BS初三数学：常考的二次函数应用题题型
二次函数应用题练习(一)有答案版
初三二次函数应用题练习（一）（有答案版）一、实际问题抛物线轨迹，建立坐标系，桥洞问题等1.对于上抛物体，在不计空气阻力的情况下，有如下关系式：2012h v t gt =-，其中h （米）是上升高度，0v （米/秒）是初速度，g （米/秒2）是重力加速度，t （秒）是物体抛出后所经过的时间，下图是h 与t 的函数关系图.⑴求：0v ，g ；⑵几秒时，物体在离抛出点25米高的地方.解：（1）由图知，当6=t 时，0=h ；当3=t 时，45h =.∴⎪⎩⎪⎨⎧-=-=g 3934518g 6000v v ，解得⎩⎨⎧==10g 300v .∴20/10/30秒米，秒米==g v .………………………………………… 3分 （2）由（1）得，函数关系式是25t 30t h -=.当25=h 时，253025t t -=，解得121,5t t ==∴经过1秒或5秒的物体在离抛出点25米高的地方.…………………………………… 6分2．如图，杂技团进行杂技表演，演员从跷跷板右端A 处弹跳到人梯顶端椅子B 处，其身体(看成一点)的路线是抛物线23315y x x =-++的一部分. （1）求演员弹跳离地面的最大高度；（2）已知人梯高BC ＝3.4米，在一次表演中，人梯到起跳点A 的水平距离是4米，问这次表演是否成功？请说明理由．解：（1）223351931()5524y x x x =-++=--+∵305－＜， ∴函数的最大值是194．……3分答：演员弹跳的最大高度是194米． （2）2344341 3.45x y BC ==-⨯+⨯+==当时，，所以这次表演成功．……5分3.如图，足球场上守门员在O 处开出一高球，球从离地面1米的A 处飞出（A 在y 轴上），运动员乙在距O 点6米的B 处发现球在自己头的正上方达到最高点M ，距地面约4米高．球第一次落地点后又一次弹起 .据实验，足球在草坪上弹起后的抛物线与原来的抛物线形状相同，最大高度减少到原来最大高度的一半．（1）求足球开始飞出到第一次落地时，该抛物线的表达式．（2）运动员乙要抢到第二个落点D，他应再向前跑多少米？（取7=，5=）3. 解：（1）如图，设第一次落地时，抛物线的表达式为2(6)4y a x =-+． ···················································································· 1分由已知：当0x =时1y =． 即1136412a a =+∴=-，．····································································································· 2分 ∴表达式为21(6)412y x =--+． ························································································· 3分 （或21112y x x =-++） （2）令210(6)4012y x =--+=，． 1261360x x ==-<解得≈，（舍） ∴点C 坐标为（13,0）。
二次函数综合应用题(有答案)中考23题必练经典
函数综合应用题题目分析及题目对学生的要求1.求解析式：要求学生能够根据题意建立相应坐标系，将实际问题转化成数学问题。
需要注意的是：(1) 不能忘记写自变量的取值范围(2) 在考虑自变量的取值范围时要结合它所代表的实际意义。
2. 求最值：实际生活中的最值能够指导人们进行决策，这一问要求学生能够熟练地对二次三项式进行配方，利用解析式探讨实际问题中的最值问题。
最值的求法：(1) 一次函数和反比例函数中求最值是根据函数在自变量取值范围内的增减性来确定的。
(2) 二次函数求最值是将解析式配方后，结合自变量取值范围来确定的。
3. 求范围，要求学生利用解析式求实际问题中的范围问题，主要是将函数与不等式结合起来。
推荐思路：画出不等式左右两边的图象，结合函数图象求出x的取值范围。
备选思路一：先将不等号看做等号，求出x的取值，再结合图象考虑将等号还原为不等号后x的取值范围；备选思路二：通过分类讨论或者其它方法，直接解出这个不等式。
这一问里需要注意的是在注意：最后下结论时一定要结合它的实际意义和前面所求得的自变量取值范围进行判断。
1/ 182 / 18一、求利润的最值（2010·武汉）23. (本题满分10分) 某宾馆有50个房间供游客住宿，当每个房间的房价为每天180元时，房间会全部住满。
当每个房间每天的房价每增加10元时，就会有一个房间空闲。
宾馆需对游客居住的每个房间每天支出20元的各种费用。
根据规定，每个房间每天的房价不得高于340元。
设每个房间的房价每天增加x 元(x 为10的正整数倍)。
(1) 设一天订住的房间数为y ，直接写出y 与x 的函数关系式及自变量x 的取值范围；(2) 设宾馆一天的利润为w 元，求w 与x 的函数关系式；(3) 一天订住多少个房间时，宾馆的利润最大？最大利润是多少元？解：(1) y=50-101x (0≤x ≤160，且x 是10的整数倍)。
(2) W=(50-101x)(180+x -20)= -101x 2+34x +8000； (3) W= -101x 2+34x +8000= -101(x -170)2+10890，当x<170时，W 随x 增大而增大，但0≤x ≤160，∴当x=160时，W 最大=10880，当x=160时，y=50-101x=34。
二次函数实际应用例题与解答,中考数学二次函数解决实际应用问题经典题型及答案解析
二次函数实际应用示例1.在排球家中，_队员站在边线发球，发球方向与边线垂直，球开始飞行时距地面1.9米，当球飞行距离为9米时达最大高度5.5米，已知球场长18米，问这样发球是否会直接把球打出边线？思路解析*先建立坐标系，如图，根据已知条件求出抛物线的解析式，再 求抛物线与x轴的交点坐标（横坐标为正），若这点的横坐标大于18,就可判断球出线.解：以发球员站立位置为原点，球运动的水平方向为x轴，建立直角坐标系伽图）.由于其图象的顶点为（95执设二^函教关系式为y=a（x-9）、S.5（3丰0）,由已知，这个函数的图象过（0,1.9）,可以得到1.9=0（0-9）2+552解得a----7，45所以，所求二｝欠函数的关系式是y=-M（x-9）2十5.5.45排球落在x轴上，则y=O,因此，-：（x・9）2+5.5=0.解方程，得*=9十半点0.1,X2=9-峪（负值，不合题意，舍去）.所以，排球约在20」米远处落下，因为20.1>18,所以，这样发球会直接把球打出边线，2.某工厂大门是一抛物线型水泥建筑物,如图26.3-9所示,大门地面亮AB二4m,解：以队员甲投球站立位置为原点，球运动的水平方向为X轴，建立直角坐标系.由于球在空中的路径为抛物线，其图象的顶点为(4,4),设二｝欠函数关系式为y=a(x-4)2-4(g0),由已知，这个函数的图象过(024),可以得到24=3(0-4)2+4.解得a=-0.1.所以所求二次函数的关系式是y=-0.1(x-4)2+4当x二7时，y=-0.1(x-4)2+4=3.1.因为3.1=3+0.1,0.1在篮球偏离球圈中心10cm以内.答：这个球能投中.综合•应用4.(2010安徽模拟)如图26.3-10,在平面直角坐标系中，二｝欠函数y=ax2十c(a ")的图象过正方形ABO(:的三个顶点A、B、C,则ac的值是.思路解析：图中，正方形和抛物线都关于y轴对称，欲求ac的值，需求抛物线的解析式，点A、B、C都在抛物线上，它们的坐标跟正方形的边长有关,可设正方形的边长为2m「则A(0r2整m)、B(-皿阳7^所)、C(72w r把A、B的坐标值代入y=a*十c中，得a=四，c=2&,所以Imac=—X =2.2ni5.有一种螃蟹，从海上捕获后不放乔，最多只能存活两天，如果放养在塘内，可以延长存活时间，但每天也有一定数量的蟹死去，假设放养期内蟹的个体重量基本保持不变.现有一经销商，按市场价收购了这种;SB〔000千克放养在塘内，此时市场价为每千克30元.据测算，此后每千克活蟹的市场价每天可上升1元，但放养一天需各种费用400元，且平均每天还有10千克螯死去，假定死蟹均于当天全部售出，售价是每千克20元⑴设x天后每千克活蟹的市场价为P元，写出P关于x的函数关系式；(2)如果放养x天后将活蟹一次性出售，并记1000千克蟹的销售点颔Q元，写出Q关于x的函数关系式；⑶该经销商将这批蟹放弄多少天后出售，可获得最大利润(利润=销售总额-收购成本-费用)？最大利润是多少？思路解析：⑴市场价每天上升1元，则P=30+X；(2)销售总额为活蟹销售和死蟹销售两部分的和，活蟹数量每天减少10千克，死蟹数量跟放养天数成正比；(3)根据利润计算式表达，可没利润为w元，用函数瞄解决.答案：⑴P=30+x.(2)Q=(30+x)(1000-10x)+20-10x=-10x2+900x+30000.⑶设利润为w元，则w=(-10x2+900x+30000)-30-1000-400x=-10(x-Z5)2-»-6250.」.当x=25时，w有最大值，最大值为6250.答；经销商将这批蟹放养25天后出售，可获得最大?IJ润，6.将一条长为20cm的铁丝雪成两段，并以每一段铁丝的长度为周长做成f正方形.⑴要使这两个正方形的面积之和等于17cm2,那么这段铁丝磐成两段后的长:度分别是多少？(2)两个正方形的面积之和可能等于12cm?吗?若能，求出两段铁丝的长度；若不能，请说明理由.思路解析；用方程或函数考虑.设其中一段长为x cm,列出面积和的表达式，构成方程或函数，用它们的性质解决问题.方法一：⑴解：设剪成两段后其中一段为x cm,则另一段为(20-x)cm.由题意得(三沪+(竺1沪=17.4 4解得冶=16,x2=4.当为=16时，20-x=4;当x2=4时，20-x=16.答：这段铁丝雪成两段后的长度分别是16cm和4cm.(2)不能.理由是：(料牛)5.整理，得x<20x+104=0.•,A=b2-4ac=-16<0,.,此方程无配即不能雪成两段使得面积和为12新.方法二：剪成两段后其中一段为x cm,两个正方形面积的和为yen?.则y=弓尸+=;(x.10)2+12.5(0<x<20)・当y=17时，有上(乂-10)112.5=17.S解方程，得Xi=16,x2=4.当xi=16时,20*4;当X2二4时，20*16.答：这段铁丝剪成两段后的长度分别是16cm和4cm.(2)不能.理由是：函数y=|(x-10)2+1Z5中，a二;>0,当x=10时，函数有最小值，最小值88为12.5.•.・12v125,所以不能勇成两段使得面积和为12cm2.7.我市英山县某茶厂种植，春蕊牌“绿茶，由历任来市场销售行情知道，从每年的3月25日起的180天内，绿茶市场销售单价y(jt)与上市时间t庆)的关系可以近似地用如图①中的一条折线表示.绿茶的种植除了与气候、种植技术有关外,其种植的成本单价z齿)与上市时间t庆)的关系可以近似地用如图②的抛物肆图263-11①图26.3-11-②⑴写出图①中表示的市场销售单价y团)与上市时间t庆)(t>0)的函数关系式;(2)求出图②中表示的种梢成本单价z员)与上市时间t庆)(t>0)的函敬关系式;⑶认定市场销售单价减去种植成本单价为纯收益单价，问何时上市的绿茶纯收益单价缺？(说明：市场铠售单价和种植成本单价的单位：元/500克.)思路解析：从图形中得出相关数据，用分段函薮表示市场销售单价，种植成本是一E碰物线，再分别计算各时段的纯收益单价，匕咸得出结论.解：(1)①当0冬X三120时，y=-|x-b160;②当120<xE50时,y=80;2③当150UX式180时，y=±x-+20.5(2)设z=a(x・110)」20,N OC1把X=6O,y=W代入，^=a(60-110)120解得。
(完整word版)九年级二次函数常考题型复习
九年级数学二次函数常考题型常考知识点总结：1、二次函数的看法：一般地，形如y ax2bx c 〔 a ，b，c 是常数，a 0〕的函数，叫做二次函数。
注：和一元二次方程近似，二次项系数 a 0 ，而b，c能够为零．二次函数的定义域是全体实数．2、二次函数 y ax2bx c的结构特点：⑴ 等号左侧是函数，右侧是关于自变量x 的二次式， x 的最高次数是2．⑵ a ，b ，c 是常数， a 是二次项系数， b 是一次项系数，c是常数项3、 y a x h2k 的性质：a 的符号张口方向极点坐标对称轴性质a0向上h，k X=h x h 时， y 随x的增大而增大；x h 时， y 随x 的增大而减小；x h 时， y 有最小值 k ．a0向下h，k X=h x h 时， y 随x的增大而减小；x h 时， y 随x 的增大而增大；x h 时， y 有最大值 k ．4、二次函数 y ax2bx c的性质：〔 1〕当a0时，抛物线张口向上，对称轴为xb ，极点坐标为 b ，4ac b2；当 x b时， y2a 2 a4a2a随 x 的增大而减小；当xb时， y 随x的增大而增大；当x b时， y 有最小值4ac b2．2a2a4a〔 2〕当a0时，抛物线张口向下，对称轴为xb ，极点坐标为 b ，4ac b2；当 x b时， y2a 2 a4a2a随 x 的增大而增大；当xb时， y 随x的增大而减小；当x b时， y 有最大值4ac b2。
2a2a4a5、二次函数剖析式确实定：依照条件确定二次函数剖析式，平时利用待定系数法．用待定系数法求二次函数的剖析式必定依照题目的特点，选择合适的形式，才能使解题简略．一般来说，有以下几种情况：（1〕抛物线上三点的坐标，一般采纳一般式；（2〕抛物线极点或对称轴或最大〔小〕值，一般采纳极点式；（3〕抛物线与 x 轴的两个交点的横坐标，一般采纳两根式；6、二次函数、二次三项式和一元二次方程之间的内在联系〔 a 0 时〕：0抛物线与x 轴有二次三项式的值可正、一元二次方程有两个不相等实根两个交点可零、可负0抛物线与x 轴只二次三项式的值为非负一元二次方程有两个相等的实数根有一个交点0抛物线与x 轴无二次三项式的值恒为正一元二次方程无实数根 .交点题型 ：依照图像，判断 a 、 b 、c 的关系问题。
2024中考备考热点05 二次函数的图象及简单应用(8大题型+满分技巧+限时分层检测)
热点05 二次函数的图象及简单应用中考数学中《二次函数的图象及简单应用》部分主要考向分为五类：一、二次函数图象与性质（每年1道，3~4分）二、二次函数图象与系数的关系（每年1题，3~4份）三、二次函数与一元二次方程（每年1~2道，4~8分）四、二次函数的简单应用（每年1题，6~10分）二次函数是初中数学三中函数中知识点和性质最多的一个函数，也是中考数学中的重点和难点，考简答题时经常在二次函数的几何背景下，和其他几何图形一起出成压轴题；也经常出应用题利用二次函数的增减性考察问题的最值。
此外，二次函数的性质、二次函数与系数的关系、二次函数上点的坐标特征也是中考中经常考到的考点，都需要大家准确记忆二次函数的对应考点。
只有熟悉掌握二次函数的一系列考点，才能在遇到对应问题时及时提取有用信息来应对。
考向一：二次函数图象与性质【题型1 二次函数的图象与性质】满分技巧1. 对于二次函数y ＝ax 2+bx +c （a ≠0）的图象：形状：抛物线； 对称轴：直线ab x 2-=；顶点坐标：)442(2a b ac a b --，； 2、抛物线的增减性问题，由a 的正负和对称轴同时确定，单一的直接说y 随x 的增大而增大（或减小）是不对的，必须在确定a 的正负后，附加一定的自变量x 取值范围；3、当a＞0，抛物线开口向上，函数有最小值；当a＜0，抛物线开口向下，函数有最大值；而函数的最值都是定点坐标的纵坐标。
1．（2023•沈阳）二次函数y＝﹣（x+1）2+2图象的顶点所在的象限是（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限2．（2023•兰州）已知二次函数y＝﹣3（x﹣2）2﹣3，下列说法正确的是（）A．对称轴为直线x＝﹣2B．顶点坐标为（2，3）C．函数的最大值是﹣3D．函数的最小值是﹣33．（2023•陕西）在平面直角坐标系中，二次函数y＝x2+mx+m2﹣m（m为常数）的图象经过点（0，6），其对称轴在y轴左侧，则该二次函数有（）A．最大值5B．最大值C．最小值5D．最小值【题型2 二次函数图象上点的坐标特征】满分技巧牢记一句话，“点在图象上，点的坐标符合其对应解析式”，然后，和哪个几何图形结合，多想与之结合的几何图形的性质1．（2023•广东）如图，抛物线y＝ax2+c经过正方形OABC的三个顶点A，B，C，点B在y轴上，则ac的值为（）A．﹣1B．﹣2C．﹣3D．﹣42．若点P（m，n）在抛物线y＝ax2（a≠0）上，则下列各点在抛物线y＝a（x+1）2上的是（）A．（m，n+1）B．（m+1，n）C．（m，n﹣1）D．（m﹣1，n）3．（2023•十堰）已知点A（x1，y1）在直线y＝3x+19上，点B（x2，y2），C（x3，y3）在抛物线y＝x2+4x ﹣1上，若y1＝y2＝y3，x1＜x2＜x3，则x1+x2+x3的取值范围是（）A．﹣12＜x1+x2+x3＜﹣9B．﹣8＜x1+x2+x3＜﹣6C．﹣9＜x1+x2+x3＜0D．﹣6＜x1+x2+x3＜1【题型3 二次函数图象与几何变换】满分技巧1、二次函数的几何变化，多考察其平移规律，对应方法是：①将一般式转化为顶点式；②根据口诀“左加右减，上加下减”去变化。
九年级数学二次函数的应用题含答案`
①经销商甲选择方案1与方案2一年内分别获得利润各多少元？
②经销商甲选择哪种方案可以使自己一年内获得最大利润？若选用方案3，请问他转让给经销商乙的A品牌服装的数量是多少（精确到百套）？此时他在一年内共得利润多少元？
7.某商场以每件30元的价格购进一种商品，试销中发现，这种商品每天的销量 （件）与每件的销售价x（元）满足一次函数：
7、（1）
（2）
当定价为42元时，最大销售利润为432元.
8、（1）
当 时，
（2）当 则 ①
又 ②
由①、②解得 ，
其中20+ 不合题意，舍去，
∴x=20- ，y=8
当矩形成黄金矩形时，宽为20-4 ，长为8 .
9、（1）OA高度为 米.
（2）当 时， ，即水流距水平面的最大高为 米.
（3）
其中 不合题意，
=-30（x-24）2+1920．
所以当x=24时，P有最大值，最大值为1920．
答：当价格为24元时，才能使每月获得最大利润，最大利润为1920元．
3、解：（1）设二次函数的解析式为
，
顶点坐标为（6，5）
A（0，2）在抛物线上
（2）当 时， = 0
x= ，x=6- （不合题意，舍去）
x= ≈13.75（米）
（2）当x=-2.5时，y=2.25。
∴球出手时，他距地面高度是2.25-1.8-0.25=0.20（米）。
2、解：（1）依题意设y=kx+b，则有
所以y=-30x+960（16≤x≤32）．
（2）每月获得利润P=（-30x+960）（x-16）
=30（-x+32）（x-16）
=30（-x2+48x-512）
初三数学二次函数分类题型及解析[整理版]-12页文档资料
初三数学二次函数分类题型及解析一．解答题（共10小题）1．如图，已知抛物线y=﹣x2+mx+3与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，点B的坐标为（3，0）（1）求m的值及抛物线的顶点坐标．（2）点P是抛物线对称轴l上的一个动点，当PA+PC的值最小时，求点P的坐标．2．在平面直角坐标系xOy中，抛物线y=ax2+bx+2过B（﹣2，6），C（2，2）两点．（1）试求抛物线的解析式；（2）记抛物线顶点为D，求△BCD的面积；（3）若直线y=﹣x向上平移b个单位所得的直线与抛物线段BDC（包括端点B、C）部分有两个交点，求b的取值范围．3．如图，抛物线y=ax2+2ax+1与x轴仅有一个公共点A，经过点A的直线交该抛物线于点B，交y轴于点C，且点C是线段AB的中点．（1）求这条抛物线对应的函数解析式；（2）求直线AB对应的函数解析式．4．如图，抛物线y=x2﹣3x+与x轴相交于A、B两点，与y轴相交于点C，点D是直线BC下方抛物线上一点，过点D作y轴的平行线，与直线BC相交于点E（1）求直线BC的解析式；（2）当线段DE的长度最大时，求点D的坐标．5．已知二次函数y=x2+bx+c的图象与y轴交于点C（0，﹣6），与x轴的一个交点坐标是A（﹣2，0）．（1）求二次函数的解析式，并写出顶点D的坐标；（2）将二次函数的图象沿x轴向左平移个单位长度，当 y＜0时，求x的取值范围．6．某网店销售某款童装，每件售价60元，每星期可卖300件，为了促销，该网店决定降价销售．市场调查反映：每降价1元，每星期可多卖30件．已知该款童装每件成本价40元，设该款童装每件售价x元，每星期的销售量为y件．（1）求y与x之间的函数关系式；（2）当每件售价定为多少元时，每星期的销售利润最大，最大利润多少元？（3）若该网店每星期想要获得不低于6480元的利润，每星期至少要销售该款童装多少件？7．某果园有100颗橙子树，平均每颗树结600个橙子，现准备多种一些橙子树以提高果园产量，但是如果多种树，那么树之间的距离和每一棵树所接受的阳光就会减少．根据经验估计，每多种一棵树，平均每棵树就会少结5个橙子，假设果园多种了x棵橙子树．（1）直接写出平均每棵树结的橙子个数y（个）与x之间的关系；（2）果园多种多少棵橙子树时，可使橙子的总产量最大？最大为多少个？8．2016年3月国际风筝节在铜仁市万山区举办，王大伯决定销售一批风筝，经市场调研：蝙蝠型风筝进价每个为10元，当售价每个为12元时，销售量为180个，若售价每提高1元，销售量就会减少10个，请回答以下问题：（1）用表达式表示蝙蝠型风筝销售量y（个）与售价x（元）之间的函数关系（12≤x ≤30）；（2）王大伯为了让利给顾客，并同时获得840元利润，售价应定为多少？（3）当售价定为多少时，王大伯获得利润最大，最大利润是多少？9．草莓是云南多地盛产的一种水果，今年某水果销售店在草莓销售旺季，试销售成本为每千克20元的草莓，规定试销期间销售单价不低于成本单价，也不高于每千克40元，经试销发现，销售量y（千克）与销售单价x（元）符合一次函数关系，如图是y 与x的函数关系图象．（1）求y与x的函数解析式（也称关系式）；（2）设该水果销售店试销草莓获得的利润为W元，求W的最大值．10．襄阳市某企业积极响应政府“创新发展”的号召，研发了一种新产品．已知研发、生产这种产品的成本为30元/件，且年销售量y（万件）关于售价x（元/件）的函数解析式为：y=．（1）若企业销售该产品获得的年利润为W（万元），请直接写出年利润W（万元）关于售价x（元/件）的函数解析式；（2）当该产品的售价x（元/件）为多少时，企业销售该产品获得的年利润最大？最大年利润是多少？（3）若企业销售该产品的年利润不少于750万元，试确定该产品的售价x（元/件）的取值范围．2016年12月09日天津优胜教育二次函数组卷参考答案与试题解析一．解答题（共10小题）1．（2016•宁波）如图，已知抛物线y=﹣x2+mx+3与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，点B的坐标为（3，0）（1）求m的值及抛物线的顶点坐标．（2）点P是抛物线对称轴l上的一个动点，当PA+PC的值最小时，求点P的坐标．【解答】解：（1）把点B的坐标为（3，0）代入抛物线y=﹣x2+mx+3得：0=﹣32+3m+3，解得：m=2，∴y=﹣x 2+2x+3=﹣（x ﹣1）2+4，∴顶点坐标为：（1，4）．（2）连接BC 交抛物线对称轴l 于点P ，则此时PA+PC 的值最小，设直线BC 的解析式为：y=kx+b ，∵点C （0，3），点B （3，0）， 解得：， ∴直线BC 的解析式为：y=﹣x+3，当x=1时，y=﹣1+3=2，∴当PA+PC 的值最小时，点P 的坐标为：（1，2）．2．（2016•菏泽）在平面直角坐标系xOy 中，抛物线y=ax 2+bx+2过B （﹣2，6），C （2，2）两点．（1）试求抛物线的解析式；（2）记抛物线顶点为D ，求△BCD 的面积；（3）若直线y=﹣x 向上平移b 个单位所得的直线与抛物线段BDC （包括端点B 、C ）部分有两个交点，求b 的取值范围．【解答】解：（1）由题意解得，∴抛物线解析式为y=x 2﹣x+2．（2）∵y=x 2﹣x+2=（x ﹣1）2+．∴顶点坐标（1，），∵直线BC 为y=﹣x+4，∴对称轴与BC 的交点H （1，3），∴S △BDC =S △BDH +S △DHC =•3+•1=3．（3）由消去y得到x2﹣x+4﹣2b=0，当△=0时，直线与抛物线相切，1﹣4（4﹣2b）=0，∴b=，当直线y=﹣x+b经过点C时，b=3，当直线y=﹣x+b经过点B时，b=5，∵直线y=﹣x向上平移b个单位所得的直线与抛物线段BDC（包括端点B、C）部分有两个交点，∴＜b≤3．3．（2016•淄博）如图，抛物线y=ax2+2ax+1与x轴仅有一个公共点A，经过点A的直线交该抛物线于点B，交y轴于点C，且点C是线段AB的中点．（1）求这条抛物线对应的函数解析式；（2）求直线AB对应的函数解析式．【解答】解：（1）∵抛物线y=ax2+2ax+1与x轴仅有一个公共点A，∴△=4a2﹣4a=0，解得a1=0（舍去），a2=1，∴抛物线解析式为y=x2+2x+1；（2）∵y=（x+1）2，∴顶点A的坐标为（﹣1，0），∵点C是线段AB的中点，即点A与点B关于C点对称，∴B点的横坐标为1，当x=1时，y=x2+2x+1=1+2+1=4，则B（1，4），设直线AB的解析式为y=kx+b，把A（﹣1，0），B（1，4）代入得，解得，∴直线AB的解析式为y=2x+2．4．（2016•大连）如图，抛物线y=x2﹣3x+与x轴相交于A、B两点，与y轴相交于点C，点D是直线BC下方抛物线上一点，过点D作y轴的平行线，与直线BC相交于点E （1）求直线BC的解析式；（2）当线段DE的长度最大时，求点D的坐标．【解答】解：（1）∵抛物线y=x2﹣3x+与x轴相交于A、B两点，与y轴相交于点C，∴令y=0，可得x=或x=，∴A（，0），B（，0）；令x=0，则y=，∴C点坐标为（0，），设直线BC的解析式为：y=kx+b，则有，解得：，∴直线BC的解析式为：y=x；（2）设点D的横坐标为m，则坐标为（m，），∴E点的坐标为（m，m），设DE的长度为d，∵点D是直线BC下方抛物线上一点，则d=m+﹣（m2﹣3m+），整理得，d=﹣m2+m，∵a=﹣1＜0，∴当m==时，d 最大===，∴D 点的坐标为（，）． 5．（2016•黔南州）已知二次函数y=x 2+bx+c 的图象与y 轴交于点C （0，﹣6），与x 轴的一个交点坐标是A （﹣2，0）．（1）求二次函数的解析式，并写出顶点D 的坐标；（2）将二次函数的图象沿x 轴向左平移个单位长度，当 y ＜0时，求x 的取值范围．【解答】解：（1）∵把C （0，﹣6）代入抛物线的解析式得：C=﹣6，把A （﹣2，0）代入y=x 2+bx ﹣6得：b=﹣1，∴抛物线的解析式为y=x 2﹣x ﹣6．∴y=（x ﹣）2﹣．∴抛物线的顶点坐标D （，﹣）．（2）二次函数的图形沿x 轴向左平移个单位长度得：y=（x+2）2﹣． 令y=0得：（x+2）2﹣=0，解得：x 1=，x 2=﹣．∵a ＞0，∴当y ＜0时，x 的取值范围是﹣＜x ＜． 6．（2016•咸宁）某网店销售某款童装，每件售价60元，每星期可卖300件，为了促销，该网店决定降价销售．市场调查反映：每降价1元，每星期可多卖30件．已知该款童装每件成本价40元，设该款童装每件售价x 元，每星期的销售量为y 件．（1）求y 与x 之间的函数关系式；（2）当每件售价定为多少元时，每星期的销售利润最大，最大利润多少元？（3）若该网店每星期想要获得不低于6480元的利润，每星期至少要销售该款童装多少件？【解答】解：（1）y=300+30（60﹣x）=﹣30x+2100．（2）设每星期利润为W元，W=（x﹣40）（﹣30x+2100）=﹣30（x﹣55）2+6750．∴x=55时，W最大值=6750．∴每件售价定为55元时，每星期的销售利润最大，最大利润6750元．（3）由题意（x﹣40）（﹣30x+2100）≥6480，解得52≤x≤58，当x=52时，销售300+30×8=540，当x=58时，销售300+30×2=360，∴该网店每星期想要获得不低于6480元的利润，每星期至少要销售该款童装360件．7．（2016•成都）某果园有100颗橙子树，平均每颗树结600个橙子，现准备多种一些橙子树以提高果园产量，但是如果多种树，那么树之间的距离和每一棵树所接受的阳光就会减少．根据经验估计，每多种一棵树，平均每棵树就会少结5个橙子，假设果园多种了x棵橙子树．（1）直接写出平均每棵树结的橙子个数y（个）与x之间的关系；（2）果园多种多少棵橙子树时，可使橙子的总产量最大？最大为多少个？【解答】解：（1）平均每棵树结的橙子个数y（个）与x之间的关系为：y=600﹣5x（0≤x＜120）；（2）设果园多种x棵橙子树时，可使橙子的总产量为w，则w=（600﹣5x）（100+x）=﹣5x2+100x+60000=﹣5（x﹣10）2+60500，则果园多种10棵橙子树时，可使橙子的总产量最大，最大为60500个．8．（2016•铜仁市）2016年3月国际风筝节在铜仁市万山区举办，王大伯决定销售一批风筝，经市场调研：蝙蝠型风筝进价每个为10元，当售价每个为12元时，销售量为180个，若售价每提高1元，销售量就会减少10个，请回答以下问题：（1）用表达式表示蝙蝠型风筝销售量y （个）与售价x （元）之间的函数关系（12≤x ≤30）；（2）王大伯为了让利给顾客，并同时获得840元利润，售价应定为多少？（3）当售价定为多少时，王大伯获得利润最大，最大利润是多少？【解答】解：（1）设蝙蝠型风筝售价为x 元时，销售量为y 个，根据题意可知：y=180﹣10（x ﹣12）=﹣10x+300（12≤x ≤30）．（2）设王大伯获得的利润为W ，则W=（x ﹣10）y=﹣10x 2+400x ﹣3000，令W=840，则﹣10x 2+400x ﹣3000=840，解得：x 1=16，x 2=24，答：王大伯为了让利给顾客，并同时获得840元利润，售价应定为16元．（3）∵W=﹣10x 2+400x ﹣3000=﹣10（x ﹣20）2+1000，∵a=﹣10＜0，∴当x=20时，W 取最大值，最大值为1000．答：当售价定为20元时，王大伯获得利润最大，最大利润是1000元．9．（2016•云南）草莓是云南多地盛产的一种水果，今年某水果销售店在草莓销售旺季，试销售成本为每千克20元的草莓，规定试销期间销售单价不低于成本单价，也不高于每千克40元，经试销发现，销售量y （千克）与销售单价x （元）符合一次函数关系，如图是y 与x 的函数关系图象．（1）求y 与x 的函数解析式（也称关系式）；（2）设该水果销售店试销草莓获得的利润为W 元，求W 的最大值．【解答】解：（1）设y与x的函数关系式为y=kx+b，根据题意，得：，解得：，∴y与x的函数解析式为y=﹣2x+340，（20≤x≤40）．（2）由已知得：W=（x﹣20）（﹣2x+340）=﹣2x2+380x﹣6800=﹣2（x﹣95）2+11250，∵﹣2＜0，∴当x≤95时，W随x的增大而增大，∵20≤x≤40，∴当x=40时，W最大，最大值为﹣2（40﹣95）2+11250=5200元．10．（2016•湖北襄阳）襄阳市某企业积极响应政府“创新发展”的号召，研发了一种新产品．已知研发、生产这种产品的成本为30元/件，且年销售量y（万件）关于售价x（元/件）的函数解析式为：y=．（1）若企业销售该产品获得的年利润为W（万元），请直接写出年利润W（万元）关于售价x（元/件）的函数解析式；（2）当该产品的售价x（元/件）为多少时，企业销售该产品获得的年利润最大？最大年利润是多少？（3）若企业销售该产品的年利润不少于750万元，试确定该产品的售价x（元/件）的取值范围．【解答】解：（1）当40≤x＜60时，W=（x﹣30）（﹣2x+140）=﹣2x2+200x﹣4200，当60≤x≤70时，W=（x﹣30）（﹣x+80）=﹣x2+110x﹣2400；（2）当40≤x＜60时，W=﹣2x2+200x﹣4200=﹣2（x﹣50）2+800，∴当x=50时，W取得最大值，最大值为800万元；当60≤x≤70时，W=﹣x2+110x﹣2400=﹣（x﹣55）2+625，∴当x＞55时，W随x的增大而减小，∴当x=60时，W取得最大值，最大值为：﹣（60﹣55）2+625=600，∵800＞600，∴当x=50时，W取得最大值800，答：该产品的售价x为50元/件时，企业销售该产品获得的年利润最大，最大年利润是800万元；（3）当40≤x＜60时，由W≥750得：﹣2（x﹣50）2+800≥750，解得：45≤x≤55，当60≤x≤70时，W的最大值为600＜750，∴要使企业销售该产品的年利润不少于750万元，该产品的售价x（元/件）的取值范围为45≤x≤55．希望以上资料对你有所帮助，附励志名言3条：1、常自认为是福薄的人，任何不好的事情发生都合情合理，有这样平常心态，将会战胜很多困难。
二次函数典型应用题
二次函数典型应用题(总10页)-CAL-FENGHAI.-(YICAI)-Company One1-CAL-本页仅作为文档封面，使用请直接删除新启点教育学科辅导讲义年级：姓名：辅导科目：授课内容教学内容二次函数应用题分类二次函数是初中学段的难点，学生学起来觉的比较的吃力，可以把应用问题进行分类：第一类、利用待定系数法对于题目明确给出两个变量间是二次函数关系，并且给出几对变量值，要求求出函数关系式，并进行简单的应用。
解答的关键是熟练运用待定系数法，准确求出函数关系式。
例1．某公司生产的A种产品，它的成本是2元，售价是3元，年销售量为100万件，为了获得更好的效益，公司准备拿出一定的资金做广告。
根据经验，每年投入的广告费是x（十万元）时，产品的年销售量将是原销售量的y倍，且y是x的二次函数，它们的关系如下表：012…x（十万元）y1…（1）求y与x的函数关系式；（2）如果把利润看作是销售总额减去成本费和广告费，试写出年利润S（十万元）与广告费x （十万元）的函数关系式；（3）如果投入的年广告费为10—30万元，问广告费在什么范围内，公司获得的年利润随广告费的增大而增大？二、分析数量关系型题设结合实际情景给出了一定数与量的关系，要求在分析的基础上直接写出函数关系式，并进行应用。
解答的关键是认真分析题意，正确写出数量关系式。
例2．某化工材料经销公司购进了一种化工原料共7000千克，购进价格为每千克30元。
物价部门规定其销售单价不得高于每千克70元，也不得低于30元。
市场调查发现：单价定为70元时，日均销售60千克；单价每降低1元，日均多售出2千克。
在销售过程中，每天还要支出其它费用500元（天数不足一天时，按整天计算）。
设销售单价为x元，日均获利为y元。
（1）求y关于x的二次函数关系式，并注明x的取值范围；（2）将（1）中所求出的二次函数配方成的形式，写出顶点坐标；在图2所示的坐标系中画出草图；观察图象，指出单价定为多少元时日均获得最多，是多少？（3）若将这种化工原料全部售出，比较日均获利最多和销售单价最高这两种销售方式，哪一种获总利较多，多多少？三、建模型即要求自主构造二次函数，利用二次函数的图象、性质等解决实际问题。
中考二次函数应用题含答案解析
中考二次函数应用题含答案解析二次函数应用题1．某书店以每本30元的价格购进一批图书进行销售，物价局根据市场行情规定这种图书的销售单价不低于42元且不高于62元．在销售中发现，该种图书每天的销售数量y （本）与销售单价x（元）之间存在某种函数关系，对应如表：销售单价x（元）43454749…销售数量y（本）54504642…(1)用你所学过的函数知识，求出y与x之间的函数关系式；(2)请问该种图书每天的销售利润w（元）的最大值是多少？(3)如果该种图书每天的销售利润必须不少于600元，试确定该种图书销售单价x的范围．2．冰墩墩是2022年北京冬季奥运会的吉祥物．冰墩墩以熊猫为原型设计，寓意创造非凡、探索未来．某超市用2400元购进一批冰墩墩玩偶出售．若进价降低20%，则可以多买50个．市场调查发现：当每个冰墩墩玩偶的售价是20元时，每周可以销售200个；每涨价1元，每周少销售10个．(1)求每个冰墩墩玩偶的进价；(2)设每个冰墩墩玩偶的售价是x元（x是大于20的正整数），每周总利润是w元．①直接写出w关于x的函数解析式，并求每周总利润的最大值；②当每周总利润大于1870元时，直接写出每个冰墩墩玩偶的售价．3．为响应江阴市“创建全国文明城市”号召，某单位不断美化环境，拟在一块矩形空地上修建绿色植物园，其中一边靠墙，可利用的墙长不超过18m，另外三边由36m长的栅栏围成．设矩形ABCD空地中，垂直于墙的边AB＝x cm，面积为y m2如图所示）．(1)求y与x之间的函数关系式，并写出自变量x的取值范围；(2)若该单位用8600元购买了甲、乙、丙三种绿色植物共400棵（每种植物的单价和每棵栽种的合理用地面积如表）．问丙种植物最多可以购买多少棵？此时，这批植物可以全部栽种到这块空地上吗？请说明理由．甲乙丙单价（元/棵）141628合理用地（m2/0.410.4棵）4．跳台滑雪是北京冬奥会的项目之一．某跳台滑雪训练场的横截面示意图如图并建立平面直角坐标系．抛物线2117:1126C y x x =-++近似表示滑雪场地上的一座小山坡，某运动员从点O 正上方4米处的A 点滑出（即A 点坐标为（0，4）），滑出后沿一段抛物线221:8C y x bx c =-++运动．(1)当运动员运动到距A 处的水平距离为4米时，距图中水平线的高度为8米（即经过点（4，8）），求抛物线C 2的函数解析式（不要求写出自变量的取值范围）；(2)在（1）的条件下，当运动员运动的水平距离为多少米时，运动员与小山坡的竖直距离为1米？5．国家推行“节能减排，低碳经济”政策后，低排量的汽车比较畅销，某汽车经销商购进A ，B 两种型号的低排量汽车，其中A 型汽车的进货单价比B 型汽车的进货单价多2万元；花50万元购进A 型汽车的数量与花40万元购进B 型汽车的数量相同．(1)求A ，B 两种型号汽车的进货单价；(2)销售过程中发现：A 型汽车的每周销售量yA （台）与售价xA （万元台）满足函数关系yA ＝﹣xA +18；B 型汽车的每周销售量yB （台）与售价xB （万元/台）满足函数关系yB ＝﹣xB +14．若A 型汽车的售价比B 型汽车的售价高1万元/台，设每周销售这两种车的总利润为w 万元．①当A 型汽车的利润不低于B 型汽车的利润，求B 型汽车的最低售价？②求当B 型号的汽车售价为多少时，每周销售这两种汽车的总利润最大？最大利润是多少万元？6．某商场出售A 商品，该商品按进价提高50%后出售，售出10件可获利100元．(1)求A 商品每件的进价和售价分别是多少元？(2)已知A 商品每星期卖出200件，为提高A 商品的利润，商场市场部进行了调查，获得以下反馈信息：信息一：每涨价1元，每星期会少卖出10件． 信息二：每降价1元，每星期可多卖出25件．①结合上述两条信息，A 商品售价为多少元时，利润最大？②某顾客带320元到商场购买A 、B 两种商品至少各1件（A 商品为第①小题中利润最大时的售价），B 商品售价为25元/个，现要求A 商品的数量不少于B 商品的数量．在不超额的前提下，如何购买这两种商品，使在总数量最多的情况下，总费用最少．7．为了助农增收，推动乡村振兴，某网店出售“碱水”面条．面条进价为每袋40元，当售价为每袋60元时，每月可销售300袋．为了吸引更多顾客，该网店采取降价措施．据市场调研反映，销售单价每降1元，则每月可多销售30袋．该网店店主热心公益事业，决定每月从利润中捐出200元资助贫困学生．设当每袋面条的售价降了x 元时，每月的销售量为y 袋．(1)求出y 与x 的函数关系式；(2)设该网店捐款后每月利润为w 元，则当每袋面条降价多少元时，每月获得的利润最大，最大利润是多少？8．用总长为24m 的篱笆围成如图的花圃（四边形ABEF 和四边形CDFE 均为矩形），现一面利用墙（墙的最大可用长度为10m ），设花圃的宽AB 为x m ，面积为S m 2．(1)求S 与x 的函数关系式及x 的取值范围；(2)要围成面积为45m 2的花圃，AB 的长是多少米？(3)AB 的长为多少米时，围成的花圃面积最大，请直接写出AB 的长度．9．某商店购进一批成本为每件30元的商品，销售单价为40元时，每天销售量为80件，经调查发现，销售单价每上涨1元，每天销售量减少2件．设该商品每天的销售量y （件）与销售单价x （元）．(1)求该商品每天的销售量y 与销售单价x 之间的函数关系式；(2)求当销售单价定为多少元时，才能使销售该商品每天获得的利润最大？最大利润是多少元？(3)若商店按单价不低于成本价且不高于50元销售，则销售单价定为多少，才能使销售该商品每天获得的利润最大？最大利润是多少？(4)若商店要使销售该商品每天获得的利润不低于800元，试利用函数图象确定销售单价最多为多少元？10．我国铅球运动员巩立姣在2021年8月1日东京奥运会铅球比赛中以20.53米的成绩力压群雄夺得冠军．如图是在她的一次赛前训练中，铅球行进高度y （米）与水平距离x （米）之间存在的函数关系式是2119512123y x x =-++．求：(1)这次训练中，巩立姣推铅球的成绩是多少米；(2)这次训练中，铅球距离地面的最大高度为多少米．【参考答案】二次函数应用题1．(1)2140y x =-+(2)800元(3)4260x ≤≤【解析】【分析】（1）由表格可知y 与x 之间存在一次函数的关系，再用待定系数法求解即可；（2）先根据利润=（销售单价-进价）×销售数量得出w 和x 之间的关系式，再利用二次函数求最值得方法求解即可；（3）先根据（2）中函数关系式，求得当w =600时的x 值，再根据二次函数和一次函数的性质求解即可．(1)解：由表格可知：当销售单价每提高2元，则销售数量减少4件，故y 与x 之间存在一次函数的关系，设其解析式为：y kx b =+ ，将x =43，y =54；x =45，y =50代入解析式得：43544550k b k b +=⎧⎨+=⎩ ， 解得：2140k b =-⎧⎨=⎩， 2140y x ∴=-+ ，由题意得：4260x ≤≤，2140y x ∴=-+（4260x ≤≤）；(2)根据题意得∶(30)(2140)w x x =--+ ，整理得：22220042002(50)800w x x x =-+-=--+ ，20a ＜ ，∴当x =50时，w 有最大值为800元，∴该种图书每天的销售利润的最大值是800元；(3)当w =600时，可得：26002(50)+800x ， 解得：1260,40x x （舍） ，由二次函数的图象可得：当4260x ≤≤ 时，该种图书每天的销售利润不少于600元．【点睛】本题考查了待定系数法求一次函数解析式，一次函数与二次函数在实际问题中的应用，熟练掌握一次函数和二次函数的相关性质和应用是解题的关键．2．(1)每个冰墩墩玩偶的进价为12元(2)①w 关于x 的函数解析式为y ＝﹣10x 2+520x ﹣4800，每周总利润的最大值为1960元；②售价为24元或25元或26元或27元或28元【解析】【分析】(1)设每个冰墩墩玩偶的进价为x 元，根据题意列分式方程解答即可；(2)①根据w=销售量×每件的利润列出关系式，再通过配方得到最大值；②根据二次函数的性质解答即可．(1)解：设每个冰墩墩玩偶的进价为x 元， 由题意得，2400x+50()2400120%x =-， 解得x ＝12，经检验，x ＝12是原方程的解，答：每个冰墩墩玩偶的进价为12元；(2)解：①w ＝（x ﹣12）[200﹣10（x ﹣20）]＝﹣10x 2+520x ﹣4800＝﹣10（x ﹣26）2+1960， 答：w 关于x 的函数解析式为y ＝﹣10x 2+520x ﹣4800，每周总利润的最大值为1960元； ②由题意得，﹣10x 2+520x ﹣4800＝1870，解得x ＝23或29，∵抛物线开口向下，∴当23＜x ＜29时，每周总利润大于1870元，∴售价为24元或25元或26元或27元或28元．【点睛】本题考查了分式方程的应用，二次函数在实际生活中的应用以及一元二次方程的应用，最大销售利润的问题常利函数的增减性来解答，解题的关键是吃透题意，确定变量，建立函数模型，然后结合实际选择最优方案．3．(1)y ＝﹣2x 2+36x （9≤x ＜18）(2)丙种植物最多可以购买214棵，此时这批植物可以全部栽种到这块空地上．理由见解析【解析】【分析】（1）根据矩形的面积公式计算即可；（2）利用二次函数的性质求出y 的最大值，设购买了乙种绿色植物a 棵，购买了丙种绿色植物b 棵，由题意得1440016288600a b a b --++=（），可得71500a b +=，推出b 的最大值为214，此时2a =，再求出实际植物面积即可判断．(1)解：∵AB ＝x ，∴BC ＝36﹣2x ，∴y ＝x （36﹣2x ）＝﹣2x 2+36x ，∵0＜36﹣2x ≤18，∴9≤x ＜18．∴y 与x 之间的函数关系式为y ＝﹣2x 2+36x （9≤x ＜18）；(2)解：∵y ＝﹣2x 2+36x ＝﹣2（x ﹣9）2+162，∴x ＝9时，y 有最大值162（m 2），设购买了乙种绿色植物a 棵，购买了丙种绿色植物b 棵，由题意：14（400﹣a ﹣b ）+16a +28b ＝8600，∴a +7b ＝1500，∴b 的最大值为214，此时a ＝2．需要种植的面积＝0.4×（400﹣214﹣2）+1×2+0.4×214＝161.2（m 2）＜162m 2，∴丙种植物最多可以购买214棵，此时这批植物可以全部栽种到这块空地上．【点睛】本题考查二次函数的应用，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．4．(1)213482y x x =-++ (2)运动员运动的水平距离为12米时，运动员与小山坡的竖直距离为1米．【解析】【分析】（1）根据题意将点（0，4）和（4，8）代入C 2：y =-18x 2+bx +c 求出b 、c 的值即可写出C 2的函数解析式；（2）设运动员运动的水平距离为m 米时，运动员与小山坡的竖直距离为1米，依题意得：﹣18m 2+32m +4﹣（﹣112m 2+76m +1）＝1，解出m 即可． (1)由题意可知抛物线C 2：y ＝﹣18x 2+bx +c 过点（0，4）和（4，8），将其代入得：2414488c b c =⎧⎪⎨-⨯++=⎪⎩， 解得：324b c ⎧=⎪⎨⎪=⎩， ∴抛物线C 2的函数解析式为：213482y x x =-++； (2)设运动员运动的水平距离为m 米时，运动员与小山坡的竖直距离为1米，依题意得： ﹣18m 2+32m +4﹣（﹣112m 2+76m +1）＝1， 整理得：（m ﹣12）（m +4）＝0，解得：m 1＝12，m 2＝﹣4（舍去），故运动员运动的水平距离为12米时，运动员与小山坡的竖直距离为1米．【点睛】本题考查了二次函数的基本性质及其应用，熟练掌握二次函数的基本性质，并能将实际问题与二次函数模型相结合是解决本题的关键．5．(1)A 种型号汽车的进货单价为10万元、B 两种型号汽车的进货单价为8万元(2)①B 型汽车的最低售价为414万元/台，②A 、B 两种型号的汽车售价各为13万元、12万元时，每周销售这两种汽车的总利润最大，最大利润是23万元【解析】【分析】（1）设未知数，用未知数分别表示A 型汽车、B 型汽车的进价，然后根据花50万元购进A 型汽车的数量与花40万元购进B 型汽车的数量相同列分式方程求解即可．（2）①用利润公式：利润=（售价-进价）×数量，分别表示出A 、B 型汽车利润，然后列不等式求解即可；②B 型号的汽车售价为t 万元/台，然后将两车的总利润相加得出一个二次函数，求二次函数的最值即可．(1)解：设B 型汽车的进货单价为x 万元，根据题意，得：502x +＝40x， 解得x ＝8，经检验x ＝8是原分式方程的根，8+2＝10（万元），答：A 种型号汽车的进货单价为10万元、B 两种型号汽车的进货单价为8万元；(2)设B 型号的汽车售价为t 万元/台，则A 型汽车的售价为（t +1）万元/台，①根据题意，得：（t +1﹣10）[﹣（t +1）+18]≥（t ﹣8）（﹣t +14），解得：t ≥414， ∴t 的最小值为414，即B 型汽车的最低售价为414万元/台， 答：B 型汽车的最低售价为414万元/台； ②根据题意，得： w ＝（t +1﹣10）[﹣（t +1）+18]+（t ﹣8）（﹣t +14）＝﹣2t 2+48t ﹣265＝﹣2（t ﹣12）2+23，∵﹣2＜0，当t ＝12时，w 有最大值为23．答：A 、B 两种型号的汽车售价各为13万元、12万元时，每周销售这两种汽车的总利润最大，最大利润是23万元．【点睛】本题考查了分式方程的应用，不等式的应用，二次函数的应用，理清数量关系，明确等量关系是解题关键．6．(1)A 商品每件的进价和售价分别是20，30元；(2)①A 商品售价为35元时，利润最大；②在总数量最多的情况下，购买A 、B 商品的数量都为5个时，总费用最少．【解析】【分析】（1）设进价为x 元，则售价为(150%)x +元，根据题意列方程求解即可；（2）①分商品涨价和降价两种情况，分别列出函数关系式，利用二次函数的性质求解即可；②设购买A 商品数量为m 个，B 商品数量为n 个，根据题意列出不等式组，求解即可．(1)解：设A 的进价为x 元，则售价为(150%)x +元，由题意可得：[(150%)]10100x x +-⨯=，解得20x(150%)30x +=， 答：A 商品每件的进价和售价分别是20，30元；(2)①设售价为x 元，获得利润为w 元当商品涨价时，则30x ≥，此时销售量为20010(30)50010x x -⨯-=-件，22(20)(50010)107001000010(35)2250w x x x x x =--=-+-=--+则当x =35时，w 最大，为2250，当商品降价时，则30x <，此时销售量为20025(30)95025x x +⨯-=-件22(20)(95025)2514501900025(29)2025w x x x x x =--=-+-=--+∴当x =29时，w 最大，为2025，∵2025<2250∴当x =35时，w 最大，为2250，答：A 商品售价为35元时，利润最大；②设购买A 商品数量为m 个，B 商品数量为n 个，由题意可得：003525320m n m n m n ≥⎧⎪>⎪⎨>⎪⎪+≤⎩且m ，n 为正整数， 当1m =，n =1时，352560m n +=，符合题意；当m =2，n =2时，3525120m n +=，符合题意；当m =3，n =3时，3525180m n +=，符合题意；当m =4，n =4时，3525240m n +=，符合题意；当m =5，n =5时，3525300m n +=，符合题意；当m =6，n =5时，3525335320m n +=>，不符合题意；综上，在总数量最多的情况下，购买A 、B 商品的数量都为5个时，总费用最少．【点睛】此题考查了一元一次方程的应用，二次函数的应用以及二元一次不等式组的应用，解题的关键是理解题意，找到题中的等量关系或不等式关系，正确列出方程、函数以及不等式． 7．(1)30030y x =+(2)当降价5元时，每月获得的利润最大，最大利润是6550元【解析】【分析】（1）由销售单价每降1元，则每月可多销售30袋，可知降了x 元时，销量增加30x 袋，由此可解；（2）根据每月利润＝每袋利润×月销量－捐款，得到w 关于x 的函数表达式，改成顶点式求出函数的最大值即可．(1)解：由题意得，y 与x 之间的函数关系式为y =300+30x ；(2)解：由题意得，22(6040)(30030)200303005800=305)6550w x x x x x =--+-=-++--+（，∵300-<，∴当x =5时，w 有最大值，最大值为6550．答：当降价5元时，每月获得的利润最大，最大利润是6550元．【点睛】本题考查二次函数的实际应用，根据题意列出w 关于x 的函数表达式是解题的关键． 8．(1)S 与x 的函数关系式为S ＝﹣3x 2+24x ，x 值的取值范围是143≤x ＜8； (2)AB 的长为5m ；(3)当AB 的长是143m 时，围成的花圃的面积最大，最大面积是2140m 3【解析】【分析】（1）根据矩形的面积即可写出函数关系式；（2）根据（1）中所得函数关系式当S为45时，列出一元二次方程即可求出AB的长；（3）根据（1）中所得函数关系式化为顶点式，再根据自变量的取值范围即可求出最大面积．(1)解：根据题意，得：S＝x（24﹣3x）＝﹣3x2+24x，∵0＜24﹣3x≤10，∴143≤x＜8．答：S与x的函数关系式为S＝﹣3x2+24x，x值的取值范围是143≤x＜8；(2)解：根据题意，得：当S＝45时，﹣3x2+24x＝45，整理，得x2﹣8x+15＝0，解得x1＝3，x2＝5，当x＝3时，BC＝24﹣9＝15＞10不成立，当x＝5时，BC＝24﹣15＝9＜10成立．答：AB的长为5m；(3)解：S＝﹣3x2+24x＝﹣3（x﹣4）2+48，∵143≤x＜8，且抛物线的对称轴x＝4，开口向下，∴当x＝143时，S最大，最大值＝﹣3（143﹣4）2+481403．答：当AB的长是143m时，围成的花圃的面积最大，最大面积是2140m3【点睛】本题考查了二次函数的应用、一元二次方程的应用，解决本题的关键是综合掌握二次函数的性质和一元二次方程的解法．9．(1)y＝－2x＋160(2)定价为55元时，每天的销售利润有最大值为1250(3)销售单价定为50元时，该超市每天的利润最大，最大利润1200元(4)70元【解析】【分析】（1）根据题意可得y与x的关系式；（2）由题意得w=（x-30）（-2x+160）=-2（x-55）2+1250，即可求解；（3）根据二次函数的关系式和单价的取值范围可得最大利润；（4）由题意可得：（x -30）（-2x +160）=800，再根据函数的图象可得答案．(1)依题意得，y ＝80－2（x －40）＝－2x ＋160；(2)由题意得：2(30)(2160)2(55)1250w x x x =--+=--+，20-<，∴当55x =时，w 有最大值，此时，1250w =，(3)20-<，故当55x <时，w 随x 的增大而增大，而3050x ≤≤，∴当50x =时，w 有最大值，此时，1200w =，故销售单价定为50元时，该超市每天的利润最大，最大利润1200元；(4)由题意得：(30)(2160)800x x --+≥，解得：4070x ≤≤，∴销售单价最多为70元．【点睛】此题主要考查了二次函数的应用，正确利用销量×每件的利润=w 得出函数关系式是解题关键．10．(1)20米 (2)14716米 【解析】【分析】（1）令y =0，得到关于x 的方程，解方程即可；（2）将二次函数关系式化为顶点式，再求铅球距离地面的最大高度．(1)解：令y =0，则21195012123x x =-++， 解得x 1=20，x 2=-1（舍去），∴巩立姣推铅球的成绩是20米；(2)2211951191471212312216y x x x ⎛⎫=-++=--+ ⎪⎝⎭， ∴当192x =时，y 有最大值，为14716， ∴铅球距离地面的最大高度为14716米． 【点睛】本题考查了二次函数的应用中函数式中变量与函数表达的实际意义，需要结合题意，取函数或自变量的特殊值列方程求解是解题关键．。
中考必练二次函数综合应用题(带答案)
中考必练二次函数综合应用题(带答案)二次函数应用题1．某果农在销瓯柑时，经市场调査发现：瓯柑若售价为5元/千克，日销售量为34千克，若售价每提高1元/千克，日销售量就减少2千克．现设瓯柑售价为x元/千克（x≥5且为正整数）．(1)若某日销售量为24千克，求该日瓯柑的单价；(2)若政府将销售价格定为不超过15元/千克．设每日销售额为w元，求w关于x的函数表达式，并求w的最大值和最小值；(3)市政府每日给果农补贴a元后（a为正整数），果农发现最大日收入（日收入=销售额+政府补贴）还是不超过350元，并且只有5种不同的单价使日收入不少于340元，请直按写出所有符合题意的a的值．2．某商场经营某种品牌的玩具，购进时的单价是30元，根据市场调查，在一段时间内，销售单价是40元，销售量是600件，而销售单价每涨1元，就会少售出10件玩具．x>），请你分别用x的代数式来表示销售(1)不妨设该种品牌玩具的销售单价为x元（40量y件和销售该品牌玩具获得利润ω元．(2)在（1）问条件下，若玩具厂规定该品牌玩具销售单价不低于44元，且商场要完成不少于540件的销售任务，求商场销售该品牌玩具获得的最大利润是多少？3．某地草莓已经到了收获季节，已知草莓的成本价为10元/千克，投入市场销售后，发现该草莓销售不会亏本，且每天销售量y（千克）与销售单价x（元/千克）之间的函数关系如图所示．(1)求y与x的函数关系式，并写出x的取值范围．(2)若产量足够，当该品种的草莓定价为多少时，每天销售获得的利润最大？最大利润是多少？4．某服装厂批发应季T恤衫，其单价y（元）与一次批发数量x（件）（x为正整数．．．．）之间的关系满足图中折线的函数关系．(1)求y 与x 的函数关系式；(2)若每件T 恤衫的成本价是60元，当100400x <≤时，求服装厂所获利润w （元）与x （件）之间的函数关系式，并求一次批发多少件时所获利润最大，最大利润是多少？ 5．问题提出(1)如图①，在矩形ABCD 中，4AB =，6BC =，点F 是AB 的中点，点E 在BC 上，2BE EC =，连接FE 并延长交DC 的延长线于点G ，求CG 的长；问题解决(2)如图②，某生态农庄有一块形状为平行四边形ABCD 的土地，其中4km AB =，6km BC =，60B ∠=︒．管理者想规划出一个形状为EMP 的区域建成亲子采摘中心，根据设计要求，点E 是AD 的中点，点P 、M 分别在BC 、AB 上，PM AB ⊥．设BP 的长为(km)x ，EMP 的面积为y 2(km )．①求y 与x 之间的函数关系式；②为容纳更多的游客，要求EMP 的面积尽可能的大，请求出EMP 面积的最大值，并求出此时BP 的长．6．某公司分别在A ，B 两城生产同种产品，共100件．A 城生产产品的成本y （万元）与产品数量x （件)之间具有函数关系220100y x x =++，B 城生产产品的每件成本为60万元．(1)当A 城生产多少件产品时，A ，B 两城生产这批产品成本的和最小，最小值是多少？(2)从A 城把该产品运往C ，D 两地的费用分别为1万元/件和3万元/件；从B 城把该产品运往C ，D 两地的费用分别为1万元/件和2万元/件．C 地需要90件，D 地需要10件，在（1）的条件下，怎样调运可使A ，B 两城运费的和最小？7．安徽省在党中央实施“精准扶贫”政策的号召下，大力开展科技扶贫工作，帮助农民组建农副产品销售公司，某农副产品的年产量不超过100万件，该产品的生产费用y （万元）与年产量x （万件）之间的函数图象是顶点为原点的抛物线的一部分（如图①所示）；该产品的销售单价z（元/件）与年销售量x（万件）之间的函数图象是如图②所示的一条线段，生产出的产品都能在当年销售完，达到产销平衡，所获毛利润为W万元．（毛利润=销售额-生产费用）(1)请直接写出y与x以及z与x之间的函数关系式；（写出自变量x的取值范围）(2)求W与x之间的函数关系式；（写出自变量x的取值范围）：并求年产量多少万件时，所获毛利润最大(3)由于受资金的影响，今年投入生产的费用不会超过360万元，今年最多可获得多少万元的毛利润8．某商场销售一款服装，经市场调查发现，每月的销售量y（件）与销售单价x（元/件）之间的函数关系如表格所示．同时，商场每出售1件服装，还要扣除各种费用150元．销售单价x（元/件）260240220销售量y（件）637791(1)求y与x之间的函数关系式；(2)当销售单价为多少元时，商场每月能够获得最大利润？最大利润是多少？(3)4月底，商场还有本款服装库存580件．若按（2）中获得最大月利润的方式进行销售，到12月底商场能否销售完这批服装？请说明理由．9．某商店购进一批成本为每件30元的商品，销售单价为40元时，每天销售量为80件，经调查发现，销售单价每上涨1元，每天销售量减少2件．设该商品每天的销售量y （件）与销售单价x（元）．(1)求该商品每天的销售量y与销售单价x之间的函数关系式；(2)求当销售单价定为多少元时，才能使销售该商品每天获得的利润最大？最大利润是多少元？(3)若商店按单价不低于成本价且不高于50元销售，则销售单价定为多少，才能使销售该商品每天获得的利润最大？最大利润是多少？(4)若商店要使销售该商品每天获得的利润不低于800元，试利用函数图象确定销售单价最多为多少元？10．某商场将进价为30元的台灯以40元售出，平均每月能售出600个．调查发现，售价在40元至70元范围内，这种台灯的售价每上涨1元，其销售量就减少10个．为了实现每月获得最大的销售利润，这种台灯的售价应定为多少？最大利润为多少元？【参考答案】二次函数应用题1．(1)10元/千克(2)2244w x x =-+（515x ≤≤，且x 为正整数）最大值是242元，最小值为170元(3)106 107 108【解析】【分析】（1）根据售价每提高1元/千克，日销售量就减少2千克，且某日销售量为24千克，列方程可解答；（2）根据题意，利用销售额等于销售量乘以销售单价，列出函数关系式，根据二次函数的性质及配方法可求得答案；（3）由题意得：2340244350x x a ≤-++≤，由二次函数的对称性可知x 的取值为9，10，11，12，13，从而计算可得a 值．(1)解：根据题意得342524x --=（）， 解得10x =．答：该日瓯柑的单价是10元/千克；(2)解：根据题意得222342524422212112121124]2[w x x x x x x x =--=-+=--+-=--+（）（）（），由题意得515x ≤≤，且x 为正整数，∵20-＜ ，∴11x =时，w 有最大值是242元，∵11-5=6，15-11=4，抛物线开口向下，∴5x =时，w 有最小值是22511242170--+=（）元；则w 关于x 的函数表达式为：23425244[]w x x x x =--=-+（）（515x ≤≤，且x 为正整数）；(3)解：由题意得2340244350x x a ≤-++≤，∵只有5种不同的单价使日收入不少于340元，5为奇数，∴由二次函数的对称性可知，x 的取值为9，10，11，12，13当9x =或13时，2244234x x -+=；当10x =或12时，2244240x x -+=，当11x =时，2244242x x -+=．∵补贴后不超过350元，234+106=340，242+108=350，∴当106a =或107或108时符合题意．答：所有符合题意的a 值为：106，107，108．【点睛】本题主要考查二次函数的应用．得到每天可售出的千克数是解决本题的突破点；本题需注意x 的取值应为整数．解题的关键是熟练掌握待定系数法求函数解析式、根据销售额的相等关系列出函数解析式及二次函数的性质．2．(1)y=1000−10x ，w =−10x 2＋1300x −30000；(2)商场销售该品牌玩具获得的最大利润为8640元．【解析】【分析】（1）由销售单价每涨1元，就会少售出10件玩具，得y ＝600−（x −40）×10＝1000−10x ，利润w ＝（1000−10x ）（x −30）＝−10x 2＋1300x −30000；（2）首先求出x 的取值范围，然后把w ＝−10x 2＋1300x −30000转化成y ＝−10（x −65）2＋12250，结合x 的取值范围，求出最大利润．(1)解：由题意得：销售量y=600−（x −40）×10=1000−10x ，销售玩具获得利润w =（1000−10x ）（x −30）=−10x 2＋1300x −30000；(2)解：根据题意得10001054045x x -≥⎧⎨≥⎩， 解之得：45≤x ≤46，w ＝−10x 2＋1300x −30000＝−10（x −65）2＋12250，∵a ＝−10＜0，对称轴是直线x ＝65，∴当45≤x ≤46时，w 随x 增大而增大．∴当x ＝46时，w 最大值＝8640（元）．答：商场销售该品牌玩具获得的最大利润为8640元．【点睛】本题主要考查了二次函数的应用的知识点，解答本题的关键熟练掌握二次函数的性质以及二次函数最大值的求解，此题难度不大．3．(1)10300y x =-+，1030x ≤≤；(2)当该品种的草莓定价为20元时，每天销售获得的利润最大，为1000元．【解析】【分析】（1）由图象可知每天销售量y （千克）与销售单价x （元/千克）之间是一次函数的关系，设y kx b =+，将(10,200)，(15,150)代入解析式求解即可；（2）设利润为w 元，求得w 与x 的关系式，然后利用二次函数的性质求解即可．(1)解：由图象可知每天销售量y （千克）与销售单价x （元/千克）之间是一次函数的关系， 设y kx b =+，将(10,200)，(15,150)代入解析式，可得1020015150k b k b +=⎧⎨+=⎩，解得10300k b =-⎧⎨=⎩ 即10300y x =-+，由题意可得，10x ≥，103000x -+≥，解得1030x ≤≤即10300y x =-+，1030x ≤≤，(2)解：设利润为w 元，则2(10)(10300)104003000w x x x x =--+=-+-，∵100-<，开口向下，对称轴为20x，1030x ≤≤ ∴当20x时，w 有最大值，为1000元，【点睛】此题考查了一次函数与二次函数的应用，解题的关键是掌握二次函数的性质，理解题意，找到题中的等量关系，正确列出函数关系式．4．(1)100(0100)1110(100400)1070(400)y x y y x x y x =≤≤⎧⎪⎪==-+<≤⎨⎪=>⎪⎩ (2)一次批发250件时，获得的最大利润为6250元【解析】【分析】（1）利用待定系数法结合图象求出解析式；（2）根据件数乘以单件的利润列得函数关系式，根据二次根式的性质解答．(1)解：当0≤x ≤100时，y =100；当100<x ≤400时，设y 与x 的函数关系式为y =kx +b ，则10010040070k b k b +=⎧⎨+=⎩，解得110110k b ⎧=-⎪⎨⎪=⎩， ∴111010y x =-+； 当x >400时，y =70； 综上，100(0100)1110(100400)1070(400)y x y y x x y x =≤≤⎧⎪⎪==-+<≤⎨⎪=>⎪⎩ (2)11106010w x x ⎛⎫=-+- ⎪⎝⎭=215010x x -+=()21250625010x --+ 当x =250时，w 有最大值，即一次批发250件时，最大利润为6250元．【点睛】此题考查了求函数解析式，二次函数的最值问题，正确理解函数图象求出函数解析式是解题的关键．5．(1)1CG =(2)①2311388y x x =-+；②EMP 面积的最大值为21213km 32，此时BP 的长为11km 2 【解析】【分析】（1）证明FEB GEC △∽△，依据相似三角形的性质进行求解即可；（2）①分点P 在点H 左侧和右侧两种情况讨论求解即可；②由二次函数的性质可得解．(1)在矩形ABCD 中，90ABC BCD BCG ∠=∠=∠=︒，∵FEB GEC ∠=∠，∴FEB GEC △∽△，∴BF BE CG CE =， ∵4AB =，6BC =，点F 是AB 的中点，2BE EC =，∴2BF =，4BE =，2CE =，∴242CG =， ∴1CG =.(2)①过点E 作EH //AB 交BC 于点H ，交射线MP 于点G ，易得四边形ABHE 是平行四边形， ∴4EH AB ==.∵EH //AB ，PM AB ⊥，∴60PHG B ∠=∠=︒，EG PM ⊥，即EG 是PME △边MP 上的高.∵点E 是AD 的中点，∴3BH AE ==.如图1-1，当点P 在点H 左侧时，3PH x =-，∴1322x HG PH -==， ∴311422x x EG EH HG --=+=+=. 如图1-2，当点P 在点H 右侧时，3PH x =-，∴1322x HG PH -==， ∴311422x x EG EH HG --=-=-=， ∴PME △的边MP 上的高112x EG -=. 在Rt MBP 中，3sin 60x MP BP =⋅︒=∴2113113113222x x y MP EG x -=⋅==. ②)222311333111213112y x x x x ⎫==-=-⎪⎝⎭ ∴当112x =时，1213y =最大 ∴EMP 21213，此时BP 的长为11km 2. 【点睛】 本题是一道相似形的综合题，考查了全等三角形的判定及性质，相似三角形的判定及性质，三角函数值的运用．在解答时添加辅助线构建全等形和相似形是关键．6．(1)A 城生产20件，最小值是5700万元；(2)从A 城把该产品运往C 地的产品数量为20件，则从A 城把该产品运往D 地的产品数量为0件；从B 城把该产品运往C 地的产品数量为70件，则从B 城把该产品运往D 地的产品数量为10件时，可使A ，B 两城运费的和最小．【解析】【分析】（1）设A ，B 两城生产这批产品的总成本的和为W （万元），则W 等于A 城生产产品的总成本加上B 城生产产品的总成本，由此可列出W 关于x 的二次函数，将其写成顶点式，根据二次函数的性质可得答案；（2）设从A 城把该产品运往C 地的产品数量为n 件，分别用含n 的式子表示出从A 城把该产品运往D 地的产品数量、从B 城把该产品运往C 地的产品数量及从B 城把该产品运往D 地的产品数量，再列不等式组求得n 的取值范围，然后用含n 的式子表示出A ，B 两城总运费之和P ，根据一次函数的性质可得答案．(1)解：设A ，B 两城生产这批产品的总成本的和为W （万元），则22010060(100)W x x x =+++-2406100x x =-+2(20)5700x =-+，∴当20x时，W 取得最小值，最小值为5700万元， ∴城生产20件，A ，B 两城生产这批产品成本的和最小，最小值是5700万元；(2) 设从A 城把该产品运往C 地的产品数量为n 件，则从A 城把该产品运往D 地的产品数量为(20)n -件，从B 城把该产品运往C 地的产品数量为(90)n -件，则从B 城把该产品运往D 地的产品数量为(1020)n -+件，运费的和为P （万元），由题意得：20010200n n -⎧⎨-+⎩， 解得1020n ，3(20)(90)2(1020)P n n n n =+-+-+-+60390220n n n n =+-+-+-2130n n =-+130n =-+，根据一次函数的性质可得：P 随n 增大而减小，∴当20n =时，P 取得最小值，最小值为110，∴从A 城把该产品运往C 地的产品数量为20件，则从A 城把该产品运往D 地的产品数量为0件；从B 城把该产品运往C 地的产品数量为70件，则从B 城把该产品运往D 地的产品数量为10件时，可使A 、B 两城运费的和最小．【点睛】本题考查了二次函数和一次函数在实际问题中的应用，解题的关键是理清题中的数量关系并熟练掌握一次函数和二次函数的性质．7．(1)21(0100)10y x x =≤≤，130(0100)10z x x =-+≤≤； (2)21(75)1125(0100)5W x x =--+≤≤，年产量75万件时，所获毛利润最大； (3)今年最多可获得1080万元的毛利润【解析】【分析】（1）利用待定系数法可求出y 与x 以及z 与x 之间的函数关系式；（2）根据（1）的表达式及毛利润=销售额-生产费用，可得出w 与x 之间的函数关系式； （3）首先求出x 的取值范围，再利用二次函数增减性得出答案即可．(1)解：设y 与x 之间的函数关系式为2y ax =，21000100a =⨯，得110a =， 即y 与x 之间的函数关系式为21(0100)10y x x =≤≤； 设z 与x 的函数关系式为z kx b =+，3010020b k b =⎧⎨+=⎩，得1,1030k b ⎧=-⎪⎨⎪=⎩ 即z 与x 的函数关系式为130(0100)10z x x =-+≤≤； (2)解：由题意可得， 2211130(75)112510105W zx y x x x x ⎛⎫=-=-+-=--+ ⎪⎝⎭， 即W 与x 之间的函数关系式为21(75)1125(0100)5W x x =--+≤≤， ∵21(75)11255W x =--+， ∴当75x =时，W 取得最大值，此时1125W =，即年产量75万件时，所获毛利润最大；(3)解：∵今年投入生产的费用不会超过360万元，∴360y ≤，令y =360，得2136010x =， 解得：x =±60（负值舍去），由图象可知，当0＜y ≤360时，0＜x ≤60， ∵21(75)11255W x =--+， ∴当60x =时，W 取得最大值，此时1080W =，即今年最多可获得1080万元的毛利润．【点睛】本题考查了二次函数的应用及一次函数的应用，解题的关键是利用待定系数法求函数解析式，注意培养自己利用数学知识解决实际问题的能力，难度一般．8．(1)724510y x =-+ (2)当售价为250元时，商场每月所获利润最大，最大利润为7000元(3)不能，理由见解析【解析】【分析】（1）根据表格数据判断为一次函数，设y kx b =+，用待定系数法求出解析时； （2）利润=单件利润⨯销售数量，化简为二次函数的顶点式，根据函数性质判断； （3）计算按（2）中获得最大月利润的方式进行销售时的数量，与580比较．(1)解：由表格可知，此函数为一次函数，故设y kx b =+；则有24077{22091k b k b +=+=， 解得710245k b ⎧=-⎪⎨⎪=⎩， 724510y x ∴=-+； (2)设销售利润为w 元，由题意得：7(150)(245)10w x x =--+ 273503675010x x =-+- 27(250)700010x =--+ 7010a =-<， w ∴有最大值，∴当250x =时，w 取最大值，7000w =最大，答：当售价为250元时，商场每月所获利润最大，最大利润为7000元；(3)当250x =时，70y =（件），70(124)560580⨯-=<，∴12月底不能销售完这批服装．【点睛】本题考查一次函数和二次函数的实际应用，解题关键用待定系数法求出一次函数解析式，注意二次函数最值讨论时,一般整理成顶点式，再通过看a 值确定最大值或最小值． 9．(1)y ＝－2x ＋160(2)定价为55元时，每天的销售利润有最大值为1250(3)销售单价定为50元时，该超市每天的利润最大，最大利润1200元(4)70元【解析】【分析】（1）根据题意可得y 与x 的关系式；（2）由题意得w =（x -30）（-2x +160）=-2（x -55）2+1250，即可求解；（3）根据二次函数的关系式和单价的取值范围可得最大利润；（4）由题意可得：（x -30）（-2x +160）=800，再根据函数的图象可得答案．(1)依题意得，y ＝80－2（x －40）＝－2x ＋160；(2)由题意得：2(30)(2160)2(55)1250w x x x =--+=--+，20-<，∴当55x =时，w 有最大值，此时，1250w =，(3)20-<，故当55x <时，w 随x 的增大而增大，而3050x ≤≤，∴当50x =时，w 有最大值，此时，1200w =，故销售单价定为50元时，该超市每天的利润最大，最大利润1200元；(4)由题意得：(30)(2160)800x x --+≥，解得：4070x ≤≤，∴销售单价最多为70元．【点睛】此题主要考查了二次函数的应用，正确利用销量×每件的利润=w 得出函数关系式是解题关键．10．这种台灯的售价应定为65元时，最大利润为12250元．【解析】【分析】设这种台灯应涨价x 元，那么就少卖出10x 个，根据“总利润=每个台灯的利润×销售量”列出函数解析式，最后运用二次函数求最值即可．【详解】解：设售价为x 元，根据题意得：()()()2306001040106512250W x x x =---=--+⎡⎤⎣⎦，∴当x ＝65时，12250y =最大，答：这种台灯的售价应定为65元时，最大利润为12250元．【点睛】本题主要考查二次函数的应用，根据“总利润=每个台灯的利润×销售量”列出函数解析式是解答本题的关键．。
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常考的二次函数题型
一、求两函数图象的交点问题
两函数图象交点的横坐标和纵坐标的值就是两个解析式做组成的方程组的解。
换言之求两个函数图象交点的个数就是求两个解析式做组成的方程组解的个数。
例1在同一平面直角坐标系中，抛物线y=x 2+4x-5与直线y=2x-6的交点个数为（
）
A.0
B.1
C.2
D.3解析：根据方程组⎩⎨⎧-=-+=6
2542x y x x y ，得x 2+4x-5=2x-6，即x 2+2x+1=0因为△=22-4×1×1=0，所以方程x 2+2x+1=0有一个实数根
所以方程组⎩⎨⎧-=-+=6
2542x y x x y 只有一个解，即说明抛物线y=x 2+4x-5与直线y=2x-6的交点只有1个。
故选B.
点拨：类似题型，求两个函数图象交点的个数，可将方程组通过消元法转化成一个一元二次方程，再根据二元一次方程根的判别式△=b 2-4ac 来判断该方程有几个不同的解。
二、二次函数与一元二方程关系的综合运用
主要依据是根据判别式△=b2-4ac 的符号来判断，即当△＞0时，抛物线与x 轴有2个不同的交点；当△=0时，抛物线与x 轴有1个交点；当△﹤0时，抛物线与x 轴没有交点。
例2已知二次函数y=x 2-2mx+m 2+3（m 为常数）.
（1）求证：不论m 为何值，该函数的图象与x 轴没有公共点；
（2）把该函数的图象沿y 轴向下平移多少个单位长度后，得到的函数的图象与x
轴只有1个公共点？
分析：（1）求出根的判别式，根据根的判别式符号，即可得出答案；（2）先化成顶点式，根据顶点坐标和平移的性质进行解答。
解析：（1）证法1：∵△=（-2m ）2-4×1×（m 2+3）=4m 2-4m 2-12=-12＜0，
∴方程x 2-2mx+m 2+3=0没有实数根
即不论m 为何值，该函数的图象与x 轴没有公共点
即不论m 为何值，y=x 2-2mx+m 2+3的图象与x 轴没有公共点
证法2：∵a=1＞0，所以该函数的图象开口向上
又y=x2-2mx+m2+3=（x-m）2+3≥3
∴该函数的图象在x轴的上方
∴不论m为何值，y=x2-2mx+m2+3的图象与x轴没有公共点
（2）∵y=x2-2mx+m2+3=（x-m）2+3，
∴该函数的顶点式（m,3）
要使得函数的图象与x轴只有1个公共点，说明函数图象的顶点在x轴上，即顶点变成（m,0），即将点（m,3）向下平移3个单位长度后得到点（m,0）
∴将函数y=（x-m）2+3的图象沿着y轴向下平移3个单位长度后，
得到函数y=（x-m）2，此时的函数图象与x轴只有一个公共点（m,0）
三、利用二次函数图象求不等式的解集
例3已知二次函数y=x2-2x-3，问x为何值时，y大于0？x为何值时，y小于0？
解析：先画出二次函数y=x2-2x-3的图象（如下图所示），即可确定5点：（1）图象开口向上；（2）对称轴为直线x=1；（3）顶点坐标为（1，-4）；（4）与y轴交于点（0，-3）；（5）与x轴交与点（-1,0）、（3,0）.
在观察图象，y>0，即纵坐标为正时，x轴上方的图象有两个部分，坐边部分的点满足x<-1，右边部分的点满足x>3
所以当x<-1或x>3时，y>0
同样的，y<0，即纵坐标为负，对应x轴的下方的部分，由图象可知当-1<x<3时，y<0.
四、利用二次函数解决实际问题
利用利用二次函数解决实际问题通常先要建立变量之间的二次函数解析式，再利用二次
函数的相关性质求解。
例4某汽车租赁公司拥有20辆汽车，根据统计，当每辆车的日租金为400元时，可全部租出；若每辆车的日租金每增加50元，未租出的车将增加1辆；公司平均每日的各项支出共4800元。
设公司每日租出x辆车时，日收益为y元.（日收益=日租金收入一平均每日各项支出）
（1）公司每日租出x辆车时，每辆车的日租金为元（用含x的代数式表示）；（2）当每日租出多少辆时，租赁公司日收益最大？最大是多少元？
（3）当每日租出多少辆时，租赁公司的日收益不盈也不亏？
分析：（1）每辆汽车的日租金在400元的基础上增加了50（20-x）元，所以每辆汽车的日租金为400+50（20-x）=（1400-50x）元；
（2）根据日收益=日租金收入一平均每日各项支出建立二次函数解析式，求最大函数值；（3）日收益不盈也不亏即日收益为0，建立方程求解.
解析：（1）1400-50x
（2）根据题意有y=x(-50x+1400)-4800=-50x2+1400x-4800=-50(x-142)+5000
当x=14时，在0≤x≤20范围内，y有最大值5000
答：当每日租出14辆时，租赁公司日收益最大，最大值5000元。
（3）要使得日收益不盈也不亏即y=0
所以有-50(x-142)+5000=0
解之得x1=24（不合题意，舍去），x2=4
答：当每日租出4辆时，租赁公司的日收益不盈也不亏。
五、与二次函数相关的综合题
例5已知关于x的一元二次方程x2-(m-3)x-m=0.
（1）试判断原方程根的情况；
（2）若抛物线y=x2-(m-3)x-m与x轴交与两点A(x1，0)、B(x2，0)，则A，B两点间的距离是否存在最大或最小值？若存在，求出这个值；若不存在，请说明理由.
（提示：AB=∣x1-x2∣）
解析：（1）△=[-(m-3)]2-4(-m)=m2-2m+9=(m-1)2+8
∵(m-1)2≧0，∴(m-1)2+8＞0
∴原方程有两个不相等的实数根
（2）存在最小值
由题意知，x1与x2是方程x2-(m-3)x-m=0的两个根根据根与系数的关系有：x1+x2=m-3，x1·x2=-m
∵AB=∣x1-x2∣
∴AB2=(x1-x2)2=(x1+x2)2-4x1x2=(m-3)2-4(-m)=(m-1)2+8∴当m=1时，AB2有最小值8，即AB有最小值8∴AB有最小值，最小值为8。