2021年 中考数学 培优专题 图形的变化(含答案)
2021 中考数学培优专题图形的变化
一、选择题(本大题共12道小题)
1. 下图是五个相同的小正方体搭成的几何体,其左视图是( )
2. 如图,在平面直角坐标系xOy中,将四边形ABCD先向下平移,再向右平移,得到四边形A1B1C1D1,已知A(-3,5),B(-4,3),A1(3,3),则B1的坐标为()
A.(1,2)
B.(2,1)
C.(1,4)
D.(4,1)
3. 在汉字“生活中的日常用品”中,是轴对称图形的有()
A.2个
B.3个
C.4个
D.5个
4. 如图,△ABC中,点D在BC上,∠B=62°,∠C=53°,将点D分别以AB,AC所在直线为对称轴,画出对称点E,F,并连接AE,AF,则∠EAF的度数为()
A.124°
B.115°
C.130°
D.106°
5. 如图所示的几何体是由个大小相同的小立方块搭成,它的左视图是
A.B.
C.D.
6. 如图,两个半圆分别以P,O为圆心,它们成中心对称,点A1,P,B1,B2,O,A2在同一条直线上,则对称中心为()
A.A2P的中点B.A1B2的中点
C.A1O的中点D.PO的中点
7. 在数学课上,老师提出如下问题:如图,已知△ABC中,AB 8. 如图,分别以线段AB的两端点A,B为圆心,大于1 2 AB的长为半径画弧,在线段AB的两侧分别交于点E,F,作直线EF交AB于点O.在直线EF上任取一点P(不与点O重合),连接PA,PB,则下列结论不一定成立的是( ) A.PA=PB B.OA=OB C.OP=OF D.PO⊥AB 9. 如图是一个由5个相同正方体组成的立体图形,它的主视图是 A.B. C.D. 10. 图中序号(1)(2)(3)(4)对应的四个三角形都是由△ABC进行了一次变换之后得到的,其中是通过轴对称变换得到的是() A.(1) B.(2) C.(3) D.(4) 11. 如图是由4个相同的小正方体搭成的几何体,则该几何体的主视图是 A.B. C.D. 12. 如图,将△ABC绕点B逆时针旋转α,得到△EBD,若点A恰好在ED的延长线上,则∠CAD的度数为( ) A.90°-αB.αC.180°-αD.2α 二、填空题(本大题共12道小题) 13. 如图,将Rt△ABC的斜边AB绕点A顺时针旋转α(0°<α<90°)得到AE,直角边AC绕点A逆时针旋转β(0°<β<90°)得到AF,连接EF,若AB=3,AC=2,且α+β=∠B,则EF=. 14. 如图,在矩形ABCD中,AD=3,将矩形ABCD绕点A逆时针旋转,得到矩形AEFG,点B的对应点E落在CD上,且DE=EF,则AB的长为. 15. 如图,把Rt△ABC绕点A逆时针旋转40°,得到Rt△AB′C′,点C′恰好落在边AB上,连接BB′,则∠BB′C′=________°. 16. 如图,有一张矩形纸片ABCD,AB=8,AD=6,先将矩形纸片ABCD折叠,使边AD落在边AB上,点D落在点E处,折痕为AF;再将△AEF沿EF翻折,AF与BC相交于点G,则△GCF的周长为. 17. 画图:试画出下列正多边形的所有对称轴,并完成表格. 根据上表,猜想正n边形有条对称轴. 18. 如图所示,在Rt△ABC中,∠B=90°,AB=2 5,BC=5.将△ABC绕点A逆时针旋转90°得到△AB′C′,连接B′C,则B′C=__ ______. 19. 数学活动课上,两名同学围绕作图问题:“如图①,已知直线l和直线l外一点P,用直尺和圆规作直线PQ,使PQ⊥直线l于点Q.”分别作出了如图②③所示的两个图形,其中作法正确的为图(填“②”或“③”). 20. 如图,将△ABC绕点C(0,1)旋转180°得到△A′B′C,设点A的坐标为(a,b),则 点A′的坐标为____________. 21. 如图,两块完全相同的含30°角的三角尺ABC和A′B′C′重合在一起,将三角尺A′B′C′绕其顶点C′逆时针旋转角α(0°<α≤90°),有以下三个结论:①当α=30°时,A′C 与AB的交点恰好为AB的中点;②当α=60°时,A′B′恰好经过点B;③在旋转过 程中,始终存在AA′⊥BB′.其中正确结论的序号是__________. 22. 如果将点P绕定点M旋转180°后与点Q重合,那么点P与点Q关于点M对称,定点M叫做对称中心,此时,M是线段PQ的中点.如图3,在平面直角坐标系中,△ABO的顶点A,B,O的坐标分别为(1,0),(0,1),(0,0),点P1,P2,P3,…中的相邻两点都关于△ABO的一个顶点对称,点P1与点P2关于点A 对称,点P2与点P3关于点B对称,点P3与点P4关于点O对称,点P4与点P5关于点A对称,点P5与点P6关于点B对称,点P6与点P7关于点O对称……且这些对称中心依次循环.已知点P1的坐标是(1,1),则点P2020的坐标为________. 23. 如图,已知在矩形ABCD中,点E在边BC上,BE=2CE,将矩形沿着过点E的直线翻折后,点C、D分别落在边BC下方的点C′、D′处,且点C′、D′、B 在同一条直线上,折痕与边AD交于点F,D′F与BE交于点G.设AB=t,那么△EFG的周长为______________(用含t的代数式表示). 24. 如图,AB⊥y轴,将△ABO绕点A逆时针旋转到△AB1O1的位置,使点B的对应 点B1落在直线y=- 3 3 x上,再将△AB1O1绕点B1逆时针旋转到△A1B1O2的位置,使点O1的对应点O2落 在直线y=- 3 3 x上,依次进行下去……若点B的坐标是(0,1),则点O12的纵坐标为________. 三、作图题(本大题共2道小题) 25. 如图,已知等腰顶角. (1)在AC上作一点D,使(要求:尺规作图,保留作图痕迹,不必写作法和证明,最后用黑色墨水笔加墨); (2)求证:是等腰三角形. 26. 如图,已知△ABC. (1)用直尺和圆规分别作出AB,AC边的垂直平分线l1,l2; (2)若直线l1,l2的交点为O,连接OB,OC.求证:OB=OC. 四、解答题(本大题共6道小题) 27. 如图①,等腰直角三角形OEF 的直角顶点O 为正方形ABCD 的中心,点C ,D 分别在OE 和OF 上,现将△OEF 绕点O 逆时针旋转角α(0°<α<90°),连接AF ,DE (如图K32-②). (1)在图②中,∠AOF= ;(用含α的式子表示) (2)在图②中,猜想AF 与DE 的数量关系,并证明你的结论. ① ② 28. [材料阅读]在平面直角坐标系中,以任意两点P (x 1,y 1),Q (x 2,y 2)为端点的线段的中点坐标为? ???? x1+x22,y1+y22. [运用](1)已知点A (-2,1)和点B (4,-3),则线段AB 的中点坐标是________;已知点M (2,3),线段MN 的中点坐标是(-2,-1),则点N 的坐标是________. (2)已知平面上四点A (0,0),B (10,0),C (10,6),D (0,6).直线y =mx -3m +2将四边形ABCD 分成面积相等的两部分,则m 的值为________. (3)在平面直角坐标系中,有A (-1,2),B (3,1),C (1,4)三点,另有一点D , 可使以点A ,B ,C ,D 为顶点的四边形为平行四边形,求点D 的坐标. 29. 如图1,△ABC中,∠ACB=90°,AD平分∠BAC交BC于点D,DE⊥AB于点E. (1)若∠BAC=50°,求∠EDA的度数; (2)求证:直线AD是线段CE的垂直平分线. 30. 如图,等腰直角三角形OEF的直角顶点O为正方形ABCD的中心,点C,D分别在OE和OF上,现将△OEF绕点O逆时针旋转角α(0°<α<90°),连接AF,DE(如图②). (1)在图②中,∠AOF=________;(用含α的式子表示) (2)猜想图②中AF与DE的数量关系,并证明你的结论. 31. 如图,四边形OABC是矩形,点A、C的坐标分别为(3,0),(0,1).点D是线 段BC上的动点(与端点B、C不重合),过点D作直线交折线OAB 于点E. (1)记△ODE的面积为S,求S与b的函数关系式; (2)当点E在线段OA上时,若矩形OABC关于直线DE的对称图形为四边形O1A1B1C1,试探究四边形O1A1B1C1与矩形OABC的重叠部分的面积是否发生变化?若不变,求出重叠部分的面积;若改变,请说明理由. 32. 已知:如图,在四边形ABCD中,∠ADC=60°,∠ABC=30°,AD=CD. 求证:BD2=AB2+BC2. 2021 中考数学培优专题图形的变化-答案 一、选择题(本大题共12道小题) 1. 【答案】 A 【解析】物体的左视图是光线从左往右而得到的正投影.此几何体的左视图的正方形是两排,左边一排是两层,右边一排是一层.故选A. 2. 【答案】B[解析]由A(-3,5),A1(3,3)可知四边形ABCD先向下平移2个单位,再向右平移6个单位得到四边形A1B1C1D1, ∵B(-4,3),∴B1的坐标为(2,1). 3. 【答案】B[解析] 根据轴对称图形的定义,在汉字“生活中的日常用品”中,是轴对称图形的有“中”“日”“品”3个.故选B. 4. 【答案】C[解析] 连接AD,如图. ∵点D分别以AB,AC所在直线为对称轴,画出对称点E, F, ∴∠EAB=∠BAD,∠F AC=∠CAD. ∵∠B=62°,∠C=53°,∴∠BAC=∠BAD+∠DAC=180°-62°-53°=65°. ∴∠EAF=2∠BAC=130°. 故选C. 5. 【答案】B 【解析】三视图的左视图,应从左面看,故选B 6. 【答案】D[解析] 因为P,O是对称点,所以PO的中点是对称中心. 7. 【答案】C[解析] ∵P A+PB=BC,而PC+PB=BC,∴P A=PC.∴点P为线段AC的垂直平分线与BC的交点.显然只有选项C符合题意. 8. 【答案】 C [解析] 由作图可知,EF垂直平分AB,因此可得OA=OB,PO⊥AB,由线段垂直平分线的性质可得PA=PB,但不能得到OP=OF. 9. 【答案】D 【解析】从正面看易得第一层有4个正方形,第二层有一个正方形,如图所示: 故选D. 10. 【答案】A 11. 【答案】C 【解析】从正面看,下面一行是横放3个正方体,上面一行是一个正方体.如图所示: 故选C. 12. 【答案】C [解析] 由题意可得∠CBD=α,∠C=∠EDB. ∵∠EDB+∠ADB=180°, ∴∠C+∠ADB=180°. 由四边形的内角和定理,得∠CAD+∠CBD=180°. ∴∠CAD=180°-∠CBD=180°-α.故选C. 二、填空题(本大题共12道小题) 13. 【答案】[解析]∵α+β=∠B, ∴∠EAF=∠BAC+∠B=90°, ∴△AEF是直角三角形, ∵AE=AB=3,AF=AC=2, ∴EF==. 14. 【答案】3[解析]∵DE=EF=AD=3,∠D=90°, ∴AE2=AD2+DE2=18, ∴AB=AE==3. 15. 【答案】20 [解析] ∵AB=AB′,∠BAB′=40°, ∴∠ABB′=70°.∵B′C′⊥AB,∴∠BB′C′=20°. 16. 【答案】4+2[解析]在题图③中,由折叠的性质可知∠A=45°,AD=DF,∴FC=2,∠AFC=45°,∴CG=2, ∴FG=2,∴△GCF的周长为4+2. 17. 【答案】解:如图. 故填3,4,5,6,n. 18. 【答案】 5 [解析] 由勾股定理,得AC=AB2+BC2=5.过点C作CE⊥AB′于点E,则四边形ABCE是矩形,∴AE=BC= 5.又AB′=AB=2 5,∴AE=EB′=5,∴CE垂直平分AB′,∴B′C=AC=5. 19. 【答案】③ 20. 【答案】 (-a ,-b +2) [解析] 如图,过点A 作AD ⊥y 轴于点D ,过点A′作A′D′⊥y 轴于点D′,则△ACD ≌△A′C D′,∴A′D′=AD =a ,CD′=CD =-b +1,∴OD′=-b +2,∴点A′的坐标为(-a ,-b +2). 21. 【答案】①②③ 22. 【答案】(1,-3) [解析] 由题意可得点P 2(1,-1),P 3(-1,3),P 4(1,-3), P 5(1,3),P 6(-1,-1),P 7(1,1),可知6个点一个循环,2020÷6=336……4,故点P 2020的坐标与点P 4的坐标相同,为(1,-3). 23. 【答案】 .思路如下:如图,等边三角形EFG 的高=AB =t ,计算得边长 为. . 3x ,解得x =-3 3[解析] 将y =1代入y =- 39+3 【答案】24. x 与x 轴所夹的锐角是30°. 3 3 ,OA =2,且直线y =-3AB =∴ 10 O 8=O 8O 6=O 6O 4=O 4O 2=O 2由图可知,在旋转过程中每3次一循环,其中OO .3+1=3+3=2+12O 10=O .3)=18+6 3=6×(3+12OO ∴ . 3=9+3 12OO 1 2 的纵坐标=12点O ∴ 三、作图题(本大题共2道小题) 25. 【答案】 (1)如图,点D 为所作. (2)∵, ∴, ∵, ∴, ∴, ∴, ∴是等腰三角形. 26. 【答案】 解:(1)如图所示. (2)证明:如图,连接OA. ∵l1是AB的垂直平分线, ∴OA=OB. 同理,OA=OC. ∴OB=OC. 四、解答题(本大题共6道小题) 27. 【答案】 解:(1)90°-α[解析]∵△OEF绕点O逆时针旋转角α,∴∠DOF=∠COE=α, ∵四边形ABCD为正方形, ∴∠AOD=90°,∴∠AOF=90°-α. 故答案为90°-α. (2)AF=DE. 证明:∵四边形ABCD为正方形, ∴∠AOD=∠COD=90°,OA=OD, ∵∠DOF=∠COE=α, ∴∠AOF=∠DOE. ∵△OEF 为等腰直角三角形,∴OF=OE. 在△AOF 和△DOE 中, ∴△AOF ≌△DOE (SAS), ∴AF=DE. 28. 【答案】 解:(1)(1,-1) (-6,-5) (2)12 (3)设点D 的坐标为(x ,y). 若以AB 为对角线,AC ,BC 为邻边的四边形为平行四边形,则AB ,CD 的中点重合, ∴?????1+x 2=-1+32,4+y 2=2+12, 解得?????x =1,y =-1; 若以BC 为对角线,AB ,AC 为邻边的四边形为平行四边形,则AD ,BC 的中点重合, ∴?????-1+x 2=3+12,2+y 2=1+42, 解得?????x =5,y =3; 若以AC 为对角线,AB ,BC 为邻边的四边形为平行四边形,则BD ,AC 的中点重合, ∴?????3+x 2=-1+12,1+y 2=2+42, 解得? ????x =-3,y =5. 综上可知,点D的坐标为(1,-1)或(5,3)或(-3,5).29. 【答案】 解:(1)∵∠BAC=50°,AD平分∠BAC, ∴∠EAD=∠BAC=25°. ∵DE⊥AB, ∴∠AED=90°. ∴∠EDA=90°-25°=65°. (2)证明:∵DE⊥AB, ∴∠AED=90°=∠ACB. ∵AD平分∠BAC, ∴∠DAE=∠DAC. 又∵AD=AD, ∴△AED≌△ACD. ∴AE=AC,DE=DC. ∴点A,D都在线段CE的垂直平分线上. ∴直线AD是线段CE的垂直平分线. 30. 【答案】 解:(1)∵△OEF绕点O逆时针旋转角α, ∴∠DOF=∠COE=α. ∵四边形ABCD为正方形, ∴∠AOD=90°, ∴∠AOF=90°-α. 故答案为90°-α. (2)猜想:AF=DE. 证明:∵四边形ABCD为正方形, ∴∠AOD=∠COD=90°,OA=OD. ∵∠DOF=∠COE=α, ∴∠AOF=∠DOE. ∵△OEF为等腰直角三角形, ∴OF=OE. 在△AOF和△DOE中, ???? ?OA =OD ,∠AOF =∠DOE ,OF =OE , ∴△AOF ≌△DOE(SAS), ∴AF =DE. 31. 【答案】 (1)①如图2,当E 在OA 上时,由可知,点E 的坐标为(2b ,0),OE =2b .此时S =S △ODE = . ②如图3,当E 在AB 上时,把y =1代入可知,点D 的坐标为(2b - 2,1),CD =2b -2,BD =5-2b .把x =3代入 可知,点E 的坐标为 ,AE = ,BE = .此时 S =S 矩形OABC -S △OAE - S △BDE -S △OCD = . (2)如图4,因为四边形O 1A 1B 1C 1与矩形OABC 关于直线DE 对称,因此DM =DN ,那么重叠部分是邻边相等的平行四边形,即四边形DMEN 是菱形. 作DH ⊥OA ,垂足为H .由于CD =2b -2,OE =2b ,所以EH =2. 设菱形DMEN 的边长为m .在Rt △DEH 中,DH =1,NH =2-m ,DN =m ,所以12+(2-m )2=m 2.解得 .所以重叠部分菱形DMEN 的面积为. 图2 图3 图4 考点伸展 把本题中的矩形OABC 绕着它的对称中心旋转,如果重叠部分的形状是菱形(如图5),那么这个菱形的最小面积为1,如图6所示;最大面积为,如图7所示. 图5 图6 图7 32. 【答案】 证明:如图,将△ADB 绕点D 顺时针旋转60°,得到△CDE ,连接BE , 则∠ADB =∠CDE ,∠A =∠DCE ,AB =CE ,BD =DE. 又∵∠ADC =60°,∴∠BDE =60°, ∴△DBE 是等边三角形, ∴BD =BE. 又∵∠ECB =360°-∠BCD -∠DCE =360°-∠BCD -∠A =360°-(360°-∠A DC -∠ABC)=90°, ∴△ECB 是直角三角形, . 2+BC 2=AB 2,即BD 2+BC 2=CE 2BE ∴