二阶次线性微分方程.
二阶次线性微分方程
定理 1 如果函数 y1 与 y2 是线性齐次方程的 两个解， 两个解， 则函数 y = C1 y1 + C2 y2 仍为该方程的解， 仍为该方程的解，其中 C1， C2 是任意常数 是任意常数. 证 因为 y1 与 y2 是方程 y″ + p(x)y′ + q(x)y = 0 ″ ′ 的两个解， 的两个解， 所以有
* * y1 + y2 是方程 ① 的特解 的特解， 的特解. 的特解，则
②
③
分别是② 的特解， 证 因为 y1* 与 y2* 分别是② 与 ③ 的特解， 所以有 y1*″ + p(x)y1*′ + q(x)y1* = f 1(x)， ， 与 于是有 y2*″ + p(x)y2*′ + q(x)y2* = f 2(x) .
之比为常数. 反之， 之比为常数， 即 y1 与 y2 之比为常数 反之，若y1 与 y2 之比为常数，
y1 设 = λ , 则 y1 = λ y2，即 y1 - λ y2 = 0. 所以 y1 与 y2 y2 线性相关. 因此，如果两个函数的比是常数 ， 则它们 线性相关 因此， 如果两个函数的比是常数，
−p 2° 特征方程具有两个相等的实根，即 r1 = r2 = . ° 特征方程具有两个相等的实根， 2
e rx [u′′ + ( 2r + p )u′ + ( r 2 + pr + q )u] = 0.
−p 注意到 r = 2
是特征方程的重根， 是特征方程的重根， 所 以 有 r2 + pr + q = 0 及 2r + p = 0. 且 e r x ≠ 0 ， 因此只要 u(x) 满足
1° 特征方程具有两个不相等的实根 r1 与 r2， 即 ° rx r x r1 ≠ r2. 那么，这时函数 y1 = e 1 和 y2 = e 2 都是 ④ 那么， y1 的解， 的解，且 线性无关， = e ( r1 − r2 ) x ≠ 常数 , 所以 y1 与 y2 线性无关， y2 因而它的通解为 r1 x r2 x y1 = C1e + C 2e . 这时， 这时，由特征根可得到常系数线性齐次方程的一个 特解 y1 = erx. 还需再找一个与 y1 线性无关的特解 y2， 为此， 为此，设 y2 = u(x)y1， 其中 u(x)为待定函数 将 y2 及 为待定函数. 为待定函数 其一阶、 其一阶、二阶导数 y′2 = (uerx)′ = erx(u′(x) + ru(x))， ′ ′ ′ ， y″2 = erx (u″(x) + 2ru′(x) + r2u(x))， 代入方程 y″+ ″ ″ ′ ， ″ py′ + qy = 0 中，得 ′
二阶微分方程解
二阶微分方程解二阶微分方程分为齐次和非齐次两种类型。
在这里，我们主要讨论二阶常系数齐次线性微分方程的解法。
二阶常系数齐次线性微分方程的一般形式为：ayy'' + by' + cy = 0其中，a、b、c为常数。
求解过程如下：1. 特征方程：首先求出微分方程的特征方程。
特征方程为：r^2 - pr - q = 0其中，p、q为常数。
2. 求解特征方程：求出特征方程的两个根r1和r2。
可以使用公式：r1,2 = (-p ±√(p^2 - 4q)) / 23. 根据根与系数的关系，得出二阶微分方程的通解：通解= yC1* e^(r1x) + yC2 * e^(r2x)其中，yC1和yC2为待定系数，可通过初始条件求解。
4. 求解特解：若需要求解特解，可以先设特解的形式为y = yE(x)，然后将其代入原方程，求解待定系数。
举例：求解二阶常系数齐次线性微分方程：yy'' - 2y' + 3y = 01. 特征方程：r^2 - 2r + 3 = 02. 求解特征方程：r1= 1，r2 = 33. 通解：通解= yC1* e^x + yC2* e^-x4. 求解特解：设特解为y = yE(x) = e^(x^2)将其代入原方程，求解得到yE(x)为原方程的特解。
需要注意的是，二阶微分方程的解法不仅限于齐次方程，还包括非齐次方程。
非齐次方程的解法通常需要先求解齐次方程的通解，然后通过待定系数法求解特解。
此外，还有其他类型的二阶微分方程，如艾里方程等，其解法更为复杂。
5.4.1-2二阶线性微分方程
所以 u′′( x ) = 0,
ห้องสมุดไป่ตู้
取 u ′′ ( x ) = 0 的一个解 u ( x ) = x ，则 y 2 = xe rx .
故方程①的通解为 y = C 1e rx + C 2 xe rx ， 方程①
即
y = e (C1 + C 2 x).
（1）（3）是二阶线性微分方程， 解： ） （ ）是二阶线性微分方程， （ 、 （2）（ ）不是二阶线性微分方程 ） （4）不是二阶线性微分方程. 、
5.4.1 二阶线性微分方程解的性质
设 二阶线性齐次方程为 y ′′ + a1 ( x ) y ′ + a 2 ( x ) y = 0 ① 二阶线性非齐次方程为 y ′′ + a1 ( x ) y ′ + a 2 ( x ) y = f ( x ) ②
y ∗ ，则该方程的通解为 y = y + y ∗ .
上面结论也适合于一阶线性非齐次方程， 上面结论也适合于一阶线性非齐次方程，还可 推广到二阶以上的线性非齐次方程. 推广到二阶以上的线性非齐次方程. 到二阶以上的线性非齐次方程
定理 5 设复函数 y = y1 ( x ) ± i y2 ( x ) 是微分方程
则 y1 ( x ) + y 2 ( x ) 是线性非齐次方程 的解 y′′ + a1 ( x ) y′ + a 2 ( x ) y = f1 ( x )+ f 2 ( x ) 的解.
5.4.2 二阶线性微分方程解的结构
定义 设 y1 ( x ), y 2 ( x ) 是定义在 区间 I 上 的两个 函数， 函数，若存在不全为零的常数 k1 , k 2 ，使得 ∀x∈I ， ∈ 则称函数 都有 k1 y1 ( x )+ k 2 y 2 ( x ) = 0 ，则称函数 y1 ( x ), y 2 ( x ) 线性相关； 在 区间 I 上 线性相关；否则就称 y1 ( x ), y 2 ( x ) 在 线性无关. 区间 I 上线性无关
二阶微分方程
解法
(r 2 pr q ) e r x 0 r 2 pr q 0
上述方程称为微分方程的特征方程, 其根称 为特征根. 求解常系数线性齐次微分方程 转化 求特征方程(代数方程)之根
y p y q y 0 ( p, q为常数 )
特征方程: r 2 pr q 0 , 特征根 实根 通 解
定理2 如果函数 y1 与 y2 是二阶齐次线性方程 y + p(x)y + q(x)y = 0 的两个线性无关的特解， 则 y = C1 y1 + C2 y2
是该方程的通解，其中 C1, C2为任意常数.
例 验证 y1 cos x, y2 sin x 是方程 y y 0 的 两个解，并写出该方程的通解
y p ( x) y q ( x) y 0
的两个解, 则 y C1 y1 ( x) C2 y2 ( x)也是该方程的解.
(叠加原理)
注意 叠加起来的解从形式上看含有 C1 与 C2 两 个任意常数，但它还不一定是方程的通解．
例如
y1 2 y2
定义 设 y1 ( x), y2 ( x),, yn ( x) 是定义在区间I 上 的n 个函数, 若存在不全为 0 的常数
例1 写出下列方程的特解形式.
例2 求微分方程
的通解
思考题
1 设函数 y(x) 满足
y(0) 1, 求 y(x)
2 求以 y (C1 C2 x x 2 )e 2 x 为通解的线性微分 方程（其中C1, C2为任意常数）
* * 且 y1 与 y2 分别是
y + p(x)y + q(x)y = f1 (x)， 和 y + p(x)y + q(x)y = f2 (x)
二阶线性微分方程的解法
二阶常系数线性微分方程一、二阶常系数线形微分方程的概念形如(1))(x f qy y p y =+'+''的方程称为二阶常系数线性微分方程.其中、均为实数,为已知的p q )(x f 连续函数.如果,则方程式 (1)变成0)(≡x f(2)0=+'+''qy y p y 我们把方程(2)叫做二阶常系数齐次线性方程,把方程式(1)叫做二阶常系数非齐次线性方程. 本节我们将讨论其解法.二、二阶常系数齐次线性微分方程 1．解的叠加性定理1 如果函数与是式(2)的两个解, 则也是1y 2y 2211y C y C y +=式(2)的解,其中是任意常数.21,C C 证明 因为与是方程(2)的解,所以有 1y 2y 0111=+'+''qy y p y0222=+'+''qy y p y 将代入方程(2)的左边,得 2211y C y C y += )()()(221122112211y C y C q y C y C p y C y C ++'+'+''+''= 0)()(22221111=+'+''++'+''qy y p y C qy y p y C 所以是方程(2)的解. 2211y C y C y +=定理1说明齐次线性方程的解具有叠加性.叠加起来的解从形式看含有两个任意常数,但它不一定是方程式(2)的21,C C 通解.2.线性相关、线性无关的概念设为定义在区间I 内的n 个函数,若存在不全为零的常数,,,,21n y y y 使得当在该区间内有, 则称这,,,,21n k k k 02211≡+++n n y k y k y k n 个函数在区间I 内线性相关,否则称线性无关.例如 在实数范围内是线性相关的,因为 x x 22sin ,cos ,10sin cos 122≡--x x 又如在任何区间(a,b)内是线性无关的,因为在该区间内要使2,,1x x02321≡++x k x k k 必须.0321===k k k 对两个函数的情形,若常数, 则,线性相关,若常数, 则=21y y 1y 2y ≠21y y,线性无关.1y 2y 3.二阶常系数齐次微分方程的解法定理 2 如果与是方程式(2)的两个线性无关的特解,则1y 2y 为任意常数)是方程式(2)的通解.212211,(C C y C y C y +=例如, 是二阶齐次线性方程,是它的0=+''y y x y x y cos ,sin 21==两个解,且常数,即,线性无关, 所以 ≠=x y y tan 211y 2yx C x C y C y C y cos sin 212211+=+=( 是任意常数)是方程的通解. 21,C C 0=+''y y由于指数函数(r 为常数)和它的各阶导数都只差一个常数因子,rxe y =根据指数函数的这个特点,我们用来试着看能否选取适当的常数,rxe y =r 使满足方程(2).rxe y =将求导,得rxe y =rx rx e r y re y 2,=''='把代入方程(2),得 y y y ''',,0)(2=++rx e q pr r 因为, 所以只有(3)0≠rxe02=++q pr r 只要满足方程式(3),就是方程式(2)的解.r rxe y =我们把方程式(3)叫做方程式(2)的特征方程,特征方程是一个代数方程,其中的系数及常数项恰好依次是方程(2)的系数.r r ,2y y y ,,''' 特征方程(3)的两个根为 , 因此方程式(2)的通解2422,1qp p r -±-=有下列三种不同的情形.(1) 当时，是两个不相等的实根.042>-q p 21,r r,2421q p p r -+-=2422qp p r ---=是方程(2)的两个特解,并且常数,即x r x r e y e y 2121,==≠=-x r r e y y )(2121与线性无关.根据定理2,得方程(2)的通解为1y 2y x r x r e C e C y 2121+=(2) 当时, 是两个相等的实根.042=-q p 21,r r ,这时只能得到方程(2)的一个特解,还需求出另221p r r -==xr e y 11=一个解,且常数,设, 即 2y ≠12y y )(12x u y y=)(12x u e y x r =. )2(),(21121211u r u r u e y u r u e y x r x r +'+''=''+'='将代入方程(2), 得 222,,y y y '''[]0)()2(12111=++'++'+''qu u r u p u r u r u e x r 整理,得0])()2([12111=+++'++''u q pr r u p r u e x r 由于, 所以 01≠xr e 0)()2(1211=+++'++''u q pr r u p r u 因为是特征方程(3)的二重根, 所以1r02,01121=+=++p r q pr r 从而有0=''u 因为我们只需一个不为常数的解,不妨取,可得到方程(2)的另一x u =个解.x r xe y 12=那么,方程(2)的通解为x r x r xe C e C y 1121+=即.x r e x C C y 1)(21+=(3) 当时,特征方程(3)有一对共轭复根042<-q p ()βαβαi r i r -=+=21,0≠β于是x i x i e y e y )(2)(1,βαβα-+==利用欧拉公式 把改写为x i x e ixsin cos +=21,y y )sin (cos )(1x i x e e e e y x x i x x i ββαβαβα+=⋅==+)sin (cos )(2x i x e e e e y x x i x x i ββαβαβα-=⋅==--之间成共轭关系,取21,y y =,-1y x e y y x βαcos )(2121=+x e y y iy x βαsin )(2121_2=-=方程(2)的解具有叠加性,所以,还是方程(2)的解,并且-1y -2y 常数,所以方程(2)的通解为 ≠==--x xe x e y y x x βββααtan cos sin 12)sin cos (21x C x C e y x ββα+= 综上所述,求二阶常系数线性齐次方程通解的步骤如下:(1)写出方程(2)的特征方程02=++q pr r (2)求特征方程的两个根21,r r (3)根据的不同情形,按下表写出方程(2)的通解. 21,r r 特征方程的02=++q pr r 两个根21,r r 方程 的通0=+'+''qy y p y 解两个不相等的实根 21r r ≠xr xr eC e C y 2121+=两个相等的实根 21r r = xr e x C C y 1)(21+=一对共轭复根βαi r ±=2,1)sin cos (21x C x C e y x ββα+=例1求方程的通解. 052=+'+''y y y 解: 所给方程的特征方程为0522=++r ri r i r 21,2121--=+-=所求通解为.)2sin 2cos (21x C x C e y x +=-例2 求方程满足初始条件0222=++S dt dSdtS d 2,400-='===t t S S 的特解.解 所给方程的特征方程为0122=++r r121-==r r 通解为t e t C C S -+=)(21将初始条件代入,得 ,于是40==t S41=C ,对其求导得t e t C S -+=)4(2t e t C C S ---=')4(22将初始条件代入上式,得20-='=t S22=C 所求特解为t e t S -+=)24(例3求方程的通解. 032=-'+''y y y 解 所给方程的特征方程为 0322=-+r r 其根为1,321=-=r r 所以原方程的通解为x x e C e C y 231+=-二、二阶常系数非齐次方程的解法 1.解的结构定理3 设是方程(1)的一个特解,是式(1)所对应的齐次方程式(2)*y Y 的通解,则是方程式(1)的通解.*+=y Y y 证明 把代入方程(1)的左端:*+=y Y y)()()(*++*'+'+*''+''y Y q y Y p y Y = )()(*+*'+*''++'+''qy py y qY Y p Y=)()(0x f x f =+使方程(1)的两端恒等,所以是方程(1)的解.*+=y Y y *+=y Y y 定理4 设二阶非齐次线性方程(1)的右端是几个函数之和,如 )(x f(4))()(21x f x f qy y p y +=+'+''而与分别是方程 *1y *2y )(1x f qy y p y =+'+''与)(2x f qy y p y =+'+''的特解,那么就是方程(4)的特解, 非齐次线性方程(1)的特解有时可**+21y y 用上述定理来帮助求出.2.型的解法)()(x P e x f m xλ=,其中为常数,是关于的一个次多项式.)()(x P e x f m x λ=λ)(x P m x m方程(1)的右端是多项式与指数函数乘积的导数仍为同)(x f )(x P m xe λ一类型函数,因此方程(1)的特解可能为,其中是某个多xe x Q y λ)(=*)(x Q 项式函数. 把x e x Q y λ)(=*x e x Q x Q y λλ)]()(['+=*'x e x Q x Q x Q y λλλ)]()(2)([2''+'+=*''代入方程(1)并消去,得 xe λ(5))()()()()2()(2x P x Q q p x Q p x Q m =+++'++''λλλ 以下分三种不同的情形,分别讨论函数的确定方法:)(x Q(1) 若不是方程式(2)的特征方程的根, 即λ02=++q pr r ,要使式(5)的两端恒等,可令为另一个次多项式02≠++q p λλ)(x Q m :)(x Q mm m m x b x b x b b x Q ++++= 2210)(代入(5)式,并比较两端关于同次幂的系数,就得到关于未知数x m b b b ,,,10 的个方程.联立解方程组可以确定出.从而得到所求1+m ),,1,0(m i b i =方程的特解为x m e x Q y λ)(=*(2)若是特征方程的单根, 即λ02=++q pr r ,要使式(5)成立, 则必须要是次多02,02≠+=++p q p λλλ)(x Q 'm 项式函数,于是令)()(x xQ x Q m =用同样的方法来确定的系数. )(x Q m ),,1,0(m i b i = (3) 若是特征方程的重根,即λ02=++q pr r ,02=++q p λλ.02=+p λ要使(5)式成立,则必须是一个次多项式，可令)(x Q ''m)()(2x Q x x Q m =用同样的方法来确定的系数.)(x Q m 综上所述,若方程式(1)中的,则式(1)的特解为xm e x P x f λ)()(=x m k e x Q x y λ)(=*其中是与同次多项式,按不是特征方程的根,是特征方程)(x Q m )(x P m k λ的单根或是特征方程的重根依次取0,1或2.例4 求方程的一个特解.xey y 232-='+''解 是型, 且)(x f xm e x p λ)(2,3)(-==λx P m 对应齐次方程的特征方程为 ,特征根根为.022=+r r 2,021-==r r =-2是特征方程的单根, 令λ,代入原方程解得x e xb y 20-=*230-=b 故所求特解为.x xe y 223--=*例5 求方程的通解. xe x y y )1(2-='-''解 先求对应齐次方程的通解. 02=+'-''y y y 特征方程为 , 0122=+-r r 121==r r 齐次方程的通解为 .x e x C C Y )(21+= 再求所给方程的特解1)(,1-==x x P m λ由于是特征方程的二重根,所以1=λx e b ax x y )(2+=*把它代入所给方程,并约去得xe126-=+x b ax 比较系数,得61=a 21-=b 于是x e x x y )216(2-=*所给方程的通解为x e x x x C C y y y )6121(3221+-+=+=*3.型的解法x B x A x f ϖϖsin cos )(+=其中、、均为常数.,sin cos )(x B x A x f ωω+=A B ω此时,方程式(1)成为(7)x B x A q y p y ωωsin cos +=+'+''这种类型的三角函数的导数,仍属同一类型,因此方程式(7)的特解也*y 应属同一类型,可以证明式(7)的特解形式为)sin cos (x b x a x y k ωω+=*其中为待定常数.为一个整数.b a ,k 当不是特征方程的根, 取0; ω±i 02=++q pr r k 当不是特征方程的根, 取1; ω±i 02=++q pr r k 例6 求方程的一个特解. x y y y sin 432=-'+''解，不是特征方程为的根，.1=ωω±i i ±=0322=-+r r 0=k 因此原方程的特解形式为x b x a y sin cos +=*于是 x b x a y cos sin +-=*'x b x a y sin cos --=*''将代入原方程，得*''*'*y y y ,,⎩⎨⎧=--=+-442024b a b a 解得54,52-=-=b a 原方程的特解为:x x y sin 54cos 52--=*例7 求方程的通解.x e y y y xsin 32+=-'-''解 先求对应的齐次方程的通解.对应的齐次方程的特征方程为Y0322=--r r3,121=-=r rx x e C e C Y 321+=- 再求非齐次方程的一个特解.*y 由于,根据定理4,分别求出方程对应的右端项为x e x x f -+=2cos 5)(的特解、,则 是原方程的一,)(1x e x f =x x f sin )(2=*1y *2y **+=*21y y y 个特解.由于,均不是特征方程的根,故特解为1=λω±i i ±= )sin cos (21x c x b ae y y y x ++=+=***代入原方程,得x e x c b x c b ae x x sin sin )42(cos )24(4=-++--比较系数,得14=-a 024=+c b 142=-c b 解之得 . 51,101,41-==-=c b a 于是所给方程的一个特解为x x e y x sin 51cos 10141-+-=*所以所求方程的通解为 . x x e e C e C y Y y x x x sin 51cos 10141321-+-+=+=-*。
二阶微分方程解法
二阶微分方程解法
1.二阶常系数齐次线性微分方程解法
一般形式:y”+py’+qy=0,特征方程r2+pr+q=0。
特征方程
r2+pr+q=0的两根为r1,r2微分方程y”+py’+qy=0的通解。
两个不相等的实根r1,r2，y=C1er1x+C2er2x。
两个相等的实根r1=r2，y=(C1+C2x)er1x。
一对共轭复根r1=α+iβ,r2=α-iβ，
y=eαx(C1cosβx+C2sinβx)。
2.二阶常系数非齐次线性微分方程解法
一般形式:y”+py’+qy=f(x)。
先求y”+py’+qy=0的通解
y0(x),再求y”+py’+qy=f(x)的一个特解y*(x)。
则
y(x)=y0(x)+y*(x)即为微分方程y”+py’+qy=f(x)的通解。
求
y”+py’+qy=f(x)特解的方法:
①f(x)=Pm(x)eλx型。
令y*=xkQm(x)eλx［k按λ不是特征方程的根,是特征方程的单根或特征方程的重根依次取0,1或2］再代入原方程,确定Qm(x)的m+1个系数。
②f(x)=eλx［Pｌ(x)cosωx+Pn(x)sinωx］型。
令y*=xkeλx ［Qm(x)cosωx+Rm(x)sinωx］［m=max﹛ｌ,n﹜,k按λ+iω不是特征方程的根或是特征方程的单根依次取0或1］再代入原方程,分别确定Qm(x)和Rm(x)的m+1个系数。
二阶常系数线性齐次微分方程
二阶常系数线性齐次微分方程二阶常系数线性齐次微分方程，又称二阶次线性常系统，是数学分析和积分变换中重要的问题，在系统控制、信号处理和信号检测中也得到广泛应用。
一. 二阶常系数线性齐次微分方程的概念1、定义：二阶常系数线性齐次微分方程是指有形式U′′ + pU′ + qU = 0的二阶常系数齐次线性微分方程，其中，p和q为常数，U是未知函数。
2、求解：若对未知函数U，有形如U′′ + pU′ + qU = 0的二阶常系数齐次线性微分方程，则求解之所有实根解形式有：U（t）＝C1eλ1t＋C2eλ2t，其中，C1，C2为常数，λ1，λ2为方程的根，则得到方程：λ2＋pλ＋q＝0。
二. 二阶常系数线性齐次微分方程的特点1、齐次：二阶常系数线性齐次微分方程是等号右边完全为零的一次方程的特殊形式，其解实际上也就是方程的根，二阶齐次方程的解可以通过求根公式求出。
2、常系数：二阶常系数线性齐次微分方程所有项都是常系数，不会改变，所以可以用公式进行解法简化，使用求根公式求出二阶常系数线性齐次微分方程的实根解，比一般的常系数线性非齐次微分方程的解法要简单得多；3、线性：二阶常系数线性齐次微分方程里面的未知函数和其倒数的次数有明确的关系，所以它是线性的；4、微分：二阶常系数线性齐次微分方程里面的未知函数不仅要满足一次微分方程，而且要满足特定的二次微分方程；三. 二阶常系数线性齐次微分方程的应用1、系统控制：二阶常系数线性齐次微分方程可以用来描述内外环回路的联系，可以用来优化被控系统的输出；2、信号处理：二阶常系数线性齐次微分方程可以用来对信号进行插值、滤波、离散傅里叶变换等处理；3、信号检测：二阶常系数线性齐次微分方程可以用来检测周期性变化或者噪声等不平凡现象，从而处理信号。
四. 二阶常系数线性齐次微分方程的扩展1、非齐次：不论是一阶常系数线性非齐次微分方程还是二阶非齐次微分方程，都可以通过常系数变换将其转化为齐次方程；2、常数变量：在适当的条件下，可以将二阶常系数线性齐次微分方程中的未知函数转化成一、二阶常数变量方程组；3、转化：二阶常系数线性齐次微分方程可以用Laplace变换、线性变换和积分变换等转化手段将其转化为容易求解的形式；4、衍生：可以从二阶常系数线性齐次微分方程发展出求解波。
二阶齐次线性微分方程的求解
二阶齐次线性微分方程的求解二阶齐次线性微分方程的求解________________________________________________________________在数学中，二阶齐次线性微分方程是一种重要的数学工具，它可以用来解决许多有关物理学、工程学、生物学和经济学等问题。
它可以用来描述物理系统中的运动及其影响，也可以用来描述生物系统中的发展及其影响，还可以用来描述经济系统中的变化及其影响。
本文将介绍二阶齐次线性微分方程的求解，以及它在不同领域中的应用。
一、二阶齐次线性微分方程的求解1.1 定义二阶齐次线性微分方程是一个常微分方程，它的形式为：$$ay''+by'+cy=0$$其中，a、b、c为常数，y为未知函数，y'为y的一阶导数，y''为y的二阶导数。
1.2 解法由于二阶齐次线性微分方程具有特殊的形式，所以它的解法也很特殊。
一般来说，它的解法可以分为两步：（1）将原方程转化为一般形式：$$r^2+pr+q=0$$其中，r、p、q是常数，r为公因子，p、q为不定因子。
（2）解一般形式：$$r=\frac{-p\pm\sqrt{p^2-4q}}{2}$$根据上式可以得到原方程的两个根。
然后根据两个根求出原方程的解。
二、二阶齐次线性微分方程在不同领域中的应用2.1 物理学中的应用在物理学中，二阶齐次线性微分方程可以用来描述物体在受外力作用时的运动。
例如，它可以用来描述一个物体在受重力影响时的运动；也可以用来描述一个物体在受弹力影响时的运动。
2.2 生物学中的应用在生物学中，二阶齐次线性微分方程可以用来描述生物体在受外界因素影响时的发展。
例如，它可以用来描述一个生物体在受光强度影响时的生长情况；也可以用来描述一个生物体在受水分影响时的生长情况。
2.3 经济学中的应用在经济学中，二阶齐次线性微分方程也有重要应用。
例如，它可以用来描述一个国家在受外部影响时的贸易情况；也可以用来描述一个国家在受外部影响时的通货膨胀情况。