初中数学平移等腰直角三角形斜边上的高专题辅导

初中数学平移等腰直角三角形斜边上的高
等腰三角形是美丽的轴对称图形，有许多重要性质和应用，尤其是当顶角是直角时成为等腰直角三角形，它又具有更多更重要的性质，等腰直角三角形斜边上的高（中线）等于斜边的一半，这条高线的平移在解题时可以产生神奇的作用。

下面让我们一起感受它的魅力所在。

例1. 如图1，梯形ABCD 中，AD ∥BC ，AB ⊥AC ，AB=AC ，BD=BC ，求∠DBC 的度数。

图1
解：过点A 作AE ⊥BC ，垂足为E 。

∵ΔABC 是以BC 为斜边的等腰直角三角形， ∴AE=
2
1
BC 。

将线段AE 平移到DF 的位置，显然F 点在BC 上，因为AD ∥BC ，故有DF ⊥BC 且DF=AE ，所以DF=
2
1
BC 。

又因为BC=BD ，故DF=
2
1
BD ，因此∠DBC=30° 点评：ΔABC 是等腰直角三角形，其斜边上的高AE 平移至DF 位置时又出现一个特殊的直角三角形ΔBFD ，它的一条直角边DF 等于斜边BD 的一半，于是即得问题的答案。

这道题的图形内涵很丰富，几乎所有角的度数都可以算出来，∠ABO=15°， ∠AOB=75°，∠AOD=105°，∠OAD=45°，等等。

例2. 如图2，过正方形ABCD 的顶点D 作DE ∥CA ，且CE=CA ，则∠E=________度。

图2
解：如图2，过点D 作DF ⊥AC ，垂足为F ，则DF=
2
1
AC 。

∵DE ∥AC ，
∴DF ⊥DE 。

将DF 平移到CG 的位置，显然G 点在DE 上，则有CG ⊥DE 且CG=DF ，所以CG=
2
1
AC 。

因AC=CE ，可知CG=
2
1
CE ，所以∠E=30°。

点评：正方形问题常常涉及等腰直角三角形，这类题也是中考容易出现的题型。

思考题：若点E 改在图3所示的位置，请同学们完成解题过程。

图3
例3. 如图4，F 是正方形ABCD 中BC 延长线上的一点，CE 是∠DCF 的平分线，以B 为圆心，BD 为半径作弧交CE 于G ，若正方形的边长为a ，求扇形DBG 的面积。

图4
解：过C 点作CH ⊥BD ，垂足为H ，则CH=
21
BD ，易证BD ∥CE ，将CH 平移到GI 的位置，I 在BD 上，则有GI ⊥BD 且HC=GI ，故GI=21BD 。

又因BG=BD ，所以GI=2
1
BG ，
故∠DBG=30°。

易得a BC BD 22==。

∴6
360)2(302
2a a S BDG ππ==扇形。

点评：图1和图4看上去差别很大，实际上只是放置位置的差别，如果连接DG ，图1
中的梯形ABCD 和图4中的四边形BCGD 完全一样。

例4. 如图5，正方形ABCD 中，AC ∥BF ，AE ∥CF 且AE=AC 。

求证：∠CAF=∠FAE=∠EAB 。

图5
证明：过B 点作BG ⊥AC ，垂足为G ，则BG=
2
1
AC 。

将BG 平移到EH 的位置，H 在AC 上，因AC ∥BF ， 则有EH ⊥AC 且EH=BG ，故EH=2
1
AC 。

又因AC=AE ，所以EH=
2
1
AE ，故∠CAE=30°。

因∠CAB=45°，可知∠BAE=15°。

易知四边形AEFC 是菱形，所以∠CAF=∠FAE 。

∴∠CAF=∠FAE=∠EAB=15°。