9 第十二章 卡方检验(一)

四格表精确检验法P值的计算
双侧检验的P 双侧检验的P值：分别计算出两侧所 样本| 值的四格表的P 有|A-T |值≧样本|A-T |值的四格表的P值， 然后相加，合计即为所求的P 然后相加，合计即为所求的P值。因为四 格表中四个格子的| 格表中四个格子的|A-T |相等，故求出任 相等， 即可。若两样本的例数相等， 一|A-T |即可。若两样本的例数相等，可 计算出任一侧的累计P 然后乘以2 计算出任一侧的累计P值，然后乘以2， 即为所求的P 即为所求的P值； 单侧检验的P 按照研究的目的， 单侧检验的P值：按照研究的目的， 确定计算出某一侧所有| 确定计算出某一侧所有|A-T |值≧样本 |A-T |值的四格表的P值，然后相加，合 值的四格表的P 然后相加， 计即为所求的P 计即为所求的P值。
χ2检验的资料类型 检验的资料类型
1、四格表资料的χ 四格表资料的
2检验
2、配对计数资料的χ2检验 配对计数资料的 3、行×列表资料的χ2检验 列表资料的
第一节 2检验 四格表资料的 四格表资料的χ
1、四格表资料的χ2检验
⑴、基本公式法：n≥40 ， 基本公式法： T≥5 校正公式法： ⑵、校正公式法：n≥40 ， 1≤T<5 直接概率法（ ⑶、直接概率法（精确检验 法）：n<40 或 T<1
配对四格表资料的χ2检验公式推导
b+c （+，−）和（−，+）两个格子中的理论频数均为 2 ，
〉 0 基本公式： 当 b+c 4 时，基本公式：
b+c 2 b+c 2 ) (c− ) 2 (b− 2 (A−T) 2 2 + 2 (b−c) b− χ =Σ = 2 = b+c b+c T b+c ～ χ 分布 2 2
四格表精确检验法
又称四格表确切概率法，常用于四格表资 又称四格表确切概率法， 料的假设检验。适用条件： <40或有理论数 料的假设检验。适用条件：n <40或有理论数 T<1，或求得的P 值接近检验水准时采用，作 <1，或求得的P 值接近检验水准时采用， 检验的补充。检验的基本思 为四格表资料χ2检验的补充。检验的基本思 四格表资料周边合计不变的情况下， 想是：四格表资料周边合计不变的情况下，直 接计算表内四个实际频数的所有各种组合的概 其概率的合计为1 率，其概率的合计为1。表内四个实际频数的 组合数共有“周边合计中的最小值＋ 组合数共有“周边合计中的最小值＋1”个。 本法需要计算等于及大于样本 计算等于及大于样本| 本法需要计算等于及大于样本|A-T|各四格表的 累计概率。双侧检验取两侧累计概率， 累计概率。双侧检验取两侧累计概率，单侧检 验取一侧累计概率。 验取一侧累计概率。
四格表资料基本公式 四格表资料基本公式和专用公式 基本公式和
适用条件： 适用条件：n≥40 ，任一格理论数T≥5
基公 本式
(A−T)2 ： χ2 =∑ T
2 2 2
(a+b)(a+c) (a+b)(b+d) (c+d)(b+d) a− a+b+c+d b− a+b+c+d d− a+b+c+d + +⋯ = + (a+b)(a+c) (a+b)(b+d) (c+d)(b+d) a+b+c+d a+b+c+d a+b+c+d 2 (ad−bc) ⋅n ν =1 = (a+b)(c+d)(a+c)(b+d)
A −1) χ =n(∑ nn
R C
R×C表的χ2检验通用公式推导
合 × 合 行 计 列 计 nn R C 理 频 T= 论 数 = n 总 数 例
代入基本公式 可推导出： 可推导出： 基本公式
2 2
通用公式
2
( A−T) A 2 ( ⇔ =n Σ −1) χ =Σ χ T nn R C
自由度= 行数− （列数− （列数 自由度=（行数−1） 列数−1）
R×C表χ2检验的应用注意事项
若较多格子（ 的理论频数小于5 1. 对R×C表，若较多格子（1/5）的理论频数小于5 或有的个格子的理论频数小于1 则易犯第一类错误。 或有的个格子的理论频数小于1，则易犯第一类错误。 出现某些格子中理论频数过小时怎么办？ 出现某些格子中理论频数过小时怎么办？① 增大样本 含量（最好！ 删去该格所在的行或列（ 含量（最好！）② 删去该格所在的行或列（丢失信息 ！）③ 根据专业知识将该格所在行或列与别的行或列 合并。 丢失信息！甚至出假象） 合并。（丢失信息！甚至出假象） 多组比较时， 若效应有强弱的等级， ++， +++， 2 . 多组比较时 ， 若效应有强弱的等级 ， 如 + ， ++ ， +++ ， 最好采用后面的非参数检验方法。 最好采用后面的非参数检验方法。χ2 检验只能反映其 构成比有无差异，不能比较效应的平均水平。 构成比有无差异，不能比较效应的平均水平。 3.行列两种属性皆有序时， 3.行列两种属性皆有序时，可考虑趋势检验或等级相关分 行列两种属性皆有序时 析。
χ2检验的方法选择及使用条件
一、四格表资料的χ2 检验 1、基本公式法：n≥40 ，T≥5 基本公式法： 2、校正公式法：n≥40 ，1≤T<5 校正公式法： 3、直接概率法：（精确检验法）：n<40 直接概率法： 精确检验法） 或T<1 二、配对计数资料的χ2检验 1、基本公式法：b+c>40 基本公式法：b+c>40 2、校正公式法：b+c≤40 校正公式法：b+c≤40 三、行×列表资料的χ2检验 T<5的个数不能多于理论数总个数的1／5， 的个数不能多于理论数总个数的1 而且T 而且T>1。
(
(∑T) −
2
)
k
2
第四节
2检验 行×列表资料的χ
2检验 3、行×列表资料的χ
用途：比较多个样本率（或构成比） 用途：比较多个样本率（或构成比） 之间差别是否有统计学意义。 之间差别是否有统计学意义。 适用条件：T<5的格子数不能多于总 适用条件：T<5的格子数不能多于总 格子数的1 而且T>1。 格子数的1／5，而且T>1。 2 基本公式： 基本公式： 2 ( A T) − χ =∑ T 2 专用公式： 专用公式： 2
第三节
2检验 配对计数资料的χ
2、配对计数资料的χ2检验
⑴、两种处理方法的比较 ①.基本公式法：b+c>40 基本公式法：b+c>
2 2= (b−c) ,ν =1 χ b+c
②.校正公式法：b+c≤40 校正公式法：b+c≤
2 2= ( b−c −1) ,ν =1 χ b+c
⑵、两种以上处理方法的比较
χ2值、P值与统计结论
α
X2 值
P值
统计结论 不拒绝H 不拒绝H0， 差别无 差别无显著性
0.05 < χ20.05(ν) >0.05
Hale Waihona Puke Baidu
0.05 ≥χ20.05(ν) ≤0.05 拒绝H0，接受H1 拒绝H 接受H 差别有 差别有显著性 0.05 ≥χ20.01(ν) ≤0.01 拒绝H0，接受H1 拒绝H 接受H 有高度显著性 差别有高度 差别有高度显著性
确切概率法计算公式
在四格表的周边合计不变的条件 下 , 用下式直接计算表内四个数据 的各种组合之概率。 的各种组合之概率。 式中a、b、c、d为四格表的实际 频数
(a+b)!(c+d)!(a+c)!(b+d)! P= a!b c!d!n ! !
四格表资料的精确检验法基本步骤
1、建立假设 Ho：假设差别是由抽样误差引起的 H1：假设差别是本质上存在的 确定显著性水准： ２、确定显著性水准：α＝0.05 ３、计算确切概率P 周边合计不变，列出各种组合的四格表； （1）周边合计不变，列出各种组合的四格表； 计算各个四格表的| （2）计算各个四格表的|A-T|值； 样本| （3）求|A-T|值≥样本|A-T|值的所有四格表的Pi 值； Pi=(a+b)!(c+d)!(a+c)!(b+d)!/[a!b!c!d!n!] （4）求出确切概率P：P＝ΣPi 结果判断： ４、结果判断：在事先确定的显著性水准α下作 出专业结论。 出专业结论。
行×列表资料χ2检验时的注意事项
1、行×列表资料χ2检验对资料的要求是：不宜有1／5以上 检验对资料的要求是：不宜有1 格子的理论数小于5 且理论数应大于1 格子的理论数小于 5 ， 且理论数应大于 1 ， 若发生上述情 可选用下述三种处理方法 三种处理方法： 况 ， 可选用下述 三种处理方法 ： ① 适当增大样本含量以 增大理论频数； 增大理论频数 ； ② 将理论数过小的格子所在的行或列与 性质相近的行或列中的实际数合并， 性质相近的行或列中的实际数合并 ， 使重新计算的理论 数增大； 删去理论数过小的行或列。 数增大 ； ③ 删去理论数过小的行或列 。 后两种处理方法 有可能损失资料信息， 且可能破坏样本随机性， 有可能损失资料信息 ， 且可能破坏样本随机性 ， 故不宜 常规使用。 常规使用。 2、当试验效应按照强弱分为若干个级别，试验结果可整理 当试验效应按照强弱分为若干个级别， 为单向有序行×列表资料， 为单向有序行 × 列表资料 ， 在比较各处理组间的效应有 无差别时，宜选用秩和检验、Ridit分析 趋势检验等， 分析、 无差别时，宜选用秩和检验、Ridit分析、趋势检验等， 检验只能说明各组构成比的差别有无显著性。 如作χ2检验只能说明各组构成比的差别有无显著性。 3、多个样本率或多个构成比的χ2检验，结果有显著性意义 检验， 只能认为总体率或总体构成之间总的来说有差别， 时，只能认为总体率或总体构成之间总的来说有差别， 不能说明两两之间皆有差别， 不能说明两两之间皆有差别，若要对每两个率或每两个 构成比进行比较，应采用行× 构成比进行比较，应采用行×列表的χ2分割法或者采用 其它率或构成比的多重比较。 其它率或构成比的多重比较。
χ 2检验
（chi-square test） chitest）
又称卡方检验 又称卡方检验，是用途较广 卡方检验， 的计数资料的假设检验。 的计数资料的假设检验。其基本 思想是： 思想是：判断实际数与假设的理 论数的符合程度。资料要求： 论数的符合程度。资料要求：可 用于检验两个或多个样本率之间、 用于检验两个或多个样本率之间、 两个或多个构成比之间的差异显 著性， 著性，用于检验配对计数资料的 差异显著性， 差异显著性，以及检验两类事物 间是否存在一定联系。 间是否存在一定联系。
0 同理可得当 校正公式： 同理可得当 b+c≤4 时，校正公式：
(| A−T | − .5 0 ) (| b−c| − ) 1 χ =Σ = T b+c
2 2 2
两种以上处理方法比较的计算方法
∑T T −
(
)
2
=∑ T
2
χ = k(
2 j
( ) k k−1 ∑T T −
∑fu) −(∑f u)
2
2值计算公式和理论值计算 χ
(A−T) 1 2 χ =∑ =(A−T) ∑ T T )( ) ν =(R−1 C−1
2 2
( w 计 ( lu n 计 n n 行ro )合 ×列co m )合 R C T= = n 总 数 例
2 χ
检验的基本原理
χ2值反映了实际频数和理论频数吻合 的程度。 相差越大， 的程度。A与T相差越大，则(A－T )2的值 越大，反之则越小。 成立， 越大，反之则越小。若H0成立，则四个格 子的实际频数A与理论频数T相差不应该很 统计量不应该很大。 大，即χ2统计量不应该很大。若A与T 完 全相同， 值必为零。 全相同，则χ2值必为零。除了这种情况 值永远为正， 值越大， 外，χ2值永远为正，且χ2值越大，相对 值越小， 应的P 值越小，若P≤α，则A与T 相差太 正确是个小概率事件， 大，即推断H0正确是个小概率事件，继而 拒绝H0，接受其对立假设H1，即π1≠π2。
四格表资料连续性校正公式
适用条件：n≥40 ，1≤T<5 适用条件： 校正公式： 校正公式： 2
(A T−05 − .) χ =∑ T
2
专用公式： 专用公式：
2
χ =(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)
n n (a − c− ) d b 2
2
第二节
四格表资料的精确 四格表资料的精确检验法 资料的精确检验法