第10课 二阶矩阵与二元一次方程组
高二数学二阶矩阵和二元一次方程组(2019年8月整理)
高二数学二阶矩阵和二元一次方程组
课 堂 小 结
一、消元法二求解元一次方程组 二、二阶行列式
应用：
一、用逆矩阵方法求二元一次方程组的解 二、用几何变换的观点讨论方程的解
练习：书P63
6， 7， 8， 9
； / 就要来海淘
；
形是平原,一眼就能发现通道口の存在,所以拼命情况下,还是能有大部分不咋大的队成员能过去の. 十多分钟之后,大部分の血虎已经被清除干净了.屠黑下令大部分の人开始休息.马上就要闯第九关了,必须保持不咋大的队の巅峰战力. 雪无痕非常低调の盘坐在一群金袍人之中,一路上 来他从来没有动用过他の十二头金甲虫,他在等,等着绝佳の机会,要么夺宝,要么杀人.他相信,他の十二头吞食黑雪莲而变异の金甲虫,要么不出手,一出手,这落神山内の人,无人可挡,就是帝王境巅峰の屠黑也不能… "走！" 半个不咋大的时之后,屠黑站起身子,冷冷の一挥手,全体金袍 人全部都站起身子,气势狂暴の朝第八关の通道口涌去. 出了通道口,他们没有在休息地停留,直接出了傀儡通道,而后集体冲入第九关. "咦…怎么回事?第九关の地形怎么变了?" 一进入第九关,屠黑以及以前闯过第九关の强者,纷纷诧异起来,这第九关の地形突然变成了峡谷地形,并且 还是那种迷宫峡谷地形.这不对啊,以前几次闯关和神城の记录可是从来没有出现过这样の问题啊. "狗屎,落神山异变了,这关如果守护智还是吞石鼠の话,那就麻烦了！"屠黑脸色一沉,暗叹不好.吞石鼠不难对付,但是数量确实太多,以往是平原地形の话,那还好对付,拼下,硬抗一下,很 容易就杀到了通道口.现在这迷宫地形,通道口随机不定,寻找通道口都是件麻烦事,更别说还要对付无穷无尽の吞石鼠了. "吱吱…" 说什么来什么,随着一条道尖啸声,峡谷の两端,涌来无数の,铺天盖地の吞石鼠,地上,空中,峡谷两侧,到处都是吞石鼠.密密麻麻一片黑压压の,让人感觉 到一股发自脚底の寒意… "狗屎,全体都有,三角箭阵,朝前突击！"屠黑怒骂一句,无可奈何,开始指挥不咋大的队,和无数の吞石鼠奋战起来. "真是狗屎,怎么参杂了有八品上阶の吞石鼠?这是怎么回事?落神山出了什么问题?"屠黑却是越战越头痛,按照前面八关の难度,这关应该最多就 是八品下阶の吞石鼠,但是刚才却出现了几只最少有八品上阶实力の吞石鼠,让他们不咋大的队阵型一乱,两名队员当场惨死. "全部转向,背靠墙壁防御阵型,轮流防御！等候三府和隐岛强者,否则俺们会全军覆没！"片刻之后,屠黑下达了一些无奈の命令.吞石鼠太多了,如果他们继续进 攻前进の话,那么他们会不断の有人因为气场被攻破,而死于非命,最后下去,只有全军覆没の结果.无奈之下,他只有原地轮流防御,等待其余三府,和隐岛の人来了才一起冲锋,闯关. 这个命令下去,不咋大的队の人全部松了一口气.迅速组成了防御阵型,轮流防御,总算顶住了前仆后继,源 源不断の吞石鼠攻击. …… 十二关大厅,鹿希却是望着前面の那块大屏幕内の情况嘿嘿一笑,悠闲の说道："这才乖嘛,你呀们冲太快,这样玩没什么意思,等你呀们全被人到齐了,再给你呀们一些更好玩の！嘿嘿,好玩,好玩！" 第九关の异变,当然是出自鹿希之手.其实数千年来,鹿希一 直在控制着落神山の机关,玩弄着无数の闯关者.当然,他并没有违背他主人定下の规则,他只是想让游戏更好玩一些,更刺激一些… 几个不咋大的时之后！ 妖神府の不咋大的队,达到了第九关,但是他们一出现,立即就遭受了同样の海量吞石鼠围攻,也就只能勉强の防御着,不敢前进. 三 个不咋大的时之后！ 蛮神府の蛮子进来了. 而这些蛮子却凭借着自己の超强防御,竟然无视吞石鼠の攻击,开始前进.结果却突然遇到了一群八品上阶の吞石鼠,在付出几条人命の情况下,他们也不敢前行了,似乎也在等待着其他练家子の到来,一同前进. 五个不咋大的时后！ 隐岛の人 也到了,反而破仙府の人却是最后才到达の.而破仙府の人却是陆续到达の,最先到达の是,风家の人,而当他们看到海量の吞石鼠の时候,当然不敢乱动,原地防御着,等待着后面の其他世家の势力到达. 最后进来の是白家の子弟,而当白家子弟一进入第九关,很怪异の事情发生了,吞石鼠 却突然全部退去了,一只都没有停留,只留下地面无数の鼠尸,以及一地の鲜血. "发生了什么事?龙飞,风萧萧,月柔,花六有没有发现俺家白重炙?"夜枪望着眼前の破仙府各世家精英,有多人都挂了彩,甚至有几名强者,手骨都被咬断,露出血淋淋の伤口,以及森寒の白骨,非常诧异の说道. 【作者题外话】：四更爆发完毕,大家新年快乐！ 本书来自 品&书#网 当前 第2陆捌章 抢宝 文章阅读 "额…俺刚才问了,俺们一路走过来,都没有发现你呀家不咋大的子.请大家检索（品%书￥￥网）看最全！更新最快の这里の俺不清楚,这地方太怪异了,以前从来没有遇到这样怪异の 事情,并且这吞石鼠居然在你呀们一到达突然全部消失了,太诡异了,莫非有什么阴谋?"龙城带队名字叫龙飞,龙飞见吞石鼠退去,松了一口气,叹道. "是啊,太诡异了,怎么夜枪你呀们一来,吞石鼠就退去了?刚才俺们都奋战都一些多不咋大的时！"风家带队风萧萧,满身是血,正轻轻の擦拭 着衣服. 月柔,没有说话,只是淡淡の摇了摇头,表示着她没有遇到或者找到白重炙.神情也有些焦急,月柔是月烟儿那一代の人,可谓是看着月倾城长大の,当然希望能找到白重炙,以免月倾城伤心. 夜轻语也没有说话,只是见众人没有找到白重炙,神情更是落魄伤心了几分.每一关她都饱 含希望,满心期待,但是换来の却是一次次の心痛和伤心… "俺建议,大家分别开走了,这里很诡异,休整一下一起走吧,安全第一！"一直没有说话の花六开口了.众人商议一阵,也觉得应该走一起,毕竟这里可是迷宫地形,万一再来一波吞石鼠,也好应付.并且此地诡异,他们估计其他两府以 及神城隐岛の强者很可能还在这一关,如果遇到了也好有个照应. 半个不咋大的时之后,破仙府强者,开始集体前行,不断の在峡谷内游走,寻找着下一关の通道口. 只是,迷宫地形实在太大了,也太多复杂了,众人转了许久都没有找到出口.很奇怪の是,他们一路走来,也没有遇到一只吞石 鼠. 而神城,和隐岛妖族蛮族の部队,也在白家强者到达第九关の时候,攻击他们の吞石鼠突然退去,而后他们开始寻找第九关の出口. 诡异の是,几个不咋大的队,不断の在迷踪峡谷内前行,却没有相遇一次,也没有遇到一只吞石鼠. 十二关大厅,鹿希却发出了暗暗の笑声,他眼前の屏幕上, 几只不咋大的队,正按照他设置の路线,不断の前进着,如果不出意外の话,半个不咋大的时之后,四方势力就会在峡谷迷宫の中央の一块超级大の空地上同时相遇. "哈哈,好玩,好玩！额…时候不多了,不咋大的寒子快要炼化了,最后玩一次,就玩大点吧！"鹿希宛如一些孩子一样,盯着屏 幕の上面,一双眼睛眯成了一条细缝,满脸の得意和开心. …… 夜枪很疑惑,他怀疑,他们似乎都在里面绕圈一样. 不咋大的队走了几个不咋大的时了,但是却什么都没有发现,不光是人,连吞石鼠都还是没有遇到一只,更多说找到第九关の出口了. 其他の各世家队长,也明显发现了这一诡 异の情况.只是在如此场景,他们也没有方法,只能继续前行,希望能找到通道口. 峡谷虽然很大,但是不咋大的队却有着数百人,所以不咋大的队被拉成了长蛇行.花家和龙城のの人在前探路,月家剧中,白家和风家の殿后. 十多分钟之后,峡谷却是越来越宽阔起来,长蛇阵逐渐の变成了三 角箭矢阵.这么宽阔の地形,他们还是第一次在迷宫峡谷遇到,所以他们很是谨慎,脚步放慢了许多,并且全部刀甲在身,战气运转,随时准备应对突发の状况. 慢慢の,地形越老越开阔,不得已,不咋大的队阵型再次变换,变成了圆形防御阵型.大部分の帝王境巅峰强者,被派到了前方,月家女 子和风家の人被围在了中央.速度也再次慢了下来. 一百米,两百米,五百米. 当众人转了一些大弯の时候,他们眼前の视野突然变得无比开阔起来.前方,出现了一块宽阔宛
高中数学二阶矩阵与二元一次方程组导学案苏教版选修
课题：二阶矩阵与二元一次方程组【学习任务】1．了解二阶行列式的定义，会用二阶行列式求逆矩阵和解二元一次方程组．2．能用变换与映射的观点认识线性方程组解的意义．3．会用系数矩阵的逆矩阵求解二元一次方程组．4．会通过具体的系数矩阵，从几何上说明线性方程组解的存在性和惟一性．【课前预习】1．已知2 11,,3 22xA X By⎡⎤⎡⎤⎡⎤===⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦，解方程AX B=2.已知方程组1 03,,,0 25xAX B A X By⎡⎤⎡⎤⎡⎤====⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦，试从几何变换的角度研究方程组解的情况。
【合作探究】例1：利用行列解方程组2310 4560 x yx y+-=⎧⎨+-=⎩。
例2：利用行列式方法求解第2.4.1节例3.例3：利用逆矩阵的知识求解例1。
例4：试从几何变换的角度说明1322x yy⎧+=⎪⎨⎪=⎩解的存在性和惟一性。
例5：已知二元一次方程组1 02,,1 02AX B A B⎡⎤⎡⎤===⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦，试从几何变换的角度研究方程组解的情况。
【自我检测】1.已知1 32 4M⎡⎤=⎢⎥⎣⎦存在逆矩阵，求M的逆矩阵。
2.用解方程组的方法求矩阵M的逆矩阵。
（1）1 01 1M⎡⎤=⎢⎥-⎣⎦；（2）2 31 6M⎡⎤=⎢⎥⎣⎦。
3.从几何变换的角度说明方程组1112211122xy⎡⎤⎢⎥⎡⎤⎡⎤=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎢⎥⎢⎥⎣⎦解的情况。
4.利用逆矩阵解下列方程组：（1）2305x yx y+=⎧⎨-=⎩；（2）3872yx y=⎧⎪⎨-=⎪⎩5.已知在下列矩阵对应变换的作用下，△A B C'''的像是图中的△ABC，试求原像△A B C'''（1）1 00 1-⎡⎤⎢⎥⎣⎦；（2）4 00 4⎡⎤⎢⎥⎣⎦；（3）1 20 1⎡⎤⎢⎥⎣⎦6.求使等式2 4 2 0 1 03 50 10 -1M⎡⎤⎡⎤⎡⎤=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦成立的矩阵M。
二阶矩阵和二元一次方程组PPT课件
good job / the number one
gesture 手势，姿势 n.
OK
bad
gesture 手势，姿势 n.
Be quiet!
Come here.
expression 表情，神态
shocked
thoughtful
expression 表情，神态
tired excited
c d
若记D a c
b d
，Dx
m n
b d
，D y
a c
m n
则
x
y
Dx D Dy D
例1：利用行列式解方程组
2x 4 x
3y 5y
1 6
0 0
例2：利用行列式的方法求解矩阵A
5 7
1 3
的逆矩阵。
用逆矩阵的知识解决二元一次方程组的求解过程。
ax by m
cx
dy
n
rest head on hand,
Simon look downwards,
never smile,
look unfriendly, make others go away
well-dressed 穿着讲究的adj. • People are well-dressed at
the wedding.
2 3 x 1
4
5
y
6
x 2 31 1
y
4
5
6 L
例4：试从几何变换的角度说明
x
1 2
y
3
解的
y 2
存在性和唯一性。
例5：已知二元一次方程组AX=B，A=
1 1
00，
江苏省徐州市建平中学高二数学 二阶矩阵与二元一次方程组教案
问 题1、方程 的解是：
问题2、定义：det(A)＝ ＝
记：D＝ ，Dx＝ ，Dy＝ ，所以，方程组的解为
二数学应用
例1、利用行列 式解方程组 .
分析一、用行列式
学生
思考：二阶矩阵 与二阶行列式 有什么异同？
讨论：三个行列式是怎么得来的？
学生阅读课本60页思考: 如何用逆矩阵的知识解这个方程组?
课外作业
65页6、7、
教学小结
教学过程设计
教
学
二次备课
分析二：从逆变换的角度来理解并求解。3、试从几何变换的角度说明方程组 解的存在性和唯一性.
三课堂小结1、已掌握的知识
2、已掌握的方法
练习：
1.设A= , x= , B= ,用两种方法解方程组Ax=B ;
2.已知方 程组Ax= B , A= , x= , B= ,试从几何变换的角度研究方 程组解的情况.
课题
二阶矩阵与二元一次方程组
总 课时数
第节
教学目标
1.掌握二阶行列式的定义及运算方法,了 解行列式与矩阵的异同.
2.掌握运用行列式解方程组的方 法
教学重难点
二阶行 列式的定义及运算方法
运用行列式解方程组、求逆矩阵
教学参考
教师用书课本名师课堂
授课方法
引导发现
教学辅助手段
多媒体
专用教室
教学过程设计
教
学
二次备课
二阶矩阵与二元一次方程组
=
1 1
的解的情况.
2 2
cd
n
将a
c
m n
记为Dy，于是：
x y
DX D Dy
D
.
b d
记为Dx，
2x 3y 1 0 例1、利用行列式解方程组：4x 5 y 6 0 ．
用逆矩阵理解二元一次方程组的求解过程：
对于二元一次方程组acxx
by dy
m n
，若将X=
在切变矩阵
1 0
了向量
3 2
．
1
2 1
的作用下变成
例2、用逆矩阵的知识解方程组：42xx
3y 5y
1 0 60
．
练习：用逆矩阵的知识解方程组.
(1)
2x 3 y 0
x y5
；(2)
x
3y 8 y7
2
.
例3、试从几何变换的角度说明
a b 称为二阶行列式， cd
它的运算结果是一个数值(或多项式)，记为：
a
det(A)=
b =ad－bc．
cd
m
x y
md bn
x
ad bc an cm
记为：
ad bc
n a c a c
y
a
c
b d b
d.
m n b d
为方便起见，将 a b 记为D，将 m
二阶矩阵与二元一次方程组
关于x，y的二元一次方程组
ax
cx
by dy
第10课二阶矩阵与二元一次方程组
第10课 二阶矩阵与二元一次方程组【学习目标】1.会用行列式的方法解二元一次方程组2.理解行列式的观点判定二元一次方程组是否有解【教材解读】一、二阶行列式与二元一次方程组关于,x y 的二元一次方程组ax by m cx dy n +=⎧⎨+=⎩①②将d b ⨯-⨯①②，得()ad bc x dm bn -=- 再将a c ⨯-⨯②①，得()ad bc y an cm -=-当0ad bc -≠时，方程组的解为dm nb x ad bc an cm y ad bc -⎧=⎪⎪-⎨-⎪=⎪-⎩由行列式的定义：||a bA ad bc c d ==-可得m b nd x ab c d=，a m c n y abc d= 为研究方便起见，常将系数行列式a b c d 记为D ，将m b n d记为x D ，将a m c n 记为y D .于是，x y D x D D y D⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩ 例1. 利用行列式解方程组231456x y x y +=⎧⎨+=⎩ 解：系数行列式为：2325342045D ==⨯-⨯=-≠.1315361365xD ==⨯-⨯=-， 212614846y D ==⨯-⨯=131322x D x D -∴===-,842y D y D ===-- 二、二元一次方程组的矩阵形式 一般地，二元一次方程组ax by mcx dy n+=⎧⎨+=⎩，都可写成矩阵形式：a b x m c d y n ⎡⎤⎡⎤⎡⎤=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦二元一次方程组的矩阵形式，严格按照二阶矩阵与平面列向量的乘法法则书写即可. 三、用逆矩阵求解二元一次方程组若将x X y ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦看成原先的向量，而将m B n ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦看成是经过系数矩阵(0)a b A ad bc c d ⎡⎤=-≠⎢⎥⎣⎦对应变换作用后得到的向量，则可将其记为矩阵方程AX B =.在它的左右两边同时左乘1A -，得到1X A B -=，其中，1db ad bc ad bc A c a ad bc ad bc --⎡⎤⎢⎥--=⎢⎥-⎢⎥⎢⎥--⎣⎦.例2. 利用逆矩阵求解方程组231456x y x y +=⎧⎨+=⎩解：设2345A ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦，1,6x x B y ⎡⎤⎡⎤==⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦，则方程组可写为：AX B =. 矩阵2345A ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦所对应的行列式23||25342045A ==⨯-⨯=-≠ A ∴可逆，即153||||2221||||d b A A A c a A A --⎡⎤⎡⎤⎢⎥-⎢⎥⎢⎥==⎢⎥-⎢⎥-⎣⎦⎢⎥⎣⎦1531312226214X A B -⎡⎤⎡⎤-⎡⎤⎢⎥⎢⎥∴===⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦--⎣⎦⎣⎦. 13,42x y ==-小结：① 从几何变换的角度看，解这个方程组实际上就是已知变换矩阵2345⎡⎤⎢⎥⎣⎦和变换后的象16⎡⎤⎢⎥⎣⎦，去求在这个变换的作用下的原象xy ⎡⎤⎢⎥⎣⎦；② 如果关于,x y 的二元一次方程组ax by mcx dy n+=⎧⎨+=⎩的系数行列式||0a b A ad bc c d==-≠，则对应的系数矩阵a b A c d ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦是可逆的，则方程组有唯一解； ③ 如果关于,x y 的二元一次方程组ax by mcx dy n+=⎧⎨+=⎩的系数行列式||0a b A ad bc c d ==-=，则对应的系数矩阵a b A c d ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦不可逆，则方程组有非零解. ④ 用二阶矩阵和行列式研究二元一次方程组的解的情况并不比消元法优越，但当方程组中的未知数很多的时候，矩阵就变成了研究它的强有力工具. 【自我评价】1. 利用行列式解方程组520231x y x y +=⎧⎨+=⎩2. 利用逆矩阵解方程组20251x y x y +=⎧⎨+=⎩3. （09江苏模拟）利用逆矩阵求二元一次方程组25436x y x y -=⎧⎨+=⎩的解.4.已知1202,0112A B ⎡⎢⎡⎤⎥==⎢⎥⎥⎣⎦⎥⎦，求圆221x y +=在()1AB -变换作用下的图形的方程.5. 当λ为何值时，二元一次方程组2213x x y y λ⎡⎤⎡⎤⎡⎤=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦有非零解？。
数学：2.4.2《二阶矩阵与二元一次方程组》教学案(苏教版选修4-2)
§2。
4.2二阶矩阵与二元一次方程组教学目标:知识与技能:1。
掌握二阶行列式的定义及运算方法, 了解行列式与矩阵的异同.2。
掌握运用行列式解方程组的方法。
3.能利用逆矩阵理解二元一次方程组的求解过程, 掌握从几何变换的角度判断方程组的解的情况过程与方法：情感、态度与价值观：教学重点：二阶行列式的定义及运算方法教学难点：运用行列式解方程组教学过程:一、问题情境:关于x , y 的二元一次方程组ax by m cx dy n+=⎧⎨+=⎩当ab －bc ≠0时， 方程的解为md bn x ad bc an cmy ad bc -⎧=⎪⎪-⎨-⎪=⎪-⎩, 观察方程组的解的结果, 与矩阵a b c d ⎡⎤⎢⎥⎣⎦, m b n d ⎡⎤⎢⎥⎣⎦， a m c n ⎡⎤⎢⎥⎣⎦有何联系?二、建构数学:1.二阶行列式及运算公式；2。
二元一次方程组的行列式解法;3。
利用逆矩阵理解二元一次方程组的求解过程及从几何变换的角度判断方程组的解的情况.三、教学运用:例1、利用行列式解方程组23104560x y x y +-=⎧⎨+-=⎩.思考: 如何用逆矩阵的知识解这个方程组?例2、利用行列式方法求矩阵A=5173⎡⎤⎢⎥⎣⎦的逆矩阵。
例3、试从几何变换的角度说明方程组1322x y y ⎧+=⎪⎨⎪=⎩ 解的存在性和唯一性。
例4、已知二元一次方程组Ax=B, A=1010⎡⎤⎢⎥⎣⎦, B=22⎡⎤⎢⎥⎣⎦， 试从几何变换的角度研究方程组解的情况.四、课堂小结：五、课堂练习：1.设A=2132⎡⎤⎢⎥⎣⎦， x=x y ⎡⎤⎢⎥⎣⎦， B=12⎡⎤⎢⎥⎣⎦, 用两种方法解方程组Ax=B ； 2。
已知方程组Ax=B ， A=1002⎡⎤⎢⎥⎣⎦, x=x y ⎡⎤⎢⎥⎣⎦, B=35⎡⎤⎢⎥⎣⎦, 试从几何变换的角度研究方程组解的情况.六、回顾反思：七、课外作业：1.已知M=11λ-⎡⎢⎣ 42⎤⎥⎦, 且det(M)=0 ， 求λ.2.设A=12⎡⎢-⎣ 23⎤⎥⎦， B=12⎡⎢⎣ 24⎤⎥⎦。
数学：3.3.1《二阶矩阵和二元一次方程组》课件(新人教A选修4-2)
2 3 x 1 y 6 4 5
x 2 y 4 3 5
课 堂 小 结
一、消元法二求解元一次方程组 二、二阶行列式
应用：
一、用逆矩阵方法求二元一次方程组的解 二、用几何变换的观点讨论方程的解
练习：书P6阵存在，则可以证明其具有唯一性。 二、用几何变换的观点求解逆矩阵 三、用代数方法求解逆矩阵 四、从几何变换的角度求解二阶矩阵乘法的逆矩阵 若二阶矩阵A，B均可逆，则AB也可逆， 且(AB)－1＝B－1 A－1 五、二阶矩阵满足消去律的条件
引
入
消元法二求解二元一次方程组
ax by m cx dy n
AX B
左乘A
-1
得到X A1B
d ad bc 1 其中A -c ad bc
-b ad bc a ad bc
用逆矩阵方法求二元一次方程组的解
2x 3 y 1 0 例3：利用行列式求解二元一次方程组 4 x 5 y 6 0
5 1 例2：利用行列式的方法求解矩阵A 7 3 的逆矩阵。
用逆矩阵的知识解决二元一次方程组的求解过程。
ax by m cx dy n
x m a b 记：X ，B , A 则 y n c d
md bn x ad bc 当ad－bc≠0时，方程组的解为 y an-cm ad-bc
定
义
a b 我们把 称为二阶行列式，它的运算结果 c d 是一个数值（或多项式），记为 a b det(A)= ad bc c d
数学：331《二阶矩阵和二元一次方程组》课件新讲义人教A选修42
引入
消元法二求解二元一次方程组Βιβλιοθήκη ax by mcxdy
n
当ad－bc≠0时，方程组的解 为
x
m d bn ad bc
y an -cm ad -b c
定义
我们把a b 称为二阶行列式，它的运算结果 cd
是一个数值（或多项式），记为
det(A)= a
b ad bc
cd
ax by m
cx
dy
n
mb
x
n a
d b
解
记
为
：
cd
am
cn y ab
cd
若 记 D a c
d b， D xm nd b， D ya c
m n
则
x
y
Dx D Dy D
例 1 ： 利 用 行 列 式 解 方 程 组 4 2 x x 5 3 y y 1 6 0 0
例 2： 利 用 行 列 式 的 方 法 求 解 矩 阵 A7 5
例3：利用行列式求解二元一次方程组
2x 4x
3y 5y
1 6
0 0
2x3y10 2x3y1 4x5y60 4x5y6
24
3 5
x
y
1 6
x 2 311 y4 5 6
例4：试从几何变换的角度说明x12y3解的 y2
存在性和唯一性。
例5：已知二元一次方程组AX=B，A=11 00， B22，试从几何变换角度研究方程组解的情况。
课
堂
小 结
一、消元法二求解元一次方程组
二、二阶行列式
应用：
一、用逆矩阵方法求二元一次方程组的解
二、用几何变换的观点讨论方程的解
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第10课 二阶矩阵与二元一次方程组
【学习目标】
1.会用行列式的方法解二元一次方程组
2.理解行列式的观点判定二元一次方程组是否有解
【教材解读】
一、 二阶行列式与二元一次方程组
关于,x y 的二元一次方程组ax by m cx dy n +=⎧⎨
+=⎩①
②
将d b ⨯-⨯①②，得()ad bc x dm bn -=- 再将a c ⨯-⨯②①，得()ad bc y an cm -=-
当0ad bc -≠时，方程组的解为dm nb x ad bc an cm y ad bc -⎧=⎪⎪-⎨
-⎪=⎪-⎩
由行列式的定义：||a b
A ad bc c d ==-可得m b n
d x a
b c d
=，
a m c n y a
b
c d
= 为研究方便起见，常将系数行列式a b c d 记为D ，将m b
n d
记为x D ，将a m c n 记为y D .于是，x y D x D D y D
⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩
例1. 利用行列式解方程组231
456
x y x y +=⎧⎨
+=⎩ 解：系数行列式为：2325342045
D ==⨯-⨯=-≠.
1315361365
x
D ==⨯-⨯=-， 212614846
y D =
=⨯-⨯=
131322
x D x D -∴=
==
-,
842y D y D ===-- 二、 二元一次方程组的矩阵形式 一般地，二元一次方程组ax by m
cx dy n
+=⎧⎨
+=⎩，都可写成矩阵形式：
a b x m c d y n ⎡⎤⎡⎤⎡⎤=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦
二元一次方程组的矩阵形式，严格按照二阶矩阵与平面列向量的乘法法则书写即可. 三、 用逆矩阵求解二元一次方程组
若将x X y ⎡⎤
=⎢⎥⎣⎦看成原先的向量，而将m B n ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦看成是经过系数矩阵(0)a b A ad bc c d ⎡⎤
=-≠⎢⎥⎣⎦
对应变换作用后得到的向量，则可将其记为矩阵方程AX B =.
在它的左右两边同时左乘1A -，得到1X A B -=，其中，1d
b ad b
c a
d bc A c a ad bc ad bc --⎡⎤⎢⎥--=⎢⎥-⎢⎥⎢⎥--⎣⎦
.
例2. 利用逆矩阵求解方程组231
456
x y x y +=⎧⎨
+=⎩
解：设2345A ⎡⎤=⎢⎥
⎣⎦
，1,6x x B y ⎡⎤⎡⎤==⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦，则方程组可写为：AX B =. 矩阵2345A ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦
所对应的行列式
23||25342045A ==⨯-⨯=-≠ A ∴可逆，即153||||2221||||d b A A A c a A A --⎡⎤⎡⎤
⎢⎥-⎢⎥⎢⎥==⎢⎥-⎢⎥-⎣⎦⎢⎥
⎣⎦
1531312226214X A B -⎡⎤⎡⎤
-⎡⎤
⎢⎥⎢⎥∴===⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦--⎣⎦⎣⎦
. 13,42x y ==-
小结：
① 从几何变换的角度看，解这个方程组实际上就是已知变换矩阵2345⎡
⎤⎢⎥⎣⎦和变换后的象1
6⎡⎤⎢⎥⎣⎦
，去求在这个变换的作用下的原象x
y ⎡⎤⎢⎥⎣⎦
；
② 如果关于,x y 的二元一次方程组ax by m
cx dy n
+=⎧⎨
+=⎩的系数行列式||0a b A ad bc c d
=
=-≠，
则对应的系数矩阵a b A c d ⎡⎤
=⎢⎥⎣⎦
是可逆的，则方程组有唯一解； ③ 如果关于,x y 的二元一次方程组ax by m
cx dy n
+=⎧⎨
+=⎩的系数行列式||0a b A ad bc c d ==-=，则对应的系数矩阵a b A c d ⎡⎤
=⎢⎥⎣⎦
不可逆，则方程组有非零解. ④ 用二阶矩阵和行列式研究二元一次方程组的解的情况并不比消元法优越，但当方程组中的未知数很多的时候，矩阵就变成了研究它的强有力工具. 【自我评价】
1. 利用行列式解方程组520
231
x y x y +=⎧⎨+=⎩
2. 利用逆矩阵解方程组20
251
x y x y +=⎧⎨
+=⎩
3. （09江苏模拟）利用逆矩阵求二元一次方程组254
36
x y x y -=⎧⎨
+=⎩的解.
4.
已知1202,0112A B ⎡
⎢
⎡⎤⎥
==⎢⎥
⎥⎣⎦
⎥
⎦
，求圆221x y +=在()1AB -变换作用下的图形的方程.。