高斯过程的一个性质
高斯函数的性质和应用
高斯函数的性质和应用1、对x∈R，[x]表示不超过x 的最大整数.十八世纪，y=[x]被“数学王子”高斯采用，因此得名为高斯函数.人们更习惯称之为“取整函数”，例如：[-3.5]=-4，[2.1]=2，[1]=1，且有性质（1)任意x∈R,0≤x-[x]＜1,性质（2）[x+1]-[x]=1，性质（3）[x]＋[-x]=-1（x∈Z），定义域为R,值域为Z;不单调，无最值，无奇偶性对任意实数x，都有[x]≤x<[x]+1,x-1<[x]≤x；2、g(x)=x-[x]定义域为R,值域：[0,1)无单调性，最小值0，周期为1.例1、（多选题）高斯函数也称取整函数，记作[x]，是指不超过实数x 的最大整数，例如[6.8]=6，[-4.1]=-5，该函数被广泛应用于数论、函数绘图和计算机领域.下列关于高斯函数y=[x]的性质叙述正确的是（ABC）A.y=[x]值域为Z B.y=[x]不是奇函数C.y=x-[x]为周期函数 D.y=[x]在R 上单调递增例2、设{x}=x-[x]，则函数f(x)=2x{x}-x-1的所有零点之和为？由f(x)=01,由图像可知，两函数除以交点（-1,0)之外，其余的交点关于点（0，1)对称，所以，函数y=f(x)的所有零点之和为-1；故答案为：-1；例3、已知函数f(x)=|x-1|(3-[x])，x∈[0,2),若f(x)=52，则x=；不等式f(x)≤x 的解集为__。
【解析】由题意，得f(x)=3−3s 0≤<12−2s 1≤<1,当0≤x<1时,3-3x=52,当1≤x<252,即x=9/4(舍),综上x=16;当0≤x<134≤x<1,当1≤x＜2时,2x-2≤x,即1≤x＜2,综上，答案为：34≤x<2；例4、高斯函数()[]f x x =（[]x 表示不超过实数x 的最大整数），若函数()2x xg x e e -=--的零点为0x ，则()0g f x =⎡⎤⎣⎦（B ）A．12e e--B．2-C．12e e--D．2212e e --例5、.设x∈R，用[x]表示不超过x 的最大整数，则y=[x]称为高斯函数.已知函数f(x)=22+1，则函数y=[f(x)）]的值域为(D )A.{0,-1} B.{-1,1} C.{0,1} D.{-1,0,1}小练习：条件同上已知函数f(x)=12x 2-x+1(0<x<3)，则函数y=[f(x)]的值域为(?){0,1,2}例6、定义：对于任何数a，符号[a]表示不大于a 的最大整数．加强练习一、选择题1、已知[]x 表示不超过实数x 的最大整数，()[]g x x =为取整函数，0x 是函数()ln 4f x x x =+-的零点，则()0g x =()A.4 B.5 C.2D.32、函数y=[]x 叫做“取整函数”，][][][2222log 1log 2log 3log 64⎡⎤+++⋯+⎣⎦的值为()A.21B.76C.264D.6423、某学校要召开学生代表大会，规定各班每10人推选一名代表，当各班人数除以10的余数大于6时再增选一名代表.那么，各班可推选代表人数y与该班人数x 之间的函数关系用取整函数[]y x =（[]x 表示不大于x 的最大整数）可以表示为（）4、我们定义函数[]y x =（[]x 表示不大于x 的最大整数）为“下整函数”，定义函数{}y x =（{}x 表示不小于x 的最小整数）为“上整函数”，例如[4.3]4=，[5]5=；{4.3}5=，{5}5=.某停车场收费标准为每小时2元，即不超过1小时（包括1小时）收费2元，超过一小时，不超过2小时（包括2小时）收费4元，以此类推.若李刚停车时间为x 小时，则李刚应付费（单位：元）()A.2[1]x + B.2([]1)x + C.2{}x D.{2}x6、已知[]y x =为高斯函数，令函数()[]f x x x =-，以下结论正确的有()A.()2.30.7f -= B.()f x 为奇函数 C.()()1f x f x += D.()f x 的值域为[]0,17、[]y x =高斯函数，人们更习惯称之为“取整函数”.则下列命题中正确的是()A.[1,0]x ∀∈-，[]1x =-B.x ∃∈R ，[]1x x ≥+C.,x y ∀∈R ，[][][]x y x y +≤+ D.函数[]()y x x x =-∈R 的值域为[0,1)8、对x ∀∈R ,[]x 表示不超过x 的最大整数.十八世纪,[]y x =被“数学王子”高斯采用,因此得名为高斯函数,人们更习惯称为“取整函数”,则下列命题中的真命题是()A.x ∃∈R ,[]1x x ≥+B.x ∀,y ∈R ,[][][]x y x y +≤+ C.函数[]()y x x x =-∈R 的值域为[)0,1D.若t ∃∈R ,使得31t ⎡⎤=⎣⎦,42t ⎡⎤=⎣⎦,53t ⎡⎤=⋯⎣⎦,2n t n ⎡⎤=-⎣⎦同时成立,则正整数n 的最大值是5三、填空题9、由“不超过x 的最大整数”这一关系所确定的函数称为取整函数，通常记为[]y x =，例如[][]1.210.31=-=-，，则函数[][)21,1,3y x x =+∈-的值域为_________________.10、取整函数y=[x]，x∈R 称为高斯函数，其中[x]表示不超过x 的最大整数，如[1.1]=1，[-1.1]=-2.则点集P={（x，y）|[x]2+[y]2=1]所表示的平面区域的面积是?4四、解答题10、已知[]x 表示不超过x 的最大整数，称为高斯取整函数，例如[3.4]3=，[ 4.2]5-=-，不等式213x ≤+<的解集为A ，不等式2230x x -≤的解集为B .(1)求A B ；(2)已知x A ∈，正数a ，b 满足[]a b x +=，求11a b+的最小值.11、已知函数()[]f x x =.(1)记()()2h x f x x =-，[)0,3x ∈，求()h x 的解析式，并在坐标系中作出函数()h x 的图像.(2)结合(1)中的图象，解不等式()1524h x <≤直接写出结果.(3)设()3131x x g x -=+，判断()g x 的奇偶性，并求函数()()()()2y f g x f g x =+-的值域.。
13 高斯过程(正态过程)
T 1 1 exp x m P x m 12 2 P
2
n2
1、高斯随机过程——定义
m1 x1 P11 m x P 2 2 21 m P x M L M P m x n1 n n
T
5、多维高斯随机矢量的边沿分布
1 T T ( ) exp ja v v Cv 2 T ，Xk 2， ，Xkm ] m n 子矢量 [Xk1
( v k1 , v k 2 ,
p( x k 1 , x k 2 , 1 T T , v km ) exp jak v k v k C k v k 2 1 T , xkm ) exp( jv （v k）dv k k x k ) m Rm ( 2 )
n 1 1 n 2 1 2 - xi dx 1 exp - xi dxi 1/ 2 Rn 2 n 2 exp R 2 2 k 1 i 1 2
1
3、n维高斯联合概率密度
协方差矩阵C为对称正定的，根据矩 阵论，存在可逆线性变换Ｌ使得：
(2) n p x dx 1
R
3、 n维高斯联合概率密度
先看n元完全独立高斯随机变量 1 1 T -1 p x exp - (x - a) C (x - a) 12 n2 2 2 C
a 0, 1
C In
1 n 2 p x exp - xi n2 2 k 1 2
X为高斯分布的随机矢量，X1和X2
为两个子矢量，其协方差矩阵
P11 P P21 P12 P22
通信原理辅导及习题解析
通信原理辅导及习题解析（第六版）第3章随机过程本章知识结构及内容小结[本章知识结构][知识要点与考点]1． 随机过程的基本概念 （1）随机过程的定义随机过程可从样本函数与随机变量两种角度定义。
第一，随机过程是所有样本函数的集合；第二，随机过程可以看作实在时间进程中处于不同时刻的随机变量的集合。
（2）随机过程的分布函数 ① n 维分布函数12121122(,,,;,,,){(),(),,()}n n n n n F x x x t t t P t x t x t x ξξξ=≤≤≤② n 维概率密度函数1212121212(,,,;,,,)(,,,;,,,),,,n n n n n n nF x x x t t t f x x x t t t x x x ∂=∂∂∂维数n 越大，对随机过程统计特征的描述就越充分。
（3）随机过程的数字特征 ① 均值（数学期望）1[()](,)()E t xf x t dx a t ξ∞-∞==⎰均值表示随机过程的样本函数曲线的摆动中心。
② 方差2222[()]{()[()]}[()]()()D t E t E t E t a t t ξξξξσ=-=-=方差表示随机过程在时刻t 相对于均值的偏离程度。
③自相关函数1212(,)[()()]R t t E t t ξξ=自相关函数目的是为了衡量在任意两个时刻上获得的随机变量之间的关联程度。
④协方差函数1211221212(,){[()()][()()]}(,)()()B t t E t a t t a t R t t a t a t ξξ=--=-协方差函数对随机过程在任意两个时刻上的随机变量与各自均值的差值之间的相关联程度进行描述。
⑤互相关函数,1212(,)[()()]R t t E t t ξηξη=互相关函数用来衡量两个随机过程之间的相关程度。
2． 平稳随机过程 （1）定义 ①严平稳随机过程若一个随机过程()t ξ的任意有限维分布函数与时间起点无关，则称为严平稳的，即：()()12121212,,,,,,,,,,n n n n n n f x x x t t t f x x x t t t =+∆+∆+∆②宽平稳随机过程若一个随机过程()t ξ的均值为常数，自相关函数仅于时间间隔21t t τ=-有关，则称为宽平稳，即：()()()12, ,E t a R t t R ξτ==⎡⎤⎣⎦（2）各态历经性若随机过程的任一实现，经历了随机过程的所有可能状态，则称其是各态历经的，即随机过程的数字特征，可以由其任一实现(样本函数)的数字特征来代表。
思考题及作业解答
思考题习题解答第1章 绪论（ 思考题 ）1–2 何为数字信号？何为模拟信号？答：如果电信号的参量仅可能取有限个值，则称之为数字信号。
如果电信号的参量取值连续（不可数、无穷多），则称之为模拟信号。
1–3 何为数字通信？数字通信有哪些优缺点？答：利用数字信号来传递信息的通信称之为数字通信。
数字通信的优点及缺点如下：优点：抗干扰能力强，且噪声不积累；传输差错可控；便于处理、变换、存储；便于将来自不同信源的信号综合到一起传输；易于集成，使通信设备微型化，重量轻；易于加密处理，且保密性好。
缺点：需要较大的传输带宽；对同步要求高。
1–9 按数字信号码元的排列顺序可分为哪两种通信方式？它们的适用场合及特点？答：按数字信号码元的排列顺序可分为并行传输和串行传输两种通信方式。
并行传输只适用于设备之间的近距离通信。
其优点是节省传输时间，速度快；不需要字符同步措施。
缺点是需要 n 条通信线路，成本高。
串行传输适用于远距离数字传输。
其优点是只需一条通信信道，节省线路铺设费用。
缺点是速度慢，需要外加码组或字符同步措施。
1–11 衡量数字通信系统有效性和可靠性的性能指标有哪些？答：衡量数字通信系统有效性的性能指标有：码元传输速率R B 、信息传输速率R b 、频带利用率η。
衡量数字通信系统可靠性的性能指标有：误码率P e 和误信（比特）率P b 。
1–12 何谓码元速率和信息速率？它们之间的关系如何？答：码元速率R B 是指单位时间（每秒）传送码元的数目，单位为波特（Baud ，B ）。
信息速率R b 是指单位时间内传递的平均信息量或比特数，单位为比特/秒（b/s 或bps ）。
码元速率和信息速率的关系： 或 其中 M 为M 进制（M ＝2 k ，k = 1, 2, 3, …）。
1–13 何谓误码率和误信率？它们之间的关系如何？答：误码率P e 是指错误接收的码元数在传输总码元数中所占的比例。
误信率P b 是指错误接收的比特数在传输总比特数中所占的比例。
通原简答题
第三章1.何谓随机过程它具有什么特点答：随机过程是所有样本函数的集合，是在时间进程中处于不同时刻的随机变量的集合。
特点：1.不能用确切的时间函数描述2.具有随机性，每个样本函数都是一个确定的数值，但是都不可预知2.随机过程的数字特征主要有哪些分别表征随机过程的什么特性答：1.均值（数学期望）：表示随机过程的n个样本函数曲线的摆动中心。
2.方差：表示随机过程在t时刻相对于均值的偏离程度。
3.相关函数：衡量随机过程在任意两个时刻获得的随机变量之间的关联程度。
3.何谓严平稳何谓广义平稳它们之间关系如何答：若一个随机过程的统计特性与时间起点无关，则称其为严平稳过程。
若过程的均值是常数且自相关函数只与时间间隔有关，则为广义平稳过程。
若一个过程是严平稳的，则它必是广义平稳的，反之不一定成立。
4.平稳过程的自相关函数有哪些性质它与功率谱密度的关系如何答：偶函数；R（0）等于平均功率且为最大值。
功率谱密度是自相关函数的傅里叶变换。
5.什么是高斯过程其主要性质有哪些答：如果随机过程的任意n维分布均服从正态分布，则称它为正态过程或高斯过程。
性质：1.高斯过程的n维分布只依赖各个随机过程的均值，方差和归一化协方差。
2.广义平稳的高斯过程也是严平稳的。
3.如果高斯过程在不同时刻的取值是不相关的，那么她们也是统计独立的。
4.高斯过程经过线性变换后的过程仍是高斯过程。
6.高斯随机变量的分布函数与Q(X)以及erf(x)函数的关系如何如何求输出过程的均值和自相关函数答：7.随机过程通过线性系统时，输出与输入功率谱密度的关系如何如何求输出过程的均值和自相关函数答：8.什么是窄带随机过程它的频谱和时间波形有什么特点答：若随机过X(t)的谱密度集中在中心频率f附近相对窄的频带范围内且f远离0频率，则成为窄带随机过程。
窄带随机过程的一个样本的波形如同一个包络和相位随机缓变的正弦波。
9.窄带高斯过程的包络和相位分别服从什么概率分布答：包络服从瑞利分布；相位服从均匀分布。
思考题2
1. 分别说明能量信号和功率信号的特征？ （1）能量信号：信号的能量是一个有限值。 （2 ） 功率信号： 能量无穷大， 但平均功率是一个有限值。 2. 自相关函数有哪些性质？ （1）偶函数。
（2）零点值等于信号的能量或功率。 （3）其傅里叶变换等于能量谱或功率谱。 3. 何谓随机过程？它具有什么特点？ 随时间作随机变化的过程，不能用确切的时间函数描述。 可看成样本函数的集合或者不同时刻随机变量的集合。 4. 随机过程的数字特征主要有哪些？分别表征随机过程的 什么特征？ （1 ） 数学期望： 表示随机过程 n 个样本函数的摆动中心。 （2）方差：表示随机过程在时刻 t 相对于平均值的偏离 程度。 （3）相关函数：衡量随机过程在任意两个时刻上获得的 随机变量之间的关联程度。 5. 何谓严平稳？何谓广义平稳？它们之间的关系如何？ 严平稳随机过程： 一个随机过程的任意有限维分布函数与 时间起点无关。 广义平稳过程：满足以下两个条件的随机过程：随机过 程的均值与时间无关，为常数。自相关函数只与时间间隔 有关。 严平稳随机过程必定是广义平稳的，反之不一定成立。 6. 什么是高斯过程？其主要性质有哪些？ 随机过程的任意有限维分布均服从正态（高斯）分布，则 称为正态（高斯）过程。
高斯过程的主要性质有： （1）对于高斯过程，只需要研究其数字特征即可。 （2）广义平稳的高斯过程也是严平稳的。 （3）高斯过程经过线性系统后的输出仍是高斯过程。 6. 高斯随机变量的分布函数与 Q(x)函数和 erf(x)函数的关系 如何？
F (x ) 1 1 Q 1 x erf 2 x a a 2 1 1 x erfc 2 a 2
缓慢变化的正弦波。 9. 窄带高斯过程的同相分量和正交分量的统计特性如何？ 一个均值为 0 的窄带平稳高斯过程， 其同相分量和正交分 量同样是平稳高斯过程，均值也为 0，方程也相同。在同一 时刻二者是统计独立的。
现代通信原理课后思考题答案
第一章1、什么是数字信号和模拟信号，俩者的区别是什么？凡信号参量的取值连续（不可数，无穷多），则称为模拟信号。
凡信号参量只可能取有限个值，则称为数字信号。
区别在于信号参量的取值2、何谓数字通信，简述数字通信系统的主要优缺点数字通信系统是利用数字信号来传递信息的通信系统。
优点：抗干扰能力强、差错可控、易于与各种数字终端接口、易于集成化、易于加密处理。
缺点：占用频带宽，需要同步3（1）、画出数字通信系统的一般模型，简述各方框的主要功能1) 信源编码与译码数据压缩（减少码元数目和降低码元速率），减小传输带宽，提高通信的有效性。
模/数转换，当信息源给出的是模拟语音信号时，信源编码器将其转换成数字信号，以实现模拟信号的数字传输。
2）信道编码与译码通过加入监督码元（纠错/检错）提高通信的可靠性。
3）加密与解密通过加扰保证所传信息的安全性。
4）数字调制与解调把数字基带信号转换成适合信道传输的频带信号。
3（2）、画出模拟通信系统的一般模型3、（3）画出通信系统的一般模型，简述各方框的主要功能信息源：把各种消息转换成原始电信号。
发送设备：将信源和信道匹配起来。
接收设备：放大和反变换，其目的是从受到干扰和减损的接收信号中正确恢复出原始电信号。
受信者：将复原的原始电信号还原成相应信息。
4、在数字通信系统中，其可靠性和有效性指的是什么，各有哪些重要指标？有效性——传输速率（传码率、传信率，频带利用率）可靠性——差错率（误码率、误信率）5、按信号的流向和时间分类，通信方式有哪些单工、半双工、全双工6、何谓码元速率和信息速率他们之间的关系如何单位时间内传输码元的数目，单位时间内传递的平均信息量或比特数。
Rb=RB·H(b/s)第二章1、什么是随机过程，它具有哪些基本特征？无穷多个样本函数的总体叫随机过程。
其一，他是时间函数；其二，在固定的某一观察时刻t1，s（t1）是一个不含t变化的随机变量2、随机过程的期望、方差和自相关函数描述了随机过程的什么性质？期望表示随机过程的n个样本函数曲线的摆动中心。
通信原理(第七版)思考题及答案
第一章绪论1．以无线广播和电视为例，说明图1-3模型中的信息源，受信者及信道包含的具体内容是什么在无线电广播中，信息源包括的具体内容为从声音转换而成的原始电信号，收信者中包括的具体内容就是从复原的原始电信号转换乘的声音；在电视系统中，信息源的具体内容为从影像转换而成的电信号。
收信者中包括的具体内容就是从复原的原始电信号转换成的影像；二者信道中包括的具体内容分别是载有声音和影像的无线电波2．何谓数字信号，何谓模拟信号，两者的根本区别是什么数字信号指电信号的参量仅可能取有限个值；模拟信号指电信号的参量可以取连续值。
他们的区别在于电信号参量的取值是连续的还是离散可数的3．何谓数字通信，数字通信有哪些优缺点传输数字信号的通信系统统称为数字通信系统；优缺点：1.抗干扰能力强；2.传输差错可以控制；3.便于加密处理，信息传输的安全性和保密性越来越重要，数字通信的加密处理比模拟通信容易的多，以话音信号为例，经过数字变换后的信号可用简单的数字逻辑运算进行加密，解密处理；4.便于存储、处理和交换；数字通信的信号形式和计算机所用的信号一致，都是二进制代码，因此便于与计算机联网，也便于用计算机对数字信号进行存储，处理和交换，可使通信网的管理，维护实现自动化，智能化；5.设备便于集成化、微机化。
数字通信采用时分多路复用，不需要体积较大的滤波器。
设备中大部分电路是数字电路，可用大规模和超大规模集成电路实现，因此体积小，功耗低；6.便于构成综合数字网和综合业务数字网。
采用数字传输方式，可以通过程控数字交换设备进行数字交换，以实现传输和交换的综合。
另外，电话业务和各种非话务业务都可以实现数字化，构成综合业务数字网；缺点：占用信道频带较宽。
一路模拟电话的频带为4KHZ带宽，一路数字电话约占64KHZ。
4．数字通信系统的一般模型中的各组成部分的主要功能是什么数字通行系统的模型见图1-4所示。
其中信源编码与译码功能是提高信息传输的有效性和进行模数转换；信道编码和译码功能是增强数字信号的抗干扰能力；加密与解密的功能是保证传输信息的安全；数字调制和解调功能是把数字基带信号搬移到高频处以便在信道中传输；同步的功能是在首发双方时间上保持一致，保证数字通信系统的有序，准确和可靠的工作。
通信原理思考题答案
第一章1-3 何谓数字通信数字通信有哪些优缺点数字通信即通过数字信号传输的通信。
数字通信具有以下特点：（1）传输的信号是离散式的或数字的；（2）强调已调参数与基带信号之间的一一对应；（3）抗干扰能力强，因为数字信号可以再生，从而消除噪声积累；（4）传输差错可以控制；（5）便于使用现代数字信号处理技术对数字信号进行处理；（6）便于加密，可靠性高；（7）便于实现各种信息的综合传输。
缺点：一般需要较大的传输带宽。
1-4数字通信系统的一般模型中各组成部分的主要功能是什么（1）信息源：把各种消息转换成原始电信号。
（2）信源编码：一是提高信息传输的有效性，二是完成模/数转换。
（3）加密：保证所传信息的安全。
（4）信道编码：增强数字信号的抗干扰能力。
（5）数字调制：把数字基带信号的频谱搬移到高频处，形成适合在信道中传输的带通信号。
（6）信道是用来将来自发送设备的信号传送到接收端。
（7）解调：在接收端可以采用相干解调或非相干解调还原数字基带信号。
（8）信道译码：接收端的信道译码器按相应的逆规则进行解码，从中发现错误或纠正错误，提高通信系统的可靠性。
（9）解密：在接收端利用与发送端相同的密码复制品对收到的数字序列进行解密，恢复原来信息。
（10）信源译码：是信源编码的逆过程。
（11）受信者：是接受消息的目的地，其功能与信源相反，即把原始电信号还原成相应的消息。
1-5按调制方式，通信系统如何分类按调制方式，可将通信系统分为基带传输系统和带通传输（频带或调制）系统。
基带传输是将未经调制的信号直接传送，如音频室内电话；带通传输是对各种信号调制后传输的总称。
1-8单工,半双工及全双工通信方式是按什么标准分类的解释它们的工作方式并举例说明。
按消息传递的方向与时间关系来分类。
（1）单工通信，是指消息只能单方向传输的工作方式。
如：广播，遥控，无线寻呼等例子。
（2）半双工通信，指通信双方都能收发消息，但不能同时进行收和发的工作方式。
03第三讲：高斯过程、窄带过程
为是白噪声
物理意义：表明该随机过程上任何两个随
2、自相关函数
机变量之间都是不相关的，只有当τ＝0时 例外
白噪声的功率谱密度(a)和自相关函数 (b)
3、限带白噪声
限带白噪声概念：白噪声被限制在（f1,f2）之内，即在该频率 区上功率谱密度Pn(ω)＝ n0/2，而在该区间之外Pn(ω)＝0，则
这样的白噪声被称为限带白噪声
常见的限带白噪声有两种： a.理想低通型白噪声 b.理想带通型白噪声
理想低通白噪声：
概念：就是白噪声经过理想低通滤波器。
H(ω)为滤波器的系统函数
限带白噪声的自相关函数为
由R(τ)可见，若以1/(2f0)
的时间间隔对理想低通型
白噪声n(t) 进行抽样，则
噪声的样值之间是不相关
的
理想白噪声和限带白噪声的相关函数与谱密度
已知：
求： 解：先求反函数
利用概率论中的边际分布知识，aξ的概率密度函数
结论：aξ服从瑞利分布。
瑞利分布的特点：最大值发生在aξ＝σξ处。
要想计算误码率，必须知道抽样判决前信号和噪声的pdf，而噪声的pdf则为 上式。 aξ概率分布的用途：在数据通信系统中用来求解误码率。如2ASK的非相干 接收，接收机结构如图2.6-4所示。
为了能够借助于数表(误差函数表，概率积分表) 来计算高斯分布 ,需要引入概率积分函数或者误 差函数(互补误差函数)
误差函数的定义： erf (x) 2 x ez2 dz
0
互补误差函数的定义： erfc (x) 1 erf (x)
2
ez2 dz
x
概率积分函数：F (x) 1 x exp[ (z a)2 ]dz ((x a))
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所以由 （２ 式有 ． （） ０ 同理可证当 （） Ｒ上非降时有 ． ０ １） 厂 ； 在 厂 ） ． （ 当 ｈ５ 为偶函数时， （） 知 ” ） （ 也为偶函数． ０ 若 ＾ （） Ｖ ｘ ， ” 非增， 则
ＡＭ Ｓ ２ ０ １ｓ ｂ ｅ ｔｃａ ｓｆ ａ ｉ ｎ ３ ０ （ ０ ０ ｕ ｊｃ ｌｓ ｉ ｃ ｔｏ ：９ Ｅ２ ｉ
（） ３
． 一 。 ） 厂 去，） （ （ ＝ ） （
（） ４
（ ） （） ｉ ／ｘ 三次连续可导． ｈｘ 为奇函数时， ｉ ｉ 当 （） 如果 ” ） （ 非增， ． ） ０如果 （） ｚ 则 厂 ； ｘ 非降， ， ｘ ０ 则 ） ．当 ｈｘ 为偶函数时， ０ 如果 （） （） Ｖ ｘ ， 非增， ， ） ０ 如果 （） 则 ｘ ； 非降， ， ｘ ０ 则 ） ．
（ｉ对 （） 两边 求导 ， ｉ） ｉ ９式 得
， ） 砉（． 一ｈ ） ＝ ２， ２ ） ）
所以 ． 三次连续可导，（） 厂 ） （ ．ｚ 也是四次连续可导的． （ 式和 （０ 式有 厂 由 ２ ） １）
Ｐ ｏ ｏ
， ） （ ｅ ｔ （ ＋ 出 ＝Ｅ／ －ｈ ａ 一 托））
２ 主要 结 果
在本文 的定理 证 明中会用 到如 下引理 ：
引理
。。
… ｅ
。
。
徐州师范大学重点基金 （９ Ｌ ０） ０Ｘ Ａ ２ 和徐州师范大学研究生科研创新计划基金资助 （ １Ｙ Ｂ ２０ ２ ０ Ｌ ０２ ） ０
收稿 日期： ０ ００ —２ 修 回日期： ０ １０ —９ ２ １ ．６２ ； ２ １—５０ ．
ｅ－ ２ａ －
．
定理 设 高斯过 程 Ｘｔ Ⅳ（ ，２）其 中 、 均 为常数 ， ａｔ， 且 ＞０ ｈｘ 为 Ｒ 上二 次连续 ， （） 可导 函数 且 ＾ （） ” 有界 ． Ｖ ∈Ｒ， 记 ， ： Ｅ 。 （） 。 ｅ。 ｘ ＃ ＋ ） ， 一 （ － ｔ ｄ
Ｐ ｏ ｏ
， ） （ ） （／ｅ （ ＋ｔ） ＝ ） Ｅ０ 一 ｔＸｄ （ ， — ） （： ｔ
＝
（
（ 一 ∥（
ｅ 一 ＋ ｆ ｈ（ ｊ ／
ｘ
￣
一
＝
¨ 。 。
… ）
：
刍 （ ） … 。 （ 净 ＋。
Ｊ（ ，ｚ 一２ （） － ２ （） ） ，
Ｊ０ Ｊ０
＝ ｅ一２ Ｑ口
Ｏ ０
Ｃ （ｘ 鲁。 －ｏ － ） ￣ ｄ
ｆ
、
一
ｌ
Ｚ
一２ ￣ｄ Ｖ＋￣ －（ ／ ４ 仁（ ｕ ａ ｕ ＋ｕ ２ ２
ｌ
：
ｅ２ ＿ｆ ａｆ ｌ
—
ｏｏ
’
ｚ
（ ＋ ‘ｕ２ ＋４ ｆ）一 １ Ｖ／ ａ ｅ ｔ
。。
Ｉ
＝
２
：
ｉ卢 ｄｆ ｅ ｄ （ ｅ ｕ＿ － ／ － ＋－ ｕ ） ２￣ ｘ ２ … ￣ｕ
所 以由 （２ 式有 ． ０ 同理可证当 （） １） 厂 ） ； （ ” 非降时， ， ０ 有 （） ．
当 ０时 ， 由对称 性可得 相 应的结 果． 上证 得 所有结论 ． 综
感谢审稿人对本文提出的宝贵意见！
参
考
文 献
［ 钱敏平， １ 】 龚光鲁． 随机过程论． ２版． 第 北京： 北京大学出版社， ９ ， ６＿０ １ ７ １４２ ２ ９ 【 ２ ］劳斯 Ｓ 随机过程论． Ｍ． 何声武， 北京： 译． 中国统计出版社， ９， １’ ２ １ ７ ２３２ － ９ ５
出
ｅ ａ（ －ｔ
） 。 一 一 （ １ｅ 。
＝
＝
仁 ｅ２ ｄ ｃ …＿ 札 。 。
争 … （ ＋ 。 。 … ）
，
＝
＝
（） ５
所 以有 （ （
＝
钆＋ ｅ ¨ 。 。 ｅ 萼
… ） ｕ ） （） ６
“ ）
ｅ 一
㈣
＝
（
还 （ ＋ …
札ｅ ￣（ Ｘ ｕ ）－一 ￣ ） ） －ｄ
：
去／ （． 一
。 萼 。
（ ８ ）
第２ 期
垂笋： 高斯过程的一个性质
比较 （） ７ 式与 （） ， ８ 式 即可证 得 （） ２ 式
） Ｏ ＝Ｅ ０ ｅ ～ （ －＃ ＋ ｘ ｔ 对 （） ３ 式的证 明， 利用 （） ２ 式
若 ｈｘ 为 奇函数 ， （） 比较 （） ５ 式与 （） ， 有 ６式 则
，一 ） ， ） （ ＝一 （ ， 即 ，ｚ 也为奇函数； ＾ ） （） 若 （ 为偶函数， 比较 （ 式与 （ 式， ５ ） ６ ） 则有 ．一 ） 厂 ）即 ． 也为 厂 ＝ｔｚ， 厂 ） （ （ （ 偶函数； 从而证得了 ｆｘ 与 ｈｘ 具有相同的奇偶性． （） （） （） ｘ∈Ｒ 对 （ 式求导得 ｉＶ ｉ ， ５ ）
） 击一 （ （ （ ＋。（ 一 ” ＝（ 一 － 一 。 ｚ 乎ｄ ｕ ＋ ｄ） Ｕ ） 击 （ （ ｍ 。 （ ）￣ｖ 。… ｅ Ｖ －ｄ ） 击 。 ＋ （ Ｕ 。 ） ， （ １ ２ ）
＝ ＝
当 ｈ５ 为奇函数时， （） （） ｈ 也为奇函数． ” 若 （） Ｒ上非增， 在 则有
Ａ ｂｓ ｒ ｃ Ｇｕ ｓ ｏ ｅ ｓ ｉ ｎ ｆｔ ｅ ｍ ａ ｎ ｒ ｓ ａ ｃ ｎ ｐ ｏ ｂ ｌ ｙ ａ ｄ ｓ ｏ ｈ ｓ ｉ ｏ ｅ ｓｗｈ ｃ ａ ｔａｔ ａ ｓ Ｐｒ ｃ ｓ ｓｏ ｅ ｏ ｈ ｉ ｅ ｅ ｒ ｈ ｉ ｒ ｂａ ｉ ｔ ｎ ｔ ｃ ａ ｔｃ ｐｒ ｃ ｓ ， ｉ ｈ ｈ ｉ ｓ ｉ ｐ ｒ ａ ｔａ ｐ ｉａ ｉ ｎ ｉ ｔ ｃ ａ ｔ ｃ ａ ａ ｙ ｉ ａ ｄ ｓ ｏ ｈ ｓ ｉ ｏ ｔ ｏ ｒ ｂ ｅ ｓ ｎ ｔ ｉ ａ ｅ ， ｏ ｓ ｒ ｃ ｍ ｏ ｔ ｎ ｐ ｌ ｔｏ ｎ ｓ ｏ ｈ ｃ ｓ ｉ ｎ ｌ ｓｓ ｎ ｔ ｃ ａ ｔｃ ｃ ｎ ｒ ｌ ｏ ｌ ｍ ．Ｉ ｈ ｓｐ ｐ ｒ ｗｅ ｃ ｎ ｔ ｕ ｔ ｐ
１ 引 言
Ｂｏ ｎ运动作为一种物理现象， ｒｗ 有其深刻的实际背景； 作为一种随机过程， 在随机过程理 论中占有重要地位． 有关它的研究成果十分丰富， 并且至今仍在继续 ［ ２ 在随机分析和随机 １］ －， 控 制 中应用较 多 的有 Ｉ ｔ 式等 ． 应地有 关高斯 过程 的研 究 内容也 有很 多． ｏ公 相 本文就 是对高 斯 过程产生的预解算子进行讨论， 并给出相应的性质． 本文得到的二阶方程式 （ （） 在随机 见 ４ 式） 控制 问题 中有具体 的应 用．
０
１ （ ｅ 一
（） ｅ ￣ｕ ｄ ＋ｅ
（ ｕ ｅ
ｕ （１ １）
＝
．
（ 一
㈤ｅ
¨
。 ㈤ 。
… ） ，
２０ １
南京大学学报数学半年刊
２１ 年 １ 月 ０１ １
在 （１式右边第一式中令 ＝ ｕ 第二式中令 ｕ＝ｘ ｖ １） 一 ， ＋ 其中ｕ ０则有 Ｖ ， ∈Ｒ， ｖ — ， ｘ ＋ ｕ
南京大学学报数学半年刊 第２卷 第２ ８ 期
２ １年ｌ月 ０１ １
Ｊ ＯＵＲＮＡＬ ＯＦ ＮＡＮＪ ＮＧ Ｉ ＵＮＩ ＶＥＲＳ ＴＹ Ｉ
Ｖ０ ．２ ． １ ８ Ｎｏ ２ ． ＮＯ ，２ １ Ｖ． ０１
ＭＡ ＨＥ ＴＩ ＡＬ Ｂ ＱＵＡ Ｔ ＲＬ Ｔ ＭＡ Ｃ Ｉ Ｒ Ｅ Ｙ
ｔ ｅ ｒｓ ｌｅ ｔｏ ｅ ａ ｏ ｙ ｔ ｏ ｍ ａｉ ｆＧｕ ｓ ｒ ｃ ｓ ｎｄ ｏ ｔ ｉ ｈ ｏ ｒ ｓ ｎ ｉ ｇ ｎ ｔ ｒ ・ ｈ ｅ ｏｖ ｎ ｐ ｒ ｔ ｒｂ ｈｅｎ ｒ ｌ ｙ ｏ ａ ｓｐ ｏ ｅｓａ ｂ ａｎ ｔ ｅｃ ｒ ｅｐｏ ｄ ｎ ａ ｕ ｅ ｔ Ｋｅ ｙｗｏ ｄ Ｇｕ ｓｐ ｏ ｅｓ ｅ ｅ ｕ ｃ ｉｎ， ｅ ｏｖ ｎ ｐ ｒ ｔ ｒ ｒ ｓ ｓ ａ ｒ ｃ ｓ ， ｖ ｎ ｆ ｎ ｔｏ ｒ ｓｌ ｅ ｔｏ ｅ ａ ｏ
证明 （ ｉ ）由于 ｔ Ｎ（ｔａｔ， ｐ，２）其分 布 密度 函数为
ｐ ： １ ｅ （ 一 ）
，
∈ Ｒ
２８ ０
南京 大学 学报 数学半年 刊
２１ 年 １ 月 ０１ １
） ＝ 。ｅ （ 。一
ｃ￣
＝
九“
Ａ ＡＴＵ ＲＥ Ｆ Ｕ Ａ ＳＳ ＰＲ ｏ ＣＥＳＳ Ｎ ｏ Ｇ
ＷｕＱ ｎ ｙ ， Ｐ ｎ ｉｎ ｉ ｎ Ｓ ｎＳ ｉａ ｇ ｉｇ ｕ ａ ｇＴ ａ ｘａ ａ ｄ ｕ ｈｌ ｎ ｉ ｆｃ ｏ １ ｆ ｔｅ ｔ ａ Ｓ ｉ ｃｓ Ｘ ｚ ｏ ｏ ｍａ Ｕ ｉｅｓ ｙ ２ １ １ ， ｕ ｈ ｕＰ ） Ｓ ｈ ０ ｏ ｈ ｍａｉ ｌ ｃ ｎ ｅ， ｕ ｈ ｕＮ ｒ ｌ ｎｖ ｒｉ ， ２ １６ Ｘ ｚ ｏ ＲＣ Ｍａ ｃ ｅ ｔ
＝
… ）
，
（） １ ０
比较 （） ９ 式与 （０ 式， １） 即可证得 （） ３ 式 ， （） 。 ＝Ｅ 。 ｅｎ （ — ”ｘ－＃ ＋ ） ． ｔ ｄ
且 由 （） 可得 到 ９式
， 一 。 ） （ 丢，） （ ＝ ） （ ，
所 以 （） ４ 式得 证．
Ｅ— ａ ｌ ｍ ｉ ：ｗｑ ４ Ｑ１ ３ ｃ ｒ ； ｕ — ｌ ２ ｚ ｕ．ｄ ａ ｙ＿ ０ ６ ．ｏ ｎ ｓ ｎ ｓ６ ＠ｘ ｎ ｅ ｕ．ｎ
第２ 期
吴清 玉等 ： 高斯 过程 的一 个性 质
其 中 ＞０ ＞０ ，
证明
厂 ｅ２ 筹 ￣－ｘ ）一２ ｄ 。一 ｄ ＝ ｚ （ 鲁。 。 。 。２ 一 ａ ｅ －
ｉ当 Ｘ ｕ ０时， ） 有 ＋ｕ Ｘ—Ｖ ， ｈｐ ｔ ＋ｕ ｈ， （ ） ， —ｕ． （ ）
由 （２ 式可得 ｆ （） ０ １） ；