概率论知识点总结
概率论知识点
第一章 随机事件及其概率§1.1 随机事件及其运算随机现象：概率论的基本概念之一。
是人们通常说的偶然现象。
其特点是,在相同的条件下重复观察时,可能出现这样的结果,也可能出现那样的结果,预先不能断言将出现哪种结果.例如,投掷一枚五分硬币,可能“国徽”向上,也可能“伍分”向上;从含有5件次品的一批产品中任意取出3件,取到次品的件数可能是0,1,2或3.随机试验：概率论的基本概念之一.指在科学研究或工程技术中,对随机现象在相同条件下的观察。
对随机现象的一次观察(包括试验、实验、测量和观测等),事先不能精确地断定其结果,而且在相同条件下可以重复进行,这种试验就称为随机试验。
样本空间: 概率论术语。
我们将随机试验E 的一切可能结果组成的集合称为E 的样本空间,记为Ω。
样本空间的元素,即E 的每一个结果,称为样本点。
随机事件：实际中,在进行随机试验时,人们常常关心满足某种条件的那些样本点所组成的集合.称试验E 的样本空间Ω的子集为E 的随机事件,简称事件.在每次试验中,当且仅当这一子集中的一个样本点出现时,称这一事件发生.特别,由一个样本点组成的单点集,称为基本事件.样本空间Ω包含所有的样本点,它是Ω自身的子集,在每次试验中它总是发生的,称为必然事件.空集Ø不包含任何样本点,它也作为样本空间的子集,它在每次试验中都不发生,称为不可能事件.互斥事件（互不相容事件）: 若事件A 与事件B 不可能同时发生，亦即ΦB A = ，则称事件A 与事件B 是互斥(或互不相容)事件。
互逆事件: 事件A 与事件B 满足条件ΦB A = ，Ω=B A ,则称A 与B 是互逆事件，也称A 与B 是对立事件,记作A B =（或B A =）。
互不相容完备事件组：若事件组n A A A ,,21满足条件ΦA A j i = ，（n 1,2j i, =），Ω== n 1i i A,则称事件组n A A A ,,21为互不相容完备事件组(或称n A A A ,,21为样本空间Ω的一个划分)。
概率论的知识点总结
概率论的知识点总结1.概率的基本概念概率是描述随机事件发生可能性的数学工具，其基本概念包括样本空间、事件和概率空间。
样本空间是随机试验的所有可能结果的集合，事件是样本空间的子集，概率空间包括样本空间和定义在样本空间上的概率测度。
2.概率分布概率分布描述了随机变量可能取值的概率情况。
概率分布分为离散分布和连续分布两种。
常见的离散分布包括伯努利分布、二项分布、泊松分布等；常见的连续分布包括均匀分布、正态分布、指数分布等。
概率密度函数和累积分布函数是描述连续分布的重要工具。
3.随机变量随机变量是一种具有随机性的变量，它可以取样本空间中的某些值。
随机变量分为离散随机变量和连续随机变量。
离散随机变量的概率分布由概率质量函数描述，连续随机变量的概率分布由概率密度函数描述。
4.数学期望和方差数学期望是随机变量的平均值，描述了随机变量的位置参数；方差是随机变量与其数学期望之间的离散程度，描述了随机变量的分散程度。
数学期望和方差是描述随机变量性质的重要指标，它们具有许多重要的性质，如线性性质、切比雪夫不等式等。
5.大数定律大数定律是描述随机变量序列平均值的收敛性质的定理。
大数定律包括弱大数定律和强大数定律两种。
弱大数定律描述了随机变量序列平均值收敛于数学期望的概率性质，强大数定律描述了随机变量序列平均值几乎必然收敛于数学期望的性质。
6.中心极限定理中心极限定理是概率论中一个重要的定理，描述了大量独立随机变量的和呈现出正态分布的性质。
中心极限定理包括林德伯格-莱维中心极限定理、李亥莱中心极限定理等。
中心极限定理在统计学和金融学中具有重要的应用价值，它解释了正态分布在自然界和人类活动中的普遍性。
以上是概率论的一些重要知识点，概率论作为一门基础数学学科，不仅具有重要的理论意义，而且在实际应用中有着广泛的应用价值。
随着数据科学和人工智能的快速发展，概率论的应用前景将更加广阔。
概率论知识点总结归纳
概率论知识点总结归纳概率论是数学中的一个分支，研究随机现象发生的规律性及其数学模型。
概率论广泛应用于统计学、金融、生物学等领域。
本文将对概率论的基本概念、概率计算方法、常见概率分布以及概率论在实际问题中的应用进行总结归纳。
一、基本概念1. 随机试验：在相同的条件下可以重复进行的实验，结果不确定。
2. 样本空间：随机试验所有可能结果的集合，用S表示。
3. 事件：由样本空间S的一个或多个元素构成的子集，表示试验结果的一个集合。
4. 概率：事件发生的可能性大小的度量，用P(A)表示。
二、概率计算方法1. 古典概型：指随机试验中每个基本事件发生的概率相等的情况。
计算概率时可以根据样本空间和事件个数进行计算。
2. 频率派概率：根据大量实验的频率来计算概率，概率等于事件发生的次数与试验次数之比的极限。
3. 主观概率：根据个人主观判断来计算概率，没有明确的计算方法。
三、常见概率分布1. 离散概率分布：表示随机变量在有限取值集合上的概率分布。
a. 伯努利分布：只有两个可能取值的离散概率分布。
b. 二项分布：多次伯努利试验的结果相加，每次试验相互独立。
c. 泊松分布：表示单位时间或空间内随机事件发生的次数的概率分布。
2. 连续概率分布：表示随机变量在一个区间上的概率分布。
a. 均匀分布：随机变量在一段区间上取值的概率相等。
b. 正态分布：最常见的连续概率分布，具有钟形曲线的特点。
四、概率论的应用1. 统计学：概率论是统计学的基础，通过概率论可以推导出统计学各种假设检验和置信区间的计算方法。
2. 金融学：概率论在金融学中被广泛应用，例如在风险管理、期权定价、投资组合构建等方面。
3. 生物学：概率论能够帮助解释生物学中的随机现象，如遗传、进化等过程中的概率计算。
4. 工程学：概率论可以用于工程问题的风险评估和可靠性分析，如工程结构的寿命预测等。
总结：概率论是研究随机现象的规律性及其数学模型的学科，它包括了基本概念、概率计算方法、常见概率分布以及在各个领域的应用。
概率知识点总结
概率知识点总结1、确定性现象：在一定条件下必然出现的现象。
2、随机现象：在一定条件下可能发生也可能不发生的现象。
3、概率论：是研究随机现象统计规律的科学。
4、随机试验：对随机现象进行的观察或实验统称为随机试验。
5、样本点：随机试验的每个可能出现的实验结果称为这个试验的一个样本点。
6、样本空间：所有样本点组成的集合称为这个试验的样本空间。
7、随机事件：如果在每次试验的结果中，某事件可能发生，也可能不发生，则这一事件称为随机事件。
8、必然事件：某事件一定发生，则为必然事件。
9、不可能事件：某事件一定不发生，则为不可能事件。
10、基本事件：有单个样本点构成的集合称为基本事件。
11、任一随机事件都是样本空间的一个子集，该子集中任一样本点发生，则该事件发生。
利用集合论之间的关系和运算研究事件之间的关系和运算。
〔1〕事件的包含A B⊂〔2〕事件的并〔和〕A B〔3〕事件的交〔积〕A B〔4〕事件的差A B A B-=-=AB A〔5〕互不相容事件〔互斥事件〕A Bφ=〔6〕对立事件〔互逆事件〕A B Ω=，A B φ=，记B A = 〔7〕完备事件组：事件12,,,n A A A 两两互不相容，且1n A A AΩ=〔8〕事件之间的运算规律：交换律、结合律、分配率、De Morgan 定理 12、概率()1P Ω=，()0P φ=如果12,,,n A A A 两两互不相容，则112()()()()n n P A AP A P P A A A =+++如果,A B 是任意两个随机事件，则()()()P A B P A P AB -=- 如果B A ⊂，则()()()P A B P A P B -=-()()()()P A B P A P B P AB =+-()()()()()()()()P A B C P A P B P C P AB P AC P BC P ABC =++---+ 1111121()()()()()()(1())()nn j i j i ni n j k n i i i j k nP A AP A P A P A P A P A P A P A A A A ≤<≤=-≤<<≤=-+--+∑∑∑12、古典概型每次试验中，所有可能发生的结果只有有限个，即样本空间是有限集 每次试验中，每一个结果发生的可能性相同()A P A =包含的基本事件数试验的基本事件总数13、条件概率：()(|)()P AB P A B P B =为事件B 发生的条件下，事件A 发生的条件概率加法公式：()()()()P A B P A P B P AB =+-，若,A B 互斥，则()()()P A B P A P B =+乘法公式：()()(|)()(|)P AB P A P B A P B P A B ==，若,A B 独立，则()()()P AB P A P B = 全概率公式：1221()()(|)()(|)()(|)n n P A P B P A B P B P A B P B P A B =+++贝叶斯公式：11()()(|)(|)()()(|)()(|)k k k n n k P AB P B P A B P B A P A P B P A B P B P A B =+=+14、事件独立：如果(|)()P B A P B =，则称事件B 对于事件A 独立，此时，事件A 对于事件B 独立，称,A B 相互独立。
概率论知识点总结
pij pig pgj
几 乎 处 处 相 等
f(x,y) fX(x)fY(y)
7
r.v.的函数 的分布
利用事件相等则概率相等的 用分布函数法求函数的分布
概念求函数的分布律
函数(或分布密度)
二维r.v.的函数 的分布
FZ(z)P{Zz}P{g(X,Y)z}
P{Zzk} "zk的 所 有 原 像 点 概 率 之 和 "
概念 样本点、样本空间、基本事件、随机事件、必然事件、不可能事件
1o和 : AB
2o积 : AB
随
3o差 : AB
运算
机 及 1o包 含 : AB
关系
事
2o相 等 : AB
3o互 不 相 容
件
4o对立A
运算 性质
相 应 于 集 合 运 算 性 质 均 成 立
3
1o公理化定义: 对 样 本 空 间 中 任 意 事 件 A , 定 义 数 P ( A ) 满 足 :
pij
g( xi , yjd P{g(X ,Y ) z} dz
(在 该 导 数 连 续 点 处 )
和
的
fZ(z)f(zy,y)dy
fZ(z)f(x,zx)dx
分
布
特别 :(卷积公式)
X,Y独 立
fZ(z) fX(zy)fY(y)dy
X,Y独 立
fZ(z) fX(x)fY(zx)dx
X,Y独立
极 值
Fmax(X,Y)(z)
分 布
X,Y独立
Fmin(X,Y)(z)
8
r.v.的期望
定 义
期 望
r.v.的函 数的
期望
E(X) xk pk k1
概率论必备知识点
概率论必备知识点概率论是一门研究随机现象数量规律的数学分支，它在各个领域都有着广泛的应用，从物理学、生物学、经济学到计算机科学等。
以下是一些概率论中的必备知识点。
一、随机事件与概率随机事件是指在一定条件下，可能出现也可能不出现的事件。
例如，抛一枚硬币，正面朝上就是一个随机事件。
概率则是用来衡量随机事件发生可能性大小的数值。
概率的取值范围在 0 到 1 之间，0 表示不可能发生，1 表示必然发生。
计算概率的方法有多种。
对于等可能事件，概率等于事件所包含的基本结果数除以总的基本结果数。
例如，掷一个骰子，出现点数为 3的概率就是 1/6，因为骰子共有 6 个面，每个面出现的可能性相等，而点数为 3 的只有 1 种情况。
二、古典概型古典概型是一种最简单的概率模型。
在古典概型中，试验的结果是有限的，并且每个结果出现的可能性相等。
例如，从装有 5 个红球和 3 个白球的袋子中随机取出一个球，求取出红球的概率，这就是一个古典概型问题。
计算古典概型的概率，可以使用公式：P(A) ＝ n(A) ／n(Ω)，其中P(A)表示事件 A 发生的概率，n(A)表示事件 A 包含的基本结果数，n(Ω)表示总的基本结果数。
三、几何概型几何概型是古典概型的推广，当试验的结果是无限的，且每个结果出现的可能性相等时，就可以使用几何概型来计算概率。
例如，在一个时间段内等待公交车，求等待时间不超过 5 分钟的概率。
在几何概型中，概率等于事件对应的区域长度（面积或体积）除以总的区域长度（面积或体积）。
四、条件概率条件概率是指在已知某个事件发生的条件下，另一个事件发生的概率。
例如，已知今天下雨，明天晴天的概率就是一个条件概率。
条件概率的计算公式为：P(B|A) ＝ P(AB) ／ P(A)，其中 P(B|A)表示在事件 A 发生的条件下事件 B 发生的概率，P(AB)表示事件 A 和事件 B 同时发生的概率，P(A)表示事件 A 发生的概率。
概率论与数理统计知识点总结
概率论与数理统计知识点总结一、概率论知识点总结：1.随机事件：随机事件是指在一次试验中，可能发生也可能不发生的事件。
例如：掷硬币的结果、抽取扑克牌的花色等。
2.概率：概率是描述随机事件发生可能性大小的数值。
概率的取值范围是[0,1]，表示事件发生的可能性大小，0表示不可能发生，1表示一定会发生。
3.古典概型：古典概型是指每种可能的结果发生的概率相等的情形。
例如：掷骰子的结果、抽取彩色球的颜色等。
4.随机变量：随机变量是用来描述试验结果的数值，它的取值是根据随机事件的结果确定的。
例如：掷骰子的点数、抽取扑克牌的点数等。
5.概率分布：随机变量的概率分布描述了每个取值发生的概率。
常见的概率分布有离散概率分布和连续概率分布，如二项分布、正态分布等。
6. 期望值：期望值是衡量随机变量取值的平均值。
对于离散型随机变量，期望值=E[X]=∑[xP(X=x)]；对于连续型随机变量，期望值=E[X]=∫[x f(x)dx]，其中f(x)为概率密度函数。
7. 方差：方差是衡量随机变量取值与期望值之间的偏离程度。
方差=Var(X)=E[(X-E[X])^2]。
8.独立性：两个随机事件或随机变量之间的独立性表示它们的发生与否或取值无关联。
独立性的判定通常通过联合概率、条件概率等来进行推导。
二、数理统计知识点总结：1.样本与总体：在统计学中，样本是指从总体中选取的具体观测数据。
总体是指要研究的对象的全部个体或事物的集合。
2.参数与统计量：参数是描述总体特征的数值，如总体均值、总体方差等。
统计量是根据样本计算得到的参数估计值，用来估计总体参数。
3.抽样方法：抽样方法是从总体中选取样本的方法，常见的抽样方法有简单随机抽样、系统抽样、整群抽样等。
4.统计分布：统计分布是指样本统计量的分布。
常见的统计分布有t分布、F分布、x^2分布等，其中t分布适用于小样本、F分布适用于方差比较、x^2分布适用于拟合优度检验等。
5.点估计与区间估计：点估计是以样本统计量为基础，估计总体参数的数值。
概率知识点归纳整理总结
概率知识点归纳整理总结概率基础知识1. 样本空间和事件概率论的基本概念是样本空间和事件。
样本空间是一个随机试验所有可能结果的集合，通常用Ω表示。
事件是样本空间的一个子集，表示随机试验的一些结果。
事件的概率描述了该事件发生的可能性有多大。
2. 概率的定义在样本空间Ω中，事件A包含n(A)个基本事件，概率P(A)定义为P(A)=n(A)/n(Ω)，即事件A的发生可能性是A包含的基本事件数目与样本空间的基本事件数目之比。
3. 概率的性质概率具有以下几个性质：（1）非负性：对于任意事件A，有0≤P(A)≤1；（2）规范性：样本空间的概率为1，即P(Ω)=1；（3）可列可加性：若事件A1，A2，A3，...两两互斥，则P(A1∪A2∪A3∪...)=P(A1)+P(A2)+P(A3)+...。
4. 条件概率条件概率是指在事件B已经发生的条件下，事件A发生的概率，表示为P(A|B)，其定义为P(A|B)=P(A∩B)/P(B)。
5. 独立事件两个事件A和B称为独立事件，当且仅当P(A∩B)=P(A)P(B)。
6. 贝叶斯定理贝叶斯定理是用来计算逆概率的定理，它表示为P(A|B)=P(B|A)P(A)/P(B)。
概率的应用1. 排列与组合排列和组合是概率论的一个重要应用。
排列是指从n个不同元素中取出m个元素进行排列的种数，用P(n,m)表示，其公式为P(n,m)=n!/(n-m)!。
组合是指从n个不同元素中取出m个元素进行组合的种数，用C(n,m)表示，其公式为C(n,m)=n!/(m!(n-m)!）。
2. 事件的独立性在概率论中，独立性是一个重要的概念。
事件A和事件B称为独立事件，如果P(A∩B)=P(A)P(B)，即事件A的发生与事件B的发生互不影响。
在实际应用中，很多情况下要求两个事件的独立性，以便于计算事情发生的可能性。
3. 随机变量随机变量是概率论中的一个重要概念，它是一个从样本空间到实数的映射。
随机变量可分为离散型和连续型两种。
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概率论总结目录一、前五章总结第一章随机事件与概率 (1)第二章随机变量及其分布 (5)第三章多维随机变量及其分布…………………１０第四章随机变量得数字特征……………………1３第五章极限定理………………………………。
1８二、学习概率论这门课得心得体会 (20)一、前五章总结第一章随机事件与概率第一节:1、、将一切具有下面三个特点:(１)可重复性(2)多结果性(3)不确定性得试验或观察称为随机试验,简称为试验,常用E表示。
在一次试验中,可能出现也可能不出现得事情(结果)称为随机事件,简称为事件、不可能事件:在试验中不可能出现得事情,记为Ф。
必然事件:在试验中必然出现得事情,记为S或Ω。
２、我们把随机试验得每个基本结果称为样本点,记作e 或ω、全体样本点得集合称为样本空间. 样本空间用S或Ω表示。
一个随机事件就就是样本空间得一个子集。
基本事件—单点集,复合事件—多点集一个随机事件发生,当且仅当该事件所包含得一个样本点出现。
事件间得关系及运算,就就是集合间得关系与运算。
3、定义:事件得包含与相等若事件A发生必然导致事件B发生,则称Ｂ包含A,记为B⊃A或A⊂Ｂ。
若A⊂B且A⊃B则称事件A与事件B相等,记为Ａ=B。
定义:与事件“事件A与事件B至少有一个发生”就是一事件,称此事件为事件A与事件B得与事件、记为A∪B。
用集合表示为: A∪B＝{e｜e∈A,或ｅ∈B｝、定义:积事件ﻭ称事件“事件Ａ与事件B都发生”为A与B得积事件,记为Ａ∩B或AＢ,用集合表示为AB=｛ｅ|e∈A且e∈Ｂ｝。
定义:差事件称“事件Ａ发生而事件B不发生,这一事件为事件A与事件B得差事件,记为A-B,用集合表示为 A—Ｂ=｛e｜e∈A,e∉B} 。
定义:互不相容事件或互斥事件ﻭ如果A,B两事件不能同时发生,即ＡＢ=Φ ,则称事件A与事件B就是互不相容事件或互斥事件。
定义6:逆事件／对立事件称事件“A不发生"为事件A得逆事件,记为Ā。
A与Ā满足:A ∪Ā= S,且AĀ=Φ。
运算律:设A,Ｂ,C为事件,则有(1)交换律:Ａ∪Ｂ＝B∪A,ＡB=ＢA(２)结合律:Ａ∪(B∪C)=(A∪B)∪Ｃ=Ａ∪B∪ＣA(ＢC)=(AB)C=ABC(３)分配律:A∪(B∩Ｃ)＝(A∪Ｂ)∩(Ａ∪C)A(B∪Ｃ)=(A∩Ｂ)∪(Ａ∩Ｃ)= ＡB∪AC(４)德摩根律:小结:事件得关系、运算与运算法则可概括为四种关系:包含、相等、对立、互不相容;四种运算:与、积、差、逆;四个运算法则:交换律、结合律、分配律、对偶律、第二节:1、设试验E就是古典概型, 其样本空间S由n个样本点组成 , 事件A由k个样本点组成. 则定义事件A得概率为:P(Ａ)=ｋ／ｎ=Ａ包含得样本点数／S中得样本点数、2、几何概率:设事件A就是S得某个区域,它得面积为μ(A),则向区域S上随机投掷一点,该点落在区域A得概率为:P(A)=μ(A)/μ(S)假如样本空间S可用一线段,或空间中某个区域表示,并且向S上随机投掷一点得含义如前述,则事件A得概率仍可用(*)式确定,只不过把理解为长度或体积即可、概率得性质:(1)Ｐ(φ)＝0,(2)(3)(4) 若Ａ⊂B,则P(Ｂ－A)=P(Ｂ)－P(A), Ｐ(B) ≥ P(A)、第四节:条件概率:在事件B发生得条件下,事件A发生得概率称为Ａ对B得条件概率,记作P(Ａ｜B).而条件概率Ｐ(A|B)就是在原条件下又添加“B发生"这个条件时A发生得可能性大小,即P(A|Ｂ)仍就是概率、乘法公式: 若P(Ｂ)＞0,则P(AB)=P(B)P(Ａ|B)P(A)>0,则P(AB)＝P(A)P(Ｂ｜A)全概率公式:设A1,A2,…,A n就是试验E得样本空间Ω得一个划分,且Ｐ(Ａi)〉0,i =1,2,…,n, B就是任一事件, 则贝叶斯公式:设A1,A2,…,Ａn就是试验E得样本空间Ω得一个划分,且Ｐ(Ａi)〉0,i =１,2,…,ｎ, B就是任一事件且Ｐ(B)＞0, 则第五节 :若两事件Ａ、B满足P(AB)= P(A) P(B) 则称A、B独立,或称Ａ、B相互独立.将两事件独立得定义推广到三个事件:对于三个事件A、B、C,若Ｐ(AC)＝Ｐ(A)P(C) P(AB)= Ｐ(Ａ)P(B)P(ＡBC)= Ｐ(A)P(Ｂ)P(C) Ｐ(BC)＝P(B)P(C) 四个等式同时成立,则称事件A、B、C相互独立.第六节:定理对于n重贝努利试验,事件A在n次试验中出现k次得概率为总结:1.条件概率就是概率论中得重要概念,其与独立性有密切得关系,在不具有独立性得场合,它将扮演主要得角色、2.乘法公式、全概公式、贝叶斯公式在概率论得计算中经常使用,请牢固掌握。
3.独立性就是概率论中得最重要概念之一,亦就是概率论特有得概念,应正确理解并应用于概率得计算。
4.贝努利概型就是概率论中得最重要得概型之一,在应用上相当广泛。
第二章:随机变量及其分布1 、随机变量:分为离散型随机变量与连续型随机变量。
分布函数:设 X就是一个r、v,x为一个任意实数,称函数F(Ｘ)=P(X≤x)为X得分布函数。
X得分布函数就是Ｆ(ｘ)记作X ～F(ｘ)或F X(x).如果将X瞧作数轴上随机点得坐标,那么分布函数F(x) 得值就表示X落在区间 (ｘ≤X)、3、离散型随机变量及其分布定义1 :设xｋ(k=1,2, …)就是离散型随机变量X所取得一切可能值,称等式P(Ｘ=x k)=ＰK,为离散型随机变量Ｘ得概率函数或分布律,也称概率分布、其中ＰK,≥０;ΣP k=1分布律与分布函数得关系:(1)已知随机变量X得分布律,可求出X得分布函数:①设一离散型随机变量X得分布律为ﻭP｛X=x k｝＝ｐk (k=1,2,…)ﻭ由概率得可列可加性可得X得分布函数为②已知随机变量X得分布律, 亦可求任意随机事件得概率。
(2)已知随机变量X得分布函数,可求出X得分布律:一、三种常用离散型随机变量得分布、 1(０-１)分布:设随机变量X只可能取0与1两个值,它得分布律为P{X=k｝=pｋ(1—p)1—k , ｋ＝0,1。
(0＜p＜1)则称X服从(０-1)分布,记为Ｘ~(0—1)分布。
(0—1)分布得分布律用表格表示为:X 0 １P 1－p ｐ易求得其分布函数为２、二项分布(binomiaｌ distribuｔｉｏn):定义:若离散型随机变量Ｘ得分布律为其中0＜p<1,q＝１—p,则称X服从参数为ｎ,p得二项分布,记为Ｘ~B(ｎ,p)、4、泊松分布得定义及图形特点设随机变量Ｘ所有可能取得值为0 , 1 , 2 , … , 且概率分布为:其中入>０就是常数,则称X 服从参数为入得泊松分布,记作X～P(入)、、连续型随机变量1概率密度f(x)得性质(1)ｆ(ｘ)≥0(2)(3).Ｘ落在区间(ｘ1,ｘ2)得概率几何意义:X落在区间(x1,x2)得概率P{x1<X≤x2｝等于区间(x１,x2)上曲线ｙ=ｆ(ｘ)之下得曲边梯形得面积.(4)。
若f(ｘ)在点ｘ处连续,则有F′(x)＝ｆ(x)。
.概率密度f(x)与分布函数F(x)得关系:(1)若连续型随机变量X具有概率密度f(x),则它得分布函数为(2)若连续型随机变量Ｘ得分布函数为F(ｘ),那么它得概率密度为ｆ(x)=F′(x)。
注意:对于F(x)不可导得点ｘ处,ｆ(x)在该点x处得函数值可任意给出。
三种重要得连续型分布:1.均匀分布(Uｎiform Distribution) 设连续随机变量X具有概率密度则称Ｘ在区间(a,b)上服从均匀分布,记为X～U(a,b)。
若Ｘ～U(a,b),则容易计算出X得分布函数为２。
指数分布入〉0则称X服从参数为入得指数分布。
常简记为Ｘ~Ｅ( 入)指数分布得分布函数为指数分布得一个重要特性就是”无记忆性”、设随机变量Ｘ满足:对于任意得ｓ〉o,t>0,有则称随机变量Ｘ具有无记忆性、３、正态分布若r。
v X得概率密度为其中μ与都就是常数, 任意,μ〉0,则称X服从参数为μ与得正态分布. 记作f (x)所确定得曲线叫作正态曲线.得正态分布称为标准正态分布.标准正态分布得重要性在于,任何一个一般得正态分布都可以通过线性变换转化为标准正态分布.随机变量函数得分布设X为连续型随机变量,具有概率密度f x(x),求Y＝g(X) (g连续)得概率密度。
1。
一般方法——分布函数法可先求出Y得分布函数F Y(y):因为FＹ(y)=Ｐ｛Ｙ≤y｝=P{ｇ(X)≤y},设lｙ＝{x|g(ｘ)≤ｙ｝则再由F Y(ｙ)进一步求出Y得概率密度2、设连续型随机变量X得密度函数为 X(x), y＝ｆ(x)连续, 求Y= ｆ(X)得密度函数得方法有三种:(1)分布函数法;(２)若y=f(x)严格单调,其反函数有连续导函数,则ﻭ可用公式法;(３)若y＝g(x)在不相重叠得区间I1,I2,…上逐段严格单调,其反函数分别为h 1(ｙ), ｈ２(y), …,且h '1(y), h'2(y),ﻭ …,均为连续函数,则Ｙ= g(X)就是连续型随机变量,ﻭ 其密度函数为对于连续型随机变量,在求Y ＝g (X ) 得分布时,关键得一步就是把事件 { ｇ(Ｘ)≤ y ｝ 转化为X 在一定范围内取值得形式,从而可以利用 X 得分布来求 P { g (X )≤ ｙ ｝、。
第三章 、多维随机变量。
分布函数得性质对于任意固定得y, 对于任意固定得x,离散型随机变量得分布、连续型随机变量及其概率密度 性质 .,),(},{)}(){(),( :,,,),( 的联合分布函数和量或称为随机变的分布函数称为二维随机变量二元函数对于任意实数是二维随机变量设Y X Y X y Y x X P y Y x X P y x F y x Y X ≤≤=≤≤= ),,(),(,,),(11212o y x F y x F x x y y x y x F ≥>时当意固定的即对于任的不减函数和是变量,0),(lim ),(==-∞-∞→y x F y F x ,0),(lim ),(==-∞-∞→y x F x F y ,0),(lim ),(==-∞-∞-∞→-∞→y x F F y x .1),(lim ),(==+∞+∞+∞→+∞→y x F F y x .,),(,)0,(),(,),0(),(3o 也右连续关于右连续关于即y x y x F y x F y x F y x F y x F +=+=,,),,(),,(421212211o y y x x y x y x <<对于任意.0),(),(),(),( 21111222≥-+-y x F y x F y x F y x F 有. ,),( ,,2,1,,},{,,2,1,),,(),(的联合分布律和或随机变量的分布律变量称此为二维离散型随机记值为所有可能取的设二维离散型随机变量Y X Y X j i p y Y x X P j i y x Y X ij j i j i =====.1,011=≥∑∑∞=∞=i j ij ij p p 其中.1),(d d ),()2(=∞∞=⎰⎰∞+∞-∞+∞-F y x y x f .d d ),(}),{(⎰⎰=∈G y x y x f G Y X P .),(),(,),(),()4(2y x f y x y x F y x y x f =∂∂∂则有连续在若边缘分布 1离散型随机变量得边缘分布律连续型随机变量得边缘分布 随机变量得独立性: 两个随机变量函数得分布 一、 离散型随机变量函数得分布 二、 连续型随机变量函数得分布 第四章、、随机变量得数字特征随机变量得数学期望 E (X )就是一个实数,而非变量,它就是一种加权平均,与一般得平均值不同 , 它从本质上体现了随机变量 X 取可能值得真正得平均值, 也称均值。