附录 非平衡态热力学的基础知识
热力学非平衡状态
热力学非平衡状态1. 定义2. 与平衡态的对比- 平衡态下系统的熵达到最大值（在孤立系统中），系统处于最无序但宏观性质稳定的状态。
而在非平衡状态下，系统的熵值小于平衡态时的熵值（如果把系统向平衡态的演化看作是熵增加的过程）。
例如，将一块热的铁块放入冷水中，初始时刻水和铁块整体处于非平衡状态，随着时间推移，它们会趋于热平衡，这个过程中系统的熵是不断增加的。
- 平衡态可以用几个状态参量（如理想气体的压强p、体积V、温度T）完全描述系统的状态。
但非平衡状态下，系统内不同部分的状态参量可能不同，不能简单地用几个统一的参量来描述整个系统，可能需要考虑空间分布等因素。
1. 外部条件的影响- 外界对系统做功或传热不均匀是常见的原因。
例如，用火焰只加热物体的一端，物体两端就会出现温度差，从而处于非平衡状态。
再如，对一个容器中的气体进行局部压缩，压缩部分的压强和密度会与未压缩部分不同，导致系统处于非平衡态。
2. 内部物质交换或反应不均匀- 在化学反应系统中，如果反应物的混合不均匀，或者反应速率在不同区域不同，就会产生非平衡状态。
例如，在一个大的反应釜中进行化学反应，由于搅拌不充分，反应物在釜内不同位置的浓度不同，反应进行的程度也不同，此时系统处于非平衡状态。
- 在多相系统中，相之间的物质交换如果不均匀也会导致非平衡。
水和水蒸气共存的系统，如果水汽化和液化的速率在不同位置不同，系统就处于非平衡态。
1. 热非平衡- 这是指系统内存在温度差的情况。
如前面提到的热铁块放入冷水中的例子，系统内有热量的传递，这种热量传递是由温度差驱动的。
在热非平衡状态下，根据傅里叶定律q = - k(dT)/(dx)（q为热流密度，k为热导率，(dT)/(dx)为温度梯度），热量会从高温区域流向低温区域。
2. 力非平衡- 当系统内存在压强差或者应力差时就处于力非平衡状态。
例如，在一个一端封闭、一端开口且内部有活塞的气缸中，如果活塞突然移动，气缸内不同部分的气体压强会不同，气体就会产生流动以趋于平衡。
热力学中的非平衡态的热力学循环分析
热力学中的非平衡态的热力学循环分析热力学是研究热能及其转换与其他形式能量之间相互转化的学科。
热力学循环是指通过一系列的热能转换过程，将热能转化为机械能或其他能量形式的过程。
在热力学循环中，系统处于非平衡态时，其热力学性质与平衡态有所不同。
本文将以非平衡态的热力学循环为主题，分析其中的一些关键问题。
一、非平衡态的定义与特点在热力学中，平衡态是指系统的宏观性质不随时间改变的状态。
而非平衡态则是指系统的宏观性质随时间的推移而变化的状态。
非平衡态的特点是系统内各个部分之间的宏观性质不同，存在温度、压力、密度、浓度等的梯度或变化。
正因为非平衡态中存在宏观性质的差异，热力学循环在此状态下进行必然涉及到热量和功的传递，以及熵的产生和增加等过程。
与平衡态不同，非平衡态的热力学循环需要考虑这些额外的因素。
二、非平衡态热力学循环的分析方法非平衡态的热力学循环相对于平衡态热力学循环，其分析方法上有一定的差异。
在非平衡态条件下，我们需要引入一些新的概念和方法来描述系统的宏观性质。
1. 热力学流热力学流是指在非平衡态热力学循环中，由于温度、压力或浓度等参数的梯度，热量或物质会在系统中发生传输的现象。
热力学流的存在会带来能量和物质的损失，因此在分析非平衡态热力学循环时，我们需要考虑热力学流的影响。
2. 不可逆性非平衡态热力学循环中，由于热力学流的存在和熵的产生，其过程往往是不可逆的。
不可逆性的存在使得热力学循环效率降低，并导致系统的熵增加。
因此，在分析非平衡态热力学循环时，我们需要考虑不可逆性的影响。
三、非平衡态的热力学循环示例下面我们以一个具体的热力学循环为例，来分析非平衡态条件下的热力学循环。
假设我们有一个活塞与一个气缸相连，活塞可以在气缸内做往复运动。
开始时，气缸内的气体是在一个较低的温度下，在活塞的作用下进行膨胀。
膨胀过程中，气体的温度、压力和体积都会发生变化。
在膨胀过程中，由于温度和压力的差异，热力学流会导致热量的传递，使得系统的宏观性质发生变化。
热力学基础中的热力学平衡态与非平衡态
热力学基础中的热力学平衡态与非平衡态热力学是研究在不同条件下物质和能量转化相关规律的科学，它将物质的热力学状态分为平衡态和非平衡态。
热力学平衡态和非平衡态之间存在着明显的区别与特点。
本文将就热力学基础中热力学平衡态和非平衡态进行深入探讨。
一、热力学平衡态热力学平衡态是指系统处于平衡状态下，其宏观性质不随时间演化而发生变化。
一个处于平衡态的系统，其各种宏观物理量的梯度（如温度、压强、化学势等）均消失且处于均匀状态，没有内部的宏观可观测变化。
同时，热力学平衡态满足热力学第零定律，即两个物体处于热平衡状态，它们的温度是相等的。
热力学平衡态的特点是在一个封闭系统的内部，各种宏观性质的守恒量与各个子系统之间达到了平衡状态，此时系统的总熵达到了极大值或极小值。
热力学平衡态的一个重要特点是微观粒子之间的相互作用达到动态平衡，这是由于宏观的平均效果和微观过程一致。
熵增加原理是描述热力学平衡态中物质发展方向的重要原则，即孤立系统的熵在平衡态中始终趋于增大。
热力学平衡态的形成是在系统与外界具有持续交换能量和物质的情况下发生的。
平衡态的建立需要一定的时间，具体时间取决于系统的特点和外界条件。
随着时间的推移，系统内各种宏观性质逐渐趋于平衡，最终形成稳定的热力学平衡态。
二、热力学非平衡态与热力学平衡态相对应，热力学非平衡态是指系统处于不平衡状态下。
在非平衡态下，系统内部存在宏观可观测的变化，各种宏观性质的梯度没有消失或还在持续产生。
非平衡态下的系统通常处于动态演化的状态中，其各种宏观性质可能随时间、空间和位置的改变而发生变化。
非平衡态是热力学过程的基础，包括热传导、传质、化学反应、相变等各种非平衡过程。
在非平衡态下，系统与外界的交换不断进行，导致系统的宏观物理量不断变化。
非平衡态的存在使得系统内存在着非平衡态下的动态平衡，如化学反应的动态平衡。
非平衡态与动态平衡是热力学中研究非平衡态的基础。
三、平衡态与非平衡态的转换热力学平衡态和非平衡态之间是可以相互转换的。
非平衡态相变热力学
非平衡态相变热力学热力学是研究能量转化与能量传递规律的科学，而相变热力学是研究物质在不同相态之间转变时所伴随的热力学性质和规律的分支学科。
一般来说，相变是指物质在一定条件下，由一种相态转变为另一种相态的过程。
常见的相变有固体的熔化、汽化、液体的冷凝、冷冻等。
在热力学中，我们通常研究的是平衡态的相变，即物质在达到热力学平衡时的相变过程。
然而，在现实世界中，很多相变过程并不是在平衡态下进行的，而是在非平衡态下发生的。
非平衡态相变热力学研究的正是这种非平衡态下的相变过程，它与平衡态相变热力学有着密切的联系，但又有其独特的研究内容和方法。
非平衡态相变热力学的研究内容主要包括非平衡态下的相变动力学过程和相变过程中的非平衡态热力学性质。
相变动力学研究的是相变的速率和机制，它关注的是相变过程的动态行为。
相变过程中的非平衡态热力学性质则是指在相变过程中，热力学性质的变化和演化。
非平衡态相变热力学的研究对于理解和描述相变过程的动态行为以及相变过程中的热力学性质变化具有重要意义。
非平衡态相变热力学的研究方法主要包括实验研究和理论模拟两种。
实验研究是通过设计和进行相应的实验来观测和测量非平衡态相变过程中的各种物理量，以获取相变动力学和热力学性质的实验数据。
理论模拟则是通过建立相应的数学模型和计算方法，对非平衡态相变过程进行模拟和计算，以获得相变过程的动态行为和热力学性质的理论结果。
非平衡态相变热力学的研究成果不仅可以用于解释和预测实际物质的相变行为，还可以应用于材料科学、能源科学、生命科学等领域的研究。
例如，在材料科学中，非平衡态相变热力学可以用于研究材料的相变过程和相变动力学特性，从而指导材料的制备和性能调控。
在能源科学中，非平衡态相变热力学可以用于研究能源转化和储存过程中的相变行为和机制，以提高能源利用效率。
在生命科学中，非平衡态相变热力学可以用于研究生物体内的相变过程和相变动力学特性，以揭示生物体的生理功能和疾病发生机制。
平衡态与非平衡态热力学的基本概念
平衡态与非平衡态热力学的基本概念热力学是研究能量转化和热力学过程的科学。
在热力学中，我们通常会遇到两种状态：平衡态和非平衡态。
本文将详细探讨这两种状态的基本概念和区别。
一、平衡态平衡态是指系统的宏观状态在经历一段时间后保持不变，不进行任何宏观的过程或变化。
在平衡态下，系统中各种宏观参量（如温度、压力、体积等）达到一定的均衡状态，不再发生变化。
平衡态是热力学所研究的基本状态，也是热力学理论的重要部分。
平衡态可以分为两种：热平衡态和力学平衡态。
热平衡态是指系统中各部分的温度相等，并且系统不会发生任何进一步的热量交换。
而力学平衡态则是指系统中没有任何内部力的不平衡存在，系统中各部分的压力相等。
平衡态可以通过热力学基本定律来描述。
基本定律表明，在任何自然过程中，系统处于平衡态时总是具有最大的熵。
熵是用来描述系统的无序程度的物理量，它在系统演化的过程中总是越来越大。
平衡态的熵最大，表明系统是无序的。
二、非平衡态非平衡态则是指系统的宏观状态在经过时间后发生了变化，需要消耗能量才能维持其状态。
在非平衡态下，物质和能量的交换往往非常活跃，系统不断吸收和释放能量，并且不断进行内部的变化和调整。
非平衡态主要分为两种：静态非平衡态和动态非平衡态。
静态非平衡态是指系统处于不变的状态，但是需要外部能量输入来维持其状态。
例如，我们可以将一段时间锤击的软水管子和刚锻制的金属部件视为静态非平衡态。
而动态非平衡态则是指系统内部发生了变化，需要消耗能量才能维持其状态。
例如，正在运转的内燃机和正在流动的河流可以被视为动态非平衡态。
非平衡态的熵则一般比平衡态的熵小。
然而，熵的变化可以用来描述系统的稳定性和动力学过程。
如果一个系统处于非平衡态，其熵的变化率则会比处于平衡态时更大。
因此，熵的变化率也可以用来描述一个系统的稳定性和动力学过程。
三、总结平衡态和非平衡态是热力学中的两种重要状态。
平衡态是指系统的宏观状态在时间上不变化，而非平衡态则是指系统在时间上发生了变化，需要消耗能量来维持其状态。
热力学中的非平衡态的热工作分析
热力学中的非平衡态的热工作分析热力学是研究能量转化与传递的一门学科，在自然界中普遍存在着热力学过程，其中非平衡态的热工作是热力学中的重要概念之一。
本文将对非平衡态的热工作进行分析，并探讨其在实际应用中的意义。
1. 非平衡态的定义与特点在热力学中，平衡态是指系统各个宏观性质保持不变的状态，而非平衡态则是指系统在时间上不断变化的状态。
非平衡态的热工作是针对非平衡态系统中能量转换与传递的过程进行分析。
非平衡态的主要特点包括：不可逆性、不稳定性以及产生熵产的过程。
2. 热工作的定义与描述热工作是指系统中由于不同温度之间的能量交换而进行的能量转化过程。
在非平衡态下，热工作的过程是不可逆的。
在非平衡态系统中，热工作是通过温度梯度来实现的，热能从高温区域流向低温区域，同时产生熵增。
3. 热工作的数学描述非平衡态的热工作可以通过热工作浓度来进行数学描述。
热工作浓度是指在非平衡态下，系统中能量传输和转换发生的强度和频率。
通过定义热工作浓度，可以 quantitative 描述非平衡态下的能量传输和转换过程。
4. 热工作的热力学表达式热工作的热力学表达式可以通过热力学第二定律来描述。
根据热力学第二定律，对于一个孤立系统，其熵变要大于等于零。
热工作过程中产生的熵增，可以用来描述非平衡态下的热工作。
5. 非平衡态的热工作的应用非平衡态的热工作在实际应用中具有广泛的意义。
例如，在工程领域中，非平衡态的热工作是实现能量转换的重要手段。
在能源领域，研究非平衡态的热工作可以优化能源利用效率。
此外，在材料科学中，非平衡态的热工作也是研究材料性能与热力学性质的关键。
总结：非平衡态的热工作是热力学中的重要概念，在能量转换与传递过程中起到关键作用。
研究非平衡态的热工作对于优化能源利用效率、提高材料性能以及推动工程进展具有重要意义。
通过深入研究非平衡态的热工作，可以更好地理解和应用热力学原理，推动科技进步和社会发展。
热力学中的非平衡态系统
热力学中的非平衡态系统热力学是物理学中的一个重要分支，主要研究能量转换和工作性能。
通常我们所熟悉的热力学系统是处于平衡态的，即系统物理量不随时间改变，并且系统内部各部分之间的温度、压力、浓度等物理量相等。
然而，实际生活中，非平衡态系统也是非常常见的，它在自然界和人类活动中起着重要的作用。
什么是非平衡态系统呢？简单来说，非平衡态系统是指系统中各部分存在着梯度，即物理量在空间或时间上分布不均匀的情况。
这种分布不均匀可能是由外部条件或内部不稳定性造成的。
非平衡态系统与平衡态系统相比，具有更多的不确定性和复杂性。
非平衡态系统的例子在我们的生活中随处可见。
比如，当你在一杯热咖啡中加入冰块时，咖啡的温度会随着时间的推移而变化。
最初，热咖啡和冰块之间存在温度差，随着时间的推移，系统逐渐趋于热平衡，最终温度会趋于均匀。
又如，生物体内的新陈代谢过程也是一个非平衡态系统。
人体通过摄取食物来获得能量，并通过各种化学反应进行能量转换，从而保持身体机能的正常运作。
非平衡态系统的研究对于理解自然界和改善技术应用具有重要意义。
然而，由于非平衡态系统的复杂性，其研究也面临着许多挑战。
其中一个重要的挑战是如何描述非平衡态系统的演化和动力学过程。
在热力学中，我们通常使用平衡态统计物理学来描述热力学系统的性质。
然而，对于非平衡态系统来说，平衡态统计物理学的假设不再成立。
因此，我们需要发展新的理论和方法来描述非平衡态系统。
一种常用的方法是非平衡态统计物理学。
非平衡态统计物理学是研究非平衡态系统的统计性质和动力学过程的理论框架。
它基于平衡态统计物理学，但在处理非平衡态系统时引入了新的概念和方法。
例如，非平衡态系统的演化可以通过描述系统接近热平衡态的过程来近似。
这种描述可以通过统计物理学中的概率分布函数来实现。
在非平衡态统计物理学中，我们通常使用玻尔兹曼方程来描述非平衡态系统的演化。
玻尔兹曼方程是一个描述粒子分布随时间变化的偏微分方程。
它将时间演化和空间分布联系起来，可以描述系统中的粒子运动和相互作用。
热力学知识：热力学中稳态和非平衡态
热力学知识：热力学中稳态和非平衡态热力学是研究能量、热、功、熵等物理量的变化规律和相互关系的一门学科。
在热力学中，稳态和非平衡态是两个重要的概念。
本文将从稳态和非平衡态两个方面，分别探讨其在热力学中的基本概念、特点和应用。
稳态在热力学中是指系统在长时间内保持不变的状态。
无论系统处于什么状态，只要系统经历足够长的时间后，就会达到一个稳定的状态，这种状态就是稳态。
稳态在热力学中有着广泛的应用，比如说热平衡状态就是一种稳态。
在热平衡状态下，热力学系统内温度处处相等，不存在温度梯度，也不存在热能的流动。
此外还有力学平衡、化学平衡等等。
稳态的特点是变化缓慢，不能显著地感受到其变化。
稳态的研究在热力学中具有重要意义。
首先，稳态是热力学研究的基础，建立在稳态基础之上，才能深入研究系统的不稳定性及其变化规律。
其次，由于热力学的定态方程都是建立在稳态基础之上，对于稳态的研究能够深化研究热力学的应用。
如在工程上，可以通过热力学理论研究给定时间内稳态下热能转换效率最大化。
而非平衡态是指系统的各种物理量在空间和时间上都处于不均匀分布的状态。
以体系处于不同温度的两端为例，体系在未达到稳态前，各处的温度存在变化，无法达到均衡的状态，此时就是处于一个非平衡态。
由于系统在非平衡状态下的物理量分布变化明显、动态性强，热力学有时会用非平衡态来研究系统的动力学变化及其演化规律。
非平衡态在热力学中有着极其重要的意义。
例如，它可以用来研究各种非平衡流体力学现象（如湍流、光滑流动），探究非平衡态下相变、自组织现象等等。
此外，非平衡态还广泛应用于工程领域，如物理学家通过对非平衡体系的研究，开发出一种新型的大容量电池，其动力学的变化机理是基于非平衡理论。
总之，稳态和非平衡态都是热力学中不可或缺的重要概念，二者相互联系、相互作用，相辅相成，一同构建了热力学体系。
稳态的研究为我们探索系统的基本特性和变化规律奠定了基础，非平衡态的研究则加深了我们对于动力学变化的认识和理解。
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附录非平衡态热力学的基础知识一、平衡态、非平衡态与恒定状态在非平衡态热力学的应用中，恒定状态或称稳态(状态变量不随时间而变化的状态)占有重要的地位。
第三章中3．1至3．4节的讨论都是建立在平衡态热力学的基础上的。
在第三章中我们又指出，平衡塞下晶体是不会生长的。
发生晶体生长过程时，系统必定是处于非平衡态。
由于系统处于平衡态时状态变量保持均匀而且不随时间而变化，在第三章3．3节中我们曾经说平衡态这样一种状态是属于一种恒定的状态，或者说是属于一种稳态。
为了使得生长成的晶体的性能能够保持均匀一致，实际的晶体生长过程希望是一种连续生长的过程，这就要求生长条件保持基本上不随时间而变化。
然而由于晶体生长的基本要求，生长系统中某些状态变量如温度、浓度等必须保持一定的空间分布。
很显然，这种系统并不是处于平衡态。
由于这种系统的基本特征之一是状态变量不随时间而变化，我们将这种一方面在本质上是属于非衡态的，但是另一方面状态变量又不随时间而变化的状态也称为恒定状态或稳态。
所以恒定状态(稳态)可以是平衡态也可以是非平衡态。
经验告诉我们，如果给体系一个与时间无关的边界条件，在经过充分长的时间以后，体系一般会达到一个不随时间而变化的状态，即恒定状态或称稳态。
如果给予体系的是一个与空间和时间都无关的边界条件，在经过充分长的时间以后，体系一般会达到一个均匀而不随时间而变化的状态，即平衡态。
因此，平衡态是恒定状态(稳态)的一个特例。
二、局部平衡假设1．局部平衡的概念为了对于非平衡系统进行研究，以及能够将经典热力学的一些结论推广到非平衡系统中，首先要解决选择用什么热力学变量、函数来描述非平衡系统的状态的问题。
在经典热力学中所遇到的状态变量可以分为两类。
其中一类状态变量可以同时描述平衡态和非平衡态，如体积、质量和总能量等；另一类状态变量例如压强、温度、熵在经典热力学中是在平衡态下定义的，对于非平衡态，体系可能在某些方面是不均匀的。
为了能够在非平衡热力学中应用平衡热力学理论的成果，不希望定义新的状态变量。
但是在非平衡态下要应用这些变量来描述体系的状态的状态必须重新对其进行定义。
为了继续保持这些状态变量的热力学意义，又要能够描述非平衡态体系，在非平衡态热力学中通常引入所谓的局部平衡的假设。
关于局部平衡假设有各种表述方式，其基本思想是：(I)所讨论的非平衡态体系可以被划分为许多体积元，每个体积元在宏观上足够小，以至它的性质可以用其内部某一点附近的性质来代表；而在微观上足够大，其内部含有足够多的分子，因而仍然满足统计处理的要求。
(Ⅱ)设想若在t时刻将某个体积元与周围环境相隔离，在t+dt时刻该体积元将达到平衡。
于是在t+dt时刻可以按照平衡态来定义每个体积元中的一切热力学变量。
如果dt与整个宏观体系变化的时间标度相比要小得多，则t时刻每个体积元的状态可以用该体积元在t+dt时刻达到平衡时相应的热力学量来近似地描述。
(III)如上所述定义的状态变量之间仍然满足在平衡态体系中所满足的所有的热力学关系。
例如在满足上述局部平衡处理的要求的体积元内，吉布斯关系式仍然成立。
2．局部平衡概念的适用性从以上关于局部平衡的概念的定义可以看出，要应用局部平衡的概念来描述非平衡态，其适用性是有条件的。
局部平衡概念的适用范围是偏离平衡不远的体系。
另外，由于就整体来说体系处于非平衡态，每个体积元与其邻近的体积元中的热力学变量的数值可能并不相同，从平衡态热力学导出的热力学关系(例如吉布斯公式等)只适用于非平衡体系中的局部的小范围，并不适用于整个体系。
三、热力学力和流对于晶体生长工作来说需要得到体系中热力学变量的数值的定量描述。
由于对于非平衡体系来说状态变量的数值可能随空间位置和时间而变化，状态变量必须采取局部瞬时描述，因此要建立各个热力学变量的关于时间和空间位置的偏微分方程，例如热传导方程、扩散方程、流体动力学方程和熵平衡方程。
寻找各种局部瞬时热力学变量之间的定量关系的出发点是各种守恒定律(能量守恒、质量守恒)和连续性方程。
无论是要利用连续性方程还是从守恒定律导出热传导方程、扩散方程、流体动力学方程和熵平衡方程，首先都必须建立相应的流密度(热传导流、扩散流、质量流等)与产生该流密度的热力学力之间联系的唯象规律。
上面所说的热力学力是指对于产生相应的流密度起到推动作用的广义的推动力，如温度梯度、浓度梯度、压强梯度引起的热传导力、扩散力等，而不仅是狭义的机械力。
如果一个体系不受任何外界限制，即为孤立体系，不管体系的初始状态如何，体系中所有的热力学力和流发展的结果总是趋于零，即达到一个平衡态。
对于开放体系，当边界条件强迫体系离开平衡态时，宏观不可逆过程开始，体系中所有的热力学力和流不为零。
在一个体系受到外界某种不变的强加的限制的情形，体系中的热力学力和流发展的结果则会是一种特殊的但是具有重要意义的情形。
例如，为了简单起见考虑一个含有两种组分的一维体系，如果在体系的两端保持不同的恒定的温度，由于下面要讨论到的热扩散现象，体系中的这种温度梯度会产生一个组分浓度梯度。
于是体系中同时存在热传导力、扩散力和相应的热传导流、扩散流。
由于强加给体系的只是恒定的热传导力，而扩散力和扩散流可以自由发展，发展的最终结果是体系达到一个不随时间变化的状态，这样的状态不是平衡态，而是非平衡恒定状态。
如前所述，非平衡恒定状态对于晶体生长系统有着重要的煮义．四、线性唯象关系由于热力学力是推动热力学流的起因，热力学流应该可以表示为热力学力的函数。
将这一函数在平衡态(热力学力和流都为零)附近展开为台劳级数，在热力学力的数值很小(即系统的状态偏离平衡态很小)的情形，级数中的高次项与一次项相比可以忽略不计，即热力学流与热力学力的关系可以认为是线性关系。
关于不可逆过程的大量实验观察结果也与此相符合。
这一线性唯象关系中的系数称为线性唯象系数。
在只存在一种热力学力的情形，这一线性关系的例子有热传导定律、扩散定律、欧姆定律等，其相应的热力学力分别为温度梯度、浓度梯度和电场强度，相应的热力学流密度分别为热流密度、组分扩散流密度和电流密度，相应的线性唯象系数分别为热导率、扩散系数和电导率。
在同时存在多种不可逆过程的情形，不同的过程之间可能存在耦合效应。
在这样的系统中存在多种热力学力和相应的流，在各种热力学力和流之间可能会发生耦合。
以最简单的体系中只存在两种不可逆过程的情形为例，线性唯象关系可以一般地表示为这里q1和q2是这两种不可逆过程的流密度，X1和X2为某种热力学流直接对应的热力学力。
在四个线性唯象系数中L12和L21表示了这两种不可逆过程之间的耦合程度。
五、熵流、熵产生和熵平衡方程非平衡态热力学研究的主要目标之一是建立对于不可逆过程的定量的描述，其中在非平衡态热力学基本理论方面最主要的是用一个关于熵的等式来代替作为热力学第二定律的一种表述形式的关于熵的不等式。
设单位质量的熵为s；，在局部平衡的假设下，由吉布斯关系式(1)可以得到其中e、v为单位质量的内能、体积、M i为第i种组分的质量分数、μi为单位质量第i种组分的吉布斯自由能(μi=M iμi，M i为组分i的克分子量)。
对于不存在外场作用和粘滞性流动的情形，由能量守恒得到利用连续性方程和组分守恒可以得到对于固体或不可压缩流体代入(3)式，得到经过适当变换和整理可以得到关于单位体积中的熵s的熵平衡方程为由于熵不是守恒量，一个体系的总的熵随时间的变化率可以形式地写成其中q s表示通过单位面积的熵的交换速率，简称为熵流；σ表示单位体积中熵的产生速率，即熵的源强度，简称为熵产生，或称熵增加。
利用高斯定理从(6)式可以得到因此比较上式和上述的熵平衡方程(5)式，可以得到熵流和熵产生的具体表达式：上面(8)、(9)两式中各项都有其明确的物理意义。
(8)式的第一项是热传导引起的熵流，第二项是扩散引起的熵流；(9)式的第一项与热传导有关，第二项与扩散有关。
还可以发现(9)式中的每一项都是某个热力学流和与其直接相关的热力学力的乘积。
如果推广到系统中同时存在i种不可逆过程的情形则有：…六、线性唯象关系中唯象系数的性质应该指出，上述关于热力学力和流之间的线性唯象关系的认识并不是从热力学的基本假设出发推导得到的，因此其本身应该被看作是热力学以外的一种假设。
但是一旦作出了这种假设以后，就可以通过热力学的方法得到许多关于唯象系数性质的认识。
1. 互易关系线形唯象关系中的线性唯象系数受到微观可逆性原理的限制，这一限制导致了线性唯象系数具有如下的对称性：其物理意义是：如果第i个不可逆过程的流受到第j个不可逆过程的力的影响，则第j个不可逆过程的流必定也受到第i个不可逆过程的力的影响，而且表征这两种相互影响作用的耦合系数相等。
上述结论在线性非平衡态热力学理论的发展中起着十分重要的作用。
线性唯象系数之间的这一关系首先是由Onsager确定的，因此这一关系常常称为Onsager互易关系。
互易关系的重要性在于其普遍适应性。
根据Onsager互易关系在确定不可逆过程的唯象系数时可以大大减少实验工作的困难和工作量。
应该指出，一般来说，热力学力和和热力学流的定义可以具有任意性。
但是只有在所定义的力和流满足(10)式，即力和流的乘积具有熵的量纲时，互易关系才成立。
2. 空间对称性的要求不同的力和流的空间特性可能是不相同的，例如可能是标量、矢量或张量。
关于一种力与一种流之间是否存在的问题可以从curie对称性原理得到解答。
curie对称性原理告诉我们，在一个各向同性的介质中，宏观原因总是比它所产生的效应具有较少的对称元素。
从非平衡态热力学的角度来看，热力学力是产生宏观不可逆过程的原因，相应的热力学流是这个宏观原因所产生的效应。
因此一种不可逆过程的热力学流不一定与系统中的所有的热力学力发生耦合。
3．热力学第二定律的要求以最简单的体系中只存在两种不可逆过程的情形为例，线性唯象关系可以用(9)式表示，将(9)式代入上述的熵产生的一般表达式(10)式，可以得到对于这一特例有如果所讨论的过程满足线性关系且互易关系成立，即L 12=L 21，，则根据热力学第二定律，不可逆过程中体系中的熵的产生总是大于零的，除非是已经达到平衡态则熵的产生等于零。
因此对于热力学力X 1和X 2的任意取值，等式(12)的右边都必须是正的，而等式右边恒为正值的充分必要条件是这一结论是与实验事实相一致的，例如热导率和电导率总是正的，而后面要讨论到的热扩散系数可为负值。
对于更一般的情形，热力学第二定律的要求可以一般地表示为4．最小熵产生原理在接近平衡的条件下，与外界所施加的限制相对应的非平衡恒定状态的熵具有极小值。
还是 以只存在两种不可逆过程的情形为例进行讨论。
现在讨论当X 1保持恒定而X 2自由变化时，熵产生如何变化。