数据特征的测度

数据特征的测度数据特征的测度数据特征的测度统计数据经过整理和显示后，我们对数据分布的类型和特点就有了一个大致的了解，但这种了解只是表面上的，还缺少代表性的数量特征值准确地描述出统计数据的分布。

为进一步掌握数据分布的特征和规律，进行更深入的分析，还需要找到反映数据分布特征的各个代表值。

对统计数据分布的特征，我们可以从三个方面进行测度和描述：一是分布的集中趋势，反映各数据向其中心值靠拢或聚集的程度；二是分布的离散程度，反映各数据远离其中心值的趋势；三是分布的偏态和峰度，反映数据分布的形状。

这三个方面分别反映了数据分布特征的不同侧面，这里我们主要讨论集中趋势和离散程度的测度方法。

（一）集中趋势的测度集中趋势是指一组数据向某一中心值靠拢的倾向，测度集中趋势也就是寻找数据一般水平的代表值或中心值。

集中趋势的测度值主要有众数、中位数、均值、几何平均数等几种。

众数是一组数据中出现次数最多的变量值，用M 0表示。

例如，下面是抽样调查的10个家庭住房面积（单位：平方米）的数据：55 75 75 90 90 90 90 105 120 150这10个家庭住房面积的众数为90。

即M 0＝90（平方米）众数是一个位置代表值，它的特点是不受数据中极端值的影响。

2. 中位数中位数是一组数据按一定顺序排序后，处于中间位置上的数值，用M e 表示。

显然，中位数将全部数据等分成两部分，每部分包含50％的数据，一部分数据比中位数大，另一部分则比中位数小。

根据未分组数据计算中位数时，要先对数据进行排序，然后确定中位数的位置，其公式为：式中的n 为数据的个数，最后确定中位数的具体数值。

设一组数据为x 1，x 2，…，x n ，按从小到大排序后为x (1) ，x (2) ，…，x (n ) ，则中位数可表示为：当n 为奇数时⎧x n +1M e =⎧1⎧⎧⎧ x n +x n ⎧当n 为偶数时+1⎧2 ⎧22⎧⎧⎧例如，在某城市中随机抽取9个家庭，调查得到每个家庭的人均月收入数据如下（单位：750 780 850 960 1080 1250 1500 1650 2000中位数位置＝（9＋1）÷2＝5，中位数为1080，即M e ＝1080（元）。

假定我们抽取了10个家庭，每个家庭的人均月收入数据为： 660 750 780 850 960 1080 1250 1500 1650 2000 这时，中位数位置＝（10＋1）÷2＝5.5，中位数为1020，即：960+1080=1020（元）中位数是一个位置代表值，其特点是不受极端值的影响，在研究收入分配时很有用。

3. 均值均值也称为算术平均数，它是全部数据的算术平均。

均值在统计学中具有重要的地位，是集中趋势的最主要测度值，根据所掌握数据的不同，均值有不同的计算形式和计算公式。

（1）简单均值。

根据未经分组整理的原始数据计算均值。

设一组数据为x 1，x 2，…，x n ，则均值x （读作x-bar ）的计算公式为：x 1+x 2+ +x n例如，根据下面的例子，计算10个家庭的平均住房面积。

55 75 75 90 90 90 90 105 120 15055+75+ +120+150=94（平方米）（2）加权均值。

根据分组整理的数据计算均值。

设原始数据被分成k 组，各组的组中值为x 1，x 2，…，x k ，各组变量值出现的频数分别为f 1，f 2，…，f K ，则均值的计算公式可以写为：x f +x 2f 2+ +x k f k x =11=f 1+f 2+ +f k∑x i f i例如，假定我们在某城市中随机抽取50个家庭，调查住房面积，经分组后结果如表。

计算50个家庭的平均住房面积。

计算过程见表。

4-7 某城市50个家庭住房面积均值计算表代入上面的公式得：∑x i f i=98. 8（平方米） 50从加权均值可以看出，其数值的大小不仅受各组变量值（x i ）大小的影响，而且受各组变量值出现的频数即权数（f i ）大小的影响。

如果某一组的权数较大，说明该组的数据较多，那么该组数据的大小对均值的影响就越大，反之则越小。

实际上，我们将加权均值变形为下面的形式，就能更清楚地看出这一点。

∑x i f i=∑x i ⋅由上式可以清楚地看出，加权均值受各组变量（x i ）值大小和各组权数f i∑f i 大小的影响。

当我们掌握的不是各组变量值出现的频数，而是频率时，也可直接根据上面的公式计算均值。

均值在统计学中具有重要的地位，它是进行统计分析和统计推断的基础。

从统计思想上看，均值是一组数据的重心所在，是数据误差相互抵消后的必然性结果。

比如我们对同一事物进行多次测量，若所得结果不一致，可能是由于测量误差所致，也可能是其他因素的偶然影响，利用均值作为其代表值，则可以使误差相互抵消，反映出事物必然性的数量特征。

均值的缺点是容易受极端值的影响。

4. 几何平均数几何平均数是n 个变量值乘积的n 次方根，计算公式为：G =x 1⨯x 2⨯⨯x n =∏x i式中：G 表示几何平均数，∏为连乘符号。

几何平均数是适用于特殊数据的一种平均数，它主要用于计算比率或速度的平均。

当我们所掌握的变量值本身是比率的形式，而且各比率的乘积等于总的比率，这时就应采用几何平均法计算平均比率。

在实际应用中，几何平均数主要用于计算社会经济现象的平均发展速度。

例如，一位投资者持有一种股票，在1996、1997、1998和1999年收益率分别为4.5％、2.0％、3.5％、5.4％。

计算该投资者在这四年内的平均收益率。

解：根据几何平均数的计算公式得：G =x 1⨯x 2⨯⨯x n=. 5%⨯102. 0%⨯103. 5%⨯105. 4%＝103.84％即该投资者的年平均收益率为103.84％－100％＝3.84％。

（二）离散程度的测度集中趋势只是数据分布的一个特征，它所反映的是各变量值向其中心值聚集的程度。

而各变量值之间的差异状况如何呢？这就需要考查数据的分散程度。

数据的分散程度是数据分布的另一个重要特征，它所反映的是各变量值远离其中心值的程度。

我们知道，集中趋势的各测度值是对数据一般水平的一个概括性度量，它对一组数据的代表程度，取决于该组数据的离散水平。

数据的离散程度越大，集中趋势的测度值对该组数据的代表性就越差，离散程度越小，其代表性就越好。

数据离散程度测度值有很多，这里我们主要介绍极差、标准差和离散系数等。

1. 极差极差也称全距，它是一组数据的最大值与最小值之差。

即：极差＝最大值－最小值例如，根据上面10个家庭月人均收入的数据，计算的极差为：极差＝139－107＝32（件）。

极差是描述数据离散程度的最简单测度值，计算简单，易于理解，但它容易受极端值的影响。

由于极差只是利用了一组数据两端的信息，不能反映出中间数据的分散状况，因而不能准确描述出数据的分散程度。

标准差是各变量值与其均值离差平方和的平均数的平方根，它是数测量数据离散程度的最主要方法，也是实际中应用最广泛的离散程度测度值。

设标准差为σ，对于未经整理的原始数据，标准差的计算公式为：∑(x i -x ) 2对于组距分组数据，标准差的计算公式为：∑(x -x ) 2f i标准差与变量值的计量单位相同，其实际意义比较清楚。

因此，在对社会经济现象进行分析时主要使用标准差。

例如，根据表4-7中的数据，计算50个家庭住房面积的标准差。

计算过程见表。

某城市50个家庭住房面积标准差计算表根据上面的计算公式得：∑(x -x ) 2f i=23. 8（平方米） 50结果表明，每个家庭的住房面积与平均数相比，平均相差23.8平方米。

3. 离散系数上面介绍的标准差是反映数据分散程度的绝对值，其数值的大小一方面取决于原变量值本身水平高低的影响，也就是与变量的均值大小有关，变量值绝对水平高的，离散程度的测度值自然也就大，绝对水平小的离散程度的测度值自然也就小；另一方面，它们与原变量值的计量单位相同，采用不同计量单位计量的变量值，其离散程度的测度值也就不同。

因此，对于平均水平不同或计量单位不同的几组数据，是不能用上述离散程度的测度值直接比较其离散程度的。

为消除变量值水平高低和计量单位不同对离散程度测度值的影响，需要计算离散系数。

离散系数通常是就标准差来计算的，因此也称为标准差系数，它是一组数据的标准差与其相应的均值之比，是测度数据离散程度的相对指标，其计算公式为：离散系数的作用主要是用于比较对不同组别数据的离散程度。

离散系数大的说明数据的离散程度也就大，离散系数小的说明数据的离散程度也就小。

例如，某集团公司所属的8家子公司，其产品销售数据如表。

试比较产品销售额与销售利润的离散程度。

需要计算离散系数。

由表中数据计算得：x 1＝536.25（万元）σ1＝289.22（万元） V 1=289. 22=0. 539536. 25=0. 664 x 2＝32.5215（万元）σ2＝21.60（万元） V 2=32. 5125计算结果表明，V 1 V 2，说明产品销售额的离散程度小于销售利润的离散程度。