初中数学等腰三角形中的一个重要命题专题辅导

初中数学等腰三角形中的一个重要命题
1. 命题的提出
命题：等腰三角形底边上任意一点与两腰的距离和等于一腰上的高。

如图，已知∆ABC 中，AB AC =，P 是底边BC 上任意一点，PE AC PF AB ⊥⊥,，E 、F 为垂足，BH 为AC 腰的高。

求证：PE PF BH +=
图1 图2 图3
由于∆ABC 中，∠A 可能为直角、锐角、钝角，因此可画出三种图形，如上图1，2，3。

2. 命题的证明
下面就锐角三角形情形给出证明。

证明：方法1 如图4，过点P 作PK BH ⊥ PE AC BH AC ⊥⊥,
∴四边形PEHK 为矩形，PE KH = AB AC
ABC C
PK BH BH AC
PK AC
BPK C FBP =∴∠=∠⊥⊥∴∴∠=∠=∠,// 而∠=∠=︒BFP PKB 90
BP PB =
从而推得∆∆BFP PKB ≅ ∴=∴+=+=PF BK
PE PF KH BK BH
图4
方法2：如图5，用面积法证，连AP
图5
S S AB PF AC PE AC PF PE S AC BH
ABP ACP ABC ∆∆∆+=⨯+⨯=
⨯+=⨯121
2
1
2
1
2
()
又S S S ABP ACP ABC ∆∆∆+= ∴⨯+=⨯121
2AC PF PE AC BH () 即PE PF BH +=
可见用面积法来证更简洁，当∆ABC 为钝角三角形或直角三角形时也可以用类似方法证得结论成立。

这个性质不仅在单独的等腰三角形中可以应用，也可以贯穿于其他图形中，下面举例来说明。

3. 命题的应用
例1. 在矩形ABCD 中，AB BC ==34，，P 是BC 上任意一点，且PE C PF BD ⊥A ⊥、，E 、F 分别为垂足，则PE+PF 的值为（）
A. 125
B. 2
C. 52
D. 13
5
解析：如图6，过点B 作BH AC ⊥，垂足H ，由矩形性质可知OB OC =，所以P 为等腰∆OBC 底边上一点，有PF PE BH +=。

S AB BC AC BH
BH AB BC AC ABC ∆=⨯=
⨯=⨯=
22
125
即PE PF +=12
5
（选A ）
图6
例2. 如图7，正方形ABCD ，边长为1，P 为BC 上一点，PE AC ⊥于点E ，PF BD ⊥于点F 。

求：PF PE +的长。

图7 解析：由正方形性质可知，HB HC HB HC ==⊥2
2
,，因P 为等腰∆HBC 底边上一点，根据命题结论，有PE PF BH +==2
2。

可见，只要找出图中隐藏的等腰三角形，就可把问题转化为前面命题所揭示的性质，就可解决问题。

4. 命题的拓展
这性质在等腰三角形中提出，在等边三角形中具有怎样的情况。

拓展1若点P 为等边三角形∆ABC 一边上一点，设点P 到∆ABC 三边AB ，AC ，BC 的距离分别为h h h ABC 123,,，∆的高为h ，如图8，此时，h 30=，根据命题结论有h h h 12+=，即h h h h 123++=。

图8
若点P 为等边三角形∆ABC 内一点，如图9，S APB ∆++=S S S APC BPC ABC ∆∆∆。

也可得结论h h h h 123++=
图9
若点P 为等边三角形∆ABC 外一点，如图10，S S S S APB APC BPC ABC ∆∆∆∆+-=，得到结论，h h h h 123+-=。

由此可知，在等边三角形∆ABC 中，设O 为其中心，O 到一边的距离为r 3，显然h r =33，就有结论h h h r 12333++=。

图10
在正方形中呢？若点P 为正边形ABCD 内任一点，点O 为正方形的中心，O 到一边的距离为r 4，P 点到AB 、BC 、CD 、DA 各边的距离为h h h h 1234,,,，如图11，有结论h h h h r 123444+++=。

F
B M H C
图11
若点P 为正五边形ABCDE 内任一点，点O 为正五边形的中心，O 到一边的距离为r 5，P 到AB 、BC 、CD 、DE 、EA 各边的距离为h h h h h 12345,,,,，如图12，有结论h h h h h r 1234555++++=。

图12
拓展2若点P 是正n 边形内任一点，O 是正n 边形的中心，点O 到一边的距离为r n ，点P 到各边的距离分别为h h h 123,,，……h n ，有h h h h nr n n 123++++=…。

如此看来，解答数学题时，如能在做出解答后进一步深入研究一下，一定能发现一些很有趣又很有用的新知识或好方法，使解答数学问题的过程变成一个探索发现的过程。

将思维变成流动、活跃的过程，是创新思维教学所追求的更为重要的目标，它是灵活应用知识，创造性的由已知信息推断隐含信息和未知信息，适应条件变化所需要的能力。