椭圆.题库

⑴经过点(30)P -，，(02)Q -，的椭圆的标准方程是 ； ⑵已知焦点坐标为(40)-，，(40)，，且6a =的椭圆方程是___________； ⑶焦点的坐标分别为(03)-，和(03)，，且过点16(3)5P ，的椭圆的方程．⑷已知椭圆的中心在原点，且经过点(30)P ，，3a b =，求椭圆的标准方程．【变式】 设A B ，是两个定点，且||2AB =，动点M 到A 点的距离是4，线段MB 的垂直平分线l 交MA 于点P ，求动点P 的轨迹方程．【例1】 ⑴椭圆22221x y a b +=和2222x y k a b+=(0)k >一定具有（ ）A ．相同的离心率B ．相同的焦点C ．相同的顶点D ．相同的长轴长⑵已知椭圆的中心在原点，长轴长为12，离心率为13，则椭圆的方程是____________．⑶若椭圆2212x y m+=的离心率为12，则m = ．⑷设椭圆22221(0)x y a b a b+=>>，F A ，分别是它的左焦点和右顶点，B 是它的短轴的一个端点，则ABF ∠等于________．【例2】 已知1F 、2F 是椭圆的两个焦点，过1F 且与椭圆长轴垂直的直线交椭圆于A 、B 两点，若2ABF ∆是正三角形，则这个椭圆的离心率是（ ）A B C D【变式】 （2009东城一模12）直线:220l x y -+=过椭圆的左焦点1F 和一个顶点B ，该椭圆的离心率为_________．【例3】 若椭圆22189x y k +=+的离心率12e =，则实数k 的值是．【变式】 （2008江苏12）在平面直角坐标系xOy 中，设椭圆22221(0)x y a b a b+=>>的焦距为2c ，以点O 为圆心，a 为半径作圆M ．若过点20a P c ⎛⎫⎪⎝⎭，作圆M 的两条切线互相垂直，则椭圆的离心率为 ．【变式】 （2008江西7）已知1F 、2F 是椭圆的两个焦点，满足120MF MF ⋅=的点M 总在椭圆内部，则椭圆离心率的取值范围是（ ）A ．(01)，B ．102⎛⎤⎥⎝⎦， C ．0⎛ ⎝⎭ D ．1⎫⎪⎪⎣⎭【例4】 求下列圆锥曲线的焦距与顶点坐标：①221128x y += ②221812x y +=【例5】 椭圆22221(0)x y a b a b+=>>的半焦距为c ，若直线2y x =与椭圆一个交点的横坐标恰为c ，椭圆的离心率为_________【例6】 已知圆O ：222x y +=交x 轴于,A B 两点，曲线C 是以AB 的椭圆，其左焦点为F ．若P 是圆O 上一点，连结PF ，过原点O 作直线PF 的垂线交直线2x =-于点Q ． ⑴求椭圆C 的标准方程； ⑵若点P 的坐标为(1,1)，求证：直线PQ 与圆O 相切．【变式】 ⑶试探究：当点P 在圆O 上运动时（不与,A B 重合），直线PQ 与圆O 是否保持相切的位置关系?若是，请证明；若不是，请说明理由．【例7】 若椭圆的对称轴在坐标轴上，两焦点与两短轴端点正好是正方形的四个顶点，又焦点到同侧1，求椭圆的方程．【变式】 已知常数0a >，向量(0)(10)c a i ==，，，．经过原点O 以c i λ+ 为方向向量的直线与经过定点(0)A a ，以2i c λ-为方向向量的直线相交于点P ，其中λ∈R ．试问：是否存在两个定点E F ，，使得||||PE PF +为定值．若存在，求出E F ，的坐标；若不存在，说明理由．【例8】 设椭圆22221(0)x y a b a b+=>>的离心率为12e =，右焦点为(0)F c ，，方程20ax bx c +-=的两个实根分别为1x 和2x ，则点12()P x x ，（ ） A ．必在圆222x y +=内 B ．必在圆222x y +=上 C ．必在圆222x y +=外D ．以上三种情形都有可能【例9】 设()P x y ，是椭圆2244x y +=上的一个动点，定点(10)M ，，则2||PM 的最大值是（ ） A ．23 Ｂ．1 C ．3 D ．9【变式】 点M 是椭圆2212516x y +=上一点，它到其中一个焦点1F 的距离为2，N 为1MF 的中点，O 表示原点，则||ON =（ ）A ．32B ．2C ．4D ．8【例10】 （2008全国Ⅰ15）在ABC △中，AB BC =，7cos 18B =-．若以A B ，为焦点的椭圆经过点C ，则该椭圆的离心率e = ．【例11】 ⑴点P 为椭圆22154x y +=上一点，以点P 以及焦点1F ，2F 为顶点的三角形的面积为1，则点P的坐标是______．⑵已知1F ，2F 是椭圆的两个焦点，过1F 且与椭圆长轴垂直的直线交椭圆于A B ，两点，若2ABF △是正三角形，则这个椭圆的离心率是_________．⑶（08江苏）在平面直角坐标系xOy 中，设椭圆22221(0)x y a b a b+=>>的焦距为2c ，以点O 为圆心，a 为半径作圆M ．若过点20a P c ⎛⎫⎪⎝⎭，作圆M 的两条切线互相垂直，则椭圆的离心率为 ．【变式】 已知1F ，2F 是椭圆的两个焦点，过1F 且与椭圆长轴垂直的直线交椭圆于A B ，两点，若2ABF ∆是正三角形，则这个椭圆的离心率是_________．【例12】 ⑴已知102，A ⎛⎫- ⎪⎝⎭，B 是圆221:()4(2F x y F -+=为圆心）上一动点，线段AB 的垂直平分线交BF 于P ，则动点P 的轨迹方程为 ．⑵（2009北京）椭圆22192x y +=的焦点为12，F F ，点P 在椭圆上．若14PF =，则2PF = ；12F PF ∠的大小为 ．【变式】 已知(32)，A ，(40)，F -，P 是椭圆221259x y +=上一点，则PA PF +的最大值为________．【变式】 （2009上海）已知1F 、2F 是椭圆2222:1x y C a b+=()0a b >>的两个焦点，P 为椭圆C 上一点，且12PF PF ⊥ ．若12PF F ∆的面积为9，则b = ．【变式】 （2006四川）如图，把椭圆2212516x y +=的长轴AB 分成8等份，过每个分点作x 轴的垂线交椭圆的上半部分于1234567，，，，，，P P P P P P P 七个点，F 是椭圆的左焦点，则1234567PF P F P F P F P F P F P F ++++++= ．【变式】 解【例13】 （2009北京崇文区一模）已知()0，F c 是椭圆()222210x y a b a b+=>>的右焦点，以坐标原点O 为圆心，a 为半径作圆P ，过F 垂直于x 轴的直线与圆P 交于，A B 两点，过点A 作圆P 的切线交x 轴于点M ．若直线l 过点M 且垂直于x 轴，则直线l 的方程为______________；若||||OA AM =，则椭圆的离心率等于_________．【例14】 设12F F ，分别是椭圆22221x y a b +=（0a b >>）的左、右焦点，若在直线2:a l x c=上存在P （其中c =，使线段1PF 的中垂线过点2F ，则椭圆离心率的取值范围是（ ）A ．0,⎛ ⎝⎦B ．0,⎛ ⎝⎦C ．,1⎫⎪⎪⎣⎭ D ．,1⎫⎪⎪⎣⎭【例15】 （2009金山一模）已知A 、B 分别是椭圆22221x y a b +=的左右两个焦点，O 为坐标原点，点1,P ⎛- ⎝⎭在椭圆上，线段PB 与y 轴的交点M 为线段PB 的中点． ⑴求椭圆的标准方程；⑵点C 是椭圆上异于长轴端点的任意一点，对于ABC ∆，求sin sin sin A BC+的值．【例16】 ⑴设F 是椭圆22176x y +=的右焦点，且椭圆上至少有21个不同的点(12321)，，，，i P i = ，使12321，，，，FP FP FP FP ，组成公差为d 的等差数列，则d 的取值范围为 ． ⑵（2009江苏）如图，在平面直角坐标系xOy 中，1212，，，A A B B 为椭圆22221(0)x y a b a b+=>>的四个顶点，F为其右焦点，直线12A B 与直线1B F 相交于点T ，线段OT 与椭圆的交点M 恰为线段OT 的中点，则该椭圆的离心率为 ___ ．【例17】 已知(20)A -，，(20)B ，，动点P 与A B ，两点连线的斜率分别为1k 和2k ，且满足12(01)k k t t =≠-，．⑴求动点P 的轨迹C 的方程；⑵当0t <时，C 的两个焦点为12F F ，，若曲线C 上存在点Q 使得12120FQF ∠=，求t 的取值范围．【例18】 设P 为椭圆2221x y a+=(1)a >短轴上的一个端点，Q 为椭圆上的一个动点，求PQ 的最大值【变式】 已知点P 在圆C ：22(4)1x y +-=上移动，Q 点在椭圆2214x y +=上移动，求PQ 的最大值．【变式】 已知椭圆22221(0)x y a b a b+=>>的左、右焦点分别为1F 、2F ，P 是椭圆上一点，1260F PF ∠=︒，设12PF PF λ=，⑴求椭圆离心率e 和λ的关系式；⑵设Q 是离心率最小的椭圆上的动点，若PQ的最大值为，求椭圆的方程．【例19】 椭圆22194x y +=的左、右焦点分别为1F 、2F ，点P 为其上的动点，当12F PF ∠为钝角时，点P横坐标的取值范围是_______．【变式】 设椭圆C ：22221(0)x y a b a b+=>>的左右焦点分别为12，F F ，若椭圆上存在一点Q ，使12120FQF ∠=︒，试求该椭圆的离心率e 的取值范围．【变式】 设椭圆C ：22221(0)x y a b a b+=>>的长轴两端点为A 、B ，若椭圆上存在一点Q ，使120AQB ∠=︒，试求该椭圆的离心率e 的取值范围．【例20】 （2007广东高考）在平面直角坐标系xOy 中，已知圆心在第二象限、半径为C 与直线y x =相切于坐标原点O ．椭圆22219x y a +=与圆C 的一个交点到椭圆两焦点的距离之和为10．⑴求圆C 的方程；⑵试探究圆C 上是否存在异于原点的点Q ，使Q 到椭圆右焦点F 的距离等于线段OF 的长．若存在，请求出点Q 的坐标；若不存在，请说明理由．【变式】 过椭圆C ：22221(0)y x a b a b+=>>上一点P 引圆O ：222x y b +=的两条切线PA 、PB ，切点为A 、B ，直线AB 与x 轴、y 轴分别相交于M 、N 两点⑴设00()，P x y ，且000x y ≠，求直线AB 的方程； ⑵若椭圆C 的短轴长为8，且222225||||16a b OM ON +=，求此椭圆的方程； ⑶试问椭圆C 上是否存在满足0PA PB ⋅=的点P ，说明理由．【例21】 已知，，A B C 均在椭圆222:1(1)x M y a a+=>上，直线AB 、AC 分别过椭圆的左右焦点1F 、2F ，当120AC F F ⋅= 时，有21219AF AF AF ⋅= ．⑴求椭圆M 的方程；22【例22】 （2008四川21）设椭圆22221x y a b+= (0)a b >>的左、右焦点分别为1F 、2F ，离心率e =， M 、N 是直线l ：2a x c=上的两个动点，且120F M F N ⋅= ．若12||||F M F N ==a 、b 的值．【变式】 接例题，证明：当||MN 取最小值时，12F M F N + 与12F F共线．【例23】 ⑴已知椭圆方程为221499x y +=中，12F F ，分别为它的两个焦点，则下列说法正确的有（ ）①焦点在x 轴上，其坐标为(70)±，； ②若椭圆上有一点P 到1F 的距离为10，则P 到2F 的距离为4；③焦点在y 轴上，其坐标为(0±，；④49a =，9b =，40c =．A ．0个B ．1个C ．2个D ．3个⑵求过椭圆22142x y +=的一个焦点1F 的弦AB 与另一个焦点2F 围成的三角形2ABF ∆的周长是 ．【例24】 已知椭圆的焦点在x 轴上，焦距为8，焦点到相应的长轴顶点的距离为1，则椭圆的标准方程为（ ）A ．221259x y +=B ．221259y x +=C ．22179y x +=D ．22179x y +=【例25】 （2008浙江12）已知1F 、2F 为椭圆221259x y +=的两个焦点，过1F 的直线交椭圆于A 、B 两点，若2212F A F B +=，则AB =________．【例26】 若椭圆满足条件2a =，12e =，则椭圆的标准方程为【例27】 （2009东城一模5）已知22212x y m m+=+表示焦点在x 轴上的椭圆，则m 的取值范围是（ ）A ．2m >或1m <-B ．2m >-C ．12m -<<D ．2m >或21m -<<-【例28】 设椭圆222211x y m m +=-(1)m >上一点P 到其左焦点的距离为3，到右焦点的距离为1，则P 到椭圆的中心的距离为（ ）A ．1B ．2C ．3 D【例29】 椭圆223721x y +=上有一点P 到两个焦点的连线互相垂直，则P 点的坐标是 ．【例30】 椭圆221925x y +=上的一点P 到两焦点的距离的乘积为m ，则当m 取最大值时，点P 的坐标是___________．【例31】 设12F F ，为椭圆22143x y +=左、右焦点，过椭圆中心任作一条直线与椭圆交于P Q ，两点，当四边形12PFQF 面积最大时，12PF PF ⋅的值等于______．【例32】 ⑴写出焦点在y 轴上，离心率为23，长轴长为6的椭圆的标准方程，并求出它的焦点坐标、顶点坐标和长轴长；⑵如果椭圆的短轴端点与两焦点的连线互相垂直，那么它的离心率e = ．【例33】 （08浙江）已知1F 、2F 为椭圆221259x y +=的两个焦点，过1F 的直线交椭圆于A 、B 两点，若2212F A F B +=，则AB =________．【例34】点P为椭圆22154x y+=在第一象限内的一点，以点P以及焦点1F，2F为顶点的三角形的面积为1，则点P的坐标是______．【例35】已知椭圆的焦点在x轴上，中心在原点，长轴与短轴之和为20，焦距为方程为____________．【例36】椭圆22221x ya b+=和2222(0)x yk ka b+=>具有（）A．相同的离心率B．相同的焦点C．相同的顶点D．相同的长、短轴【例37】若椭圆22189x yk+=+的离心率为12e=，则k的值等于．【例38】求椭圆2211625x y+=的焦距、顶点坐标【例39】（2009广东）巳知椭圆G的中心在坐标原点，长轴在x，且G上一点到G的两个焦点的距离之和为12，则椭圆G的方程为．【例40】（2009丰台区一模）在平面直角坐标系xOy中，已知△ABC顶点(20)，B-和(20)，C，顶点A在椭圆221 1612x y+=上，则sin sinsinB CA+=．【例41】已知P是椭圆2244x y+=上一点，则P到点(10)M，的最大值为____．【例42】椭圆有这样的光学性质：从椭圆的一个焦点出发的光线，经椭圆反射后，反射光线经过椭圆距为2c ，静放在点A 的小球（小球的半径不计），从点A 沿直线出发，经椭圆壁反弹后第一次回到点A 时，小球经过的路程是（ ） A ．4a B ．()2a c - C ．()2a c +D ．以上答案均有可能【例43】 （2009江西卷理）过椭圆22221(0)x y a b a b+=>>的左焦点1F 作x 轴的垂线交椭圆于点P ，2F 为右焦点，若1260°F PF ∠=，则椭圆的离心率为（ ）ABC ．12D ．13【例44】 已知椭圆22221x y a b+=的左、右焦点分别为1F 、2F ，且12||2F F c =，点A 在椭圆上，1120AF F F ⋅= ，212AF AF c ⋅= ，则椭圆的离心率e =（ ）ABCD【例45】 设12F F ，为椭圆22194x y +=的两个焦点，P 在椭圆上，已知12P F F ，，是一个直角三角形的三个顶点，且12||||PF PF >，求12||||PF PF 的值．【例46】 已知P 是以12，F F 为焦点的椭圆22221(0)x y a b a b+=>>上的一点，若120PF PF ⋅= ，121tan 2PF F ∠=，则此椭圆的的离心率为（ ）A ．12B ．23C ．13D【例47】 已知椭圆2215x y m+=的离心率e =，则m 的值为（ ） A ．3 B ．253或3 CD【例48】 设12(0)(0)F c F c -，，，是椭圆22221(0)x y a b a b+=>>的两个焦点，P 是以12F F 为直径的圆与椭圆的一个交点，若12212PF F PF F ∠=∠，则椭圆的离心率等于________．【例49】 设椭圆22221(0)x y a b a b+=>>，F A ，分别是它的左焦点和右顶点，B 是它的短轴的一个端点，则ABF ∠等于 ．【例50】 椭圆的长轴为12A A ，B 为短轴的一个端点，若∠012120A BA =，则椭圆的离心率为（ ）A ．12B CD【例51】 ⑴ 设M 是椭圆22143x y +=上的动点，1A 和2A 分别是椭圆的左、右顶点，则12MA MA ⋅ 的最小值等于 ．⑵ 椭圆22221(0)x y a b a b+=>>的四个顶点为A 、B 、C 、D ，若四边形ABCD 的内切圆恰好过椭圆的焦点，则椭圆的离心率是（ ）A B C D【例52】 已知P 是以12,F F 为焦点的椭圆22221(0)x y a b a b+=>>上的一点，若120PF PF ⋅= ，121tan 2PF F ∠=，则此椭圆的的离心率为（ ）A ．12B ．23C ．13D【例53】 ⑴ 在椭圆221259x y +=上求一点，使它到两焦点的距离之积为16．⑵ 已知1F 、2F 是椭圆的两个焦点，P 为椭圆上一点，1260F PF ∠=°，椭圆的短半轴长为b =则三角形12PF F △的面积为______⑶ 椭圆上一点A 看两焦点的视角为直角，设1AF 的延长线交椭圆于B ，又2||||A B A F =，则椭圆的离心率e =（ ）A ．2-+B C 1 D【例54】 （2009上海9）已知1F 、2F 是椭圆2222:1x y C a b+=()0a b >>的两个焦点，P 为椭圆C 上一点，且12PF PF ⊥ ．若12PF F ∆的面积为9，则b =______．【例55】 离心率为45的椭圆()222210x y C a b a b+=>>∶上有一点M 到椭圆两焦点的距离和为10，以椭圆C 的右焦点()0F c ，为圆心，短轴长为直径的圆有切线PT （T 为切点），且点P 满足PT PB=（B 为椭圆C 的上顶点）．⑴求椭圆的方程；⑵求点P 所在的直线方程l ．【例56】 如图，点A 、B 分别是椭圆2213620x y +=长轴的左、右端点，点F 是椭圆的右焦点，点P 在椭圆上，且位于x 轴上方，PA PF ⊥． ⑴求点P 的坐标； ⑵设M 是椭圆长轴AB 上的一点，M 到直线AP 的距离等于MB ，求点M 的坐标． ⑶求椭圆上的点到点M 的距离d 的最小值．【例57】 已知椭圆221(0)x y m n m n+=>>上一点(68)，P ，1F 、2F 为椭圆的两个焦点，且12PF PF ⊥，求椭圆的方程．【例58】 设AB 是过椭圆22221(1)x y a b a b+=>>中心的弦，椭圆的左焦点为1(0)，F c -，则1F AB ∆的面积的最大值为_________．【例59】 已知P 为椭圆221259x y +=上动点，F 为椭圆的右焦点，点A 的坐标为(31)，，则||||P F P A +的最小值为（ ）A ．10+B ．10C ．10+D ．10-【例60】 设椭圆C ：22221(0)x y a b a b+=>>的左焦点为F ，上顶点为A ，过点A 作垂直于AF 的直线交椭圆C 于另外一点P ，交x 轴正半轴于点Q ，且85AP PQ =⑴求椭圆C 的离心率；⑵若过A 、Q 、F 三点的圆恰好与直线l ：50x -=相切，求椭圆C 的方程．【例61】 已知12，F F 是椭圆C ：22221(0)x y a b a b +=>>的左、右焦点，点(1)P 在椭圆上，线段2PF 与y 轴的交点M 满足20PM F M +=． ⑴求椭圆C 的方程．⑵椭圆C 上任一动点00()，M x y 关于直线2y x =的对称点为111()，M x y ，求1134x y -的取值范围．。