随机信号处理

������������������������ ������������ = ������������−1 + K n (������������− 1 − ������������−1 ) (15)
通过近似计算状态空间的后验概率密度函数来解决。 对于线性高斯模型来说， 卡尔曼滤波被 公认为是最优滤波， 其通过递推式更新有限维统计量来精确计算后验分布。 但是大部分工程 应用问题需要用非线性和/或者非高斯模型来建模。最简单的方式是利用一阶泰勒级数展开 对模型进行线性化，再结合卡尔曼滤波，这种方法被称为扩展卡尔曼滤波。但是，当模型高 度非线性或者后验分布呈现多峰情况时，该方法性能急剧下降。一种新的滤波方法，称为无 迹卡尔曼滤波， 使用无迹变换(UT)可以对非线性模型进行更加精确的近似。 但是不管是扩展 卡尔曼滤波还是无迹卡尔曼滤波，对于非高斯模型来说均不是最优滤波器。 粒子滤波是另外一类非线性滤波方法。 该方法用一组采样点(也称为粒子)来近似表示目 标状态后验概率密度函数， 粒子通过重要性采样在动态系统中传递， 并贯序地对后验分布进 行更新。为防止粒子衰退，使用重采样技术对粒子进行更新。当粒子数量足够多时，该方法 能获得最优结果。与卡尔曼滤波及改进方法相比，系统的非线性和非高斯性越强，粒子滤波 的效果越明显。在标准粒子滤波基础上，又出现高斯粒子滤波、无迹粒子滤波和边缘化粒子 滤波等。高斯粒子滤波通过重要性采样对未知状态变量的后验均值和方差进行递推式估计。 其优点在于噪声可以是非高斯的，并且不需要粒子重采样，降低了运算复杂度。无迹粒子滤 波是采用无迹卡尔曼滤波方法产生粒子的期望分布， 是对系统状态后验概率密度函数的高斯 近似。 边缘化粒子滤波是对状态空间分为线性状态变量和非线性状态变量， 线性部分由卡尔 曼滤波估计而非线性部分由粒子滤波估计， 其优点在于对高维状态变量进行降维处理并提高 估计精度。 通过对以上粒子滤波及相关算法深入研究， 我们发现虽然高斯粒子滤波算法在计算复杂 度方面有较大优势， 但是其估计精度与标准粒子滤波算法比较接近， 而无迹粒子滤波和边缘 化粒子滤波是分别对每个粒子进行卡尔曼滤波处理， 计算量较大。 在综合考虑计算复杂度与 估计精度的基础上， 本文提出一种卡尔曼滤波与粒子滤波相结合的非线性滤波算法， 称为混 合粒子滤波(MPF)。特别针对系统模型中状态方程为线性而观测方程为非线性的情况，在不 增加计算复杂度的基础上， 该方法能够提供较高的估计精度。 这种模型有望在固定目标定位 和参数估计等方面广泛的应用。 算法首先采用粒子滤波对状态变量进行初始估计， 由于状态 变量服从线性变化， 接下来使用卡尔曼滤波进一步滤波。 本文对所提出算法的计算复杂度进 行分析。另外，给出该系统模型下，状态变量估计误差下界，即克拉美劳下界(CRB)的推导 过程。 MPF 算法的优势在于: (1)考虑受到噪声的影响，特别是较低信噪比条件下，标准粒子滤波性能受到限制，估
A Nonlinear Filtering Algorithm Combining the KalmanFilter and the Particle Filter
LI Yuying (Hebei University of Science and Technology, Shijiazhuang, Hebei, 050000, China） Abstract： A nonlinear filtering algorithm is proposed based on the Kalman filter and the particle filter.The method
得到粒子的更新，这里由于状态噪声服从高斯分布，因此有
������ ������ ������ ������ ������������ ������������− 1 = N(A������������−1 ，Q) (5)
最后，由式(3)我们可以得到粒子的重要性权重为
������ ������ ������ ������������ = ������������− 1 ������ ������������ ������������ (6)
2 混合粒子滤波算法(MPF)
很多非线性估计问题可以通过粒子滤波方法来解决， 本文所关注的状态空间模型可表示 为 ������������ = ������������������−1 + ������������−1 (1) ������������ = ℎ ������������ + ������������ (2) 其中������������ ∈������ ������ 表示 n 时刻 m 维线性状态列向量，������������ 表示 n 时刻观测值，A∈������ ������∗������ 表示已 知的状态转移矩阵，h(° )是任意关于������������ 的线性或者非线性函数，实际中根据不同的应用具有 相应的解析表达， ������������ 与 ������������ 分别表示均值为 0 的高斯分布状态噪声和观测噪声，且满足
这里似然函数可以由下式得到
������ ������ ������ ������������ ������������ = N(h(������������ )，σ2 ) (7)
经过归一化
������ ������ ������������ = ������������ /
������ ������ =1
������ ������ 得一组离散样本点{������0: ������ }������ =1 来近似计算后验概率，并得到粒子的重要性权重 ������ ������������ = ������ ������ ������0: ������ ������0:������ ������ ������ ������0: ������ ������0:������ ������ = ������������− 1 ������ ������ ������ ������ ������������ ������������ ������ ������������ ������������− 1 ������ ������ ������ ������������ ������������ , ������0: ������−1
T E{unuk } Q nk ， E{vnvk } 2 nk ， n，k 其中 Q 为状态噪声协方差矩阵，������ 2 为观测噪
声方差，假设状态噪声与观测噪声相互独立。 我们的目标是通过观测序列������0:������ 实现对状态������0:������ 的顺序估计。根据贝叶斯理论，后验概 率p(������0:������ |������0:������ )包含了对状态������0:������ 估计的所有信息，但是我们很难直接得到其数学表达式。粒 子滤波算法为解决该问题提供了有效的方法，其通过在一个所谓的重要性分布π (° )采样获
can pro-vide significant performance for dynamic nonlinear system which is consist of linear state equation and nonlinear measurement equa-tion.Firstly,the particle filter is utilized for initial estimation of the state variables,and then the Kalman filter is performed.TheCramer-Rao Bound is derived for the nonlinear putation complexity analysis and numerical simulations demonstrate thatthe proposed algorithm has the same complexity as the standard particle filter,but the estimation accuracy is higher than the standard article filter and the extended Kalman filter.The estimation error is even lower than the Cramer-Rao Bound of the system model.
������ = 1 … ，������ 3
我们首先在已知的先验概率分布 p(������0 )上进行采样获得粒子，然后通过概率分布
������ ������ ������ ������ ������ ������������ ������������ , ������0: ������−1 = ������ ������������ ������������−1 (4)
������ ������������ (8)
及重采样，状态������������ 的最小均方估计(MMSE)可表示为
������������������������ ������������ = ������ ������ =1 ������ ������ ������������ ������������ (9)
一种卡尔曼滤波与粒子滤波相结合的非线 性滤波算法
李玉莹
（河北科技大学，河北石家庄 050000） 摘要：提出一种基于卡尔曼滤波与粒子滤波的非线性滤波算法。这种方法对于状态变量服 从线性变化而观测方程为非线性的动态系统模型具有显著的效果。 首先使用粒子滤波对状态 变量进行初估计,然后对估计结果进行卡尔曼滤波,另外推导出该系统模型下状态变量估计误 差的克拉美劳下界。通过计算复杂度分析及仿真实验验证,表明新方法与标准粒子滤波算法 复杂度相当,但参数估计精度要高于标准粒子滤波以及扩展卡尔曼滤波算法,估计误差甚至要 低于系统模型的克拉美劳下界。 关键词：非线性滤波卡尔曼滤波克拉美劳下界计算复杂度
计结果会出现发散的情况。 本文算法在粒子滤波的基础上采用卡尔曼滤波进行再处理， 从而 可以改善估计效果，提高精度。 (2)与卡尔曼滤波算法相比，本文方法可适用于较强非线性化系统模型，并且只需知道 目标变量的先验分布， 对初始条件的依赖性不强。 而高度非线性系统以及不合适的初始条件 会导致卡尔曼滤波算法发散、失效。