4年级奥数2
奥数四年级--容斥问题(二)
练 1.有30名运动员，其中18人会三级跳，16人 习 会撑杆跳高，10人三级跳远、撑杆跳高均不
会。既会三级跳远又会撑杆跳高的运动员有 多少名？
14名
练 2、操场上的学生排成10路纵队做操，毎路 习 纵队人数同样多，小明站在第四纵队，从排
头数他是第13个，从后往前数他是第8人。 操场上有多少人在做操？
200人
练 3、一个年级有120人爱好数学，100人爱好 习 语文，85人爱好美术，30人既爱好数学又爱
好语文，20人既爱好语文又爱好美术，35人 既爱好美术又爱好数学，有18人三门学科都 爱好。请问:这个年级中数学、语文、美术 三门学科中至少爱好一门学科的学生有多少 人？
238人
练 4、某班全体学生进行了数学、语文、英语 习 三个科目的测试，有8名学生在这三个科目
球、蓝球的学生人数分别为10人，10人，6 人，其中手中既有红球又有黄球的有3人， 既有黄球又有蓝球的有2人，既有蓝球又有 红球的有4人。已知全队每人手中都至少有 一种颜色的球，那么，手中三种颜色的球都 有的多少人？
3人
练 6、某班50名同学全部参加数学、语文、美 习 术三个课外兴趣小组，参加数学小组的有29
17人
18人
15人
求全班人数。
这道题目条件比较复杂，可以根据 题意画出示意图，以便形象直观地 显示他们之间的关系。 全班人数=至少有一个项目达到优 秀的人数+三个项目上都没有达到 优秀的人数
篮球15人 6人 短跑 17人
篮球 游泳 短跑 2人
6人 游泳 18人
6人
经 典 题 型
运用容斥定理 至少有一个项目达到优秀的人数=（短跑达 到优秀人数+游泳达到优秀人数+篮球达到 优秀人数）-（短跑、游泳达到优秀人数+ 游泳、篮球达到优秀人数+篮球、短跑达到 优秀人数）+短跑、游泳、篮球都达到优秀 的人数
四年级奥数第二讲图形的计数问题含答案
四年级奥数第⼆讲图形的计数问题含答案第⼆讲图形的计数问题⼀、知识点：⼏何图形计数问题往往没有显⽽易见的顺序，⽽且要数的对象通常是重叠交错的，要准确计数就需要⼀些智慧了．实际上，图形计数问题，通常采⽤⼀种简单原始的计数⽅法－⼀枚举法．具体⽽⾔，它是指把所要计数的对象⼀⼀列举出来，以保证枚举时⽆⼀重复、．⽆⼀遗漏，然后计算其总和．正确地解答较复杂的图形个数问题，有助于培养同学们思维的有序性和良好的学习习惯．⼆、典例剖析：例（1）数出右图中总共有多少个⾓分析：在∠AOB内有三条⾓分线OC1、OC2、OC3，∠AOB被这三条⾓分线分成4个基本⾓，那么∠AOB内总共有多少个⾓呢？⾸先有这4个基本⾓，其次是包含有2个基本⾓组成的⾓有3个（即∠AOC2、∠C1OC3、∠C2OB），然后是包含有3个基本⾓组成的⾓有2个（即∠AOC3、∠C1OB），最后是包含有4个基本⾓组成的⾓有1个（即∠AOB），所以∠AOB内总共有⾓：4＋3＋2＋1＝10（个）解：4＋3＋2＋1＝10（个）答：图中总共有10个⾓。
练⼀练：数⼀数右图中总共有多少个⾓？答案: 总共有⾓：10+9+8+…+4+3+2+1=55（个）例（2 ）数⼀数共有多少条线段？共有多少个三⾓形？分析：①要数多少条线段：先看线段AB、AD、AE、AF、AC、上各有2个分点，各分成3条基本线段，再看BC、MN、GH这3条线段上各有3个分点，各分成4条基本线段.所以图中总共有线段是：（3+2+1）×5+（4+3+2+1）×3=30+30=60（条）.②要数有多少个三⾓形，先看在△AGH中，在GH上有3个分点，分成基本⼩三⾓形有4个.所以在△AGH中共有三⾓形4+3+2+1=10（个）.在△AMN与△ABC中，三⾓形有同样的个数，所以在△ABC中三⾓形个数总共：（4+3+2+1）×3=10×3=30（个）解：：①在△ABC中共有线段是：（3+2+1）×5+（4+3+2+1）×3=30+30=60（条）②在△ABC中共有三⾓形是：（4+3+2+1）×3=10×3=30（个）答：在△ABC中共有线段60条，共有三⾓形30个。
四年级奥数第2次课相遇问题拔高类型
第2次课相遇问题拔高类型知识点回顾：相遇问题的基本关系式：（）（）（）知识点简析：例题1.父亲在儿子读书的学校教书，每天父子二人步行去学校，父亲每分钟比儿子多走20米，30分钟后父亲到学校，到校后发现未带钥匙，立即原路返回，在离校350米处碰上儿子。
儿子每分钟行多少米？例题2.东西两镇相距44千米，甲乙两人同时从东西两镇相向而行，2小时后丙从东镇骑车出发去追甲，结果三人同时在某地相遇。
已知甲每小时行5千米，乙每小时行6千米，求；丙的骑车速度.例题3.小汽车、货车和客车的速度分别为每小时75千米，60千米和50千米，小汽车和客车从甲地开往乙地，货车从乙地开往甲地，如果它们同时出发，货车遇到小汽车后20分钟又与客车相遇。
问甲乙两地相距多少千米？例题4.甲车每小时行40千米，乙车每小时行60千米。
甲车从A地、乙车从B地同时出发相向而行。
两车相遇后4.5小时甲车到达B地，A、B两地相距多少千米？例题5.甲乙两辆汽车分别以不同的速度从A、B两城相对而行，途中相遇，相遇点距A城80千米，相遇后两车继续以原速前进，到达对方出发地后两车立即返回，在途中第二次相遇，这时相遇点距A城50千米，求AB两城相距多少千米？（思考如果把划线部分，改为距B城50千米。
）课堂练习：1.甲、乙二人上午7时同时从A地去B地，甲每小时比乙快8千米。
上午11时甲到达B地后立即返回，在距B地24千米处与乙相遇。
求A、B两地相距多少千米？2.甲、乙二人同时从东村到西村，甲每分钟行120米，乙每分钟行100米，结果甲比乙早5分钟到达西村。
东村到西村的路程是多少米？3.甲乙两列火车同时从A、B两站相向开出，在离A站60千米的地方相遇后，两车仍以原速度继续前进，各车分别到达对方出发点立即返回，又在离B站30千米的地方相遇，问A、B两站相距多少千米？4.甲乙两辆汽车同时从东站开往西站。
甲车每小时比乙车多行12千米，甲车行驶四个半小时到达西站后，没有停留，立即从原路返回，在距离西站31.5 千米的地方和乙车相遇，甲车每小时行多少千米？5.甲乙丙三人中，甲每分钟走50米，乙每分钟走60米，丙每分钟走70米。
小学四年级数学奥数试题及答案二
小学四年级数学奥数试题及答案二1. 林辉在自助餐店就餐，他准备挑选三种肉类中的一种肉类，四种蔬菜中的二种不同蔬菜，以及四种点心中的一种点心．若不考虑食物的挑选次序，则他可以有多少不同选择方法？【答案】解：3×（4×3÷2）×4=3×6×4，=72（种）．答：他可以有72种不同选择方法．2.【答案】解：=根据乘法原理，分两步：第一步是把5对夫妻看作5个整体，进行排列有5×4×3×2×1=120种不同的排法，但是因为是围成一个首尾相接的圈，就会产生5个5个重复，因此实际排法只有120÷5=24种．第二步每一对夫妻之间又可以相互换位置，也就是说每一对夫妻均有2种排法，总共有2×2×2×2×2=32种综合两步，就有24×32=768种．故选：A．3.用0、1、2、3、4、5组成各位数字都不相同的六位数，并把这些六位数从小到大排列，第505个数是?【答案】解：把这些数按照从小到大排列．当最高位是1时，共有5×4×3×2×1=120个；当最高位是2、3、4的时候都各有120个，所以共有120×4=480个．505-480=25个．剩下的25个都是最高为5的数，当十万位上是5，万位是0的时候，其他数位共有4×3×2×1=24个．所以第505个是510234．故答案为：510234．4.欧欧早上从家到学校，中途要到一个卖早点的地方吃早餐，吃完早餐后再去学校．现在已知他从家到早餐点有2条不同的路可以走，从早餐点再到学校又有3条不同的路可以走，那么欧欧从家去学校可以有几种不同的走法?【答案】解：3×2=6（条）；答：一共有6条不同的路线可以走．故答案为：6．5.用2、3、4、5、7这5个数字，可以组成多少个无重复数字的四位数？其中偶数有多少个？【答案】解：5×4×3×2=120（个）2×4×3×2=48（个）答：可以组成120个无重复数字的四位数，其中偶数有48个．6.从1～20中，选出2个数，使它们的乘积是10的倍数，共几种选法？【答案】解：由于5与除10与20之外的个偶数相乘的积都是10倍数，共8个；同理15与这8个偶数相乘的积也是10的倍数，共8个；又10与其它19个数分别相乘的积共19种；；20与除10之外的18个数分别相乘的积共18个．根据加法原理可知，从1～20中，选出2个数，使它们的乘积是10的倍数，共有8+8+19+18=53种选法．故答案为：53．7.3个人排成一排照相，共有几种不同排法？【答案】解：设这三个人是甲乙丙，可能的排列有：甲、乙、丙；甲、丙、乙；乙、甲、丙；乙，丙，甲；丙、甲、乙；丙、乙、甲；答：一共有6种不同的排法．故答案为：6．8.每天早晨，小刚定时离家步行上学，张大爷也定时出家门散步，他们相向而行，并且准时在途中相遇．有一天，小刚提早出门，因此比平时早 7 分钟与张大爷相遇．已知小刚步行速度是每分钟70 米，张大爷步行速度是每分钟 40 米，那么这一天小刚比平时早出门多少分钟？【答案】解：70：40=7：47×4÷7+7=4+7=11（分钟）答：这一天小刚比平时早出门 11分钟．故答案为：11．9.小张、小王、小李同时从湖边同一地点出发，绕湖行走．小张速度是每小时5.4千米，小王速度是每小时4.2千米，他们两人同方向行走，小李与他们反方向行走，半小时后小张与小李相遇，再过5分钟，小李与小王相遇．那么绕湖一周的行程是多少千米？【答案】解：1小时=60分，小张的速度每分钟是：5.4÷60=0.09（千米）；小张半小时走的路程是：0.09×30=2.7（千米），小王的速度每分钟是：4.2÷60=00.7（千米），小王35分钟走的路程是；0.07×35=2.45（千米），小李的速度每分钟是：（2.7-2.45）÷5，=0.25÷5，=0.05（千米），绕湖一周的行程是：（0.05+0.09）×30，=0.14×30，=4.2（千米）．答：绕湖一周的行程是4.2千米．故答案为：4.2．10.小东和小荣同时从甲地出发到乙地，小东每分钟行50米，小荣每分钟行60米，小荣到达乙地后立即返回，若两人从出发到相遇用了10分钟，则甲、乙两地相距多少米？【答案】解：（50+60）×10÷2=110×10÷2=1100÷2=550（米）答：甲、乙两地相距550米．故答案为：550．11.两列火车同时从北京和沈阳相对开出，从北京开出的火车每小时行59千米，从沈阳开出的火车每小时行64千米，6小时后两车相遇．北京到沈阳的铁路线长多少千米？【答案】解：（59+64）×6=123×6=738（千米）答：北京到沈阳的铁路线长738千米．12.同学们进行行军训练，3小时走了12千米，照这样的速度，还要走2小时才能到达目的地，这次行军的路程是多少千米？【答案】解：12÷3×2+12=20（千米）故答案为：2013.森林里的小动物们外出郊游，它们排成了一列长40米的队伍，以每秒钟3米的速度前进．小兔子有事要从排尾赶到排头，并立即返回排尾．小兔的速度为每秒钟5米，那么经过多少秒钟，小兔可以返回排尾？【答案】解：从排尾到排头：为追及问题，时间=路程差÷速度差，40÷（5-3）=20秒排头到排尾：为相遇问题，时间=路程和÷速度和，40÷（5+3）=5秒总时间：20+5=25 秒．故答案为2514.一辆货运汽车和一辆客运汽车同时从甲地开往相距360千米的乙地，当客运汽车到达乙地时，货运汽车距乙地还有36千米，若货运汽车每小时行驶81千米，客运汽车比货运汽车每小时快多少千米？15.王老师每天早上做户外运动，他第一天跑步2000米，散步1000米，共用24分钟；第二天他跑步3000米，散步500米，共用22分钟．王老师跑步时的速度总是一样的，散步时的速度也总是一样的．王老师跑步的速度是多少？【答案】解：假设第二天他跑步3000×2=6000米，散步500×2=1000米，共用22×2=44分钟，那么跑（3000×2-2000）米所用的时间是：44-24=20（分钟），（3000×2-2000）÷20=4000÷20=200（米/分）；答：王老师跑步的速度是每分钟200米．故答案为：200米/分．。
四年级奥数2
高斯求和若干个数排成一列称为数列，数列中的每一个数称为一项，其中第一项称为首项，最后一项称为末项。
后项与前项之差都相等的数列称为等差数列，后项与前项之差称为公差。
例如：（1）1，2，3，4，5，…，100（2）1，3，5，7，9，…，99（3）8，15，22，29，36，…，71想一想：上面的数列是否是等差数列？你怎么知道的？每一列的公差是几？首项和末项分别是多少？思考与讨论：首项和末项之间有什么关系？每一列一共有几项？大家来总结：末项＝首项＋公差×（项数－1）项数＝（末项－首项）÷公差＋1例1、求等差数列3，7，11，15，19，…的第10项和第25项。
例2、在等差数列2，5，8，11，14，…中，101是第几项？例3、在5和61之间插入七个数后，使它成为一个等差数列，写出这个数列。
思考与讨论：怎么计算比较简便？1＋2＋3＋4＋5＋…＋49＋50＝？1＋2＋3＋4＋5＋…＋98＋99＝？大家来总结：等差数列的和＝（首项＋末项）×项数÷2例4、1＋2＋3＋4＋…＋1999例5、3＋7＋11＋…＋99练习：1、计算下面各题。
（1）2＋4＋6＋…＋200 （2）17＋19＋21＋…＋39 （3）5＋8＋11＋14＋…＋50 （4）3＋10＋17＋24＋…＋1012、求首项是5，末项是93，公差是4的等差数列的和。
3、求首项是13，公差是5的等差数列的前30项的和。
等差数列小练习班级：姓名：1、已知等差数列2，5，8，11，14，…（1）这个数列的第13项是多少？（2）47是其中的第几项？2、已知等差数列的第1项是12，第6项是27，求公差。
3、如果一个数列的第4项为21，第6项为33，求它的第9项。
4、求首项是5，末项是93，公差是4的等差数列的和。
5、已知等差数列6，13，20，27…，问这个数列前30项的和是多少？6、①7＋10＋13＋…＋37＋40 ②2000－3－6－9－…－51－547、一个剧场设置了22排座位，第一排有36个座位，往后每排都比前一排多2个座位，这个剧场共有多少个座位？平均数平均数是相对于“总数”和分成的“份数”而言的。
小学四年级奥数 2
1 、有一个挂钟，每小时敲一次钟，几点钟敲几下，钟敲6 下，5 秒钟敲完，钟敲12 下，（）秒钟敲完？2 、有黑色、白色、黄色的筷子各8 根，混杂地放在一起，想从这些筷子中取出颜色不同的筷子两双，问至少要取出多少根，才能保证达到要求？（）3 、一座楼房每上一层要走16 个台阶，到小英家要走64 个台阶，他家住（）楼？4 、甲、乙二人比赛爬楼房，甲跑到四层楼时，乙恰好跑到三层楼，照这样计算，甲跑到十六层时，乙跑到（）层楼？5 、青蛙白天向上爬3 米，晚上滑下2 米，青蛙从井底爬到井外（井高10 米）需（）天（）夜１、甲乙两校共有学生４３２人，为了照顾学生就近入学，经协商由甲校调入乙校１６人，这样甲校比乙校还多２４人，问甲乙两校原来各有学生多少人？２、仓库里有水泥若干吨，第一天上午运出所存水泥的一半，下午运出１０吨，第二天上午运出所剩水泥的一半，下午又运出１４吨，这时仓库还有水泥４４吨，问仓库原有水泥多少吨？３、三头牛和八只羊一天共吃青草９３，五头牛和十五只羊一天共吃青草１６５斤，一头牛和一只羊一天共吃青草多少？４、“华罗庚金杯”少年数学邀请赛，每隔一年举行一次，今年（1988 年）是第二届，问2000 是第几届？5 、学校开联欢晚会，要在正方形的操场四周装彩灯，四个角都装一盏，每边装7 盏，那么一共要准备多少盏彩灯？6 、某校师生开展行军活动，以每小时6 千米的速度前进，3 小时后学校派通迅员骑自行车走同一条路去传达命令，如果通讯员以每小时15 千米的速度去追赶队伍，需要多少小时才能赶上？7 、小王、小张、小李在一起，一位是工人，一位是农民，一位是战士，他们都穿着便装，现在知道：（1 ）小李比战士的年龄大（2 ）小王和农民不同岁（3 ）农民比小张的年龄小猜猜看，谁是工人，谁是农民，谁是战士？1．被除数是3320，商是150，余数是20，除数是（）。
2．3998是4个连续自然数的和，其中最小的数是（）。
小学四年级奥数讲义(2)
小学四年级奥数讲义（2）姓名：课题第二讲：数列求和。
励志言小朋友们：你的快速反应能力、你的综合理解能力将体现在这些富有挑战的训练题中。
你的数学能力在这里将得到大大的提升！知识反思1、等差数列的定义及特点：像1,2,3,4,5，…，99,100这样的一列数一般叫做一个等差数列。
等差数列的特点是相邻两个数的差是相同的。
2、等差数列的各部分名称：公差：相邻两个数的差叫做公差。
项：数列中的每一个数叫做项。
首项：数列中的第一个数叫做首项。
末项：数列中的最后一个数叫做末项。
项数：数列中共有多少项（共有多少个数）叫做项。
3、等差数列求和公式：总和=（首项＋末项）×项数÷2项数=（末项－首项）÷公差＋1末项=首项＋公差×（项数－1）首项=末项－公差×（项数－1）课前检测请大家用8分钟时间，背过上面的知识，过关的同学别忘记“※”，累计十个，可以得到老师的一份小礼物。
自主学习（一）例1.计算1＋2＋3＋4＋…＋39＋40合作探究例2.计算2＋5＋8＋11＋…＋209＋212(一)精讲释疑（一）例2，这是一个等差数列，首项是2，末项是212，公差是3，利用公式求和必须知道项数。
项数=（212－2）÷3＋1=210÷3＋1=71自主学习（二）例3.求首项是5，公差是3的等差数列的前199项的和。
（缺少什么？）合作探究（二）例4.一个有25项的等差数列，末项是204，公差是8，求这个等差数列的和是多少？精讲释疑（二）例4，要解答问题，看看知道什么，缺少什么。
想办法解决。
训练检测与能力挑战计算下面各题。
1、1＋2＋3＋4＋5＋…＋99＋1002、1＋2＋3＋…＋49＋50＋49＋…＋3＋2＋13、1990＋1991＋…＋2006＋2007＋20084、4＋6＋8＋…＋96＋985、求首项是1，公差是2的等差数列的前50项的和。
6、一个有30项的等差数列，首项是1，公差是4，这个等差数列的和是多少？7、一个有50项的等差数列，末项是2007，公差是2，这个等差数列的和是多少？8、一个等差数列的首项是1，末项是1997，公差是2，这个等差数列的和是多少？课后巩（1）、5＋10＋15＋…＋215＋220固（2）、求首项是7，末项是99，公差是4的等差数列的和。
小学 四年级 奥数 竞赛 综合模拟卷(2)及解析
小学四年级奥数竞赛综合模拟卷（2）一、填空题0．100个3相乘，积的个位数是 ．1．计算：2468629(123437)⨯÷⨯= ．2．有一个除法算式，被除数和除数的和是136，商是7，则除数是 ．3．定义：a b a b ab =++⊕，则(23)4⊕⊕的值为 ．4．买一支水彩笔需要1元7角，用15元钱最多可以买这样的水彩笔 支．5．王雷是国庆节那天出生的，若他年龄的3倍减去8刚好是他出生那月的总天数，则王雷今年 岁．6．数一数，图中共有 个三角形．7．某班30人参加跳绳比赛，开始时有4人迟到没有参加比赛，这时平均成绩为20个，后来这4位同学赶到了比赛场地，分别跳了26，27，28，29个．这时全班同学的平均成绩是 个．8．明明临摹一本字帖练习毛笔字，临摹第一遍时，他每天写25个字，临摹第二遍时，他每天多写3个字，结果刚好比第一遍少用了3天，则这本字帖共有 字．9．如图有16个11⨯的小正方形组成，图中ABC ∆的面积是 ．10．乌龟和兔子在全长为1000米的赛道上比赛，兔子的速度是乌龟速度的15倍．但兔子在比赛的过程中休息了一会儿，醒来时发现乌龟刚好到达终点，而此时兔子还差100米才到终点．则兔子休息期间乌龟爬行了 米．11．任意一个一位奇数与任意一个一位偶数相乘，不同的乘积有 个．12．一个长方形的相框长为40厘米，宽为32厘米，放入一张长为32厘米宽为28厘米的相片，则相框中没有被照片覆盖的部分的面积是平方厘米．13．爷爷，爸爸，小明的年龄分别是60岁，35岁，11岁，则再过年爷爷的年龄等于小明和爸爸年龄的和．14．一个长方形的长和宽都增加3厘米后，面积增加了90平方厘米，则原长方形的周长是厘米．15．甲筐和乙筐内原来分别放有54个和63个鸡蛋，若要使甲筐内的鸡蛋个数变为乙筐内的鸡蛋个数的两倍，那么应从乙筐内取出个鸡蛋放入甲筐．16．王蕾和姐姐从家步行去体育馆打羽毛球，已知姐姐每分钟比王蕾多走20米，25分钟后姐姐到体育馆，这时姐姐发现没有带球拍，于是立即按原路返回取球拍，在离体育馆300米的地方遇到了王蕾，则王蕾家到体育馆的路程是米．17．如图，用小正方形摆成下列图形，按摆放规律，第25个图形需要小正方形个．18．若abc+cba1069=，则这样的abc有个．19．某地希望杯组委会给参加希望杯考试的考生安排考场，若每个考场安排30名考生，则会有一个考场有26名考生；若每个考场安排26个考生，则会有一个考场有20名考生，并且要比前一种方案多用9个考场，则该地区参加考试的考生有个．20．如图有3个边长是6的正方形组成，则图中阴影部分的面积是．小学四年级奥数竞赛综合模拟卷（2）答案与解析一、填空题0．100个3相乘，积的个位数是 1 ．【点拨】周期问题【解析】这道题我们只需考虑积的个位数的排列规律。
四年级奥数-抽屉原理与最不利原理(二)
【例3】(★★★) 口袋中有三种颜色的筷子各10 根，问： ⑴至少取多少根才能保证 种颜色都取到 ⑴至少取多少根才能保证三种颜色都取到？ ⑵至少取多少根才能保证有2双颜色不同的筷子？ ⑶至少取多少根才能保证有2双颜色相同的筷子？
【例2】(★★) 在一个盒子里装着形状相同的三种口味的果冻，分别是苹果口味、巧 克力 味和香芋 味的，每种果冻都有20个，现在闭着眼睛从盒子里 克力口味和香芋口味的，每种果冻都有20个，现在闭着眼睛从盒子里 拿果冻。请问： ⑴至少要从中拿出多少个，才能保证拿出的果冻中有香芋口味的？ ⑵至少要从中拿出多少个，才能保证拿出的果冻中至少有两种口味？
【例7】(★★★) 口袋中有红、黄、蓝3种颜色的玻璃球各50个，闭着眼睛最少要摸出多 少个球，才能保证红球数与黄球数的和比蓝球数多，黄球数与蓝球数 的和比红球数多，红球数与蓝球数的和比黄球数多？
【例6】(★★★) 口袋里有红、绿、蓝、黄、白5种颜色的袜子各50只，为确保从口袋取 出10双袜子（两只袜子颜色相同即为 双），那么应从 袋里取出袜 出10双袜子（两只袜子颜色相同即为一双），那么应从口袋里取出袜 子的最少只数是多少？
两只手套颜色相同即为一双口袋里有红绿蓝黄白5种颜色的袜子各50只为确保从口袋取出10双袜子两只袜子颜色相同即为一双那么应从口袋里取出袜出10双袜子两只袜子颜色相同即为双那么应从袋里取出袜子的最少只数是多少
简单抽屉原理与最不利原则(二)
【例1】(★★) 现有10把钥匙分别能开10把锁，但是不晓得哪把钥匙能开哪把锁。倒 霉李最少要试验多少次才能保证使全部的钥匙和锁相匹配？
【例4】(★★★) 一个布袋里有大小相同的颜色不同的一些球，其中红色的有10个，白 色的有9个，黄色的有8个，蓝色的有3个，绿色的有1个。那么一次最 少取出多少个球 才能保证有4个颜色相同的球？ 少取出多少个球，才能保证有4个颜色、2只黑手套、3只红手套、8只黄手套和9只绿手套放入一 个布袋 个布袋里，请问： 请问 ⑴一次至少要摸出多少只手套才能保证一定有颜色相同的两双手套？ ⑵一次至少要摸出多少只手套才能保证一定有颜色不同的两双手套？ (两只手套颜色相同即为一双)
四年级奥数期末复习题二教学提纲
四年级奥数期末复习题二教学提纲育才小学四年级奥数期末复习题（二）和、差变化率1、两个数相加，一个数增加13，另一个数减少20，和起什么变化？2、两个数相加，一个数增加80，要使和增加120，那么另一个加数应有什么变化？3、两个数相加，如果一个加数增加50，要使和减少14，那么另一个加数应有什么变化？4、两数相减，被减数减少28，如果使差不变，减数应有怎样的变化？5、两数相减，如果减数增加40，要使差不变，被减数应有什么变化？6、两数相减，如果把减数增加42，要使差减少27，被减数应怎样变化？7、两数相减，被减数减少33，减数增加28，差应有什么变化？8、两个加数相加，一个加数减少6，另一个加数增加6，和起什么变化？9、两个数相加，如果一个加数增加8，要使和增加2，另一个加数应有什么变化？积、商变化规律1、两数相除，被除数扩大8倍，要使商不变，除数应怎样变化？2、两数相除，如果被除数扩大3倍，除数缩小3倍，商怎样变化？3、两数相除，商是9，余数是19，如果被除数和除数同时扩大8倍，商和余数各是多少？4、两数相乘，如果一个因数扩大5倍，另一个因数缩小5倍，积会有怎样变化？5、两数相乘，一个因数缩小6倍，要使积不变，另一个因数应有什么变化？6、两数相乘，一个因数缩小2倍，要使积扩大10倍，另一个因数应有什么变化？<<<<<<精品资料》》》》》7、两数相除，如果被除数扩大6倍，除数扩大3倍，商会有怎样变化？8、两数相除，如果被除数扩大4倍，商要扩大8倍，除数应有什么变化？9、两数相除，如果被除数缩小6倍，要使商缩小3倍，除数应怎样变化？10、两数相乘，如果被乘数增加2，积就增加36；如果乘数减少5，积就减少120，问原来两个数的乘积是多少？11、两数相除，得到商为13，余数为20，如果被除数和除数同时扩大8倍，商是多少？余数是多少？12、两数相除，商是19，如果被除数扩大10倍，除数缩小6倍，商应怎样变化？商变为多少？归一问题1、四年级甲班六一儿童节去玄武湖划船，全班分成A、B、C三组，共租了11只船，租船费由三个小组平摊。
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目录第—讲简单数阵图（一） (1)课后练习一 (4)第二讲简单数阵图（二） (5)课后练习二 (8)第三讲幻方（一） (9)课后练习三 (11)附录：连续摆数法（楼梯法） (12)第四讲幻方（二） (14)课后练习四 (16)第五讲巧求周长 (17)课后练习五 (20)第六讲等量代换 (21)课后练习六 (24)第七讲植树问题（一） (25)课后练习七 (28)第八讲上楼梯问题 (29)课后练习八 (31)第九讲植树问题（二） (32)课后练习九 (34)第十讲周期问题 (35)课后练习十 (37)第十一讲图形找规律 (38)谋后练习十一 (40)第十二讲数列找规律....................................................................................4l 课后练习十二 (44)第一讲简单数阵图（一）【知识梳理】1、数阵图；把一些数字按照一定的要求，排成各种各样的图形，这种图形叫数阵图。
数阵图的种类繁多，一般按数字的组合形式，将其分为三类，即辐射型数阵、封闭型数阵、复合型数阵。
2、解数阵问题的一般思路是：①求出条件中若干已知数字的和。
②根据“和相等”，列出关系式，找出关键数——重复使用的数。
⑤确定重复用数后，对照“和相等”的条件，用尝试的方法，求出其他各数。
有时，因数字存在不同的组合方法，答案往往不是唯一的。
即：【例题精讲】【例l】把1~5这五个数填入下图中的O里（已填入5），使两条直线上的三个数之和相等。
、〖巩固〗把5，6，7，8，9五个数分别填入下图的五个方格内，使横行三个数的和、竖行三个数的和都是21。
〖拓展一〗将1～7这七个数填入下图中，使每条线段上三个圆圈内的数的和相等。
〖拓展〗将1—7这七个数分别填入下图中的圆圈内，使每条直线上的三个数之和都等于12。
〖拓展〗将1—9这九个数分别填入下图中的圆圈内，使每条线段上五个数的和等于23。
〖拓展〗将l～8这八个数分别填入下图中的空格内，使横行、竖列上的三个数之和都相等。
【例2】将l～6分别填在图中，使每条边上三个圆圈内的数的和等于9。
〖巩固〗1—6分别填在图中，使每条边上三个圆圈内的数的和等于12。
〖拓展一〗将1-6分别填在上图中，使每条边上三个圆圈内的数的和最大，该怎么填？为什么？〖拓展二〗如图所示，把l至8八个数分别填入小圆圈内，使每一个圆周上的五个数的和都等于21。
〖拓展三〗如图，六条直线分别连接着九个圆圈，其中一个圆圈里的数是6。
请你选9个连续自然数（包括6在内），填入圆圈内，使每条线上各数和都等于23。
课后练习一l、把2、4、6、8、10这五个数填入下面的格子中，使横行、竖列的和都等于16、18或20。
2、将2~9八个数分别填入图中代表两个五边形顶点的8个圆圈内，使两个五边形上五个数的和都是25。
3、将l至9分别填入图中的九个圆圈内，使得三角形每边上的四个数之和都等于20。
4、将1~11填入下图中圆圈内，使每条直线上三个数的和相等（写出两种填法）。
第二讲简单数阵图（二）【知识梳理】1、解致阵问题的一般思路是：仔细观察图形，找出关键数（即重叠数），这里关键数往往有几个。
2、辐射型数阵图计算方法；已知各数之和+重叠数×重叠次数=直线上各数之和×直线条数3、封闭型数阵图计算方法：已知各数之和+重叠数之和=每边各数之和×边数4、复合型数阵图计算方法：把复合型数阵图分解成几个辐射型数阵图或封闭型数阵图，先考虑其中一个数阵图，再结合其它数阵图进行调整试填。
【例题精讲】【例1】把1、2、3、4、5、6这六个数分别填入左下图中的小圆圈内，使每个大圆上三个数的和都相等。
〖巩固〗如右上图所示，五角星上有I1个小圆圈，请把I-II这十一个数，分别填入小圆圈中，使每一条虚线的三个数的和都相等。
【例2】将1-11这11个自然数填入下图中的圆圈中，使每个菱形上四个数之和都等于24，那么A是多少？〖巩固〗将1~10十个数字填入下图中的10个圆圈内，使每个四边形四个顶点上各数之和等于24．〖拓展〗如图，大大小小的三角形共七个，把l至9这九个数分别填入图中的圆圈中，使每个三角形三个顶点的数之和相等．【例3】将1-8这八个数字分别标在立方体的八个顶点上，使得每个面的四个数字之和都相等。
〖巩固〗把1～12这十二个数填入下图的圆圈内，使每个小正方形顶点的四个数的和都等于26。
〖拓展一〗下图三个圆被分割成A、B、C、D、E、F、G七个部分，将1-7分别填入图中各部分，使得每圆内四个数的和都等于18，且G内填的是奇数。
〖拓展二〗下图中四个圆被相互分割成八个部分，在这八个部分中分别填入1或者2，使得中个圆内的三个数字之和互不相等。
【例4】请你将数字1、2、3、4、5、6、7填入图中所示的圆圈内，使得每个圆上三个数之和相等，并且每条直线上三个数的和也相等。
〖拓展〗将自然数1~11填入下图的11个○中，使得每条直线（共10条）上的三个数字之和都相等。
课后练习二l、把1~10这十个数字，分别填入下图中的圆圈内，使每个正方形四个顶点上的数字的和都等于K，那么K不能是( )A、22B、21C、20D、192、1~7这七个自然数分别填入左下图中O内，使得每个大圆上四个数的和都等于13。
并指出这个和的范围。
3、将1-5分别填入右上图中，使每直线上的各数之和与大圆圈上各数之和都相等。
4、试用0、l、2、3、4、5、6、7、8、9这十个数字，分别填入下图中的十个小三角形里，使四个在三角形内的四个数字的和都等于15。
5、将1-12填入左下图中空格中（其中四个已填好），使每个圆内4个数之和等于25。
6、将1—10分别填入右上图中各个O内，使得每一个大圆上三个数和与每一条直线上四个数和分别相等。
第三讲幻方（一）【知识梳理】l、幻方：在一个由若干个排列整齐的数组成的正方形中，图中任意一横行、一纵行及对角线的几个数之和都相等（称为幻和），具有这种性质的图表，称为“幻方”。
我国古代称为“河图”、“洛书”、又叫“纵横图”。
2、幻方的种类：①奇数阶幻方：横竖方格数为奇数的幻方。
如三阶幻方、五阶幻方、七阶幻方……②偶数阶幻方：横竖方格数为偶数的幻方。
如四阶幻方、六阶幻方、八阶幻方……3、构造幻方的方法：①构造奇数阶幻方的方法：平移补空法；b）连续摆数法；@构造双偶数阶幻方的方法：对角线法（也叫对称交换法，不作要求）；③构造单偶数阶幻方的方法：迭加对称法（不作要求）。
4、幻方的性质：①n阶幻方中可以填充任一由n2个数组成的等差数列；②n阶幻方的幻和等于“π 2”项的等差数列和：阶数n;【例题精讲】【例l】用两种方法将1~9这九个数填入下图的方格中，使每行、每列、每条对角线上的三个数字之和都相等。
〖巩固〗请你用两种方法将2 ~10这9个数填入下图的空格内，每行、每列、每条对角线上的3数之和相等。
〖拓展〗用两种方法把11~35这25个自然数组成一个五阶幻方。
并求出它的幻和。
【例2】下图是一个未完成的幻方。
它的每行、每列和两条对角线上的4个数之和都相等，那么空格中A和B各是多少？〖巩固〗如下图，将1至25填入5×5方格中，使每行、每列和两条对角线上5数之和相等，则a 等于多少？课后练习三1、用两种方法将从1开始的九个连续奇数填入3行3列的九个空格中，使每一横行、每一竖列及两条对角线上的三个数之和都相等。
2、在下面的三阶幻方的空格内填入适当的数-使幻和等于27。
3、己知下图是一个四阶幻方，那么标有}的方格中所填的数是多少？4、在下图所示的方格表的每个方格内填入一个恰当的字母，可以使得每行每列及两条对角线上4个方格中的字母都是A、B、C、D，那么，表中标有*的方格内应填的字母是什么？附录：连续摆数法（楼梯法）宗旨：斜着向右上方向填空，就像爬楼梯一样；l)把第一个数放在第一行正中；2)原则上每一个数都要放在前一个数的右上一格；①如果这个数所要放的格已经超出顶行，那么就把它放在底行，仍要放在右一列；②如果这个数所要放的格已经超出最右列，那么就把它放在最左列，仍要放在上一行；③如果这个数所要放的格已经超出了顶行且超出最右列（走到幻方的顶点，碰到“钉子”）那么就把它放在前一个数的正下面；④如果这个数所要放的格已经有数填入，那么就把它放在前一个数的正下面。
例题：将1-9填入三阶幻方，使之成立。
①将第一个数字“1”，填入第一行最中间：②发现将要填入的2已经超出了顶行，那么就把它放在底行，仍然要放在1的右一列，相当于将1拉到其所在列的最下面，再按斜着填的方法，把2填入底行右一列：③发现将要填入的3已经超出了最右列，那么就把它放在最左列，仍然要放在2的上一行，相当于将2拉到其所在行的最左边，再按斜着填的方法，把3填入最左列上一行：④发现将要填入4的格子已经有数，那么就把4它放在前一个数3的正下面：⑤然后按照楼梯法宗旨，依次填入5和6：⑥发现将要填入数字7的格子已经超出了顶行且超出了最右列（走到幻方的顶点，碰到“钉子”）那么就把它放在前一个数6的正下面：⑦发现将要填入的8已经超出了最右列，那么就把它放在最左列，仍然要放在7的上一行；相当于所以将7拉到其所在行的最左边，再按斜着填的方法，把8填入：⑧发现将要填入的9已经超出了顶行，那么就把它放在底行，仍然要放在8的右一列，相当于所以将8位拉到其所在列的最下面，再按斜着填的方法，把9填入底行右一列：⑨下图即为所求三阶幻方。
总结：无论是对5阶、7阶还是9阶、11阶，只要是奇数阶幻方，均可使用此方法。
第四讲幻方 (二)【知识梳理】三阶幻方的主要性质有：①具有一个共同数的一行和一列中其他两个数的和相等。
②中心数性质：幻方中所有相等的和称为幻和；三阶幻方的幻和等于中心数的3倍；对角线上两个端数之和等于中心数的2倍。
③三角平均性质：幻方中四角的数等于与它不相邻的两个行列中间数的平均数。
亦称幻方中某角上的数等于它对角相邻的两数的和的一半。
【例题精讲】【例1】在下图中的A、B、C、D处填上适当的数，使其成为一个三阶幻方。
〖拓展〗如图，九个小正方形内各有一个两位数，而且每行、每列及两条对角线上三个整数的和都相等，求x所代表的数。
【例2】如图，在一个三阶幻方内已填好了两个数19和95，求x的值。
〖拓展〗如图，在一个三阶幻方内已填好了三个数19、95和100，请把这个幻方补充完整。
【例3】如图，第一行第三列位置上填5，第二行第一列位置上填6。
请你在其他方格中填上适当的数，使方阵横、纵、斜三个方向的三个数之和为27。
〖拓展〗如图所示是一个三阶幻方，那么标有*的方格中所填的数是多少？课后练习四l、如图，要求每个方格中填入不相同的数，使得每行、每列、每条对角线上的三个数之和都相等。