(优辅资源)广东省省际名校(茂名市)高三下学期联考(二)数学(文)试题Word版含答案
广东省茂名市2024届高三下学期第二次综合测试数学试题
则 l P l¢ ，所以 l¢ ^ b ，所以a ^ b ，故 D 正确. 故选：D 5．D
【分析】计算出样本中心点 ( x, y ) 的坐标，代入回归直线方程求得 a 的值，然后在回归直线
l + m = 1 ， d100 = ld1 + md2 ；
(3)若{dn}
为等比数列，证明：
am
(1)
+
am
(2)
+L+
am
(n)
£
éëam
(1)
+ am 2
(n)ùû
n
.
试卷第51 页，共33 页
1．C
参考答案：
【分析】根据题意利用模长公式直接运算求解即可.
【详解】由题意可知： z = cos2 π6π+ sin2 6 = 1 .
则 f (-x) = f (4 - x), f (x) 的周期T = 4 ，
当 x Î[0,2] 时， f ( x) = 2x -1，
则当
x Î[-2,0] 时，
f
(x)
=
(
1 2
)
x
-1 ，即可画出函数
f
(x)
的图象；
答案第31 页，共22 页
函数 y = 3 sin (p x) 周期是 2，最大值为 3，把函数 y = 3sin (p x) 在 x 下方图象翻折到 x 轴上
(1)若曲线 y = f ( x) 在点(0, f (0)) 处的切线方程为 x + y = 0 ，求实数 a 的值；
2020年广东茂名高三第二次综合测试-数学(文)
2020年广东省茂名市高三第二次综合测试文科数学 2020.5一、选择题：(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，有且只有一项是符合题目要求的)1．已知集合U ={1, 2, 3, 4, 5}，A ={2, 3, 5}，B ={2, 5}，则( )A. A ⊂BB. ∁U B ={1, 3, 4}C. A ∪B ={2, 5}D. A ∩B ={3} 2．若，则复数的虚部为( )A.2B.1C.D.−13．已知函数f (x )在点(1, f (1))处的切线方程为x +2y −2=0，则f (1)+f ′(1) =( )A ．B ． 1C ．D ．04．函数的图象如图所示，则的值为( )A ．B ．1C ．D ．5．下列命题错误的是( )A ．“x ＝2”是“x 2−4x +4＝0”的充要条件B ．命题“若，则方程x 2+x −m ＝0有实根”的逆命题为真命题C ．在△ABC 中，若“A ＞B ”，则“sin A ＞sin B ”D ．若等比数列{a n }公比为q ，则“q ＞1”是“{a n }为递增数列”的充要条件 6．《易·系辞上》有“河出图，洛出书”之说，河图、洛书是中国古代流传下来的两幅神秘图案，蕴含了深奥的宇宙星象之理，被誉 为“宇宙魔方”，是中华文化阴阳术数之源。
河图的排列结构如图 所示，一与六共宗居下，二与七为朋居上，三与八同道居左，四与 九为友居右，五与十相守居中，其中白圈为阳数，黑点为阴数，若从阳数和阴数中各取一数，则其差的绝对值为5的概率为：( )A. B.C.D.7．“辗转相除法”是欧几里得《原本》中记录的一个算法，是由欧几里得在公元前300年左右首先提出的，因而又叫欧几里得算法.如图所示是一个当型循环结构的“辗转相除法”程序框图.当输入m =2020，n =303时，则输出的m 是( )()i 2i,,R x i y x y -=+∈i x y +i 3212()=sin()(0,0,||)2f x A x A πωϕωϕ+>><()3f π122314m ≥-15625725825xO y26π23π–2第4题图第6题图A. 2B. 6C. 101D. 2028．已知双曲线(a ＞0, b ＞0)的离心率为2，其一条渐近线被圆(x −m )2+y 2=4(m ＞0)截得的线段长 为2，则实数m 的值为( )A ．B ．C ．2D ．1 9．已知函数是定义在R 上的偶函数，当时，．则使不等式成立的x 取值范围是( )A. B. C. D.10．函数在[−5, 5]的图形大致是( )11．已知三棱锥 中，且 平面P AB ⊥平面ABC ，则该三棱锥的外接球的表面积为( ) A ． B ． C ． D ．12．已知函数，对于函数有下述四个结论：①函数在其定义域上为增函数；②对于任意的，都有成立；③有且仅有两个零点；④若y =e x 在点处的切线也是y =ln x 的切线，则x 0必是零点． 其中所有正确的结论序号是A ．①②③B ．①②C ．②③④D ．②③二、填空题：(本大题共4小题，每小题5分，共20分.把答案填在答题卡的相应位置) 13．已知向量，，若，则 .14. 为了贯彻落实十九大提出的“精准扶贫”政策，某地政府投入16万元帮助当地贫困户通过购买机器办厂的形式脱贫，假设该厂第一年需投入运营成本3万元，从第二年起每年投入运营成本比上一年增加2万元，该厂每年可以收入20万元，若该厂n （n ∈N*）年后，年平均盈利额达到最大值，则n 等于 . （盈利额=总收入−总成本）15．在棱长为2的正方体ABCD –A 1B 1C 1D 1中，E 是棱DD 1的中点，则平面A 1EC 截该正方体所得截面面积为： .22221y x a b-=32()f x 0x ≥()1()22xf x =+9(1)4f x -<(,1)(3,)-∞-+∞∪(1,3)-(0,2)(,0)(2,)-∞+∞∪()1+e ()cos 1e xxf x x =⋅-P ABC -2,3,5,4,3APB PA PB AC BC π∠=====16π28π24π32π+1()=e 1x x f x x --()f x ()f x 0a <()1f a >-()f x 00(,e )x x 0(1)x ≠()f x (4,2)a =-r(1,1)b =-r ()b a kb ⊥+rrrk =AO y5 −5 CO y 5 −5 x x BO y 5 −5 x DO y5 −5x否 结束输出m 是r ＞0? r =1开始 输入m , n 求m 除以n 的余数rm =n n =r 第7题图BC AB 1C 1 A 1D D 1E F第15题图16．过点作圆的切线，已知A ，B 分别为切点，直线AB 恰好经过椭圆的右焦点和下顶点，则直线AB 方程为 ；椭圆的标准方程是 . （第一空2分，第二空3分）三、解答题：(共70分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 第17~21题为必考题，每个试题考生都必须作答，第22、23题为选考题，考生根据要求作答) (一)必考题：共60分17．(分)在中，角，，的对边分别为，，，已知，． (1)求；(2)若，求的面积．18．(分)某种治疗新型冠状病毒感染肺炎的复方中药产品的质量以其质量指标值衡量，质量指标越大表明质量越好，为了提高产品质量，我国医疗科研专家攻坚克难，新研发出A 、B 两种新配方，在两种新配方生产的产品中随机抽取数量相同的样本，测量这些产品的质量指标值，规定指标值小于85时为废品，指标值在[85,115)为一等品，大于115为特等品. 现把测量数据整理如下, 其中B 配方废品有6件.A 配方的频数分布表质量指标值分组[75,85) [85,95) [95,105) [105,115) [115,125)频数8a36248(1)求a , b 的值；(2)试确定A 配方和B 配方哪一种好？ (说明：在统计方法中，同一组数据常用 该组区间的中点值作为代表)19．(分)如图1，在□ABCD 中，AD =4，AB =2，∠DAB =45°，E 为边AD 的中点，以BE为折痕将△ABE 折起，使点A 到达P 的位置, 得到图2几何体P −EBCD . (1)证明： ；(2)当BC ⊥平面PEB 时，求三棱锥C −PBD 的体积.()11,2P -221x y +=l 12ABC △A B C a b c 2B C =34b c =cos C 3c =ABC △12122PD BE ⊥B 配方的频频率分布直方图 75 85 95 105 115 125 质量指标值O0.0080.006 b 0.022 0.038 第18题图 D P20．(分)已知抛物线C : y 2=2px (p ＞0)与直线l : x +y +1=0相切于点A ，点B 与A 关于x 轴对称.(1)求抛物线C 的方程，及点B 的坐标；(2)设M 、N 是x 轴上两个不同的动点，且满足∠BMN =∠BNM ，直线BM 、BN 与抛物线C 的另一个交点分别为P 、Q ，试判断直线PQ 与直线l 的位置关系，并说明理由. 如果相交，求出的交点的坐标.21．(分)设函数.(1)讨论的单调性；(2)若，当m =1，且时，，求的取值范围.12122()(+)e x f x x m =()f x ()2e 1()x g x nx f x =---0x ≥()0g x ≤n(二)选考题：共10分请考生在第22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分，作答时， 请用2B 铅笔在答题卡上把所选题目对应的题号涂黑． 22．[选修4−4：坐标系与参数方程] (10分)在平面直角坐标系xOy 中，已知曲线C : (θ为参数)，以原点O 为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，直线l 的极坐标方程，点M)在直线l 上，直线l 与曲线C 交于A ，B 两点. (1)求曲线C 的普通方程及直线l 的参数方程； (2)求△OAB 的面积.23．[选修4-5：不等式选讲](10分)已知函数f (x )=|x +1|−|x −2|.(1)若f (x )≤1，求x 的取值范围；(2)若f (x )最大值为M ，且a +b +c =M ，求证：a 2+b 2+c 2≥3.绝密★启用前 卷类型：A,,x y θθ=⎧⎨=⎩cos()4a πρθ-=4π2020年茂名市高三级第二次综合测试文科数学参考答案及评分标准二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.把答案填在答题卡的相应位置.13．3 14. 4 15. 16. 2x −y −2=0(2分);(3分). 提示：三、解答题：共70分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 第17~21题为必考题，每个试题考生都必须作答，第22、23题为选考题，考生根据要求作答. (一)必考题：共60分17. 解：(1)依题意，由正弦定理得：．·····································1分 ∵，∴， ·······················································2分 ∴， ······························································3分 ∴，，··················4分 ∴． ···············5分(2)解法一：由题意得：. ··················································6分 ∵，∴， ··········································7分∴， ···············································8分， ···············································9分∴.···········10分················································11分22154y x +=3sin 4sin B C =2B C =3sin24sin C C =3sin cos 2sin C C C =(0,)C π∈sin 0C ≠2cos 3C =3,4c b ==(0,)C π∈sin C =sin sin 22sin cos B C C C ===221cos cos2cos sin 9B C C C ==-=-sin sin()sin()sin cos cos sin A B C B C B C B C π=--=+=+2139=-=∴. ·····································12分 解法二：由题意及(1)得：. ··································6分∵，∴， ···········································7分由余弦定理得：， ························8分即， 解得. ···············································9分若，又 则A =C ，又B =2C ，得△ABC 为直角三角形，而三边为的三角形不构成直角三角形，矛盾. ∴. ·················11分∴. ·······································12分18.解：(1)依题意，A 、B 配方样本容量相同，设为n ，又B 配方废品有6件.由B 配方的频频率分布直方图，得废品的频率为， ·················1分 解得n =100. ···················2分 ∴a =100−(8+36+24+8)=24. ···············3分 由(0.006+b +0.038+0.022+0.008)⨯10=1 ······························4分 解得b =0.026.因此a , b 的值分别为24, 0.026； ································5分 (2)由(1)及A 配方的频数分布表得，A 配方质量指标值的样本平均数为····7分质量指标值的样本方差为[(−20)2⨯8+(−10)2⨯24+0⨯36+102⨯24+202⨯8]=112.···8分 由B 配方的频频率分布直方图得，B 配方质量指标值的样本平均数为=80⨯0.06+90⨯0.26+100⨯0.38+110⨯0.22+120⨯0.08=100. ··············9分 质量指标值的样本方差为=(−20)2⨯0.06+(−10)2⨯0.26+0⨯0.38+102⨯0.22+202⨯0.08=104. ········10分综上，＞， ···································11分 即两种配方质量指标值的样本平均数相等，但A 配方质量指标值不够稳定，所以选择B 配方比较好. ···········································································12分 (2)当BC ⊥平面PEB 时，求三棱锥C −PBD 的体积.19. 证明：（1）依题意，在△ABE 中（图1），AE =2，AB =2，∠EAB =45°，由余弦定理得 EB 2=AB 2+AE 2−2AB ·AE cos45°=8+4−2⨯2⨯2⨯=4，·······························································2分 ∴AB 2= AE 2+EB 2， ···········································································3分 即在□ABCD 中，EB ⊥AD . ····································································4分 以BE 为折痕将△ABE 折起，由翻折不变性得，在几何体P −EBCD 中，7514511sin 4322279ABC S bc A ==⨯⨯⨯=V 3,4c b ==2cos 3C =(0,)C π∈25sin 1cos 3C C =-=222=+2cos c a b ab C -229=+1683a a -⨯231621=0a a -+7=3=3a a 或=3a 3,c ==3,4,3abc ==7=3a 5145711sin 422339ABC S ab C ==⨯⨯⨯=V 60.00610n =⨯808902410036110241208=100A x ⨯+⨯+⨯+⨯+⨯20082002410036==100.100⨯+⨯+⨯21=100As B x 5221()Bi i i s x x p ==-∑A B x x =2A s 2B s 2222E B CA D ⇒第19题图1PEBCD第19题图2EB ⊥PE ，EB ⊥ED . 又ED ∩PE =E ，∴BE ⊥平面PED ， ···························5分 又BE ⊂平面PEB ，∴； ·······················································6分 (2)∵BC ⊥平面PEB ，PE ⊂平面PEB ，∴ BC ⊥PE . ····································7分 由(1)得 EB ⊥PE ，同理可得PE ⊥平面BCE ，·············································8分 即PE ⊥平面BCD ，PE 就是三棱锥P −CBD 的高. ········································9分 又∠DCB =∠DAB =45°，BC =AD =4，CD =AB =2，PE =AE =2，∴S △CBD =⨯BC ⨯CD ⨯sin45°=⨯4⨯2⨯=4. ·································10分 V C −PBD =V P −CBD =S △BCD ⨯PE =⨯4⨯2=.因此，三棱锥C −PBD 的体积为.··························································12分（写出V C −PBD =V P −CBD 得1分，结果正确并作答得1分）20.解： (1)联立·········································1分 消去x 得y 2+2py +2p =0，···········································2分∵直线与抛物线相切，∴△=4p 2−8p =0， 又p ＞0，解得p =2，∴抛物线C 的方程为y 2=4x ．·········3分 由y 2+4y +4=0，得y =−2，∴切点为A (1, −2)，∵点B 与A 关于x 轴对称，点B 的坐标B (1, 2). ···········4分(2)直线PQ ∥l . ····························5分 理由如下：依题意直线BM 的斜率不为0, 设M (t , 0)(t ≠1), 直线BM 的方程为x =my +t , ·····6分由(1)B (1, 2)，1=2m +t ，∴直线BM 的方程为x =y +t ， ·························7分 代入y 2=4x ．解得y =2(舍)或y =−2t ，∴P (t 2,−2t ). ·······························8分 ∵∠BMN =∠BNM ，∴ M 、N 关于AB 对称，得N (2−t , 0) . ·····················9分 同理得BN 的方程为x =y +2−t ，代入y 2=4x ．得Q ((t −2)2, 2t −4). ···········10分， ·······················································11分直线l 的斜率为−1，因此PQ ∥l . ·······················································12分 21. 解： (1)依题得，定义域为R ，，，··········1分 令，.①若，即，则恒成立，从而恒成立，当且仅当，时，.所以在R 上单调递增. ································································2分②若，即，令，得或. 当时，； ····································3分 当时，. ·····················4分 综合上述：当时，在R 上单调递增；当时，在区间上单调递减， 在区间上单调递增. ···················5分 (2)依题意可知： ···················6分 令，可得, ···························································7分 .设，则.·····························8分当时, ，单调递减, ······································9分PD BE ⊥2121222213138383{22,10,y px x y =++=12t -12t -224444144(2)PQ t t k tt t --===----()f x 2()(+2+)e x f x x x m '=e 0x >2()2h x x x m =++=44m -△0≤△1m ≥()0h x ≥()0f x '≥1m =1x =-()0f x '=()f x 0△＞1m ＜()0h x =11x m =---11x m =-+-(11,11)x m m ∈----+-()0'<f x (,11)(11,)x m m ∈-∞----+-+∞U ()0f x '>1m ≥()f x 1m ＜()f x (11,11)m m ----+-()f x (,11),(11,)m m -∞----+-+∞2()21()1x x x g x e nx f x e x e nx =---=---0x =(0)0g =2()(12)(R)x g x x x e n x '=---∈2()(12)x h x x x e n =---2()(41)x h x x x e '=-++0x ≥()0h x '<()g x 'xO yN B M PQ A故. ······················································10分 要使在时恒成立,需要在上单调递减， 所以需要. ······················································11分 即,此时,故.综上所述, 的取值范围是. ······································12分 (二)选考题：共10分请考生在第22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分，作答时， 请用2B 铅笔在答题卡上把所选题目对应的题号涂黑．22. 解:(1)将曲线C :消去参数θ得, 曲线C 的普通方程为:.·····1分∵点M)在直线上，∴ (2)分∴, 又x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ，∴直线l 的直角坐标方程为x +y −2=0, ························································4分显然l 过点(1, 1), 倾斜角为.∴直线l 的参数方程为(t 为参数). ······································5分(2)解法一：由(1)，将直线l 的参数方程代入曲线C 的普通方程得： ， ····························································6分· 整理得，显然△＞0.设A , B 对应的参数为t 1, t 2, 则由韦达定理得，.········7分由参数t 的几何意义得|AB |=| t 1−t 2， ························8分又原点O (0,0)到直线l 的距离为····································9分 因此，△OAB 的面积为.···················10分 (2)解法二: 由(1),联立消去y 得:, 显然△＞0. ····6分 设，则由韦达定理得，.············· ·········7分 由弦长公式得|AB ， ··········· ·········8分 又原点O (0,0)到直线l 的距离为 ··································9分 因此，△OAB 的面积为. ··················10分 (2)解法三：由(1),联立消去y 得:, 显然△＞0. ····6分 ()(0)1g x g n ''≤=-()0g x ≤0x ≥()g x [0,)+∞()10g x n '≤-≤1n ≥()(0)0g x g ≤=1n ≥n [1,)+∞,,x y θθ=⎧⎨⎩22143y x +=4πcos()=4a πρθ-cos(44a ππ-cos(4πρθ-cos sin ρθρθ+34π1,1,x y ⎧=⎪⎨⎪=+⎩2211(1)(1)143-++=27100t +-=12t t +=12107t t =-=d =1112||722S AB d ===221,43+20,y x x y ⎧⎪+=⎨-=⎪⎩271640x x -+=1122(,),(,)A x y B x y 12167x x +=1247x x =d =1112||722S AB d ===221,43+20,y x x y ⎧⎪+=⎨-=⎪⎩271640x x -+=设，则由韦达定理得，. ·····················7分 ∵直线l 过椭圆右顶点(2,0)，∴，∴······················8分把代入直线l 的方程得，······················9分因此，△OAB 的面积为. ··························10分23．解：(1)由已知·················································1分当x ≥2时，f (x )=3，不符合； ···························································2分 当−1≤x ＜2时, f (x )=2x −1, 由f (x )≤1, 即2x −1≤1, 解得x ≤1, ∴−1≤x ≤1. ······3分 当x ＜−1时，f (x )= −3，f (x )≤1恒成立. · ··················································4分 综上，x 的取值范围是x ≤1. ·····························································5分 (2)由(1)知f (x )≤3，当且仅当x ≥2时，f (x )=3， ········································6分 ∴M = f (x )Max =3.即a +b +c =3， ·······················································7分· ∵a 2+b 2≥2ab ，a 2+c 2≥2ac ，c 2+b 2≥2cb ， ·············································8分 ∴2(a 2+b 2+c 2)≥2(ab +ac +cb )∴3(a 2+b 2+c 2)≥a 2+b 2+c 2+2ab +2ac+2cb =(a +b +c )2=9， ·································9分 因此(a 2+b 2+c 2)≥3. ··············································································10分1122(,),(,)A x y B x y 12167x x +=1247x x =21627x +=227x =227x =2127y =2111212||27722S OA y =⋅=⨯⨯=3,2,21,12,(, 1.)3x x f x x x ≥⎧⎪--≤⎨--⎪⎩=＜＜。
2020年广东省茂名市高考数学二模试卷(文科)含答案解析
2020年广东省茂名市高考数学二模试卷（文科）一.选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．已知全集U={1，2，3，4，5}，集合A=（1，2，5}，∁U B=（1，3，5}，则A∩B=（）A．{2}B．{5}C．{1，2，4，5} D．{3，4，5}2．已知Z=（i为虚数单位），则Z的共轭复数在复平面内对应的点位于（）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限3．已知非零向量与向量平行，则实数m的值为（）A．﹣1或B．1或 C．﹣1 D．4．执行如图所示的程序框图，输出的S值为（）A．1 B．C．D．5．设△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c．若a=2，c=2，，且b＜c，则B=（）A．B．C．D．6．设数列{a n}是的等差数列，S n为其前n项和．若S6=8S3，a3﹣a5=8，则a20=（）A．4 B．36 C．﹣74 D．807．设函数，则f（﹣7）+f（log312）=（）A．7 B．9 C．11 D．138．已知命题￢p：存在x∈（1，2）使得e x﹣a＞0，若p是真命题，则实数a的取值范围为（）A．（﹣∞，e）B．（﹣∞，e]C．（e2，+∞）D．[e2，+∞）9．已知函数f（x）=Asin（ωx+φ）的部分图象如图所示，若将f（x）的图象上所有点向右平移个单位得到函数g（x）的图象，则函数g（x）的单调增区间为（）A．，k∈Z B．，k∈ZC．，k∈Z D．，k∈Z10．如图为某几何体的三视图，则该几何体的外接球的表面积为（）A．31πB．32πC．34πD．36π11．《算数书》竹简于上世纪八十年代在湖北省江陵县张家山出土，这是我国现存最早的有系统的数学典籍，其中记载有求“囷盖”的术：置如其周，令相乘也，又以高乘之，三十六成一，该术相当于给出了由圆锥的底面周长L与高h，计算其体积V的近似公式V≈L2h，它实际上是将圆锥体积公式中的圆周率π近似取为3，那么，近似公式V≈L2h相当于将圆锥体积公式中的π近似取为（）A．B．C． D．12．已知抛物线y2=4x的焦点为F，A、B为抛物线上两点，若，O为坐标原点，则△AOB的面积为（）A．B．C．D．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，满分20分.13．已知直线l过圆x2+（y﹣3）2=4的圆心，且与直线x+y+1=0垂直，则l的方程是．14．实数x，y满足，则z=x+y+1的最大值为．15．设△ABC的内角A，B，C，所对的边分别是a，b，c．若（a+b﹣c）（a+b+c）=ab，则角C=．16．设函数f′（x）是奇函数f（x）（x∈R）的导函数，f（﹣1）=0，当x＞0时，xf′（x）﹣f（x）＜0，则使得f（x）＞0成立的x的取值范围是．三、解答题：本大题共5小题，满分60分．解答须写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17．等差数列{a n}的前n项和为S n，且a2=4，S5=30，数列{b n}满足b1+2b2+…+nb n=a n （Ⅰ）求a n；（Ⅱ）设c n=b n•b n+1，求数列{c n}的前n项和T n．18．2020年8月12日天津发生危化品重大爆炸事故，造成重大人员和经济损失．某港口组织消防人员对该港口的公司的集装箱进行安全抽检，已知消防安全等级共分为四个等级（一级为优，二级为良，三级为中等，四级为差），该港口消防安全等级的统计结果如下表所示：等级一级二级三级四级频率0.30 2m m 0.10现从该港口随机抽取了n家公司，其中消防安全等级为三级的恰有20家．（1）求m，n的值；（2）按消防安全等级利用分层抽样的方法从这n家公司中抽取10家，除去消防安全等级为一级和四级的公司后，再从剩余公司中任意抽取2家，求抽取的这2家公司的消防安全等级都是二级的概率．19．如图，三棱柱ABC﹣A1B1C1中，CA=CB，AB=AA1，∠BAA1=60°．（Ⅰ）证明：AB⊥A1C；（Ⅱ）若AB=CB=1，，求三棱锥A﹣A1BC的体积．20．如图，圆C与x轴相切于点T（2，0），与y轴正半轴相交于两点M，N（点M在点N 的下方），且|MN|=3．（Ⅰ）求圆C的方程；（Ⅱ）过点M任作一条直线与椭圆相交于两点A、B，连接AN、BN，求证：∠ANM=∠BNM．21．已知函数f（x）=lnx+ax2+x，a∈R．（Ⅰ）当a=1时，求函数f（x）的图象在点（1，f（1））处的切线方程；（Ⅱ）讨论函数f（x）的单调区间；（Ⅲ）已知a＜0，对于函数f（x）图象上任意不同的两点A（x1，y1），B（x2，y2），其中x2＞x1，直线AB的斜率为k，记N（u，0），若，求证f′（u）＜k．请考生在第22，23，24三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分，作答时请在答题卡中用2B铅笔把所选做题的后面的方框涂黑，并写清题号再作答．[选修4-1：几何证明选讲]22．如图所示，AC为⊙O的直径，D为的中点，E为BC的中点．（Ⅰ）求证：DE∥AB；（Ⅱ）求证：AC•BC=2AD•CD．[选修4-4：坐标系与参数方程]23．已知曲线C的极坐标方程是．以极点为平面直角坐标系的原点，极轴为x轴的正半轴建立平面直角坐标系，直线l的参数方程是．（1）将曲线C的极坐标方程化为直角坐标方程；（2）若直线l与曲线C相交于A、B两点，且，求直线的倾斜角α的值．[选修4-5；不等式选讲]24．已知函数（Ⅰ）当时，解不等式f（x）≤x+10；（Ⅱ）关于x的不等式f（x）≥a在R上恒成立，求实数a的取值范围．2020年广东省茂名市高考数学二模试卷（文科）参考答案与试题解析一.选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．已知全集U={1，2，3，4，5}，集合A=（1，2，5}，∁U B=（1，3，5}，则A∩B=（）A．{2}B．{5}C．{1，2，4，5} D．{3，4，5}【考点】交集及其运算．【分析】求出集合B，然后根据交集的定义和运算法则进行计算．【解答】解：因为全集U={1，2，3，4，5}，∁U B={1，3，5}，所以B={2，4}，所以A∩B={2}，故选：A．2．已知Z=（i为虚数单位），则Z的共轭复数在复平面内对应的点位于（）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限【考点】复数代数形式的乘除运算．【分析】把已知的等式变形，然后直接利用复数代数形式的乘除运算化简，求出，得到其坐标得答案．【解答】解：∵Z=（i为虚数单位），∴=1﹣i，对应的点为（1，﹣1）在第四象限．故选：D．3．已知非零向量与向量平行，则实数m的值为（）A．﹣1或B．1或 C．﹣1 D．【考点】平面向量共线（平行）的坐标表示．【分析】根据平面向量共线定理的坐标表示，列出方程解方程，求出m的值．【解答】解：非零向量与向量平行，∴﹣2（m2﹣1）﹣1×（m+1）=0，解得m=或m=﹣1（不合题意，舍去）；∴实数m的值为．故选：D．4．执行如图所示的程序框图，输出的S值为（）A．1 B．C．D．【考点】程序框图．【分析】从框图赋值入手，先执行一次运算，然后判断运算后的i的值与2的大小，满足判断框中的条件，则跳出循环，否则继续执行循环，直到条件满足为止．【解答】解：框图首先给变量i和S赋值0和1．执行，i=0+1=1；判断1≥2不成立，执行，i=1+1=2；判断2≥2成立，算法结束，跳出循环，输出S的值为．故选C．5．设△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c．若a=2，c=2，，且b＜c，则B=（）A．B．C．D．【考点】余弦定理．【分析】由正弦定理可求sinC，利用同角三角函数基本关系式可求cocC=，可得C为或，又b＜c，B为锐角，分类讨论由三角形内角和定理即可解得B的值．【解答】解：在△ABC中，∵a=2，c=2，，a＜c，可得A=，cosA=，∴sinC===，可得cocC=，即C为或，∵b＜c，B为锐角，∴当C=，B=，矛盾，舍去，故C=，∴B=π﹣A﹣C=．故选：A．6．设数列{a n}是的等差数列，S n为其前n项和．若S6=8S3，a3﹣a5=8，则a20=（）A．4 B．36 C．﹣74 D．80【考点】等差数列的前n项和．【分析】利用等差数列前n项和公式和通项公式列出方程组，求出首项和公差，由此能求出a20．【解答】解：∵数列{a n}是的等差数列，S n为其前n项和．若S6=8S3，a3﹣a5=8，∴，解得a1=2，d=﹣4，∴a20=a1+19d=2﹣4×19=﹣74．故选：C．7．设函数，则f（﹣7）+f（log312）=（）A．7 B．9 C．11 D．13【考点】函数的值．【分析】由﹣7＜1，1＜log312求f（﹣7）+f（log312）的值．【解答】解：∵﹣7＜1，1＜log312，∴f（﹣7）+f（log312）=1+log39+=1+2+4=7，故选：A．8．已知命题￢p：存在x∈（1，2）使得e x﹣a＞0，若p是真命题，则实数a的取值范围为（）A．（﹣∞，e）B．（﹣∞，e]C．（e2，+∞）D．[e2，+∞）【考点】命题的真假判断与应用；命题的否定．【分析】写出命题的否定命题，利用命题的真假关系，通过函数的最值求解即可．【解答】解：命题￢p：存在x∈（1，2）使得e x﹣a＞0，则命题p为：任意x∈（1，2）使得e x﹣a≤0，因为p是真命题，所以e x﹣a≤0恒成立，即a≥e x，e x＜e2．可得a≥e2．故选：D．9．已知函数f（x）=Asin（ωx+φ）的部分图象如图所示，若将f（x）的图象上所有点向右平移个单位得到函数g（x）的图象，则函数g（x）的单调增区间为（）A．，k∈Z B．，k∈ZC．，k∈Z D．，k∈Z【考点】函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换．【分析】利用y=Asin（ωx+φ）的图象特征，求出函数y=Asin（ωx+φ）的解析式，再根据y=Asin（ωx+φ）的图象变换规律及正弦函数的图象和性质，即可求得函数g（x）的单调增区间．【解答】解：由图可知A=2，T=4（﹣）=π，∴ϖ==2．∵由图可得点（，2）在函数图象上，可得：2sin（2×+φ）=2，解得：2×+φ=2kπ+，k∈Z，∴由|φ|＜，可得：φ=，∴f（x）=2sin（2x+）．∵若将y=f（x）的图象向右平移个单位后，得到的函数解析式为：g（x）=2sin[2（x﹣）+]=2sin（2x+）．∴由2kπ≤2x+≤2kπ+，k∈Z，可得kπ﹣≤x≤kπ+，k∈Z，∴函数g（x）的单调增区间为：[kπ﹣，kπ+]，k∈Z．故选：A．10．如图为某几何体的三视图，则该几何体的外接球的表面积为（）A．31πB．32πC．34πD．36π【考点】由三视图求面积、体积．【分析】首先还原几何体为底面边长为3的正方形，高为4是四棱锥，明确其外接球的半径，然后计算表面积．【解答】解：由几何体的三视图得到几何体是底面是边长为3的正方形，高为4是四棱锥，所以其外接球的直径为，所以其表面积为34π；故选C．11．《算数书》竹简于上世纪八十年代在湖北省江陵县张家山出土，这是我国现存最早的有系统的数学典籍，其中记载有求“囷盖”的术：置如其周，令相乘也，又以高乘之，三十六成一，该术相当于给出了由圆锥的底面周长L与高h，计算其体积V的近似公式V≈L2h，它实际上是将圆锥体积公式中的圆周率π近似取为3，那么，近似公式V≈L2h相当于将圆锥体积公式中的π近似取为（）A．B．C． D．【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积．【分析】根据近似公式V≈L2h，建立方程，即可求得结论．【解答】解：设圆锥底面圆的半径为r，高为h，则L=2πr，∴=（2πr）2h，∴π=．故选：B．12．已知抛物线y2=4x的焦点为F，A、B为抛物线上两点，若，O为坐标原点，则△AOB的面积为（）A．B．C．D．【考点】抛物线的简单性质．【分析】根据抛物线的定义，不难求出，|AB|=2|AE|，由抛物线的对称性，不妨设直线的斜率为正，所以直线AB的倾斜角为60°，可得直线AB的方程，与抛物线的方程联立，求出A，B的坐标，即可求出△AOB的面积．【解答】解：如图所示，根据抛物线的定义，不难求出，|AB|=2|AE|，由抛物线的对称性，不妨设直线的斜率为正，所以直线AB的倾斜角为60°，直线AB的方程为，联立直线AB与抛物线的方程可得：，解之得：，，所以，而原点到直线AB的距离为，所以，当直线AB的倾斜角为120°时，同理可求．故应选C．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，满分20分.13．已知直线l过圆x2+（y﹣3）2=4的圆心，且与直线x+y+1=0垂直，则l的方程是x﹣y+3=0．【考点】直线与圆的位置关系．【分析】由圆的方程求出圆心坐标，由直线垂直的条件求出直线l的斜率，代入点斜式方程再化为一般式方程．【解答】解：由题意得，圆x2+（y﹣3）2=4的圆心为（0，3），又直线l与直线x+y+1=0垂直，所以直线l的斜率是1，则直线l的方程是：y﹣3=x﹣0，即x﹣y+3=0，故答案为：x﹣y+3=0．14．实数x，y满足，则z=x+y+1的最大值为4．【考点】简单线性规划．【分析】作出不等式组对应的平面区域，利用目标函数的几何意义，进行求解即可．【解答】解：作出不等式组对应的平面区域，由z=x+y+1，即y=﹣x﹣1+z，由图象可知当直线y=﹣x﹣1+z经过点B（3，0），和直线x+y﹣3=0平行时，直线y=﹣x﹣1+z的截距最大，此时z最大．代入目标函数z=x+y+1得z=3+1=4．即目标函数z=x+y+1的最大值为4．故答案为：4．15．设△ABC的内角A，B，C，所对的边分别是a，b，c．若（a+b﹣c）（a+b+c）=ab，则角C=．【考点】余弦定理．【分析】利用已知条件（a+b﹣c）（a+b+c）=ab，以及余弦定理，可联立解得cosB的值，进一步求得角B．【解答】解：由已知条件（a+b﹣c）（a+b+c）=ab可得a2+b2﹣c2+2ab=ab即a2+b2﹣c2=﹣ab由余弦定理得：cosC==又因为0＜C＜π，所以C=．故答案为：16．设函数f′（x）是奇函数f（x）（x∈R）的导函数，f（﹣1）=0，当x＞0时，xf′（x）﹣f（x）＜0，则使得f（x）＞0成立的x的取值范围是（﹣∞，﹣1）∪（0，1）．【考点】函数的单调性与导数的关系．【分析】构造函数g（x）=，利用g（x）的导数判断函数g（x）的单调性与奇偶性，画出函数g（x）的大致图象，结合图形求出不等式f（x）＞0的解集．【解答】解：设g（x）=，则g（x）的导数为：g′（x）=，∵当x＞0时总有xf′（x）＜f（x）成立，即当x＞0时，g′（x）恒小于0，∴当x＞0时，函数g（x）=为减函数，又∵g（﹣x）====g（x），∴函数g（x）为定义域上的偶函数又∵g（﹣1）==0，∴函数g（x）的大致图象如图所示：数形结合可得，不等式f（x）＞0⇔x•g（x）＞0⇔或，⇔0＜x＜1或x＜﹣1．∴f（x）＞0成立的x的取值范围是（﹣∞，﹣1）∪（0，1）．故答案为：（﹣∞，﹣1）∪（0，1）．三、解答题：本大题共5小题，满分60分．解答须写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17．等差数列{a n}的前n项和为S n，且a2=4，S5=30，数列{b n}满足b1+2b2+…+nb n=a n （Ⅰ）求a n；（Ⅱ）设c n=b n•b n+1，求数列{c n}的前n项和T n．【考点】数列的求和；等差数列的通项公式．【分析】（I）利用等差数列的通项公式及其前n项和公式即可得出；（II）利用递推关系与“裂项求和”即可得出．【解答】解：（I）设等差数列{a n}的公差为d，∵a2=4，S5=30，∴，解得a1=d=2．∴a n=2+2（n﹣1）=2n．（II）∵b1+2b2+…+nb n=a n，∴当n=1时，b1=a1=2；当n≥2时，b1+2b2+…+（n﹣1）b n﹣1=a n﹣1，∴nb n=a n﹣a n﹣1=2，解得b n=．∴c n=b n•b n+1==4．∴数列{c n}的前n项和T n=4++…+=4=．18．2020年8月12日天津发生危化品重大爆炸事故，造成重大人员和经济损失．某港口组织消防人员对该港口的公司的集装箱进行安全抽检，已知消防安全等级共分为四个等级（一级为优，二级为良，三级为中等，四级为差），该港口消防安全等级的统计结果如下表所示：等级一级二级三级四级频率0.30 2m m 0.10现从该港口随机抽取了n家公司，其中消防安全等级为三级的恰有20家．（1）求m，n的值；（2）按消防安全等级利用分层抽样的方法从这n家公司中抽取10家，除去消防安全等级为一级和四级的公司后，再从剩余公司中任意抽取2家，求抽取的这2家公司的消防安全等级都是二级的概率．【考点】列举法计算基本事件数及事件发生的概率；分层抽样方法．【分析】（1）由已知先求出m，由频率=，能求出n．（2）由分层抽样的方法得到消防安全等级为一级的有3家，二级的有4家，三级的有2家，四级的有1家．记消防安全等级为二级的4家公司分别为A，B，C，D，三级的2家公司分别记为a，b，从中抽取2家公司，利用列举法能出抽取的2家公司的消防安全等级都是二级的概率．【解答】解：（1）由已知可得：0.30+2m+m+0.10=1，解得：m=0.20．所以n==100．（2）由（1）知，利用分层抽样的方法从中抽取10家公司，则消防安全等级为一级的有3家，二级的有4家，三级的有2家，四级的有1家．记消防安全等级为二级的4家公司分别为A，B，C，D，三级的2家公司分别记为a，b，则从中抽取2家公司，不同的结果为：（Aa），（Ab），（AB），（AC），（AD），（BC），（BD），（Ba），（Bb），（CD），（Ca），（Cb），（Da），（Db），（ab），共15种，记“抽取的2家公司的消防安全等级都是二级”为事件M，则事件M包含的结果有：（AB），（AC），（AD），（BC），（BD），（CD），共6种，所以P（M）==．19．如图，三棱柱ABC﹣A1B1C1中，CA=CB，AB=AA1，∠BAA1=60°．（Ⅰ）证明：AB⊥A1C；（Ⅱ）若AB=CB=1，，求三棱锥A﹣A1BC的体积．【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积；棱柱的结构特征．【分析】（I）取AB的中点O，连接CO，OA1，A1B，由CA=CB得CO⊥AB，由△AA1B 是等边三角形得OA1⊥AB，故AB⊥平面COA1，于是AB⊥A1C；（II）根据等边三角形性质求出OC，OA1，由勾股定理逆定理得出CO⊥OA1，求出S，于是V=2V．【解答】（Ⅰ）证明：取AB的中点O，连接CO，OA1，A1B．∵CA=CB，∴CO⊥AB，∵AB=AA1，∠BAA1=60°．∴△A1AB为等边三角形．∴OA1⊥AB，又∵OC⊂平面COA1，OA1⊂平面COA1，OC∩OA1=O．∴AB⊥平面COA1．又A1C⊂平面COA1，∴AB⊥A1C．（Ⅱ）解：∵AB=BC=AC=1，∴CO=，∵AB=AA1=1，∠BAA1=60°，∴A1O=．∵A1C=，∴CO2+A1O2=A1C2．∴CO⊥A1O．∴S==．∴V=2V=2×=2×=．20．如图，圆C与x轴相切于点T（2，0），与y轴正半轴相交于两点M，N（点M在点N 的下方），且|MN|=3．（Ⅰ）求圆C的方程；（Ⅱ）过点M任作一条直线与椭圆相交于两点A、B，连接AN、BN，求证：∠ANM=∠BNM．【考点】直线与圆锥曲线的关系；圆的标准方程．【分析】（Ⅰ）设圆C的半径为r（r＞0），依题意，圆心坐标为（2，r），根据|MN|=3，利用弦长公式求得r的值，可得圆C的方程．（Ⅱ）把x=0代入圆C的方程，求得M、N的坐标，当AB⊥y轴时，由椭圆的对称性可知∠ANM=∠BNM，当AB与y轴不垂直时，可设直线AB的方程为y=kx+1，代入椭圆的方程，利用韦达定理求得K AB+K BN=0，可得∠ANM=∠BNM．【解答】解：（Ⅰ）设圆C的半径为r（r＞0），依题意，圆心坐标为（2，r）．∵|MN|=3，∴，解得，故圆C的方程为．（Ⅱ）把x=0代入方程，解得y=1或y=4，即点M（0，1），N（0，4）．（1）当AB⊥y轴时，由椭圆的对称性可知∠ANM=∠BNM．（2）当AB与y轴不垂直时，可设直线AB的方程为y=kx+1．联立方程，消去y得，（1+2k2）x2+4kx﹣6=0．设直线AB交椭圆Γ于A（x1，y1）、B（x2，y2）两点，则，．∴=0，∴∠ANM=∠BNM．综上所述，∠ANM=∠BNM．21．已知函数f（x）=lnx+ax2+x，a∈R．（Ⅰ）当a=1时，求函数f（x）的图象在点（1，f（1））处的切线方程；（Ⅱ）讨论函数f（x）的单调区间；（Ⅲ）已知a＜0，对于函数f（x）图象上任意不同的两点A（x1，y1），B（x2，y2），其中x2＞x1，直线AB的斜率为k，记N（u，0），若，求证f′（u）＜k．【考点】利用导数研究函数的单调性；利用导数研究曲线上某点切线方程．【分析】（Ⅰ）根据导数的几何意义即可求出切线方程，（Ⅱ）先求出函数的导数，通过讨论a的范围，得到函数的单调区间，（Ⅲ）要证：f′（u）＜k．，只需证，构造函数令，通过讨论函数的单调性，从而证出结论．【解答】解：（Ⅰ）当a=1时，f（x）=lnx+x2+x，∴，∴f'（1）=4又∵f（1）=ln1+12+1=2，∴函数f（x）的图象在点（1，f（1））处的切线方程为：y﹣2=4（x﹣1），即4x﹣y﹣2=0．（Ⅱ）f（x）的定义域为（0，+∞），当a≥0时，f'（x）＞0在（0，+∞）上恒成立，f（x）在定义域内单调递增；当a＜0时，令f'（x）=0，解得，，∵x＞0，∴则时，f'（x）＞0，f（x）单调递增；时，f'（x）＜0，f（x）单调递减；综上，a≥0时，f（x）的单调递增区间为（0，+∞）；a＜0时，f（x）的单调递增区间为，f（x）的单调递增区间为（Ⅲ）证明：=，∵，∴x2﹣x1=λ（u﹣x1），∴，又，∴，∴，∵a＜0，x2＞x1，1≤λ≤2，∴要证：f′（u）＜k．，只需证即证：，设令，则，令h（t）=﹣t2+（λ2﹣2λ+2）t﹣（λ﹣1）2，t＞1，1≤λ≤2对称轴．h（t）＜h（1）=0，∴g'（t）＜0，故g（t）在（1，+∞）内单调递减，则g（t）＜g（1）=0，故f′（u）＜k．请考生在第22，23，24三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分，作答时请在答题卡中用2B铅笔把所选做题的后面的方框涂黑，并写清题号再作答．[选修4-1：几何证明选讲]22．如图所示，AC为⊙O的直径，D为的中点，E为BC的中点．（Ⅰ）求证：DE∥AB；（Ⅱ）求证：AC•BC=2AD•CD．【考点】与圆有关的比例线段．【分析】（I）欲证DE∥AB，连接BD，因为D为的中点及E为BC的中点，可得DE⊥BC，因为AC为圆的直径，所以∠ABC=90°，最后根据垂直于同一条直线的两直线平行即可证得结论；（II）欲证AC•BC=2AD•CD，转化为AD•CD=AC•CE，再转化成比例式=．最后只须证明△DAC∽△ECD即可．【解答】证明：（Ⅰ）连接BD，因为D为的中点，所以BD=DC．因为E为BC的中点，所以DE⊥BC．因为AC为圆的直径，所以∠ABC=90°，所以AB∥DE．…（Ⅱ）因为D为的中点，所以∠BAD=∠DAC，又∠BAD=∠DCB，则∠DAC=∠DCB．又因为AD⊥DC，DE⊥CE，所以△DAC∽△ECD．所以=，AD•CD=AC•CE，2AD•CD=AC•2CE，因此2AD•CD=AC•BC．…[选修4-4：坐标系与参数方程]23．已知曲线C的极坐标方程是．以极点为平面直角坐标系的原点，极轴为x轴的正半轴建立平面直角坐标系，直线l的参数方程是．（1）将曲线C的极坐标方程化为直角坐标方程；（2）若直线l与曲线C相交于A、B两点，且，求直线的倾斜角α的值．【考点】简单曲线的极坐标方程；参数方程化成普通方程．【分析】（1）由，展开为ρ2﹣4﹣1=0，利用即可得出极坐标方程．（II）将代入圆的方程得化简得t2﹣2tcosα﹣4=0，利用弦长公式，化简即可得出．【解答】解：（1）由，展开为ρ2﹣4﹣1=0，化为﹣1=0，配方得圆C的方程为（2）将代入圆的方程得（tcosα﹣1）2+（tsinα）2=5，化简得t2﹣2tcosα﹣4=0，设A、B两点对应的参数分别为t1、t2，则，所以，所以4cos2α=2，，．[选修4-5；不等式选讲]24．已知函数（Ⅰ）当时，解不等式f（x）≤x+10；（Ⅱ）关于x的不等式f（x）≥a在R上恒成立，求实数a的取值范围．【考点】绝对值不等式的解法．【分析】（Ⅰ）通过讨论x的范围，求出不等式的解集，取并集即可；（Ⅱ）根据绝对值的意义求出f（x）的最小值，从而求出a的范围．【解答】解：（Ⅰ）当时，，①当时，由f（x）≤x+10得﹣2x+3≤x+10，解得，此时；②当时，由f（x）≤x+10得2≤x+10，解得x≥﹣8，此时；．．③当时，由f（x）≤x+10得2≤x+10，解得x≤13，此时；综上，不等式f（x）≤x+10的解集为；（Ⅱ）由绝对值不等式的性质得：，∴f（x）的最小值为，由题意得，解得，∴实数a的取值范围为．2020年8月1日第21页（共21页）。
广东省茂名市高考联考数学（文）试题（二）含答案
广东省省际名校（茂名市）高三下学期联考（二）数学（文）试题 第Ⅰ卷（共60分）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 已知集合()(){}230A x x x =--<，{26B x x a =<-或}x a >，若A B ⋂=∅，则a 的取值范围是（ ）A ．(],3-∞B ．(],4-∞C ．[]3,4D ．()3,4 2．i 是虚数单位，复数z 满足()113i z i +=+，则z =（ ） A ．12i + B ．2i + C ．12i - D ．2i -3.已知“正三角形的内切圆与三边相切，切点是各边的中点”，类比之可以猜想：正四面体的内切球与各面相切，切点是（ ） A ．各面内某边的中点B ．各面内某条中线的中点C ．各面内某条高的三等分点D ．各面内某条角平分线的四等分点 4.设函数()f x 在R 上为增函数，则下列结论一定正确的是（ ） A.()1y f x =在R 上为减函数 B.()y f x =在R 上为增函数 C. ()1y f x =-在R 上为增函数D.()y f x =-在R 上为减函数5.投掷两枚质地均匀的正方体散子，将两枚散子向上点数之和记作S .在一次投掷中，已知S 是奇数，则9S =的概率是（ ） A ．16 B ．29 C ．19 D ．156.过抛物线()2:20E x py p =>的焦点，且与其对称轴垂直的直线与E 交于,A B 两点，若E 在,A B 两点处的切线与E 的对称轴交于点C ，则ABC ∆外接圆的半径是（ ）A ．)21p B ．p C 2 D ．2p7. 若4cos 35πα⎛⎫+= ⎪⎝⎭，则cos 23πα⎛⎫-= ⎪⎝⎭（ ）A ．2325 B ．2325- C ．725 D ．725- 8. 在ABC ∆中，内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，若2cos 2b C c a +=，且13,3b c ==，则a =（）A．1 B．6 C．22 D．49.某几何体的三视图如图所示，若图中小正方形的边长为1，则该几何体的体积是（）A．323B．643C．16D．1310.执行如图所示的程序框图，与输出的值最接近的是（）A．14B．34C．4πD．14π-11.《九章算术》中记载了我国古代数学家祖暅在计算球的体积中使用的一个原理:“幂势既同，则积不异”，此即祖暅原理，其含义为:两个同高的几何体，如在等高处的截面的面积恒相等，则它们的体积相等.如图，设满足不等式组240,4,0x y x y ⎧-≥⎪≤⎨⎪≥⎩的点(),x y 组成的图形（图（1）中的阴影部分)绕y 轴旋转180︒，所得几何体的体积为1V ；满足不等式组()222216,4,0x y x y r y ⎧+≤⎪⎪+-≥⎨⎪≥⎪⎩的点(),x y 组成的图形（图（2）中的阴影部分)绕y 轴旋转180︒，所得几何体的体积为2V .利用祖暅原理，可得1V =（ ）A ．323π B ．643π C ．32π D ．64π 12.若对任意的0x >，不等式()22ln 10x m x m -≥≠恒成立，则m 的取值范围是（ ） A ．{}1 B ．[)1,+∞ C ．[)2,+∞ D ．[),e +∞第Ⅱ卷（共90分）二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13.已知a 为单位向量，()1,3b =，且1a b ⋅=，则a 与b 夹角的大小是 ． 14. 若实数,x y 满足约束条件1,10,326,,,x y x y x y x N y N +≥⎧⎪-+≥⎪⎨+≤⎪⎪∈∈⎩则2z x y =-的最大值是 ．15. 将函数()()2213sin cos f x x x x =---的图象向左平移3π个单位，得到函数()y g x =的图象，若,22x ππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦，则函数()g x 的单调递增区间是 ．16. 设椭圆()222210b x y a ba +>>=的上顶点为B ，右顶点为A ，右焦点为F ，E 为椭圆下半部分上一点，若椭圆在E 处的切线平行于AB 2，则直线EF 的斜率是 ．三、解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 17. 已知等差数列{}n a 的公差d 不为零，2416a a a =-，且20a ≠. （1）求1a 与d 的关系式； （2）当29d =时，设1281n n n b a a +=,求数列{}n b 的前n 项和n S .18.如图，四棱柱1111ABCD A B C D -的底面ABCD 为菱形，且11A AB A AD ∠=∠.（1）证明：四边形11BB D D 为矩形；（2）若1,60AB A A BAD =∠=︒，1A C ⊥平面11BB D D ，求四棱柱1111ABCD A B C D -的体积. 19.某高三理科班共有60名同学参加某次考试，从中随机挑选出5名同学，他们的数学成绩x 与物理成绩y 如下表：数据表明y 与x 之间有较强的线性关系. （1）求y 关于x 的线性回归方程；（2）该班一名同学的数学成绩为110分，利用（1）中的回归方程，估计该同学的物理成绩； （3）本次考试中，规定数学成绩达到125分为优秀，物理成绩达到100分为优秀.若该班数学优秀率与物理优秀率分别为50%和60%，且除去抽走的5名同学外，剩下的同学中数学优秀但物理不优秀的同学共有5人.能否在犯错误概率不超过0.01的前提下认为数学优秀与物理优秀有关？参考数据:回归直线的系数()()()121nii i nii xx y yb xx==--=-∑∑，a y bx =-.()()()()()22n ad bc K a b c d a c b d -=++++，()()226.6350.01,10.8280.01P K P K ≥=≥=.20. 已知圆()()221:222C x y -+-=内有一动弦AB ，且2AB =，以AB 为斜边作等腰直角三角形PAB ，点P 在圆外. （1）求点P 的轨迹2C 的方程；（2）从原点O 作圆1C 的两条切线，分别交2C 于,,,E F G H 四点，求以这四点为顶点的四边形的面积S .21.已知函数()()21ln 12f x x x =+-. （1）判断()f x 的零点个数；（2）若函数()g x ax a =-，当1x >时，()g x 的图象总在()f x 的图象的下方，求a 的取值范围.请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分. 22.选修4-4：坐标系与参数方程在平面直角坐标系xOy 中，以原点O 为极点，x 轴的非负半轴为极轴，建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程为22cos 1cos θρθ=-，直线l 的参数方程为2cos ,1sin x t y t αα=+⎧⎨=+⎩（t 为参数，α为倾斜角). （1）若34πα=，求l 的普通方程和C 的直角坐标方程； （2）若l 与C 有两个不同的交点,A B ，且()2,1P 为AB 的中点，求AB . 23.选修4-5：不等式选讲 已知函数()11f x x x =++-. （1）求函数()f x 的最小值a ；（2）根据（1）中的结论，若33m n a +=，且0,0m n >>，求证:2m n +≤.试卷答案一、选择题1-5: CBCDB 6-10: BDDAC 11、12：CA 二、填空题 13.3π 14. 2 15.5,1212ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦（注：写成开区间或半开半闭区间亦可） 2 三、解答题17. 解:（1）因为2416a a a =-，所以()()211135a d a a d +=-+， 即有()()11290a d a d ++=.因为20a ≠，即10a d +≠，所以1290a d +=. （2）因为1290a d +=，又29d =，所以2119n n a -=. 所以()()12211812112921129n n n b a a n n n n +===-----. 所以1231111111197755321129n n S b b b b n n ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=++++=-+-+-++- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪--------⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭()112929929nn n -=-=---. 18.（1）证明: 连接AC ，设AC BD O ⋂=，连接111,,A B A D AO . ∵11,A AB A AD AB AD ∠=∠=，∴11A B A D =. 又O 为BD 的中点，∴1,AO BD AO BD ⊥⊥. ∴BD ⊥平面11A ACC ，∴1BD AA ⊥. ∵11//BB AA ，∴1BD BB ⊥.又四边形11BB D D 是平行四边形，则四边形11BB D D 为矩形.（2）解：由12,60AB A A BAD ==∠=︒，可得2AD AB ==，∴23AC =. 由BD ⊥平面11A ACC ，可得平面ABCD ⊥平面11A ACC ，且交线为AC . 过点1A 作1A E AC ⊥，垂足为点E ，则1A E ⊥平面ABCD . 因为1A C ⊥平面11BB D D ,∴11AC BB ⊥，即11AC AA ⊥. 在1Rt AAC ∆中，可得112622,3AC A E ==. 所以四棱柱1111ABCD A B C D -的体积为132622242223V =⨯⨯⨯⨯⨯=.19. 解:(（1）由题意可知120,90x y ==， 故()()()()()()()()()()()()()()()222221451201109013012090901201201029010512078901001207090145120130120120120105120100120b --+--+--+--+--=-+-+-+-+-50000180400108040.8625100022540013505++++====++++.901200.86a =-⨯=-，故回归方程为0.86y x =-.（2）将110x =代入上述方程，得0.8110682y =⨯-=.（3）由题意可知，该班数学优秀人数及物理优秀人数分别为30,36. 抽出的5人中，数学优秀但物理不优秀的共1人， 故全班数学优秀但物理不优秀的人共6人. 于是可以得到22⨯列联表为：于是()2260241812610 6.63530303624K ⨯⨯-⨯==>⨯⨯⨯，因此在犯错误概率不超过0.01的前提下，可以认为数学优秀与物理优秀有关.20.解：（1）连接11,C A C B ，∵112,2C A C B AB ===，∴1C AB ∆为等腰直角三角形. ∵FAB ∆为等腰直角三角形，∴四边形1FAC B 为正方形. ∴12PC =，∴点P 的轨迹是以1C 为圆心，2为半径的圆， 则2C 的方程为()()22224x y -+-=.（2）如图，,1C N OF ⊥于点N ，连接111,,C E C F C O . 在1Rt OC N ∆中，∵1122,2OC C N ==，∴6ON =. ∴11sin 2C ON ∠=，∴130C ON ∠=︒. ∴OEH ∆与OFG ∆为正三角形.∵11C EN C FN ∆≅∆，且112C E C F ==，∴2NE NF ==. ∴四边形EFGH 的面积()()22336262644OFC CEHS S S ∆∆=-=+--=.21.解:（1）()()21ln 12f x x x =+-的定义域为()0,+∞， 又()11f x x x'=+-， ∵12x x+≥，∴()10f x '≥>， ∴()f x 在()0,+∞上为增函数，又()10f =， ∴()f x 在()0,+∞上只有一个零点. （2）由题意当1x >时，()211ln 20x x ax a --+>+恒成立. 令()()211ln 2h x x x ax a =-+-+，则()11h x x a x'=+--.当1a ≤时，∵()1110h x x a a x'=+-->-≥，∴()h x 在()1,+∞上为增函数. 又()10h =，∴()0h x >恒成立. 当1a >时，()()211x a x h x x-++'=，令()()211x x a x ϕ=-++，则()()()214310a a a ∆=+-=+->. 令()0x ϕ=的两根分别为12,x x 且12x x <，则∵121210,10x x a x x +=+>⋅=>，∴1201x x <<<， 当()21,x x ∈时，()0x ϕ<，∴()0h x '<，∴()h x 在()21,x 上为减函数，又()10h =，∴当()21,x x ∈时，()0h x <. 故a 的取值范围为(],1-∞.22.解：（1）l 的普通房成为30x y +-=， C 的直角坐标方程为22y x =.（2）把2cos 1sin x t y t αα=+⎧⎨=+⎩代入抛物线方程22y x =得()()22sin 2sin cos 30*t t ααα+--=，设,A B 所对应的参数为12,t t ，则()1222sin cos sin t t ααα-+=.∵()2,1P 为AB 的中点，∴P 点所对应的参数为122sin cos 02sin t t ααα+-=-=， ∴sin cos 0αα-=，即4πα=.则()*变为21302t -=，此时26,6t t ==±∴26AB =23.（1）解：()()11112f x x x x x =++-≥+--=，当且仅当11x -≤≤时取等号， 所以()min 2f x =，即2a =.（2）证明:假设:2m n +>，则()332,2m m n n >->-. 所以()()3323322612n n m n n >-+=+-≥+. ① 由（1）知2a =，所以332m n +=. ②①与②矛盾，所以2+≤.m n。
2020年5月广东省茂名市普通高中2020届高三下学期综合测试(二)(二模)数学(文)试题(解析版)
绝密★启用前广东省茂名市普通高中2020届高三毕业班下学期笫二次综合测试(二模)数学(文)试题(解析版)2020年5月本试卷分选择题和非选择题两部分，共6页，23小题，满分150分，考试时间120分钟.注意事项：1.答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上.2.选择题的作答：每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效.3.填空题和解答题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内.写在试题卷草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效.4.选考题的作答：先把所选题目的题号在答题卡上指定的位置用2B 铅笔涂黑.答案写在答题卡上对应的答题区域内，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效.5.考试结束后，请将答题卡上交.一、选择题：（本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，有且只有一项是符合题目要求的）1.已知集合{1,2,3,4,5}U =，{2,3,5}A ，{2,5}B =，则（ ）A. A B ⊂B. {1,3,4}U B =C. {2,5}A B =D. {3}A B ⋂=【答案】B【解析】【分析】利用集合间的关系,集合的交并补运算对每个选项分析断.【详解】由题A B ⊃,故A 错；对C ：{2,3,5}A B =,C 错；对D ：{2,5}A B ⋂=,D 错；对B ：∵{1,2,3,4,5}U =,{2,5}B =,∴{1,3,4}U B =,B 正确. 故选:B ．【点睛】本题考查了集合间的关系,集合的交并补运算,属于容易题.2.若()2x i i y i -=+,,x y R ∈,则复数x yi +的虚部为（ ）A. 2B. 1C. iD. 1- 【答案】B【解析】【分析】化简再根据复数相等的条件列式求解.【详解】∵(i)i 1i 2i x x y -=+=+,∴2x =,1y =,所以x yi +的虚部1y =,故选：B ．【点睛】本题考查了复数的运算,两复数相等的条件,属于容易题.3.已知函数()f x 在点(1,(1))f 处的切线方程为220x y +-=,则(1)(1)f f '+=（ ） A. 32 B. 1 C. 12 D. 0【答案】D【解析】【分析】切点坐标代入切线方程可求得(1)f ,再利用导数的几何意义求出直线的斜率即为(1)f '.【详解】切点(1,(1))f 在切线220x y +-=上,∴12(1)20f +-=,得1(1)2f =,。
2020年广东省茂名市五校联盟高考数学二模试卷(文科) (含解析)
2020年广东省茂名市五校联盟高考数学二模试卷(文科)一、选择题（本大题共12小题，共60.0分）1.已知集合M={x|x(x−1)≥0}，N={x|−1<x<1}，则M∩N=()A. |x|−1<x≤0}B. {x|−1≤x≤0}C. {x|0≤x<1}D. {x|0≤x≤1}2.设z=2i1−i+2+i，则复数z的虚部为()A. 2B. 2iC. 1D. i3.若cos(π+α)=−13，则cosα的值为()A. −2√23B. −13C. 13D. 2√234.已知a⃗，b⃗ 为不共线向量，向量8a⃗−k b⃗ 与−k a⃗+b⃗ 共线，则k=()A. 2√2B. −2√2C. ±2√2D. 85.已知点(2,√3)在双曲线x24−y2a=1(a>0)的一条渐近线上，则a=()A. √3B. 3C. 2D. 2√36.某市2015年至2019年新能源汽车年销量y(单位：百台)与年份代号x的数据如表：若根据表中的数据用最小二乘法求得y关于x的回归直线方程为ŷ=6.5x+9，则表中m的值为()A. 22B. 25C. 30D. 无法确定7.古希腊数学家阿基米德利用“逼近法”得到椭圆的面积除以圆周率等于椭圆的长半轴长与短半轴长的乘积．若椭圆C的中心为原点，焦点F1，F2均在x轴上，C的面积为2√3π，且短轴长为2√3，则C的标准方程为()A. x212+y2=1 B. x24+y23=1 C. x23+y24=1 D. x216+y23=18.函数f(x)=sinxcosxx2+1的图象大致为()A. B.C. D.9.某四棱锥的三视图如图所示，则该四棱锥的体积为()A. 1B. 2C. 3D. 610.在《周髀算经》中，把圆及其内接正方形称为圆方图，把正方形及其内切圆称为方圆图，圆方图和方圆图在我国古代的设计和建筑领域有着广泛的应用，山西应县木塔是我国现存最古老、最高大的纯木结构楼阁式建筑，它的正面图如图所示。
2020届广东省茂名市高三第二次综合测试数学(文)试题
2020年茂名市高三级第二次综合测试文科数学本试卷分选择题和非选择题两部分，共6页，23小题，满分150分，考试时间120分钟.一、选择题：（本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，有且只有一项是符合题目要求的）1.已知集合{1,2,3,4,5}U =，{2,3,5}A =，{2,5}B =，则（ ） A.A B ⊂B. {1,3,4}U B =ð C.{2,5}A B =UD.{3}A B ⋂=【答案】B 【分析】利用集合间的关系，集合的交并补运算对每个选项分析断.【详解】由题A B ⊃，故A 错；对C ：{2,3,5}A B =U ，C 错；对D ：{2,5}A B ⋂=，D 错；对B ：∵{1,2,3,4,5}U =，{2,5}B =，∴{1,3,4}U B =ð，B 正确. 故选:B ．【点睛】本题考查了集合间的关系，集合的交并补运算，属于容易题. 2.若()2x i i y i -=+，,x y R ∈，则复数x yi +的虚部为（ ）A.2 B. 1 C. iD.1-【答案】B 【分析】化简再根据复数相等的条件列式求解. 【详解】∵(i)i 1i 2i x x y -=+=+，∴2x =，1y =，所以x yi +的虚部1y =，故选：B ．【点睛】本题考查了复数的运算，两复数相等的条件，属于容易题.3.已知函数()f x 在点(1,(1))f 处的切线方程为220x y +-=，则(1)(1)f f '+=（ ） A.32B. 1C.12D. 0【答案】D 【分析】切点坐标代入切线方程可求得(1)f ，再利用导数的几何意义求出直线的斜率即为(1)f '. 【详解】切点(1,(1))f 在切线220x y +-=上，∴12(1)20f +-=，得1(1)2f =， 又切线斜率1(1)2k f '==-，∴(1)(1)0f f '+=.故选：D【点睛】本题考查导数的几何意义、曲线的切线，属于基础题. 4.函数()sin()f x A x ωϕ=+(0,0,||)2A πωϕ>><的图象如图所示，则()3f π的值为（ ）A.12B. 12 3【答案】B 【分析】根据图象的最值求出A 、周期求出ω、代入特殊点求出ϕ即可求得函数解析式，令3x π=即可得解.【详解】根据图象可得2A =，22362T πππ=-=，即T π=， 根据2||T πω=，0>ω，得22πωπ==， ∴2sin(2)y x ϕ=+， 又()f x 图象过点(,2)6π，∴π22sin(2)6ϕ=⨯+， 即2262k ππϕπ⨯+=+，k Z ∈，∴26k πϕπ=+，k Z ∈，又因||2ϕπ<，∴6π=ϕ， ∴()2sin(2)6f x x π=+，πππ5π()2sin(2)2sin 13366f =⨯+==.故选：B【点睛】本题考查由()sin()f x A x ωϕ=+的图象确定解析式，属于基础题.5.下列命题错误的是（ ）A. “2x =”是“2440x x -+=”的充要条件B. 命题“若14m ≥-，则方程20x x m +-=有实根”的逆命题为真命题 C. 在ABC V 中，若“A B >”，则“sin sin A B >”D. 若等比数列{}n a 公比为q ，则“1q >”是“{}n a 为递增数列”的充要条件 【答案】D 【分析】解一元二次方程即可判断A 正确；根据一元二次方程有实根则>0∆即可得解；由A B a b >⇒>及正弦定理即可推出sin sin A B >，C 正确. 【详解】由22440(2)0202xx x x x -+=⇔-=⇔-=⇔=，∴A 正确；命题“若14m ≥-，则方程20x x m +-=有实根”的逆命题为命题“若方程20x x m +-=有实根，则14m ≥-”， ∵方程20x x m +-=有实根11404Δm m ⇒=+≥⇒≥-，∴B 正确； 在ABC V 中，若sin sin A B a b A B >⇒>⇒>(根据正弦定理)，∴C 正确， 故选D ．【点睛】本题考查命题的真假判断、充要条件的判断、命题及其相互关系，属于基础题.6.《易·系辞上》有“河出图，洛出书”之说，河图、洛书是中国古代流传下来的两幅神秘图案，蕴含了深奥的宇宙星象之理，被誉为“宇宙魔方”，是中华文化阴阳术数之源．河图的排列结构如图所示，一与六共宗居下，二与七为朋居上，三与八同道居左，四与九为友居右，五与十相守居中，其中白圈为阳数，黑点为阴数，若从阳数和阴数中各取一数，则其差的绝对值为5的概率为（ ）A.15B.625C.725D.825【答案】A 【分析】列出图中的阴数、阳数，求出从阳数和阴数中各取一数的所有组合总数、满足差的绝对值为5的组合数，利用古典概型概率计算公式求解即可.【详解】∵阳数为1,3,5,7,9；阴数为2,4,6,8,10， ∴从阳数和阴数中各取一数的所有组合共有5525⨯=个，满足差的绝对值为5的有(1,6)，(3,8)，(5,10)，(7,2)，(9,4)共5个， 则51255p ==. 故选：A【点睛】本题考查古典概型概率计算公式，属于基础题.7.“辗转相除法”是欧几里得《原本》中记录的一个算法，是由欧几里得在公元前300年左右首先提出的，因而又叫欧几里得算法．如图所示是一个当型循环结构的“辗转相除法”程序框图．当输入2020m =，303n =时，则输出的m 是（ ）A. 2B. 6C. 101D. 202【答案】C 【分析】直接按照程序框图运行，即可得解.【详解】输入2020m =，303n =，又1r =． ①10r=>，202r =，303m =，202n =；②2020r =>，3032021101÷=LL ，101r =，202m =，101n =；③1010r=>，0r =，101m =，0n =；④0r =，则0r >否，输出101m =.故选：C ．【点睛】本题主要考查程序框图和计算程序框图的输出值，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.8.已知双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的离心率为2，其一条渐近线被圆22()4(0)x m y m -+=>截得的线段长为2，则实数m 的值为（ ）C. 2D. 1【答案】C 【分析】先求出双曲线的渐近线方程，再求出圆心到渐近线的距离得到2222()()222+=，解方程即得解.【详解】依题意2c b a a===∴=，∴双曲线渐近线方程为y =，不妨取渐近线10l y -=，则圆心(,0)(0)m m >到1l的距离2d==，由勾股定理得2222()()222+=，解得2m =±. ∵0m >，∴2m =. 故选：C ．【点睛】本题主要考查双曲线的简单几何性质，考查直线和圆的位置关系，考查利用弦长求参数，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.9.已知函数()f x 是定义在R 上的偶函数，当0x ≥时，1()()22x f x =+．则使不等式9(1)4f x -<成立的x 取值范围是（ ） A. (,1)(3,)-∞-+∞U B. (1,3)-C. (0,2)D. (,0)(2,)-∞+∞U【答案】A 【分析】通过分析得到(|1|)(2)f x f -<，再结合函数的奇偶性和单调性得到|1|2x ->，解不等式即得解.【详解】由题得19(2)244f =+=， 由9(1)4f x -<，得(1)(2)f x f -<， 又∵()f x 为偶函数，∴(|1|)(2)f x f -<，因为当0x ≥时，1()()22x f x =+，所以函数()f x 在(0,)+∞上为单调递减，因为函数是偶函数，所以函数()f x 在(,0)-∞上为单调递增， ∴|1|2x ->，∴12x ->或12x -<-， 即3x >或1x <-. 故选：A ．【点睛】本题主要考查函数的奇偶性和单调性的应用，考查指数函数的单调性，考查绝对值不等式的解法，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.10.函数1()cos 1x x e f x x e ⎛⎫+=⋅ ⎪-⎝⎭在[5,5]-的图形大致是（ ） A. B.C. D.【答案】A 【分析】先计算()f x -，与()f x 进行比较，可判断函数的奇偶性，优先排除选项D ，再当02x π<<时，判断函数每一部分的正负性可排除选项B ，最后计算0x +→时，可得y →-∞，从而确定正确的选项．【详解】解：11()cos()cos ()11x xx xe ef x x x f x e e--++-=-=-=---g g ，∴函数()f x 是奇函数，图象关于原点对称，排除选项D ；()f x 在y 轴右侧第一个零点为2x π=．当02x π<<时，10x e +>，10x e -<，cos 0x >，()0f x ∴<，排除选项B ；当0x +→时，12x e +→，10x e -→，cos 1x →，且10x e -<，y ∴→-∞，排除选项C ；． 故选：A ．【点睛】本题考查函数的图象与性质，一般从函数的奇偶性、单调性和特殊点处的函数值等方面着手思考问题，考查学生的逻辑推理能力，属于基础题． 11.已知三棱锥P ABC -中，23APB ∠=π，3PA PB ==，5AC =，4BC =，且平面PAB ⊥平面ABC ，则该三棱锥的外接球的表面积为（ ）A. 16πB. 28πC. 24πD. 32π【答案】B 【分析】首先根据题意得到CB ⊥平面PAB ，再将三棱锥P ABC -放入直三棱柱中，求其外接球半径，计算表面积即可.【详解】在PAB △中，由余弦定理得233233cos33AB π=+-⨯⨯⨯=， 又222AC AB BC =+，所以ABC V 为直角三角形，CB AB ⊥.又平面PAB ⊥平面ABC 且交于AB ， 所以CB ⊥平面PAB .将三棱锥P ABC -放入直三棱柱中，如图所示：1O ，2O 分别为上下底面外接圆的圆心，O 为三棱锥P ABC -外接球的球心，且为1O ，2O 的中点.所以1122OO BC ==. 设PAB △的外接圆半径为r ，则32232πsin3r ==3r =设几何体的外接球半径为R ，则22223)7R =+=， 所求外接球的表面积2428==ππS R . 故选：B【点睛】本题主要考查三棱锥的外接球，将三棱锥放入直三棱柱中为解题的关键，属于中档题. 12.已知函数()11xx f x e x +=--，对于函数()f x 有下述四个结论： ①函数()f x 在其定义域上为增函数；②对于任意的0a <，都有()1f a >-成立；③()f x 有且仅有两个零点；④若x y e =在点()()000,1xx e x≠处的切线也是ln y x =的切线，则0x 必是()f x 零点．其中所有正确的结论序号是（ ） A. ①②③ B. ①②C. ②③④D. ②③【答案】C 【分析】利用特殊值法可判断①的正误；推导出当0a <时201aea ->-，从而可判断②的正误；利用导数研究函数()y f x =的单调性，结合零点存在定理可判断③的正误；利用导数的几何意义得出等式，进而可判断④的正误.综合可得出结论.【详解】()02f =Q ，()33223535202f e f ⎛⎫=-<-<= ⎪⎝⎭，所以，函数()y f x =在其定义域上不是增函数，①错；∵当0a <时，则201ae a ->-，因此()121111a a a f a e e a a +=-=-+->---成立，②对；函数()y f x =的定义域为()(),11,-∞+∞U ，且()()2201x f x e x '=+>-，所以，函数()y f x =在区间(),1-∞和()1,+∞上均为增函数，()221112033f e e --=-=-<Q ，()020f =>，()()200f f ∴-⋅<，即函数()y f x =在区间(),1-∞上有且仅有1个零点．55244593304f e ⎛⎫=-<-< ⎪⎝⎭Q ，()2230f e =->，()5204ff ⎛⎫∴⋅< ⎪⎝⎭， 所以，函数()y f x =区间()1,+∞上有且仅有1个零点． 因此，函数()y f x =有且仅有两个零点，③对；x y e =Q 在点()()000,1xx e x≠处的切线l 的方程()000-=-x x y e e x x ．又l 也是ln y x =的切线，设其切点为()11,ln A x x ，则l 的斜率11k x =， 从而直线l 的斜率011x k e x ==，01x x e -∴=，即切点为()00,x A e x --， 又点A 在l 上，()()0000000001011x x x x x x e e e x e x x -+∴--=-⇒-=≠-， 即0x 必是函数()y f x =的零点，④对．故选：C.【点睛】本题考查函数单调性、零点个数以及不等式的判断，同时也考查了导数的几何意义，考查推理能力，属于中等题.二、填空题：（本大题共4小题，每小题5分，共20分.把答案填在答题卡的相应位置）13.已知向量()4,2a =-r ，()1,1b =-r，若()b a kb ⊥+r r r ，则k =_______．【答案】3 【分析】求出向量a kb +r r的坐标，利用平面向量垂直的坐标表示可得出关于k 的等式，进而可求得实数k 的值.【详解】()4,2a =-r Q ，()1,1b =-r，()4,2a kb k k ∴+=--r r ，()b a kb ⊥+r r r Q ，()()42260b a kb k k k ∴⋅+=---=-=r r r，解得3k =.故答案为：3.【点睛】本题考查利用平面向量垂直求参数，考查计算能力，属于基础题.14.为了贯彻落实十九大提出的“精准扶贫”政策，某地政府投入16万元帮助当地贫困户通过购买机器办厂的形式脱贫，假设该厂第一年需投入运营成本3万元，从第二年起每年投入运营成本比上一年增加2万元，该厂每年可以收入20万元，若该厂()*n n N ∈年后，年平均盈利额达到最大值，则n 等于_______．（盈利额=总收入-总成本） 【答案】4 【分析】设每年的营运成本为数列{}n a ，根据题意可知数列{}n a 为等差数列，确定该数列的首项和公差，并求出年平均盈利额，利用基本不等式可求得年平均额的最大值，利用取等号的条件可求得n 的值. 【详解】设每年的营运成本为数列{}n a ，依题意该数列为等差数列，且13a =，2d =，所以n 年后总营运成本()()21113122n n n dS na a n n n n -=+=+-=+，因此，年平均盈利额为()22021616181810n n n n nn -+-=--+≤-=， 当且仅当4n =时等号成立． 故答案为：4.【点睛】考查等差数列的应用，考查了利用基本不等式求最值，考查计算能力，属于中等题.15.在棱长为2的正方体1111ABCD A B C D -中，E 是棱1DD 的中点，则平面1A EC 截该正方体所得截面面积为_______．【答案】26 【分析】设平面1A EC 交1BB 于点F ，可知平面1A EC 截正方体1111ABCD A B C D -所得截面为1A ECF ，推导出点F 为1BB 的中点，计算得知四边形1A ECF 是边长为5的菱形，并求出菱形1A ECF 的对角线长，由此可求得该截面的面积.【详解】如图，在正方体1111ABCD A B C D -中，Q 平面11//A D DA 平面11B C CB ，平面1A EC I 平面111A D DA A E =，平面1A EC I 平面11B C CB CF =，1//A E CF ∴,同理可证1//A F CE ， 四边形1A ECF 是平行四边形，11//BC A D Q ，11BCF D A E ∴∠=∠，又112BC A D ==，1190CBF A D E ∠=∠=o，11A D E CBF ∴≅V V ，11BF D E ∴==，则F 为1BB 的中点，225CF BC BF ∴=+=5CE =截面1A ECF 5 其对角线22EFBD ==123AC =截面面积11122S AC EF =⨯=⨯=故答案为：【点睛】本题考查正方体截面面积的计算，确定截面形状是解答的关键，考查空间想象能力与计算能力，属于中等题. 16.过点1(1,)2P -作圆221x y +=的切线l ，已知A ，B 分别为切点，直线AB 恰好经过椭圆的右焦点和下顶点，则直线AB 方程为___________；椭圆的标准方程是__________．【答案】 (1). 220x y --= (2). 22154x y +=【分析】 ①当过点1(1,)2-的直线l 斜率不存在时，直线方程为1x =，切点的坐标(1,0)A ； ②当直线l 斜率存在时，设l 方程为1(1)2y k x =--，根据圆心(0,0)到切线的距离等于半径1，求出34k =确定直线方程，直线l 方程与圆方程的联立，进一步求出切点的坐标34(,)55B -，再求出AB 方程，则椭圆的右焦点及下顶点可求，其标准方程可求. 【详解】解：①当过点1(1,)2-的直线l 斜率不存在时，直线方程为1x =，切点的坐标(1,0)A ； ②当直线l 斜率存在时，设l 方程为1(1)2y k x =--，即102kx y k ---=，根据直线与圆相切，圆心(0,0)到切线的距离等于半径1，得1=可以得到切线斜率34k =，即35:44l y x =-， 直线l 方程与圆方程的联立2213544x y y x ⎧+=⎪⎨=-⎪⎩可以得切点的坐标34(,)55B -， 根据A 、B 两点坐标可以得到直线AB 方程为220x y --=，（或利用过圆222x y r +=上一点00(,)x y 作圆的两条切线，则过两切点的直线方程为200x x y y r +=） 依题意，AB 与x 轴的交点(1,0)即为椭圆右焦点，得1c =，与y 轴的交点(0,2)-即为椭圆下顶点坐标，所以2b =， 根据公式得2225a b c =+=，因此，椭圆方程为22154x y +=．【点睛】已知直线和圆的位置关系确定切线方程，进一步求椭圆的标准方程；属于中档题.三、解答题：（共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答，第22、23题为选考题，考生根据要求作答） （一）必考题：共60分17.在ABC V 中，角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，已知2B C =，34b c =． （1）求cos C ； （2）若3c =，求ABC V的面积．【答案】（1）23；（2）． 【分析】（1）因为34b c =，根据正弦定理“边化角”可得3sin 4sin A C =，结合2B C =与正弦二倍角公式，即可求得cos C ；（2）借助题设条件求得b 值，运用三角变换公式求出角A 的正弦值，再运用三角形的面积公式求解：【详解】（1）Q 34b c =根据正弦定理：sin sin b cB C= 可得：3sin 4sin B C =，Q 2B C =，∴3sin 24sin C C =， ∴3sin cos 2sin C C C =，∴(0,)C π∈，sin 0C ≠， ∴2cos 3C =． （2）Q 3c =又Q34b c =可得：4b =，Q (0,)C π∈，∴sin C ==，∴sin sin 22sin cos B C C C ===，221cos cos 2cos sin 9B C C C ==-=-，∴sin sin(π)sin()A B C B C =--=+21sin cos cos sin 939327B C B C =+=⨯-⨯=，∴11sin 4322279ABC S bc A ==⨯⨯⨯=△．【点睛】本题主要考查了根据正弦定理解三角形和求三角形面积，解题关键是掌握正弦定理“边化角”的方法和三角形面积公式，考查了分析能力和计算能力，属于中档题.18.某种治疗新型冠状病毒感染肺炎的复方中药产品的质量以其质量指标值衡量，质量指标越大表明质量越好，为了提高产品质量，我国医疗科研专家攻坚克难，新研发出A 、B 两种新配方，在两种新配方生产的产品中随机抽取数量相同的样本，测量这些产品的质量指标值，规定指标值小于85时为废品，指标值在[85,115)为一等品，大于115为特等品．现把测量数据整理如下，其中B 配方废品有6件．A 配方的频数分布表（1）求a ，b 的值；（2）试确定A 配方和B 配方哪一种好？(说明：在统计方法中，同一组数据常用该组区间的中点值作为代表) 【答案】（1）24，0.026；（2）B 配方好些，详见解析． 【分析】(1) A 、B 配方样本容量相同，设为n ，B 配方废品有6件，由B 配方的频率分布直方图，能求出n = 100，从而求出a 和b ；(2)由A 配方的频数分布表能求出A 配方质量指标值的样本平均数和质量指标值的样本方差;由B 配方的频频率分布直方图能求出B 配方质量指标值的样本平均数和质量指标值的样本方差，由两种配方质量指标值的样本平均数相等但A 配方质量指标值不够稳定，得到选择B 配方比较好. 【详解】（1）依题意，,A B 配方样本容量相同，设为n ， 又B 配方废品有6件，由B 配方的频频率分布直方图， 得废品的频率为60.00610n=⨯，解得100n =， ∴100(836248)24a =-+++=．由(0.0060.0380.0220.008)101b ++++⨯=，解得0.026b =， 因此a ，b 的值分别为24，0.026．（2）由（1）及A 配方的频数分布表得：A 配方质量指标值的样本平均数为808902410036110241208100Ax ⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=20082002410036100100⨯+⨯+⨯==，质量指标值的样本方差为：222221[(20)8(10)240361024208]112100A s =-⨯+-⨯+⨯+⨯+⨯=；由B 配方的频频率分布直方图得，B 配方质量指标值的样本平均数为：800.06900.261000.381100.221200.08100B x =⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=，质量指标值的样本方差为：25222221()(20)0.06(10)0.2600.38100.22200.08104B i i i s x x p ==-=-⨯+-⨯+⨯+⨯+⨯=∑，综上AB x x =，22A B s s >，即两种配方质量指标值的样本平均数相等，但A 配方质量指标值不够稳定，所以选择B 配方比较好．【点睛】本题主要考查了频数和频率的求法，平均数、方差的求法及应用,频率分布直方图的性质等基础知识，考查运算求解能力，属于中档题.19.如图1，在平行四边形ABCD 中，4=AD ，22AB =，45DAB ∠=︒，E 为边AD 的中点，以BE 为折痕将ABE △折起，使点A 到达P 的位置，得到图2几何体P EBCD -．（1）证明：PD BE ⊥；（2）当BC ⊥平面PEB 时，求三棱锥C PBD -的体积．【答案】（1）证明见解析；（2）83．分析】（1）由已知条件和勾股定理可得EB AD ⊥，根据折叠的不变性可得EB PE ⊥，EB ED ⊥，由线面垂直的判定和性质可得证；（2）由线面垂直的性质可得出PE ⊥平面BCD ，PE 就是三棱锥P CBD -的高，再运用等体积法可得出三棱锥的体积.【详解】（1）依题意，在ABE △中（图1），2AE =，22AB =45EAB ∠=︒，由余弦定理得2222cos 45EB AB AE AB AE =+-⋅⋅︒842242=+-⨯⨯=， ∴222AB AE EB =+，即在平行四边形ABCD 中，EB AD ⊥．以BE 为折痕将ABE △折起，由翻折不变性得，在几何体P EBCD -中，EB PE ⊥，EB ED ⊥．又ED PE E =I ，∴BE ⊥平面PED ，又BE ⊂平面PEB ，∴PD BE ⊥．（2）∵BC ⊥平面PEB ，PE ⊂平面PEB ，∴BC PE ⊥．由（1）得EB PE ⊥，同理可得PE ⊥平面BCE ，即PE ⊥平面BCD ，PE 就是三棱锥P CBD -的高．又45DCB DAB ∠=∠=︒，4BC AD ==，CD AB ==2PE AE ==，∴11sin 4544222CBD S BC CD =⨯⨯⨯︒=⨯⨯=△， 11842333C PBD P CBD BCD V V S PE --==⨯=⨯⨯=△，因此，三棱锥C PBD -的体积为83． 【点睛】本题考查由平面图形折叠成空间几何体中的线面关系，以及三棱锥的体积的求解，属于中档题. 20.已知抛物线2:2(0)C y px p =>与直线:10l x y ++=相切于点A ，点B 与A 关于x 轴对称．（1）求抛物线C 的方程及点B 的坐标；（2）设,M N 是x 轴上两个不同的动点，且满足BMNBNM ∠=∠，直线BM 、BN 与抛物线C 的另一个交点分别为,P Q ，试判断直线PQ 与直线l 的位置关系，并说明理由．如果相交，求出的交点的坐标． 【答案】（1）24y x =，(1,2)B ；（2）PQ ∥l ，详见解析． 【分析】（1）联立方程组，整理得2220y py p ++=，根据0∆=，求得2p =，得到抛物线C 的方程，进而得到点A的坐标，从而求得点B 的坐标．（2）设(,0)M t ，直线BM 的方程为x my t =+，得出BM 的方程为12tx y t -=+， 代入24y x =，求得2(,2)P t t -，进而得到(2,0)N t -，代入抛物线的方程求得Q 的坐标，利用斜率公式，即可得到结论.【详解】（1）由题意，抛物线2:2C y px =与直线:10l x y ++=相切于点A ，联立方程组2210y px x y ⎧=⎨++=⎩，消去x ，得2220y py p ++=，所以2480p p ∆=-=，解得0p =或2p =，又0p >，解得2p =，所以抛物线C 的方程为24y x =，由2440y y ++=，得2y =-，所以切点为(1,2)A -，因为点B 与A 关于x 轴对称，点B 的坐标(1,2)B ． （2）直线//PQ l ，理由如下： 依题意，直线BM 的斜率不为0， 设(,0)(1)M t t≠，直线BM 的方程为x my t =+，由（1）知点(1,2)B ，则12m t =+，所以直线BM 的方程为12tx y t -=+， 代入24y x =，解得2y =(舍)或2y t =-，所以2(,2)P t t -，因为BMNBNM ∠=∠，所以,M N 关于AB 对称，得(2,0)N t -，同理得BN 的方程为122t x y t -=+-，代入24y x =， 得2((2),24)Q t t --，2244441(2)44PQ t t k t t t--===----， 直线l 的斜率为1-，因此//PQ l ．【点睛】本题主要考查抛物线方程的求解、及直线与抛物线的位置关系的综合应用,解答此类题目，通常联立直线方程与抛物线方程，应用一元二次方程根与系数的关系进行求解，此类问题易错点是复杂式子的变形能力不足，导致错解，能较好的考查考生的逻辑思维能力、运算求解能力、分析问题解决问题的能力等. 21.设函数2()()x f x x m e =+． （1）讨论()f x 的单调性；（2）若()21()xg x e nx f x =---，当1m =，且0x ≥时，()0g x ≤，求n 的取值范围．【答案】（1）见解析；（2）[1,)+∞． 【分析】（1）利用导数研究函数的单调性，因含有参数，需分类讨论.（2）先由(0)0g =，转化为()g x 在[0,)+∞递减，再转化为'()0g x ≤在0x ≥恒成立， 再构造函数()h x '()g x =，利用导数研究函数()h x 的性质.【详解】（1）依题得，()f x 定义域为R ，2()(2)xf x x x m e '=++，0x e >，令2()2h x x x m =++，44m ∆=-， ①若0∆≤，即m 1≥，则()0h x ≥恒成立，从而()0f x '≥恒成立，当且仅当1m =，1x =-时，()0f x '=， 所以()f x 在R 上单调递增；②若>0∆，即1m <，令()0h x =，得1x =-1x =-+当(11x ∈--时，()0f x '<；当(,1(1)x ∈-∞--++∞U 时，()0f x '>， 综合上述：当m 1≥时，()f x 在R 上单调递增；当1m <时，()f x 在区间(11--上单调递减，()f x 在区间(,11)-∞--++∞上单调递增．（2）依题意可知：2()21()1xxxg x e nx f x e x e nx =---=---， 令0x =，可得(0)0g =，2()(12)()xg x x x e n x '=---∈R ， 设2()(12)xh x x x e n =---，则2()(41)xh x x x e '=-++， 当0x ≥时，()0h x '<，()g x '单调递减， 故()(0)1g x g n ''≤=-，要使()0g x ≤在0x ≥时恒成立，需要()g x 在[0,)+∞上单调递减， 所以需要()10g x n '≤-≤，即1n ≥，此时()(0)0g x g ≤=，故1n ≥， 综上所述，n 的取值范围是[1,)+∞．【点睛】（1）考查了利用导数求函数的单调性，含参问题分类讨论.（2）考查了对题目的理解，分析，将恒成立问题转化成函数单调性问题，利用导数值的正负与函数的单调性关系列式求解.（二）选考题：共10分，请考生在第22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分，作答时，请用2B 铅笔在答题卡上把所选题目对应的题号涂黑.22.在平面直角坐标系xOy中，已知曲线2cos :x C y θθ=⎧⎪⎨=⎪⎩(θ为参数)，以原点O 为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，直线l 的极坐标方程πcos()4ρθα-=，点π)4M 在直线l 上，直线l 与曲线C 交于,A B 两点． （1）求曲线C 的普通方程及直线l 的参数方程； （2）求OAB V 的面积．【答案】（1）22:143x y C +=，12:12x tl y ⎧=-⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩(t 为参数)；（2）127．【分析】（1）消参将曲线C 的参数方程化为普通方程，再将l 的极坐标方程先化为一般方程，再化为参数方程； （2）联立直线与椭圆方程，求出弦长||AB ，再求点O 到AB 的距离，求出OAB V 的面积.【详解】（1）将曲线2cos :x C y θθ=⎧⎪⎨=⎪⎩，消去参数θ得，曲线C 的普通方程为22143x y +=，∵点4M π⎫⎪⎭在直线cos 4πρθα⎛⎫-= ⎪⎝⎭上，∴ππcos()44α=-=，∴cos()4πρθ-=(cos sin )2ρθρθ+= 又cos x ρθ=，sin y ρθ=，∴直线l 的直角坐标方程为20x y +-=，显然l 过点(1,1)，倾斜角为34π，∴直线l的参数方程为121x y ⎧=-⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩（t 为参数）． （2）由（1），将直线l 的参数方程代入曲线C 的普通方程得：2211(1)(1)14232-++=，整理得27100t +-=，显然>0∆，21设,A B 对应的参数为1t ，2t，则由韦达定理得127t t +=-，12107t t =-， 由参数t的几何意义得12||||7AB t t =-===， 又原点(0,0)O 到直线l的距离为d == 因此，OAB V的面积为1112||2277S AB d ==⨯=． 【点睛】本题考查了参数方程、极坐标方程与普通方程的相互转化，点到直线的距离公式,还考查了直线与椭圆相交时的弦长问题.23.已知函数()|1||2|f x x x =+--．（1）若()1f x ≤，求x 的取值范围；（2）若()f x 最大值为M ，且a b c M ++=，求证：2223a b c ++≥．【答案】（1）(,1]-∞； （2）证明见解析【分析】(1)去绝对值，解不等式.(2)由绝对值不等式||||||a b a b -≤-求出最值，再构造柯西不等式证明不等式.【详解】解：（1）由题得1()(1)(2)1x f x x x <-⎧⎨=-++-≤⎩ 或12()(1)(2)1x f x x x -≤≤⎧⎨=++-≤⎩ 或2()(1)(2)1x f x x x >⎧⎨=+--≤⎩， 解得131x <-⎧⎨-≤⎩ 或121x x -≤≤⎧⎨≤⎩ 或231x >⎧⎨≤⎩ ，得1x ≤， 故x 的取值范围为(,1]-∞.(2)由()|1||2|f x x x =+--，则()(1)(2)3f x x x ≤+--=，故()f x 最大值为3M =，即3a b c ++=，由柯西不等式有2222222()(111)()a b c a b c ++++≥++，得2223a b c ++≥，当且仅当1a b c ===时，等号成立.【点睛】本题考查了绝对值不等式的解法，三角不等式求最值，构造柯西不等式证明不等式.。
广东省茂名市2024届高三二模数学试题(解析版)
2023年茂名市高三级第二次综合测试数学试卷本试卷共6页，22小题，满分150分.考试用时120分钟.注意事项：1.答卷前，考生务必用黑色字迹钢笔或签字笔将自己的姓名和考生号填写在答题卡指定的位置上.2.选择题每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；如需改动，擦干净后，再选涂其它答案，答案不能答在试卷上.3.非选择题必须用黑色字迹的笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内的相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液.不按以上要求作答的答案无效.4.考生必须保持答题卡的整洁，考试结束后，将答题卡交回.一、单选题：本大题共8小题，每小题5分，满分40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合{}1A x x =≤，{}20B x x a =-<，若A B ⊆，则实数a 的取值范围是（）A.()2,+∞ B.[)2,+∞ C.(),2-∞ D.(],2-∞【答案】A 【解析】【分析】先解出集合,A B ,再根据A B ⊆列不等式直接求解.【详解】集合{}{}111A x x x x =≤=-≤≤，2a B x x ⎧⎫=<⎨⎩⎭.要使A B ⊆，只需12a<，解得：2a >.故选：A2.若复数z 满足i 43i z ⋅=+，则z =（）A.2B.C.3D.5【答案】D 【解析】【分析】利用复数的除法法则和复数的模长公式计算即可.【详解】()43i i 43i 4i 3i 43i 34i i i i 1z z +⋅+-⋅=+∴====-⋅- ，，5z ∴==.故选：D.3.已知平面α，直线m ，n 满足m ⊄α，n ⊂α，则“m ∥n ”是“m ∥α”的（）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件【答案】A 【解析】【详解】m α⊄，n ⊂α，所以当//m n 时，//m α成立，即充分性成立；当//m α时，//m n 不一定成立，可能是异面直线，故必要性不成立；所以//m n 是//m α的充分不必要条件，故选：A4.从1、2、3、4、5中任选3个不同数字组成一个三位数，则该三位数能被3整除的概率为（）A.110 B.15C.310D.25【答案】D 【解析】【分析】利用排列组合知识求出对应的方法种数，利用古典概型的概率公式直接求解.【详解】从1、2、3、4、5中任选3个不同数字组成一个三位数，有35A 54360=⨯⨯=种；要使该三位数能被3整除，只需数字和能被3整除，所以数字为1，2，3时，有33A 3216=⨯⨯=种；数字为1，3，5时，有33A 3216=⨯⨯=种；数字为2，3，4时，有33A 3216=⨯⨯=种；数字为3，4，5时，有33A 3216=⨯⨯=种；共24种.所以该三位数能被3整除的概率为242605=.故选：D5.已知平面xOy 内的动点P ，直线l ：sin cos 1x y θθ+=，当θ变化时点P 始终不在直线l 上，点Q 为C ：2282160x y x y +--+=上的动点，则PQ 的取值范围为（）A.B.2⎤⎦C.)2-+D.)2【答案】D 【解析】【分析】根据题意可分析出点P 在O ：221x y +=，问题转化为两圆上两动点距离的取值范围即可得解.【详解】由原点O 到直线l ：sin cos 1x y θθ+=的距离为1d ==，可知直线l 是O ：221x y +=的切线，又动直线始终没有经过点P ，所以点P 在该圆内，因为点Q 为C ：2282160x y x y +--+=上的动点，且()4,1C ，1r =，∴22OC PQ OC -<<+，又||OC ==，即PQ的取值范围为)2-，故选：D6.如图所示，正三棱锥-P ABC ，底面边长为2，点Р到平面ABC 距离为2，点M 在平面PAC 内，且点M 到平面ABC 的距离是点P 到平面ABC 距离的23，过点M 作一个平面，使其平行于直线PB 和AC ，则这个平面与三棱锥表面交线的总长为（）A.249+B.129+C.12839+ D.24839+【答案】B 【解析】【分析】过点P 作底面ABC 的垂线于点O ，过B 作AC 的垂线于H .过点M 作平面平行BP 和AC 交三棱锥-P ABC 与平面1234Q Q Q Q .求出各边边长，及可求出.【详解】因为三棱锥-P ABC 为正三棱锥，所有三角形ABC 为等边三角形并且边长为2，即2AB AC BC ===.又因为-P ABC 为正三棱锥，因此过点P 作底面ABC 的垂线于点O ，则点O 为三角形ABC 的中心.过B 作AC 的垂线于H .由三角形ABC 为等边三角形，因此1,AH CH BH ===，1333OH BH ==在直角三角形AHO 中，233AO ==.又因为2PO =，在直角三角形AOP 中，433AP ==，故433AP BP CP ===.因为三棱锥-P ABC 为正三棱锥，因此,,APC APB BPC 均为等腰三角形.又M 到平面ABC 距离为点P 到平面ABC 距离的23，因此M 为PH 的三等分点（靠近P ），过点M 作12//Q Q AC 交PC 于1Q ，交PA 于2Q .过点1Q 作14//Q Q BP 交BC 于4Q ，过点4Q 作34//Q Q AC 交AB 于3Q ，连接34Q Q .所以1234////Q Q AC Q Q ，则1234Q Q Q Q 、、、四点共面.因为14//Q Q BP ，14Q Q ⊂面1234Q Q Q Q ，BP ⊄面1234Q Q Q Q 所以//BP 面1234Q Q Q Q .所以面1234Q Q Q Q 即为过点M 且平行于直线PB 和AC 的平面.利用三角形相似可得：12341233Q Q Q Q AC ===,231428339Q Q Q Q BP ===.这个平面与三棱锥表面交线的总长为1223341421222939Q Q Q Q Q Q Q Q ++++=⨯⨯=.故选：B7.黎曼函数()R x 是由德国数学家黎曼发现并提出的，它是一个无法用图象表示的特殊函数，此函数在高等数学中有着广泛的应用，()R x 在[]0,1上的定义为：当qx p=（p q >，且p ，q 为互质的正整数）时，()1R x p=；当0x =或1x =或x 为()0,1内的无理数时，()0R x =，则下列说法错误的是（）A.()R x 在[]0,1上的最大值为12B.若[],0,1a b ∈，则()()()R a b R a R b ⋅≥⋅C.存在大于1的实数m ，使方程()[]()0,11mR x x m =∈+有实数根D.[]0,1x ∀∈，()()1R x R x -=【答案】C 【解析】【分析】根据题意得到q A x x p ⎧⎫==⎨⎩⎭，{|0B x x ==或1x =或x 时[]0,1上的无理数}，由()R x 的值域为1110,,,,,23p ⎧⎫⋅⋅⋅⋅⋅⋅⎨⎬⎩⎭，可判定A 正确；若(],0,1a b ∈，设q a p =，n b m =，得到()()()R a b R a R b ⋅≥⋅；若,a b 有一个为0，得到()()()0R a b R a R b ⋅≥⋅=，可判定B 正确；由112n n >+，且()R x 的最大值为12，可判定C 错误；由()()1R x R x =-，设q x p =，得到()()11R x R x p=-=，可判定D 正确.【详解】设q A x x p ⎧⎫==⎨⎬⎩⎭，（p q >，且,p q 为互质的正整数），{|0B x x ==或1x =或x 时[]0,1上的无理数}，对于A 中，由题意，()R x 的值域为1110,,,,,23p ⎧⎫⋅⋅⋅⋅⋅⋅⎨⎬⎩⎭，其中p 是大于等于2的正整数，所以A 正确；对于B 中，①若(],0,1a b ∈，设q a p =，n b m=（,p q 互质，,m n 互质），11q n a b p m p m ⋅=⋅≥⋅，则()()()R a b R a R b ⋅≥⋅；②若,a b 有一个为0，则()()()0R a b R a R b ⋅≥⋅=，所以B 正确；对于C 中：若n 为大于1的正数，则112n n >+，而()R x 的最大值为12，所以该方程不可能有实根，所以C 错误；对于D 中：0,1x =和()0,1内的无理数，则()0R x =，()10R x -=，()()1R x R x =-，若x 为()0,1内的有理数，设q x p =（,p q 为正整数，qp为最简真分数），则()()11R x R x p=-=，所以D 正确.故选：C.8.已知函数()22sin cos 4cos 1f x x x x =+-，若实数a 、b 、c 使得()()3af x bf x c -+=对任意的实数x 恒成立，则2cos a b c +-的值为（）A.12B.32 C.2D.52【答案】B 【解析】【分析】设()()21f x x ϕ=++，得到()()221f x c x c ϕ+=+++，根据题意转化为)()()()cos 2sin 2sin 2cos 230a b c x c x a b ϕϕ-+-++--=，由此得出方程组cos 20sin 2030a b c b c a b -=⎧⎪=⎨⎪--=⎩①②③，分0b =和sin 20c =，两种情况讨论，即可求解.【详解】设()()22sin cos 4cos 1sin 22cos 2121f x x x x x x x ϕ=+-=++=++，可得()()221f x c x c ϕ+=+++，其中02πϕ<<，且tan 2ϕ=，因为实数,,a b c 使得()()3af x bf x c -+=对任意的实数x 恒成立，()()sin 2sin 223x x c a b ϕϕ++++-=恒成立，()()()sin 2sin 2230x x c a b ϕϕ+-+++--=恒成立，)()()()cos 2sin 2sin 2cos 230a b c x c x a b ϕϕ-+-++--=由上式对任意x ∈R 恒成立，故必有cos 20sin 2030a b c b c a b -=⎧⎪=⎨⎪--=⎩①②③，。
(优辅资源)广东省茂名市高三数学第二次模拟试题 文(含解析)
茂名市2016年第二次高考模拟考试数学试卷（文科）本试卷分选择题和非选择题两部分，共6页，24小题，满分150分，考试时间120分钟。
注意事项：1．答卷前，考生要务必填写答题卷上的有关项目.2．选择题每小题选出答案后，用2B 铅笔把答案填在答题卡相应的位置上.3．非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卷各题目指定区域内的相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液. 不按以上要求作答的答案无效.4．考生必须保持答题卷的整洁，考试结束后，将答题卷交回. 参考公式：锥体的体积公式是：13V S h =∙锥体底，其中S 底是锥体的底面积，h 是锥体的高. 第一部分 选择题（共60分）一.选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分. 在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．已知全集{}1,2,3,4,5U =，集合{1,2,5}A =，{}1,3,5U C B =，则A B =（ ）A ．{5}B ．{2}C ．{1,2,4,5}D ．{3,4,5}答案:B解析：由{}1,3,5U C B =得：B ＝{}24，，故A B ={2}。
2．已知Z=ii+12 (i 为虚数单位),则Z 的共轭复数在复平面内对应的点位于（ ） A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限D ．第四象限答案:D 解析：因为Z=i i +12＝2(1)(1)(1)i i i i -+-＝1＋i ，Z 的共轭复数为1－i ，在第四象限。
3.已知非零向量()21,1a m m =-+与向量()1,2b =-平行，则实数m 的值为（ ）A ．1-或21B ． 1或21- C ． 1- D ． 21 答案:D解析：因为两向量平行，所以，22(1)(1)0m m ---+=，解得m ＝－1或12，当m ＝－1时，a 为零向量，不符合题意，故选D 。
4．执行如图所示的程序框图，输出的S 值为( )A ．1B ．23 C ．1321D ．610987答案:C解析：执行步骤如下： 第1步：S ＝23，i ＝1；第2步：S ＝1321，i ＝2；退出循环。
广东省茂名市2025届高三考前(二模)数学试题试卷
广东省茂名市2025届高三考前（二模）数学试题试卷注意事项1．考生要认真填写考场号和座位序号。
2．试题所有答案必须填涂或书写在答题卡上，在试卷上作答无效。
第一部分必须用2B 铅笔作答；第二部分必须用黑色字迹的签字笔作答。
3．考试结束后，考生须将试卷和答题卡放在桌面上，待监考员收回。
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．已知(2)f x +是偶函数，()f x 在(]2-∞，上单调递减，(0)0f =，则(23)0f x ->的解集是 A ．2()(2)3-∞+∞，，B ．2(2)3， C ．22()33-，D ．22()()33-∞-+∞，， 2．函数()()241xf x x x e =-+⋅的大致图象是（ ）A ．B ．C ．D ．3．已知函数()sin()(0,||)2f x x πωϕωϕ=+>≤，4πx =-为()f x 的零点，4x π=为()y f x =图象的对称轴，且()f x 在区间(,)43ππ上单调，则ω的最大值是（ ）A ．12B ．11C ．10D ．94．若函数()ln f x x x h =-++，在区间1,e e ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上任取三个实数a ，b ，c 均存在以()f a ，f b ，()f c 为边长的三角形，则实数h 的取值范围是（ ）A ．11,1e ⎛⎫--⎪⎝⎭ B ．11,3e e ⎛⎫-- ⎪⎝⎭C ．11,e ⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭D ．()3,e -+∞5．函数()3sin 3x f x x π=+的图象的大致形状是（ ）A ．B ．C ．D ．6．已知n S 是等差数列{}n a 的前n 项和，1252a a +=，234+=a a ，则10S =（ ） A ．85B ．852C ．35D ．3527．方程()()f x f x '=的实数根0x 叫作函数()f x 的“新驻点”，如果函数()ln g x x =的“新驻点”为a ，那么a 满足（ ）A ．1a =B ．01a <<C ．23a <<D ．12a <<8．已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，262,21a S ==，则5a = A ．3B ．4C ．5D ．69．已知函数()()4,2x f x x g x a x =+=+，若[]121,3,2,32x x ⎡⎤∀∈∃∈⎢⎥⎣⎦，使得()()12f x g x ≥，则实数a 的取值范围是（ ） A ．1a ≤ B ．1a ≥ C ．0a ≤D ．0a ≥10．设m ，n 为直线，α、β为平面，则m α⊥的一个充分条件可以是( ) A ．αβ⊥，n αβ=，m n ⊥ B ．//αβ，m β⊥ C ．αβ⊥，//m βD ．n ⊂α，m n ⊥11．已知(0,)απ∈，且tan 2α=，则cos2cos αα+=（ ）A ．2535- B ．535- C ．535+ D ．2535+ 12．双曲线的渐近线与圆(x －3)2＋y 2＝r 2(r ＞0)相切，则r 等于( )A ．B ．2C ．3D ．6二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
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所以
.
18.（1）证明:连接 ，设 ，连接 .
∵ ，∴ .
又 为 的中点，∴ .
∴ 平面 ，∴ .
∵ ，∴ .
又四边形 是平行四边形，则四边形 为矩形.
（2）解：由 ，可得 ，∴ .
由 平面 ，可得平面 平面 ，且交线为 .
过点 作 ，垂足为点 ，则 平面 .
因为 平面 ,∴ ，即 .
在 中，可得 .
22.解：（1） 的普通房成为 ，
的直角坐标方程为 .
（2）把 代入抛物线方程 得 ，
设 所对应的参数为 ，则 .
∵ 为 的中点，∴ 点所对应的参数为 ，
∴ ，即 .
则 变为 ，此时 ，
∴ .
23.（1）解： ，当且仅当 时取等号，
所以 ，即 .
（2）证明:假设: ，则 .
所以 .①
由（1）知 ，所以 .②
18.如图，四棱柱 的底面 为菱形，且 .
（1）证明：四边形 为矩形；
（2）若 ， 平面 ，求四棱柱 的体积.
19.某高三理科班共有60名同学参加某次考试，从中随机挑选出5名同学，他们的数学成绩 与物理成绩 如下表：
数据表明 与 之间有较强的线性关系.
（1）求 关于 的线性回归方程；
（2）该班一名同学的数学成绩为110分，利用（1）中的回归方程，估计该同学的物理成绩；
在平面直角坐标系 中，以原点 为极点， 轴的非负半轴为极轴，建立极坐标系，曲线 的极坐标方程为 ，直线 的参数方程为 （ 为参数， 为倾斜角).
（1）若 ，求 的普通方程和 的直角坐标方程；
（2）若 与 有两个不同的交点 ，且 为 的中点，求 .
23.选修4-5：不等式选讲
已知函数ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ.
（1）求函数 的最小值 ；
A． B． C． D．
3.已知“正三角形的内切圆与三边相切，切点是各边的中点”，类比之可以猜想：正四面体的内切球与各面相切，切点是（）
A．各面内某边的中点B．各面内某条中线的中点
C．各面内某条高的三等分点D．各面内某条角平分线的四等分点
4.设函数 在 上为增函数，则下列结论一定正确的是（）
A. 在 上为减函数B. 在 上为增函数
①与②矛盾，所以 .
所以四棱柱 的体积为 .
19.解:(（1）由题意可知 ，
故 .
，
故回归方程为 .
（2）将 代入上述方程，得 .
（3）由题意可知，该班数学优秀人数及物理优秀人数分别为30,36.
抽出的5人中，数学优秀但物理不优秀的共1人，
故全班数学优秀但物理不优秀的人共6人.
于是可以得到 列联表为：
于是 ，
因此在犯错误概率不超过0.01的前提下，可以认为数学优秀与物理优秀有关.
广东省省际名校（茂名市）2018届高三下学期联考（二）
数学（文）试题
第Ⅰ卷（共60分）
一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1.已知集合 ， 或 ，若 ，则 的取值范围是（）
A． B． C． D．
2． 是虚数单位，复数 满足 ，则 （）
16.设椭圆 的上顶点为 ，右顶点为 ，右焦点为 ， 为椭圆下半部分上一点，若椭圆在 处的切线平行于 ，且椭圆的离心率为 ，则直线 的斜率是．
三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）
17.已知等差数列 的公差 不为零， ，且 .
（1）求 与 的关系式；
（2）当 时，设 ,求数列 的前 项和 .
7.若 ，则 （）
A． B． C． D．
8.在 中，内角 的对边分别为 ，若 ，且 ，则 （）
A．1 B． C． D．4
9.某几何体的三视图如图所示，若图中小正方形的边长为1，则该几何体的体积是（）
A． B． C． D．
10.执行如图所示的程序框图，与输出的值最接近的是（）
A． B． C． D．
11.《九章算术》中记载了我国古代数学家祖暅在计算球的体积中使用的一个原理:“幂势既同，则积不异”，此即祖暅原理，其含义为:两个同高的几何体，如在等高处的截面的面积恒相等，则它们的体积相等.如图，设满足不等式组 的点 组成的图形（图（1）中的阴影部分)绕 轴旋转 ，所得几何体的体积为 ；满足不等式组 的点 组成的图形（图（2）中的阴影部分)绕 轴旋转 ，所得几何体的体积为 .利用祖暅原理，可得 （）
C. 在 上为增函数D. 在 上为减函数
5.投掷两枚质地均匀的正方体散子，将两枚散子向上点数之和记作 .在一次投掷中，已知 是奇数，则 的概率是（）
A． B． C． D．
6.过抛物线 的焦点，且与其对称轴垂直的直线与 交于 两点，若 在 两点处的切线与 的对称轴交于点 ，则 外接圆的半径是（）
A． B． C． D．
（2）根据（1）中的结论，若 ，且 ，求证: .
试卷答案
一、选择题
1-5: CBCDB 6-10: BDDAC 11、12：CA
二、填空题
13. 14. 2 15. （注：写成开区间或半开半闭区间亦可）16.
三、解答题
17.解:（1）因为 ，所以 ，
即有 .
因为 ，即 ，所以 .
（2）因为 ，又 ，所以 .
（3）本次考试中，规定数学成绩达到125分为优秀，物理成绩达到100分为优秀.若该班数学优秀率与物理优秀率分别为 和 ，且除去抽走的5名同学外，剩下的同学中数学优秀但物理不优秀的同学共有5人.能否在犯错误概率不超过0.01的前提下认为数学优秀与物理优秀有关？
参考数据:回归直线的系数 ， .
， .
20.已知圆 内有一动弦 ，且 ，以 为斜边作等腰直角三角形 ，点 在圆外.
（1）求点 的轨迹 的方程；
（2）从原点 作圆 的两条切线，分别交 于 四点，求以这四点为顶点的四边形的面积 .
21.已知函数 .
（1）判断 的零点个数；
（2）若函数 ，当 时， 的图象总在 的图象的下方，求 的取值范围.
请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.
22.选修4-4：坐标系与参数方程
20.解：（1）连接 ，∵ ，∴ 为等腰直角三角形.
∵ 为等腰直角三角形，∴四边形 为正方形.
∴ ，∴点 的轨迹是以 为圆心，2为半径的圆，
则 的方程为 .
（2）如图，, 于点 ，连接 .
在 中，∵ ，∴ .
∴ ，∴ .
∴ 与 为正三角形.
∵ ，且 ，∴ .
∴四边形 的面积 .
21.解:（1） 的定义域为 ，
A． B． C． D．
12.若对任意的 ，不等式 恒成立，则 的取值范围是（）
A． B． C． D．
第Ⅱ卷（共90分）
二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）
13.已知 为单位向量， ，且 ，则 与 夹角的大小是．
14.若实数 满足约束条件 则 的最大值是．
15.将函数 的图象向左平移 个单位，得到函数 的图象，若 ，则函数 的单调递增区间是．
又 ，
∵ ，∴ ，
∴ 在 上为增函数，又 ，
∴ 在 上只有一个零点.
（2）由题意当 时， 恒成立.
令 ，则 .
当 时，∵ ，∴ 在 上为增函数.
又 ，∴ 恒成立.
当 时， ，
令 ，则 .
令 的两根分别为 且 ，
则∵ ，∴ ，
当 时， ，∴ ，
∴ 在 上为减函数，又 ，∴当 时， .
故 的取值范围为 .