高2013届高三数学优化设计第二轮复习专题3-1第1讲 三角函数的图象与性质
πx π － 3 6
(0≤x≤9)的最大值与最小值 ( )．
B．0
解析
D．－1－ 3 π π π 7π ∵0≤x≤9，∴－3≤6x－3≤ 6 ，
3 ，1. 2
π π ∴sin6x－3∈－
∴y∈[－
答案 A
3，2]，∴ymax＋ymin＝2－
解析
D．1
∵sin α－cos α＝ 2，∴(sin α－cos α)2＝2.
3 3 ∴sin 2α＝－1，又α∈(0，π)，∴2α＝2π，α＝4π. 3 则tan α＝tan 4π＝－1.
答案 A
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3．(2012· 山东)函数y＝2sin 之和为 A．2－ C．－1 3
＝3cos ωx＋ ＝2 3sin ωx 3sin ωx
π 3sinωx＋3.
依题设，等边△ABC的高为2 3，从而BC＝4. 2π π 所以函数f(x)的周期T＝4×2＝8，即 ω ＝8，ω＝4. 函数f(x)的值域为[－2 3，2 3]．
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[尝试解答] (1)∵角θ的终边在直线y＝2x上，∴tan θ＝2，则cos cos2θ－sin2θ 1－tan2θ 3 2 2 2θ＝cos θ－sin θ＝ 2 ＝ ＝－5. cos θ＋sin2θ 1＋tan2θ 3 1 (2)∵sin α＋cos α＝ 3 ，两边平方，得1＋2sin αcos α＝3，则 2 sin 2α＝－3. 又α为第二象限角，且sin α＋cos α＞0. π 3 ∴2kπ＋2＜α＜2kπ＋4π，k∈Z. 3 则4kπ＋π＜2α＜4kπ＋2π，k∈Z.
点”作图法或代点法可求“φ”，进而可求出f(0)的值．
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T 7π π π [尝试解答] 由题图知A＝ 2，4 ＝12－3＝4，T＝π， 2π 又T＝ ω ，∴ω＝2， π 根据函数图象的对应关系，得2×3＋φ＝2kπ＋π(k∈Z)， π ∴φ＝2kπ＋3，k∈Z. π 令k＝0，取φ＝3， π ∴函数解析式为f(x)＝ 2sin(2x＋3)， π 6 ∴f(0)＝ 2sin3＝ 2 .
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2
π 2sin2x－4－1，
(2)函数y＝sin x的单调递增区间为
π π 2kπ－ ，2kπ＋ (k∈Z)． 2 2
π π π 由2kπ－2≤2x－4≤2kπ＋2，x≠kπ(k∈Z)， π 3π 得kπ－8≤x≤kπ＋ 8 ，x≠kπ(k∈Z)． 所以f(x)的单调递增区间为
1 π 的坐标为ωkπ＋2－φ，0(k∈Z)． π (2)平移后，得到y＝sin2x－3的图象，不关于原点对称．
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1．(2011· 江西)已知角θ的顶点为坐标原点，始边为x轴的正半 轴，若P(4，y)是角θ终边上一点，且sin ________.
研讨：(1)是指把“α”看作锐角时，原三角函数值的符号．(2) 与点P的位置无关．
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2．三角函数的性质 思考2：(1)函数y＝sin x在第一象限内是增函数吗？ (2)如何求函数y＝Asin(ωx＋φ)(A＞0，ω＞0)的单调增区间？
研讨：(1)y＝sin x在第一象限不是增函数． π π (2)由2kπ－ 2 ≤ωx＋φ≤2kπ＋ 2 (k∈Z)，求得x的取值范围，从 而得到函数的单调增区间．
π π 所以f(x)在－6，4最大、最小值分别是2与－1.
[规律方法]
求三角函数最值(值域)常用方法：(1)化为正弦型
函数y＝Asin(ωx＋φ)＋k的形式；(2)把sin x(或cos x)看作整体， 借助二次函数的性质．但一定要注意sin x(或cos x)的制约作 用．
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8 3 (2)因为f(x0)＝ 5 ， 由(1)有f(x0)＝2
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答案
6 2
[规律方法] 1.求参数φ是解答本题的关键，由特殊点求φ时，一 定要分清特殊点是“五点法”的第几个点． 2．用五点法确定φ值时，往往以寻找“五点法”中的第一个
φ 零点 －ω，0 作为突破口．“第一点”(即图象上升时与x轴的
交点)为ωx＋φ＝0.
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3．三角函数的图象 思考3：(1)你能写出函数y＝A cos(ωx＋φ)(A＞0，ω＞0)的对称 轴方程和对称中心的坐标吗？ π π (2)将f(x)＝sin(2x＋ 3 )的图象向右平移 3 个单位，得到函数的图 象是否关于原点对称？
kπ－φ 研讨：(1)y＝A cos(ωx＋φ)的对称轴x＝ ω (k∈Z)，对称中心
π xsinx＋6－1
3sin 2x＋2cos2x－1 3sin 2x＋cos 2x
π ＝2sin2x＋6，
所以f(x)的最小正周期为π.
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π π π π 2π (2)因为－6≤x≤4，所以－6≤2x＋6≤ 3 . π π π 于是，当2x＋6＝2，即x＝6时，f(x)取得最大值2； π π π 当2x＋6＝－6，即x＝－6时，f(x)取得最小值－1.
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3 (2)(2012· 大纲全国)已知α为第二象限角，sin α＋cos α＝ 3 ，则 cos 2α＝ 5 A．－ 3 5 C. 9 5 B．－ 9 5 D. 3 ( )．
[思路点拨] (1)先根据三角函数的定义求tan θ，再求cos 2θ.(2) 利用平方关系，求sin 2α，再进一步求cos 2α.
第1讲 三角函数的图象与性质
【考情快递】 考点统计 三角函数的基本问题 考查频度 5 考例展示 2012· 山东16,2012· 辽宁 5,2012· 大纲全国4 2012· 浙江6,2012· 天津 4 7,2012· 福建8 2012· 新课标全国9,2012· 湖 5 南18,2012· 山东5 2012· 陕西17,2012· 湖北 8
解析 2 5 y sin θ＝ 2＝－ 5 ， 16＋yຫໍສະໝຸດ 2 5 θ＝－ 5 ，则y＝
∴y＜0且y2＝64，从而y＝－8.
答案 －8
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2．(2012· 辽宁)已知sin α－cos α＝
2，α∈(0，π)，则tan α＝ ( )．
2 2 A．－1 B．－ 2 C. 2
1 ∴4sin θcos θ＝1，则sin 2θ＝2. 答案 D
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类型二 三角函数的图象 【例2】 已知f(x)＝Asin(ωx＋φ)(A，ω，φ为常数，A＞0，ω＞0) 的部分图象如图所示，则f(0)的值是________．
[思路点拨]
观察函数f(x)的图象特征，可求A、T，借助“五
向左平移1个y＝cos(x＋1)＋1向下平移1个单位长度 ――――→ ――――――――→ 单位长度 y＝cos(x＋1)． ∴平移后函数y＝cos(x＋1)最小正周期为2π，其图象可由余弦 曲线向左平移一个单位长度得到，A适合．
答案 A
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类型三
三角函数的性质
π 【例3】 (2012· 亳州质检)已知函数f(x)＝4cos xsin(x＋6)－1. (1)求f(x)的最小正周期；
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1 【变式训练1】 (2012· 江西)若tan θ＋tan θ＝4，则sin 2θ的值为 ( 1 A.5 1 B.4 1 C.3 1 D.2 )．
1 解析 ∵tan θ＋tan θ＝4，
2 2 sin θ cos θ sin θ＋cos θ 得cos θ＋ sin θ ＝ sin θcos θ ＝4.
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即2α为第三象限角． ∴cos 2α＝－ 1－sin 2α＝－
2
2 1－－32＝－
5 3.
答案 (1)B (2)A
[规律方法]
对诱导公式主要弄清三角函数在各个象限内的符
号；利用同角三角函数的关系化简过程要遵循一定的原则， 如切化弦、化异为同、化高为低、从繁到简等．
π π (2)求f(x)在区间－6，4上的最大值和最小值．
[思路点拨] 利用两角和公式、倍角公式将f(x)化为Asin(ωx＋φ) 的形式，然后由三角函数的性质求周期和函数的值．
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[尝试解答] (1)因为f(x)＝4cos ＝4cos ＝ ＝
x 3 1 sin x＋2cos x－1 2
π 3π kπ－ ，kπ和kπ，kπ＋ (k∈Z)． 8 8
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类型四
三角函数图象与性质的综合应用
2 ωx
【例4】 (2012· 四川)函数f(x)＝6cos 2 ＋ sin
3
ωx－3(ω＞0)在一个周期内的图象如图
所示，A为图象的最高点，B、C为图象与x 轴的交点，且△ABC为正三角形． (1)求ω的值及函数f(x)的值域；
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【变式训练2】 (2012· 浙江)把函数y＝cos 2x＋1的图象上所有点 的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)，然后向左平移1个单 位长度，再向下平移1个单位长度，得到的图象是 ( )．
2013年高考数学试题精编：43三角函数的图像和性质
y = sin(1 x − π ) 2 10 .
答案：C
12.
（
天
津
卷
文
8
）
右图是函数y
=
A
sin（ω
x+ϕ）（x
∈
R）在区间
⎡⎢⎣-
π 6
，5π 6
⎤ ⎥⎦
上的图象，
为
了
得
到
这
个
函数的图象，只要将 y = sin x（x ∈ R）的图象上所有的点
y = sin(2x − π )
（A）
10
y = sin(2x − π )
（B）
5
y = sin(1 x − π )
（C）
2 10
y = sin(1 x − π )
（D）
2 20
π 解析：将函数 y = sin x 的图像上所有的点向右平行移动 10 个单位长度，所得函数图象的解
π 析式为 y＝sin(x－ 10 )
【解析】
6=
12 ，
3=
6 ，所以将
y = sin(2x + π )
π
y = sin(2x − π )
6 的图像向右平移 4 个长度单位得到
3 的图像，故选 B.
9.（陕西卷理 3）对于函数 f ( x ) = 2 s i n x c o s x ，下列选项中正确的是 （ ）
ππ （A） f (x) f（x）在（ 4 ， 2 ）上是递增的
选 B。 【命题意图】本题考查三角函数的周期、图象变换等基础知识。
3 sin( x − π ), x ∈ R
高考数学二轮复习 专题2 三角函数、三角变换、解三角形、平面向量 第一讲 三角函数的图象与性质 理-
专题二 三角函数、三角变换、解三角形、平面向量第一讲 三角函数的图象与性质1．角的概念．(1)终边相同的角不一定相等，相等的角终边一定相同(填“一定”或“不一定”)． (2)确定角α所在的象限，只要把角α表示为α＝2k π＋α0[k ∈Z，α0∈[0，2π)]，判断出α0所在的象限，即为α所在象限．2．诱导公式．诱导公式是求三角函数值、化简三角函数的重要依据，其记忆口诀为：奇变偶不变，符号看象限．1．三角函数的定义：设α是一个任意大小的角，角α的终边与单位圆交于点P (x ，y )，则sin α＝y ，cos α＝x ，tan α＝yx.2．同角三角函数的基本关系． (1)sin 2α＋cos 2α＝1. (2)tan α＝sin αcos α．判断下面结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)．(1)角α终边上点P 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，32，那么sin α＝32，cos α＝－12；同理角α终边上点Q 的坐标为(x 0，y 0)，那么sin α＝y 0，cos α＝x 0.(×)(2)锐角是第一象限角，反之亦然．(×) (3)终边相同的角的同一三角函数值相等．(√)(4)常函数f (x )＝a 是周期函数，它没有最小正周期．(√) (5)y ＝cos x 在第一、二象限上是减函数．(×) (6)y ＝tan x 在整个定义域上是增函数．(×)1．(2015·某某卷)若sin α＝－513，且α为第四象限角，则tan α的值等于(D )A.125 B ．－125 C.512 D ．－512解析：解法一：因为α为第四象限的角，故cos α＝1－sin 2α＝1－（－513）2＝1213，所以tan α＝sin αcos α＝－5131213＝－512. 解法二：因为α是第四象限角，且sin α＝－513，所以可在α的终边上取一点P (12，－5)，则tan α＝y x ＝－512.故选D.2．已知α的终边经过点A (5a ，－12a )，其中a ＜0，则sin α的值为(B ) A ．－1213 B.1213 C.513 D ．－5133．(2014·新课标Ⅰ卷)在函数①y ＝cos|2x |，②y ＝|cos x |，③y ＝cos ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π6，④y＝tan ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π4中，最小正周期为π的所有函数为(A ) A ．①②③ B ．①③④C ．②④D ．①③解析：①中函数是一个偶函数，其周期与y ＝cos 2x 相同，T ＝2π2＝π；②中函数y ＝|cos x |的周期是函数y ＝cos x 周期的一半，即T ＝π；③T ＝2π2＝π；④T ＝π2.故选A.4．(2015·某某卷)如图，某港口一天6时到18时的水深变化曲线近似满足函数y ＝3sin(π6x ＋φ)＋k .据此函数可知，这段时间水深(单位：m)的最大值为(C )A ．5B ．6C ．8D ．10解析：根据图象得函数的最小值为2，有－3＋k ＝2，k ＝5，最大值为3＋k ＝8.一、选择题1．若sin(α－π)＝35，α为第四象限角，则tan α＝(A )A ．－34B ．－43C.34D.43 解析：∵sin(α－π)＝35，∴－sin α＝35，sin α＝－35.又∵α为第四象限角， ∴cos α＝ 1－sin 2α＝ 1－⎝ ⎛⎭⎪⎫－352＝45， tan α＝sin αcos α＝－3545＝－34.2. 定义在R 上的周期函数f (x )，周期T ＝2，直线x ＝2是它的图象的一条对称轴，且f (x )在[－3，－2]上是减函数，如果A ，B 是锐角三角形的两个内角，则(A )A ．f (sin A )>f (cosB ) B ．f (cos B )>f (sin A )C ．f (sin A )>f (sin B )D ．f (cos B )>f (cos A )解析：由题意知：周期函数f (x )在[－1，0]上是减函数，在[0，1]上是增函数．又因为A ，B 是锐角三角形的两个内角，A ＋B >π2，得：sin A >cos B ，故f (sin A )>f (cos B )．综上知选A.3．函数y ＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫πx 6－π3(0≤x ≤9)的最大值与最小值之和为(A )A ．2－ 3B ．0C ．－1D ．－1－ 3解析：用五点作图法画出函数y ＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫πx 6－π3(0≤x ≤9)的图象，注意0≤x ≤9知，函数的最大值为2，最小值为－ 3.故选A.4. 把函数y ＝cos 2x ＋1的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)，然后向左平移1个单位长度，再向下平移 1个单位长度，得到的图象是(A )解析：y ＝cos 2x ＋1的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)，然后向左平移1个单位长度，再向下平移1个单位长度，得到的解析式为y ＝cos (x ＋1)．故选A.5．(2015·新课标Ⅰ卷)函数f (x )＝cos(ωx ＋φ)的部分图象如图所示，则f (x )的单调递减区间为(D )A.⎝⎛⎭⎪⎫k π－14，k π＋34，k ∈ZB.⎝⎛⎭⎪⎫2k π－14，2k π＋34，k ∈Z C.⎝ ⎛⎭⎪⎫k －14，k ＋34，k ∈ZD.⎝⎛⎭⎪⎫2k －14，2k ＋34，k ∈Z 解析：由图象知周期T ＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫54－14＝2，∴2πω＝2，∴ω＝π.由π×14＋φ＝π2＋2k π，k ∈Z ，不妨取φ＝π4，∴f (x )＝cos ⎝⎛⎭⎪⎫πx ＋π4.由2k π＜πx ＋π4＜2k π＋π，得2k －14＜x ＜2k ＋34，k ∈Z ，∴f (x )的单调递减区间为⎝⎛⎭⎪⎫2k －14，2k ＋34，k ∈Z.故选D.6．已知函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)(x ∈R，A ＞0，ω＞0，|φ|＜π2)的图象(部分)如图所示，则f (x )的解析式是(A )A ．f (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫πx ＋π6(x ∈R)B ．f (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2πx ＋π6(x ∈R)C ．f (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫πx ＋π3(x ∈R)D ．f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫2πx ＋π3(x ∈R) 解析：由图象可知其周期为：4⎝ ⎛⎭⎪⎫56－13＝2，∵2πω＝2，得ω＝π，故只可能在A ，C 中选一个，又因为x ＝13时达到最大值，用待定系数法知φ＝π6.二、填空题7．若sin θ＝－45，tan θ＞0，则cos θ＝－35．8．已知角α的终边经过点(－4，3)，则cos α＝－45．解析：由题意可知x ＝－4，y ＝3，r ＝5，所以cos α＝x r ＝－45.三、解答题9. (2014·某某卷)已知函数f (x )＝2cos x (sin x ＋cos x )． (1)求f ⎝⎛⎭⎪⎫5π4的值；(2)求函数f (x )的最小正周期及单调递增区间．分析：思路一 直接将5π4代入函数式，应用三角函数诱导公式计算．(2)应用和差倍半的三角函数公式，将函数化简2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π4＋1. 得到T ＝2π2＝π.由2k π－π2≤2x ＋π4≤2k π＋π2，k ∈Z ，解得k π－3π8≤x ≤k π＋π8，k ∈Z.思路二 先应用和差倍半的三角函数公式化简函数f (x )＝2sin x cos x ＋2cos 2x ＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π4＋1.(1)将5π4代入函数式计算；(2)T ＝2π2＝π.由2k π－π2≤2x ＋π4≤2k π＋π2，k ∈Z ，解得k π－3π8≤x ≤k π＋π8，k ∈Z.解析：解法一 (1)f ⎝⎛⎭⎪⎫5π4＝2cos 5π4⎝ ⎛⎭⎪⎫sin 5π4＋cos 5π4＝－2cos π4⎝ ⎛⎭⎪⎫－sin π4－cos π4＝2.(2)因为f (x )＝2sin x cos x ＋2cos 2x ＝sin 2x ＋cos 2x ＋1 ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π4＋1. 所以T ＝2π2＝π.由2k π－π2≤2x ＋π4≤2k π＋π2，k ∈Z ，得k π－3π8≤x ≤k π＋π8，k ∈Z ，所以f (x )的单调递增区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π－3π8，k π＋π8，k ∈Z.解法二 因为f (x )＝2sin x cos x ＋2cos 2x ＝sin 2x ＋cos 2x ＋1 ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π4＋1.(1)f ⎝⎛⎭⎪⎫5π4＝2sin 11π4＋1＝2sin π4＋1＝2. (2)T ＝2π2＝π.由2k π－π2≤2x ＋π4≤2k π＋π2，k ∈Z ，得k π－3π8≤x ≤k π＋π8，k ∈Z ，所以f (x )的单调递增区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π－3π8，k π＋π8，k ∈Z.10．函数f (x )＝A sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫ωx －π6＋1(A ＞0，ω＞0)的最大值为3, 其图象相邻两条对称轴之间的距离为π2.(1)求函数f (x )的解析式；word(2)设α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫α2＝2，求α的值． 解析：(1)∵函数f (x )的最大值为3，∴A ＋1＝3，即A ＝2.∵函数图象的相邻两条对称轴之间的距离为π2， ∴最小正周期为 T ＝π，∴ω＝2，故函数f (x )的解析式为y ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π6＋1. (2)∵f ⎝ ⎛⎭⎪⎫α2＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫α－π6＋1＝2， 即sin ⎝⎛⎭⎪⎫α－π6＝12， ∵0＜α＜π2，∴－π6＜α－π6＜π3. ∴α－π6＝π6，故α＝π3. 11．(2015·卷)已知函数f (x )＝2sin x 2cos x 2－2sin 2x 2. (1)求f (x )的最小正周期；(2)求f (x )在区间[－π，0]上的最小值．解析：(1)由题意得f (x )＝22sin x －22(1－cos x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π4－22，所以f (x )的最小正周期为2π.(2)因为－π≤x ≤0，所以－3π4≤x ＋π4≤π4. 当x ＋π4＝－π2，即x ＝－3π4时，f (x )取得最小值． 所以f (x )在区间[－π，0]上的最小值为f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－3π4＝－1－22.。
【优化设计】高考数学(人教版,文科)一轮总复习精品课件： 三角函数的图象与性质(共31张PPT)
{y|-1≤ y≤1}
R
3.3 三角函数的图象与性质 第三章
5-5-
在 - π + 2kπ, π + 2kπ
2
2
单 上递增,k∈Z;
调 性
在 π + 2������π, 3π + 2kπ
2
2
上递减,k∈Z
x= π+2kπ (k∈Z)时,
2
最 ymax=1; 值 x=-π+2kπ (k∈Z)时,
2
在
π 4
,
5π 4
单调递减,所以要使函数
f(x)=sin
������������
+
π 4
在
π 2
,π
单调递减,需满足
π 4
×
5π 4
×
���1������1���≤≥π2π,,解得12≤ω≤54.
关闭
A
考点一 考点二 考点三 考点四 思想方法
解析 答案
第三章
3.3 三角函数的图象与性质
-1188-
考点一 考点二 考点三 考点四 思想方法
关闭
解析 答案
第三章
3.3 三角函数的图象与性质
-1166-
方法提炼
1.熟记 y=sin x,y=cos x,y=tan x 的单调区间是求复杂的三角函数单调区 间的基础.
2.求形如 y=Asin(ωx+φ)+k 的单调区间时,只需把 ωx+φ 看作一个整体 代入 y=sin x 的相应单调区间即可,注意 A 的正负以及要先把 ω 化为正数. 求 y=Acos(ωx+φ)+k 和 y=Atan(ωx+φ)+k 的单调区间类似.
2013高考数学(江苏专版)二轮专题课件：第一部分 专题6 三角函数的图象与性质
成立．同理②③成立时，①④成立．
答案：①③⇒②④；②③⇒①④
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5．(2012· 江苏命题专家原创卷)已知函数f(x)＝ 3sin(ωx＋φ)－ cos(ωx＋φ)(0<φ<π，ω>0)为偶函数，且函数y＝f(x)的图象的 π 两条对称轴之间的最小距离为 2，则f(x)的解析式为_____． π 解析：f(x)＝ 3sin(ωx＋φ)－cos(ωx＋φ)＝2sin ωx＋φ－6 ，
7π π 2，周期为4×12－3＝π，所以ω＝
解析：由图象可得A＝
7π 2.将12，－
7π 3 代入得2× ＋φ＝2kπ＋ 2 12 2
π，即φ＝2kπ＋
π π 6 3，所以f(0)＝ 2sin φ＝ 2sin3＝ 2 .
6 答案： 2
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2．(2012· 南京第二次模拟)已知函数y＝Asin(ωx＋
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π π 解：(1)y＝sin 2x的图象沿x轴向右平移 6个单位得y＝sin 2x－6
即y＝sin
π 2x－ 3
，再将每一点的纵坐标保持不变，横坐标扩大
π 到原来的2倍得y＝sinx－3. π ∴f(x)＝sinx－3.
π π π (2)由2kπ－2≤x－3≤2kπ＋2，k∈Z， π 5π 解得2kπ－6≤x≤2kπ＋ 6 ，k∈Z.
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[解析]
(1)y＝sin x
π ④，y＝sinx＋3②，
x π y＝sin2＋3，或y＝sin
x
1 ②，y＝sin2x⑥，
x π 2π 1 y＝sin2x＋ 3 ＝sin2＋3. π 2π π (2)T＝2(7－3)＝8，ω＝ 8 ＝ 4 ，A＝3，f(x)＝3sin 4x＋φ ， 3π π 将(3,0)代入得 4 ＋φ＝2kπ＋π，即φ＝2kπ＋ 4 .又φ∈[0,2π)，所以 π φ＝4.
高三数学二轮专题复习 三角函数
三角函数二轮复习建议三角函数内容主要有两块；一是三角函数的图象和性质，二是三角恒等变换．近三年高考中基本上是一个小题（三角函数的图象与性质）、一个大题（三角恒等变换），大都是容易题和中等题，难度不大，容易得分，也是必须要得分的．第1~2课时 三角函数的图象和性质基本题型一：求三角函数的周期例 1 函数f (x )＝3sin(2x ＋π3)的最小正周期为 ；图象的对称中心是 ；对称轴方程是 ；当x ∈[0，π2]时，函数的值域是 ． 说明：1．函数y ＝A sin(wx ＋ϕ)的图像与参数A ，w ，ϕ的关系；通过换元可将y ＝A sin(wx ＋ϕ)的图象转化为对y ＝A sin x 的图象的研究．2．对于三角函数的图象与性质，周期性是最本质的内容，周期与一个最高点就可决定决定整个三角函数的图象．3．此类问题呈现的形式有三种：①正面呈现，象例1的形式；②给出函数的一部分性质，如已知直线y ＝a (0＜a ＜A )与函数y ＝A sin(wx ＋ϕ)的图象的三个相邻交点的横坐标为2，4，8，写出函数y ＝A sin(wx ＋ϕ)的一个单调增区间；③以图象形式呈现，给出函数y ＝A sin(wx ＋ϕ)的一部分图象．例2 若函数f (x )＝sin(ωx ＋φ)(ω＞0，0≤φ＜2π)的图象(部分)如图所示，则ω＝_________，φ＝_________．说明：方法一 由图知T ＝4×[2π3－(－π3)]＝2π，所以ω＝1，从而2π3＋φ＝π2＋2k π，k ∈Z ，解得φ＝2k π－π6，k ∈Z ．因为0≤φ＜2π，所以φ＝11π6． 方法二 由图知T ＝4×[2π3－(－π3)]＝2π，所以ω＝1，所以f (x )的图像可以看作是sin x 的图像向右移了π6个单位，即向左移了11π6个单位，．因为0≤φ＜2π，所以φ＝11π6． 基本策略：根据函数的图像先确定振幅A ，再确定周期T ．利用周期求出角速度ω，最后利用峰(谷)点的坐标求出φ的值．一般不用平衡点(零点)来确定．三角函数图像的变换，每一次变换前，应先将“已知”函数一般化，写成f (x )的形式，再分别按照f (x )→f (x －a )，f (x )→f (ωx )，f (x )→f (x )＋k ，f (x )→Af (x )的变化特征写出变换后的函数解析式．例3 如图，半圆O 的直径为2，A 为直径延长线上的一点，OA ＝2，B 为圆上任意一点，以AB 为一边作等边三角形ABC ．问：点B 在什么位置时，四边形OACB 面积最大？说明：对于此类以图形为背景的应用题，重点应放在变量的选择上．例4 已知函数f (x )＝2sin x (sin x －cos x )＋2，x ∈R ．（1）求函数f (x )的最小正周期；（2）求函数在区间[π8，3π4]上的最大值和最小值； （3）若f (α)＝3－425，0＜α＜π2，求cos2α的值． 说明：此类题型的考查要求虽然不高，不要深挖，但在二轮复习中还要涉及一点．基本策略：利用恒等变形，化为“一个角的一个三角函数的一次式y ＝A sin(ωx ＋φ)＋k (ω＞0，0≤φ＜2π)”是研究复杂三角函数式性质的基本方法．其中，对于函数f (x )＝sin(ωx ＋φ)(ω＞0，0≤φ＜2π)的单调性，要用整体化的观点，将ωx ＋φ看作是一个角的大小，结合y ＝sin x 的单调区间和ωx ＋φ关于x 的单调性进行判断．第3~4课时 三角恒等变换例1 cos(－600°)＝ ．说明：利用诱导公式将其转化为特殊角的三角函数值，也可根据三角函数定义利用数形结合直接求值．例2 若3cosα＋4sinα＝5(0＜α＜π)，求tan(α＋π4)的值． 说明：1．重视最基本方法的运用，即把cosα，sinα当成未知数，通过解方程组求得cosα，Csinα；2．在三角函数求值中要注意两点：①根据角之间的关系选择适当的三角变换；②根据角所在象限确定三角函数值的符号，要加以说明（题目条件中已经给定，角的范围太大，需要由几个条件或解题过程中得到的结论共同确定）．例3 当0＜x ＜π2时，函数f (x )＝1＋cos2x ＋8sin 2x sin2x的最小值为 ． 说明：利用二倍角公式对f (x )进行化简，转化为用基本不等式求解的最值问题．例4 已知tan(π4＋α)＝12． (1)求tan α的值；(2)求sin2α－cos 2α1＋cos2α的值．基本策略：在化简过程中，通过变角、变名、变次，换元等将其转化为最简单的三角函数或简单的初等函数．第5~6课时 解三角形 例1 在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边长分别为a ，b ，c ，且满足cos A 2＝255，AB →·AC →＝3．（1）求△ABC 的面积；（2）若c ＝1，求a 的值．例2 在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边长分别为a ，b ，c ，B ＝π3，cos A ＝45，b ＝3． （1）求sin C 的值；（2）求△ABC 的面积．说明：1．根据条件，结合图形灵活选择正弦定理、余弦定理、三角形面积公式．2．向量中有关概念的理解，公式的正确使用．例3 在平面四边形ABCD 中，∠A ＝60°，AD ⊥CD ，∠DBC ＝60°，AB ＝23，BD ＝4，求CD 的长．说明：这种以图形为载体的三角函数求值问题（与解三角形联系）在高考中也是一种常见题型，其关键是要弄清图中各种量（边、角）之间的关系，合理选择正弦定理、余弦定理、三角恒等变换进行求解．例4 (08上海)如图，某住宅小区的平面图呈圆心角为120o 的扇形AOB ，小区的两个出入口设置在点A 及点C 处，且小区里有一条平行于BO 的小路CD ，已知某人从C 沿CD 走到D 用了10分钟，从D 沿DA 走到A 用了6分钟，若此人步行的速度为每分钟50米，求该扇形的半径OA 的长（精确到1米）．说明基本策略：条件中给出了三角形中的边角关系，应利用正弦定理或余弦定理将条件统一到边或统一到角．在三角应用题中，应根据已知条件构造确定的三角形，构造的依据是全等三角形的条件．在二轮复习过程中，对于三角函数的复习应突出以下重点：1．三角函数的图象、周期性、单调性、奇偶性等性质以及图像的对称性，充分体现数形结合的思想．2．三角函数与代数、几何、向量的综合联系，尤其是以图形为背景的一类数学问题．3．三角恒等变换的核心是根据角之间的关系，选择适当的三角公式，在求值时应强调三角函数值的符号由角所在象限确定．4．上述一些例题仅供参考，教学中应适当增加一些相似题、变式题，同时还需选择一定量的练习加以巩固．5．本单元二轮专题和课时建议：AO D B C H A O D B C A O D B C。
2013高三数学二轮专题二第1讲三角函数的图象与性质
一个是函数值的符号，一定要特别注意．
热点分类突破
第1讲
(1)点 P 从(1,0)出发，沿单位圆 x2＋y2＝1 逆时针方向
本 运动23π弧长到达 Q 点，则 Q 点的坐标为
()
讲 栏 目
A.－12，
3 2
开 关
C.－12，－
ห้องสมุดไป่ตู้
3 2
B.－ 23，－12 D.－ 23，12
主干知识梳理
第1讲
3. 同角三角函数基本关系式
sin2α＋cos2α＝1，tan
α＝csions
α α(cos
α≠0)．
本 讲
4．正弦、余弦、正切函数的性质
栏 目
函数 y＝sin x
y＝cos x
开
关
图象
y＝tan x
定义域 值域
R
[－1,1]
R
[－1,1]
{x|x≠π2＋kπ，k∈Z}
R
主干知识梳理
本 讲 栏
(2)原式＝－－ssiinn
α·sin α·cos
αα＝tan
α.
根据三角函数的定义，得 tan α＝yx＝－34，
目 开 关
所以原式＝－34. 答案 (1)B
(2)－34
(1)当角的终边所在的位置不是唯一确定的时候要注意
分情况解决，机械地使用三角函数定义就会出现错误．
(2)使用三角函数诱导公式常见的错误有两个，一个是函数名称，
(2)各象限角的三角函数值的符号：一全正，二正弦，三正切，
四余弦．
主干知识梳理
第1讲
2．诱导公式
公式一 sin(2kπ＋α)＝sin α，cos(2kπ＋α)＝cos α，
高三数学专题复习-三角函数图像及其性质
三角函数及其图像性质精讲精练〔2〕【知识点回忆】【考向一】三角函数的定义域【例1】函数)3sin 2lg(cos 21+++=x x y 的定义域是_____。
【精练1】．函数y ＝tan ⎝⎛⎭⎫π4－x 的定义域为( )A.⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪ x ≠kπ－π4，k ∈ZB.⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪ x ≠2kπ－π4，k ∈Z C.⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪ x ≠kπ＋π4，k ∈Z D.⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪x ≠2kπ＋π4，k ∈Z【解析】 ∵π4－x ≠π2＋kπ，∴x ≠－π4－kπ，又∵k ∈Z ，∴A 正确．【答案】 A【考向二】三角函数的单调性【思路点拨】 y ＝A sin(ωx ＋φ)＋B 解析式确实定与性质的研究借助图象或文字表达，先求A 、ω、φ、B 的值后，再依据解析式研究三角函数的单调性、值域、最值及周期性、奇偶性等性质是高考的常见题型．【例1】〔2012湖南文18〕已知函数()()⎪⎭⎫ ⎝⎛<<>∈+=20,0,sin πϕωϕωR x x A x f 的部分图像如图5所示。
〔Ⅰ〕求函数()x f 的解析式； 〔Ⅱ〕求函数()⎪⎭⎫⎝⎛+-⎪⎭⎫ ⎝⎛-=1212ππx f x f x g 的单调递增区间。
【精练1】3．(2013·佛山模拟)函数y ＝2sin ⎝⎛⎭⎫π6－2x x ∈[0，π]为增函数的区间为( )A.⎣⎡⎦⎤0，π3B.⎣⎡⎦⎤π12，712πC.⎣⎡⎦⎤π3，56πD.⎣⎡⎦⎤56π，π 【解析】 因为y ＝－2sin ⎝⎛⎭⎫2x －π6，由π2＋2k π≤2x －π6≤32π＋2k π，k ∈Z 得π3＋k π≤x ≤56π＋k π，k ∈Z ，即函数在R 上的增区间为⎣⎡⎦⎤π3＋k π，56π＋k πk ∈Z ，当k ＝0时增区间为⎣⎡⎦⎤π3，56π.故选C. 【答案】 C【精练1】〔2012全国新课标9〕已知0ω>，函数()sin()4f x x πω=+在(,)2ππ上单调递减。
【高三数学】二轮复习：专题二 第1讲 三角函数的图象与性质
)
A.sin x + 3
B.sin 3 -2x
C.cos 2x + 6
D.cos
5
-2x
6
答案 BC
解析 由题中函数图象可知2 =
2π π
+
3 6
x=
2
5π
5π
π
2π
= 2,则 T=π,所以 ω= =
3π
2π
=2,当
π
2π
= 12时,y=-1,所以 2× 12+φ= 2 +2kπ(k∈Z),解得 φ=2kπ+ 3 (k∈Z),所
看图比较容易得出,困难的是求ω和φ,常用如下两种方法
(1)由ω= 2 即可求出ω;确定φ时,若能求出离原点最近的右侧图象上升(或
T
下降)的“零点”横坐标x0,则令ωx0+φ=0(或ωx0+φ=π),即可求出φ.
(2)代入图象中已知点的坐标,将一些已知点(最高点、最低点或“零点”)坐
标代入解析式,再结合图象解出ω和φ,若对A,ω的符号或对φ的范围有要求,
高考数学
专题二
第1讲 三角函数的图象与性质
1.“1”的变换
1=sin 2α+cos 2α=cos 2α(1+tan2α).
这是针对函数中的单个变量x
2.三角函数图象变换
而言的
三角函数y=sin ωx的图象向左或向右平移φ(φ>0)个单位长度,得到的图象
对应函数解析式是y=sin[ω(x+φ)]或y=sin[ω(x-φ)],而不是y=sin(ωx+φ)或
以函数的解析式为 y=sin 2 +
高考总复习优化设计二轮用书数学考点突破练1 三角函数的图象与性质
π
π
因为-2<φ<2,所以 φ=-6,
π
所以 f(x)=Acos(2x-6).
π
π
7π
令 2kπ≤2x-6≤2kπ+π,解得12+kπ≤x≤12+kπ,k∈Z.
π
7π
π 7π
当 k=0 时,可得 ≤x≤ ,所以函数 f(x)在区间( , )内单调递减,故
12
12
12 12
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18
D.sin 5+cos 5
解析 由题得, 1 + sin10 = sin2 5 + 2sin5cos5 + cos2 5
=
(sin5 + cos5)2 =|sin 5+cos 5|.
3π
7π
又 <5< ,则
2
4
cos 5>0>sin 5,且|cos 5|<|sin 5|,
所以 1 + sin10=-(sin 5+cos 5)=-sin 5-cos 5.
π
C.6
5π
D.12
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18
解析 如图所示,区域①和区域③面积相等,故阴影部分的面积即为矩形
ABCD的面积.由题可得AB=3,
设函数 f(x)的最小正周期为 T,则 AD=T,
由题意可得 3T=6π,解得
即
1
f(x)=tan(2x+φ).
2024
高考总复习优化设计
GAO KAO ZONG FU XI YOU HUA SHE JI
2023年高考数学二轮复习第二篇经典专题突破专题一三角函数和解三角形第1讲三角函数的图象和性质
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专题一 三角函数和解三角形
高考二轮总复习 • 数学
所以 ω＝－16＋23k，k∈Z， 所以 ω＝52，f(x)＝sin 52x＋π4＋2， 所以 fπ2＝sin 54π＋π4＋2＝1. 故选 A.
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专题一 三角函数和解三角形
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2．(2022·全国甲卷)设函数 f(x)＝sin ωx＋π3在区间(0，π)恰有三个极
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【解析】 f′(x)＝－sin x＋sin x＋(x＋1)cos x＝(x＋1)cos x，所以 f(x) 在区间0，π2和32π，2π上 f′(x)>0，即 f(x)单调递增；在区间π2，32π上 f′(x)<0， 即 f(x)单调递减，又 f(0)＝f(2π)＝2，fπ2＝π2＋2，f32π＝－32π＋1＋1＝－ 32π，所以 f(x)在区间[0，2π]上的最小值为－32π，最大值为π2＋2.故选 D.
值点、两个零点，则 ω 的取值范围是
( C)
A．53，163
B．53，169
C．163，83
D．163，169
专题一 三角函数和解三角形
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【解析】 依题意可得 ω>0，因为 x∈(0，π)，所以 ωx＋π3∈π3，ωπ＋π3，
要使函数在区间(0，π)恰有三个极值点、两个零点，
又 y＝sin x，x∈π3，3π的图象如下所示：
则52π<ωπ＋π3≤3π，解得163<ω≤83，即 ω∈163，83.故选 C.
专题一 三角函数和解三角形
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3．(2022·全国甲卷)将函数 f(x)＝sin ωx＋π3(ω>0)的图象向左平移π2个 单位长度后得到曲线 C，若 C 关于 y 轴对称，则 ω 的最小值是 ( C )