函数和方程及函数的实际应用
个性化教学设计教案
授课时间： 2011 年 7 月 20 日（ 8:00--10：15 ）备课时间：2011 年 7月 18 日年级：高二学科：数学课时：3 学生姓名：
课题名称第三讲函数与方程及函数的实际应用授课教师：曾先兵
教学目标
1．函数与方程
（1）结合二次函数的图象，了解函数的零点与方程根的联系，判断一元二次方程根的存在性及根的个数。
（2）根据具体函数的图象，能够用二分法求相应方程的近似解。
2．函数模型及其应用
（1）了解指数函数、对数函数以及幂函数的增长特征，知道直线上升、指数增长、对数增长等不同函数类型增长的含义。
（2）了解函数模型（如指数函数、对数函数、幂函数、分段函数等在社会生活中普遍使用的函数模型）的广泛应用。
教学过程
一、函数的零点
1．三个等价关系：方程f(x)＝0有实根?函数y＝f(x)的图象与x轴有交点?函数y＝f(x)有零点．
2．函数零点存在性定理：如果函数y＝f(x)在区间[a，b]上的图象是连续不断的一条曲线，并且f(a)f(b)<0，那么函数y＝f(x)在区间(a，b)内有零点，即存在c∈(a，b)，使得f(c)＝0，这个c也就是方程f(x)＝0的根．
(尤其注意，f(a)f(b)<0是“函数y＝f(x)在区间[a，b]上的图象是连续不断的一条曲线，那么函数y＝f(x)在区间(a，b)内有零点”的充分不必要条件)
二、二分法
1．二分法的条件：函数y＝f(x)在区间[a，b]上的图象是连续不断的一条曲线，并且f(a)f(b)<0.
2．二分法的思想：通过二等分，无限逼近．
3．二分法的步骤：其中给定精确度ε的含义是区间(a，b)长度|a－b|<ε，不能认为是函数零点近似值的精度．
三、函数模型及其应用
解决函数模型的实际应用题，首先考虑题目考查的函数模型，并要注意定义域．其解题步骤是：
1．阅读理解，审清题意：分析出已知什么，求什么，从中提炼出相应的数学问题．
2．数学建模：弄清题目中的已知条件和数量关系，建立函数关系式．
3．解函数模型：利用数学方法得出函数模型的数学结果．
4．实际问题作答：将数学问题的结果转译成实际问题作出解答．
四、二次函数、二次方程、二次不等式的关系
二次函数、二次方程、二次不等式是最基本的知识点，“三个二次型”是一个有机的整体，其中二次函数的图象是联系三者的桥梁和纽带．
一：函数零点问题
1.函数零点（方程的根）的确定问题，常见的类型有（1）零点或零点存在区间的确定；（2）
零点个数的确定；（3）两函数图象交战的横坐标或有几个交点的确定；解决这类问题的常用方法
有：解方程法、利用零点存在的判定或数形结合法，尤其是那些方程两端对应的函数类型不同
的方程多以数形结合法求解。
2．函数零点（方程的根）的应用问题，即已知函数零点的存在情况求参数的值或取值范围
问题，解决该类问题关键是利用函数方程思想或数形结合思想，构建关于参数的方程或不等式求
解。
函数零点附近函数值的符号相反，这类选择题通常采用代入排除的方法求解．如果要判断函
数在给定区间上不存在零点，则只需说明函数图象在此区间上与x 轴无交点，或者说明函数在此
区间上的最大(小)值恒小(大)于零就可以了．如果想准确判定零点的位置，那么就要用二分法．
例1：函数223,0()2ln ,0
?+-≤=?-+>?x x x f x x x 的零点个数为（ ）
A.2
B.3
C.4
D.5
例2：函数f (x )＝2x ＋3x 的零点所在的一个区间是( )
A ．(－2，－1)
B ．(－1,0)
C ．(0,1)
D ．(1,2)
例3：若函数f (x )的零点与g (x )＝4x ＋2x －2的零点之差的绝对值不超过0.25，则f (x )可以是( )
A ．f (x )＝4x －1
B ．f (x )＝(x －1)2
C ．f (x )＝e x －1
D ．f (x )＝ln x －12
二：用二分法求函数零点近似值
用二分法求函数零点近似值的步骤
（1）确定区间[a,b]，验证f(a )·f(b)<0,给定精确度ε；（2）求区间(a,b)的中点1x ；（3）
计算f(1x );
①当f(1x )=0,则1x 就是函数的零点；
②若f(a)·f(1x )<0,则令b=1x (此时零点01(,)x a x ∈)，
③若f(1x )·f(b)<0,则令a=1x (此时零点01(,)x x b ∈)。
(4)判断是否达到其精确度ε，则得零点近似值，否则重复以上步骤。
例4：已知函数2
()23.x f x e x x =+-求证函数()f x 在区间[0，1]上存在惟一的极值点。
三：函数的实际应用
1.函数的实际应用历年来一直是高考的热点，考查现实生活中的热点问题，如生产经营，环
境保护，工程建设等相关的增长率、最优化问题。
2．常用导数、基本不等式、函数的单调性等重要知识求解。
x 1，x 2分别是方程x ln x ＝2010，x e x ＝2010的根，则下面为定值的是( )
A ．x 1＋x 2
B ．x 1－x 2
C ．x 1x 2 D.x 1x 2
例5：已知实数x 1，x 2分别是方程e x ＋x ＝2与ln x ＋x ＝2的根，则x 1＋x 2的值为________．
例6：某生产旅游纪念品的工厂，拟在2010年度将进行系列促销活动．经市场调查和测算，该
纪念品的年销售量x 万件与年促销费用t 万元之间满足3－x 与t ＋1成反比例．若不搞促销活动，
纪念品的年销售量只有1万件．已知工厂2010年生产纪念品的固定投资为3万元，每生产1万
件纪念品另外需要投资32万元．当工厂把每件纪念品的售价定为：“年平均每件生产成本的
150%”与“年平均每件所占促销费一半”之和时，则当年的产量和销量相等．(利润＝收入－生
产成本－促销费用)
(1)求出x 与t 所满足的关系式；
(2)请把该工厂2010年的年利润y 万元表示成促销费t 万元的函数；
(3)试问：当2010年的促销费投入多少万元时，该工厂的年利润最大？
例7：如图1－3－1，ABCD 是一块边长为2a 的正方形铁板，剪掉四个阴影部分的小正方形，沿
虚线折叠后，焊接成一个无盖的长方体水箱，若水箱的高度x 与底面边长的比不超过常数k (k >0)．
(1)写出水箱的容积V 与水箱高度x 的函数关系
式，并求其定义域；
(2)当水箱高度x 为何值时，水箱的容积V 最大？
并求出最大值．
图1－3－1
例8：为了在夏季降温和冬季供暖时减少能源损耗，
房屋的屋顶和外墙需要建造隔热层．某幢建筑物要
建造可使用20年的隔热层，每厘米厚的隔热层建造
成本为6万元．该建筑物每年的能源消耗费用C （单
位：万元）与隔热层厚度x （单位：cm ）满足关系：()()01035
k C x x x =≤≤+，若不建隔热层，每年能源消耗费用为8万元．设()f x 为隔热层建造费用与20年的能源消耗费用之和．
（Ⅰ）求k 的值及()f x 的表达式；
（Ⅱ）隔热层修建多厚时，总费用()f x 达到最小，并求最小值．
、
课堂练习 1．若0x 是方程式 lg 2x x +=的解，则0x 属于区间 （ ）
（A ）（0，1）. （B ）（1，1.25）. （C ）（1.25，1.75） （D ）（1.75，2）
2．函数f(x)=23x x +的零点所在的一个区间是
(A)（-2，-1） (B)（-1,0） (C)（0,1） (D)（1,2）
3．某港口O 要将一件重要物品用小艇送到一艘正在航行的轮船上，在小艇出发时，轮船位于港
口O北偏西30°且与该港口相距20海里的A处，并正以30海里/小时的航行速度沿正东方向匀速行驶。假设该小艇沿直线方向以υ海里/小时的航行速度匀速行驶，经过t小时与轮船相遇。(Ⅰ)若希望相遇时小艇的航行距离最小，则小艇航行速度的大小应为多少？
(Ⅱ)为保证小艇在30分钟内(含30分钟)能与轮船相遇，试确定小艇航行速度的最小值；(Ⅲ)是否存在υ，使得小艇以υ海里/小时的航行速度行驶，总能有两种不同的航行方向与轮船相遇？若存在，试确定υ的取值范围；若不存在，请说明理由。
课后作业1. 定义域和值域均为［-4,4］的函数y=f(x)和y=g(x)的图象如图所示，下列命题正确的是( )
(A)方程f(g(x))=0有且仅有三个根 (B)方程g(f(x))=0有且仅有三个根
(C)方程f(f(x))=0有且仅有两个根 (D)方程g(g(x))=0有且仅有两个根
2. 已知a是使表达式2x+1>42-x成立的最小整数，则方程1-|2x-1|=a x-1实数根的个数为( )
(A)0 (B)1 (C)2 (D)3
3.若方程2ax2-x-1=0在(0,1)内恰有一解，则a∈_____.
6.设a为实数，已知函数322
1
()(1).
3
f x x ax a x
=-+-
（1）当a=1时，求函数()
f x的极值。
（2）若方程()
f x=0有三个不等实数根，求a的取值范围。
课后记学员学习情况：课后小评：
教师建议：
提交时间教研组长审批教研主任审批
1. 若函数f(x)=x3+x2-2x-2的一个正数零点附近的函数值用二分法计算，参考数据如下：
那么方程x3+x2-2x-2=0的一个近似根（精确度0.1)为( )
(A)1.25 (B)1.375 (C)1.437 5 (D)1.5
2．对于函数f(x)=x2+mx+n,若f(a)>0,f(b)>0,则函数f(x)在区间（a,b)内( )
(A)一定有零点 (B)一定没有零点 (C)可能有两个零点 (D)至多有一个零点
3．如图，A、B、C、D是某煤矿的四个采煤点，l为公路，图中所示线段为道路，ABQP，BCRQ，CDSR近似于正方形，已知A，B，C，D四个采煤点每天的采煤量之比约为3∶2∶1∶5,运煤的费用与运煤的路程、所运煤的重量都成正比.现要从P，Q，R，S中选出一处设立一个运煤中转站，使四个采煤点的煤运到中转站的费用最少，则地点应选在( ) (A)P (B)Q (C)R (D)S
4．已知函数
210 (),
(1)(0)
x x
f x
f x x
-
?-≤
=?
->
?
若方程f(x)=x+a有且只有两个不相等的实数根，则实数a的取值范围是( )
(A)（-∞，0］ (B)(-∞,1) (C)［0,1］ (D)［0,+∞)
6．已知甲、乙两车由同一起点同时出发，并沿同一路线（假定为直线）行驶.甲车、乙车的速度曲线分别为v甲和v
乙（如图所示）.那么对于图中给定的t0和t1，下列判断中一定正确的是( )
(A)在t1时刻，甲车在乙车前面 (B)t1时刻后，甲车在乙车后面
(C)在t0时刻，两车的位置相同 (D)t0时刻后，乙车在甲车前面
7.为缓解南方部分地区电力用煤紧张的局面，某运输公司提出五种运输方案，据预
测，这五种方案均能在规定时间T完成预期的运输任务Q0，各种方案的运煤总量Q
与时间t的函数关系如下图所示.在这五种方案中，运煤效率（单位时间的运煤量）
逐步提高的是_________.（填写所有正确的图象的编号）
8.在用二分法求方程x3-2x-1=0的一个近似解时，已经将一根锁定在区间(1,2)内，则下一步可断定该根所在的区间为______.
9.关于x的方程cos2x-sinx+a=0在(0, ］上有解，则a的取值范围为_____.
三、解答题(10、11题每题15分，12题16分，共46分)
10.已知函数f(x)=4x+m·2x+1有且只有一个零点，求实数m的取值范围，并求出零点.
11.某电脑生产企业生产一品牌笔记本电脑的投入成本是4 500元/台.当笔记本电脑销售价为6 000元/台时，月销售量为a台;根据市场分析的结果表明，如果笔记本电脑的销售价提高的百分率为x(0 率为x2.记销售价提高的百分率为x时，电脑企业的月利润是y(元). （1）写出月利润y(元)与x的函数关系式； （2）试确定笔记本电脑的销售价，使得电脑企业的月利润最大. 12.已知f(x)是二次函数，不等式f(x)<0的解集是(0,5),且f(x)在区间［-1,4］上的最大值是12. （1）求f(x)的解析式； （2）是否存在自然数m，使得方程f(x)+ =0在区间(m,m+1)内有且只有两个不等的实数根？若存在，求出m的取值范围；若不存在，说明理由. 参考答案 1．【解析】选C.根据题意知函数的零点在 1.406 25至1.437 5之间，因为此时|1.437 5-1.406 25|=0.031 25<0.1，故方程的一个近似根可以是1.437 5. 2．【解析】选C.由于f(a)>0,f(b)>0，且抛物线开口向上，所以可能有两个零点. 3．【解析】选C.设正方形边长为a，采煤量比例系数为x，费用比例系数为k,对于A，中转站选在P点时，费用y1=3kxa+4kxa+3kxa+20kxa=30kxa;对于B，中转站选在Q点时，费用y2=6kxa+2kxa+2kxa+15kxa=25kxa;对于C，中转站选在R点时，费用y3=9kxa+4kxa+kxa+10kxa=24kxa;对于D，中转站选在S点时，费用y4=12kxa+6kxa+2kxa+5kxa=25kxa.而24kxa<25kxa< 30kxa，故选C. 4．【解析】选B.在同一坐标系内画出函数y=f(x)和y=x+a的图象.由图可知a<1. 6．【解析】选A.由图象可知，速度图象与t轴围成的面积表示汽车行驶的位移，在t0时刻，甲车的位移大于乙车的位移，故在t0时刻甲车应在乙车的前面，且t0时刻两车速度相同，故C、D不对，t1时刻甲车的位移大于乙车的位 移，故A对. 7．【解析】由于要求运煤效率逐步提高，因此反映到图象上各点处的切线的斜率即导数应逐渐增大，而只有②符合. 答案：② 8．【解析】令f(x)=x3-2x-1,显然f(1)＜0,f(2)＞0, 又 3 333 ()()210, 222 3 (,2). 2 f=-?-< ∴方程的根所在区间为 答案：(,2) 9．【解析】原方程可化为a=sin2x+sinx-1，方程有解当且仅当a属 于函数y=sin2x+sinx-1的值域时，而y=sin2x+sinx-1=(sinx+)2-,∵x∈(0,]，∴sinx∈(0,1］.可求得值域为(-1,1］,即a的取值范围是(-1,1］.答案：(-1,1］ 10．【解析】由题知：方程4x+m·2x+1=0只有一个零点. 令2x=t(t>0),∴方程t2+m·t+1=0只有一个正根， ∴由图象可知， , 2. 2 m m ? -> ? ∴=-? ??= ? 当m=-2时t=1,∴x=0.∴函数的零点为x=0. 11．【解析】（1）依题意，销售价提高后为6 000(1+x)元/台，月销售量为a(1-x2)台， 则y=a(1-x2)［6 000(1+x)-4 500］即y=1 500a(-4x3-x2+4x+1)(0 （2)y′= 1500a(-12x2-2x+4)，令y′=0,得6x2+x-2=0,解得，x=1/2,x=-2/3(舍去). 当0 当x=1/2时，y取得最大值。此时销售价为6000×（3/2）=9000元. 答：笔记本电脑的销售价为9 000元时，电脑企业的月利润最大. 12．【解析】（1）∵f(x)是二次函数，且f(x)<0的解集是(0,5)，∴可设f(x)=ax(x-5)(a>0)，∴f(x)在区间［-1,4］上的最大值是f(-1)=6a. 由已知，得6a=12，∴a=2,∴f(x)=2x(x-5)=2x2-10x(x∈R). 课题：§1.3.1函数的单调性及最大、小值 ⑴通过已学过的函数特别是二次函数，理解函数的单调性及其几何意义； ⑵学会运用函数图象理解和研究函数的性质； ⑶够熟练应用定义判断数在某区间上的的单调性． ⑷理解函数的最大（小）值及其几何意义； ⑸学会运用函数图象理解和研究函数的性质； 函数的单调性及其几何意义．函数的最大（小）值及其几何意义． 利用函数的单调性定义判断、证明函数的单调性．利用函数的单调性求函数的 最大（小）值． ⑴观察下列各个函数的图象，并说说它们分别反映了相应函数的哪些变化规律： ①随x 的增大，y 的值有什么变化？②能否看出函数的最大（小）值？③函数图象是否具有某种对称性？ ⑵画出下列函数的图象，观察其变化规律： ①f(x) = x ○ 1 从左至右图象上升还是下降 ______? ○ 2 在区间 ____________ 上，随着x 的增 大，f(x)的值随着 ________ ． ②f(x) = -2x+1 ○ 1 从左至右图象上升还是下降 ______? ○ 2 在区间 ____________ 上，随着x 的增 大，f(x)的值随着 ________ ． ③f(x) = x 2 ○1在区间 ____________ 上，f(x)的值随 着x 的增大而 ________ ． ○2 在区间 ____________ 上，f(x)的值随 着x 的增大而 ________ ． ⑴设函数)(x f y =的定义域是Ｉ，区间I D ?，D x x ∈21,，当21x x <时，都有)()(21x f x f < 成立，则称)(x f 在区间D 上是增函数．．． ，如图⑴ ⑵设函数)(x f y =的定义域是Ｉ，区间I D ?，D x x ∈21,，当21x x <时，都有 )()(21x f x f >成立，则称)(x f 在区间D 上是减函数．．． ，如图⑵ ①函数的单调性是在定义域内的某个区间上的性质，是函数的局部性质； ②必须是对于区间D 内的任意．．两个自变量x 1，x 2；当x 1 ．2函数的实际应用举例第二课时 2018、12、5-6（第57-58课时） 【教学内容】实际问题中的分段函数 【教学目标】 知识目标： （1）理解分段函数的概念； （2）理解分段函数的图像； （3）了解实际问题中的分段函数问题． / 能力目标： （1）会求分段函数的定义域和分段函数在点0x 处的函数值0()f x ； （2）掌握分段函数的作图方法； （3）能建立简单实际问题的分段函数的关系式． 【教学重点】 实际问题中的分段函数 【教学难点】 （1）建立实际问题的分段函数关系； , （2）分段函数的图像． 【教学方法】 观察发现；交流讲解 【教学设计】 （1）结合学生生活实际，利用生活的实例为载体，创设情境，激发兴趣； （2）提供给学生素材后，给予学生充分的时间和空间，让学生在发现、探究、讨论、交流等活动中形成知识； （3）提供数学交流的环境，培养合作意识．【教学备品】教学课件． 【课时安排】1课时 & 【教学过程】 ),0 -∞和[0, 围内作出对应的图像，从而得到函数的图像． 的部分；作出y 说明 （1）因为分段函数是一个函数，应将不同取值范围的图像作在同一个平面直角坐标系中． （2）因为1y x =-是定义在0x <的范围，所以1y x =-的图像不包含()0,1点． 说明 " 强调 理解 : 分类 * 图像 特殊 点的 处理 *运用知识 强化练习 教材练习 1．设函数()2 21,20, 1, 0 3. x x f x x x +- 函数的实际应用举例 (第一课时) 分段函数的实际应用 授课教师：柯胜军 一、教材分析 1．教材的地位和作用 本节内容是在学习了函数的定义及其表示方法，函数的单调性和奇偶性后，在函数的实际应用举例中首次提到了分段函数的有关知识。课本紧紧联系实际，以实际问题引出分段函数的概念，进而指出分段函数的定义域、值域、图像等。是对前面几节知识的再认识，又是函数知识理论联系实际的一个非常好的节点，回归了数学为生活服务的数学学习理念，真正做到学以致用，也让学生充分体验数学与生活的紧密联系。 2．课时安排和说明 参照课本与教学大纲，本节内容分两课时完成，第一课时为分段函数的实际应用，第二节为二次函数的实际应用。第一课时主要是给出分段函数的概念，进而研究其定义域、值域、图像与最值问题，最终将分段函数应用到生活实际，会解决有关实际问题。本节课内容为第一课时. 3．教学重点和难点 根据这一节可的内容特点以及学生的实际情况：学生对分段函数感性认识，不能够在理解的基础上来运用分段函数有关知识描述实际问题、解决实际问题。为此，在教学过程中让学生自己去感受分段函数的图象和基本性质，进而得出利用分段函数描述实际问题是这一堂课的突破口。因此，本节课的难点是利用分段函数描述实际问题，依据本节的教学内容和学生现有的实际水平和认知能力，把分段函数的应用作为教学重点。 二、学情分析 认知分析：学生对分段函数的概念及其性质缺乏感性认识，不能够在理解的基础上，将生活实际问题转化为分段函数模型加以解决。 能力分析：学生已经具备了一定的逻辑推理能力和数形结合能力，但在数学的应用意识与应用能力方面尚需进一步培养. 情感分析：多数学生对数学学习有一定的兴趣，能够积极参与研究，但在数学知识应用能力发展不够均衡，有待加强。为此，在教学中要顾及全局，注重提高学生的学习兴趣和应用 能力，引导学生理论联系实际的解决有关问题。 基于以上分析，在学法上，引导学生采用自主探索与互相协作相结合的学习方式.让每一个学生都能参与研究，并最终学会学以致用的学习。 三、教学目标 一、 函数的单调性 1．单调函数的定义 （1）增函数：一般地，设函数()f x 的定义域为I ：如果对于属于I 内某个区间上的任意两个自变量的值1x 、2x ,当1x <2x 时都有12()()f x f x <，那么就说()f x 在这个区间上是增函数。 （2）减函数：如果对于属于I 内某个区间上的任意两个自变量的值1x 、2x ,当1x <2x 时都有12()()f x f x >，那么就说()f x 在这个区间上是减函数。 （3）单调性：如果函数()y f x =在某个区间是增函数或减函数。那么就说函数()y f x =在这一区间具有（严格的）单调性，这一区间叫做()y f x =的单调区间。 2、单调性的判定方法 （1）定义法： 判断下列函数的单调区间：2 1x y = （2）图像法：从左往右，图像上升即为增函数，从左往右，图像下降即为减函数。 （3）复合函数的单调性的判断： 设)(x f y =，)(x g u =，],[b a x ∈，],[n m u ∈都是单调函数，则[()]y f g x =在] ,[b a 上也是单调函数。 ①若)(x f y =是[,]m n 上的增函数，则[()]y f g x =与定义在],[b a 上的函数)(x g u =的单调性相同。 ②若)(x f y =是[,]m n 上的减函数，则[()]y f g x =与定义在],[b a 上的函数)(x g u =的单调性相同。 即复合函数的单调性：当内外层函数的单调性相同时则复合函数为增函数；当内外层函数的 单调性相反时则复合函数为增减函数。也就是说：同增异减（类似于“负负得正”） 练习：（1）函数24x y -=的单调递减区间是 ，单调递增区间 为 ． （2）5 412 +-= x x y 的单调递增区间为 ． 3、函数单调性应注意的问题： ①单调性是对定义域内某个区间而言的，离开了定义域和相应区间就谈不上单调性． ②对于某个具体函数的单调区间，可以是整个定义域(如一次函数)，可以是定义域内某个区间(如二次函数)，也可以根本不单调(如常函数)． ③函数在定义域内的两个区间A ,B 上都是增（或减）函数，一般不能认为函数在上 是增（或减）函数 4．例题分析 百度文库- 让每个人平等地提升自我 【课题】函数的实际应用举例 【教学目标】 知识目标： （1）理解分段函数的概念； （2）理解分段函数的图像； （3）了解实际问题中的分段函数问 题．能力目标： （1）会求分段函数的定义域和分段函数在点x0处的函数值 f ( x0 ) ； （2）掌握分段函数的作图方法； （3）能建立简单实际问题的分段函数的关系式． 【教学重点】 （1）分段函数的概念； （2）分段函数的图像． 【教学难点】 （1）建立实际问题的分段函数关系； （2）分段函数的图像． 【教学设计】 （1）结合学生生活实际，利用生活的实例为载体，创设情境，激发兴趣； （2）提供给学生素材后，给予学生充分的时间和空间，让学生在发现、探究、讨 论、交流等活动中形成知识； （3）提供数学交流的环境，培养合作意识． 【教学备品】 教学课件． 【课时安排】 2课时． (90 分钟) 【教学过程】 （第一课时） 创设情景兴趣导入 问题 我国是一个缺水的国家，很多城市的生活用水远远低于世界的平均水平．为了加强公民的节水意识，某城市制定每户月用水收费（含用水费和污水处理费）标准： 用水量 不超过 10 m3 超过 10 m3 部分部分 收费（元／m3） 污水处理费（元／m3 ） 那么，每户每月用水量x （m3）与应交水费y （元）之间的关系是否可以用函数解析 式表示出来？ 分析 由表中看出，在用水量不超过10（m3）的部分和用水量超过10（m3）的部分的计费标准是不相同的．因此，需要分别在两个范围内来进行研究． 动脑思考探索新知 任务一：阅读课本找到以下概念 在自变量的不同取值范围内，有不同的对应法则，需要用不同的解析式来表示的函数叫做分段表示的函数，简称分段函数． 任务二：小组讨论分段函数的定义域 分段函数的定义域是自变量的各个不同取值范围的并集． 如前面水费问题中函数的定义域为0,1010,0,． 任务三：分段函数的函数值 求分段函数的函数值 f x0时，应该首先判断x0所属的取值范围，然后再把x0代入到相应的解析式中进行计算． 如前面水费问题中求某户月用水8（m3）应交的水费 f 8 时，因为0810 ，所以 f 8 1.6 812.8 （元）． 学生总结，教师点评 分段函数在整个定义域上仍然是一个函数，而不是几个函数，只不过这个函数在定义域的不同 范围内有不同的对应法则，需要用相应的解析式来表示． 巩固知识典型例题 （学生自主练习，学生代表讲解） 例 1 设函数 y 2 x 1, x 0, f x 2 , x 0. x （１）求函数的定义域； （２）求 f 2 , f 0 , f 1 的值． 函数专题（二） 函数的性质 （一）函数的单调性与最值 ★知识梳理 1.函数的单调性定义： 设函数的定义域为，区间 如果对于区间内的任意两个值，，当时，都有 ，那么就说在区间上是单调增函数，称为的单调增 区间 如果对于区间内的任意两个值，，当时，都有，那么就说 在区间上是单调减函数，称为的单调减区间 2.函数的最大（小）值 设函数的定义域为 如果存在定值，使得对于任意，有恒成立，那么称为 的最大值； 如果存在定值，使得对于任意，有恒成立，那么称为 的最小值。 ★热点考点题型探析 考点1 函数的单调性 【例】试用函数单调性的定义判断函数2 ()1 f x x = -在区间（1，+∞）上的单调性. 【巩固练习】证明：函数2()1 x f x x = -在区间（0，1）上的单调递减. )(x f y =A A I ?I 1x 2x 21x x <)()(21x f x f <)(x f y =I I )(x f y =I 1x 2x 21x x <)()(21x f x f >)(x f y =I I )(x f y =)(x f y =A A x ∈0A x ∈)()(0x f x f ≤)(0x f )(x f y =A x ∈0A x ∈)()(0x f x f ≥)(0x f )(x f y = 考点2 函数的单调区间 1.指出下列函数的单调区间： （1）|1|y x =-； （2）22||3y x x =-++. 2. 已知二次函数2()22f x x ax =++在区间(-∞，4)上是减函数，求a 的取值范围. 【巩固练习】 1．函数26y x x =-的减区间是（ ）. A . (,2]-∞ B. [2,)+∞ C. [3,)+∞ D. (,3]-∞ 2．在区间（0，2）上是增函数的是（ ）. A. y =－x +1 B. y C. y = x 2－4x ＋5 D. y = 2x 3. 已知函数f (x )在-1∞（，）上单调递减，在[1+∞，）单调递增，且其图像关于x=1对称，那么 f (1)，f (－1)，f 之间的大小关系为 . 4.已知函数)(x f 是定义在]1,1[-上的增函数,且)31()1(x f x f -<-,求x 的取值范围. 5. 已知二次函数2()22f x ax x =++在区间(-∞，2)上具有单调性，求a 的取值范围. 考点3 函数的最值 【例】求函数253 32,[,]22 y x x x =--∈-的最大值和最小值： 3.3函数的实际应用举例 教学目标 （1）理解分段函数的概念和图像； （2）了解实际问题中的分段函数问题． （3）会求分段函数的定义域和分段函数在点0x 处的函数值0()f x ； （4）掌握分段函数的作图方法； （5）能建立简单实际问题的分段函数的关系式． 教学重点 分段函数的概念及其图像； 教学难点 （1）建立实际问题的分段函数关系； （2）分段函数的图像． 教学备品 教学课件． 课时安排 2课时．(90分钟) 教学过程 我国是一个缺水的国家，很多城市的生活用水远远低于世界的平均水平．为了加强公民的节水意识，某城市制定每户月用水收费（含用水费和污水处理费）标准： 那么，每户每月用水量x （3 m ）与应交水费y （元）之间的关系是否可以用函数解析式表示出来？ 由表中看出，在用水量不超过10（3m ）的部分和用水量超过10（3m ）的部分的计费标准是不相同的．因此，需要分别在两个范围内来进行研究． 解决： 分别研究在两个范围内的对应法则，列出下表： 书写解析式的时候，必须要指明是哪个范围的解析式，因此写作 () 1.6,010,2.812,10.x x y f x x x ? … 这个函数与前面所见到的函数不同，在自变量的不同取值范围内，有不同的对应法则，需要用不同的解析式来表示． 在自变量的不同取值范围内，有不同的对应法则，需要用不同的解析式来表示的函数叫做分段表示的函数，简称分段函数． 分段函数的定义域是自变量的各个不同取值范围的并集． 如前面水费问题中函数的定义域为(]()()0,1010,0,+∞=+∞． 求分段函数的函数值()0f x 时，应该首先判断0x 所属的取值范围，然后再把0x 代入到相应的解析式中进行计算． 如前面水费问题中求某户月用水8（3 m ）应交的水费()8f 时，因为0810<<，所以 ()8 1.6812.8f =?=（元） ． 注意 分段函数在整个定义域上仍然是一个函数，而不是几个函数，只不过这个函数在定义域的不同范围内有不同的对应法则，需要用相应的解析式来表示． 例1 设函数()221,0,, 0.x x y f x x x -??==?>??… （１）求函数的定义域； （２）求()()()2,0,1f f f -的值． 分析 分段函数的定义域是自变量的各不同取值范围的并集．求分段函数的函数值()0f x 时，应该首先判断0x 所属的取值范围，再把0x 代入到相应的解析式中进行计算． 解 （1）函数的定义域为(]()(),00,,-∞+∞=-∞+∞． （2） 因为 ()20,∈+∞，故 ()2224 f ==； 因为 (]0,0∈-∞，故 ()02011f =?-=-； 因为 (]1,0-∈-∞，故 ()()12113f -=?--=-． 练习3.3 1.设函数 ()221,20,1,0 3. x x y f x x x +- [课题]：第一章集合与函数概念 1.3 函数的基本性质 主备人：高一数学备课组陈伟坚编写时间：2013年9月30日使用班级（21）（22）计划上课时间：2013-2014学年第一学期第6 周星期一至三（四至六月考）[课标、大纲、考纲内容]： 【教材与学情分析】 学生在初中已学过一次函数、二次函数、反比例函数的图象与性质，通过这些基本初等函数引入函数的单调性和最值，学生还是容易接受的，但很多学生的二次函数的性质还不过关，需要加强。学生的阅读理解能力还是较弱，教师需要引导学生对函数的单调性、奇偶性的定义理解透彻。 [教学目标]： [教学重难点]： 1、重点：理解函数的单调性、最大（小）值及其几何意义；求函数的单调区间和最值；奇偶性 的定义，判定函数的奇偶性的方法；运用函数图象理解和研究函数的性质。 2、难点：运用函数图象理解函数单调性和奇偶性的定义，研究基本函数的单调性和奇偶性。 [课的类型、教具、教法、教时]： 第1课时 1.3.1 单调性与最大（小）值（1） 【教学目标】 1. 运用已学过的函数特别是二次函数的图象，理解函数的单调性的定义及其几何意义； 2. 学会运用函数图象理解和研究函数的性质； 3. 会用定义证明函数的单调性 【教学重难点】 教学重点: 理解函数的单调性的含义及其几何意义. 教学难点: 用定义证明函数的单调性. 【教学过程】 一、引入课题 1． 观察下列各个函数的图象，并说说它们分别反映了相应函数的哪些变化规律： ○ 1 随x 的增大，y 的值有什么变化？ ○ 2 能否看出函数的最大、最小值？ 2． 画出下列函数的图象，观察其变化规律： 1．f(x) = x ○ 1 从左至右图象上升还是下降 ______? ○ 2 在区间 ____________ 上，随着x 的增 大，f(x)的值随着 ________ ． 2．f(x) = -2x+1 ○ 1 从左至右图象上升还是下降 ______? ○ 2 在区间 ____________ 上，随着x 的增 1.概念填空题1.1 C++最重要的特性之一就是代码重用，为了实现代码重用，代码必须具有通 用性。通用代码需要不受数据类型的影响，并且可以自动适应数据类型的变化。这种程序设计类型称为参数化程序设计。模板是C++支持参数化程序设计的工具，通过它可以实现参数化多态性性。 1.2函数模板的定义形式是template<模板参数表>返回类型函数名(形式参数表){…}。其中，<模板参数表>中参数可以有多个，用逗号分开。模板参数主要是模板类型参数。它代表一种类型，由关键字typename或class后加一个标识符构成，标识符代表一个潜在的内置或用户定义的类型参数。类型参数由可以是任意合法标识符。C++规定参数名必须在函数定义中至少出现一次。 1.3编译器通过如下匹配规则确定调用那一个函数：首先，寻找最符合函数名和参数类型的一般函数，若找到则调用该函数；否则寻找一个函数模板，将其实例化成一个模板函数，看是否匹配，如果匹配，就调用该模板函数；再则，通过类型转换规则进行参数的匹配。如果还没有找到匹配的函数则调用错误。如果有多于一个函数匹配，则调用产生二义性，也将产生错误。 1.4类模板使用户可以为类声明一种模式，使得类中的某些数据成员、某些成员函数的参数、某些成员函数的返回值能取任意类型（包括系统预定类型和用户自定义的类型）。类是对一组对象的公共性质的抽象，而类模板则是对不同类的数据类型？的抽象，因此类模板是属于更高层次的抽象。由于类模板需要一种或多种类型参数，所以类模板也常常称为参数化类。 2.简答题 2.1简述函数模板生成函数的过程。 2.2简述类模板生成对象的过程。 2.3简述函数模板与模板函数、类模板与模板类的区别。 3.选择题 3.1关于函数模板,描述错误的是（A）。 A.函数模板必须由程序员实例化为可执行的函数模板 B.函数模板的实例化由编译器实现 C.一个类定义中,只要有一个函数模板,则这个类是类模板 D.类模板的成员函数都是函数模板,类模板实例化后,成员函数也随之实例化 3.2下列的模板说明中,正确的是（D）。 A.template 2.1.2指数函数的性质的应用 【教学目标】 （1）能熟练说出指数函数的性质。 （2）能画出指数型函数的图像，并会求复合函数的性质。 （3）在学习的过程中体会研究指数函数性质的应用，养成良好的思维习惯。 【教学重难点】 教学重点：指数函数的性质的应用。 ； 教学难点：指数函数的性质的应用。 【教学过程】 ㈠情景导入、展示目标 1.指数函数的定义，特点是什么 2．请两位同学画出指数函数的图象（分两种情况画a>1与0 若ｘ＜０时，ｙ １；若ｘ＝１时，ｙ １． ３．函数)1,0(≠>=a a y a x 是 函数（就奇偶性填）． ㈢合作探究、精讲精练 探究点一：平移指数函数的图像 ) 例１：画出函数21+=x y 的图像，并根据图像指出它的单调区 间． 解析：由函数的解析式可得： 21+=x y ＝??????? -≥-<++) 1(,) 1(,2)2 1(11 x x x x 其图像分成两部分，一部分是将)211 1(+=x y （ｘ＜－１）的图 像作出，而它的图像可以看作)2 1(x y =的图像沿ｘ轴的负方向平移一个单位而得到的，另一部分是将)1(21 2 ≥=+x x y 的图像作出，而 它的图像可以看作将2x y =的图像沿ｘ轴的负方向平移一个单位而得到的． 解：图像由老师们自己画出 单调递减区间［－∞，－１］，单调递增区间［－１，＋∞］． 点评：此类函数需要先去绝对值再根据平移变换画图，单调性由图像易知。 【课题】 函数的实际应用举例 【教学目标】 知识目标： （1）理解分段函数的概念； （2）理解分段函数的图像； （3）了解实际问题中的分段函数问题． 能力目标： （1）会求分段函数的定义域和分段函数在点0x 处的函数值0()f x ； （2）掌握分段函数的作图方法； （3）能建立简单实际问题的分段函数的关系式． 【教学重点】 （1）分段函数的概念； （2）分段函数的图像． 【教学难点】 （1）建立实际问题的分段函数关系； （2）分段函数的图像． 【教学设计】 （1）结合学生生活实际，利用生活的实例为载体，创设情境，激发兴趣； （2）提供给学生素材后，给予学生充分的时间和空间，让学生在发现、探究、讨论、交流等活动中形成知识； （3）提供数学交流的环境，培养合作意识． 【教学备品】 教学课件． 【课时安排】 2课时．(90分钟) 【教学过程】 3 m 过 程 行为 行为 意图 间 （1）求函数的定义域； （2）求()()()2,0,1f f f -的值． 巡视 指导 动手 求解 交流 掌握 的情 况 30 *动脑思考 探索新知 分段函数的作图 因为分段函数在自变量的不同取值范围内，有着不同的对应法则，所以作分段函数的图像时，需要在同一个直角坐标系中，要依次作出自变量的各个不同的取值范围内相应的图像，从而得到函数的图像． 说明 讲解 思考 理解 记忆 建立 分段 函数 的数 形结 合 35 *巩固知识 典型例题 例2 作出函数()1, 0, 1, x x y f x x x - 【考纲要求】 1. 了解函数的定义域、值域，并能简单求解． 2. 理解函数的单调性、最大(小)值及其几何意义；结合具体函数，了解函数奇偶性的含义． 3. 会运用函数图象理解和研究函数的性质． 【知识网络】 【考点梳理】 1．单调性 （1）一般地，设函数()f x 的定义域为I 如果对于定义域I 内某个区间D 上的任意两个自变量的值12,x x ，当12x x <时，若都有12()()f x f x <，那么就说函数在区间D 上单调递增，若都有12()()f x f x >，那么就说函数在区间D 上单调递减。 （2）如果函数()y f x =在区间D 上是增函数或减函数，那么就说函数()y f x =在这一区间具有严格的单调性，区间D 叫做()y f x =的单调区间。 （3）判断证明函数单调性的一般方法：单调四法，导数定义复合图像 定义法： 用定义法证明函数的单调性的一般步骤是①设D x x ∈21,，且12x x <；②作差 )()(21x f x f -；③变形（合并同类项、通分、分解因式、配方等）④判断)()(21x f x f -的 正负符号；⑤根据定义下结论。 复合函数分析法 设()y f u =，()u g x =[,]x a b ∈，[,]u m n ∈都是单调函数，则[()]y f g x =在[,]a b 上也是单调函数，其单调性由“同增异减”来确定，即“里外”函数增减性相同，复合函数为增函数，“里外”函数的增减性相反，复合函数为减函数。如下表： 函数的基本性质 奇 偶 性 单 调 性 周 期 性 ()u g x = ()y f u = [()]y f g x = 增 增 增 增 减 减 减 增 减 减 减 增 导数证明法： 设()f x 在某个区间(,)a b 内有导数'()f x ，若()f x 在区间(,)a b 内，总有'()0('()0)f x f x ><，则()f x 在区间(,)a b 上为增函数（减函数）；反之，若()f x 在区间(,)a b 内为增函数（减函数） ，则'()0('()0)f x f x ≥≤。 图像法： 一般通过已知条件作出函数图像的草图，从而得到函数的单调性。 2、奇偶性 (1)定义: 如果对于函数f(x)的定义域内的任意一个x,都有f(-x)=-f(x),则称f(x)为这一定义域内的奇函数;如果对于函数f(x)的定义域内的任意一个x,都有f(-x)=f(x),则称f(x)为这一定义域内的偶函数. 理解： (Ⅰ)上述定义要求一对实数x,-x 必须同时都在f(x)的定义域内,注意到实数x,-x 在x 轴上的对应点关于原点对称(或与原点重合),故知f(x)的定义域关于原点对称是f(x)具有奇偶性的必要条件. (Ⅱ)判断函数奇偶性的步骤: ①考察函数定义域; ②考察f(-x)与f(x)的关系; ③根据定义作出判断. (Ⅲ)定义中条件的等价转化 ①f(-x)=-f(x)?f(x)+f(-x)=0;或f(-x)=-f(x) ? ) () (x f x f -=-1 (f(x)≠0) ②f(-x)= f(x) ?f(x)-f(-x)=0;或f(-x)=f(x) ? ) () (x f x f -=1 (f(x)≠0) 1、 已知单摆的振动周期2T π =2 980/g cm s =，l 为摆长（单位为cm ）。设原摆长为20cm ，为使周期T 增大0.05s ，摆长约需增长多少？要求（1）创建周期函数的符号表达式；（2）对符号表达式求导；（3）将符号表达式转换成数值。 解：(1)由题意可得： T=2*pi*sqrt(l/g) 即为周期函数的符号表达式 （2） syms l T=2*pi*sqrt(l/980) diff(T,l) 答案： ans =1/70*pi*5^(1/2)/l^(1/2)'T ?= (3) syms l g l=20 g=980 T=2*pi*sqrt(l/g) 答案：T =0.8976 由题可知：2 2 4gT l π = syms l g l=20 g=980 T=2*pi*sqrt(l/g) T1=T+0.05 l1=g*T1^2/4*pi^2 l2=l1-l 答案：T = 0.8976 T1 = 0.9476 l1 =2.1713e+003 l2= 2.1513e+003即为摆长约需增长的长度 2、 计算下列不定积分 （1） ? （2） 4sin cos 1sin x x dx x +? 解：（1）syms x y= x/sqrt(1+x-x^2) y1=int(y) 答案：y1 =-(1+x-x^2)^(1/2)+1/2*asin(2/5*5^(1/2)*(x-1/2)) 即 111)a r c s i n (()) 252 y x =+- (2) syms x y=sin(x)*cos(x)/(1+(sin(x))^4) y1=int(y) 答案：y1 =1/2*atan(sin(x)^2) 即：21 1arctan sin 2 y x = 3、计算下列定积分 （1）1 sin(ln )e x dx ? （2）2 220 x x e dx ∞ -? 解：（1）syms x y=sin(log(x)) y1=int(y,x,1,exp(1)) 答案： 即： （2）syms x y=x^2*exp(-2*x^2) y1=int(y,x,0,inf) 答案：y1 =1/16*2^(1/2)*pi^(1/2) 即：1y = 4、求下列极限 （1）0 2 arctan lim x x tdt x →+∞ ? （2）2 sin lim 2 x x tdt x π →- ? （1）syms x t y=atan(t) y1=int(y,t,0,x) z=y1/x^2 limit(z,x,inf) 答案：y1 =x*atan(x)-1/2*log(x^2+1)21 1arctan lg(1)2y x x x ?=- + z =(x*atan(x)-1/2*log(x^2+1))/x^222 1 lg(1) 2arctan x z x x x +?=- ans =0 (2) syms x t y=sin(t)^2 y1=int(y,t,0,x) z=y1/x-pi/2 limit(z,x,0) 反函数性质的应用 只有定义域和值域一一对应的函数才有反函数，反函数是由原函数派生出来的，它的定义域、对应法则、值域完全由原函数决定。因此利用这一关系可以将原函数的问题与反函数的问题相互转化，使问题容易解决。现在看一下反函数性质的应用。 ⒈利用反函数的定义求函数的值域 例1：求函数y= 1 21 x x - +的值域。 分析：这种函数可以利用分离常数法或反函数法求值域，下面利用反函数法来求解。解：由 y= 1 21 x x - +得y(2x+1)=x-1 ∴(2y-1)x=-y-1 ∴x= 1 21 y y -- - ∵x是自变量，是存在的， ∴2y-1≠0，∴y≠1 2。 故函数y= 1 21 x x - +的值域为：{y│y≠ 1 2}。 点评：形如y=ax b cx d + +的函数都可以用反函数法求它的值域。 ⒉原函数与反函数定义域、值域互换的应用 例2：已知f(x)=4x-21x+，求f1-(0)。 分析：要求f1-(0)，只需求f(x)=0时自变量x的值。 解：令f(x)=0，得4x-21x+=0，∴2x（2x-2）=0， ∴2x=2或2x=0（舍）， ∴x=1。 故f1-(0)=1。 点评：反函数的函数值都可以转化为求与之对应的原函数的自变量之值，反之也成立。 ⒊原函数与反函数的图像关于直线y=x对称的应用 例3：求函数y= 2 1 x x+（x∈(-1，+∞)）的图像与其反函数图像的交点。 分析：可以先求反函数，再联立方程组求解；也可以利用原函数与反函数的图像关于直线y=x 对称求解，这里用后一种方法求解。只要原函数与反函数不是同一函数，它们的交点就在直线y=x上。 解：由 2 1 x y x y x ? = ? + ? ?= ?得 x y = ? ? = ?或 1 1 x y = ? ? = ? ∴原函数和反函数图像的交点为（0，0）和（1，1）。 点评：利用利用原函数与反函数的图像关于直线y=x对称的性质，可以简化运算，提高准确率。但要注意原函数与反函数不能是同一函数，它们的交点才在直线y=x上。 ⒋原函数与反函数的单调性相同的应用 例4：已知f(x)=2x+1的反函数为f1-(x)，求f1-(x)<0的解集。 分析：因为f(x)=2x+1在R上为增函数，所以f1-(x)在R上也为增函数。又因为原函数与反函数定义域、值域互换，所以f1-(x)中的x的范围就是f(x)的范围。 解：由f(x)=2x+1>1得f1-(x)中的x>1。 又∵f1-(x)<0且f(x)=2x+1在R上为增函数， ∴f 1() f x - ?? ?? 分段函数的实际应用 清远工贸职业技术学校数学组 教师：陈学军班级：15春数控1班课时安排：1课时 课程分析 职业高中数学课程教学是专业建设与专业课程体系改革的一部分，应与专业课教学融为一体，立足于为专业课服务，解决实际生活中常见问题，结合中职学生的实际，强调数学的应用性，以满足学生在今后的工作岗位上的实际应用为主，这也体现了新课标中突出应用性的理念。 分段函数的实际应用在本课程中的地位： （1）函数是高中数学学习的重点和难点，函数的思想贯穿于整个高中数学之中，分段函数在科技和生活的各个领域有着十分广泛的应用。 （2）本节所探讨学习分段函数在生活生产中的实际问题上应用，培养学生分析与解决问题的能力，养成正确的数学化理性思维的同时，形成一种意识，即数学“源于生活、寓于生活、用于生活”。 教材分析 教材使用的是中等职业教育课程改革国家规划教材，分段函数内容安排在第三章函数的最后一部分讲解。本节内容是在学生熟知函数的概念，表示方法和对函数性质有一定了解的基础上研究分段函数，同时深化学生对函数概念的理解和认识，也为接下来学习指数函数和对数函数作了良好铺垫。由生活生产中的实际问题入手，求得分段函数此部分知识以学生生活常识为背景，可以引导学生分析得出，分段函数作图可以略讲由学生自己完成。 学情分析 （1）知识层面：学生在初中学习了一次函数、二次函数、正比例函数、反比例函数这些基本初等函数图像和性质，对函数有一定程度的认识和理解；在本学期对函数知识又进一步系统的学习，加深学生对函数概念和性质的理解，为学习分段函数奠定良好的基础。 （2）能力层面：学生对函数具有一定的理解，在此基础上能够建立简单实际问题的分段函数的关系式，通过分段函数的应用，培养学生分析与解决问题的能力，了解什么是数学建模，提高学生基本科学素质。 教学目标 课程标题 函数的基本性质 学习目标（1）掌握函数的基本性质（单调性、最大值或最小值、奇偶性），能应 用函数的基本性质解决一些问题。 （2）从形与数两方面理解函数单调性的概念，初步掌握利用函数图象和单调性定义判断、证明函数单调性的方法． （3）了解奇偶性的概念,回 会利用定义判断简单函数的奇偶性。 重点与难点 （1）判断或证明函数的单调性； （2）奇偶性概念的形成与函数奇偶性的判断。 学习过程 一、 函数的单调性 1．单调函数的定义 （1）增函数：一般地，设函数()f x 的定义域为I ：如果对于属于I 内某个区间上的任意两个自变量的值1x 、2x ,当1x <2x 时都有12()()f x f x <，那么就说()f x 在这个区间上是增函数。 （2）减函数：如果对于属于I 内某个区间上的任意两个自变量的值1x 、2x ,当1x <2x 时都有12()()f x f x >，那么就说()f x 在这个区间上是减函数。 （3）单调性：如果函数()y f x =在某个区间是增函数或减函数。那么就说函数()y f x =在这一区间具有（严格的）单调性，这一区间叫做()y f x =的单调区间。 2、单调性的判定方法 （1）定义法： 判断下列函数的单调区间：2 1x y = （2）图像法：从左往右，图像上升即为增函数，从左往右，图像下降即为减函数。 （3）复合函数的单调性的判断： 设)(x f y =，)(x g u =，],[b a x ∈，],[n m u ∈都是单调函数，则[()]y f g x =在] ,[b a 上也是单调函数。 ①若)(x f y =是[,]m n 上的增函数，则[()]y f g x =与定义在],[b a 上的函数)(x g u =的单调性相同。 ②若)(x f y =是[,]m n 上的减函数，则[()]y f g x =与定义在],[b a 上的函数)(x g u =的单调性相 同。 即复合函数的单调性：当内外层函数的单调性相同时则复合函数为增函数；当内外层函数的 单调性相反时则复合函数为增减函数。也就是说：同增异减（类似于“负负得正”） 练习：（1）函数2 4x y -= 的单调递减区间是 ，单调递增区间 为 ． 【课题】3.3 函数的实际应用举例 【学习目标】理解分段函数的概念，了解实际问题中的分段函数的问题。 【学习重点】对分段函数的认识和理解，根据实际问题列出函数关系式。 【学习难点】把实际问题转化为数学问题，建立实际问题的分段函数关系。【学习过程】 一、前置练习，自主学习 1、请每位学生和家长了解下自家每月用水情况，有能力的学生可以进一步了解下，费用是怎么计算的？ 2、我国是一个缺水的国家，很多城市的生活用水远远低于世界的平均水平．为了加强公民的节水意识，某城市制定每户月用水收费（含用水费和污水处理费）标准： 那么，每户每月用水量x（m）与应交水费y（元）之间的关系是否可以用函数解析式表示出来？ 解：分别研究在两个范围内的对应法则，列出下表： 二、新课知识： 1、分段函数：在自变量的不同取值范围内，有不同的对应法则，需要用不同的解析式来表示的函数叫做分段表示的函数，简称分段函数． 2、定义域：分段函数的定义域是自变量的各个不同取值范围的并集． 3、函数值：求分段函数的函数值()0 f x时，应该首先判断0x所属的取值范围，然后再把 x代入到相应的解析式中进行计算． 注意：分段函数在整个定义域上仍然是一个函数，而不是几个函数，只不过这个函数在定义域的不同范围内有不同的对应法则，需要用相应的解析式来表示． 三、讲解例题： 例1：设函数()221, 0,,0.x x y f x x x -??==?>??… （１）求函数的定义域； （２）求()()()2,0,1f f f -的值． 例2：作出函数()1,0,1,0x x y f x x x - §1.3函数的基本性质的应用 教学设计 一、课标分析 1．本内容是在高中数学人教社A版必修1讲完1.2．1函数的单调性和奇偶性之后，安排的一节专题研究课。这节课承接前面所研究的函数的定义、表示方法、单调性、奇偶性，是这些内容的深化、提高，并且是在研究完具体初等函数的性质之后再进行的，从感性认识提高到理性认识。另一方面，为后面学习指数函数、对数函数、及数列这种特殊的函数打下基础，与不等式、求函数的值域、最值、导数等等都有着紧密的联系，同时它对后面的函数的进一步学习在思维上起着进一步深化、拓展的作用。 2．本节课在函数中是由具体到抽象的一个重要过渡，它对后面利用函数性质的进一步研究抽象函数问题起着重要的铺垫、引领作用。 3．通过函数的性质的研究，能够培养、训练、提高学生的逻辑思维能力和发散思维能力，对其他知识的进一步学习、探索产生良好迁移作用具有奠基性的作用。 4．通过对函数性质的研究，能够对其它学科的学习，比如说物理学中的波形图、化学中的无机化学、生物学中的遗传等知识，使学生在思维上具有正面的积极导向，给予数学上的基础性支撑。 5．渗透转化等数学思想方法。从学习过程中感悟转化思想的作用，化繁为简、化抽象为直观，为今后进一步学习、深化，打下坚实基础。 二、教材分析 函数的性质与应用位于高一数学教材必修1，且贯穿于整个高中学习。在高考中，函数的性质是命题的主线索，并且考察的类型较多，涉及到函数的单调性、单调区间、奇偶性、周期性、最值、图象，函数与导数、不等式的联系等，在选择、填空和解答题中都有体现。其中函数的单调性、奇偶性和周期性更是重中之重。而学生对函数各性质的掌握和应用能力还不够。函数的基本性质教案1第1课时
3.5.2函数的实际应用举例第二课时
函数的实际应用举例(第一课时)教案01
人教版_数学_必修1函数的基本性质_教案
中职数学基础模块上册函数的实际应用举例word教案1.doc
函数的性质专题教案
中职数学基础模块上册《函数的实际应用举例》word教案
函数的基本性质(教案)
c及应用习题答案
指数函数的性质的应用教案
函数应用举例教案
北京四中高考数学总复习 函数的基本性质(提高)知识梳理教案
实际应用作业
高中数学第二章 反函数性质的应用 教案(北师大版必修1)
分段函数的实际应用-教案
人教版 数学 必修1函数的基本性质 教案
3.3 函数的实际应用举例
函数的性质的应用教学设计