清华离散数学(第2版)：1.3
(完整word版)离散数学(第2版,刘爱民)习题解答(1)(1)
附录2 习题答案习题一答案1.1下列各语句中哪些是命题?1) 不是；2) 是；3) 不是；4) 不是；5) 不是；6) 是；7) 是；8) 不是9) 不是；10)是；11)不是；12)是。
1.2 将下列命题符号化。
1) p∧⌝q, p:太阳明亮,q:湿度高；2) q→⌝p, p:明天你看到我，q:我要去深圳。
3) p→q, p:我出校，q:我去图书城；4) q→p , p:你去,q:我去；5) 5.1) p∧q； 5.2) p∧⌝q; 5.3) p∧q； 5.4) p∧⌝q；6) 6.1) p∨q 6.2) ⌝(p ↔q) 6.3) p∧¬q6.4) ¬ (p∧r) 6.5) (p∧q) →r 6.6)¬ (r→ (p∧q))7) p:蓝色和黄色可以调配成绿色；8) ⌝(p↔q), p:李兰现在在宿舍, q:李兰在图书馆里；9) ¬p→¬ q, p:一个人经一事，q:一个人长一智；10) (p∧¬q) →⌝(r↔ s), p:晚上小王做完了做业, q: 晚上小王没有其他事情，r: 晚上小王看电视, s: 晚上小王看电影。
11) ⌝(r↔ s), r:小飞在睡觉, s:小飞在游泳；12) ¬p∧¬q∧r, p:这个星期天我看电视，q: 这个星期天我外出，r:这个星期天我在睡觉。
13) p→q , p:卫星上天了，q:国家强大了；14) p→q, p:今天没有课，q:我呆在图书馆里；15) p→q,p:我去图书城，q:我有时间；16) ¬p→¬q , p:人们辛劳，p: 人们收获1.3 1) 小李家住北大西门外, 他现在坐在公共汽车里看书，没有考虑问题；2) 小李在思考问题, 他没有乘坐公共汽车，也没有看书；3) 小李只要乘坐公共汽车，他就看书或考虑问题；4) 小李乘坐公共汽车，要么看书不考虑问题，要么考虑问题不看书，5) 同4);6) 如果小李家住北大西门外,则他现在没有乘坐公共汽车，没有看书，也没有考虑问题。
离散数学（第二版）最全课后习题答案详解
离散数学（第⼆版）最全课后习题答案详解习题⼀1.下列句⼦中,哪些是命题？在是命题的句⼦中,哪些是简单命题？哪些是真命题？哪些命题的真值现在还不知道？（1）中国有四⼤发明.答：此命题是简单命题，其真值为 1.（2）5是⽆理数.答：此命题是简单命题，其真值为 1.（3）3是素数或4是素数.答：是命题，但不是简单命题，其真值为 1.（4）2x+ <3 5答：不是命题.（5）你去图书馆吗？答：不是命题.（6）2与3是偶数.答：是命题，但不是简单命题，其真值为0.（7）刘红与魏新是同学.答：此命题是简单命题，其真值还不知道.（8）这朵玫瑰花多美丽呀！答：不是命题.（9）吸烟请到吸烟室去！答：不是命题.（10）圆的⾯积等于半径的平⽅乘以π .答：此命题是简单命题，其真值为 1.（11）只有6是偶数，3才能是2的倍数.答：是命题，但不是简单命题，其真值为0.（12）8是偶数的充分必要条件是8能被3整除.答：是命题，但不是简单命题，其真值为0.（13）2008年元旦下⼤雪.答：此命题是简单命题，其真值还不知道.2.将上题中是简单命题的命题符号化.解:（1）p：中国有四⼤发明.（2）p:是⽆理数.（7）p:刘红与魏新是同学.3.写出下列各命题的否定式,并将原命题及其否定式都符号化,最后指出各否定式的真值.（1）5是有理数.答：否定式：5是⽆理数. p：5是有理数.q：5是⽆理数.其否定式q的真值为 1.（2）25不是⽆理数.答：否定式：25是有理数. p：25不是⽆理数. q：25是有理数.其否定式q的真值为1.（3）2.5是⾃然数.答：否定式：2.5不是⾃然数. p：2.5是⾃然数. q：2.5不是⾃然数.其否定式q的真值为1.（4）ln1是整数.答：否定式：ln1不是整数. p：ln1是整数. q：ln1不是整数.其否定式q的真值为1.4.将下列命题符号化，并指出真值.（1）2与5都是素数答：p：2是素数，q：5是素数，符号化为p q∧，其真值为1.（2）不但π是⽆理数，⽽且⾃然对数的底e也是⽆理数.答：p：π是⽆理数，q：⾃然对数的底e是⽆理数，符号化为p q∧，其真值为 1.（3）虽然2是最⼩的素数，但2不是最⼩的⾃然数.答：p：2是最⼩的素数，q：2是最⼩的⾃然数，符号化为p q∧?，其真值为1.（4）3是偶素数.答：p：3是素数，q：3是偶数，符号化为p q∧，其真值为0.（5）4既不是素数，也不是偶数.答：p：4是素数，q：4是偶数，符号化为? ∧?p q，其真值为0.5.将下列命题符号化，并指出真值.（1）2或3（3）3或5是偶数.（4）3不是偶数或4不是偶数.（5）3不是素数或4不是答: p：2是偶数，q：3是偶数，r:3是素数，s:4是偶数, t:5是偶数偶数.(1)符号化: p q∨，其真值为 1.(2)符号化：p r∨，其真值为1. (3)符号化：r t∨，其真值为0.(4)符号化：? ∨?q s，其真值为 1.(5)符号化：? ∨?r s，其真值为0.6.将下列命题符号化.（1）⼩丽只能从筐⾥拿⼀个苹果或⼀个梨.答：p：⼩丽从筐⾥拿⼀个苹果，q：⼩丽从筐⾥拿⼀个梨，符号化为: p q∨ .（2）这学期，刘晓⽉只能选学英语或⽇语中的⼀门外语课.答：p ：刘晓⽉选学英语，q ：刘晓⽉选学⽇语，符号化为: (? ∧∨∧?p q )(p q ) . 7.设 p ：王冬⽣于 1971年，q ：王冬⽣于1972年，说明命题“王冬⽣于1971年或 1972年”既可以化答:列出两种符号化的真值表： p q 0 0 1 10 1 0 10 1 1 00 1 1 1根据真值表,可以判断出,只有当 p 与 q 同时为真时两种符号化的表⽰才会有不同的真值,但结合命题可以发现,p 与 q 不可能同时为真,故上述命题有两种符号化⽅式.8.将下列命题符号化,并指出真值.,就有（1）只要（2）如果（3）只有（4）除⾮（5）除⾮（6）,则:;设 q:,则:答:设 p: .符号化真值（1）（2）（3）（4）（5）1 1 0 0 0（6） 19.设p：俄罗斯位于南半球,q：亚洲⼈⼝最多,将下⾯命题⽤⾃然语⾔表述,并指出其真值：（1）（2）；；；（3）（4）；；（5）（6）（7）；；.答:根据题意,p为假命题,q为真命题.⾃然语⾔真值（1）（2）（3）（4）（5）（6）（7）只要俄罗斯位于南半球,亚洲⼈⼝就最多只要亚洲⼈⼝最多,俄罗斯就位于南半球11111 只要俄罗斯不位于南半球,亚洲⼈⼝就最多只要俄罗斯位于南半球，亚洲⼈⼝就不是最多只要亚洲⼈⼝不是最多，俄罗斯就位于南半球只要俄罗斯不位于南半球，亚洲⼈⼝就不是最多只要亚洲⼈⼝不是最多，俄罗斯就不位于南半球10．设p：9是3的倍数,q：英国与⼟⽿其相邻,将下⾯命题⽤⾃然语⾔表述,并指出真值：.答:根据题意,p为真命题,q为假命题.⾃然语⾔真值（1）（2）（3）9是3的倍数当且仅当英语与⼟⽿其相邻9是3的倍数当且仅当英语与⼟⽿其不相邻9不是3的倍数当且仅当英语与⼟⽿其相邻11（4）9不是 3的倍数当且仅当英语与⼟⽿其不相邻 011．将下列命题符号化,并给出各命题的真值：（1）若 2+2=4,则地球是静⽌不动的；（2）若 2+2=4,则地球是运动不⽌的；（3）若地球上没有树⽊,则⼈类不能⽣存；（4）若地球上没有⽔,则是⽆理数. 答:命题 1命题 2符号化真值（1）（2）（3）（4）p:2+2=4 q:地球是静⽌不动的 q:地球是静⽌不动的 q:⼈类能⽣存0 p:2+2=4 1 1 1p:地球上有树⽊ p:地球上有树⽊q:⼈类能⽣存12.将下列命题符号化,并给出各命题的真值：（1）2+2=4当且仅当 3+3=6；（2）2+2=4的充要条件是 3+36；（3）2+2 4与 3+3=6互为充要条件；（4）若 2+2 4,则 3+3 6,反之亦然. 答:设p:2+2=4,q:3+3=6. 符号化真值 (1) (2) (3) (4)（3）今天是星期⼀当且仅当明天是星期⼆；（4）若今天是星期⼀,则明天是星期三.答:设p:今天是星期⼀,q:明天是星期⼆,r:明天是星期三.符号化真值讨论(1)(2)(3)(4)不会出现前句为真,后句为假的情况不会出现前句为真,后句为假的情况必然为1若p为真,则真值为0;若p为假,则真值为114.将下列命题符号化：（1）刘晓⽉跑得快,跳得⾼；（2）⽼王是⼭东⼈或者河北⼈；（3）因为天⽓冷,所以我穿了⽻绒服；（4）王欢与李乐组成⼀个⼩组；（5）李欣与李末是兄弟；（6）王强与刘威都学过法语；（7）他⼀⾯吃饭,⼀⾯听⾳乐；（8）如果天下⼤⾬,他就乘班车上班；（9）只有天下⼤⾬,他才乘班车上班；（10）除⾮天下⼤⾬,否则他不乘班车上班；（11）下雪路滑,他迟到了；（12）2与4都是素数,这是不对的；（13）“2或4是素数,这是不对的”是不对的.答: 命题1 命题2命题3符号化(1)(2)p:刘晓⽉跑得快q:刘晓⽉跳得⾼-p:⽼王是⼭东⼈p:天⽓冷q:⽼王是河北⼈----q:我穿⽻绒服p:王欢与李乐组成p:王欢与李乐组成⼀个--⼀个⼩组⼩组p:李⾟与李末是兄p:李⾟与李末是兄弟弟(6)(7) p:王强学过法语p:他吃饭q:刘威学过法语q:他听⾳乐q:他乘车上班q:他乘车上班q:他乘车上班q:路滑--(8) p:天下⼤⾬p:天下⼤⾬p:天下⼤⾬p:下雪-(9) -(10)(11)r:他迟到了p:2是素数p:2是素数q:4是素数--q:4是素数15.设p：2+3=5.q：⼤熊猫产在中国.r:太阳从西⽅升起.求下列符合命题的真值：（1）（2）（3）（4）解：p真值为1，q真值为1，r真值为0.（1）0，（2）0，（3）0，（4）116.当p,q的真值为0,r,s的真值为1时,求下列各命题公式的真值：（1）（2）（3）（4）解：（1）0，（2）0，（3）0，（4）117.判断下⾯⼀段论述是否为真：“是⽆理数.并且,如果3是⽆理数,则外,只有6能被2整除,6才能被4整除.”也是⽆理数.另解：p:是⽆理数q: 3是⽆理数r:是⽆理数s: 6能被2整除18.在什么情况下,下⾯⼀段论述是真的:“说⼩王不会唱歌或⼩李不会跳舞是正确的,⽽说如果⼩王会唱歌,⼩李就会跳舞是不正确的.”解：p:⼩王会唱歌。
离散数学第2版课后习题答案
离散数学第2版课后习题答案离散数学是计算机科学和数学领域中一门重要的学科，它研究离散对象及其关系、结构和运算方法。
离散数学的应用非常广泛，包括计算机科学、信息科学、密码学、人工智能等领域。
而离散数学第2版是一本经典的教材，它系统地介绍了离散数学的基本概念、原理和方法。
本文将为读者提供离散数学第2版课后习题的答案，帮助读者更好地理解和掌握离散数学的知识。
第一章：基本概念和原理1.1 命题逻辑习题1：命题逻辑的基本符号有哪些？它们的含义是什么？答：命题逻辑的基本符号包括命题变量、命题联结词和括号。
命题变量用字母表示，代表一个命题。
命题联结词包括否定、合取、析取、条件和双条件等，分别表示“非”、“与”、“或”、“如果...则...”和“当且仅当”。
括号用于改变命题联结词的优先级。
习题2：列举命题逻辑的基本定律。
答：命题逻辑的基本定律包括德摩根定律、分配律、结合律、交换律、吸收律和否定律等。
1.2 集合论习题1：什么是集合？集合的基本运算有哪些？答：集合是由一些确定的对象组成的整体，这些对象称为集合的元素。
集合的基本运算包括并、交、差和补等。
习题2：列举集合的基本定律。
答：集合的基本定律包括幂等律、交换律、结合律、分配律、吸收律和德摩根定律等。
第二章：数理逻辑2.1 命题逻辑的推理习题1：什么是命题逻辑的推理规则？列举几个常用的推理规则。
答：命题逻辑的推理规则是用来推导命题的逻辑规则。
常用的推理规则包括假言推理、拒取推理、假言三段论和析取三段论等。
习题2：使用推理规则证明以下命题：如果A成立，则B成立；B不成立，则A不成立。
答：假言推理规则可以用来证明该命题。
根据假言推理规则，如果A成立，则B成立。
又根据假言推理规则，如果B不成立，则A不成立。
2.2 谓词逻辑习题1：什么是谓词逻辑？它与命题逻辑有何区别？答：谓词逻辑是一种扩展了命题逻辑的逻辑系统，它引入了谓词和量词。
与命题逻辑不同，谓词逻辑可以对个体进行量化和描述。
清华大学计算机系本科生全部课程详细介绍
Introduct theme, equal emphasis on theory and practice. It also introduces the basic methods an
ion learning, simulated annealing, genetic algorithm and artificial neural network.
讲
姓名
职称
课
教
主要教学和科研领域
师
白晓颖
讲师 软件工程，软件测试
课号：00240042 学分: 2 课程名称 中文
课程属性： 全校任选 开课学期: 人工智能导论
书名
春季
作者
英文
Artificial Intelligence：
Stuart Russell and
A Modern Approach
Peter Norvig
程 法，主要的知识表示和推理方法，以及几个应用领域中所涉及的人工智能问题和求解方法。课程以智能体
简 设计为主线，将人工智能中相互分离的领域与内容统一起来，注重理论与实际应用相结合。同时还简单介
介 、人工神经网络等算法思想及相关成果与进展。
This course is an introduction course to offer the basic principles and methods of art
evolution. The purpose is to improve the students’ engineering capabilities and development Based on the major activities in software lifecycle, the course introduces the basic theory
离散数学及其应用(第2版)
离散数学是计算机科学、电子工程、数学工
程等多个领域中必备的基础课程。
本书《离
散数学及其应用》第2版是被广泛使用的教材，它采用了清晰的教学方式和生动的实例，深入浅出地介绍了离散数学的基本概念、方
法和技巧，为学生提供了一种系统化的方法
来解决离散问题。
本书包含了大量的例题和习题，既有较为基
础的内容，也有一些较为高级的内容。
它包
括了算法、图论、逻辑、布尔代数、关系代
数和集合论等多个方面，深入掌握这些知识，将有助于读者在计算机和工程领域的实际应
用中快速解决实际问题。
此外，本书也包含有一些扩展的内容，例如确定有限自动机（DFA）、上下文无关语法（CFG）、正则表达式和语言等，在很多实际问题中这些内容也是非常重要的。
离散数学及其应用第2版课后练习题含答案
离散数学及其应用第2版课后练习题含答案1. 引言《离散数学及其应用》是一本经典的离散数学教材，是计算机科学和数学专业的必修课程。
本文将为读者提供《离散数学及其应用》第2版课后练习题的答案，并希望能够帮助读者加深对离散数学的理解。
2. 答案解析第一章习题 1.11.给定一组七个数字 {1, 3, 3, 4, 6, 9, 12}，请给出这组数字的中位数。
答案：中位数为 4。
2.给出两个整数 a 和 b 的三进制表示： a = 111011，b = 101101。
求 a + b。
答案：a + b = 1011000。
3.证明奇奇数的积为奇数。
答案：令两个奇数分别为 2n + 1 和 2m +1，则有：(2n + 1) × (2m + 1) = 4nm + 2n + 2m + 1 = 2(2nm + n + m) + 1，即奇奇数的积还是一个奇数。
习题 1.21.证明：如果一个整数 n 能同时被 2 和 3 整除，则它也能被 6 整除。
答案：首先，n 能同时被 2 和 3 整除，则分别有 n = 2k 和 n = 3m。
联立方程组 2k = 3m，得 k = (3/2)m。
因此，n = 2k = (3m/2) × 2 = 3m× (2/2) = 6m，可以被 6 整除。
2.求 10010 的八进制表示。
答案：将 10010 转换为四位一组的二进制数，得 0010 0100。
将 0010 和 0100 分别转换为八进制数，得 2 和 4。
因此，10010 的八进制表示为 24。
3.已知 547a5 是 11 的倍数，求 a 的值。
答案：根据 11 的倍数的规律，将 547a5 中的奇数位数字相加，再将偶数位数字相加，然后将两个和的差求出来： (5 + 7 + a) - (4 + 5) = 13 + a - 9 = a + 4。
因为547a5 是 11 的倍数，所以 a + 4 也必须是 11 的倍数。
离散数学(第2版)
离散数学（第2版）——关于数学中重要的研究方向
离散数学是一门涉及数学中各种离散对象的研究方向，包括数论、图论、代数等。
离散数学是计算机科学、通信工程和其他许多工科领域的基础，对于理解计算机算法的原理和应用具有重要意义。
本文将对离散数学（第2版）这本数学教材进行介绍。
离散数学（第2版）是由美国杜克大学的Kenneth H. Rosen所著的数学教材。
这本书共分为五章，分别是基础概念、逻辑和计算、数论、图论、代数和应用。
第一章主要介绍了离散数学的基础概念，包括逻辑基础、集合、关系和函数。
第二章介绍了逻辑和计算的相关内容，包括命题逻辑、谓词逻辑、计算机科学中的逻辑和布尔代数。
第三章是关于数论的章节，包括质数、最大公约数、最小公倍数、模运算、同余方程等内容。
第四章是关于图论的章节，包括无向图、有向图、连通图、生成树、最短路径、最小生成树等内容。
第五章是关于代数和应用的章节，包括代数系统、群、域、同余环、线性代数和代数应用等内容。
本书还附有大量的练习题，帮助读者检验自己的学习效果。
离散数学（第2版）是一本系统而全面的数学教材，涵盖了离散数学的各个方面。
它适合作为计算机科学和工科领域的数学基础教材，也可作为普及离散数学的参考书。
离散数学第二版第3章集合的基本概念和运算
A Bx(x∈A∧x ∈ B)∨(A=B) A B∨A=B
第三章 集合的基本概念和运算
集合的真包含具有下列性质： (1) 反自反性：A A; (2) 传递性：若A B且 BC，则A C; (3) 反对称性：若A B，则B A。 定义3.1.4 没有任何元素的集合称为空集合，简称为 空集，记为 。 例如，| |=0，|{ }|=1。
2}，…}={x|x= In∧n∈I+}={ In|n∈I+}
第三章 集合的基本概念和运算
由此可见，表示一个集合的方法是很灵活多变的，必 须注意准确性和简洁性。
为方便起见，本书中指定下列常见数集符号： N(Natural)表示自然数集合(含0) Z 表示整数集合，本书中我们也常用I(Integer) 表示整 数 集合 Q(Quotient) 表示有理数集合 R(Real) 表示实数集合 C(Complex) 表示复数集合 P(Proton) 表示素数集合 下面讨论集合之间的关系(以下表示术语“当且仅 当”)。
第三章 集合的基本概念和运算
第三章 集合的基本概念和运算
第三章 集合的基本概念和运算
表示一个集合的方法通常有两种。 (1) 列举法：将集合的元素列举出来并写在一个花括号 里，元素之间用逗号分开。 例如，设A是由a，b，c，d元素 构成的集合，B是由a，{b}，{{c，d}}为元素构成的集合， 则A={a，b，c，d}， B={a，{b}，{{c，d}}} ，集合B说明 集合也可用作元素，因此，尽管集合与其元素是两个截然 不同的 概念，但一个集合完全可以成为另一个集合的元素。
A∩B=｛x|x∈A∧x∈B｝
第三章 集合的基本概念和运算
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归谬法(续)
例4 证明 2 是无理数 证 假设 2 是有理数, 存在正整数n,m, 使得
2=m/n,
不妨设m/n为既约分数. 于是m=n 2 , m2=2n2, m2是偶数, 从而m是偶数. 设m=2k, 得 (2k)2=2n2, n2=2k2, 这又得到n也
是偶数, 与m/n为既约分数矛盾.
间接证明法是归谬法的特殊形式: ¬ ¬ A¬ B A, A0
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穷举法(分情况证明法)
推理AB, 其中A= A1A2…Ak. 做法 证明A1B, A2B,…, AkB 均为真 理由 A1A2…AkB ¬ 1A2…Ak)B (A (¬ 1¬ 2… ¬ k)B A A A
(¬ 1B)(¬ 2B)…(¬ kB) A A A
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空证明法与平凡证明法
空证明法(前件假证明法) 做法 证明“A恒为假” 理由 “A恒为假” “AB为真” 例如, “是任何集合的子集”(定理1.1)的证明 平凡证明法(后件真证明法) 做法 证明“B恒为真” 理由 “B恒为真” “AB为真” 例如, 若ab, 则a0b0. 常在归纳证明的归纳基础中出现
(A1B)(A2B)…(AkB)
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实例
例5 证明:max(a, max(b,c))=max(max(a,b),c) 证
情况 abc u=max(b,c) c
max(a,u)
c
v=max(a,b) b
max(v,c)
c
acb bac bca cab cba
b c c b b
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间接证明法
做法 证明“ ¬ B ¬ A”为真 理由 “AB为真” “ ¬ B ¬ A为真”
例2 若n2是奇数, 则n也是奇数. 证 用间接证明法. 只要证:若n是偶数, 则n2也是偶数. 假设n是偶数, 则存在kN, n=2k. 于是, n2 = (2k)2 = 2(2k2) 得证n2是偶数.
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归谬法(反证法)
做法 假设A真并且¬ B真, 推出矛盾, 即证明:A¬ B0 理由 A¬ B0为真 A¬ B为假 A为假或 B为真 AB为真
例3 若A-B=A, 则AB= 证 用归谬法, 假设AB, 则存在x,使得 xAB xAxB xA-BxB (A-B=A) xAxBxB xBxB, 矛盾
n 3 4 5 6 7 8 9 2n-1-1 3 7 15 31 63 127 255 整除 Y N Y N Y N N n 10 11 12 13 14 15 16 2n-1-1 511 1023 2047 4095 8191 16383 32767 整除 N Y N Y N N N
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反例2(续)
但此命题不真. 561=31117是合数, 而2560-1能被561整除.
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第二数学归纳法
归纳基础 证明P(n0)为真 归纳步骤 x(xn0), 假设P(n0),P(n0+1),…,P(x)为真, 证P(x+1)为真. 归纳假设 y(n0yx), P(y)为真 例9 任何大于等于2的整数均可表成素数的乘积 证 归纳基础. 对于2, 结论显然成立. 归纳步骤. 假设对所有的k(2kn)结论成立, 要证结论 对n+1也成立. 若n+1是素数, 则结论成立; 否则n+1=ab, 2a,b<n. 由归纳假设, a,b均可表成素数的乘积, 从而n+1 也可表成素数的乘积. 得证结论对n+1成立.
b c a b a
b a a b a
b c a b a
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构造证明法
推理AB, 其中B是存在具有某种性质的客体 做法 在A为真的条件下, 构造出具有这种性质的客体
例6 对于每个正整数n, 存在n个连续的正合数. 证 令x=(n+1)! 则 x+2, x+3,…, x+n+1是n个连续的正合数: i | x+i, i=2,3,…,n+1
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注释
归纳基础 证P(n0),P(n0+1),…,P(n1)为真, n0n1. 例10 可用4分和5分邮票组成n分邮资, n12. 证 归纳基础. 12=34, 13=24+5, 14=25+4, 15=35, 得证对n=12,13,14,15时结论成立. 归纳步骤. 设n15, 假设对12,13,…,n结论成立, 由12n-3< n和归纳假设, n-3分邮资可用4分和5分邮票组 成, 再加一张4分邮票即可得到n+1分邮资, 得证结论对n+1 也成立.
n 17 18 19 20 2n-1-1 65535 131071 262143 524287 整除 Y N Y N n 21 22 23 24 2n-1-1 1048575 2097151 4194303 8388607 整除 N N Y N
由上表可能会提出下述命题
命题 设n3, n是素数的充分必要条件是2n-1-1被n整除.
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数学归纳法的步骤(续)
注意: 归纳基础与归纳步骤两者缺一不可 反例1 命题 n1, 21+22++ 2n= 2n+1 证 假设n1, 结论成立, 则 21+22++ 2n+2n+1= 2n+1+2n+1 = 2n+2 对n+1结论成立, 故命题成立.
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数学归纳法的步骤(续)
反例2 观察2n-1-1 是否被n整除
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命题为假的证明——举反例
例7 判断下述命题是真是假: 若AB=AC, 则B=C. 解 反例: 取A={a,b}, B={a,b,c}, C={a,b,d}, 有 AB=AC = {a,b} 但BC, 故命题为假.
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数学归纳法的应用对象
命题形式: x(xNxn0), P(x) 命题的提出——归纳与猜想 例如, 观察 1 =1(1+1)/2 1+2 =3=2(2+1)/2 1+2+3 =6=3(3+1)/2 1+2+3+4 =10=4(4+1)/2 ……
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逻辑推理的证明
推理的常见形式: (1)若A, 则B (2)A当且仅当B (3)证明B 都可归结为形式(1) AB AB B
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直接证明法
做法 证明“若A为真, 则B为真” 理由 “若A为真, 则B为真” “AB为真”
例1 若n是奇数, 则n2也是奇数. 证 存在kN, n=2k+1. 于是, n2 = (2k+1)2 = 2(2k2+2k)+1 得证n2是奇数.
1.3 证明方法概述
• 逻辑推理的形式结构 • 证明方法 直接证明法 间接证明法 归谬法(反证法) 数学归纳法 穷举法 构造证明法 空证明法 平凡证明法 举反例——命题为理的形式结构 A1A2…AkB (*) 当(*)为重言式时, 记作 A1A2…AkB (**) 并称推理有效或推理正确, 又称B是A1,A2,…,Ak的有效(或 逻辑)结论; 否则称推理不正确. A (1) (2) (3) (4) 0 0 1 1 B 0 1 0 1 AB 1 1 0 1 (1),(2),(4)推理正确 (3)推理不正确 (1)中B是A的逻辑结论,但不 是正确结论; (2)和(4)中B既 是逻辑结论,又是正确结论.
猜想 对所有n1, 1+2+ … +n=n(n+1)/2
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数学归纳法的步骤
(1)归纳基础 证P(n0)为真 (2)归纳步骤 x(xn0), 假设P(x)为真, 证P(x+1)为真. 称“P(x)为真”为归纳假设 例8 证明:对所有n1, 1+2+ … +n=n(n+1)/2 证 归纳基础. 当n=1时, 1=1(1+1)/2, 结论成立. 归纳步骤. 假设对n1结论成立, 则有 1+2+ … +n +(n+1)=n(n+1)/2 +(n+1) (归纳假设) = (n+1)(n+2)/2 得证当n+1时结论也成立.