剪切和扭转
剪切和扭转应力
E G 2(1 )
×
四、等直圆杆扭转横截面上的切应力
o1
o2
a
b
B’
A
D
B
o1
C’
o2
A
D
dB
C B’
b’ d c c’
C
dx ⒈ 变形的几何条件
dx C’
bb' d 横截面上b 点的切应变： dx dx d 其中 为单位长度杆两端面相对扭转角，称单位扭转角
O
D
D 4
32
极惯性矩的单位：m4
×
d D
环形截面： I P
32
(D4 d 4 )
同一截面，扭矩T ，极惯性矩IP 为常量，因此各点切应 力 的大小与该点到圆心的距离 成正比，方向垂直于圆的
半径，且与扭矩的转向一致。
T
max
max
T
实心圆截面切应力分布图 最大切应力在外圆处。
l
0
T dx GI p
当T 、GIP 为常量时，长为l 一段杆两端面相对扭转角为
Tl GI P
其中GIP 表示杆件抵抗扭转变形的能力，称为抗扭刚度。
×
例6
已知空心圆截面的扭矩T =1kN.m，D =40mm，
d=20mm，求最大、最小切应力。 解： max
T T d 4 max Wt 3 D (1 4 ) 16 D 16 1000 43 [1 ( 1 ) 4 ] 2 84 .9 MPa
max 1 40.74 MPa
d
－ ○
×
0.5kN.m 0.3kN.m 0.8kN.m 1 2 3 4
刚心、质心、剪切中心,扭转中心,弯曲中心
刚心和质心
剪切中心，扭转中心，弯曲中心
今天看了本书 《结构稳定和稳定内力》 李存权编的，书中第113页提到了这个问题 ： 1.截面的剪力中心得跟截面扇性几何特性联系起来，剪力中心即主扇性极点，使扇性 静矩，扇性惯性矩和扇性惯性积等于零的极点称为主扇性极点。 2.杆件横向荷载通过剪力中心，则杆件只有弯曲而无扭转，否则，杆件将同时发生弯 曲和扭转。荷载通过剪力中心，截面不发生扭转，既扭角为0，那么当杆件承受扭矩 作用而扭转的时候，根据位移互等定理，剪力中心将无线位移，因此剪力中心在杆件 只受扭矩时就成为扭转中心。 3.剪力流理论认为，剪力流沿截面中心线分布，因此对于具有对称轴的截面，其剪力 中心必定位于对称轴上。 综上所述： 剪切中心跟扭转中心是两个截然不同的概念，只有纯扭的时候两个中心才会重合。而 实际情况中，纯扭的现象近乎不发生。所以这两个中心肯定是不会重合的。 套用剪切中心的定义，是否我也可以那么定义扭转中心，即扭转惯性矩，静力矩均为 零时候的极点称为扭转中心。同样的弯曲中心是否也可以理解为抗弯惯性矩等均为0 的点为弯曲中心，这个是否跟弯曲时候的中性轴可以联系起来记呢？还有就是曲线桥 中的不动点跟扭转中心的定义跟区别？
Ix
Iy
I
2 xy
Y0
I xy I y I x I x
Ix
Iy
I
2 xy
其中：
Ix
Iy
b
xtds
0
b ytds
0
扇性惯性积
当剪力平行于主惯性轴，且通过剪切中心时，为简单弯曲；如只通过弯曲中心不
平行于主惯性轴，则为斜弯曲。
y
y
y
剪切屈服极限计算公式扭转实验
剪切屈服极限计算公式扭转实验
剪切屈服极限的计算公式可以使用螺旋绕伸计（torsion experiment）来进行测量。
螺旋绕伸计是一种用于测量材料的
剪切屈服极限的实验装置。
螺旋绕伸计实验是通过将试样固定在绕伸器上，使其扭转一定角度，然后测量施加的扭转力和试样的扭转角度，根据材料的线性弹性性质，可以得到剪切屈服极限的计算公式。
根据螺旋绕伸计实验的原理，剪切屈服极限的计算公式如下：τ = (T * L) / (J * R)
其中，τ表示材料的剪切屈服极限，T表示施加的扭转力，L
表示试样的长度，J表示试样的转动惯量，R表示试样的半径。
需要注意的是，剪切屈服极限的计算公式不同于常见的拉伸屈服强度的计算公式，因为扭转实验和拉伸实验的加载方式不同。
此外，剪切屈服极限的计算公式也可以根据不同的试验方法和实验装置而有所差异，具体的计算公式要根据实验条件和设备来确定。
土的剪切和扭矩之间的计算公式
土的剪切和扭矩之间的计算公式在土工工程中，土的剪切和扭矩的计算是十分重要的，因为它能够帮助工程师们了解土体的力学特性，从而更好地设计和施工工程结构。
本文将通过讲解土的剪切和扭矩之间的计算公式来帮助读者更好地了解这个领域。
一、剪切的定义和计算公式剪切是指两个相邻平面之间的相对滑动。
在土的剪切中，较高的应力沿着一个截面的边缘作用于较低的应力，土壤中的颗粒向着相反方向移动，从而产生剪切力。
因此，剪切力是产生剪切的主要力量。
计算土壤的剪切力需要用到剪切力公式：τ = c + σtanφ。
其中，τ代表土壤的剪切力，c代表土壤的凝聚力，φ代表土壤的内摩擦角，最后一个参数σ代表土壤的正应力。
二、扭矩的定义和计算公式扭矩是指施力于物体的扭转力矩，它是施力于物体以产生扭转的力。
在土工工程中，扭矩的大小决定了工程结构的稳定性，因为如果扭矩不足够强大，那么结构就会变形或崩溃。
计算扭矩需要用到扭矩公式：T = Fd。
其中，T代表扭矩，F代表施力物体的力，d代表力的作用点与物体的旋转中心之间的距离。
三、土的剪切与扭矩的关系土的剪切和扭矩之间存在着密切的关系，因为土壤中的颗粒在受到扭矩作用时，会发生剪切。
在土壤中的剪切力和扭矩之间，存在着以下关系：τ = kT/2πr³.其中，τ代表土壤的剪切力，T代表土的扭矩，r代表力的作用点与物体的旋转中心之间的距离，最后一个参数k是相关系数，它代表土壤的剪切模量和弯曲模量之比。
总结本文讲解了土的剪切和扭矩之间的计算公式，包括剪切公式、扭矩公式以及二者之间的关系公式。
只有深入理解这些公式，工程师才能更好地进行结构设计和相关施工工作，以确保工程质量。
剪切和扭转应力
Fbs Abs
F/4 dt
100 103 4 1610
156MPa [ bs ]源自铆钉满足强度条件，安全。×
123
2—2截面
F/4
上板受力图
F/4
F/4
F
F/4
上板轴力图
1
2
3F/4
3
F
F⊕/4 ⊕
⊕
3—3截面
22
FN 2 A2
3P / 4 (b 2d)t
75 103 68 10
110MPa
A
极惯性矩。
T
GI p
×
于是得横截面上任一点的切应力为
T
Ip
式中：T—横截面上的扭矩，由截面法通过外力偶矩求得；
—求应力那点到圆心的距离；
Ip—截面对圆心的极惯性矩，纯几何量，无物理意 义。
×
⒋ 极惯性矩
d
I p A 2dA
D
2 2 2 d 0
D 4
32
环形截面：
IP
32
②各纵向线长度不变，但均倾斜了同一微小角度 。
③所有矩形网格均歪斜成同样大小的平行四边形。
×
剪切虎克定律： 单元体ab 的倾角 称为切应变，
´
a
b
切应变是单元体直角的改变量。实 验表明，在弹性范围内，切应力与 dy 切应变成正比，即
´
c
d
G
t
z
dx
这就是剪切虎克定律，比例常数G 称为剪切弹性模量。
×
t P
d
tP
多铆钉连接件，为计算方便，各铆钉受力可视作相同。
F/4
上板受力图
F/4
F/4
F
F/4
第10章 剪切和扭转讲解
等。）
解：受力分析如图
P
P
Fs F P 4
t
b
t
P
123
P
P
d
P/4
123
切应力和挤压应力的强度条件
t Fs P 110 107 136 .8MPa t
A d 2 3.14 1.62
s bs
F Abs
P 4td
110 107 411.6
171.9MPa sbs
23
外力特点：平衡力偶系作用在垂直于杆轴线的
平面内.
变形特点：各横截面绕杆轴线作相对转动。
24
任意两截面间相对转动的角度——扭转角, 如 ； 杆的纵线也转过一角度γ——剪切角。
以扭转变形为主要变形的受力杆件——轴.
圆形截面的扭转构件——圆轴.
工程实例:。 机器中的传动轴;。
地质勘探中的钻杆等。
Me
B
T图
31
例 10-3 一传动轴如图，转速n = 300r/min； 主动轮 输入的功率P1= 500kW，三个从动轮输出的功率分 别为： P2= 150kW， P3= 150kW， P4= 200kW。 试作轴的扭矩图。
32
解： 首先必须计算作用在各轮上的外力偶矩
M2 1
M3 2 M1
3
M4
§10-3 扭转的概念与工程实例
一、引例 F
F
二、概念
M
作用于杆件上的外力，为两个大小相等、方向相反、且作
用平面垂直于杆件轴线的力偶时，杆件中任意两个横截面即会
发生绕杆件轴线相对转动，这种形式的变形就称为扭转变形。
受力特征：杆受一对大小相等、方向相反的力偶，力偶作用
拉压、弯曲、扭转和剪切变形的特点以及应力分布
拉压、弯曲、扭转和剪切变形的特点以及应
力分布
当外力作用于物体时，会产生各种各样的变形，其中包括拉压、弯曲、扭转和剪切变形。
这些变形都有其独特的特点和应力分布。
拉压变形是物体受到同向作用力的影响，导致物体沿着作用力方向伸展或收缩的变形。
这种变形的特点是杆件的截面积保持不变，而两端的长度发生变化。
在拉压变形时，应力的分布是均匀的，且沿整个杆件都是一致的。
在拉伸中，物体的应力分布会呈现出正比例增加的趋势，而在压缩中则是反比例增加的趋势。
弯曲变形是物体受到偏向作用力的影响，导致物体的一端上升而另一端下降的变形。
这种变形的特点是杆件的截面形状会发生变化，截面面积也会影响变形特点。
弯曲变形的应力分布最大的一点位于中心面，并逐渐向两端递减。
扭转变形是物体受到两个对称作用力的影响，在轴线周围旋转的变形。
这种变形的特点是杆件的截面形状会发生变化，且扭曲会使得截面形状变得不规则。
扭转变形的应力分布最大的一点位于中心轴线上，逐渐向周围递减。
剪切变形是物体受到两个垂直于轴线方向的作用力的影响，导致物体在不同平面上发生剪切变形。
这种变形的特点是物体的形状变得
不规则，且在两个平面上的应力不同。
在剪切变形时，应力的分布均匀，沿着切面方向的应力最大，而切面下方没有应力。
以上几种变形及其应力分布特点，在实际工程及生产中都有着广泛的应用。
在设计和制造过程中，要考虑到不同变形及其应力分布的特点，选择合适的材料和结构，以保证物体的稳定性、可靠性和安全性。
材料科学材料力学剪切与扭转PPT课件
y’ dz
出现。大小相等方向相反， 都垂直于两平面的交线。
z
MZ 0
x (dy dz) dx y (dx dz) dy 0
x y
当单元体上同时存在切应力和正 应力时，切应力互等定理是否成 立？为什么？
剪应变 剪切胡克定律
1. 剪应变 直角的改变量
a
b
因挤压而使接触的局部区域内产 生显著塑性变形，或发生破坏。
如ab，cd接触面。
（3）拉伸破坏
钢板因铆钉连接，在铆钉孔处截面受到削弱，应 力增大，易在连接处被拉断。
二、剪切的实用计算
实用计算方法：根据构件的破坏可能性，采用能反映受力基本 特征，并简化计算的假设，计算其名义应力，然后根据直接试 验的结果，确定其相应的许用应力，以进行强度计算。 适用：构件体积不大，真实应力相当复杂情况，如连接件等。
实用计算假设：假设切应力在整个剪切面上均匀分布，等于剪 切面上的平均应力。
（合力） P
n
FS
n
1、剪切面--A ： 错动面。 剪力—FS： 剪切面上的内力。
n
P
2、名义切应力--：
（合力）
FS
A
剪切面
3、剪切强度条件（准则）：
n
P
FS
A
其中 : jx
钢板的2--2和3--3面为危险面
2
3P 4t(b 2d )
4
3 110 (8.5 2 1.6)
107
155 .7MPa
3
P t(b d)
110 1 (8.5 1.6)
dy dx
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切应力。
剪切面
m F
挤压——构件局部面积的承压现象。 挤压力——挤压面上所受的压力， 记为Fjy 。 挤压应力——因挤压而产生的应力。
第二节 剪切和挤压的计算
一、剪切的实用计算
实用计算假设：假设切应力在整个剪切面上均匀分布，等 于剪切面上的平均应力。
Q n
剪切面 n
Q
A
P A为剪切面 的面积，错动面；
320M Pa，试校核铆接头的强度。（假定每个铆钉受力相等。）
P
P 解：受力分析如图
t
b
t
Q
Pjy
P 4
P
P
123
P
d
P/4
123
剪应力和挤压应力的强度条件
Q AQ
P
d 2
110 3.14 1.62
10 7
136 .8MPa
jy
Pjy Ajy
P 4td
110 4 11.6
107
171.9MPa
n A 1 B 2 C 3D
（3）绘制扭矩图 T 9.56 kN m max
BC段为危险截面。
m2
m3
m1
m4
A
B
C
T
– –
4.78N·m
9.56N·m
n D
6.37 N·m
x
第五节 圆轴扭转时的应力和变形
一、圆轴扭转时的应力 扭转实验的变形特点 各圆周线绕轴线发生了相对旋转， 但形状、大小及相互之间的距离 均无变化，所有的纵向线倾斜了 同一微小角度γ。 圆轴扭转时，各横截面如同 刚性圆片，仅绕轴线作相对 旋转。此假设称为圆轴扭转 时的平面假设 。
1. 几何方面
tan
G1G EG1
d
dx
tan
DD '
Rd
AD d x
距圆心为 任一点处的
与到圆心的距离成正比。
d 为扭转角沿长度方向变化率。
dx
2. 物理方面
由胡克定律 G
代入上式得
G
G
d
dx
G
d
dx
横截面上各点的切应力 与点到截面中心的间距 成正比，即切应力沿截 面的半径呈线性分布。
受力特征：构件两端受到大小相等、方向相反的力偶矩的 作用，外力偶矩的作用面与杆件的轴线互相垂直。
变形特征：纵向线倾斜一个角度 ，称为剪切角(或
称剪应变)；两个横截面之间绕ห้องสมุดไป่ตู้轴线产生相对角位
移，称为扭转角。
M
M
第四节 扭转时的内力
一、外力偶矩计算 外力偶矩与功率和转速的关系为
Me 60P 2πn
9.549 P n
为了表示沿杆轴线各横截面上的扭矩的变化情况，从而确 定最大扭矩及其所在截面的位置，常需画出扭矩随截面位 置变化的函数图像，这种图像称为扭矩图。扭矩图中横轴 表示横截面的位置，纵轴表示相应截面上的扭矩值。
T
x
例9-2 如图所示圆截面杆各截面处的外力偶矩大小分别为
Me1=6M，Me2= M，Me3=2 M，Me4=3 M，求杆在横截面11、2-2、3-3处的扭矩。
剪切
①受力特点：
F
构件受两组大小相等、方 向相反、作用线距离很近的平 行力系作用。
铆钉
（合力） F
②变形特点：
m
构件沿两组平行力系的交界面
发生相对错动。
F
m F （合力）
③剪切面：
构件将发生相互的错动面，如
m– m 。 ④剪切面上的内力：
Q m
称为剪力Q ，其作用线与剪切面
平行。因剪切而产生的应力称为
挤压面积为接触面在垂直Pjy方向上的投影面的面积。
jy
Fj y Aj y
挤压强度条件
jy
Fjy Ajy
jy
挤压面积 Ajy dt
例9-1 一铆接头如图所示，受力P=110kN，已知钢板厚度为
t=1cm，宽度 b=8.5cm ，许用应力为[ ]= 160M Pa ；铆钉的直径 d=1.6cm，许用剪应力为[]= 140M Pa ，许用挤压应力为[jy]=
工
程
力 学
剪切和扭转
剪切和扭转
第一节 剪切和挤压的概念 第二节 剪切和挤压的计算 第三节 扭转的概念 第四节 扭转时的内力 第五节 圆轴扭转时的应力和变形 第六节 圆轴扭转时的强度和刚度计算
教学目的和要求
❖ 本章主要介绍了剪切、挤压和扭转变形，要了解每种变形方式的特点。 对于剪切和挤压要掌握其名义应力的计算方法和强度校核条件。对于 扭转要掌握扭矩的求法，会画扭矩图，掌握圆轴扭转的应力和变形公 式，并能进行强度和刚度的校核。
jy
钢板的2--2和3--3面为危险面
2
3P 4t(b 2d )
3 110 4 (8.5 2 1.6)
107
155 .7MPa
3
P t(b
d)
110 1 (8.5 1.6)
107
159.4MPa
综上，接头安全。 123
P
P
P
t t
d
P/4
123
第三节 扭转的概念
汽车方向盘
汽车传动轴
构件特征：等圆截面直杆即圆轴。
式中，P 为输入功率（kW）；n 为轴转 速（r/min）。
二、扭矩和扭矩图 扭矩——构件受扭时，横截面上的内力偶矩，记作T。 截面法求扭矩，有
x
Me
Me
Me
T
受扭圆轴任一截面上的扭矩，等于该截面一侧所有外力偶 矩的代数和。
扭矩符号的判断 按右手螺旋法则判断，扭矩矢量的指向与截面 外法线的指向一致，为正；反之为负。
教学重点
❖ 剪切、挤压和扭转的概念； ❖ 剪切和挤压的实用计算和强度校核； ❖ 扭矩和扭矩图； ❖ 圆轴扭转的应力和变形公式及其强度和刚度的校核。
教学难点
❖ 剪切和挤压的强度校核； ❖ 扭矩图的画法； ❖ 圆轴扭转的变形公式及其推导过程； ❖ 圆轴扭转的强度和刚度校核。
第一节 剪切和挤压的概念
Q为剪切面上的剪力。
在一些连接件的剪切面上，应力的实际分布情况比较复 杂，切应力并非均匀分布，且还可能有正应力。所以由 上式算出的只是剪切面上的“平均切应力，是一个名义 切应力。
剪切强度条件
Q
A
工作应力不得超过材料的许用应力。
二、挤压的实用计算
挤压力―Fjy ：接触面上的合力。 假设：挤压应力在有效挤压面上均匀分布。
解 按照截面法，∑Mx=0 有 扭矩图如下
例9-3 如图为一传动轴， n =300r/min，主动轮输入 P1=500kW， 从动轮输出 P2=150kW，P3=150kW，P4=200kW，试绘制扭矩图。
解 （1）计算外力偶矩
m2
m3
m1
m4
n
A
B
C
D
（2）求扭矩（扭矩按正方向设）
m2 1 m3 2 m1 3 m4
3. 静力学方面
T A dA
A
G 2
d
dx
dA
G
d
dx
A
2dA
T
GI p
d
dx
代入物理关系式
令 Ip A 2dA
得
I p A 2dA 横截面的极惯性矩，单位为mm4，m4。
尽管由实心圆截面杆推出，但同样适用于空心圆截面杆，