【解析版】上海市徐汇、松江、金山区2013届高三二模数学理试题

2013年上海市徐汇、松江、金山区高考数学二模试卷（理科）
参考答案与试题解析
一．填空题（本大题满分56分）本大题共有14题，考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果，每个空格填对得4分，否则一律得零分.
1．（4分）（2006•上海）若函数f（x）=a x（a＞0，且a≠1）的反函数的图象过点（2，﹣1），
则a=．
故答案为
2．（4分）（2013•松江区二模）已知函数的值域为A，集合
B={x|＜0}，则A∩B=[2，3）．
解：由函数
3．（4分）（2013•松江区二模）已知
=﹣．
﹣
（﹣，
∴±±
，
故答案为﹣．
4．（4分）（2013•松江区二模）已知圆锥的母线长为5，侧面积为15π，则此圆锥的体积为12π（结果保留π）．
h=
∴
h==4
V=π×π×
5．（4分）（2013•松江区二模）已知x=﹣3﹣2i（i为虚数单位）是一元二次方程x2+ax+b=0（a，b均为实数）的一个根，则a+b=19．
，解得．
6．（4分）（2013•松江区二模）如图给出的是计算的值的一个程序框图，图中空白执行框内应填入i=i+2．
由已知中该程序的功能是计算
该程序的功能是计算
7．（4分）（2013•松江区二模）在极坐标系中，过圆ρ=6cosθ的圆心，且垂直于极轴的直线的极坐标方程为
ρcosθ=3．
8．（4分）（2013•松江区二模）将参数方程（θ为参数，θ∈R）化为普通方程，所得方程是y=﹣x2+3（）．
，
，则
9．（4分）（2013•松江区二模）在二项式的展开式中，常数项的值
是﹣20，则=．
，
解：由题意二项式的展开式的通项为
=a=
=
故答案为：
10．（4分）（2013•松江区二模）一质地均匀的正方体三个面标有数字0，另外三个面标有数字1．将此正方体连续抛掷两次，若用随机变量ξ表示两次抛掷后向上面所标有的数字之积，
则数学期望Eξ=．
=
．
，
=．
=
故答案为
11．（4分）（2013•松江区二模）已知椭圆内有两点A（1，3），B（3，0），P为椭圆上一点，则|PA|+|PB|的最大值为15．
椭圆方程为
10+|AB'|=10+=10+5=15
12．（4分）（2013•松江区二模）如图，O为直线A0A2013外一点，若A0，A1，A2，A3，A4，A5，…，A2013中任意相邻两点的距离相等，设，用表示
，其结果为1007（）．
=2
同理可得=
2
（
13．（4分）（2013•松江区二模）设函数f（x）=x|x|，将f（x）向左平移a（a＞0）个单位得到函数g（x），将f（x）向上平移a（a＞0）个单位得到函数h（x），若g（x）的图象恒在h（x）的图象的上方，则正数a的取值范围为a＞2．
，
=
=
14．（4分）（2013•松江区二模）如图，现将一张正方形纸片进行如下操作：第一步，将纸片以D为顶点，任意向上翻折，折痕与BC交于点E1，然后复原，记∠CDE1=α1；第二步，将纸片以D为顶点向下翻折，使AD与E1D重合，得到折痕E2D，然后复原，记∠ADE2=α2；第三步，将纸片以D为顶点向上翻折，使CD与E2D重合，得到折痕E3D，然后复原，记∠CDE 3=α3；按此折法从第二步起重复以上步骤…，得到α1，α2，…，αn，…，则=
．
依此类推：（．若
；若{是以为首项，
解：由第二步可知：；由第三步可知：
，（
∴
∴
，则，此时
{是以为首项，
∴，即
．
∴=．
综上可知：．
故答案为
依此类推：（
二．选择题（本大题满分20分）本大题共有4题，每题有且只有一个正确答案，考生应在答题纸的相应编号上，将代表答案的小方格涂黑，选对得5分，否则一律得零分.
15．（5分）（2013•松江区二模）已知a，b为实数，命题甲：ab＞b2，命题乙：，
若命题乙：
16．（5分）（2013•松江区二模）已知函数，设F（x）=x2•f（x），则
﹣
17．（5分）（2013•松江区二模）气象意义上从春季进入夏季的标志为：“连续5天的日平均温度均不低于22 （℃）”．现有甲、乙、丙三地连续5天的日平均温度的记录数据（记录数据都是正整数）：
①甲地：5个数据的中位数为24，众数为22；
②乙地：5个数据的中位数为27，总体均值为24；
③丙地：5个数据中有一个数据是32，总体均值为26，总体方差为10.8；
18．（5分）（2013•松江区二模）如图所示，向量的模是向量
的模的t 倍，
的
夹角为θ，那么我们称向量经过一次（t ，θ）变换得到向量
．在直角坐标平面内，设起始向量
，向量经过n ﹣1次
变换得到的向量为，其中
为逆时针排列，记A i
坐标为（a i ，b i ）（i ∈N *
），则下列命题中不正确的是（ ）
．
变换的定义，推导知的向量坐标，然
：
解：向量
，则=
，
三．解答题（本大题满分74分）本大题共有5题，解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤. 19．（12分）（2013•松江区二模）在△ABC 中，a ，b ，c 分别是角A ，B ，C 的对边，且
，若
，△ABC 的面积
，求a+c 的值．
由条件可知的面积
可知，
，∵
，
20．（14分）（2013•松江区二模）某轮船公司的一艘轮船每小时花费的燃料费与轮船航行速度的平方成正比，比例系数为k．轮船的最大速度为15海里/小时．当船速为10海里/小时，它的燃料费是每小时96元，其余航行运作费用（不论速度如何）总计是每小时150元．假定运行过程中轮船以速度v匀速航行．
（1）求k的值；
（2）求该轮船航行100海里的总费用W（燃料费+航行运作费用）的最小值．
，得燃料费为
小时，可燃料费为
海里的总费用为
）由题意，设燃料费为
小时，可得其余航行运作费用为=
（
∵
当且仅当时，即
21．（14分）（2013•松江区二模）如图，已知ABC﹣A1B1C1是正三棱柱，它的底面边长和侧棱长都是2，D为侧棱CC1的中点．
（1）求异面直线A1D与BC所成角的大小（结果用反三角函数值表示）；
（2）求直线A1B1到平面DAB的距离．
为向量
arccos
；在中，；
．
arccos
由题意得
上的高为，则，
的距离为
h=××
∴
的距离为
22．（16分）（2013•松江区二模）已知数列的前n项和为S n，数列
是首项为0，公差为的等差数列．
（1）求数列{a n}的通项公式；
（2）设，对任意的正整数k，将集合{b2k﹣1，b2k，b2k+1}
中的三个元素排成一个递增的等差数列，其公差为d k，求证：数列{d k}为等比数列；（3）对（2）题中的d k，求集合{x|d k＜x＜d k+1，x∈Z}的元素个数．
）由条件得，
∴．
）可知
∴
为常数，所以数列
23．（18分）（2013•松江区二模）已知双曲线C的中心在原点，D（1，0）是它的一个顶点，
=是它的一条渐近线的一个方向向量．
（1）求双曲线C的方程；
（2）若过点（﹣3，0）任意作一条直线与双曲线C交于A，B两点（A，B都不同于点D），求证：为定值；
（3）对于双曲线Γ：，E为它的右顶点，M，N为双
曲线Γ上的两点（都不同于点E），且EM⊥EN，那么直线MN是否过定点？若是，请求出此定点的坐标；若不是，说明理由．然后在以下三个情形中选择一个，写出类似结论（不要求书写求解或证明过程）．
情形一：双曲线及它的左顶点；
情形二：抛物线y2=2px（p＞0）及它的顶点；
情形三：椭圆及它的顶点．
的方程为，由顶点坐标、渐近线方程及
的方程为，则
的方程为．
，得
由
，则
+9k．综上，
，则，
化简得，
过定点（
中，若
）在椭圆中，若
过定点（，）在椭圆中，若
过定点（
）在椭圆中，若
）
）在椭圆中，若
，。