由图象可知当直线y=﹣2x+z经过点C时，直线的截距最小，此时z最小，当直线y=﹣2x+z经过点B时，直线的截距最大，此时z最大，由得，即C（a，2a），此时z=2a+2a=4a，min=2+2=4，由得，即B（1，2），此时zmax∵z=2x+y的最大值是其最小值的3倍，∴3×4a=4，即a=，故选：A．6．如图，阴影区域的边界是直线y=0，x=2，x=0及曲线y=3x 2，则这个区域的面积是（ ）A ．4B ．8C ．D ．【考点】定积分在求面积中的应用．【分析】将阴影部分的面积是函数在[0，2]上的定积分的值，再用定积分计算公式加以运算即可得到本题答案．【解答】解：这个区域的面积是， 故选B ．7．将函数f （x ）=sin （+πx ）图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），再把图象上所有的点向右平移1个单位，得到函数g （x ）的图象，则函数g （x ）的单调递减区间是（ ）A ．[2k ﹣1，2k+2]（k ∈Z ）B ．[2k+1，2k+3]（k ∈Z ）C ．[4k+1，4k+3]（k ∈Z ）D ．[4k+2，4k+4]（k ∈Z ）【考点】函数y=Asin （ωx+φ）的图象变换．【分析】利用诱导公式、函数y=Asin （ωx+φ）的图象变换规律，得出结论．【解答】解：将函数f （x ）=sin （+πx ）=cos πx 的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），可得y=cos （πx ）图象；再把图象上所有的点向右平移1个单位，得到函数g （x ）=cos[π（x ﹣1）]═cos （πx ﹣）=sin （πx ）的图象．令2k π+≤x ≤2k π+，求得4k+1≤x ≤4k+3，k ∈Z ，可得函数g （x ）的单调递减区间是[4k+1，4k+3]（k ∈Z ，故选：C ．8．若a ＞b ＞1，0＜c ＜1，则下列不等式错误的是（ ）A ．a c ＞b cB ．ab c ＞ba cC ．log a c ＞log b cD ．alog b c ＞blog a c【考点】命题的真假判断与应用．【分析】根据幂函数和对数函数的图象和性质，结合不等式的基本性质，逐一分析四个答案的真假，可得结论．【解答】解：∵a ＞b ＞1，0＜c ＜1，∴y=x c 为增函数，a c ＞b c ，故A 正确；y=x c ﹣1为减函数，b c ﹣1＞a c ﹣1，又由ab ＞0，可得ab c ＞ba c ，故B 正确；y=log c x 为减函数，∴log c a ＜log c b ＜0，故0＞log a c ＞log b c ，故C 正确；alog b c ＜blog a c ＜0，故D 错误；故选：D9．已知函数f （x ）=，若函数y=f （x ）﹣4有3个零点，则实数a 的值为（ ）A ．﹣2B ．0C ．2D ．4【考点】函数零点的判定定理．【分析】由题意求出f （x ）﹣4，由函数的零点与方程的根的关系，分别列出方程求解，结合条件即可求出a 的值．【解答】解：由题意得，f （x ）=，则f （x ）﹣4=，若x ≠3，由得，x=或x=；若x=3，则a ﹣4=0，则a=4，所以a=4满足函数y=f （x ）﹣4有3个零点，故选D ．10．已知集合M={（x ，y ）|y=f （x ）}，若对于任意（x 1，y 1）∈M ，存在（x 2，y 2）∈M ，使得x 1x 2+y 1y 2=0成立，则称集合M 是“理想集合”．给出下列5个集合：①M={（x ，y ）|y=}；②M={（x ，y ）|y=x 2﹣2x+2}；③M={（x ，y ）|y=e x ﹣2}；④M={（x ，y ）|y=lgx}；⑤M={（x ，y ）|y=sin （2x+3）}．其中所有“理想集合”的序号是（ ）A ．①②B ．③⑤C ．②③⑤D ．③④⑤【考点】集合的表示法；元素与集合关系的判断．【分析】根据条件只需要判断满足x 1x 2+y 1y 2=0是否恒成立即可．【解答】解：对于①，注意到x 1•x 2+∈（﹣∞，﹣2]∪[2，+∞），故x 1•x 2+=0，即x 1x 2+y 1y 2=0无实数解，因此①不是；对于②，y=x 2﹣2x+2=（x ﹣1）2+1．当点（x 1，y 1）为（0，2）时，若x 1x 2+y 1y 2=0，则y 2=0，不成立，∴故②不是；对于③，根据函数的图象，对于图象上任一点P ，在曲线上存在点与原点的连线，与OP 垂直，故③是； 对于④，注意到对于点（1，0），不存在（x 2，y 2）∈M ，使得1×x 2+0×lgx 2=0，因为x 2=0与真数的限制条件x 2＞0矛盾，因此④不是对于⑤，根据正弦函数的图象，对于图上任一点P ，在曲线上存在点与原点的连线与OP 垂直，故⑤是． 故选：B ．二、填空题（每题5分，满分25分，将答案填在答题纸上）11．已知2cos 2x+sin2x=Asin （ωx+φ）+b （A ＞0），则A= ，b= 1 ． 【考点】两角和与差的正弦函数． 【分析】根据二倍角的余弦公式、两角和的正弦函数化简左边，即可得到答案． 【解答】解：∵2cos 2x+sin2x=1+cos2x+sin2x=1+（cos2x+sin2x ）=sin （2x+）+1，∴A=，b=1，故答案为：；1．12．已知曲线y=3x ﹣lnx ，则其在点（1，3）处的切线方程是 2x ﹣y+1=0 ．【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程．【分析】求出曲线的导函数，把x=1代入即可得到切线的斜率，然后根据（1，3）和斜率写出切线的方程即可．【解答】解：由函数y=3x ﹣lnx 知y ′=3﹣，把x=1代入y ′得到切线的斜率k=2，则切线方程为：y ﹣3=（x ﹣1），2x ﹣y+1=0．故答案为：2x ﹣y+1=0．13．若实数a ＞0，b ＞0，且+=1，则当的最小值为m 时，不等式m |x ﹣1|﹣|x+2|＜1解集为．【考点】基本不等式在最值问题中的应用．【分析】利用基本不等式求出m ，利用指数函数的单调性转化不等式，即可得出结论．【解答】解：∵实数a ＞0，b ＞0，且+=1，∴=（+）=（4++）≥2， ∴m=2．不等式m |x ﹣1|﹣|x+2|＜1等价于|x ﹣1|﹣|x+2|＜0，∴2x+1＞0，∴x＞﹣∴不等式m|x﹣1|﹣|x+2|＜1解集为．故答案为．14．已知cos（α﹣）+sinα=，则cos（α+）的值是﹣．【考点】两角和与差的余弦函数．【分析】利用两角和差的三角公式，诱导公式求得﹣cos（+α）=，从而求得cos（α+）的值．【解答】解：∵cos（α﹣）+sin α=cosα+sinα+sinα=（cosα+sinα）=cos（α﹣）=﹣cos（+α）=，则cos（α+）=﹣，故答案为：．15．已知R上的不间断函数g（x）满足：①当x＞0时，g'（x）＞0恒成立；②对任意的x∈R都有g（x）=g（﹣x）．又函数f（x）满足：对任意的x∈R，都有f（+x）=﹣f（x）成立，当x∈[0，]时，f（x）=x3﹣3x．若关于x的不等式g[f（x）]≤g（a2﹣a+2），对于x∈[2﹣3，2+3]恒成立，则a的取值范围为（﹣∞，0]∪[1，+∞）．【考点】利用导数求闭区间上函数的最值．【分析】由于函数g（x）满足：①当x＞0时，g'（x）＞0恒成立（g'（x）为函数g（x）的导函数）；②对任意x∈R都有g（x）=g（﹣x），这说明函数g（x）为R上的偶函数且在[0，+∞）上为单调递增函数，且有g|（x|）=g（x），所以g[f（x）]≤g（a2﹣a+2）⇔|f（x）|≤|a2﹣a+2|对x∈[2﹣，2+3]恒成立，只要使得|f（x）|在定义域内的最大值小于等于|a2﹣a+2|的最小值，然后解出即可【解答】解：因为函数g（x）满足：当x＞0时，g'（x）＞0恒成立，且对任意x∈R都有g（x）=g（﹣x），则函数g（x）为R上的偶函数且在[0，+∞）上为单调递增函数，且有g（|x|）=g（x），∵关于x的不等式g[f（x）]≤g（a2﹣a+2），对于x∈[2﹣3，2+3]恒成立，∴|f（x）|≤|a2﹣a+2|对于x∈[2﹣3，2+3]恒成立，故只要使得定义域内|f（x）|≤|a2﹣a+2|，max∵对任意的x∈R，都有f（+x）=﹣f（x）成立，当x∈[0，]时，f（x）=x3﹣3x，∴设x∈[﹣，0]，则+x∈[0，]，故f（+x）=∴f（x）=﹣f（+x）=∴当x∈[﹣，0]时，，令f'（x）=0，得，或（舍去）∴f（x）在上单调递增，则[，0]上单调递减，，当x时，f'（x）=3x2﹣3=3（x+1）（x﹣1），令f'（x）=0，得x=1∴f（x）在[0，1]单调递减，在[1，]单调递增，∴f（x）=f（1）=﹣2，min∵对任意的x∈R，都有f（+x）=﹣f（x），∴，即f（x）为周期函数且周期为T=，∴x∈[2﹣3，2+3]时，f（x）=2，max∴|a2﹣a+2|≥2，解得a≤0，或a≥1故答案为：（﹣∞，0]∪[1，+∞）．三、解答题（本大题共6小题，共75分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）16．已知命题p：指数函数y=（a﹣1）x在R上是单调函数；命题q：∃x∈R，x2﹣（3a﹣2）x+1=0．若命题“p∨q”为真命题，命题“p∧q”为假命题，求实数a的取值范围．【考点】复合命题的真假．【分析】分别求出p，q为真时的a的范围，通过讨论p，q的真假，得到关于a的不等式组，解出即可．【解答】解：命题p为真命题，则a﹣1＞1或0＜a﹣1＜1．∴a＞2或∴1＜a＜2．…命题q为真命题则（3a﹣2）2﹣4≥0，解得a≤0或．…由命题p∨q为真命题，命题p∧q为假命题，可知命题p、q恰好一真一假．…（1）当命题p真q假时，，∴．…（2）当命题p假q真时，，∴a≤0或a=2．…综上，实数a的取值范围为．…17．已知函数f（x）=cosx（cosx+sinx）．（Ⅰ）求f（x）的最小值；=，c2=7，若f（C）=1，求△ABC的周长．（Ⅱ）在△ABC中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，S△ABC【考点】余弦定理；三角形中的几何计算．【分析】（Ⅰ）利用三角函数恒等变换的应用化简函数解析式可得+sin（2C+），利用正弦函数的性质即可得解最小值．（Ⅱ）由已知可求sin（2C+）=，结合范围2C+∈（，），可求C，利用三角形面积公式可求ab，进而利用余弦定理可求a+b的值，即可得解．【解答】（本小题满分12分）解：（Ⅰ）…=．…当时，f（x）取最小值为．…（Ⅱ）∵f（C）=+sin（2C+）=1，∴sin（2C+）=，…7分∵C∈（0，π），2C+∈（，），∴C=，…9分=absinC=，∵S△ABC∴ab=3，…10分∵c2=7，∴由余弦定理得c2=，∴（a+b）2=16，即a+b=4，∴，…所以△ABC的周长为．…为奇函数，a为常数．18．设函数f（x）=2x+log3（Ⅰ）求实数a的值；（Ⅱ）求函数f（x）的单调区间；（Ⅲ）若对于区间[2，3]上的每一个x值，不等式f（x）＞（）x•m恒成立，求实数m的取值范围．【考点】奇偶性与单调性的综合．【分析】（Ⅰ）为奇函数为奇函数，可得f（﹣x）+f（x）=0对定义域内的任意x 都成立，即可求实数a的值；（Ⅱ）由（Ⅰ）知，，则函数f（x）的定义域为（﹣∞，﹣1）∪（1，+∞），即可讨论函数f（x）的单调性，并写出单调区间；（Ⅲ）由题意知不等式在x ∈[2，3]上恒成立，即不等式在x ∈[2，3]上恒成立，即可求实数m 的取值范围．【解答】解：（Ⅰ）为奇函数，∴f （﹣x ）+f （x ）=0对定义域内的任意x 都成立．…即对定义域内的任意x 都成立．…∴，∴，∴1﹣x 2=1﹣a 2x 2，∴a 2=1，… 解得a=﹣1或a=1（舍去），所以a=﹣1．…（Ⅱ）由（Ⅰ）知，，则函数f （x ）的定义域为（﹣∞，﹣1）∪（1，+∞）．…任取x 1，x 2∈（1，+∞），设x 1＜x 2，则，∴函数为增函数，∴y=f （x ）在（1，+∞）上为增函数，…同理函数f （x ）（﹣∞，﹣1）也为增函数． 所以函数f （x ）的单调增区间为（1，+∞），（﹣∞，﹣1）．…（Ⅲ）由题意知不等式在x ∈[2，3]上恒成立，即不等式在x ∈[2，3]上恒成立．…令函数，由（Ⅱ）知函数y=f （x ）在x ∈[2，3]上是增函数，∵函数在x ∈[2，3]上是减函数，∴函数y=g （x ）在x ∈[2，3]上是增函数，∴g （x ）min =g （2）=16﹣4log 33=12．… 所以m 的取值范围为（﹣∞，12）．…19．某企业共有20条生产线，由于受生产能力和技术水平等因素的影响，会产生一定量的次品．根据经验知道，每台机器产生的次品数p 万件与每台机器的日产量x 万件（4≤x ≤12）之间满足关系：p=0.1125x 2﹣3.6lnx+1．已知每生产1万件合格的产品可以以盈利3万元，但每生产1万件次品将亏损1万元． （Ⅰ）试将该企业每天生产这种产品所获得的利润y 表示为x 的函数； （Ⅱ）当每台机器的日产量为多少时，该企业的利润最大，最大为多少？ 【考点】导数在最大值、最小值问题中的应用． 【分析】（Ⅰ）利用已知条件直接列出该企业每天生产这种产品所获得的利润y 表示为x 的函数； （Ⅱ）利用（Ⅰ）求解函数的导数，利用函数的极值以及单调性，求解函数的最值即可． 【解答】（本小题满分13分）解：（Ⅰ）根据题意，该企业所得利润为：y=20•[3（x﹣p）﹣p]=20（3x﹣4p）=60x﹣80p…=60x﹣80（0.1125x2﹣3.6lnx+1）=60x﹣9x2+288lnx﹣80（4≤x≤12）．…（Ⅱ）由（Ⅰ）知：…=．令y'=0，可得x=6或．…从而当4＜x＜6时，y'＞0，函数在（4，6）上为增函数；当6＜x＜12时，y'＜0，函数在（6，12）上为减函数．…所以当x=6时函数取得极大值，即当x=6时，，…所以每台机器的日产量为6万件时，该企业的利润最大，最大利润为288ln6﹣44（万元）．…20．设x，y均为非零实数，且满足=tan．（1）求的值；（2）在△ABC中，若tanC=，求sin2A+2cosB的最大值．【考点】函数的最值及其几何意义．【分析】（1）令tanθ=，利用两角和的正切公式化简条件可得 tan（+θ）=tan，可得+θ=+kπ，k∈Z，由此求得 tanθ=的值．（2）在△ABC中，若tanC==1，利用三角恒等变换化简sin2A+2cosB为﹣2+，再利用二次函数的性质，求得它的最大值．【解答】解：（1）∵x，y均为非零实数，且满足=tan=，令tanθ=，则=tan，即 tan（+θ）=tan，∴+θ=+kπ，k∈Z，即θ=k π+，∴tan θ==1．（2）在△ABC 中，若tanC==1，则C=，∴A+B=，∴sin2A+2cosB=sin2（﹣B ）+2cosB=﹣cos2B+cosB=﹣2cos 2B+2cosB+1=﹣2+，故当cosB=，即B=时，sin2A+2cosB 取得最大值为．21．已知函数f （x ）=+1（a ≠0）．（Ⅰ）若函数f （x ）图象在点（0，1）处的切线方程为x ﹣2y+1=0，求a 的值；（Ⅱ）求函数f （x ）的极值；（Ⅲ）若a ＞0，g （x ）=x 2e mx ，且对任意的x 1，x 2∈[0，2]，f （x 1）≥g （x 2）恒成立，求实数m 的取值范围．【考点】利用导数研究函数的极值；函数恒成立问题；利用导数研究曲线上某点切线方程． 【分析】（Ⅰ）求出函数的导数，结合切线方程求出a 的值即可；（Ⅱ）求出函数的导数，通过讨论a 的范围，求出函数的单调区间，从而求出函数的极值即可； （Ⅲ）问题转化为当a ＞0时，对任意的x 1，x 2∈[0，2]，f min （x ）≥g max （x ）成立”，通过讨论a 的范围，结合函数的单调性，分别求出函数f （x ）的最小值和g （x ）的最大值，从而求出m 的范围即可．【解答】解：（Ⅰ），∴f'（0）=a ．…函数f （x ）图象在点（0，1）处的切线方程为x ﹣2y+1=0∴．…（Ⅱ）由题意可知，函数f （x ）的定义域为R ，．…当a ＞0时，x ∈（﹣1，1），f'（x ）＞0，f （x ）为增函数， x ∈（﹣∞，﹣1），（1，+∞），f'（x ）＜0，f （x ）为减函数，所以，．当a ＜0时，x ∈（﹣1，1），f'（x ）＜0，f （x ）为减函数， x ∈（﹣∞，﹣1），（1，+∞），f'（x ）＞0，f （x ）为增函数，所以，．…（Ⅲ）“对任意的x 1，x 2∈[0，2]，f （x 1）≥g （x 2）恒成立”等价于“当a ＞0时，对任意的x 1，x 2∈[0，2]，f min （x ）≥g max （x ）成立”，当a ＞0时，由（Ⅱ）可知，函数f （x ）在[0，1]上单调递增，在[1，2]上单调递减，而f （x ）=tanx ，所以f （x ）的最小值为f （0）=1，g'（x ）=2xe mx +x 2e mx •m=（mx 2+2x ）e mx ， 当m=0时，g （x ）=x 2，x ∈[0，2]时，g max （x ）=g （2）=4，显然不满足g max （x ）≤1，…当m ≠0时，令g'（x ）=0得，x 1=0，，（ⅰ）当，即﹣1≤m＜0时，在[0，2]上g'（x）≥0，所以g（x）在[0，2]单调递增，所以，只需4e2m≤1，得m≤﹣ln2，所以﹣1≤m≤﹣ln2．…（ⅱ）当，即m＜﹣1时，在，g'（x）≥0，g（x）单调递增，在，g'（x）＜0，g（x）单调递减，所以，只需，得，所以m＜﹣1．…（ⅲ）当，即m＞0时，显然在[0，2]上g'（x）≥0，g（x）单调递增，，4e2m≤1不成立，…综上所述，m的取值范围是（﹣∞，﹣ln2]．…。
2019-2020学年山东省潍坊市高三(上)期末数学试卷
2019-2020学年山东省潍坊市高三（上）期末数学试卷一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．（5分）已知集合2{|230}A x x x =--„，{|21B x x =-<„且}x Z ∈，则(A B =I ) A ．{2-，1}-B ．{1-，0}C ．{2-，0}D ．{1-，1}2．（5分）设(1)1(i a bi i +=+是虚数单位），其中a ，b 是实数，则||(a bi += ) A ．1B ．2C ．3D ．23．（5分）已知随机变量ξ服从正态分布2(1,)N σ，若(4)0.9P ξ<=，则(21)(P ξ-<<= )A ．0.2B ．0.3C ．0.4D ．0.64．（5分）《算数书》竹简于上世纪八十年代在湖北省江陵县张家山出土，这是我国现存最早的有系统的数学典籍，其中记载有求“囷盖”的术：置如其周，令相乘也，又以高乘之，三十六成一，该术相当于给出了由圆锥的底面周长L 与高h ，计算其体积V 的近似公式2136V L h ≈，它实际上是将圆锥体积公式中的圆周率π近似取为3，那么，近似公式2275V L h ≈相当于将圆锥体积公式中的π近似取为( ) A ．227B ．258C ．15750D ．3551135．（5分）函数()y f x =与()y g x =的图象如图所示，则()()y f x g x =g 的部分图象可能是()A ．B ．C ．D ．6．（5分）已知某超市为顾客提供四种结账方式：现金、支付宝、微信、银联卡．若顾客甲只会用现金结账，顾客乙只会用现金和银联卡结账，顾客丙与甲、乙结账方式不同，丁用哪种结账方式都可以若甲乙丙丁购物后依次结账，那么他们结账方式的组合种数共有( ) A ．36种B ．30种C ．24种D ．20种7．（5分）已知3sin()45πα-=，且α为锐角，则cos (α= )A ．B ．C D8．（5分）已知点P 为双曲线2222:1(00)x y C a b a b -=>>g 右支上一点，1F ，2F 分别为C 的左，右焦点，直线1PF 与C 的一条渐近线垂直，垂足为H ，若11||4||PF HF =，则该双曲线的离心率为( )A B C ．53D ．73二、多项选择题：本大题共4个小题．每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分．选对但不全的得3分，有选错的得0分． 9．（5分）等腰直角三角形直角边长为1，现将该三角形绕其某一边旋转一周，则所形成的几何体的表面积可以为( )AB ．(1π+C ．D ．(2)10．（5分）已知2()2cos 21(0)f x x x ωωω=->的最小正周期为π，则下列说法正确的有( ) A ．2ω=B ．函数()f x 在[0,]6π上为增函数C ．直线3x π=要是函数()y f x =图象的一条对称轴D ．点5(,0)12π是函数()y f x =图象的一个对称中心11．（5分）已知等比数列{}n a 的公比23q =-，等差数列{}n b 的首项112b =，若99a b >且1010a b >，则以下结论正确的有( ) A ．9100a a <g B ．910a a >C ．100b >D ．910b b >12．（5分）把方程||||1169x x y y +=-表示的曲线作为函数()y f x =的图象，则下列结论正确的有( )A ．()y f x =的图象不经过第一象限B ．()f x 在R 上单调递增C ．()y f x =的图象上的点到坐标原点的距离的最小值为3D ．函数()4()3g x f x x =+不存在零点三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.13．（5分）向量(,4)a x =-r，(1,)b x =-r ，若a r 与b r 共线，则实数x = ． 14．（5分）已知圆22(2)(1)2x y -+-=关于直线1(0,0)ax by a b +=>>对称，则21a b+的最小值为 ．15．（5分）已知P 是抛物线24y x =上的动点，点P 在y 轴上的射影是M ，点A 的坐标为(2,3)，则||||PA PM +的最小值是 ．16．（5分）正方体1111ABCD A B C D -的棱长为1，点K 在棱11A B 上运动，过A ，C ，K 三点作正方体的截面，若K 为棱11A B 的中点，则截面面积为 ，若截面把正方体分成体积之比为2:1的两部分，则11A KKB = ．四、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17．（10分）已知各项均不相等的等差数列{}n a 的前4项和为10，且1a ，2a ，4a 是等比数列{}n b 的前3项． （1）求n a ，n b ； （2）设(){}1,1n n n n n c b c a a =++求的前n 项和n S ．18．（12分）在底面为正方形的四棱锥P ABCD -中，平面PAD ⊥平面ABCD ，PA PD =，E ，F 分别为棱PC 和AB 的中点．（1）求证：//EF 平面PAD ； （2）若直线PC 与AB 所成角的正切值为52，求平面PAD 与平面PBC 所成锐二面的大小．19．（12分）在①3sin 4cos a C c A =，②2sin 5sin 2B Cb a B +=这两个条件中任选一个，补充在下面问题中，然后解答补充完整的题．在ABC ∆中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知 ，32a =． （1）求sin A ；（2）如图，M 为边AC 上一点MC MB =．2ABM π∠=，求ABC ∆的面积．注：如果选择两个条件分别解答，按第一个解答计分．20．（12分）读书可以使人保持思想活力，让人得到智慧启发，让人滋养浩然正气．书籍是文化的重要载体，读书是承继文化的重要方式．某地区为了解学生课余时间的读书情况，随机抽取了n 名学生进行调查，根据调查得到的学生日均课余读书时间绘制成如图所示的频率分布直方图．将日均课余读书时间不低于40分钟的学生称为“读书之星”，日均课余读书时间低于40分钟的学生称为“非读书之星”．已知抽取的样本中日均课余读书时间低于10分钟的有10人． （1）求n ，p 的值；（2）根据已知条件完成下面的22⨯列联表，并判断是否有95%以上的把握认为“读书之星”与性别有关？非读书之星 读书之星总计男 女 10 55 总计（3）将上述调查所得到的频率视为概率，现从该地区大量学生中，随机抽取3名学生，每次抽取1名，已知每个人是否被抽到互不影响，记被抽取的“读书之星”人数为随机变量X ，求X 的分布列和期望()E X ． 附：()()()()()22,n ad bc K n a b c d a b c d a c b d -==+++++++其中．20()P K k … 0.10 0.050 0.025 0.010 0.005 0.001 0k2.7063.8415.0246.6357.87910.82821．（12分）在平面直角坐标系中，( 1.0)A -，(1,0)B ，设ABC ∆的内切圆分别与边AC ，BC ，AB 相切于点P ，Q ，R ，已知||1CP =，记动点C 的轨迹为曲线E ．（1）求曲线E 的方程；（2）过(2,0)G 的直线与y 轴正半轴交于点S ，与曲线E 交于点H ，HA x ⊥轴，过S 的另一直线与曲线E 交于M 、N 两点，若6SMG SHN S S ∆∆=，求直线MN 的方程． 22．（12分）已知函数2()1()()x f x ae x a R g x x =--∈= （1）讨论函数()f x 的单调性；（2）当0a >时，若曲线1:()1C y f x x =++与曲线2:()C y g x =存在唯一的公切线，求实数a 的值；（3）当1a =，0x …时，不等式()(1)f x kxln x +…恒成立，求实数k 的取值范围．2019-2020学年山东省潍坊市高三（上）期末数学试卷参考答案与试题解析一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．（5分）已知集合2{|230}A x x x =--„，{|21B x x =-<„且}x Z ∈，则(A B =I ) A ．{2-，1}-B ．{1-，0}C ．{2-，0}D ．{1-，1}【解答】解：{|13}A x x =-Q 剟，{2B =-，1-，0}， {1A B ∴=-I ，0}．故选：B ．2．（5分）设(1)1(i a bi i +=+是虚数单位），其中a ，b 是实数，则||(a bi += )A ．1B C D ．2【解答】解：由(1)1i a bi +=+，得1a ai bi +=+，∴1a ab =⎧⎨=⎩，则1a b ==．|||1|a bi i ∴+=+=故选：B ．3．（5分）已知随机变量ξ服从正态分布2(1,)N σ，若(4)0.9P ξ<=，则(21)(P ξ-<<= )A ．0.2B ．0.3C ．0.4D ．0.6【解答】解：Q 随机变量ξ服从正态分布2(1,)N σ，∴正态分布曲线的对称轴方程为1x =，由(4)0.9P ξ<=，得(4)(2)0.1P P ξξ>=<-=， 则11(21)(24)0.80.422P P ξξ-<<=-<<=⨯=． 故选：C ．4．（5分）《算数书》竹简于上世纪八十年代在湖北省江陵县张家山出土，这是我国现存最早的有系统的数学典籍，其中记载有求“囷盖”的术：置如其周，令相乘也，又以高乘之，三十六成一，该术相当于给出了由圆锥的底面周长L 与高h ，计算其体积V 的近似公式2136V L h ≈，它实际上是将圆锥体积公式中的圆周率π近似取为3，那么，近似公式2275V L h ≈相当于将圆锥体积公式中的π近似取为( ) A ．227B ．258C ．15750D ．355113【解答】解：设圆锥底面圆的半径为r ，高为h ，则2L r π=，∴2212(2)375r h r h ππ=， 258π∴=． 故选：B ．5．（5分）函数()y f x =与()y g x =的图象如图所示，则()()y f x g x =g 的部分图象可能是()A ．B ．C ．D ．【解答】解：由图可知，当(,)2x π∈-∞-时，0y <；当(,0)2x π∈-时，0y >；当(0,)2x π∈时，0y <；当(,)2x π∈+∞时，0y >；符合要求的只有选项A ． 故选：A ．6．（5分）已知某超市为顾客提供四种结账方式：现金、支付宝、微信、银联卡．若顾客甲只会用现金结账，顾客乙只会用现金和银联卡结账，顾客丙与甲、乙结账方式不同，丁用哪种结账方式都可以若甲乙丙丁购物后依次结账，那么他们结账方式的组合种数共有( ) A ．36种B ．30种C ．24种D ．20种【解答】解：根据题意，依次分析四人的结账方式：对于甲，只会用现金结账，有1种方式， 对于乙，只会用现金和银联卡结账，有2种方式，对于丙，与甲、乙结账方式不同，若乙用现金，则丙有3种方式，若乙用银行卡，则丙有2种方式，对于丁，用哪种结账方式都可以，有4种方式， 则他们结账方式的组合有342420⨯+⨯=种， 故选：D ．7．（5分）已知3sin()45πα-=，且α为锐角，则cos (α= )A ．10-B ．10C ．10D ．10【解答】解：由于3sin()45πα-=，且α为锐角，则444πππα-<-<，即4cos()45πα-==，则cos cos[()]44ππαα=-+cos()cos sin()sin 4444ππππαα=---43()55=-=． 故选：C ．8．（5分）已知点P 为双曲线2222:1(00)x y C a b a b-=>>g 右支上一点，1F ，2F 分别为C 的左，右焦点，直线1PF 与C 的一条渐近线垂直，垂足为H ，若11||4||PF HF =，则该双曲线的离心率为( )A B C ．53D ．73【解答】解：如图：取1PF 的中点M ． 11||4||PF HF =Q ，2//OH MF ∴．Q 直线1PF 垂直OH ，垂足为H ，21MF PF ∴⊥，故△12PF F 为等腰三角形． 2122PF F F c ∴==，可得122PF a c =+．121tan tan bF F M FOH a∠=∠=Q ， 112112sin sin 2MF a c bF F M FOH F F c c+∴∠===∠=． 2a c b ∴+=，2222()4()3250a c c a e e ⇒+=-⇒--=，解得53e =，故选：C ．二、多项选择题：本大题共4个小题．每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分．选对但不全的得3分，有选错的得0分． 9．（5分）等腰直角三角形直角边长为1，现将该三角形绕其某一边旋转一周，则所形成的几何体的表面积可以为( ) A 2πB ．(12)π+C ．22πD ．(22)π【解答】解：若绕一条直角边旋转一周时，则圆锥的底面半径为1，高为1，所以母线长2l 这时表面积为21211(12)2l πππ+=g gg g ；若绕斜边一周时旋转体为L 2，一个圆锥的母线长为1，所以表面积1222S =g 212ππ=g ，2π， 故选：AB ．10．（5分）已知2()2cos 321(0)f x x x ωωω=->的最小正周期为π，则下列说法正确的有( ) A ．2ω=B ．函数()f x 在[0,]6π上为增函数C ．直线3x π=要是函数()y f x =图象的一条对称轴D ．点5(,0)12π是函数()y f x =图象的一个对称中心【解答】解：Q 2()2cos 21(0)cos222cos(2)3f x x x x x x πωωωωωω=->==-的最小正周期为22ππω=， 1ω∴=，()2cos(2)3f x x π∴=-，故A 错误．在[0,]6π上，2[33x ππ-∈-，0]，故()2cos(2)3f x x π=- 单调递增，故B 正确；当3x π=时，()1f x =，不是最值，故直线3x π=不是函数()y f x =图象的一条对称轴，故C错误； 当512x π=时，()0f x =，故点5(,0)12π是函数()y f x =图象的一个对称中心，故D 正确， 故选：BD ．11．（5分）已知等比数列{}n a 的公比23q =-，等差数列{}n b 的首项112b =，若99a b >且1010a b >，则以下结论正确的有( ) A ．9100a a <gB ．910a a >C ．100b >D ．910b b >【解答】解：数列{}n a 是公比q 为23-的等比数列，{}n b 是首项为12，公差设为d 的等差数列，则8912()3a a =-，91012()3a a =-，21791012()03a a a ∴=-<g ，故A 正确；1a Q 正负不确定，故B 错误；10a Q 正负不确定，∴由1010a b >，不能求得10b 的符号，故C 错误；由99a b >且1010a b >，则812()1283a d ->+，912()1293a d ->+，可得等差数列{}n b 一定是递减数列，即0d <， 即有9910a b b >>，故D 正确．故选：AD．12．（5分）把方程||||1169x x y y+=-表示的曲线作为函数()y f x=的图象，则下列结论正确的有()A．()y f x=的图象不经过第一象限B．()f x在R上单调递增C．()y f x=的图象上的点到坐标原点的距离的最小值为3 D．函数()4()3g x f x x=+不存在零点【解答】解：根据题意画出方程||||1169x x y y+=-曲线即为函数()y f x=的图象，如图所示．轨迹是两段双曲线的一部分加上一段的椭圆圆弧组成的图形．从图形中可以看出，关于函数()y f x=的有下列说法：A图象不过第一象限，正确；B，()f x在R上单调递减，故B错误．C，由图象可知，()y f x=的图象上的点到坐标原点的距离的最小值为3，C正确；D，由于4()30f x x+=即3 ()4xf x=-，从而图形上看，函数()f x的图象与直线34xy=-没有交点，故函数()4()3F x f x x=+不存在零点，故D正确．故选：ACD．三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.13．（5分）向量(,4)a x =-r，(1,)b x =-r ，若a r 与b r 共线，则实数x = 2± ． 【解答】解：向量(,4)a x =-r，(1,)b x =-r ， 若a r与b r 共线，则2(4)10x ---⨯=，解得2x =±． 故答案为：2±．14．（5分）已知圆22(2)(1)2x y -+-=关于直线1(0,0)ax by a b +=>>对称，则21a b+的最小值为 9 ．【解答】解：圆22(2)(1)2x y -+-=关于直线1(0,0)ax by a b +=>>对称，21a b ∴+=，则21212222()(2)5529b a b a a b a b a b a b a b+=++=+++=g …， 当且仅当22b a a b =即13a b =时取等号，此时取得最小值9． 故答案为：915．（5分）已知P 是抛物线24y x =上的动点，点P 在y 轴上的射影是M ，点A 的坐标为(2,3)，则||||PA PM +的最小值是101 ．【解答】解：当2x =时，2428y =⨯=，所以22y =±||22y =32>，所以点A在抛物线的外侧，延长PM交直线1x=-，由抛物线的定义可知||||1||PN PM PF=+=，当三点A，P，F共线时，||||PA PF+最小，此时为||||||PA PF AF+=，又焦点坐标为(1,0)F，所以22||(21)310 AF=-+=，即||1||PM PA++的最小值为10，所以||||PM PA+的最小值为101-，故答案为：101-．16．（5分）正方体1111ABCD A B C D-的棱长为1，点K在棱11A B上运动，过A，C，K三点作正方体的截面，若K为棱11A B的中点，则截面面积为98，若截面把正方体分成体积之比为2:1的两部分，则11A KKB=．【解答】解：如图，过K作//KM AC，交11B C于M，连结MC，则平面ACMK 是过A ，C ，K 三点的正方体的截面，K Q 为棱11A B 的中点，M ∴是11B C 的中点，221121122KM AC ∴==+=，∴截面ACMK 的面积为221229(2)1()248S =⨯+⨯+=． 正方体1111ABCD A B C D -的棱长为1，点K 在棱11A B 上运动， 截面ACMK 把正方体分成体积之比为2:1的两部分， 设1B K x =，则1B M x =，11A K x =-，∴22222111111(11)11322223x x ++=g g g g g g ， 整理，得210x x +-=， 由01x <<，解得51x -=， ∴11511151251A K xKB x----===-．故答案为：98，51-．四、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17．（10分）已知各项均不相等的等差数列{}n a 的前4项和为10，且1a ，2a ，4a 是等比数列{}n b 的前3项． （1）求n a ，n b ； （2）设(){}1,1n n n n n c b c a a =++求的前n 项和n S ．【解答】解：（1）设数列{}n a 的公差为(0)d d ≠， 由题意，4114(41)446102S a d a d ⨯-=+=+=，① 又1a Q ，2a ，4a 成等比数列，∴2214a a a =， 即2111()(3)a d a a d +=+，得1a d =，② 联立①②可得，11a d ==． n a n ∴=，12n n b -=；（2）Q 1112(1)(1)n n n n n c b a a n n -=+=+++， ∴01111111(222)(1)2231n n S n n -=++⋯++-+-+⋯+-+ 1211121211n n n n -=+-=--++． ∴数列{}n c 的前n 项和为121n n S n =-+． 18．（12分）在底面为正方形的四棱锥P ABCD -中，平面PAD ⊥平面ABCD ，PA PD =，E ，F 分别为棱PC 和AB 的中点．（1）求证：//EF 平面PAD ； （2）若直线PC 与AB 所成角的正切值为5，求平面PAD 与平面PBC 所成锐二面的大小．【解答】解：（1）证明：取CD 的中点M ，连结EM ，FM ，E Q ，F 分别为PC 和AB 的中点，四边形ABCD 是正方形， //EM PD ∴，//FM AD ，EM FM M =Q I ，PD AD D =I ，∴平面//EFM 平面PAD ，EF ⊂Q 平面EFM ，//EF ∴平面PAD ．（2）解：Q 平面PAD ⊥平面ABCD ，平面PAD ⋂平面ABCD AD =，CD AD ⊥，CD ⊂平面ABCD ， CD ∴⊥平面PAD ，CD PD ∴⊥，//AB CD Q ，PCD ∴∠是直线PC 与AB 所成角，5tan PD PCD DC ∴∠==，设5PD =，2CD =， 分别取AD 和BC 的中点O ，N ，连结PO ，ON ，PA PD =Q ，PO AD ∴⊥，Q 平面PAD ⊥平面ABCD ，平面PAD ⋂平面ABCD AD =，PO ⊂平面PAD ，PO ∴⊥平面ABCD ，以O 为原点，OA 为x 轴，ON 为y 轴，OP 为z 轴，建立空间直角坐标系， 则(0P ，0，2)，(1C -，2，0)，(1B ，2，0)， ∴(2CB =u u u r ，0，0)，(1CP =u u u r，2-，2)， 设(m x =r，y ，)z 是平面BPC 的一个法向量，则20220m CB x m CP x y z ⎧==⎪⎨=-+=⎪⎩u u u r r g u u u rr g ，取1y =，得(0m =r ，1，1)， 平面PAD 的一个法向量(0n =r，1，0)，2cos ,||||21m n m n m n ∴<>===⨯r r g r r r r g ，,4m n π<>=r r，∴平面PAD 与平面PBC 所成锐二面的大小为4π．19．（12分）在①3sin 4cos a C c A =，②2sin 5sin 2B Cb a B +这两个条件中任选一个，补充在下面问题中，然后解答补充完整的题．在ABC ∆中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知 ①② ，32a =．（1）求sin A ；（2）如图，M 为边AC 上一点MC MB =．2ABM π∠=，求ABC ∆的面积．注：如果选择两个条件分别解答，按第一个解答计分．【解答】解：若选择条件①，则：（1）在ABC ∆中，由正弦定理可得3sin sin 4sin cos A C C A =， 因为sin 0C ≠，所以3sin 4cos A A =，可得229sin 16cos A A =， 所以225sin 16A =， 因为sin 0A >， 所以4sin 5A =． （2）设BM MC m ==，易知4cos cos sin 5BMC BMA A ∠=-∠=-=-，在BMC ∆中，由余弦定理可得2241822()5m m =--g ，解得5m =，所以21133sin 52252BMC S m BMC ∆=∠=⨯⨯=，在Rt ABM ∆中，4sin 5A =，5BM =，2ABM π∠=，所以35AB =，所以158ABM S ∆=， 所以31527288ABCBMC ABM S S S ∆∆∆=+=+=． 若选择②，则： （1）因为2sin 5sin 2B Cb a B +=， 所以2sin5sin 2Ab a B π-，由正弦定理可得2sin cos 5sin 2AB A B ， 因为sin 0B ≠， 所以2cos52A A ，2cos 52sin cos 222A A A ⨯，因为cos 02A≠， 可得sin 25A =，则cos 25A =，所以4sin 2sincos 225A A A ==． （2）同选择①．20．（12分）读书可以使人保持思想活力，让人得到智慧启发，让人滋养浩然正气．书籍是文化的重要载体，读书是承继文化的重要方式．某地区为了解学生课余时间的读书情况，随机抽取了n 名学生进行调查，根据调查得到的学生日均课余读书时间绘制成如图所示的频率分布直方图．将日均课余读书时间不低于40分钟的学生称为“读书之星”，日均课余读书时间低于40分钟的学生称为“非读书之星”．已知抽取的样本中日均课余读书时间低于10分钟的有10人． （1）求n ，p 的值；（2）根据已知条件完成下面的22⨯列联表，并判断是否有95%以上的把握认为“读书之星”与性别有关？非读书之星 读书之星总计 男 女 10 55 总计（3）将上述调查所得到的频率视为概率，现从该地区大量学生中，随机抽取3名学生，每次抽取1名，已知每个人是否被抽到互不影响，记被抽取的“读书之星”人数为随机变量X ，求X 的分布列和期望()E X ． 附：()()()()()22,n ad bc K n a b c d a b c d a c b d -==+++++++其中．20()P K k …0.100.0500.025 0.010 0.005 0.0010k2.7063.841 5.024 6.635 7.879 10.828【解答】解：（1）由频率分布直方图可知0.01p =， 抽取的样本中日均课余读书时间低于10分钟的有10人． 101000.1n ∴==． （2）100n =Q ，∴ “读书之星”有1000.2525⨯=， 从而22⨯列联表如下图所示：非读书之星 读书之星总计 男 30 15 45 女 45 10 55 总计7525100将22⨯列联表中的数据代入公式计算得：22100(30101545)100 3.030 3.8414555752525K ⨯⨯-⨯=≈<⨯⨯⨯．∴没有95%以上的把握认为“读书之星”与性别有关．（3）将频率视为概率，即从该地区学生中抽取一名学生是“读书之星”的概率为14， 由题意得1~(3,)4X B ，033327(0)()464P X C ∴===， 1231327(1)()()4464P X C ===， 223139(2)()()4449P X C ==⨯=， 33311(3)()464P X C ===，X ∴的分布列为：13()344E X =⨯=． 21．（12分）在平面直角坐标系中，( 1.0)A -，(1,0)B ，设ABC ∆的内切圆分别与边AC ，BC ，AB 相切于点P ，Q ，R ，已知||1CP =，记动点C 的轨迹为曲线E ．（1）求曲线E 的方程；（2）过(2,0)G 的直线与y 轴正半轴交于点S ，与曲线E 交于点H ，HA x ⊥轴，过S 的另一直线与曲线E 交于M 、N 两点，若6SMG SHN S S ∆∆=，求直线MN 的方程．【解答】解：（1）由题意知，||||||||||||2||||4||CA CB CP CQ AP BQ CP AB AB +=+++=+=>，∴曲线E 是以A ，B 为焦点，长轴长为4的椭圆（除去与x 轴的交点），设曲线2222:1(0,0)x y E a b y a b++>>≠，则1c =，24a =，即2a =，2223b a c =-=，∴曲线E 的方程为221(0)43x y y +=≠；（2）因为HA x ⊥轴，所以3(1,)2H -，设0(0,)S y ，∴03223y --=-，解得01y =，则(0,1)S ， 因为2a c =，所以||2||SG SH =，∴1||||sin 2||261||||||sin 2SMG SHN SM SG MSGS SM S SN SN SH NSH ∆∆∠===∠，∴||3||SM SN =，则3SM SN =-u u u r uu u r ， 设1(M x ，1)y ，2(N x ，2)y ，则1122(,1),(,1)SM x y SN x y =-=-u u u r u u u r，则123x x =-， ①当直线MN 斜率不存在时，MN 的方程为0x =， 此时||2||SM SN ==，不符合条件，舍去； ②当直线MN 的斜率存在时，设直线MN 的方程为1y kx =+，联立221143y kx x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩，得22(34)880k x kx ++-=，∴122122834834k x x k x x k -⎧+=⎪⎪+⎨-⎪=⎪+⎩，将123x x =-代入得，2222282348334k x k x k -⎧-=⎪⎪+⎨⎪=⎪+⎩，∴222483()3434k k k =++， ∴232k =，解得k =，∴直线MN的方程为1y =+或1y =+． 22．（12分）已知函数2()1()()x f x ae x a R g x x =--∈= （1）讨论函数()f x 的单调性；（2）当0a >时，若曲线1:()1C y f x x =++与曲线2:()C y g x =存在唯一的公切线，求实数a 的值；（3）当1a =，0x …时，不等式()(1)f x kxln x +…恒成立，求实数k 的取值范围．【解答】解：（1）()1x f x ae x =--，()1x f x ae '=-， 当0a „时，f ‘()0x „，在R 上单调递减； 当0a >时，()0f x '=时，x lna =-，当(,)x lna ∈-∞-，()0f x '<，()f x 递减；当(,)x lna ∈-+∞，f ‘()0x >，()f x 递增； （2）曲线1:()1x C y f x x ae =++=，22:()C y g x x ==，设公切线与1C ，2C 的切点为11(,)x x ae ，222(,)x x ，易知12x x ≠， 由11222122x x ae x k ae x x x -===-，1222122222222x x x x ae x x x -=-=-，所以2122222x x x x -=，由0a >，故20x >，所以21220x x =->，故11x >， 所以1121124(1)(1)x x x x a x e e -==>， 构造函数4(1)()xx F x e -=，(1)x >问题等价于直线y a =与曲线()y F x =在1x >时有且只有一个交点，4(2)()xx F x e-'=，当(1,2)x ∈时，()F x 递增；当(2,)x ∈+∞时，()F x 递减； ()F x 的最大值为F （2）24e =，F （1）0=，当x →+∞时，()0F x →， 故24a e =； （3）当1a =时，()1x f x e x =--，设()1(1)(0)x h x e x kxln x x =---+…，(0)0h =， ()1[(1)]1x xh x e k ln x x '=--+++，(0)0h '= 211()[]1(1)x h x e k x x ''=-+++，(0)12h k ''=-， ①当120k -…，即12k „时，由0x …，1x e …，2211111[][]11(1)21(1)k x x x x ++++++剟， 则()0h x ''…，()h x '在[0，)+∞递增，故()(0)0h x h ''=…， 所以()h x 在[0，)+∞递增，由(0)0h =， 所以()0h x …成立；②当12k >时，(0)0h ''<，由()h x ''在[0，)+∞单调递增， 令20x ln k =>，则211(2)2[]22012(12)h ln k k k k k ln k ln k ''=-+>-=++， 故在(0,2)ln k 存在唯一的零点m ，使得()0h m ''=， 当(0,)x m ∈时，()h x '递减，又(0)0h '=，所以()0h x '<； 即()h x 在(0,)m 递减，由(0)0h =， 所以()0h x <，(0,)x m ∈， 所以12k >不成立， 综上，(k ∈-∞，1]2．。
山东省2019-2020学年高三上学期期末考试数学(理)试题含答案
山东省2019-2020学年度第一学期期末考试高三理科数学试题一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合{}2=5A x x x >，{}=1,3,7B -，则AB =( )A.{}1-B.{}7C.{}1,3-D.{}1,7-2.复数z 的共轭复数()()122+z i i =+，则z =( ) A.5i -B.5iC.1+5iD.15i -3.某校连续12天对同学们的着装进行检查，着装不合格的人数用茎叶图表示，如图，则该组数据的中位数、众数、极差分别是( )A.24，33，27B.27，35，28C.27，35，27D.30，35，284.已知322παπ⎛⎫∈⎪⎝⎭，，1sin 23πα⎛⎫+= ⎪⎝⎭，则()tan 2πα+=( )A.7B.5±C.7±D.55.南宋数学家秦九韶在《数书九章》中提出的秦九韶算法至今仍是多项式求值比较先进的算法，已知()201720162018201721f x xx x =++++，下列程序框图设计的是求()0f x 的值，在M 处应填的执行语句是( )A.n i =B.2018n i =-C.1n i =+D.2017n i =-6.将函数()sin cos 1f x x x =-+的图像上每个点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变），再向左平移3π个单位长度，得到函数()y g x =的图像，则函数()y g x =的图像的一个对称中心为( ) A.06π⎛⎫⎪⎝⎭，B.16π⎛⎫⎪⎝⎭，C.706π⎛⎫⎪⎝⎭，D.716π⎛⎫⎪⎝⎭， 7.已知等边AOB ∆（O 为坐标原点）的三个顶点在抛物线()2:20y px p Γ=>上，且AOB ∆的面积为p =( )B.3C.28.在ABC ∆中，内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，且c o s 02ba B c --=，272a bc =，b c >，则bc =( ) A.32B.2C.3D.529.函数()33sin x f x x=，()(),00,x ππ∈-的大致图像是( )A. B. C. D.10.某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为( )A.53π B.43πC.2πD.3π11.在斜三棱柱111ABC A B C -中，侧棱1AA ⊥平面11AB C ，且11AB C ∆为等边三角形，11122B C AA ==，则直线AB 与平面11B C CB 所成角的正切值为( )A.3B.2C.4D.212.已知双曲线()222210,0x y C a b a b -=>>：的左、右焦点分别为12,F F ，A 是双曲线的左顶点，双曲线C 的一条渐近线与直线2a x c=-交于点P ，1=F M MP ，且1F P AM ⊥，则双曲线C 的离心率为( ) A.3C.2二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13.已知()52211x a x ⎛⎫++ ⎪⎝⎭的展开式中的常数项为8，则a =_________.14.平行四边形A B C D 中，24AB AD ==，23DAB π∠=，14DP DC =，则P A P B ⋅=_________.15.已知实数,x y 满足不等式组240240x kx y x y ≥⎧⎪-+≥⎨⎪--≤⎩，若2z x y =+的最小值为8，则22x y +的取值范围是________.16.若不等式()()21112x n x ax ax ++<+在()0+∞，上恒成立，则a 的取值范围是________.三、解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17.已知数列{}n a ，满足11a =，11233n n n n a a a a +++=； （1）求{}n a 的通项公式； （2）若()1111n n n n c a a ++=-，求{}n c 的前2n 项的和2n T .18.如图，直三棱柱111ABC A B C -中，侧面11AA B B 是正方形，AC ⊥侧面11AA B B ，AC AB =，点E 是11B C 的中点.（1）求证：1C A //平面1EBA ；（2）若1EF BC ⊥，垂足为F ，求二面角1B AF A --的余弦值.19.2017年是某市大力推进居民生活垃圾分类的关键一年，有关部门为宣传垃圾分类知识，面向该市市民进行了一次“垃圾分类知识”的网络问卷调查，每位市民仅有一次参与机会，通过抽样，得到参与问卷调查中的1000人的得分数据，其频率分布直方图如图所示：（1）估计该组数据的中位数、众数；（2）由频率分布直方图可以认为，此次问卷调查的得分Z 服从正态分布()210N μ，，μ近似为这1000人得分的平均值（同一组数据用该区间的中点值作代表），利用该正态分布，求()50.594P Z <<；（3）在（2）的条件下，有关部门为此次参加问卷调查的市民制定如下奖励方案： （ⅰ）得分不低于μ可获赠2次随机话费，得分低于μ则只有1次； （ⅱ）每次赠送的随机话费和对应概率如下：现有一位市民要参加此次问卷调查，记X (单位：元）为该市民参加问卷调查获赠的话费，求X 的分布列和数学期望.， 若()2,ZN μσ，则()+=0.6826P Z μσμσ-<<，()2+2=0.9544P Z μσμσ-<<.20.已知抛物线2:2C x py =的焦点为F ，且过点(2,2)A ，椭圆2222:1(0)x y D a b a b+=>>的离心率为e =，点B 为抛物线C 与椭圆D 的一个公共点，且3=2BF . （1）求椭圆D 的方程；（2）过椭圆内一点(0,)P t 的直线l 的斜率为k ，且与椭圆C 交于,M N 两点，设直线OM ，ON （O 为坐标原点）的斜率分别为1k ，2k ，若对任意k ，存在实数λ，使得12+=k k k λ，求实数λ的取值范围. 21.已知函数()()ln 1x mf x ex x m x -=---；（1）若1m =，求证：()f x 在(0,)+∞上单调递增； （2）若()()='g x f x ，试讨论()g x 零点的个数.请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.22.选修4-4：坐标系与参数方程在平面直角坐标系xOy 中，直线l的参数方程为,5x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩（t 为参数），以平面直角坐标系的原点为极点，正半轴为极轴，取相同的长度单位建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为2sin()14πρθ+-.（1）求直线l 和曲线C 的直角坐标方程，并指明曲线C 的形状；（2）设直线l 与曲线C 交于,A B 两点，O 为坐标原点，且||||OA OB <，求11||||OA OB -. 23.选修4-5：不等式选讲 已知函数()12f x x x =--+（1）若不等式()1f x a ≤+恒成立，求a 的取值范围; （2）求不等式()23f x x -+>的解集.试卷答案一、选择题1-5:DABAB 6-10:BCBCA 11、12：DC二、填空题13.3 14.3 15.[]13,32 16.1[,)2+∞三、解答题17.解：（1）由11233n n n n a a a a +++=，得11123n n a a +=+，所以11123n n a a +-=， 所以数列1n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是首项为1，公差为23的等差数列，所以()122111333n n n a =+-=+，即321n a n =+. （2）设21221222111n n n nn n c c a a a a --++=-21212111()n n na a a -+=-所以212+1114=3n n a a ---，即2122413n n nc c a -+=-⋅， 2122334451111n T a a a a a a a a =-+-21222111n nn n a a a a -+++-=2424111()3na a a -+++ 2541()4843333293n n n n ++=-⨯=--. 18.解：（1）如图，连结1BA ，1AB 交于O ，连结OE ，由11AA B B 是正方形，易得O 为1AB 的中点，从而OE 为11C AB ∆的中位线，所以1//EO AC ，因为EO ⊂面1EBA ，1C A ⊄面1EBA ，所以1//C A 平面1EBA .（2）由已知AC ⊥底面11AA B B ，得11A C ⊥底面11AA B B ，得111C A AA ⊥，1111C A A B ⊥，又111A A A B ⊥，故1A A ，11A B ，11A C 两两垂直，如图，分别以1A A ，11A B ，11A C 所在直线为,,x y z 轴，1A 为原点建立空间直角坐标系， 设1=2AA ，则()10,0,0A ，()2,0,0,A ，()10,0,2C ，()0,1,1E ，()2,2,0B ，则()12,2,2C B =-，()1=2,0,0A A ，()=0,2,0AB ， 设()000,y ,F x z ，11C F C B λ=，则由()1000,,z 2C F x y =-，得()()000,y ,22,2,2x z λ-=-，即得0002222x y z λλλ=⎧⎪=⎨⎪=-⎩，于是()2222F λλλ-，，，所以()221,12EF λλλ=--，，又1EF C B ⊥，所以()()()222121220λλλ⨯+-⨯+-⨯-=，解得13λ=， 所以224,,333F ⎛⎫⎪⎝⎭，1224,,333A F ⎛⎫= ⎪⎝⎭，424,,333AF ⎛⎫=- ⎪⎝⎭， 设平面1A AF 的法向量是(),,n x y z =，则111100A A n A F n ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，即2020x x y z =⎧⎨++=⎩，令1z =，得()10,2,1n =-.又平面ABF 的一个法向量为()2111,,n x y z =，则220AB n AF n ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，即111120220y x y z =⎧⎨-++=⎩，令11z =，得()21,0,1n =，设二面角1B AF A --的平面角为θ，则121210cos n n n n θ⋅==⋅， 由1A A AB ⊥，面1FA B ⊥面1AA B ，可知θ为锐角， 即二面角1B AF A --的余弦值为10.19.解：（1）由(0.0025+0.0050+0.0.0150+0.02a +0.0250)10+⨯=，得0.0200a =，设中位数为x ，由().025+.0150+.02010+⨯()60.02500.50x -⨯=，解得65x =，由频率分布直方图可知众数为65. （2）从这1000人问卷调查得到的平均值μ为=350.025+450.15μ⨯⨯+550.20+650.25+⨯⨯750.225+85⨯⨯0.1+950.05⨯ =0.875+6.75+11+16.25+16.875+8.5+4.75=65因为由于得分Z 服从正态分布()65,210N ，所以()50.594=P Z <<()6014.56014.52P Z -<<+⨯0.6826+0.9544=0.81852=.（3）设得分不低于μ分的概率为p ，则()1=2P Z μ≥， X 的取值为10，20，30，40，()14310238P X ==⨯=，()1113313202424432P X ==⨯+⨯⨯=，()12141330()23416P X C ==⨯⨯=，()11114024432P X ==⨯⨯=， 所以X 的分布列为：所以31331751020304083216324EX =⨯+⨯+⨯+⨯=. 20.解：（1）由点()2,2A 在抛物线2:2C x py =上，得22=22p ⨯，解得1p =.所以抛物线C 的方程为22x y =，其焦点1(0,)2F ， 设(),B m n ，则由抛物线的定义可得13()22BF n =--=，解得1n =，代入抛物线方程可得222m n ==，解得m =()B ，椭圆C 的离心率2e ==，所以a =，又点()B 在椭圆上，所以22211a b +=，解得2a =，b =， 所以椭圆D 的方程为22142x y +=.（2）设直线l 的方程为y kx t =+.由22142x y y kx t ⎧+=⎪⎨⎪=+⎩，消元可得()222214240k x ktx t +++-=， 设()11,M x y ，()22,N x y ，则122421ktx x k -+=+，2122242+1t x x k -=， 而1212121212y y kx t kx t k k x x x x +++=+=+12212()422t x x kk x x t +-=+=-，由12k k k λ+=，得242kk t λ-=-， 因为此等式对任意的k 都成立，所以242t λ-=-，即242t λ=-. 由题意得点()0,P t 在椭圆内，故202t ≤<，即4022λ≤-<，解得2λ≥.21.解：（1）1m =时，()1ln x f x ex x -=-，()1'ln 1x f x e x -=--，要证()f x 在()0+∞，上单调递增，只要证：()'0f x ≥对0x >恒成立， 令()1x i x ex -=-，则()1'1x i x e -=-，当1x >时，()'0i x >，当1x <时，()'0i x <，故()i x 在()1-∞，上单调递减，在()1+∞，上单调递增， 所以()()10i x i ≥=，即1x e x -≥（当且仅当1x =时等号成立）， 令()()1ln 0j x x x x =-->，则()1'x j x x-=， 当01x <<时，()'0j x <，当1x >时，()'0j x >，故()j x 在（0，1）上单调递减，在()1+∞，上单调递增，所以()()10j x j ≥=，即ln 1x x ≥+（当且仅当1x =时取等号），()1ln 1x f x e x -'=--()ln 10x x ≥-+≥（当且仅当1x =时等号成立） ()f x 在()0+∞，上单调递增.（2）由()ln x mg x ex m -=--有()()1'0x m g x e x x-=->，显然()'g x 是增函数， 令()0'0g x =，得001x mex -=，00x me x e =，00ln m x x =+， 则(]00,x x ∈时，()'0g x ≤，[)0,x x ∈+∞时，()'0g x ≥，∴()g x 在(]00x ，上是减函数，在[)0,x +∞上是增函数，∴()g x 有极小值，()0000001ln 2ln x m g x e x m x x x -=--=--， ①当1m =时，01x =，()()=10g x g =极小值，()g x 有一个零点1；②1m <时，001x <<，()()011010g x g >=--=，()g x 没有零点；③当1m >时，01x >，()01010g x <--=，又()0m m m em e m g e e m m e -----=+-=>，又对于函数1x y e x =--，'e 10x y =-≥时0x ≥， ∴当0x >时，1010y >--=，即1x e x >+，∴()23ln3m g m e m m =-->21ln3m m m +--=1ln ln3m m +--，令()1ln ln3t m m m =+--，则()11'1m t m m m -=-=， ∵1m >，∴()'0t m >，∴()()12ln30t m t >=->，∴()30g m >，又01m e x -<<，000333ln m x x x =+>，∴()g x 有两个零点，综上，当1m <时，()g x 没有零点；1m =时，()g x 有一个零点；1m >时，()g x 有两个零点.22.解：（1）由5x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩消去参数t ，得2y x =，由2sin()14πρθ+-，得22cos 2sin 10ρρθρθ--+=，所以曲线C 的直角坐标方程为222210x y x y +--+=，即()()22111x y -+-=.即曲线C 是圆心为()1,1，半径1r =的圆. （2）联立直线l 与曲线C 的方程，得22s i n 2cos 10t an 2ρρθρθθ⎧--+=⎨=⎩，消去θ，得2+1=0ρρ-， 设A B 、对应的极径分别为1ρ，2ρ，则12+5ρρ=，12=1ρρ⋅， 所以121211==OA OB ρρρρ--12523.解：（1）因为()()()12123f x x x x x =--+≤--+=， 所以由()1f x a ≤+恒成立得13a +≥，即13a +≥或+13a ≤-所以2a ≥或4a ≤-. （2）不等式1223x x --+>等价于1223x x --+>或1223x x --+<-，5,112233,215,2x x x x x x x x --≥⎧⎪--+=---≤<⎨⎪+<-⎩.图像如下：由图知解集为{8x x <-或}0x >.。
2019年山东省潍坊市中学高三数学理上学期期末试题含解析
2019年山东省潍坊市中学高三数学理上学期期末试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。
在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1. 函数是（）A．奇函数 B．偶函数C．既是奇函数又是偶函数 D．既不是奇函数也不是偶函数参考答案：A2. 已知奇函数y＝f(x)在区间(－∞，0]上的解析式为f(x)＝x2＋x，则切点横坐标为1的切线方程是()A．x＋y＋1＝0B．x＋y－1＝0 C．3x－y－1＝0 D．3x－y＋1＝0参考答案：B略3. 设函数在（1,2）内有零点，则实数a的取值范围是（）A． B． C． D．参考答案：B略4. 某程序的框图如图所示，若输入的z＝i（其中i为虚数单位），则输出的S 值为A．－1B．1C．－iD．i参考答案：D【知识点】算法和程序框图【试题解析】n=1，否，s=i，n=2，否，s=i n=3，否，s=i n=4，否，s=i n=5，否，s=i n=6，是，则输出的值为。
故答案为：D5. 下图是函数在区间上的图象，为了得到这个函数的图象，只要将的图象上所有的点（）A. 向左平移个单位长度，再把所得各点的横坐标缩短到原来的倍，纵坐标不变B. 向左平移个单位长度，再把所得各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变C. 向左平移个单位长度，再把所得各点的横坐标缩短到原来的倍，纵坐标不变D. 向左平移个单位长度，再把所得各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变参考答案：A由图象知，，又，所以，所以函数为，当时，，解得，所以函数为所以要得到函数，则只要先向左平移单位，然后再把所得各点的横坐标缩短到原来的倍，纵坐标不变，选A.6. 若，，则，的位置关系是（）．A．异面直线 B．相交直线C．平行直线 D．相交直线或异面直线参考答案：D7. 函数y=a x-1+1 (a>0且a≠1)的图象一定经过点( )A.（0，1）B. （1，0）C. （1，2）D. （1， 1）参考答案：C略8. 若变量x，y满足约束条件，则z=x+2y的最小值为( )A．﹣6 B．2 C．3 D．4参考答案：C考点：简单线性规划．专题：不等式的解法及应用．分析：画出约束条件不是的可行域，判断目标函数经过的点，求出最小值即可．解答：解：由约束条件画出可行域如图所示，则根据目标函数画出直线，由图形可知将直线l0平移至A点取得z的最小值，解方程组得，即A（1，1）代入可得z=3．故选：C．点评：本题考查线性规划的应用，正确画出已知条件是解题的关键，考查发现问题解决问题的能力．9. 某商场一年中各月份的收入、支出情况的统计如图所示，下列说法中错误的是A.2至3月份的收入的变化率与11至12月份的收入的变化率相同B.支出最高值与支出最低值的比是6:1C.第三季度平均收入为50万元D.利润最高的月份是2月份参考答案：D10. 已知球的直径SC＝4，A，B是该球球面上的两点，AB＝，∠ASC＝∠BSC＝30°，则棱锥S-ABC的体积为()A．3 B．2 C. D．1参考答案：C略二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11. 已知为锐角，则___________参考答案：【分析】先求出，再利用两角和的正弦公式展开，带值计算即可.【详解】解：为锐角，则为钝角，则，，故答案为：.【点睛】本题考查已知角的三角函数值求未知角的三角函数值，关键是要找到已知角和未知角之间的关系，将未知角用已知角表示出来，是基础题.12. (2013·山东)函数的定义域为________．参考答案：13. 设数列是等差数列,,, 则此数列前项和等于参考答案：18014. 如图，在△ABC中，∠ACB=90°，AB=2AC=8，作△ABC外接圆O的切线CD，作BD⊥CD 于D，交圆O于点E，给出下列四个结论：①∠BCD=60°；②DE=2；③BC2=BD?BA；④CE∥AB；则其中正确的序号是．参考答案：①②③④【考点】与圆有关的比例线段．【专题】选作题；转化思想；推理和证明．【分析】利用直角△ABC的边角关系即可得出BC，利用弦切角定理可得∠BCD=∠A=60°．利用直角△BCD的边角关系即可得出CD，BD．再利用切割线定理可得CD2=DE?DB，即可得出DE．利用△ACB∽△CDB，可得BC2=BD?BA；证明∠BCE=∠ABC，可得CE∥AB【解答】解：在△ABC中，∠C=90°，∠A=60°，AB=8，∴BC=AB?sin60°=4．[来源:学&科&网]∵CD是此圆的切线，∴∠BCD=∠A=60°，即①正确．在Rt△BCD中，CD=BC?cos60°=2，BD=BC?sin60°=6．由切割线定理可得CD2=DE?DB，∴12=6DE，解得DE=2，即②正确．∵∠BCD=∠A，∠D=∠ACB，∴△ACB∽△CDB，∴CB：DB=AB：CB，∴BC2=BD?BA，即③正确；④∵∠ECD=∠ABC=30°，∠BCD=60°，∴∠BCE=30°=∠ABC，∴CE∥AB，即④正确；故答案为：①②③④．【点评】熟练掌握直角三角形的边角关系、弦切角定理、切割线定理是解题的关键．15. 在展开式中含的项的系数参考答案：略16. 函数的零点为 .参考答案：117. 一个底面半径为1，高为6的圆柱被一个平面截下一部分，如图12－18，截下部分的母线最大长度为2，最小长度为1，则截下部分的体积是________．图12－18参考答案：三、解答题：本大题共5小题，共72分。
2019年高三上学期期末考试数学理试题含答案
2019年高三上学期期末考试数学理试题含答案一、选择题：共8小题，每小题5分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．1．设全集U={1，3，5，7}，集合M={1，}， {5，7}，则实数a的值为(A)2或－8 (B) －2或－8 (C) －2或8 (D) 2或82．“”是“”的(A) 充分但不必要条件 (B) 必要但不充分条件(C) 充分且必要条件 (D) 既不充分也不必要条件3．从装有2个红球和2个黑球的口袋内任取2个球，则恰有一个红球的概率是(A) (B) (C) (D)4．如图，某三棱锥的三视图都是直角边为的等腰直角三角形，则该三棱锥的四个面的面积中最大的是(A) (B) (C) 1 (D) 25．函数在一个周期内的图象如图所示，则此函数的解析式可能是(A)(B)(C)(D)6．执行如图所示的程序框图，则输出的S值为（表开始S=0, n=0输出Sn=n+1 n>4?否是示不超过x 的最大整数）(A) 4(B) 5(C) 7(D) 97．在平面直角坐标系xOy 中，已知A(1,0)，B （0,1），点C 在第二象限内，，且|OC|=2，若，则，的值是（ ）(A) ，1 (B) 1， (C) -1， (D) -，1 8．已知函数f(x)=,且，集合A={m|f(m)<0}，则 (A) 都有f(m+3)>0 (B) 都有f(m+3)<0 (C) 使得f(m 0+3)=0 (D) 使得f(m 0+3)<0 二、填空题：共6小题，每小题5分，共30分．9．某高中共有学生900人，其中高一年级240人，高二年级260人，为做某项调查，拟采用分层抽样法抽取容量为45的样本，则在高三年级抽取的人数是 ______．10．已知直线y=x+b 与平面区域C:的边界交于A ，B 两点，若|AB|≥2，则b 的取值范围是________.11．是分别经过A(1,1)，B(0, 1)两点的两条平行直线，当间的距离最大时，直线的方程是 ．12．圆与双曲线的渐近线相切，则的值是 _______. 13．已知中，AB=，BC=1，sinC=cosC ，则的面积为______．14．右表给出一个“三角形数阵”.已知每一列数成等差数列，从第三行起，每一行数成等比数列，而且每一行的公比都相等，记第行第列的数为（），则等于 ，.三、解答题：共6小题，共80分.解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程．15．（本题共13分）函数的定义域为集合A ，函数的值域为集合B ． （Ⅰ）求集合A ，B ；（Ⅱ）若集合A ，B 满足,求实数a 的取值范围． 16．（本题共13分）如图，在平面直角坐标系xOy 中，锐角和钝角的终边分别与单位圆交于，两点．， ，， …（Ⅰ）若点的横坐标是，点的纵坐标是，求的值； （Ⅱ） 若∣AB ∣=, 求的值. 17．（本题共14分）如图，在三棱锥P-ABC 中，PA=PB=AB=2，，°,平面PAB 平面ABC ，D 、E 分别为AB 、AC 中点. （Ⅰ）求证：DE‖平面PBC ; （Ⅱ）求证：ABPE ；（Ⅲ）求二面角A-PB-E 的大小. 18．（本题共14分）已知函数2()(0)xax bx cf x a e ++=>的导函数的两个零点为-3和0.（Ⅰ）求的单调区间；（Ⅱ）若f(x)的极小值为，求f(x)在区间上的最大值. 19．（本题共13分）曲线都是以原点O 为对称中心、离心率相等的椭圆．点M 的坐标是（0,1），线段MN 是的短轴，是的长轴.直线与交于A,D 两点（A 在D 的左侧），与交于B,C 两点（B 在C 的左侧）．（Ⅰ）当m= ， 时，求椭圆的方程； （Ⅱ）若OB ∥AN ，求离心率e 的取值范围． 20．（本题共13分）已知曲线，111222(,),(,),,(,),n n n A x y A x y A x y ⋅⋅⋅⋅⋅⋅是曲线C 上的点，且满足，一列点在x 轴上，且是坐标原点）是以为直角顶点的等腰直角三角形． （Ⅰ）求、的坐标； （Ⅱ）求数列的通项公式；（Ⅲ）令，是否存在正整数N ，当n≥N 时，都有，若存在，求出N 的最小值并证明；若不存在，说明理由．丰台区xx ～xx 第一学期期末练习 高三数学（理科）参考答案一、选择题二、填空题：9．20； 10.[-2,2] ； 11. x+2y-3=0； 12．(只写一个答案给3分)； 13．； 14． (第一个空2分，第二个空3分) 三．解答题15．（本题共13分）函数的定义域为集合A ，函数的值域为集合B ． （Ⅰ）求集合A ，B ；（Ⅱ）若集合A ，B 满足,求实数a 的取值范围． 解：（Ⅰ）A===，..………………………..……3分B={|2,2}{|4}xy y a xy a y a =-≤=-<≤-． ………………………..…..7分 ∴或， …………………………………………………………...11分 ∴或，即的取值范围是．…………………….13分16．（本题共13分）如图，在平面直角坐标系xOy 中，锐角和钝角的终边分别与单位圆交于，两点．（Ⅰ）若点的横坐标是，点的纵坐标是，求的值； （Ⅱ） 若∣AB ∣=, 求的值. 解：（Ⅰ）根据三角函数的定义得，， ． ………………………………………………………2分∵的终边在第一象限，∴． ……………………………………………3分∵的终边在第二象限，∴ ．………………………………………4分∴==+=．……………7分（Ⅱ）方法（1）∵∣AB ∣=||=||, ……………………………………9分又∵222||222OB OA OB OA OA OB OA OB -=+-⋅=-⋅，…………………11分 ∴，∴．…………………………………………………………………13分方法（2）∵222||||||1cos 2||||8OA OB AB AOB OA OB +-∠==-， …………………10分 ∴=1||||cos 8OA OB AOB ∠=-． ………………………………… 13分 17．(本题共14分)如图，在三棱锥P-ABC 中，PA=PB=AB=2，，°,平面PAB 平面ABC ，D 、E 分别为AB 、AC 中点． （Ⅰ）求证：DE//平面PBC; （Ⅱ）求证：ABPE ；（Ⅲ）求二面角A-PB-E 的大小． 解：（Ⅰ） D 、E 分别为AB 、AC 中点，∴DE//BC ．DE ⊄平面PBC ，BC ⊂平面PBC ， ∴DE //平面PBC ．…………………………4分 （Ⅱ）连结PD ， PA=PB ，PD AB ． …………………………….5分 ，BC AB ，DE AB ． .... .......................................................................................................6分 又 ，AB 平面PDE ．......................................................................................................8分 PE ⊂平面PDE ，ABPE ． ..........................................................................................................9分C_B（Ⅲ）平面PAB平面ABC，平面PAB平面ABC=AB，PD AB，PD平面ABC．................................................................................................10分如图,以D为原点建立空间直角坐标系B(1,0,0)，P(0,0,)，E(0,,0) ,=(1,0, )，=(0, , ）．设平面PBE的法向量，0,30,2xy⎧-=⎪⎨=⎪⎩令得．............................11分DE平面PAB，平面PAB的法向量为．………………….......................................12分设二面角的大小为，由图知，121212||1cos cos,2n nn nn nθ⋅=<>==⋅，所以即二面角的大小为．..........................................14分18．（本题共14分）已知函数2()(0)xax bx cf x ae++=>的导函数的两个零点为-3和0.（Ⅰ）求的单调区间；（Ⅱ）若f(x)的极小值为，求在区间上的最大值.解：（Ⅰ）222(2)()(2)()()x xx xax b e ax bx c e ax a b x b cf xe e+-++-+-+-'==．.......2分令2()(2)g x ax a b x b c=-+-+-，因为，所以的零点就是2()(2)g x ax a b x b c=-+-+-的零点，且与符号相同.又因为，所以时，g(x)>0,即，………………………4分当时,g(x)<0 ,即，…………………………………………6分所以的单调增区间是（-3，0）,单调减区间是（-∞，-3），（0，+∞）．……7分 （Ⅱ）由（Ⅰ）知，=-3是的极小值点，所以有3393,0,93(2)0,a b c e eb c a a b b c --+⎧=-⎪⎪-=⎨⎪---+-=⎪⎩解得， …………………………………………………………11分 所以.的单调增区间是（-3，0）,单调减区间是（-∞，-3）,（0，+∞）， 为函数的极大值, …………………………………………………12分 在区间上的最大值取和中的最大者. …………….13分 而>5，所以函数f(x)在区间上的最大值是．.…14分19．（本题共13分）曲线都是以原点O 为对称中心、离心率相等的椭圆 . 点M 的坐标是（0,1）,线段MN 是的短轴，是的长轴 . 直线与交于A,D 两点（A 在D 的左侧），与交于B,C 两点（B 在C 的左侧）．（Ⅰ）当m= ， 时，求椭圆的方程； （Ⅱ）若OB ∥AN ，求离心率e 的取值范围． 解：（Ⅰ）设C 1的方程为,C 2的方程为,其中．..2分 C 1 ,C 2的离心率相同，所以,所以，……………………….…3分 C 2的方程为．当m=时，A,C ． .………………………………………….5分 又,所以，，解得a=2或a=(舍)， ………….…………..6分 C 1 ,C 2的方程分别为，．………………………………….7分 （Ⅱ）A(-,m), B(-,m) ． …………………………………………9分 OB ∥AN,,1m =． …………………………………….11分，∴，． ………………………………………12分，∴，∴．........................................................13分20.（本题共13分）已知曲线，111222(,),(,),,(,),n n n A x y A x y A x y ⋅⋅⋅⋅⋅⋅是曲线C 上的点，且满足，一列点在x 轴上，且是坐标原点）是以为直角顶点的等腰直角三角形． （Ⅰ）求，的坐标； （Ⅱ）求数列的通项公式；（Ⅲ）令，是否存在正整数N ，当n≥N 时，都有，若存在，写出N 的最小值并证明;若不存在，说明理由．解：（Ⅰ）∆B 0A 1B 1是以A 1为直角顶点的等腰直角三角形， 直线B 0A 1的方程为y=x ．由220y xy x y =⎧⎪=⎨⎪>⎩得，即点A 1的坐标为（2，2），进而得．…..3分（Ⅱ）根据和分别是以和为直角顶点的等腰直角三角形可 得 ，即 ．（*） …………………………..5分 和均在曲线上，， ，代入（*）式得，， ………………………………………………………..7分 数列是以为首项，2为公差的等差数列，其通项公式为()． ……………………………………………....8分 （Ⅲ）由（Ⅱ）可知，，， ……………………………………………………9分 ，．11112(12)2(23)2(1)ni i b n n ==+++⨯⨯+∑=111111(1)22231n n -+-++-+ =．….……………..…………10分231111(1)1111142(1)12222212nn i n ni c +=-=+++==--∑． ……………………….11分 （方法一）-=1111111112(1)-(1)()21222212(1)nn n n n n n n ++---=-=+++．当n=1时不符合题意， 当n=2时，符合题意，猜想对于一切大于或等于2的自然数，都有．（） 观察知，欲证（）式，只需证明当n≥2时，n+1<2n 以下用数学归纳法证明如下：(1)当n=2时，左边=3，右边=4，左边<右边； (2)假设n=k （k≥2）时，(k+1)<2k ,当n=k+1时，左边=（k+1）+1<2k +1<2k +2k =2k+1=右边, 对于一切大于或等于2的正整数，都有n+1<2n ，即<成立．综上，满足题意的n 的最小值为2. ……………………………………………..13分 （方法二）欲证成立，只需证明当n≥2时，n+1<2n ．()012323211...1...nn n nn n n n n n n nC C C C C n C C C =+=+++++=+++++， 并且，当时，.25303 62D7 拗36828 8FDC 远 29322 728A 犊M [21731 54E3 哣20030 4E3E 举-33425 8291 芑3_。
山东省潍坊市高三上学期期末数学试卷(理科)
山东省潍坊市高三上学期期末数学试卷（理科）姓名:________ 班级:________ 成绩:________一、选择题 (共10题；共20分)1. （2分）已知若,和夹角为钝角,则的取值范围是（）A .B .C .D .2. （2分） (2019高三上·吉林月考) 已知集合，，则（）A .B .C .D .3. （2分）“a=2”是“函数f（x）=x2+2ax﹣2在区间（﹣∞，﹣2]内单调递减”的（）A . 充分不必要条件B . 必要不充分条件C . 充分必要条件D . 既不充分也不必要条件4. （2分） (2017高二下·石家庄期末) 已知回归方程为： =3﹣2x，若解释变量增加1个单位，则预报变量平均（）A . 增加2个单位B . 减少2个单位C . 增加3个单位D . 减少3个单位5. （2分）下列函数中，最小正周期为又是偶函数的是（）A . y=cos2xB . y=tan4xC . y=sin4xD . y=cos4x6. （2分） (2017高二上·汕头月考) 已知，则方程实数根的个数为（）A . 7B . 6C . 5D . 47. （2分）下列函数中,既是偶函数又在区间(0,+∞)上单调递减的是（）A .B .C .D .8. （2分）某几何体的三视图如图，其正视图中的曲线部分为半圆，则该几何体的体积是（）A . 4+ πB . 6+ πC . 6+3πD . 12+ π9. （2分）已知定义在R上的函数y=f（x）满足以下三个条件：①对于任意的x∈R，都有f（x+1）= ；②函数y=f（x+1）的图象关于y轴对称；③对于任意的x1 ，x2∈[0，1]，且x1＜x2 ，都有f（x1）＞f（x2），则，f（2），f（3）从小到大的关系是（）A .B .C .D .10. （2分） (2017高一下·简阳期末) 两直线3ax﹣y﹣2=0和（2a﹣1）x+5ay﹣1=0分别过定点A、B，则|AB|等于（）A .B .C .D .二、填空题 (共5题；共5分)11. （1分） (2017高三上·北京开学考) 已知双曲线C的渐进线方程为y=± x，则双曲线C的离心率为________．12. （1分） (2017高三上·东莞期末) （a+ ）（1﹣x）4的展开式中含x项的系数为﹣6，则常数a=________．13. （1分）已知，则实数x的取值范围是________．14. （1分）若x，y满足条件当且仅当x=y=3时，z=ax+y取最大值，则实数a的取值范围是________15. （1分）下列命题中，所有真命题的序号是________．⑴函数的图象一定过定点；⑵函数的定义域是，则函数的定义域为；⑶已知函数在上有零点，则实数的取值范围是．三、解答题 (共6题；共65分)16. （5分） (2017高三上·甘肃开学考) 已知在△ABC中，∠A，∠B，∠C所对的边分别为a，b，c，若且sinC=cosA（Ⅰ）求角A、B、C的大小；（Ⅱ）函数f（x）=sin（2x+A）+cos（2x﹣），求函数f（x）单调递增区间，指出它相邻两对称轴间的距离．17. （15分） (2017高二上·湖北期末) 已知长方体A1B1C1D1﹣ABCD的高为，两个底面均为边长1的正方形．（1）求证：BD∥平面A1B1C1D1；（2）求异面直线A1C与AD所成角的大小；（3）求二面角A1﹣BD﹣A的平面角的正弦值．18. （15分） (2017高三下·静海开学考) 已知数列{an}的相邻两项an ， an+1是关于x的方程x2﹣2nx+bn=0，（n∈N*）的两根，且a1=1（1）求证：数列{an﹣×2n}是等比数列；（2）求数列{an}的前n项和Sn；（3）若bn﹣mSn＞0对任意的n∈N*都成立，求m的取值范围．19. （15分） (2016高三上·宜春期中) 为及时了解适龄公务员对开放生育二胎政策的态度，某部门随机调查了90位30岁到40岁的公务员，得到情况如表：（1）完成表格，并判断是否有99%以上的把握认为“生二胎意愿与性别有关”，并说明理由；（2）现把以上频率当作概率，若从社会上随机独立抽取三位30岁到40岁的男公务员访问，求这三人中至少有一人有意愿生二胎的概率．（3）已知15位有意愿生二胎的女性公务员中有两位来自省妇联，该部门打算从这15位有意愿生二胎的女性公务员中随机邀请两位来参加座谈，设邀请的2人中来自省女联的人数为X，求X的公布列及数学期望E（X）．男性公务员女性公务员总计有意愿生二胎3015无意愿生二胎2025总计附：P（k2≥k0）0.0500.0100.001k0 3.841 6.63510.82820. （10分） (2016高二上·重庆期中) 如图，曲线c1：y2=2px（p＞0）与曲线c2：（x﹣6）2+y2=36只有三个公共点O，M，N，其中O为坐标原点，且 =0．（1）求曲线c1的方程；（2）过定点M（3，2）的直线l与曲线c1交于A，B两点，若点M是线段AB的中点，求线段AB的长．21. （5分） (2017高二上·邯郸期末) 已知函数f（x）=（x﹣1）2﹣．（Ⅰ）求函数的单调区间；（Ⅱ）若函数f（x）有两个零点x1 ， x2 ，证明x1+x2＞2．参考答案一、选择题 (共10题；共20分)1-1、2-1、3-1、4-1、5-1、6-1、7-1、8-1、9-1、10-1、二、填空题 (共5题；共5分)11-1、12-1、13-1、14-1、15-1、三、解答题 (共6题；共65分)16-1、17-1、17-2、17-3、18-1、18-2、18-3、19-1、19-2、19-3、20-1、20-2、21-1、。