新定义新运算讲义

小学数学奥数基础教程（五年级）

定义新运算（一） 我们已经学习过加、减、乘、除运算，这些运算，即四则运算就是数学中最基本得 运算，它们得意义、符号及运算律已被同学们熟知。除此之外，还会有什么别得运算 吗？这两讲我们就来研究这个问题。这些新得运算及其符号，在中、小学课本中没有 统一得定义及运算符号，但学习讨论这些新运算，对于开拓思路及今后得学习都大有 益处。

例1对于任意数a, b,定狡运算“*” : a*b=aXb-a-bo

求12*4得值。

分析与解:根扌居题目定爻得运算要求，直接代入后用四则运算即可。

12*4=12X4-12-4=48-12-4=32。

例2己知aAb 表示a 的3倍减去b 的-,例如：1A2 = 1X 3-2 X - = 2.

根据以上得规定，求10A6得值。

解：1OA6=1OX3-6X - = 30-3 = 27O

A

例 3 对于数乳 b, C, d,规定 < a, b, c, d >= 2ab •—o 己知 vl, 2,

c

3, x>=2,求X 得值。

分析与解:按照定艾得运算,

<1,2, 3, x>=2.

x=6o

由上而三例瞧出，定义新运算通常就是用某些特殊符号表示特定得运算意狡。新 运算使用得符号应避免使用课本上明确定艾或已经约定俗成得符号，如+,-，X,三，V, >等，以彷止发生混淆，而表示新运算得运算意义部分■应使用通常得四则运算符号。 本教程共30讲

C,

如例1中，a*b二aXb-a-b,新运算符号使用”，而等号右边新运算得意义则用四则运算来表示。

例他b表示两个数，规定目Ob = ¥

C1) 20 CjOy) =7

2 1 1

(2)-0-0x=-,求送=7

4 t> 厶

分析与解:按新运算得定狡，符号表示求两个数得平均数。

⑴因为20 c|o|）中的C ）没有被重新定义，所以其意义与

四则运算中得意义相同，即先进行小括号中得运算■再进行小括号外而得运算。

l^r（I十扌）叫茅2€，

2。（|鸥）=旳护伽挣O诛

（2）因为衽舟©2。龙中没有重新规定运算次序，所以应

4 6

按通常得规则从左至右进行运算。

3J Z 3 1、C 11 討糾二护汁诘+卄2。

由嗚+孩八"扌，解徵誌

例5 规定；4®2 = 4+44

2㊉3二2+22+222 ,

求3® 5二?

分析与解：从已知得三式来瞧，运算“㊉”表示几个数相加,每个加数各数位上得数都就是符号前面得那个数，而符号后面得数就是几，就表示几个数之与，其中第1个数就是1位数，第2个数就是2位数.第3个数就是3位数……按此规定，得

3 ㊉5=3+33+333+3333+33333=37035。

从例5知，有时新运算得规定不就是很明显，需要先找规律，然后才能进行运算。

例6对于任意自然数，定义：n! =1X2X…Xrio

例如4! =1X2X3X4。那么1! +2! +3! +-+100!得个位数字就是几？

分析与解：1! =1,

2! =1 X2=2,

3! =1 X 2 X 3=6,

4! =1 X2X3X4=24,

5! =1 X2X3X4X5=120,

6! =1 X2X3X4X5X6=720,

由此可推知，从5!开始，以后6! ,7! ,8!，…，100!得末位数字都就是0。

所以，要求1! +2! +3! +-+100!得个位数字，只要把1!至4!得个位数字相加便可求得：1+2+6+4=13o所求得个位数字就是3。

例7如果m, n表示两个数，那么规定:mOn=4n-(m+n) -r2o

求30(406)012 得值。

解:30 (406)012

=30 [4X6-(4+6)^21012

=3019012

= [4X19-(3+19)^21012

=65012

=4X12-(65+12)^2

=9、5。

练习3

1.对于任意得两个数a与b，规定a*b=3Xa-b^3o求8*9得值。

2、已知aQb表示a除以3得余数再乘以b,求1304得值。

3.已知a®b 表示(a-b) 4- (a+b),试计算：(5®3) ® (10®6)。

4.规定a@b表示a与b得积与a除以b所得得商得与，求8@2得值。

5-假定mOn表示m得3倍减去n得2倍.即mOn=3m-2no

⑴计峯(!◊!)◊扌;

⑵已知xO (401 )=7,求X得值。

6 •规定：IV = 1,

3V = 1X-X-,

4V = 1X _ X - X

2 3 4

cn 求C7V)*(57)的值;

⑵己知丹二五5,求点值。

7、对于任意得两个数P. Q,规定P^Q=(PXQ)三4。例如:2^8=(2X8)^4o已知(8^5)=10,求X 得值。

8.定义：aAb=ab-3b,a0b=4a-b/ao 计算:(4A3) A(2©b)o

9.已知：203=2X3X4,

4©5=4X5X6X7X &

求(404)^(303)得值。

练习3

1. 2。

2. 4。

3. Oo

解5 (503)© (1©6)= -@- = 0.

420。提示J新运算是a0b= ab+；。

b

7

5. Cl) 8—; C2)9。

提示:(2)x0(401)= 7,

xO (4X3-1 X2)= 7,

xOlO=7,

3x-10X2=7,

x=9o

IX

提示，（1）原式=2 3 4

叫3 4 X -

(2)相当于由1 X2X3X …Xx=40320,求x。

403204-2 = 20160,

20160^3= 6720,

67204-4=1680,

1680 一5二336,

84-8=1,

即1/40320=1 X1/2X1/3X1/4X1/5X1/6X1/7X1/8o 所以x=8。

7、4。