山东省烟台市高一下学期期中数学试题(解析版)
∵ P1,1 为圆 x-22 y2 4 的弦 AB 的中点,
∴圆心与点 P 确定的直线斜率为 k 0 1 1, 2 1
∴弦 AB 所在直线的斜率为 1， ∴弦 AB 所在直线的方程为 y 1 x 1,即 x y 0 .
A．5 【答案】B
B．6
C．7
D．8
【解析】由线性回归方程过样本中心 x, ?y ，通过表中数据计算求解即可.
【详解】
根据表中数据计算得： x 2 4 6 8 5，y 3 4 5 t 12 t ，
4
4
4
将 x, ?y 代入 yˆ 0.8x 0.5 ，可得 12 t 0.8 5 0.5 ，解得 t 6 .
2
3
率是_____
【答案】
【解析】试题分析：因为甲获胜与两个人和棋或乙获胜对立，所以甲获胜概
1 1 1 1 ，应填 1 .
23 6
6
【考点】概率的求法.
15．在半径为 10 米的圆形弯道中，120°角所对应的弯道长为
米．
【答案】 20 3
【解析】弯道长是半径为 10，圆心角为1200 即 2 弧度所对的弧长．由弧长公式得弧 3
A．45,45.3
B．45,46.4
C．47,45.3
D．47,46.4
【答案】B
【解析】根据茎叶图中数据及中位数,方差的概念进行计算可得答案.
【详解】
由题中茎叶图共有 11 个数据,所以中位数为 45,平均数为
31 32 34 44 45 45 47 47 48 50 50 =43 ,求得方差为 11
31 432 32 432 34 432 44 432 45 432 45 432 47 432 47 432 48
11
46.4.
故选:B.
【点睛】
本题主要考查茎叶图的相关知识,及中位数,方差的相关概念,考查学生的计算能力,难度
一般.
9．有 5 件产品，其中 3 件正品，2 件次品，从中任取 2 件，则互斥而不对立的两个事
故选:ACD. 【点睛】 本题主要考查了圆与圆的位置关系的判定与应用，其中熟记两圆的公共弦的方程的求解,
第 7 页 共 15 页
以及合理应用圆的性质是解答本题的关键,着重考查了分析问题和解答问题的能力,难度 一般.
三、填空题
14．甲、乙两人下棋，两人下成和棋的概率是 1 ，乙获胜的概率是 1 ，则甲获胜的概
【详解】
由题意，从集合
中随机取一个数 ，从集合
中随机取一个数 ，
得到 的取值的所有可能了结果共有：
，共计 9 种结果，
由直线
，即
，其中当
时，直线不过第四象限，
共有 所以当直线
，共计 4 种， 一．定．经过第四象限时，共有 5 中情况，
所以概率为 ，故选 D.
【点睛】 本题主要考查了古典概型及其概率的计算，以及直线方程的应用，其中解答中根据题意 列举出基本事件的总数，进而利用古典概型及其概率的计算公式求解是解答的关键，着 重考查了推理与计算能力，属于基础题.
故选:D.
【点睛】
本题考查了对立事件和互斥事件，意在考查学生对对立事件和互斥事件的理解,难度较
易.
10．若从集合
中随机取一个数 ，从集合
线
一．定．经过第四象限的概率为( )
中随机取一个数 ，则直
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【解析】由题意，利用列举法求得基本事件 的总数，再列举出所求事件所包含的基
本事件的个数，利用古典概型及其概率的计算公式，即可求解.
【详解】
分别作角 17 的正弦、余弦和正切线,如图, 18
sin 17 MP 0, cos 17 OM 0，tan 17 =AT 0 .
18
18
18
MP 0 AT OM .
故选:BC.
【点睛】
本题考查利用三角函数线比较同角三角函数值的大小比较,考查数形结合思想的应用,难 度较易.
12．已知 f (x) l2oxg, 3 x,
【解析】每个个体被抽到的概率为
，∴专科生被抽的人数是
,
本科生要抽取
,研究生要抽取
.
4．圆 x2 ( y 1)2 5 与直线 mx y 1 2m 0 的位置关系( )
A．相切
B．相离
C．相交
D．不能确定
【答案】C
【解析】把直线的方程变形为点斜式,观察得到直线过一个定点,易判定点在圆内,从而明
确直线与圆的位置关系.
性质,即可求解,得到答案. 【详解】
由题意，由圆 C2 的方程可化为圆 C2 : x2 y2 2ax 2by a2 b2 r 2 0 两圆的方程
相减可得直线 AB 的方程为: 2ax 2by a2 b2 0 即 2ax 2by a2 b2 分别把
A(x1, y1), B(x2 , y2 ) 两点代入可得 2ax1 2by1 a2 b2 , 2ax2 2by2 a2 b2 两式相
况,故不满足条件.
B、至少有 1 件次品与都是正品是对立事件,故不满足条件.
C、至少有 1 件次品与至少有 1 件正品不互斥,它们都包括了“一件正品与一件次品”的情
况,故不满足条件.
第 4 页 共 15 页
D、恰有 1 件次品与恰有 2 件正是互斥事件,但不是对立事件,因为除此之外还有“两件都
是次品”的情况,故满足条件.
x0 ，角 的终边经过点 (1, 2 2 ) ，则下列结论正确的是
x0
()
A． f (cos) 1
B． f (sin ) 1
C． f ( f (cos )) 1 2
D． f ( f (sin)) 2
【答案】AC
【解析】先通过终边上点的坐标求出 sin, cos 然后代入分段函数中求值即可.
第 6 页 共 15 页
故选:B.
第 1 页 共 15 页
【点睛】 本题考查了圆心和弦的中点的连线与弦所在的直线垂直,以及直线的点斜式,属于基础题, 难度较易. 3．某全日制大学共有学生 5600 人，其中专科生有 1300 人，本科生有 3000 人，研究生 有 1300 人，现采用分层抽样的方法调查学生利用因特网查找学习资料的情况，抽取的 样本为 280 人，则应在专科生、本科生与研究生这三类学生中分别抽取( )人. A．65,150,65 B．30，150，100 C．93,94,93 D．80,120,80 【答案】A
【详解】
因为角 的终边经过点 (1,2 2 ) ,
所以 sin = 2 2 , cos = 1 ,
3
3
所以
f
(cos )
f
(
1 3
)=
log3
1 3
1,
f
(sin )
f ( 2 32 )= log32 32
0,
所以
f ( f (cos))
f (-1)=2-1= 1 , 2
f(f
(sin ))
5．若角 满足 sin | sin | cos | cos |
C．第三象限的角
D．第四象限的角
【答案】C
【解析】根据同角的三角函数关系得出 sin 0 且 cos 0 ,由此判断 是第几象限角.
【详解】
角 满足 sin | sin | cos | cos | 1,
2018-2019 学年山东省烟台市高一下学期期中 数学试题
一、单选题
1． sin1140 ( )
A． 3 2
B． 1 2
【答案】A
【解析】利用诱导公式化简即可求值.
【详解】
C． 3 2
D． 1 2
sin1140 sin 60 +3360 = sin 60 3 . 2
故选:A. 【点睛】 本题考查诱导公式在求函数值中的应用,难度容易.
减可得 2a x1 x2 2b y1 y2 0即 a x1 x2 b y1 y2 0 ,所以选项 C、D 是
正确的;
由圆的性质可得，线段 AB 与线段 C1C2 互相平分,即 AB 中点和 C1C2 的中点重合,所以
x1 x2 a, y1 y2 b ,所以选项 A 是正确的.
【详解】
直线 mx y 1 2m 0 即 y 1 m x 2 即直线过 2，1 点,把 2，1 点代入圆的方程
有 4 0 5,所以点 2，1 在圆的内部,过 2，1 点的直线一定和圆相交.
故选:C. 【点睛】 本题考查直线系方程的应用,考查直线过定点,考查直线与圆的位置关系,考查转化思想, 属于基础题,难度较易.
A． x1 x2 a, y1 y2 b
B． 2ax1 2by1 a2 b2 0
C． 2ax2 2by2 a2 b2 0
【答案】ACD
D． a(x1 x2 ) b( y1 y2 ) 0
【解析】根据两圆的方程相减,求得公共弦所在直线的方程,代入点 A, B 的坐标,结合圆的
长为
2 10 20 ．
3
3
16．一袋中装有形状、大小都相同的 6 只小球，其中有 3 只红球、2 只黄球和 1 只蓝球.
若从中 1 次随机摸出 2 只球，则 1 只红球和 1 只黄球的概率为__________，2 只球颜色
相同的概率为________.
【答案】 2
4
5 15
【解析】由题,求得基本事件的总数 15 种,再求得 1 只红球和 1 只黄球的及 2 只颜色相同
包含的基本事件的个数,根据古典概型及其概率的计算公式,即可求解.
【详解】
由题意,一只口袋中装有形状、大小都相同的 6 只小球,其中有 3 只红球、2 只黄球和 1
只篮球,从中 1 次随机摸出 2 只球,则基本事件的总数为 n C62 15 种情况.
2023-2024学年山东省烟台市招远市高一下册期中数学试题(含解析)
2023-2024学年山东省烟台市招远市高一下册期中数学试题一、单选题1．sin 345︒=A ．4B ．4C ．4-D ．4【正确答案】A【分析】直接利用诱导公式以及两角差的正弦公式即可求出．【详解】()()sin 345sin 36015sin15sin 4530︒=︒-︒=-︒=-︒-︒122224⎛⎫=-⨯-⨯= ⎪ ⎪⎝⎭，故选A ．本题主要考查诱导公式和两角差的正弦公式应用．2．设P 为ABCD Y 对角线的交点，O 为任意一点，则OA OB OC OD +++=（）A ．OPB ．2OPC ．3OPD ．4OP【正确答案】D【分析】分别在 OAC 和 OBD 中，根据P 是平行四边形ABCD 的对角线的交点，利用中点坐标公式求解.【详解】解：在 OAC 中，因为P 是平行四边形ABCD 的对角线的交点，所以1()2OP OA OC =+ ，即2OA OC OP += ．在 OBD 中，因为P 是平行四边形ABCD 的对角线的交点，所以1()2OP OB OD =+ ，即2OB OD OP += ．所以4OA OB OC OD OP +++= ．故选：D ．3．已知()1,1a = ，()2,1b =- ，则b 在a上的投影向量为（）A ．11,22⎛⎫-- ⎪⎝⎭B ．()1,1--C ．11,22⎛⎫ ⎪⎝⎭D ．()1,1【正确答案】A【分析】由向量的投影向量公式直接求得.【详解】依题意b 在a上的投影向量为()()2211111,11,1,2222b a a a⋅-+⎛⎫⋅=⋅=-=-- ⎪⎝⎭.故选：A.4．在ABC 中，已知4cos 5A =，1tan 2B =，则()tan A C -=（）A ．12B ．12-C ．112-D ．112【正确答案】C【分析】由已知可推得3tan 4A =，进而根据两角和的正切公式即可得出tan 2C =-.然后根据两角差的正切公式即可得出答案.【详解】由已知可得sin 0A >.又因为4cos 5A =，所以3sin 5A =，所以3tan 4A =.所以()()tan tan πtan C A B A B =--=-+31tan tan 422311tan tan 142A B A B ++=-=-=---⨯，所以()tan tan tan 1tan tan A C A C A C --=+()()3211432124--==-+⨯-.故选：C.5．已知()0,πα∈，且3cos 210cos 1αα-=，则sin 2α=（）AB．C．9D．9-【正确答案】D【分析】使用二倍角公式得到关于cos α一元二次方程，求解cos α，再根据同角三角函数的基本关系求出sin α，最后根据二倍角正弦公式计算可得；【详解】由3cos 210cos 1αα-=得()232cos 110cos 1αα--=，即23cos 5cos 20αα--=，解得1cos 3α=-或cos 2α=（舍）.又()0,πα∈，所以sin 3α=，所以sin 22sin cos 9ααα==-.故选：D.6．已知函数()π2cos 2sin 232f x x x ⎛⎫=-+- ⎪⎝⎭，则（）A ．()f x 的最小正周期是πB ．()f x 在ππ,64⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递增C ．()f x 的图象关于点()ππ,0212k k ⎛⎫+∈ ⎪⎝⎭Z 对称D ．()f x 在π,04⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上的值域是2⎡-⎢⎣⎦【正确答案】B【分析】利用两角和差余弦公式、二倍角和辅助角公式可化简得到()πsin 43f x x ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭，利用正弦型函数最小正周期、单调性、对称中心和值域的求法依次判断各个选项即可.【详解】()212cos 22sin 22sin 2cos 22f x x x x x x x ⎛⎫=-=-- ⎪ ⎪⎝⎭1π4sin 4sin 422223x x x ⎛⎫=---=-+ ⎪⎝⎭；对于A ，()f x 的最小正周期2ππ42T ==，A 错误；对于B ，当ππ,64x ∈⎡⎤⎢⎣⎦时，π4π4π,33x ⎡⎤+∈⎢⎥⎣⎦，此时πsin 43y x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭单调递减，()f x \在ππ,64⎡⎤⎢⎣⎦上单调递增，B 正确；对于C ，令()π4π3x k k +=∈Z ，解得：()ππ412k x k =-∈Z ，此时()0f x =，()f x \的图象关于点()ππ,0412k k ⎛⎫-∈ ⎪⎝⎭Z 对称，C 错误；对于D ，当π,04x ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦时，π2ππ4333x ⎡⎤+∈-⎢⎥⎣⎦，则πsin 41,32x ⎡⎛⎫+∈-⎢ ⎪⎝⎭⎣⎦，()f x \在π,04⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上的值域为2⎡⎤-⎢⎥⎣⎦，D 错误.故选：B.7．已知等边ABC 的边长为2，D 为BC 的中点，P 为线段AD 上一点，PE AC ⊥，垂足为E ，当23PB PC ⋅=- 时，PE = （）A ．1233AB AC-+B ．1136AB AC-+C ．1163AB AC -+ D ．2133AB AC -+uu u r uuu r 【正确答案】B【分析】设AP AD λ= ，由23PB PC ⋅=- 求出λ，得到P 为ABC 的重心，E 为AC 的中点，再利用平面向量基本定理求解即可．【详解】解：设(01)AP AD λλ=<<，则PC AC AP AC AD λ=-=-，PB AB AD λ=-，∴22()()PC PB AC AD AB AD AC AB AC AD AB AD AD λλλλλ⋅=-⋅-=⋅-⋅-⋅+=22222233623λλλλ-⨯⨯+=-+=-，291880λλ∴-+=，23λ∴=或43λ=（舍去），P ∴为ABC 的重心，PE AC ⊥ ，E ∴为AC 的中点，∴1212111()2323236PE AE AP AC AD AC AB AC AB AC =-=-=-⨯+=-+，故选：B ．8．锐角ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，1a =，且cos cos 1b A B -=，22sin B A +的取值范围为（）A ．()1B ．()1+C ．(D ．(【正确答案】B【分析】由正弦定理边化角可得2B A =，由ABC 为锐角三角形可得ππ64A <<，运用二倍角的正弦公式以及辅助角公式将已知式化为π2sin 216A ⎛⎫-+ ⎪⎝⎭，再由三角函数的性质求解即可.【详解】因为在锐角ABC 中，1a =，且cos cos 1b A B -=，所以cos cos b A a B a -=，则sin cos sin cos sin B A A B A -=，所以()sin sin B A A -=，则B A A -=或πB A A -+=（舍去），所以2B A =，221cos 22sin 22sin 222AB A A A A -+=+=+⋅π2cos 212sin 216A A A ⎛⎫=-+=-+ ⎪⎝⎭，因为ABC 为锐角三角形，ππ3C A B A =--=-，所以ππ0022ππππ0022264ππ00π322A A B A A C A ⎧⎧<<<<⎪⎪⎪⎪⎪⎪<<⇒<<⇒<<⎨⎨⎪⎪⎪⎪<<<-<⎪⎪⎩⎩，所以πππ2,663A ⎛⎫-∈ ⎪⎝⎭，所以π1sin 2,622A ⎛⎛⎫-∈ ⎪ ⎝⎭⎝⎭，(π2sin 21,6A ⎛⎫-∈ ⎪⎝⎭，(π2sin 212,16A ⎛⎫-+∈ ⎪⎝⎭故选：B.二、多选题9．已知函数()f x 的值域为Ω，若1∈Ω，则称函数()f x 具有性质I ，下列函数中具有性质I 的有（）A ．()sin 2cos f x x x =+B ．()sin cos f x x x =C ．()cos 2cos xf x x=D ．()sin cos cos sin x xf x x x=+【正确答案】AC【分析】先化简各选项的函数表达式，再结合三角形函数的基本性质以及基本不等式求解即可.【详解】对于A ，()()sin 2cos f x x x x ϕ⎡=+=+∈-⎣，其中tan 2ϕ=，则1⎡∈⎣，符合题意；对于B ，()111sin cos sin 2,222f x x x x ⎡⎤=⋅=∈-⎢⎥⎣⎦，则111,22⎡⎤∉-⎢⎥⎣⎦，不符合题意；对于C ，()2cos 22cos 112cos cos cos cos x x f x x x x x-===-，令[)(]cos 1,00,1t x =∈-⋃，所以12y t t=-在[)(]1,0,0,1-上单调递增，所以12R y t t =-∈，则1R ∈，符合题意；对于D ，()sin cos 1tan cos sin tan x x f x x x x x=+=+，当tan 0x >时，()1tan 2tan f x x x =+≥=，当且仅当1tan tan x x =，即tan 1x =时等号成立；当tan 0x <时，()1tan 2tan f x x x =+≤-=-，当且仅当1tan tan x x =，即tan 1x =-时等号成立；综上所述，()(][)sin cos ,22,cos sin x xf x x x∞∞=+∈--⋃+，则(][)1,22,∞∞∉--⋃+，不符合题意.故AC.10．设()sin 2cos 2f x a x b x =+，其中,a b ∈R ，0ab ≠，若()6f x f π⎛⎫≤ ⎪⎝⎭对一切x ∈R 恒成立，则（）A ．11π012f ⎛⎫= ⎪⎝⎭B ．7ππ105f f ⎛⎫⎛⎫= ⎪ ⎝⎭⎝⎭C ．()f x 为非奇非偶函数D ．()f x 的单调递增区间为()π2ππ,π63k k k ⎡⎤++∈⎢⎥⎣⎦Z 【正确答案】ABC【分析】由辅助角公式得出解析式，由正弦函数的性质得出a ，再由解析式以及正弦函数的性质逐一判断即可.【详解】()sin 2cos 2f x a x b x =+，其中,a b ∈R ，0ab ≠若()π6f x f ⎛⎫≤ ⎪⎝⎭对一切则x ∈R 恒成立所以π162f b ⎛⎫==+ ⎪⎝⎭，整理得2230a b +-=，故a =所以()π2sin 26f x b x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，对于A ：11π11ππ2sin 22sin 2π012126f b b ⎛⎫⎛⎫=⨯+== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，故A 正确；对于B ：7π7ππ2ππ2πππ2sin 22sin π2sin ,1010656565f b b b f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=⨯+=++=+= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭故B 正确；对于C ：因为()00f b =≠，所以该函数不是奇函数，因为πππ2sin 0,012312f b f⎛⎫⎛⎫==≠-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以该函数不是偶函数，故C 正确；对于D ：当0b >时，令()πππ2π22π262k x k k -≤+≤+∈Z ，解得()ππππ36k x k k -≤≤+∈Z ，D错误.故选：ABC11．已知向量a ，b ，c满足1==a b r r ，12a b ⋅=-r r ，(),,0c xa yb x y y =+∈≥R ，则下列命题正确的有（）A ．若1x =，则c 的最小值为12B ．若1x =，则存在㫿一的y ，使得0a c ⋅=C ．若1c =，则x y +的最小值为1-D ．若1c = ，则()a b c +⋅ 的最小值为12-【正确答案】BCD【分析】将向量平方转化为求二次函数的最值问题可判断A ；将已知代入，由数量积为零计算出结果，只有一个值可判断B ；由已知得出221+-=x y xy ，配方、三角换元求出值域可判断C ；先将已知条件化简，利用C 选项结论求出范围可判断D.【详解】对于A ，当1x =时，c a yb =+，2222221c a ya b y b y y =+⋅+=-+ ，22133244c y ⎛⎫∴=-+≥⎪⎝⎭ ，当12y =时取得最小值，所以cA 不正确；对于B ，若1x =，c a yb =+，()1102a c a a yb y ⋅=⋅+=-= ，解得2y =，则存在唯一的y ，使得0a c ⋅=，故B 正确；对于C ，c xa yb =+，若1c = ，0y ≥，222222221c x a xya b y b x y xy =+⋅+=+-=，223124y x y ⎛⎫∴-+= ⎪⎝⎭，令[]cos 2,0,πsin y x y ααα⎧-=⎪⎪∈=，解得：cos 3x αα=+，sin 3y α=[]cos 2sin ,0,π6x y παααα⎛⎫+=+=+∈ ⎪⎝⎭，12x y -≤+≤，所以C 正确；对于D ，()()()()()()2211=22a b c a b xa yb xa x y a b yb x x y y x y +⋅=+⋅+=++⋅+-++=+，若1c = ，0y ≥时，由C 知：12x y -≤+≤，所以()11122x y -≤+≤，则()a b c +⋅ 的最小值为12-，D 正确.故选：BCD.12．“奔驰定理”是平面向量中一个非常优美的结论，因为这个定理对应的图形与“奔驰”轿车（Mercedesbenz ）的logo 很相似，故形象地称其为“奔驰定理”．奔驰定理：已知O 是ABC 内的一点，,,BOC AOC AOB 的面积分别为,,A B C S S S ，则有0A B C S OA S OB S OC ⋅+⋅+⋅=．设O 是锐角ABC 内的一点，,,BAC ABC ACB ∠∠∠分别是ABC 的三个内角，以下命题正确的有（）A ．若0OA OB OC ++=u u u r u u u r u u u r r，则O 为ABC 的重心B ．若230OA OB OC ++=u u u r u u u r u u u r r，则::1:2:3A B C S S S =C ．若5π||||2,6OA OB AOB ==∠= ，2340OA OB OC ++= ，则92ABC S =D ．若O 为ABC 的垂心，则tan tan tan 0BAC OA ABC OB ACB OC ∠⋅+∠⋅+∠⋅=【正确答案】ABD【分析】A 若D 为AB 的中点，连接OD ，由已知得O 在中线CD 上，同理可得O 在其它中线上，即可判断；B 、C 将三角形补成一个以O 为重心的三角形，根据向量的线性关系求出相关三角形面积的数量关系，即可得结论；D 由垂心的性质、向量数量积的运算律OB AC OB OC OB OA ⋅=⋅-⋅=，得到||:||:||cos :cos :cos OA OB OC BAC ABC BCA =∠∠∠ ，结合三角形面积公式及角的互补关系得结论.【详解】A ：若D 为AB 的中点，连接OD ，则=2O OA O D C B O +=，故,,C O D 共线，即O 在中线CD 上，同理可得O 在其它两中线上，故O 为ABC 的重心，正确；B ：若2,3OE OB OD OC == ，由题设知0OA OE OD ++=，即O 为AED △的重心，所以AOE DOE AOD S S S == ，12C AOE S S =，13B AOD S S = ，16A DOE S S = ，则::1:2:3A B C S S S =，正确；C ：由题设1225π6in1s 2C S =⨯⨯⨯=，若2,3,4OF OA OE OB OD OC === ，所以0OF OE OD ++=，即O 为DEF 的重心，则EOF DOE DOF S S S == ，而16C EOF S S =，则6EOF S = ，故11122A DOE S S == ，1384B DOF S S == ，所以1391244ABC S =++= ，错误；D ：由BOC BAC π∠+∠=，则||||cos ||||cos OB OC OB OC BOC OB OC BAC ⋅=∠=-∠，同理，||||cos ||||cos OB OA OB OA BOA OB OA BCA ⋅=∠=-∠，因为O 为ABC 的垂心，则()0OB AC OB OC OA OB OC OB OA ⋅=⋅-=⋅-⋅=，所以||cos ||cos OC BAC OA BCA ∠=∠，同理得：||cos ||cos OC ABC OB BCA ∠=∠ ，||cos ||cos OA ABC OB BAC ∠=∠，则||:||:||cos :cos :cos OA OB OC BAC ABC BCA =∠∠∠，令||cos ,||cos ,||cos OA m BAC OB m ABC OC m BCA =∠=∠=∠，由1||||sin 2A S OB OC BOC =∠，则21||||sin cos cos sin 22A m S OB OC BAC ABC BCA BAC =∠=∠∠∠ ，同理：21||||sin cos cos sin 22B m S OA OC ABC BAC BCA ABC =∠=∠∠∠ ，21||||sin cos cos sin 22C m S OA OB BCA BAC ABC BCA=∠=∠∠∠ ，综上，sin sin sin ::::tan :tan :tan cos cos cos A B C BAC ABC BCAS S S BAC ABC BCA BAC ABC BCA ∠∠∠==∠∠∠∠∠∠，由已知可得tan tan tan 0BAC OA ABC OB ACB OC ∠⋅+∠⋅+∠⋅=，正确.故选：ABD关键点点睛：利用三角形重心的性质判断A 、B 、C ，应用向量数量积定义、运算律和垂心性质得到向量模的比例，结合三角形面积公式判断结论.三、填空题13．已知3sin 24α=，0,4πα⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，则sin cos αα-=______．【正确答案】12-##-0.5【分析】根据α的范围，可得sin cos αα<，再根据平方关系式，结合二倍角的正弦公式直接求解即可.【详解】∵π0,4α⎛⎫∈ ⎪⎝⎭∴sin cos αα<，∴sin cos 0αα-<，又3sin 24α=∴()2221sin cos sin 2sin cos cos 1sin 24ααααααα-=-+=-=∴1sin cos 2αα-=-故答案为.12-14．已知1sin sin 2αβ+=,cos cos 3αβ+=,则()cos αβ-=______．【正确答案】1724-【分析】将已知两式平方相加,结合两角差的余弦公式,即可求得答案.【详解】因为1sin sin 2αβ+=,cos cos αβ+=,故2221(sin sin )sin sin 2sin sin 4αβαβαβ+=++=,2221(cos cos )cos cos 2cos cos 3αβαβαβ+=++=,以上两式相加可得()72sin sin 2cos cos 22cos 122αβαβαβ++-=+=,即()172cos 12αβ-=-,故()417cos 2αβ-=-.故答案为:1724-.15．已知向量()5,7sin 1a θ=- ，()21,cos b θ= ，若a b ∥ ，则cos2θ=______．【正确答案】725##0.28【分析】由向量共线关系得出方程，求解sin θ，再由余弦二倍角求得结果.【详解】由a b ∥得()25cos 7sin 10θθ--=，即()251sin 7sin 10θθ--+=，整理得25sin 7sin 60θθ+-=，解得3sin 5θ=，或sin 2θ=-(舍).则2237cos212sin 12525θθ⎛⎫=-=-⨯= ⎪⎝⎭.故答案为.72516．在ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，角B 的平分线交AC 于点D ，1BD =且2b =，则ABC 周长的最小值为______．【正确答案】2+2【分析】先利用面积相等与三角形面积公式，结合正弦的倍角公式求得2cos2ABCac c a ∠=+，再利用余弦定理的推论与余弦的倍角公式得到ac 的关系式，从而利用基本不等式求得a c +≥.【详解】由题可得，ABC ABD BCD S S S =+△△△，即111sin sin sin 22222ABC ABC ac ABC BD c BD a ∠∠∠=⋅+⋅，又1BD =，所以sin sinsin 22ABC ABCac ABC c a ∠∠∠=+，则()2sincos sin 222ABC ABC ABCac c a ∠∠∠=+，因为0πABC <∠<，所以π022ABC ∠<<，则sin 02ABC∠≠，所以2cos2ABC ac c a ∠=+，即cos 22ABC c aac∠+=，又因为224cos 2c a ABC ac +-∠=，2cos 2cos12ABC ABC ∠∠=-，所以22242122c a c a ac ac ++-⎛⎫-= ⎪⎝⎭，整理得22()()4c a ac c a ⎡⎤+=+-⎣⎦，所以2222()()()4()44c a c a ac c a c a +⎡⎤⎡⎤+=+-≤⋅+-⎣⎦⎣⎦，解得2()8c a +≥或2()0c a +≤（舍去），所以22a c +≥，当且仅当2a c ==时，等号成立，则22b a c ++≥2+，故ABC 周长的最小值为222+.故答案为.222+.四、解答题17．化简求值：(1)tan10tan 503tan10tan 50︒+︒︒︒；(2)()sin101350︒︒．【正确答案】3(2)12cos 20︒【分析】（1）利用tan 50tan10tan 60tan(5010)1tan 50tan10︒+︒︒=︒+︒=-︒︒，即得解；（2）化切为弦，结合辅助角公式和诱导公式进行求解.【详解】（1）因为tan 50tan10tan 60tan(5010)1tan 50tan10︒+︒︒=︒+︒=-︒︒所以)tan 50tan101tan 50tan10︒+︒=-︒︒，所以)t t an 1an10tan 5010tan 50t 00tan 5an10a 0n 5=-︒+︒︒︒︒⋅︒︒︒=.（2）()sin10150sin101sin10⎛︒+︒=︒= ⎝⎭2sin 802sin10cos10sin 20sin 201sin10cos50cos50sin 402sin 20cos 202cos 20︒︒︒︒︒=︒⋅====︒︒︒︒︒︒.18．已知函数()ππsin sin cos 44f x x x x x ⎛⎫⎛⎫=++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭．(1)求函数()f x 的单调递增区间；(2)在ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若12A f ⎛⎫= ⎪⎝⎭，2a =，求b c +的最大值．【正确答案】(1)()πππ,π36k k k ⎡⎤-+∈⎢⎥⎣⎦Z (2)4【分析】（1）先把()f x 整理为()πsin 26f x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，直接求出()f x 的单调递增区间；（2）由()12A f =，求出π3A =，由余弦定理结合均值不等式即可得出答案.【详解】（1）()ππsin sin cos 44f x x x x x⎛⎫⎛⎫=++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ππ1πsin cos cos sin 224422x x x x x x⎛⎫⎛⎫⎛⎫=++=-+ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭1πcos 22sin 226x x x ⎛⎫=+=+ ⎪⎝⎭由()πππ2π22π262k x k k -+≤+≤+∈Z 解得：()ππππ36k x k k -≤≤+∈Z ，故函数()f x 的单调递增区间为()πππ,π36k k k ⎡⎤-+∈⎢⎥⎣⎦Z .（2）()12A f = ，πsin 16A ⎛⎫∴+= ⎪⎝⎭，又0πA <<，ππ62A ∴+=，π3A ∴=，又2a =，所以()222242cos 3a b c bc A b c bc ==+-=+-，又因为22b c bc +⎛⎫≤ ⎪⎝⎭，所以()()221434b c bc b c =+-≥+，所以4b c +≤，当且仅当“2b c ==”时取等所以b c +的最大值为4.19．如图所示，在ABO 中，14OC OA =uuu r uu r ，12OD OB = ，AD 与BC 相交于点M ，设OA a =，OB b = .(1)试用向量,a b 表示OM；(2)过点M 作直线EF 分别交线段,AC BD 于点,E F ，记OE OA λ= ，OF OB μ=，求证：不论点,E F 在线段,AC BD 上如何移动，13λμ+为定值.【正确答案】(1)1377OM a b=+(2)证明见解析【分析】（1）根据,,D M A 三点共线可得()1OM mOD m OA =+- ，同理由,,B M C 三点共线可得()1OM nOB n OC =+-，根据向量相等的条件可求出,m n 的值，即可求解；（2）设OM xOE yOF x OA y OB λμ=+=+，由1377OM a b =+ 及,,F M E 三点共线1x y +=联立即可求解.【详解】（1）因为,,D M A 三点共线，所以存在实数m 使得()()112m OM mOD m OA b m a =+-=+-，又因为,,B M C 三点共线，所以存在实数n 使得()114n OM nOB n OC nb a -⎛⎫=+-=+ ⎪⎝⎭，根据向量相等可得2114mn n m ⎧=⎪⎪⎨-⎪-=⎪⎩，解得6737m n ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，所以1377OM a b =+ .（2）设OM xOE yOF x OA y OB λμ=+=+，由（1）可得17x λ=①，37y μ=②，又,,F M E 三点共线，所以1x y +=③，由①②可得17x λ=，37y μ=，代入③式可得()1377x y λμ+=+=，即不论点,E F 在线段,AC BD 上如何移动，13λμ+为定值7.本题主要考查了共线向量的基本定理：当O 为直线EF 外一点时，,,E F M 三点共线⇔(),R ,1OM xOE yOF x y x y =+∈+=的应用，属于基础知识的应用.20．如图，扇形AOB 的圆心角为23π，半径为1．点P 是 AB 上任一点，设20,3AOP παα⎛⎫⎡⎤∠=∈ ⎪⎢⎣⎦⎝⎭．(1)记()f OP AB α=⋅，求()f α的表达式；(2)若OP xOA yOB =+uu u r uu r uu u r ，求22x y +的取值范围．【正确答案】(1)()20,3,3f ππααα⎛⎫- ⎪⎝⎭⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦(2)[]1,2【分析】（1）建立平面直角坐标系，根据三角函数的定义可得()cos ,sin P αα，再根据题意求得AB，进而根据辅助角公式得到()f α的表达式即可；（2）根据题意可得()()1cos ,sin 1,0,22x y αα⎛=+- ⎝⎭，进而化简得到cos x y ααα⎧=+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，再代入可得2224sin 2363x y πα⎛⎫+=-+ ⎪⎝⎭，20,3πα⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，进而结合三角函数的范围求解即可【详解】（1）由题意，以O 为坐标原点，OA为x 轴正向建立如图平面直角坐标系，则()cos ,sin P αα，()11,0,2A B ⎛- ⎝⎭.故32AB ⎛- ⎝⎭=uu u r ，所以()3cos 223f παααα⎛⎫-+- ⎪⎝=⎭=，即()20,3,3f ππααα⎛⎫- ⎪⎝⎭⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦（2）由（1），OP xOA yOB =+uu u r uu r uu u r ，即()()1cos ,sin 1,0,2x y αα⎛=+- ⎝⎭12x y y ⎛⎫=- ⎪ ⎪⎝⎭，故1cos 2sin x y yαα⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，解得cos 3x y ααα⎧+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，其中20,3πα⎡⎤∈⎢⎣⎦，故2222cos sin x y ααα⎫⎫+=++⎪⎪⎪⎪⎝⎭⎝⎭225sin 2cos 3ααα=++142cos 233αα=-+24sin 2363πα⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭，即2224sin 2363x y πα⎛⎫+=-+ ⎪⎝⎭，20,3πα⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，故7,2666ππαπ⎡⎤∈⎢⎥⎣-⎦-，所以sin 261,12πα⎛⎫- ⎪⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎝⎦⎭，故[]221,2x y +∈，即22x y +的取值范围为[]1,221．在ABC 中，内角A ，B ，C 对应的边分别为a ，b ，c ，若M 是BC 的中点，且满足4AB AC AM BC ⋅=⋅ ．(1)求cos C 的最小值；(2)若ABC 的面积为S ，且满足2S a =，求tan C 的值．【正确答案】(1)5(2)tan 1C =或2tan 3C =【分析】（1）先利用题给条件求得cos C 的表达式，再利用均值定理去求其最小值；（2）先利用题给条件构造关于tan C 的方程，解之即可求得tan C 的值.【详解】（1）4AB AC AM BC ⋅=⋅，得()42AB AC AB AC AC AB⎛⎫+⋅=⋅- ⎪⎝⎭从而()2222222c b a b c +-=-，即22235b a c +=，22222222213425555cos 222a b a b a b a b c C ab ab ab ⎛⎫+-++ ⎪+-⎝⎭===2+555a b b a =≥，当且仅当b =时取等号．∴cos C的最小值为5（2）由于21sin 2S a ab C ==，从而1sin 2a b C =，又22235b a c +=则2222132cos 55a b a b ab C +=+-，即22422cos 055a b ab C +-=，将1sin 2a C b =代入，得24121sin 2sin cos 05252C C C ⎛⎫+-⨯⋅= ⎪⎝⎭，即212sin sin cos 055C C C -+=，从而223sin 5sin cos 2cos 0C C C C -+=，又cos 0C ≠，则23tan 5tan 20C C -+=，解得tan 1C =或2tan 3C =．22．已知,,a b c 分别为ABC 三个内角,,A B C 的对边，222cos cos 1cos A C B +=+且1b =，(1)求B ；(2)若12AB AC ⋅< ，求11a c +的取值范围.【正确答案】(1)π2(2)()+∞【分析】（1）利用三角函数的基本关系式与正弦定理可得；（2）由12AB AC ⋅<推得02c <<，再由221a c +=设πsin ,cos ,0,4c a θθθ⎛⎫==∈ ⎪⎝⎭，将11a c +转化为sin cos sin cos θθθθ+，再引入(sin cos ,t t θθ=+∈，得(2112,1tt a c t +=∈-，最后利用复合函数的单调性即可求解.【详解】（1）因为222cos cos 1cos A C B +=+，则2221sin 1sin 11sin A C B -+-=+-，所以222sin sin sin A C B +=，则222a c b +=，所以ABC 为直角三角形，所以π2B =（2）221cos 2AB AC AB AC A AB c ⋅=⋅⋅==<，所以0c <<，而221a c +=，所以设πsin ,cos ,0,4c a θθθ⎛⎫==∈ ⎪⎝⎭，所以1111sin cos sin cos sin cos a c θθθθθθ++=+=，令(πsin cos ,1,4t t θθθ⎛⎫=+=+∈ ⎪⎝⎭，又因为22(sin cos )12sin cos t θθθθ=+=+，所以21sin cos 2t θθ-=，所以(2112,1tt a c t +=∈-，令(222,11t y t t t t==∈--，因为1t t-在(t ∈上单调递增，所以21y t t=-在(t ∈上单调递减，所以21y >=，所以11a c+的取值范围为()+∞.。
2022-2023学年山东省烟台市招远一中高一(下)期中数学试卷【答案版】
2022-2023学年山东省烟台市招远一中高一（下）期中数学试卷一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求．1．sin345°＝（ ） A ．√2−√64B ．√6−√24C ．−√6+√24D ．√6+√242．设P 是平行四边形ABCD 的对角线的交点，O 为任一点，则OA →+OB →+OC →+OD →=（ ） A ．4OP →B ．3OP →C ．2OP →D ．OP →3．已知a →=(1，1)，b →=(−2，1)，则b →在a →上的投影向量为（ ） A ．(−12，−12)B ．（﹣1，﹣1）C ．(12，12)D ．（1，1）4．在△ABC 中，已知cosA =45，tanB =12，则tan （A ﹣C ）＝（ ） A ．12B ．−12C ．−112D ．1125．已知α∈（0，π），且3cos2α﹣10cos α＝1，则sin2α＝（ ） A ．4√59B ．−4√59C ．4√29D ．−4√296．已知函数f(x)=−2cos(2x +π3)sin2x −√32，则（ ）A ．f （x ）的最小正周期是πB ．f （x ）在[π6，π4]上单调递增C ．f （x ）的图象关于点(kπ2+π12，0)(k ∈Z)对称 D ．f （x ）在[−π4，0]上的值域是[−1，√32]7．已知等边△ABC 的边长为2，D 为BC 的中点，P 为线段AD 上一点，PE ⊥AC ，垂足为E ，当PB →⋅PC →=−23时，PE →=（ ）A ．−13AB →+23AC →B ．−13AB →+16AC →C ．−16AB →+13AC →D ．−23AB →+13AC →8．在锐角△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ．已知a ＝1，且b cos A ﹣cos B ＝1，则√3sinB +2sin 2A 的取值范围是（ ） A ．(0，√3+1)B ．(2，√3+1)C ．（1，3]D ．（2，3]二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小題给出的选项中，有多项符合耍求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．9．已知函数f （x ）的值域为Ω，若1∈Ω，则称函数f （x ）具有性质I ，下列函数中具有性质I 的有（ ） A ．f （x ）＝sin x +2cos x B ．f （x ）＝sin x cos x C ．f(x)=cos2xcosxD ．f(x)=sinxcosx +cosxsinx10．设f （x ）＝a sin2x +b cos2x ，a ，b ∈R ，ab ≠0若f （x ）≤|f （π6）|对一切x ∈R 恒成立，则下列结论正确的是（ ） A ．f （11π12）＝0 B ．|f （7π10）|＜|f （π5）|C ．f （x ）既不是奇函数也不是偶函数D ．f （x ）的单调递增区间是[k π+π6，k π+2π3]（k ∈Z ）11．已知向量a →，b →，c →满足|a →|=|b →|=1，a →⋅b →=−12，c →=xa →+yb →(x ，y ∈R ，y ≥0)，则下列命题正确的有（ ）A ．若x ＝1，则|c →|的最小值为12B ．若x ＝1，则存在㫿一的y ，使得a →⋅c →=0C ．若|c →|=1，则x +y 的最小值为﹣1D ．若|c →|=1，则(a →+b →)⋅c →的最小值为−1212．“奔驰定理”是平面向量中一个非常优美的结论，因为这个定理对应的图形与“奔驰”轿车（Mercedesbenz ）的log o 很相似，故形象地称其为“奔驰定理”．奔驰定理：已知O 是△ABC 内的一点，△BOC ，△AOC ，△AOB 的面积分别为S A ，S B ，S C ，则有S A ⋅OA →+S B ⋅OB →+S C ⋅OC →=0→．设O 是锐角△ABC 内的一点，∠BAC ，∠ABC ，∠ACB 分别是△ABC 的三个内角，以下命题正确的有（ ）A ．若OA →+OB →+OC →=0→，则O 为△ABC 的重心B ．若OA →+2OB →+3OC →=0→，则S A ：S B ：S C ＝1：2：3C ．若|OA →|=|OB →|=2，∠AOB =5π6，2OA →+3OB →+4OC →=0→，则S △ABC =92D ．若O 为△ABC 的垂心，则tan ∠BAC ⋅OA →+tan∠ABC ⋅OB →+tan∠ACB ⋅OC →=0→三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13．已知sin2α=34，α∈(0，π4)，则sin α﹣cos α＝ ． 14．已知sin α+sin β=12，cos α+cos β=√33，则cos （α﹣β）＝ ．15．已知向量a →=（5，7sin θ﹣1），b →=（1，cos 2θ），若a →∥b →，则cos2θ＝ ．16．在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，角B 的平分线交AC 于点D ，BD ＝1且b ＝2，则△ABC 周长的最小值为 ．四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17．（10分）化简求值：（1）tan10°+tan50°+√3tan10°tan50°； （2）sin10°(1+√3tan50°)．18．（12分）已知函数f(x)=sin(π4+x)sin(π4−x)+√3sinxcosx ． （1）求函数f （x ）的单调递增区间；（2）在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若f(A2)=1，a ＝2，求b +c 的最大值． 19．（12分）如图所示，在△ABO 中，OC →=14OA →，OD →=12OB →，AD 与BC 相交于点M ，设OA →=a →，OB →=b →． （1）试用向量a →，b →表示OM →；（2）过点M 作直线EF 分别交线段AC ，BD 于点E ，F ，记OE →=λOA →，OF →=μOB →，求证：不论点E ，F 在线段AC ，BD 上如何移动，1λ+3μ为定值．20．（12分）如图，扇形AOB 的圆心角为2π3，半径为1．点P 是AB ̂上任一点，设∠AOP =α(α∈[0，2π3])．（1）记f(α)=OP →⋅AB →，求f （α）的表达式； （2）若OP →=xAB →+yOB →，求x 2+y 2的取值范围．21．（12分）在△ABC 中，内角A ，B ，C 对应的边分别为a ，b ，c ，若M 是BC 的中点，且满足AB →⋅AC →=4AM →⋅BC →．（1）求cos C 的最小值；（2）若△ABC 的面积为S ，且满足S ＝a 2，求tan C 的值．22．（12分）已知a ，b ，c 分别为△ABC 三个内角A ，B ，C 的对边，cos 2A +cos 2C ＝1+cos 2B 且b ＝1． （1）求B ；（2）若AB →⋅AC →＜12，求1a+1c的取值范围．2022-2023学年山东省烟台市招远一中高一（下）期中数学试卷参考答案与试题解析一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求．1．sin345°＝（ ） A ．√2−√64B ．√6−√24C ．−√6+√24D ．√6+√24解：sin345°＝﹣sin15°＝sin （30°﹣45°）＝﹣sin45°cos30°+cos45°sin30°=−√22×√32+√22×12 =√2−√64．故选：A ．2．设P 是平行四边形ABCD 的对角线的交点，O 为任一点，则OA →+OB →+OC →+OD →=（ ） A ．4OP →B ．3OP →C ．2OP →D ．OP →解：∵设P 是平行四边形ABCD 的对角线的交点，∴PA →+PC →=PB →+PD →=0→， ∴OA →+OB →+OC →+OD →=OP →+PA →+OP →+PC →+OP →+PB →+OP →+PD →=4OP →， 故选：A ．3．已知a →=(1，1)，b →=(−2，1)，则b →在a →上的投影向量为（ ） A ．(−12，−12)B ．（﹣1，﹣1）C ．(12，12)D ．（1，1）解：因为a →=(1，1)，b →=(−2，1)，所以b →在a →上的投影向量为a →⋅b→|a →|2a →=−2+11+1（1，1）＝（−12，−12）．故选：A ．4．在△ABC 中，已知cosA =45，tanB =12，则tan （A ﹣C ）＝（ ） A ．12B ．−12C ．−112D ．112解：由已知可得sin A ＞0．又因为cosA =45，所以sinA =35，所以tanA =34．所以tan C ＝tan （π﹣A ﹣B ）＝﹣tan （A +B ）=−tanA+tanB1−tanAtanB =−34+121−34×12=−2，所以tan(A −C)=tanA−tanC 1+tanAtanC =34−(−2)1+34×(−2)=−112．故选：C ．5．已知α∈（0，π），且3cos2α﹣10cos α＝1，则sin2α＝（ ） A ．4√59B ．−4√59C ．4√29D ．−4√29解：因为3cos2α﹣10cos α＝1，所以3（2cos 2α﹣1）﹣10cos α＝1，整理可得3cos 2α﹣5cos α﹣2＝0， 解得cos α=−13或2（舍去），又因为α∈（0，π），所以sin α=√1−cos 2α=2√23，sin2α＝2sin αcos α=−4√29． 故选：D ．6．已知函数f(x)=−2cos(2x +π3)sin2x −√32，则（ ）A ．f （x ）的最小正周期是πB ．f （x ）在[π6，π4]上单调递增C ．f （x ）的图象关于点(kπ2+π12，0)(k ∈Z)对称 D ．f （x ）在[−π4，0]上的值域是[−1，√32]解：f(x)=−2(12cos2x −√32sin2x)sin2x −√32=√3sin 22x −sin2xcos2x −√32=√32−√32cos4x −12sin4x −√32=−sin(4x +π3)， 对于A ，f （x ）的最小正周期T =2π4=π2，A 错误； 对于B ，当x ∈[π6，π4]时，4x +π3∈[π，4π3]，此时y ＝sin （4x +π3）单调递减， ∴f （x ）在[π6，π4]上单调递增，B 正确；对于C ，令4x +π3=kπ(k ∈Z)，解得x =kπ4−π12(k ∈Z)，此时f （x ）＝0，∴f （x ）的图象关于点(kπ4−π12，0)(k ∈Z)对称，C 错误； 对于D ，当x ∈[−π4，0]时，4x +π3∈[−2π3，π3]，则sin(4x +π3)∈[−1，√32]， ∴f （x ）在[−π4，0]上的值域为[−√32，1]，D 错误．故选：B ．7．已知等边△ABC 的边长为2，D 为BC 的中点，P 为线段AD 上一点，PE ⊥AC ，垂足为E ，当PB →⋅PC →=−23时，PE →=（ ） A ．−13AB →+23AC →B ．−13AB →+16AC →C ．−16AB →+13AC →D ．−23AB →+13AC →解：设AP →=λAD →（0＜λ＜1），则PC →=AC →−AP →=AC →−λAD →，PB →=AB →−λAD →， ∴PC →•PB →=（AC →−λAD →）•（AB →−λAD →）=AC →•AB →−λAC →•AD →−λAB →•AD →+λ2AD →2= 2﹣λ×2×√3×√32×2+3λ2＝3λ2﹣6λ+2=−23， ∴9λ2﹣18λ+8＝0，∴λ=23或λ=43（舍去），∴P 为△ABC 的重心，∵PE ⊥AC ，∴E 为AC 的中点，∴PE →=AE →−AP →=12AC →−23AD →=12AC →−23×12（AB →+AC →）=−13AB →+16AC →，故选：B ．8．在锐角△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ．已知a ＝1，且b cos A ﹣cos B ＝1，则√3sinB +2sin 2A 的取值范围是（ ） A ．(0，√3+1)B ．(2，√3+1)C ．（1，3]D ．（2，3]解：∵b cos A ﹣cos B ＝1，即b cos A ＝cos B +1，a ＝1， ∴b cos A ＝（cos B +1）a ，∴由正弦定理得：sin B cos A ＝（cos B +1）sin A ，即sin B cos A ＝sin A cos B +sin A ， ∴sin （B ﹣A ）＝sin A ，∴B ﹣A ＝A 或B ﹣A +A ＝π，解得B ＝2A 或B ＝π（舍去）， 又∵△ABC 为锐角三角形，则C ＝π﹣A ﹣B ＝π﹣3A ， ∴{ 0＜A ＜π20＜B ＜π20＜C ＜π2⇒{0＜A ＜π20＜2A ＜π20＜π−3A ＜π2，解得π6＜A ＜π4，∴√3sinB +2sin 2A =√3sin2A +1−cos2A =2sin(2A −π6)+1，又∵π6＜A ＜π4，∴π6＜2A −π6＜π3，∴12＜sin(2A −π6)＜√32，∴2＜2sin(2A −π6)+1＜√3+1，即√3sinB +2sin 2A 的取值范围(2，√3+1)． 故选：B ．二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小題给出的选项中，有多项符合耍求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．9．已知函数f （x ）的值域为Ω，若1∈Ω，则称函数f （x ）具有性质I ，下列函数中具有性质I 的有（ ） A ．f （x ）＝sin x +2cos x B ．f （x ）＝sin x cos x C ．f(x)=cos2xcosxD ．f(x)=sinxcosx +cosxsinx解：A ：f （x ）＝sin x +2cos x =√5sin （x +φ）∈[−√5，√5]，则符合题意； B ：f （x ）＝sin x cos x =12sin2x ∈[−12，12]，不符合题意；C ：令t ＝cos x ，则﹣1≤t ≤1且t ≠0，所以f （x ）=cos2x cosx =2cos 2x−1cosx =2cos x −1cosx =2t −1t在[﹣1，0），（0，1]上单调递增，f （x ）的值域为R ，符合题意； D ：当sinx cosx＜0时，f （x ）≤﹣2，当sinx cosx＞0时，f （x ）≥2，显然不符合题意．故选：AC ．10．设f （x ）＝a sin2x +b cos2x ，a ，b ∈R ，ab ≠0若f （x ）≤|f （π6）|对一切x ∈R 恒成立，则下列结论正确的是（ ） A ．f （11π12）＝0 B ．|f （7π10）|＜|f （π5）|C ．f （x ）既不是奇函数也不是偶函数D ．f （x ）的单调递增区间是[k π+π6，k π+2π3]（k ∈Z ）解：∵f （x ）＝a sin2x +b cos2x =√a 2+b 2sin （2x +θ） ∵f (x )≤|f (π6)|，∴2×π6+θ=kπ+π2（k 为整数）∴θ＝k π+π6，∴f （x ）=√a 2+b 2sin(2x +kπ+π6)=±√a 2+b 2sin(2x +π6) 对于A ：f(11π12)=±√a 2+b 2sin(2×11π12+π6)=0，故A 对； 对于B ：|f(7π10)|=|f(π5)|，故B 错；对于C ：f （x ）不是奇函数也不是偶函数，C 正确；对于D ：由于f （x ）的解析式中有±，故单调性分情况讨论，故D 不对． 故选：AC ．11．已知向量a →，b →，c →满足|a →|=|b →|=1，a →⋅b →=−12，c →=xa →+yb →(x ，y ∈R ，y ≥0)，则下列命题正确的有（ ）A ．若x ＝1，则|c →|的最小值为12B ．若x ＝1，则存在㫿一的y ，使得a →⋅c →=0C ．若|c →|=1，则x +y 的最小值为﹣1D ．若|c →|=1，则(a →+b →)⋅c →的最小值为−12解；对于A ，当x ＝1时，c →=a →+yb →，|c →|2＝|a →|2+2y a →⋅b →+y 2|b →|2=y 2−y +1， ∴|c →|2=(y −12)2+34≥34，当 y =12 时取得最小值，所以|c →|的最小值为√32，A 不正确； 对于B ，若x ＝1，c →=xa →+yb →，a →⋅c →=a →⋅(a →+yb →)=1−12y =0，解得 y ＝2， 则存在唯一的y ，使得a →⋅c →=0，故B 正确； 对于C ，∵c →=a →+yb →，若|c →|＝1，y ≥0， |c →|2=x 2|a →|2+2xya →⋅b →+y 2|b →|2=x 2+y 2﹣xy ＝1，(x −y 2)2+34y 2=1，令{x −y2=cosα√32y =sinα，α∈[0，π]，解得：x ＝cos α+√33sinα，y =2√33sinα，x +y =√3sinα+cosα=2sin(α+π6)，α∈[0，π]，﹣1≤x +y ≤2，所以C 正确；对于D ，（a →+b →）⋅c →=（a →+b →）⋅(xa →+yb →)=xa →2+(x +y)a →⋅b →+yb →2=x −12(x +y)+y =12(x +y)， 若|c →|＝1，y ≥0时，由C 知：﹣1≤x +y ≤2，所以 −12≤12(x +y)≤1， 则(a →+b →)⋅c →的最小值为−12，D 正确． 故选：BCD ．12．“奔驰定理”是平面向量中一个非常优美的结论，因为这个定理对应的图形与“奔驰”轿车（Mercedesbenz ）的log o 很相似，故形象地称其为“奔驰定理”．奔驰定理：已知O 是△ABC 内的一点，△BOC ，△AOC ，△AOB 的面积分别为S A ，S B ，S C ，则有S A ⋅OA →+S B ⋅OB →+S C ⋅OC →=0→．设O 是锐角△ABC 内的一点，∠BAC ，∠ABC ，∠ACB 分别是△ABC 的三个内角，以下命题正确的有（ ）A ．若OA →+OB →+OC →=0→，则O 为△ABC 的重心B ．若OA →+2OB →+3OC →=0→，则S A ：S B ：S C ＝1：2：3C ．若|OA →|=|OB →|=2，∠AOB =5π6，2OA →+3OB →+4OC →=0→，则S △ABC =92D ．若O 为△ABC 的垂心，则tan ∠BAC ⋅OA →+tan∠ABC ⋅OB →+tan∠ACB ⋅OC →=0→解：对于A ，如图，设BC 的中点为D ，则OB →+OC →=2OD →=−OA →，∴O ，A ，D 三点共线，且AO →=23AD →，设E ，F 分别为AB ，AC 中点，同理可得，CO →=23CE →，BO →=23BF →， ∴O 为△ABC 的重心，选项A 正确；对于B ，由奔驰定理可知，若OA →+2OB →+3OC →=0→，则S A ：S B ：S C ＝1：2：3，选项B 正确； 对于C ，在△AOB 中，由|OA →|=|OB →|=2，∠AOB =5π6可知，S △AOB =12×2×2×12=1， 又2OA →+3OB →+4OC →=0→，∴S BOC ：S △AOC ：S △AOB ＝2：3：4，则S △BOC =12，S △AOC =34， ∴S △ABC =S △AOB +S △BOC +S △AOC =1+12+34=94，选项C 错误；对于D ，S △BOC =12|OB →||OC →|sin∠BOC ，S △AOC =12|OA →||OC →|sin∠AOC ，S △AOB =12|OA →||OB →|sin∠AOB ， 由四边形内角和为360°知，sin ∠BOC ＝sin ∠BAC ，sin ∠AOC ＝sin ∠ABC ，sin ∠AOB ＝sin ∠ACB ， 又OA →⋅OB →=|OA →||OB →|cos∠AOB =−|OA →||OB →|cos∠ACB，OB →⋅OC →=|OB →||OC →|cos∠BOC =−|OB →||OC →|cos∠BAC ，又OB →⋅AC →=OB →⋅(OC →−OA →)=OB →⋅OC →−OA →⋅OB →=0，∴|OA →|cos∠ACB =|OC →|cos∠BAC ，即|OA →|：|OC →|=cos∠BAC ：cos∠ACB ， 同理可得，|OA →|：|OB →|：|OC →|=cos∠BAC ：cos∠ABC ：cos∠ACB ，∴S △BOC ：S △AOC ：S △AOB =sin∠BAC cos∠BAC ：sin∠ABC cos∠ABC ：sin∠ACBcos∠ACB =tan∠BAC ：tan∠ABC ：∠ACB ， 结合奔驰定理可知，选项D 正确． 故选：ABD ．三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分． 13．已知sin2α=34，α∈(0，π4)，则sin α﹣cos α＝ −12． 解：因为sin2α=34，α∈(0，π4)，则sin α﹣cos α＜0，所以（sin α﹣cos α）2＝1﹣2sin αcos α＝1﹣sin2α＝1−34=14，所以sin α﹣cos α=−12． 故答案为：−12．14．已知sin α+sin β=12，cos α+cos β=√33，则cos （α﹣β）＝ −1724 ． 解：由sin α+sin β=12，平方可得sin 2α+2sin αsin β+sin 2β=14⋯⋯①， 由cos α+cos β=√33，平方可得cos 2α+2cos αcos β+cos 2β=13⋯⋯②，①+②得：2+2cos （α﹣β）=712，故cos （α﹣β）=−1724． 故答案为：−1724． 15．已知向量a →=（5，7sin θ﹣1），b →=（1，cos 2θ），若a →∥b →，则cos2θ＝ −725 ． 解：因为向量a →=（5，7sin θ﹣1），b →=（1，cos 2θ），a →∥b →， 所以5cos 2θ＝7sin θ﹣1，所以5（1﹣sin 2θ）＝7sin θ﹣1，整理可得5sin 2θ+7sin θ﹣6＝0，解得sin θ=45或﹣2（舍去）， 则cos2θ＝1﹣2sin 2θ＝1﹣2×（45）2=−725．故答案为：−725．16．在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，角B 的平分线交AC 于点D ，BD ＝1且b ＝2，则△ABC 周长的最小值为 2+2√2 ． 解：∵∠ABC 的平分线交AC 于点D ，BD ＝1， 所以：S △ABC ＝S △ABD +S △BCD ， 即12acsin∠ABC =12BD ⋅c ⋅sin∠ABC 2+12BD ⋅a ⋅sin∠ABC2， 因为sin ∠ABC 2≠0，所以由二倍角公式可得2accos ∠ABC2=a +c ， 即cos∠ABC 2=a+c 2ac ， ∴cos ∠ABC =2cos 2∠ABC 2−1=2(a+c 2ac)2−1， 由余弦定理，得cos ∠ABC =a 2+c 2−42ac，所以2(c+a2ac )2−1=c 2+a 2−42ac，整理可得 （c +a ）2＝ac [（c +a ）2﹣4]， 所以 (c +a)2=ac[(a +c)2−4]≤(a+c)24•[（a +c ）2﹣4]，即（c +a ）2≥8，所以a +c ≥2√2，（当且仅当a =c =√2时，“＝”成立）， 故△ABC 周长的最小值为2+2√2． 故答案为：2．四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17．（10分）化简求值：（1）tan10°+tan50°+√3tan10°tan50°； （2）sin10°(1+√3tan50°)．解：（1）由tan60°＝tan （10°+50°）=tan10°+tan50°1−tan10°tan50°=√3， 可得：tan10°+tan50°=√3−√3tan10°tan50°， 整理得tan10°+tan50°+√3tan10°tan50°=√3； （2）原式＝sin10°．（1+√3sin50°cos50°）＝sin10°.cos50°+√3sin50°cos50°＝sin10°.2sin(30°+50°)cos50°＝sin10°.2cos10°cos50°=sin20°sin40°=12cos20°．18．（12分）已知函数f(x)=sin(π4+x)sin(π4−x)+√3sinxcosx ． （1）求函数f （x ）的单调递增区间；（2）在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若f(A2)=1，a ＝2，求b +c 的最大值． 解：（1）f(x)=sin(π4+x)sin(π4−x)+√3sinxcosx ＝sin （π4+x ）cos （π4+x ）+√32sin2x=12sin （π2+2x ）+√32sin2x =12cos2x +√32sin2x ＝sin （2x +π6），令−π2+2kπ≤2x +π6≤π2+2kπ，k ∈Z ，则−π3+kπ≤x ≤π6+kπ，k ∈Z ， 故函数f （x ）的单调递增区间为[−π3+kπ，π6+kπ]，k ∈Z ；（2）若f(A 2)=1=sin （A +π6），由A 为三角形内角得A =π3，因为a ＝2，由余弦定理得a 2＝b 2+c 2﹣bc ＝（b +c ）2﹣3bc ≥（b +c ）2−3×(b+c 2)2=(b+c)24，当且仅当b ＝c 时取等号，则b +c ≤4，即b +c 的最大值为4．19．（12分）如图所示，在△ABO 中，OC →=14OA →，OD →=12OB →，AD 与BC 相交于点M ，设OA →=a →，OB →=b →．（1）试用向量a →，b →表示OM →；（2）过点M 作直线EF 分别交线段AC ，BD 于点E ，F ，记OE →=λOA →，OF →=μOB →，求证：不论点E ，F 在线段AC ，BD 上如何移动，1λ+3μ为定值．解：（1）设OA →=a →，OB →=b →，由A ，M ，D 三点共线可得存在实数t 使得 OM →=t OA →+（1﹣t ）OD →=t a →+（1﹣t ）12•b →，同理由C ，M ，B 三点共线可得存在实数λ使得OM →=λOB →+（1﹣λ）OC →=λb →+1−λ4a →，∴{1−λ4=tλ=1−t2，解得{λ=37t =17， ∴OM →=17a →+37b →，（2）证明：设OM →=x OE →+y OF →=x λa →+y μb →，则{ xλ=17yμ=37x +y =1，即{ 7x =1λ7y =3μx +y =1，即1λ+3μ=7，故不论点E ，F 在线段AC ，BD 上如何移动，1λ+3μ为定值．20．（12分）如图，扇形AOB 的圆心角为2π3，半径为1．点P 是AB ̂上任一点，设∠AOP =α(α∈[0，2π3])．（1）记f(α)=OP →⋅AB →，求f （α）的表达式； （2）若OP →=xAB →+yOB →，求x 2+y 2的取值范围．解：（1）由题意，以O 为坐标原点，OA →为x 轴正方向建立平面直角坐标系，则P （cos α，sin α），A （1，0），B （−12，√32）， ∴AB →=（−32，√32）， ∴f （α）=−32cos α+√32sin α=√3sin （α−π3）， ∴f （α）=√3sin(α−π3)，α∈[0，2π3]．（2）由（1），OP →=xOA →+yOB →，即（cos α，sin α）＝x （1，0）+y （−12，√32）＝（x −12y ，√32y ），∴{cosα=x −12y sinα=√32y ，解得{x =√33sinα+cosαy =2√33sinα，其中α∈[0，2π3]，∴x 2+y 2＝（√33sinα+cosα）2+（2√33sinα）2=53sin 2α+√33sin2α+cos 2α=√33sin2α−13cos2α+43=23sin(2α−π6)+43， ∴x 2+y 2=23sin(2α−π6)+43，α∈[0，2π3]， ∴2α−π6∈[−π6，7π6]，∴sin （2α−π6）∈[−12，1]，∴x 2+y 2∈[1，2]， ∴x 2+y 2的取值范围为[1，2]．21．（12分）在△ABC 中，内角A ，B ，C 对应的边分别为a ，b ，c ，若M 是BC 的中点，且满足AB →⋅AC →=4AM →⋅BC →．（1）求cos C 的最小值；（2）若△ABC 的面积为S ，且满足S ＝a 2，求tan C 的值．解：（1）法1：因为AB →⋅AC →=4AM →⋅BC →，所以AB →⋅AC →=4(AB →+AC →2)⋅(AC →−AB →)，所以cb •b 2+c 2−a 22bc=2（b 2﹣c 2），即a 2+3b 2＝5c 2，由余弦定理知，cosC =a 2+b 2−c 22ab =a 2+b 2−(15a 2+35b 2)2ab =45a 2+25b 22ab =2a 5b +b 5a ≥2√2a 5b ⋅b 5a =2√25，当且仅当2a 5b=b 5a，即b =√2a 时取等号，故cos C 的最小值为2√25．法2：由AB →⋅AC →=4AM →⋅BC →，得(CB →−CA →)⋅(−CA →)=4(12CB →−CA →)⋅(−CB →)， 所以−CB →⋅CA →+CA →2=−2CB →2+4CA →⋅CB →，所以5CB →⋅CA →=2CB →2+CA 2→≥2√2|CB →||CA →|，当且仅当|CA →|=√2|CB →|，即b =√2a 时取等号， 又CB →•CA →=|CB →|•|CA →|cos C ， 所以cosC ≥2√25． （2）由（1）得，a 2+3b 2＝5c 2， 由余弦定理知，c 2＝a 2+b 2﹣2ab cos C ， 所以15a 2+35b 2=a 2+b 2−2abcosC ，即45a 2+25b 2−2abcosC =0（*），因为S =a 2=12absinC ，所以a =12bsinC ， 将ab =12sinC 代入（*）式，得45(12sinC)2+25−2⋅12sinC ⋅cosC =0，即15sin 2C −sinCcosC +25=0，所以sin 2C ﹣5sin C cos C +2＝0，即sin 2C ﹣5sin C cos C +2（sin 2C +cos 2C ）＝0， 所以3sin 2C ﹣5sin C cos C +2cos 2C ＝0， 因为tan C =sinCcosC ，所以3tan 2C ﹣5tan C +2＝0， 解得tan C ＝1或tanC =23．22．（12分）已知a ，b ，c 分别为△ABC 三个内角A ，B ，C 的对边，cos 2A +cos 2C ＝1+cos 2B 且b ＝1． （1）求B ；（2）若AB →⋅AC →＜12，求1a+1c的取值范围．解：（1）∵cos 2A +cos 2C ＝1+cos 2B ， 则1﹣sin 2A +1﹣sin 2C ＝1+1﹣sin 2B ， ∴sin 2A +sin 2C ＝sin 2B ，在△ABC 中，由正弦定理得a 2+c 2＝b 2， ∴△ABC 为直角三角形，且B =π2；（2）AB →⋅AC →=|AB →|⋅|AC →|⋅cosA =|AB →|2=c 2＜12，解得0＜c ＜√22， 又a 2+c 2＝1，∴设c =sinθ，a =cosθ，θ∈(0，π4)， ∴1a +1c=1sinθ+1cosθ=sinθ+cosθsinθcosθ，令t =sinθ+cosθ=√2sin(θ+π4)，t ∈(1，√2)， 又t 2＝（sin θ+cos θ）2＝1+2sin θcos θ，则sinθcosθ=t 2−12， ∴1a +1c=2tt 2−1，t ∈(1，√2)，令y =2t t 2−1=2t−1t，t ∈(1，√2)，∵t −1t 在t ∈(1，√2)上单调递增， ∴y =2t−1t 在t ∈(1，√2)上单调递减，即y 2√2−1√2=2√2， ∴1a+1c的取值范围为(2√2，+∞)．。
山东省烟台市2019-2020学年高一下学期期中数学测试卷-附解析(精校版)
2019-2020学年山东省烟台市高一（下）期中数学测试卷一、选择题1．有20位同学，编号从1至20，现从中抽取4人作问卷调查，用系统抽样法所抽的编号为（）A．5、10、15、20 B．2、6、10、14 C．2、4、6、8 D．5、8、11、142．圆x2+y2﹣8x+6y+16=0与圆x2+y2=64的位置关系是（）A．相交 B．内切 C．相离 D．外切3．样本中共有5个个体．其值分别为a，0，1，2，3．若该样本的平均值为1，则样本的标准差为（）A．B．C．2 D．4．某校1000名学生的高中数学学业水平考试成绩的频率分布直方图如图所示．规定90分为优秀等级，则该校学生优秀等级的人数是（）A．300 B．150 C．30 D．155．若一口袋中装有4个白球3个红球，现从中任取两球，则取出的两球中至少有一个白球的概率为（）A．B．C．D．6．过点P（4，2）作圆x2+y2=4的两条切线，切点分别为A，B，O为原点，则△OAB的外接圆方程是（）A．（x﹣2）2+（y﹣1）2=5 B．（x﹣4）2+（y﹣2）2=20 C．（x+2）2+（y+1）2=5 D．（x+4）2+（y+2）2=207．从分别写上数字1，2，3，…，9的9张卡片中，任意取出两张，观察上面的数字，则两数积是完全平方数的概率为（）A．B．C．D．8．阅读如图的程序框图，若输出s的值为﹣7，则判断框内可填写（）A．i＜3 B．i＜4 C．i＜5 D．i＜69．一只蚂蚁在三边长分别为3，4，5的三角形内爬行，则此蚂蚁距离三角形三个顶点的距离均超过1的概率为（）A．1﹣B．1﹣C．D．10．已知直线l过点（0，﹣4），P是l上的一动点，PA，PB是圆C：x2+y2﹣2y=0的两条切线，A，B是切点，若四边形PACB的最小面积是2，则直线的斜率为（）A．B．±C．±2D．±2二、填空题11．从一副混合后的扑克牌（52张）中随机抽取1张，事件A为“抽得红桃K”，事件B为“抽得为黑桃”，则概率P（A∪B）=．（结果用最简分数表示）12．已知圆C1：（x﹣2）2+（y﹣1）2=4与圆C2：x2+（y﹣2）2=9相交，则交点连成的直线的方程为．13．一束光线从点A（﹣1，1）出发，经x轴反射到圆C：（x﹣2）2+（y﹣3）2=1上的最短路径的长度是．14．两艘轮船都要停靠同一泊位，它们能在一昼夜的任意时刻到达．甲、乙两船停靠泊位的时间分别为1小时与2小时，求有一艘船停靠泊位时必须等待一段时间的概率为多少．15．对任意非零实数a、b，若a⊙b的运算原理如程序框图所示，则（3⊙2）⊙4的值是．三、解答题16．求经过点A（5，2），B（3，2），圆心在直线2x﹣y﹣3=0上的圆的方程．17．济南天下第一泉风景区为了做好宣传工作，准备在A和B两所大学分别招募8名和12名志愿者，将这20名志愿者的身高编成如右茎叶图（单位：cm）．若身高在175cm以上（包括175cm）定义为“高精灵”，身高在175cm以下（不包括175cm）定义为“帅精灵”．已知A大学志愿者的身高的平均数为176cm，B大学志愿者的身高的中位数为168cm．（Ⅰ）求x，y的值；（Ⅱ）如果用分层抽样的方法从“高精灵”和“帅精灵”中抽取5人，再从这5人中选2人．求至少有一人为“高精灵”的概率．18．甲、乙两人在2015年1月至5月的纯收入（单位：千元）的数据如下表：（2）求y关于x的线性回归方程，并预测甲在6月份的纯收入；（3）现从乙这5个月的纯收入中，随机抽取两个月，求恰有1个月的纯收入在区间（3，3.5）中的概率．19．已知圆x2+y2﹣x﹣6y+m=0与直线2x+y﹣3=0交于M、N两点，O为坐标原点，文是否存在实数m，使OM⊥ON，若存在，求出m的值若不存在，请说明理由．20．在某大学自主招生考试中，所有选报Ⅱ类志向的考生全部参加了“数学与逻辑”和“阅读与表达”两个科目的考试，成绩分为A，B，C，D，E五个等级．某考场考生的两科考试成绩的数据统计如图所示，其中“数学与逻辑”科目的成绩为B的考生有10人．（Ⅰ）求该考场考生中“阅读与表达”科目中成绩为A的人数；（Ⅱ）若等级A，B，C，D，E分别对应5分，4分，3分，2分，1分，求该考场考生“数学与逻辑”科目的平均分；（Ⅲ）已知参加本考场测试的考生中，恰有两人的两科成绩均为A．在至少一科成绩为A的考生中，随机抽取两人进行访谈，求这两人的两科成绩均为A的概率．21．已知圆O的方程为x2+y2=1，直线l1过点A（3，0），且与圆O相切．（1）求直线l1的方程；（2）设圆O与x轴相交于P，Q两点，M是圆O上异于P，Q的任意一点，过点A且与x轴垂直的直线为l2，直线PM交直线l2于点P′，直线QM交直线l2于点Q′．求证：以P′Q′为直径的圆C总经过定点，并求出定点坐标．2019-2020学年山东省烟台市高一（下）期中数学试卷参考答案与试题解析一、选择题1．有20位同学，编号从1至20，现从中抽取4人作问卷调查，用系统抽样法所抽的编号为（）A．5、10、15、20 B．2、6、10、14 C．2、4、6、8 D．5、8、11、14【考点】系统抽样方法．【分析】系统抽样，要求编号后，平均分租，每一组只抽一个样本，两个相邻的样本的编号间距相等【解答】解：从20人中用系统抽样抽4个人，须把20人平均分成4组，每一组只抽1人，且所抽取的号码成等差数列只有A选项满足故选A2．圆x2+y2﹣8x+6y+16=0与圆x2+y2=64的位置关系是（）A．相交 B．内切 C．相离 D．外切【考点】圆与圆的位置关系及其判定．【分析】把第一个圆的方程化为标准方程，找出圆心A的坐标和半径r，再由第二个圆的方程找出圆心B的坐标和半径R，利用两点间的距离公式求出两圆心间的距离d，发现d=R﹣r，从而判断出两圆位置关系是内切【解答】解：把圆x2+y2﹣8x+6y+16=0化为标准方程得：（x﹣4）2+（y+3）2=9，∴圆心A的坐标为（4，﹣3），半径r=3，由圆x2+y2=64，得到圆心B坐标为（0，0），半径R=8，两圆心间的距离d=|AB|=5，∵8﹣3=5，即d=R﹣r，则两圆的位置关系是内切．故选：B．3．样本中共有5个个体．其值分别为a，0，1，2，3．若该样本的平均值为1，则样本的标准差为（）A．B．C．2 D．【考点】极差、方差与标准差．【分析】根据已知中数据，代入平均数公式，计算出a值，进而代入标准差计算公式，可得答案．【解答】解：∵样本a，0，1，2，3的平均值为1，∴=1解得a=﹣1则样本的标准差s==故选D4．某校1000名学生的高中数学学业水平考试成绩的频率分布直方图如图所示．规定90分为优秀等级，则该校学生优秀等级的人数是（）A．300 B．150 C．30 D．15【考点】用样本的频率分布估计总体分布．【分析】根据频率分布直方图得出该校学生优秀等级的频率，即可求出该校学生优秀等级的人数是多少．【解答】解：根据频率分布直方图得，该校学生优秀等级的频率是0.015×=0.15；∴该校学生优秀等级的人数是1000×0.15=150．故选：B．5．若一口袋中装有4个白球3个红球，现从中任取两球，则取出的两球中至少有一个白球的概率为（）A．B．C．D．【考点】列举法计算基本事件数及事件发生的概率．【分析】取出的两球中至少有一个白球的对立事件是取出的两个球都是红球，由此利用对立事件概率计算公式能求出取出的两球中至少有一个白球的概率．【解答】解：∵一口袋中装有4个白球3个红球，现从中任取两球，∴基本事件总数=21，∵取出的两球中至少有一个白球的对立事件是取出的两个球都是红球，∴取出的两球中至少有一个白球的概率为：p=1﹣=．故选：C．6．过点P（4，2）作圆x2+y2=4的两条切线，切点分别为A，B，O为原点，则△OAB的外接圆方程是（）A．（x﹣2）2+（y﹣1）2=5 B．（x﹣4）2+（y﹣2）2=20 C．（x+2）2+（y+1）2=5 D．（x+4）2+（y+2）2=20【考点】直线与圆的位置关系．【分析】由题意知OA⊥PA，BO⊥PB，四边形AOBP的四个顶点在同一个圆上，此圆的直径是OP，△AOB 外接圆就是四边形AOBP的外接圆．【解答】解：由题意知，OA⊥PA，BO⊥PB，∴四边形AOBP有一组对角都等于90°，∴四边形AOBP的四个顶点在同一个圆上，此圆的直径是OP，∵OP的中点为（2，1），OP=2，∴四边形AOBP的外接圆的方程为（x﹣2）2+（y﹣1）2=5，∴△AOB外接圆的方程为（x﹣2）2+（y﹣1）2=5．故选：A7．从分别写上数字1，2，3，…，9的9张卡片中，任意取出两张，观察上面的数字，则两数积是完全平方数的概率为（）A．B．C．D．【考点】等可能事件的概率．【分析】所有的取法有C92=36种，两数积是完全平方数的取法只有4种，故两数积是完全平方数的概率为．【解答】解：所有的取法有C92=36种，当取出的两个数是1和4，1和9，2和8，4和9时，两数积是完全平方数．故两数积是完全平方数的概率为=，故选A．8．阅读如图的程序框图，若输出s的值为﹣7，则判断框内可填写（）A．i＜3 B．i＜4 C．i＜5 D．i＜6【考点】设计程序框图解决实际问题．【分析】分析程序中各变量、各语句的作用，再根据流程图所示的顺序，可知：该程序的作用是累加变量i 的值到S并输出S，根据流程图所示，将程序运行过程中各变量的值列表如下：【解答】解：程序在运行过程中各变量的值如下表示：是否继续循环S i循环前/2 1第一圈是 1 3第二圈是﹣2 5第三圈是﹣7 7第四圈否所以判断框内可填写“i＜6”，故选D．9．一只蚂蚁在三边长分别为3，4，5的三角形内爬行，则此蚂蚁距离三角形三个顶点的距离均超过1的概率为（）A．1﹣B．1﹣C．D．【考点】几何概型．【分析】求出三角形的面积；再求出据三角形的三顶点距离小于等于1的区域为三个扇形，三个扇形的和是半圆，求出半圆的面积；利用对理事件的概率公式及几何概型概率公式求出恰在离三个顶点距离都大于1的地方的概率．【解答】解：三角形ABC的面积为，离三个顶点距离都不大于1的地方的面积为S=，所以其恰在离三个顶点距离都大于1的地方的概率为P=1﹣，故选：B10．已知直线l过点（0，﹣4），P是l上的一动点，PA，PB是圆C：x2+y2﹣2y=0的两条切线，A，B是切点，若四边形PACB的最小面积是2，则直线的斜率为（）A．B．±C．±2D．±2【考点】圆的切线方程．【分析】由圆的方程为求得圆心C，半径r，由“若四边形面积最小，则圆心与点P的距离最小时，即距离为圆心到直线的距离时，切线长PA，PB最小”，最后利用点到直线的距离求出直线的斜率即可．【解答】解：∵圆的方程为：x2+（y﹣1）2=1，∴圆心C（0，1），半径r=1．根据题意，若四边形面积最小，当圆心与点P的距离最小时，即距离为圆心到直线l的距离最小时，切线长PA，PB最小，切线长为2，∴PA=PB=2．∴圆心到直线l的距离为d=，直线方程为y+4=kx，即kx﹣y﹣4=0，∴=，解得k=±2．则所求直线的斜率为：±2．故选：D．二、填空题11．从一副混合后的扑克牌（52张）中随机抽取1张，事件A为“抽得红桃K”，事件B为“抽得为黑桃”，则概率P（A∪B）=．（结果用最简分数表示）【考点】互斥事件的概率加法公式．【分析】由题意知本题是一个古典概型和互斥事件，分别求两个事件的概率是我们熟悉的古典概型，这两个事件是不能同时发生的事件，所以用互斥事件的概率公式得到结果．【解答】解：由题意知本题是一个古典概型和互斥事件，∵事件A为“抽得红桃K”，∴事件A的概率P=，∵事件B为“抽得为黑桃”，∴事件B的概率是P=，∴由互斥事件概率公式P（A∪B）=．故答案为：．12．已知圆C1：（x﹣2）2+（y﹣1）2=4与圆C2：x2+（y﹣2）2=9相交，则交点连成的直线的方程为x+2y ﹣1=0．【考点】圆与圆的位置关系及其判定．【分析】对两圆的方程作差即可得出交点连成的直线的方程．【解答】解：由题意，∵圆C1：（x﹣2）2+（y﹣1）2=4与圆C2：x2+（y﹣2）2=9相交，∴两圆的方程作差得2x﹣y﹣3=0，即交点连成的直线的方程为x+2y﹣1=0．故答案为：x+2y﹣1=0．13．一束光线从点A（﹣1，1）出发，经x轴反射到圆C：（x﹣2）2+（y﹣3）2=1上的最短路径的长度是4．【考点】直线和圆的方程的应用．【分析】求出点A关于x轴的对称点A′，则要求的最短路径的长为A′C﹣r（圆的半径），计算求得结果．【解答】解：由题意可得圆心C（2，3），半径为r=1，点A关于x轴的对称点A′（﹣1，﹣1），求得A′C==5，则要求的最短路径的长为A′C﹣r=5﹣1=4，故答案为：4．14．两艘轮船都要停靠同一泊位，它们能在一昼夜的任意时刻到达．甲、乙两船停靠泊位的时间分别为1小时与2小时，求有一艘船停靠泊位时必须等待一段时间的概率为多少．【考点】几何概型．【分析】利用几何概率公式求解．【解答】解：以甲船到达泊位的时刻x，乙船到达泊位的时刻y分别为坐标轴，则由题意知：0≤x，y≤24．设事件A={有一艘轮船停靠泊位时必须等待一段时间}，事件B={甲船停靠泊位时必须等待一段时间}，事件C={乙船停靠泊位时必须等待一段时间}．则A=B+C，并且事件B与事件C是互斥事件．∴P（A）=P（B+C）=P（B）+P（C）．甲船停靠泊位时必须等待一段时间需满足的条件是0＜x﹣y≤2，乙船停靠泊位时必须等待一段时间需满足的条件是0＜y﹣x≤1，在如图所示的平面直角坐标系下，点（x，y）的所有可能结果是边长为24的正方形，事件A的可能结果由图中的阴影部分表示，=242=576．则S正方形=69.5，∴由几何概率公式得P（A）==．∴有一艘船停靠泊位时必须等待一段时间的概率为．故答案为：．15．对任意非零实数a、b，若a⊙b的运算原理如程序框图所示，则（3⊙2）⊙4的值是．【考点】程序框图．【分析】根据a⊗b的运算原理知a=3，b=2，通过程序框图知须执行，故把值代入求解，类似地即可求得（3⊙2）⊙4的值．【解答】解：由题意知，a=3，b=2；再由程序框图得，3≤2不成立，故执行，得到3⊗2==2．同样：2⊙4=故答案为：．三、解答题16．求经过点A（5，2），B（3，2），圆心在直线2x﹣y﹣3=0上的圆的方程．【考点】圆的标准方程．【分析】由A和B的坐标求出直线AB的斜率，根据两直线垂直斜率的乘积为﹣1求出直线AB垂直平分线的斜率，根据垂径定理得到圆心在弦AB的垂直平分线上，又圆心在已知直线上，联立两直线方程组成方程组，求出方程组的解集，得到圆心M的坐标，再利用两点间的距离公式求出|AM|的长，即为圆的半径，由圆心坐标和半径写出圆的标准方程即可．【解答】解：∵A（5，2），B（3，2），∴直线AB的斜率为=0，∴直线AB垂直平分线与x轴垂直，其方程为：x==4，与直线2x﹣y﹣3=0联立解得：x=4，y=5，即所求圆的圆心M坐标为（4，5），又所求圆的半径r=|AM|==，则所求圆的方程为（x﹣4）2+（y﹣5）2=10．17．济南天下第一泉风景区为了做好宣传工作，准备在A和B两所大学分别招募8名和12名志愿者，将这20名志愿者的身高编成如右茎叶图（单位：cm）．若身高在175cm以上（包括175cm）定义为“高精灵”，身高在175cm以下（不包括175cm）定义为“帅精灵”．已知A大学志愿者的身高的平均数为176cm，B大学志愿者的身高的中位数为168cm．（Ⅰ）求x，y的值；（Ⅱ）如果用分层抽样的方法从“高精灵”和“帅精灵”中抽取5人，再从这5人中选2人．求至少有一人为“高精灵”的概率．【考点】古典概型及其概率计算公式；分层抽样方法；茎叶图．【分析】（I）根据求平均数及中位数的方法，即可求解x，y．（II）根据分层抽样方法求得抽到的“高精灵”和“帅精灵”的志愿者人数，再分类求得至少有1人是“高精灵”的抽法种数与从这5人中选2人的种数，代入古典概型概率公式计算．【解答】解：（I）由茎叶图得：，解得，x=5，y=7（II）由题意可得，高精灵有8人，帅精灵有12人，如果从“高精灵”和“帅精灵”中抽取5人，则“高精灵”和“帅精灵”的人数分别为：，=3记抽取的高精灵分别为b1，b2，帅精灵为c1，c2，c3，从已经抽取的5人中任选2人的所有可能为：（b1，b2），（b1，c1），（b1，c2），（b1，c3），（b2，c1），（b2，c2），（b2，c3），（c1，c2），（c1，c3），（c2，c3）共10种结果记从这5人中选2人．求至少有一人为“高精灵”为事件A，则A包括，（b1，b2），（b1，c1），（b1，c2），（b1，c3），（b2，c1），（b2，c2），（b2，c3）共7种∴因此，如果用分层抽样的方法从“高精灵”和“帅精灵”中抽取5人，再从这5人中选2人，至少有一人为“高精灵的概率为18．甲、乙两人在2015年1月至5月的纯收入（单位：千元）的数据如下表：（2）求y关于x的线性回归方程，并预测甲在6月份的纯收入；（3）现从乙这5个月的纯收入中，随机抽取两个月，求恰有1个月的纯收入在区间（3，3.5）中的概率．【考点】线性回归方程．【分析】（1）由表中数据的分散程度可得结论；（2）由表中数据可得，，进而可得和，可得回归方程，令x=6可得预测值；（3）列举可得总的基本事件有10个，符合题意的有6个，由概率公式可得．【解答】解：（1）由表中数据可知，甲的纯收入比乙的纯收入集中，故甲的纯收入较稳定；（2）∵=（1+2+3+4+5）=3，=（2.9+3.3+3.6+4.4+4.8）=3.8，（x i﹣）2=（1﹣3）2+（2﹣3）2+（3﹣3）2+（4﹣3）2+（5﹣3）2=10，同理可得（x i﹣）（y i﹣）=4.9，∴==0.49，=3.8﹣0.49×3=2.33，∴所求回归方程为=0.49x+2.33，令x=6可得=0.49×6+2.33=5.27，∴预测甲在6月份的纯收入为5.27千元；（3）现从乙这5个月的纯收入中，随机抽取两个月的基本事件有：（1，2），（1，3），（1，4），（1，5），（2，3），（2，4），（2，5），（3，4），（3，5），（4，5）共10种，记“恰有1个月的纯收入在区间（3，3.5）中”为事件A，则A包括的基本事件有：（1，3），（1，4），（1，5），（2，3），（2，4），（2，5）共6种，∴恰有1个月的纯收入在区间（3，3.5）中的概率为P（A）==19．已知圆x2+y2﹣x﹣6y+m=0与直线2x+y﹣3=0交于M、N两点，O为坐标原点，文是否存在实数m，使OM⊥ON，若存在，求出m的值若不存在，请说明理由．【考点】直线与圆的位置关系．【分析】设出M，N的坐标，根据OM⊥ON可推断出•=0，把M，N坐标代入求得关系式，把直线方程与圆的方程联立消去y，利用韦达定理表示出x M+x N和x M•x N，利用直线方程求得y M•y NN的表达式，最后联立方程求得m，利用判别式验证成立，答案可得．【解答】解：设点M（x M，y M），N（x N，y N）当OM⊥OM时，K oM•K ON=﹣1⇒x M x N+y M y N=0（1）又直线与圆相交于P、Q⇒的根是M、N坐标⇒是方程5x2﹣x+m﹣9=0的两根有：x M+x N=，x M•x N=，又M、N在直线2x+y﹣3=0上，则y M•y N=（3﹣2x M）•（3﹣2x N）=9﹣6（x M+x N）+4x M•x N，∴+﹣6×+9=0，解得：m=，且检验△＞O成立，故存在m=，使OM⊥ON．20．在某大学自主招生考试中，所有选报Ⅱ类志向的考生全部参加了“数学与逻辑”和“阅读与表达”两个科目的考试，成绩分为A，B，C，D，E五个等级．某考场考生的两科考试成绩的数据统计如图所示，其中“数学与逻辑”科目的成绩为B的考生有10人．（Ⅰ）求该考场考生中“阅读与表达”科目中成绩为A的人数；（Ⅱ）若等级A，B，C，D，E分别对应5分，4分，3分，2分，1分，求该考场考生“数学与逻辑”科目的平均分；（Ⅲ）已知参加本考场测试的考生中，恰有两人的两科成绩均为A．在至少一科成绩为A的考生中，随机抽取两人进行访谈，求这两人的两科成绩均为A的概率．【考点】众数、中位数、平均数；古典概型及其概率计算公式．【分析】（Ⅰ）根据“数学与逻辑”科目中成绩等级为B的考生人数，结合样本容量=频数÷频率得出该考场考生人数，再利用频率和为1求出等级为A的频率，从而得到该考场考生中“阅读与表达”科目中成绩等级为A 的人数．（Ⅱ）利用平均数公式即可计算该考场考生“数学与逻辑”科目的平均分．（Ⅲ）通过列举的方法计算出选出的2人所有可能的情况及这两人的两科成绩等级均为A的情况；利用古典概型概率公式求出随机抽取两人进行访谈，这两人的两科成绩等级均为A的概率．【解答】解：（Ⅰ）因为“数学与逻辑”科目中成绩等级为B的考生有10人，所以该考场有10÷0.25=40人，所以该考场考生中“阅读与表达”科目中成绩等级为A的人数为：40×（1﹣0.375﹣0.375﹣0.15﹣0.025）=40×0.075=3人；（Ⅱ）该考场考生“数学与逻辑”科目的平均分为：×[1×（40×0.2）+2×（40×0.1）+3×（40×0.375）+4×（40×0.25）+5×（40×0.075）]=2.9；（Ⅲ）因为两科考试中，共有6人得分等级为A，又恰有两人的两科成绩等级均为A，所以还有2人只有一个科目得分为A，设这四人为甲，乙，丙，丁，其中甲，乙是两科成绩都是A的同学，则在至少一科成绩等级为A的考生中，随机抽取两人进行访谈，基本事件空间为：Ω={{甲，乙}，{甲，丙}，{甲，丁}，{乙，丙}，{乙，丁}，{丙，丁}}，一共有6个基本事件．设“随机抽取两人进行访谈，这两人的两科成绩等级均为A”为事件B，所以事件B中包含的基本事件有1个，则P（B）=．21．已知圆O的方程为x2+y2=1，直线l1过点A（3，0），且与圆O相切．（1）求直线l1的方程；（2）设圆O与x轴相交于P，Q两点，M是圆O上异于P，Q的任意一点，过点A且与x轴垂直的直线为l2，直线PM交直线l2于点P′，直线QM交直线l2于点Q′．求证：以P′Q′为直径的圆C总经过定点，并求出定点坐标．【考点】直线和圆的方程的应用．【分析】（1）由已知中直线l1过点A（3，0），我们可以设出直线的点斜式方程，化为一般式方程后，代入点到直线距离公式，根据直线与圆相切，圆心到直线的距离等于半径，可以求出k值，进而得到直线l1的方程；（2）由已知我们易求出P，Q两个点的坐标，设出M点的坐标，我们可以得到点P′与Q′的坐标（含参数），进而得到以P′Q′为直径的圆的方程，根据圆的方程即可判断结论．【解答】解：（1）由题意，可设直线l1的方程为y=k（x﹣3），即kx﹣y﹣3k=0…又点O（0，0）到直线l1的距离为，解得，所以直线l1的方程为，即或…（2）对于圆O的方程x2+y2=1，令x=±1，即P（﹣1，0），Q（1，0）．又直线l2方程为x=3，设M（s，t），则直线PM方程为．解方程组，得，同理可得：．…所以圆C的圆心C的坐标为，半径长为，又点M（s，t）在圆上，又s2+t2=1．故圆心C为，半径长．所以圆C的方程为，…即=0即，又s2+t2=1故圆C的方程为，令y=0，则（x﹣3）2=8，所以圆C经过定点，y=0，则x=，所以圆C经过定点且定点坐标为。
山东烟台市2016年高一数学下学期期中试卷含解析
山东烟台市2016年高一数学下学期期中试卷（含解析）2015-2016学年山东省烟台市高一（下）期中数学试卷一、选择题1．有20位同学，编号从1至20，现从中抽取4人作问卷调查，用系统抽样法所抽的编号为（）A．5、10、15、20B．2、6、10、14C．2、4、6、8D．5、8、11、142．圆x2+y2﹣8x+6y+16=0与圆x2+y2=64的位置关系是（）A．相交B．内切C．相离D．外切3．样本中共有5个个体．其值分别为a，0，1，2，3．若该样本的平均值为1，则样本的标准差为（）A．B．C．2D．4．某校1000名学生的高中数学学业水平考试成绩的频率分布直方图如图所示．规定90分为优秀等级，则该校学生优秀等级的人数是（）A．300B．150C．30D．155．若一口袋中装有4个白球3个红球，现从中任取两球，则取出的两球中至少有一个白球的概率为（）A．B．C．D．6．过点P（4，2）作圆x2+y2=4的两条切线，切点分别为A，B，O为原点，则△OAB的外接圆方程是（）A．（x﹣2）2+（y﹣1）2=5B．（x﹣4）2+（y﹣2）2=20C．（x+2）2+（y+1）2=5D．（x+4）2+（y+2）2=207．从分别写上数字1，2，3，…，9的9张卡片中，任意取出两张，观察上面的数字，则两数积是完全平方数的概率为（）A．B．C．D．8．阅读如图的程序框图，若输出s的值为﹣7，则判断框内可填写（）A．i＜3B．i＜4C．i＜5D．i＜69．一只蚂蚁在三边长分别为3，4，5的三角形内爬行，则此蚂蚁距离三角形三个顶点的距离均超过1的概率为（）A．1﹣B．1﹣C．D．10．已知直线l过点（0，﹣4），P是l上的一动点，PA，PB是圆C：x2+y2﹣2y=0的两条切线，A，B是切点，若四边形PACB的最小面积是2，则直线的斜率为（）A．B．±C．±2D．±2二、填空题11．从一副混合后的扑克牌（52张）中随机抽取1张，事件A为“抽得红桃K”，事件B为“抽得为黑桃”，则概率P（A∪B）=．（结果用最简分数表示）12．已知圆C1：（x﹣2）2+（y﹣1）2=4与圆C2：x2+（y﹣2）2=9相交，则交点连成的直线的方程为．13．一束光线从点A（﹣1，1）出发，经x轴反射到圆C：（x﹣2）2+（y﹣3）2=1上的最短路径的长度是．14．两艘轮船都要停靠同一泊位，它们能在一昼夜的任意时刻到达．甲、乙两船停靠泊位的时间分别为1小时与2小时，求有一艘船停靠泊位时必须等待一段时间的概率为多少．15．对任意非零实数a、b，若a⊙b的运算原理如程序框图所示，则（3⊙2）⊙4的值是．三、解答题16．求经过点A（5，2），B（3，2），圆心在直线2x﹣y ﹣3=0上的圆的方程．17．济南天下第一泉风景区为了做好宣传工作，准备在A和B两所大学分别招募8名和12名志愿者，将这20名志愿者的身高编成如右茎叶图（单位：cm）．若身高在175cm以上（包括175cm）定义为“高精灵”，身高在175cm以下（不包括175cm）定义为“帅精灵”．已知A 大学志愿者的身高的平均数为176cm，B大学志愿者的身高的中位数为168cm．（Ⅰ）求x，y的值；（Ⅱ）如果用分层抽样的方法从“高精灵”和“帅精灵”中抽取5人，再从这5人中选2人．求至少有一人为“高精灵”的概率．18．甲、乙两人在2015年1月至5月的纯收入（单位：千元）的数据如下表：月份x12345甲的纯收入y2.93.33.64.44.8乙的纯收入z2.83.43.84.55.5（1）由表中数据直观分析，甲、乙两人中谁的纯收入较稳定？（2）求y关于x的线性回归方程，并预测甲在6月份的纯收入；（3）现从乙这5个月的纯收入中，随机抽取两个月，求恰有1个月的纯收入在区间（3，3.5）中的概率．19．已知圆x2+y2﹣x﹣6y+m=0与直线2x+y﹣3=0交于M、N两点，O为坐标原点，文是否存在实数m，使OM⊥ON，若存在，求出m的值若不存在，请说明理由．20．在某大学自主招生考试中，所有选报Ⅱ类志向的考生全部参加了“数学与逻辑”和“阅读与表达”两个科目的考试，成绩分为A，B，C，D，E五个等级．某考场考生的两科考试成绩的数据统计如图所示，其中“数学与逻辑”科目的成绩为B的考生有10人．（Ⅰ）求该考场考生中“阅读与表达”科目中成绩为A的人数；（Ⅱ）若等级A，B，C，D，E分别对应5分，4分，3分，2分，1分，求该考场考生“数学与逻辑”科目的平均分；（Ⅲ）已知参加本考场测试的考生中，恰有两人的两科成绩均为A．在至少一科成绩为A的考生中，随机抽取两人进行访谈，求这两人的两科成绩均为A的概率．21．已知圆O的方程为x2+y2=1，直线l1过点A（3，0），且与圆O相切．（1）求直线l1的方程；（2）设圆O与x轴相交于P，Q两点，M是圆O上异于P，Q的任意一点，过点A且与x轴垂直的直线为l2，直线PM交直线l2于点P′，直线QM交直线l2于点Q′．求证：以P′Q′为直径的圆C总经过定点，并求出定点坐标．2015-2016学年山东省烟台市高一（下）期中数学试卷参考答案与试题解析一、选择题1．有20位同学，编号从1至20，现从中抽取4人作问卷调查，用系统抽样法所抽的编号为（）A．5、10、15、20B．2、6、10、14C．2、4、6、8D．5、8、11、14【考点】系统抽样方法．【分析】系统抽样，要求编号后，平均分租，每一组只抽一个样本，两个相邻的样本的编号间距相等【解答】解：从20人中用系统抽样抽4个人，须把20人平均分成4组，每一组只抽1人，且所抽取的号码成等差数列只有A选项满足故选A2．圆x2+y2﹣8x+6y+16=0与圆x2+y2=64的位置关系是（）A．相交B．内切C．相离D．外切【考点】圆与圆的位置关系及其判定．【分析】把第一个圆的方程化为标准方程，找出圆心A的坐标和半径r，再由第二个圆的方程找出圆心B的坐标和半径R，利用两点间的距离公式求出两圆心间的距离d，发现d=R﹣r，从而判断出两圆位置关系是内切【解答】解：把圆x2+y2﹣8x+6y+16=0化为标准方程得：（x﹣4）2+（y+3）2=9，∴圆心A的坐标为（4，﹣3），半径r=3，由圆x2+y2=64，得到圆心B坐标为（0，0），半径R=8，两圆心间的距离d=|AB|=5，∵8﹣3=5，即d=R﹣r，则两圆的位置关系是内切．故选：B．3．样本中共有5个个体．其值分别为a，0，1，2，3．若该样本的平均值为1，则样本的标准差为（）A．B．C．2D．【考点】极差、方差与标准差．【分析】根据已知中数据，代入平均数公式，计算出a 值，进而代入标准差计算公式，可得答案．【解答】解：∵样本a，0，1，2，3的平均值为1，∴=1解得a=﹣1则样本的标准差s==故选D4．某校1000名学生的高中数学学业水平考试成绩的频率分布直方图如图所示．规定90分为优秀等级，则该校学生优秀等级的人数是（）A．300B．150C．30D．15【考点】用样本的频率分布估计总体分布．【分析】根据频率分布直方图得出该校学生优秀等级的频率，即可求出该校学生优秀等级的人数是多少．【解答】解：根据频率分布直方图得，该校学生优秀等级的频率是0.015×=0.15；∴该校学生优秀等级的人数是1000×0.15=150．故选：B．5．若一口袋中装有4个白球3个红球，现从中任取两球，则取出的两球中至少有一个白球的概率为（）A．B．C．D．【考点】列举法计算基本事件数及事件发生的概率．【分析】取出的两球中至少有一个白球的对立事件是取出的两个球都是红球，由此利用对立事件概率计算公式能求出取出的两球中至少有一个白球的概率．【解答】解：∵一口袋中装有4个白球3个红球，现从中任取两球，∴基本事件总数=21，∵取出的两球中至少有一个白球的对立事件是取出的两个球都是红球，∴取出的两球中至少有一个白球的概率为：p=1﹣=．故选：C．6．过点P（4，2）作圆x2+y2=4的两条切线，切点分别为A，B，O为原点，则△OAB的外接圆方程是（）A．（x﹣2）2+（y﹣1）2=5B．（x﹣4）2+（y﹣2）2=20C．（x+2）2+（y+1）2=5D．（x+4）2+（y+2）2=20【考点】直线与圆的位置关系．【分析】由题意知OA⊥PA，BO⊥PB，四边形AOBP的四个顶点在同一个圆上，此圆的直径是OP，△AOB外接圆就是四边形AOBP的外接圆．【解答】解：由题意知，OA⊥PA，BO⊥PB，∴四边形AOBP有一组对角都等于90°，∴四边形AOBP的四个顶点在同一个圆上，此圆的直径是OP，∵OP的中点为（2，1），OP=2，∴四边形AOBP的外接圆的方程为（x﹣2）2+（y﹣1）2=5，∴△AOB外接圆的方程为（x﹣2）2+（y﹣1）2=5．故选：A7．从分别写上数字1，2，3，…，9的9张卡片中，任意取出两张，观察上面的数字，则两数积是完全平方数的概率为（）A．B．C．D．【考点】等可能事件的概率．【分析】所有的取法有C92=36种，两数积是完全平方数的取法只有4种，故两数积是完全平方数的概率为．【解答】解：所有的取法有C92=36种，当取出的两个数是1和4，1和9，2和8，4和9时，两数积是完全平方数．故两数积是完全平方数的概率为=，故选A．8．阅读如图的程序框图，若输出s的值为﹣7，则判断框内可填写（）A．i＜3B．i＜4C．i＜5D．i＜6【考点】设计程序框图解决实际问题．【分析】分析程序中各变量、各语句的作用，再根据流程图所示的顺序，可知：该程序的作用是累加变量i的值到S并输出S，根据流程图所示，将程序运行过程中各变量的值列表如下：【解答】解：程序在运行过程中各变量的值如下表示：是否继续循环Si循环前/21第一圈是13第二圈是﹣25第三圈是﹣77第四圈否所以判断框内可填写“i＜6”，故选D．9．一只蚂蚁在三边长分别为3，4，5的三角形内爬行，则此蚂蚁距离三角形三个顶点的距离均超过1的概率为（）A．1﹣B．1﹣C．D．【考点】几何概型．【分析】求出三角形的面积；再求出据三角形的三顶点距离小于等于1的区域为三个扇形，三个扇形的和是半圆，求出半圆的面积；利用对理事件的概率公式及几何概型概率公式求出恰在离三个顶点距离都大于1的地方的概率．【解答】解：三角形ABC的面积为，离三个顶点距离都不大于1的地方的面积为S=，所以其恰在离三个顶点距离都大于1的地方的概率为P=1﹣，故选：B10．已知直线l过点（0，﹣4），P是l上的一动点，PA，PB是圆C：x2+y2﹣2y=0的两条切线，A，B是切点，若四边形PACB的最小面积是2，则直线的斜率为（）A．B．±C．±2D．±2【考点】圆的切线方程．【分析】由圆的方程为求得圆心C，半径r，由“若四边形面积最小，则圆心与点P的距离最小时，即距离为圆心到直线的距离时，切线长PA，PB最小”，最后利用点到直线的距离求出直线的斜率即可．【解答】解：∵圆的方程为：x2+（y﹣1）2=1，∴圆心C（0，1），半径r=1．根据题意，若四边形面积最小，当圆心与点P的距离最小时，即距离为圆心到直线l的距离最小时，切线长PA，PB最小，切线长为2，∴PA=PB=2．∴圆心到直线l的距离为d=，直线方程为y+4=kx，即kx ﹣y﹣4=0，∴=，解得k=±2．则所求直线的斜率为：±2．故选：D．二、填空题11．从一副混合后的扑克牌（52张）中随机抽取1张，事件A为“抽得红桃K”，事件B为“抽得为黑桃”，则概率P（A∪B）=．（结果用最简分数表示）【考点】互斥事件的概率加法公式．【分析】由题意知本题是一个古典概型和互斥事件，分别求两个事件的概率是我们熟悉的古典概型，这两个事件是不能同时发生的事件，所以用互斥事件的概率公式得到结果．【解答】解：由题意知本题是一个古典概型和互斥事件，∵事件A为“抽得红桃K”，∴事件A的概率P=，∵事件B为“抽得为黑桃”，∴事件B的概率是P=，∴由互斥事件概率公式P（A∪B）=．故答案为：．12．已知圆C1：（x﹣2）2+（y﹣1）2=4与圆C2：x2+（y ﹣2）2=9相交，则交点连成的直线的方程为x+2y﹣1=0．【考点】圆与圆的位置关系及其判定．【分析】对两圆的方程作差即可得出交点连成的直线的方程．【解答】解：由题意，∵圆C1：（x﹣2）2+（y﹣1）2=4与圆C2：x2+（y﹣2）2=9相交，∴两圆的方程作差得2x﹣y﹣3=0，即交点连成的直线的方程为x+2y﹣1=0．故答案为：x+2y﹣1=0．13．一束光线从点A（﹣1，1）出发，经x轴反射到圆C：（x﹣2）2+（y﹣3）2=1上的最短路径的长度是4．【考点】直线和圆的方程的应用．【分析】求出点A关于x轴的对称点A′，则要求的最短路径的长为A′C﹣r（圆的半径），计算求得结果．【解答】解：由题意可得圆心C（2，3），半径为r=1，点A关于x轴的对称点A′（﹣1，﹣1），求得A′C==5，则要求的最短路径的长为A′C﹣r=5﹣1=4，故答案为：4．14．两艘轮船都要停靠同一泊位，它们能在一昼夜的任意时刻到达．甲、乙两船停靠泊位的时间分别为1小时与2小时，求有一艘船停靠泊位时必须等待一段时间的概率为多少．【考点】几何概型．【分析】利用几何概率公式求解．【解答】解：以甲船到达泊位的时刻x，乙船到达泊位的时刻y分别为坐标轴，则由题意知：0≤x，y≤24．设事件A={有一艘轮船停靠泊位时必须等待一段时间}，事件B={甲船停靠泊位时必须等待一段时间}，事件C={乙船停靠泊位时必须等待一段时间}．则A=B+C，并且事件B与事件C是互斥事件．∴P（A）=P（B+C）=P（B）+P（C）．甲船停靠泊位时必须等待一段时间需满足的条件是0＜x ﹣y≤2，乙船停靠泊位时必须等待一段时间需满足的条件是0＜y ﹣x≤1，在如图所示的平面直角坐标系下，点（x，y）的所有可能结果是边长为24的正方形，事件A的可能结果由图中的阴影部分表示，则S正方形=242=576．=69.5，∴由几何概率公式得P（A）==．∴有一艘船停靠泊位时必须等待一段时间的概率为．故答案为：．15．对任意非零实数a、b，若a⊙b的运算原理如程序框图所示，则（3⊙2）⊙4的值是．【考点】程序框图．【分析】根据a⊗b的运算原理知a=3，b=2，通过程序框图知须执行，故把值代入求解，类似地即可求得（3⊙2）⊙4的值．【解答】解：由题意知，a=3，b=2；再由程序框图得，3≤2不成立，故执行，得到3⊗2==2．同样：2⊙4=故答案为：．三、解答题16．求经过点A（5，2），B（3，2），圆心在直线2x﹣y ﹣3=0上的圆的方程．【考点】圆的标准方程．【分析】由A和B的坐标求出直线AB的斜率，根据两直线垂直斜率的乘积为﹣1求出直线AB垂直平分线的斜率，根据垂径定理得到圆心在弦AB的垂直平分线上，又圆心在已知直线上，联立两直线方程组成方程组，求出方程组的解集，得到圆心M的坐标，再利用两点间的距离公式求出|AM|的长，即为圆的半径，由圆心坐标和半径写出圆的标准方程即可．【解答】解：∵A（5，2），B（3，2），∴直线AB的斜率为=0，∴直线AB垂直平分线与x轴垂直，其方程为：x==4，与直线2x﹣y﹣3=0联立解得：x=4，y=5，即所求圆的圆心M坐标为（4，5），又所求圆的半径r=|AM|==，则所求圆的方程为（x﹣4）2+（y﹣5）2=10．17．济南天下第一泉风景区为了做好宣传工作，准备在A和B两所大学分别招募8名和12名志愿者，将这20名志愿者的身高编成如右茎叶图（单位：cm）．若身高在175cm以上（包括175cm）定义为“高精灵”，身高在175cm以下（不包括175cm）定义为“帅精灵”．已知A 大学志愿者的身高的平均数为176cm，B大学志愿者的身高的中位数为168cm．（Ⅰ）求x，y的值；（Ⅱ）如果用分层抽样的方法从“高精灵”和“帅精灵”中抽取5人，再从这5人中选2人．求至少有一人为“高精灵”的概率．【考点】古典概型及其概率计算公式；分层抽样方法；茎叶图．【分析】（I）根据求平均数及中位数的方法，即可求解x，y．（II）根据分层抽样方法求得抽到的“高精灵”和“帅精灵”的志愿者人数，再分类求得至少有1人是“高精灵”的抽法种数与从这5人中选2人的种数，代入古典概型概率公式计算．【解答】解：（I）由茎叶图得：，解得，x=5，y=7（II）由题意可得，高精灵有8人，帅精灵有12人，如果从“高精灵”和“帅精灵”中抽取5人，则“高精灵”和“帅精灵”的人数分别为：，=3记抽取的高精灵分别为b1，b2，帅精灵为c1，c2，c3，从已经抽取的5人中任选2人的所有可能为：（b1，b2），（b1，c1），（b1，c2），（b1，c3），（b2，c1），（b2，c2），（b2，c3），（c1，c2），（c1，c3），（c2，c3）共10种结果记从这5人中选2人．求至少有一人为“高精灵”为事件A，则A包括，（b1，b2），（b1，c1），（b1，c2），（b1，c3），（b2，c1），（b2，c2），（b2，c3）共7种∴因此，如果用分层抽样的方法从“高精灵”和“帅精灵”中抽取5人，再从这5人中选2人，至少有一人为“高精灵的概率为18．甲、乙两人在2015年1月至5月的纯收入（单位：千元）的数据如下表：月份x12345甲的纯收入y2.93.33.64.44.8乙的纯收入z2.83.43.84.55.5（1）由表中数据直观分析，甲、乙两人中谁的纯收入较稳定？（2）求y关于x的线性回归方程，并预测甲在6月份的纯收入；（3）现从乙这5个月的纯收入中，随机抽取两个月，求恰有1个月的纯收入在区间（3，3.5）中的概率．【考点】线性回归方程．【分析】（1）由表中数据的分散程度可得结论；（2）由表中数据可得，，进而可得和，可得回归方程，令x=6可得预测值；（3）列举可得总的基本事件有10个，符合题意的有6个，由概率公式可得．【解答】解：（1）由表中数据可知，甲的纯收入比乙的纯收入集中，故甲的纯收入较稳定；（2）∵=（1+2+3+4+5）=3，=（2.9+3.3+3.6+4.4+4.8）=3.8，（xi﹣）2=（1﹣3）2+（2﹣3）2+（3﹣3）2+（4﹣3）2+（5﹣3）2=10，同理可得（xi﹣）（yi﹣）=4.9，∴==0.49，=3.8﹣0.49×3=2.33，∴所求回归方程为=0.49x+2.33，令x=6可得=0.49×6+2.33=5.27，∴预测甲在6月份的纯收入为5.27千元；（3）现从乙这5个月的纯收入中，随机抽取两个月的基本事件有：（1，2），（1，3），（1，4），（1，5），（2，3），（2，4），（2，5），（3，4），（3，5），（4，5）共10种，记“恰有1个月的纯收入在区间（3，3.5）中”为事件A，则A包括的基本事件有：（1，3），（1，4），（1，5），（2，3），（2，4），（2，5）共6种，∴恰有1个月的纯收入在区间（3，3.5）中的概率为P（A）==19．已知圆x2+y2﹣x﹣6y+m=0与直线2x+y﹣3=0交于M、N两点，O为坐标原点，文是否存在实数m，使OM⊥ON，若存在，求出m的值若不存在，请说明理由．【考点】直线与圆的位置关系．【分析】设出M，N的坐标，根据OM⊥ON可推断出=0，把M，N坐标代入求得关系式，把直线方程与圆的方程联立消去y，利用韦达定理表示出xM+xN和xMxN，利用直线方程求得yMyNN的表达式，最后联立方程求得m，利用判别式验证成立，答案可得．【解答】解：设点M（xM，yM），N（xN，yN）当OM⊥OM时，KoMKON=﹣1⇒xMxN+yMyN=0（1）又直线与圆相交于P、Q⇒的根是M、N坐标⇒是方程5x2﹣x+m﹣9=0的两根有：xM+xN=，xMxN=，又M、N在直线2x+y﹣3=0上，则yMyN=（3﹣2xM）（3﹣2xN）=9﹣6（xM+xN）+4xMxN，∴+﹣6×+9=0，解得：m=，且检验△＞O成立，故存在m=，使OM⊥ON．20．在某大学自主招生考试中，所有选报Ⅱ类志向的考生全部参加了“数学与逻辑”和“阅读与表达”两个科目的考试，成绩分为A，B，C，D，E五个等级．某考场考生的两科考试成绩的数据统计如图所示，其中“数学与逻辑”科目的成绩为B的考生有10人．（Ⅰ）求该考场考生中“阅读与表达”科目中成绩为A的人数；（Ⅱ）若等级A，B，C，D，E分别对应5分，4分，3分，2分，1分，求该考场考生“数学与逻辑”科目的平均分；（Ⅲ）已知参加本考场测试的考生中，恰有两人的两科成绩均为A．在至少一科成绩为A的考生中，随机抽取两人进行访谈，求这两人的两科成绩均为A的概率．【考点】众数、中位数、平均数；古典概型及其概率计算公式．【分析】（Ⅰ）根据“数学与逻辑”科目中成绩等级为B 的考生人数，结合样本容量=频数÷频率得出该考场考生人数，再利用频率和为1求出等级为A的频率，从而得到该考场考生中“阅读与表达”科目中成绩等级为A的人数．（Ⅱ）利用平均数公式即可计算该考场考生“数学与逻辑”科目的平均分．（Ⅲ）通过列举的方法计算出选出的2人所有可能的情况及这两人的两科成绩等级均为A的情况；利用古典概型概率公式求出随机抽取两人进行访谈，这两人的两科成绩等级均为A的概率．【解答】解：（Ⅰ）因为“数学与逻辑”科目中成绩等级为B的考生有10人，所以该考场有10÷0.25=40人，所以该考场考生中“阅读与表达”科目中成绩等级为A 的人数为：40×（1﹣0.375﹣0.375﹣0.15﹣0.025）=40×0.075=3人；（Ⅱ）该考场考生“数学与逻辑”科目的平均分为：×[1×（40×0.2）+2×（40×0.1）+3×（40×0.375）+4×（40×0.25）+5×（40×0.075）]=2.9；（Ⅲ）因为两科考试中，共有6人得分等级为A，又恰有两人的两科成绩等级均为A，所以还有2人只有一个科目得分为A，设这四人为甲，乙，丙，丁，其中甲，乙是两科成绩都是A的同学，则在至少一科成绩等级为A的考生中，随机抽取两人进行访谈，基本事件空间为：Ω={{甲，乙}，{甲，丙}，{甲，丁}，{乙，丙}，{乙，丁}，{丙，丁}}，一共有6个基本事件．设“随机抽取两人进行访谈，这两人的两科成绩等级均为A”为事件B，所以事件B中包含的基本事件有1个，则P（B）=．21．已知圆O的方程为x2+y2=1，直线l1过点A（3，0），且与圆O相切．（1）求直线l1的方程；（2）设圆O与x轴相交于P，Q两点，M是圆O上异于P，Q的任意一点，过点A且与x轴垂直的直线为l2，直线PM交直线l2于点P′，直线QM交直线l2于点Q′．求证：以P′Q′为直径的圆C总经过定点，并求出定点坐标．【考点】直线和圆的方程的应用．【分析】（1）由已知中直线l1过点A（3，0），我们可以设出直线的点斜式方程，化为一般式方程后，代入点到直线距离公式，根据直线与圆相切，圆心到直线的距离等于半径，可以求出k值，进而得到直线l1的方程；（2）由已知我们易求出P，Q两个点的坐标，设出M点的坐标，我们可以得到点P′与Q′的坐标（含参数），进而得到以P′Q′为直径的圆的方程，根据圆的方程即可判断结论．【解答】解：（1）由题意，可设直线l1的方程为y=k（x ﹣3），即kx﹣y﹣3k=0…又点O（0，0）到直线l1的距离为，解得，所以直线l1的方程为，即或…（2）对于圆O的方程x2+y2=1，令x=±1，即P（﹣1，0），Q（1，0）．又直线l2方程为x=3，设M（s，t），则直线PM方程为．解方程组，得，同理可得：．…所以圆C的圆心C的坐标为，半径长为，又点M（s，t）在圆上，又s2+t2=1．故圆心C为，半径长．所以圆C的方程为，…即=0即，又s2+t2=1故圆C的方程为，令y=0，则（x﹣3）2=8，所以圆C经过定点，y=0，则x=，所以圆C经过定点且定点坐标为2016年5月18日。
山东省烟台市高一(4-16班)下学期数学期中考试试卷
山东省烟台市高一（4-16班）下学期数学期中考试试卷姓名:________ 班级:________ 成绩:________一、单选题 (共10题；共20分)1. （2分）(2018·全国Ⅰ卷文) 在中，AD为BC边上的中线，E为AD的中点，则（）A .B .C .D .2. （2分） (2020高二上·天津期末) 我国古代数学著作《算法统宗》中有这样一个问题：“三百一十五里关,初步健步不为难,次日脚痛减一半,六朝才得到其关,要见次日行里数,请公仔细算相还其大意为：“有一个人走315里路,第一天健步行走,从第二天起脚痛,每天走的路程为前一天的一半,走了 6天后到达目的地. ”则该人最后一天走的路程为（）A . 20里B . 10里C . 5 里D . 2.5 里3. （2分）已知，，，则的大小关系是（）A .B .C .D .4. （2分） (2016高一下·周口期末) 已知向量 =（cosθ，sinθ），向量 =（，﹣1）则|2 ﹣ |的最大值，最小值分别是（）A . 4 ，0B . 4，4C . 16，0D . 4，05. （2分）a=cos50°cos127°+cos40°cos37°，b=（sin56°﹣cos56°），c=， d=（cos80°﹣2cos250°+1），则a，b，c，d的大小关系为（）A . a＞b＞d＞cB . b＞a＞d＞cC . a＞c＞b＞dD . c＞a＞b＞d6. （2分）设x∈R，记不超过x的最大整数为[x]，令{x}＝x－[x]，则（）A . 是等差数列但不是等比数列B . 是等比数列但不是等差数列C . 既是等差数列又是等比数列D . 既不是等差数列也不是等比数列7. （2分）(2019高一下·大庆月考) 在中A，B，C的对边分别是a，b，c，已知，则的值为（）A .B .C . 或D .8. （2分）在中，分别是角的对边，已知成等比数列，且，则的值为（）A .B .C .D .9. （2分）已知，且x3+sinx﹣2a=0，4y3+ sin2y+a=0，则cos（x+2y）的值为（）A . 0B .C .D . 110. （2分）已知=（﹣2，4），=（1，2），则•等于（）A . 0B . 10C . 6D . -10二、填空题 (共7题；共7分)11. （1分） (2017高一下·惠来期末) 已知与均为单位向量，它们的夹角为120°，那么| +3 |=________．12. （1分） (2019高三上·上海月考) 若直线与直线所成角的余弦值为，则实数 ________.13. （1分） (2018高二上·湖南月考) 在△ABC中，三个角A、B、C所对的边分别为a、b、c．若角A、B、C 成等差数列，且边a、b、c成等比数列，则△ABC的形状为________．14. （1分） (2016高一下·定州期末) 设Sn为等差数列{an}的前n项和，若S8=4a3 ，则a6=________．15. （1分）若角α的终边经过点P（﹣1，2），则sin2α=________16. （1分） (2018高三上·天津月考) 已知平面直角坐标内定点，，，和动点，，若，，其中O为坐标原点，则的最小值是________．17. （1分）(2019高三上·沈河月考) 已知为锐角三角形，满足，外接圆的圆心为，半径为1，则的取值范围是________.三、解答题 (共5题；共55分)18. （10分）(2020·晋城模拟) 已知椭圆的半焦距为，圆与椭圆有且仅有两个公共点，直线与椭圆只有一个公共点.（1）求椭圆的标准方程；（2）已知动直线过椭圆的左焦点，且与椭圆分别交于两点，试问：轴上是否存在定点，使得为定值?若存在，求出该定值和点的坐标；若不存在，请说明理由.19. （10分） (2017高一下·庐江期末) △ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知△ABC的面积为．（1）求sinBsinC；（2）若6cosBcosC=1，a=3，求△ABC的周长．20. （10分） (2016高二下·六安开学考) 已知等差数列{an}的前n项和为Sn ， S3=﹣15，且a1+1，a2+1，a4+1成等比数列，公比不为1．（1）求数列{an}的通项公式；（2）设bn= ，求数列{bn}的前n项和Tn．21. （10分）(2018·汉中模拟) 已知椭圆的右焦点与抛物线的焦点重合，且椭圆的离心率为，过轴正半轴一点且斜率为的直线交椭圆于两点.（1）求椭圆的标准方程；（2）是否存在实数使，若存在求出实数的值；若不存在需说明理由.22. （15分） (2015高一下·万全期中) 设等差数列{an}的前n项和为Sn ，已知a3=3，S11=0．（1）求数列{an}的通项公式；（2）当n为何值时，Sn最大，并求Sn的最大值．参考答案一、单选题 (共10题；共20分)1-1、2-1、3-1、4-1、5-1、6-1、7-1、8-1、9-1、10-1、二、填空题 (共7题；共7分)11-1、12-1、13-1、14-1、15-1、16-1、17-1、三、解答题 (共5题；共55分) 18-1、18-2、19-1、19-2、20-1、20-2、21-1、21-2、22-1、22-2、第11 页共11 页。
山东省烟台市高一下学期期中数学试卷
山东省烟台市高一下学期期中数学试卷姓名:________ 班级:________ 成绩:________一、选择题．（本题共12个小题） (共12题；共24分)1. （2分）下列关系式中正确的是（）A .B .C .D .2. （2分）(2018·河南模拟) 某城市收集并整理了该市2017年1月份至10月份各月最低气温与最高气温（单位：）的数据，绘制了下面的折线图。
已知该市的各月最低气温与最高气温具有较好的线性关系，则根据该折线图，下列结论错误的是（）A . 最低气温与最高气温为正相关B . 10月的最高气温不低于5月的最高气温C . 月温差（最高气温减最低气温）的最大值出现在1月D . 最低气温低于的月份有4个3. （2分） (2017高二上·汕头月考) 已知，则的值是（）A .B .C .D .4. （2分） (2019高二上·长治月考) 如图，已知正方体的棱长为1，分别是棱，上的动点，若，则线段的中点的轨迹是（）A . 一条线段B . 一段圆弧C . 一个球面区域D . 两条平行线段5. （2分）函数的值域为（）A . （0，3）B . [0，3]C .D .6. （2分） (2016高一下·平罗期末) 对于任意实数a，b，c，d，下列命题中正确的是（）A . 若a＞b，c≠0，则ac＞bcB . 若a＞b，则ac2＞bc2C . 若ac2＞bc2 ，则a＞bD . 若a＞b，则7. （2分） (2016高二上·湖州期中) 在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，E，F分别为AB，BC中点，则异面直线EF与AB1所成角的余弦值为（）A .B .C .D .8. （2分）根据如图框图，当输入x为6时，输出的y=（）A . 1B . 2C . 5D . 109. （2分）已知程序框图如图所示，则输出的结果为（）A . 56B . 65C . 70D . 7210. （2分）(2017·泸州模拟) 如图所示，在一个边长为1的正方形AOBC内，曲线y=x3（x＞0）和曲线y=围成一个叶形图（阴影部分），向正方形AOBC内随机投一点（该点落在正方形AOBC内任何一点是等可能的），则所投的点落在叶形图内部的概率是（）A .B .C .D .11. （2分） (2017高一下·菏泽期中) 为了得到函数的图象，只需把y=3sin2x上的所有的点（）A . 向左平行移动长度单位B . 向右平行移动长度单位C . 向右平行移动长度单位D . 向左平行移动长度单位12. （2分）某校要从高一、高二、高三共2010名学生中选取50名组成2010年上海世博会的志愿团，若采用下面的方法选取；先用简单随机抽样的方法从2010人中剔除10人，剩下的2000人再按分层抽样的方法进行，则每人入选的概率（）A . 不全相等B . 均不相等C . 都相等且为D . 都相等且为二、填空题． (共4题；共4分)13. （1分） (2019高二下·吉林月考) 的最大公约数是________．14. （1分） (2018高一上·台州期末) ________.15. （1分） (2016高一下·湖南期中) 某服装商场为了了解毛衣的月销售量y（件）与月平均气温x（℃）之间的关系，随机统计了某4个月的月销售量与当月平均气温，其数据如下表：月平均气温x（℃）171382月销售量y（件）24334055由表中数据算出线性回归方程中的b≈﹣2．气象部门预测下个月的平均气温约为6℃，据此估计，该商场下个月毛衣的销售量约为________件．（参考公式：b= ）16. （1分）一个容量为n的样本分成若干组，已知某组的频数和频率分别是30和0.25，则n=________ ．三、解答题． (共6题；共75分)17. （10分） (2019高一上·哈尔滨月考) 请解决下列问题（1）已知，求的值（2）已知，求的值18. （15分） (2016高二下·银川期中) 某种产品的广告费支出x与销售额y（单位：百万元）之间有如下对应数据：x24568y3040506070（1）画出散点图；（2）求线性回归方程；（3）预测当广告费支出为7百万元时的销售额．参考公式：．19. （10分） (2019高一下·哈尔滨月考) 已知直线：与轴，轴围成的三角形面积为，圆的圆心在直线上，与轴相切，且在轴上截得的弦长为 .（1）求直线的方程（结果用一般式表示）;（2）求圆的标准方程.20. （15分） (2016高一上·徐州期末) 某同学用“五点法”画函数f（x）=Asin（ωx+φ）（ω＞0，|φ|＜）在某一个周期内的图象时，列表并填入了部分数据，如表：ωx+φ0π2πxf（x）0 30 ﹣30（1）请将表中数据补充完整，并直接写出函数f（x）的解析式；（2）若将函数f（x）的图象上所有点的横坐标变为原来的2倍，纵坐标不变，得到函数g（x）的图象，求当x∈[﹣， ]时，函数g（x）的值域；（3）若将y=f（x）图象上所有点向左平移θ（θ＞0）个单位长度，得到y=h（x）的图象，若=h（x）图象的一个对称中心为（），求θ的最小值．21. （10分）(2017·南通模拟) 集合M={1，2…9}中抽取3个不同的数构成集合{a1 ， a2 ， a3}（1）对任意i≠j，求满足|ai﹣aj|≥2的概率；（2）若a1，a2，a3成等差数列，设公差为ξ（ξ＞0），求ξ的分布列及数学期望．22. （15分） (2018高一上·舒兰月考) 已知函数，且．（1）求的值；（2）若，求实数的取值范围；（3）若方程有两个不同的实数解，求实数的取值范围．参考答案一、选择题．（本题共12个小题） (共12题；共24分) 1-1、2-1、3-1、4-1、5-1、6-1、7-1、8-1、9-1、10-1、11-1、12-1、二、填空题． (共4题；共4分)13-1、14-1、15-1、16-1、三、解答题． (共6题；共75分) 17-1、17-2、18-1、18-2、18-3、19-1、19-2、20-1、20-2、20-3、21-1、21-2、22-1、22-2、22-3、。
2022-2023学年山东省烟台市高一(下)期中数学试卷【答案版】
2022-2023学年山东省烟台市高一（下）期中数学试卷一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求。
1．若z （1+i ）＝1﹣5i ，则z =（ ） A ．﹣2﹣3iB ．﹣2+3iC ．3﹣3iD ．3+3i2．已知向量a →，b →的夹角为150°，|a →|=1，|b →|=√3，则|a →+2b →|=（ ） A ．√5B ．√7C ．√10D ．√193．已知cos(α+π6)=17，0＜α＜π，则sin α的值为（ ） A ．3√314B ．5√314C ．1114D ．13144．故宫是世界上规模最大，保存最为完整的木质结构古建筑群，故宫“乾清宫”宫殿房檐的设计在夏至前后几天屋檐遮阴，在冬至前后几天正午太阳光就会通过地砖反射到“正大光明”匾上，惊艳绝伦．已知北京地区夏至前后正午太阳高度角为73°，冬至前后正午太阳高度角为27°，如图，测得BC ＝a ，则房檐A 点距地面的高度为（ ）A ．asin53°2sin46°B ．2sin46°asin53°C ．tan73°−tan27°atan53°tan27°D ．asin27°sin73°sin46°5．在△ABC 中，点D 为BC 中点，E 为AD 中点，记AD →=a →，CE →=b →，则AB →=（ ） A ．32a →+b →B ．32a →−b →C ．12a →+b →D ．12a →−b →6．设a =(1−√3tan20°)sin80°，b ＝sin40°sin110°﹣sin20°sin130°，c =2tan15°1−tan 215°，则（ ）A ．a ＞b ＞cB ．c ＞b ＞aC ．c ＞a ＞bD ．a ＞c ＞b7．设函数f （x ）＝|sin x |+|cos x |，g(x)=sin(2x +π2)−2sinx ，若存在x 1，x 2∈[0，π]，使得f （x 1）+g （x 2）＝m ，则实数m 的取值范围为（ ） A ．[﹣3，1]B ．[−2，√2]C ．[−2，1+√2]D ．[﹣1，2]8．在锐角△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ．若2c cos B ＝a ﹣c ，则sin(A−C)sinB的取值范围为（ ） A ．(1，√3)B ．（0，1）C ．(0，√2)D ．(√2，√3)二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
2019-2020学年山东省烟台市高一(下)期中数学试卷(含解析)
2019-2020学年山东省烟台市高一(下)期中数学试卷一、单选题（本大题共12小题，共60.0分）1. 某班级有50名学生，其中有30名男生和20名女生，随机询问了该班五名男生和五名女生在某次数学测验中的成绩，五名男生的成绩分别为86，94，88，92，90，五名女生的成绩分别为88，93，93，88，93.下列说法一定正确的是( )．A. 这种抽样方法是一种分层抽样B. 这种抽样方法是一种系统抽样C. 这五名男生成绩的方差大于这五名女生成绩的方差D. 该班男生成绩的平均数小于该班女生成绩的平均数2. △ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且a ，b ，c 成等比数列．若sinB =513，cosB =12ac ，则a +c =( )A. √37B. √13C. 3√7D. 2√63. 直线y =x 被圆x 2+(y −2)2=4截得的弦长为( )A. 3B. 3√3C. 2√2D. √24. 利用简单随机抽样从某小区抽取100户居民进行月用电量调查，发现其用电量都在50到350度之间，频率分布直方图如图所示．在这些用户中，用电量落在区间[150,250]内的户数为( )A. 46B. 48C. 50D. 525. 已知球的半径为2，相互垂直的两个平面分别截球面得两个圆．若两圆的公共弦长为2，则两圆的圆心距等于( )A. 1B.C.D. 26. 在400毫升自来水中有一个大肠杆菌，今从中随机取出2毫升水样放到显微镜下观察，求发现大肠杆菌的概率为( )A. 0.005B. 0.004C. 0.001D. 0.0027. 已知角α终边上一点P(−3,4)，则sin α+tan α的值为( )A. −815B. −2915C. −2720D. 1208. 已知Ω{(x,y|{y ≥0y ≤√4−x2}，直线=mx +2m 曲线=√4−x 2两个不同交点，它们围成的平面区域为M 向区Ω上随机投一点A ，点A 在区域M 的概为(M)，P(M[π−22π1，则实数m 的取值范围)A. [12,1]B. [0,√33] C. [√33,1] D. [0,1]9. 为了抽查某城市汽车年检情况，在该城市主干道上采取抽车牌个位数为6的汽车检查，这种抽样方法是( )A. 简单随机抽样B. 抽签法C. 系统抽样D. 分层抽样10. 已知则( )A.B.C.D.11. 圆x 2+y 2+2x −1=0的圆心到直线y =x +3的距离为( )A. 1B. 2C. √2D. 2√212. 圆x 2+y 2+4x −1=0关于原点O 对称的圆的方程为( )A. (x −2)2+y 2=5B. x 2+(y −2)2=5C. (x +2)2+(y +2)2=5D. x 2+(y +2)2=5二、单空题（本大题共4小题，共20.0分） 13. 已知cosa =23，且−π2<a <0，tan(−a−π)sin(2π+a)cos(−a)tan(π+a)的值______ ．14. 下列说法：①扇形的周长为8cm ，面积为4cm 2，则扇形的圆心角弧度数为1rad ； ②函数f(x)=2cosx(sinx +cosx)的最大值为√2； ③若α是第三象限角，则y =|sin α2|sin α2+|cos α2|cosα2的值为0或−2；④若sinα=sinβ则α与β的终边相同； ⑤函数f(x)={0,x 为有理数1,x 为无理数为周期函数； 其中正确的是______(写出所有正确答案)．15. 已知△ABC 中一点P 满足：BP ⃗⃗⃗⃗⃗ =13BA ⃗⃗⃗⃗⃗ +12BC ⃗⃗⃗⃗⃗ ，在△ABC 中任取一点Q ，则△QBC 的面积小于△PBC 的面积的概率为______ ．16. 若圆O ：x 2+y 2=2的切线l 与x 轴、y 轴分别交于点A 、B ，则|AB|的绝对值的最小值______．三、解答题（本大题共6小题，共70.0分）17.已知a，b为实数，函数f(x)=x2+ax+1，且函数y=f(x+1)是偶函数，函数g(x)=−b⋅f(f(x+1))+(3b−1)⋅f(x+1)+2在区间(−∞,−2]上的减函数，且在区间(−2,0)上是增函数(1)求函数f(x)的解析式；(2)求实数b的值；(3)设ℎ(x)=f(x+1)−2qx+1+2q，问是否存在实数q，使得ℎ(x)在区间[0,2]上有最小值为−2？若存在，求出q的值；若不存在，说明理由．18.(本小题满分12分)以下茎叶图记录了甲、乙两组各三名同学在期末考试中的数学成绩.乙组记录中有一个数字模糊，无法确认，假设这个数字具有随机性，并在图中以表示．(Ⅰ)若甲、乙两个小组的数学平均成绩相同，求的值;(Ⅱ)求乙组平均成绩超过甲组平均成绩的概率;19. 已知曲线C 上任意一点到A(1,−2)的距离与到点(2,−4)的距离比为√22．(1)求曲线C 的方程；(2)设P(x,y)在轨迹C 上，若x +2y +m ≥0恒成立，求m 的取值范围．20. 通过市场调查，得到某产品的广告投入x(万元)与获得的利润y(万元)的数据，如表所示：表中w i =log 2x i ，w =15∑w i 5i=1(Ⅰ)画出数据对应的散点图；并根据散点图判断，y =a +b ⋅2x 与y =c +dlog 2x 中，哪一个适宜作为利润y 关于广告费x 的回归方程类型？(给出判断即可，不必说明理由)(Ⅱ)根据(Ⅰ)的判断结果及表中数据，建立y 关于x 的回归方程，并预测投入8万元时获得的利润．附：对于一组数据(u 1,v 1)，(u 2,v 2)，…(u n ,v n )，其回归直线v =βu +α的斜率和截距的最小二乘估计分别为：β̂=ni=1i −u)(v i −v)∑(n u −u)2；a ̂=v −b ̂u ．21.已知三角形△ABC的两顶点为B(−2,0)，C(2,0)，它的周长为10，求顶点A轨迹方程．22.已知圆C：(x−1)2+(y−2)2=25，直线l：(2m+1)x+(m+1)y−7m−4=0(m∈R)．(1)证明：不论m为何值时，直线l恒过定点；(2)求直线l被圆C截得的弦长最小时的方程．【答案与解析】1.答案：C解析： 男=(86+94+88+92+90)=90， 女=(88+93+93+88+93)=91， =(42+42+22+22+02)=8，s 2男 =(32+22+22+32+22)=6．2.答案：C解析：解：∵sinB =513，cosB =12ac ， ∴sin 2B +cos 2B =1， 即(513)2+(12ac )2=1， 则(12ac )2=1−(513)2=(1213)2， ∴ac =13，cosB =12ac =1213 ∵a ，b ，c 成等比数列， ∴ac =b 2=13，∵b 2=a 2+c 2−2accosB ，∴13=(a +c)2−2ac −2ac ×1213=(a +c)2−26−2×13×1213=(a +c)2−50， ∴(a +c)2=63， 即a +c =√63=3√7， 故选：C ．根据同角的三角关系式求出ac 的值，结合余弦定理进行求解即可得到结论． 本题主要考查解三角形的应用，根据等比数列以及余弦定理是解决本题的关键．3.答案：C解析：解：圆x2+(y−2)2=4的圆心坐标为(0,2)，半径为2=√2，∵圆心到直线y=x的距离为2√2∴直线y=x被圆x2+(y−2)2=4截得的弦长为2√4−2=2√2．故选C．确定圆的圆心坐标与半径，求得圆心到直线y=x的距离，利用垂径定理构造直角三角形，即可求得弦长．本题考查直线与圆相交，考查圆的弦长，解题的关键是求得圆心到直线y=x的距离，利用垂径定理构造直角三角形求得弦长．4.答案：D解析：解：这些用户中，用电量落在区间[150,250]内的频率为1−(0.0024+0.0036+0.0024+0.0012)×50=0.52∴用电量落在区间[150,250]内的户数为100×0.52=52．故选：D．根据频率分布直方图，利用频率、频数与样本容量的关系进行解答即可．的应用问题，是基础题目．本题考查了频率分布直方图的应用问题，也考查了频率=频数样本容量5.答案：C解析：试题分析：设球心，两圆的圆心为，公共弦中点为，中又构成矩形考点：球的截面圆问题点评：本题考查一定的空间想象能力6.答案：A解析：解：记“从中随机取出2ml水样放到显微镜下观察，则发现大肠杆菌”为事件A由题意可得，所求的概率属于几何概率=0.005，由几何概率的计算公式可得P(A)=2400故选：A．由题意可得，所求的概率属于几何概率，代入几何概率的计算公式可得答案．本题主要考查了几何概率的判断及计算公式的应用，几何概率的特点是：无限性，等可能性．7.答案：A解析：解：∵角α终边上一点P(−3,4)，∴x=−3，y=4，r=|OP|=5，∴sinα=yr =45，∴tanα=yx=−43，∴sinα+tanα=45+(−43)=−815，故选：A．利用任意角的三角函数的定义，求得sinα和tanα的值，可得sinα+tanα的值．本题主要考查任意角的三角函数的定义，属于基础题．8.答案：D解析：解：出形，不发现直线恒过定点(2,0)，的斜率范围[0,1]．圆是上圆，直过(−2,)(0,2)时，它们成的域M，向区域Ω上随机投一点A，当线与x轴重时，P(M=1；故选．画图形，不难发直过定点(−2,0)，结合概率范围可直与圆关系，直线(−,0)点为中顺时针转至与x轴重，从而定直线的率范围．题查线的方程的应用，几概型，线系，数形结合数学思想，是好题，难度较大．9.答案：C解析：解：根据系统抽样的定义可知，抽取抽取车牌个位数为6，号码间距相同，符合系统抽样的定义，故该抽样方法为系统抽样．故选：C．根据系统抽样的定义进行判断即可．本题主要考查抽样方法的判断，利用系统抽样的定义是解决本题的关键，比较基础．10.答案：D解析：试题分析：．考点：同角三角函数的基本关系11.答案：C解析：解：圆x2+y2+2x−1=0的圆心(−1,0)，圆x2+y2+2x−1=0的圆心到直线y=x+3的距离为：√2=√2．故选：C．求出圆的圆心，利用点到直线的距离公式求解即可．本题考查圆的方程，点到直线的距离公式的应用，考查计算能力．12.答案：A解析：求出圆心关于原点O对称点的坐标，即可得出结论．本题考查圆的方程，考查对称点坐标的求法，比较基础．解：圆x2+y2+4x−1=0的标准方程为(x+2)2+y2=5，圆心(−2,0)，半径为√5，∴圆x2+y2+4x−1=0关于原点O对称的圆的方程为(x−2)2+y2=5，故选A．13.答案：√52．解析：解：∵cosa=23，且−π2<a<0，∴sinα=−√1−cos2α=−√53，∴tan(−a−π)sin(2π+a) cos(−a)tan(π+a)=(−tanα)sinαcosαtanα=−tanα=−−√5323=√52．故答案为：√52．由已知利用同角三角函数关系式可求sinα，根据诱导公式化简所求后即可代入求值． 本题主要考查了同角三角函数关系式及诱导公式的应用，属于基础题．14.答案：⑤解析：解：①设扇形所在圆的半径为r ，圆心角为α，则由题意知：αγ+2γ=8,12αγ2=4，解得r =2，α=2，故①错误；②函数f(x)=2cosx(sinx +cosx)=sin2x +2cos 2x =sin2x +cos2x +1=√2sin(2x +π4)+1，其最大值为√2+1，故②错误； ③若α是第三象限角，则π+2kπ<α<3π2+2kπ，∴π2+kπ<α2<3π4+kπ,k ∈Z ．则y =|sin α2|sin α2+|cos α2|cosα2=0，故③错误；④若sinα=sinβ，则α与β的终边相同或关于y 轴对称，故④错误； ⑤任何一个非零有理数都是函数f(x)={0,x 为有理数1,x 为无理数的周期，故⑤正确．故答案为：⑤．设出扇形所在圆的半径为r ，圆心角为α，由题意列式求出α判断①；直接求出函数f(x)=2cosx(sinx +cosx)的最大值判断②；利用三角函数的化简求值求得y =|sin α2|sin α2+|cos α2|cosα2的值判断③；由sinα=sinβ得到α与β的关系判断④；利用周期函数的概念判断⑤．本题考查命题的真假判断与应用，考查了扇形的弧长和面积公式，考查三角函数最值的求法，训练了周期函数的判定方法，是中档题．15.答案：59解析：解：由题意，∵BP ⃗⃗⃗⃗⃗=13BA ⃗⃗⃗⃗⃗ +12BC ⃗⃗⃗⃗⃗ ， ∴△PBC 中BC 边上的高是△ABC 中BC 边上的高的13，过P 作DE//BC ，则Q 落在四边形DECB 内时，△QBC 的面积小于△PBC ， ∴△QBC 的面积小于△PBC 的面积的概率为1−49=59．。
山东省烟台市2022-2023学年高一下学期期中数学试题(含答案解析)
山东省烟台市2022-2023学年高一下学期期中数学试题学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________A ．sin 532sin 46a ︒︒C ．tan 73tan27tan 53tan 27a ︒-︒︒︒5．在ABC 中，点D 为BC 中点，E 为AD A ．32a b+ B ．32a b- 6．设()13tan 20sin 80a =-，sin 40b =（）A ．a b c>>B ．c b a>>7．设函数()sin cos f x x x =+，()sin(2g x =()()12f x g x m +=，则实数m 的取值范围为（二、多选题A ．函数()f x 在区间B ．()π,03-是函数C ．函数()f x 在区间D ．若12()(f x f x =12．在ABC 中，角,A B 外接圆圆心，则下列结论正确的有（三、填空题四、双空题五、解答题17．（1）已知复数z ⎛= ⎝（2）已知2a = ，b 18．已知向量(1,a =- (1)求向量b的坐标；(2)设向量(sin ,cos c x =(1)若5sin 13ABM ∠=，求sin (2)求BMN 面积的最小值和此时角22．设函数()sin(f x x ω=+个单位长度后图象关于原点对称．(1)求函数()f x 的单调递增区间；(2)在ABC 中，角A ，B ，①若23a bc =，求222b c a +②若4b =，0AC CB ⋅>，求参考答案：在三角形ABC 中，由正弦定理在直角三角形ABD 中，AD 故选：D 5．A【分析】根据平面向量的基本定理，利用基向量【详解】因为点D 为BC 中点，所以所以AB AD DB AD CD =+=+ 1322AD CE AD AD =++=+ 故选：A.6．C【分析】利用三角恒等变换化简本关系可得出a 、b 、c 的大小关系【详解】()13tan 20a =- ()3sin 20cos 20cos10cos 20-=-sin 20tan 20cos 20== ，由余弦定理得：29a=因此1πsin23 ABCS bc==故选：ACD13．31250【分析】根据给定条件，求出【详解】因为sin cosα+又ππ42α<<，即π22<所以πsin(2)sin24αα-=故答案为：312 5014．πsin(2)14x++（答案不唯一）【分析】由性质①可得【详解】任意x∈R，期函数，则由性质①，可令(f x由性质②知，π28ϕ⨯+=【详解】。
山东省烟台市2023-2024学年高一下学期期中学业水平诊断数学试题(含答案)
烟台市2023-2024学年高一下学期期中学业水平诊断数学注意事项：1.本试题满分150分，考试时间为120分钟。
2.答卷前，务必将姓名和准考证号填涂在答题纸上。
3.使用答题纸时，必须使用0.5毫米的黑色签字笔书写，要字迹工整，笔迹清晰；超出答题区书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求。
1.下列说法正确的是（ ）A.若，则或 B.若，则C.若，则 D.若，则，夹角为锐角2.若复数满足，则（）A. B. C. D.3.在高为6的三棱柱中，是底面的水平放置的直观图，如图，，，则三棱柱的体积为（ ）A. B. C. D.4.在边长为2的正三角形中，点满足，则（ ）A.B. C. D.5.若，，且在上的投影向量为，则与的夹角为（ ）A. B. C. D.6.在中，a ，b ，c 分别为角A ，B ，C 的对边，且，则的形状为（ ）A.等腰三角形B.直角三角形C.等腰直角三角形D.等腰或直角三角形a b = a b = a b=- a c b c ⋅=⋅ a b = a b = a c b c⋅=⋅ 0a b ⋅> a b z ()i 23i z ⋅+=-z =33i --33i -+33i -33i+111ABC A B C -A B C '''△ABC △2O A O B ''''==O C ''=111ABC A B C -ABC M 2CM MA = $AC BM ⋅= 23-2343-431a = (b = a b 14b a b 6π4π3π23πABC △()cos 2cos a Bc b A c +-=ABC △7.已知正四棱台的上、下底面边长分别为7，9，体积为193，则该正四棱台的侧棱长为（）8.在锐角三角形中，若，则的取值范围为（ ）A. B. C. D.二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分。