参数估计

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参数估计三要素

参数估计三要素参数估计是统计学中非常重要的一部分，它涉及到如何通过样本数据来得到总体参数的估计值。

而参数估计的实质就是利用样本信息来推断总体信息。

在进行参数估计的过程中需要掌握三要素，分别是点估计、区间估计以及最小二乘估计。

一、点估计点估计就是通过样本数据，估计总体参数的具体数值，也就是说利用样本数据来估计总体参数的单个值，这个单个值有可能等于总体参数，但也有可能不等于总体参数。

因为样本数据是有误差的，并且不能代表总体，所以点估计得到的估计量只是在数值上比较接近总体参数，而不是完全等于总体参数。

常见的点估计方法有矩估计和最大似然估计。

矩估计就是通过样本的前几个矩来估计总体参数的值，并且要求估计量是样本矩的函数。

最大似然估计是通过知道样本中观测值的概率分布，来确定估计量的值。

而在实际应用中，矩估计和最大似然估计常常同时使用，这样能够提高估计量的精确度。

点估计通过样本数据，确定总体参数的具体数值，它有其实际意义，但在实际应用中不能确定它的准确性。

二、区间估计点估计得到的估计量通常由于样本误差，不能代表总体参数。

在进行参数估计时，我们还需要确定一个区间，使得这个区间内的任一数值均可能是总体参数的真实值，这个区间就是区间估计。

对于总体参数的区间估计，我们可以利用统计量来求解。

如对于正态分布总体，其参数$\mu$，则样本均值是其最佳估计，而其标准差是未知的，所以我们的目的是得到一个包含总体参数的置信区间来进行估计。

假设总体的分布是正态分布，求出样本均值和样本标准差，以及统计学的知识，可以得到一个置信区间。

这个置信区间就是在某个置信水平下，总体参数落在这个区间内的概率为这个置信水平。

总体参数的置信区间是通过样本统计量计算而来的，而这个样本统计量的置信区间大小和置信水平有关，也和样本数量有关。

在实际应用中，当样本数量越大时，区间估计的精度就会越高。

三、最小二乘估计在线性回归分析中，最小二乘估计是一种广泛使用的估计方法。

第三章参数估计

第三章参数估计重点：1.总体参数与统计量2.样本均值与样本比例及其标准误差难点：1.区间估计2.样本量确实定知识点一：总体分布与总体参数统计分析数据的方法包括：描绘统计和推断统计〔第一章〕推断统计是研究如何利用样本数据来推断总体特征的统计学方法，包括参数估计和假设检验两大类。

总体分布是总体中所有观测值所形成的分布。

总体参数是对总体特征的某个概括性的度量。

通常有总体平均数〔μ〕总体方差〔σ2〕总体比例〔π〕知识点二：统计量和抽样分布总体参数是未知的，但可以利用样本信息来推断。

统计量是根据样本数据计算的用于推断总体的某些量，是对样本特征的某个概括性度量。

统计量是样本的函数，如样本均值〔〕、样本方差〔 s2〕、样本比例〔p〕等。

构成统计量的函数中不能包括未知因素。

由于样本是从总体中随机抽取的，样本具有随机性，由样本数据计算出的统计量也就是随机的。

统计量的取值是根据样本而变化的，不同的样本可以计算出不同的统计量值。

[例题·单项选择题]以下为总体参数的是( )a．样本均值b．样本方差c．样本比例d．总体均值答案：d解析：总体参数是对总体特征的某个概括性的度量。

通常有总体平均数、总体方差、总体比例题·判断题：统计量是样本的函数。

答案：正确解析：统计量是样本的函数，如样本均值〔〕、样本方差〔〕、样本比例〔p〕等。

构成统计量的函数中不能包括未知因素。

[例题·判断题]在抽样推断中，作为推断对象的总体和作为观察对象的样本都是确定的、唯一的。

答案：错误解析：作为推断对象的总体是唯一的，但作为观察对象的样本不是唯一的，不同的样本可以计算出不同的统计量值。

〔一〕样本均值的抽样分布设总体共有n个元素，从中随机抽取一个容量为n的样本，在重置抽样时，共有n n种抽法，即可以组成n n不同的样本，在不重复抽样时，共有个可能的样本。

每一个样本都可以计算出一个均值，这些所有可能的抽样均值形成的分布就是样本均值的分布。

五种估计参数的方法

五种估计参数的方法在统计学和数据分析中，参数估计是一种用于估计总体的未知参数的方法。

参数估计的目标是通过样本数据来推断总体参数的值。

下面将介绍五种常用的参数估计方法。

一、点估计点估计是最常见的参数估计方法之一。

它通过使用样本数据计算出一个单一的数值作为总体参数的估计值。

点估计的核心思想是选择一个最佳的估计量，使得该估计量在某种准则下达到最优。

常见的点估计方法有最大似然估计和矩估计。

最大似然估计（Maximum Likelihood Estimation，简称MLE）是一种常用的点估计方法。

它的核心思想是选择使得样本观测值出现的概率最大的参数值作为估计值。

最大似然估计通常基于对总体分布的假设，通过最大化似然函数来寻找最优参数估计。

矩估计（Method of Moments，简称MoM）是另一种常用的点估计方法。

它的核心思想是使用样本矩和总体矩之间的差异来估计参数值。

矩估计首先计算样本矩，然后通过解方程组来求解参数的估计值。

二、区间估计点估计只给出了一个参数的估计值，而没有给出该估计值的不确定性范围。

为了更全面地描述参数的估计结果，我们需要使用区间估计。

区间估计是指在一定的置信水平下，给出一个区间范围，该范围内包含了真实参数值的可能取值。

常见的区间估计方法有置信区间和预测区间。

置信区间是对总体参数的一个区间估计，表示我们对该参数的估计值的置信程度。

置信区间的计算依赖于样本数据的统计量和分布假设。

一般来说，置信区间的宽度与样本大小和置信水平有关，较大的样本和较高的置信水平可以得到更准确的估计。

预测区间是对未来观测值的一个区间估计，表示我们对未来观测值的可能取值范围的估计。

预测区间的计算依赖于样本数据的统计量、分布假设和预测误差的方差。

与置信区间类似，预测区间的宽度也与样本大小和置信水平有关。

三、贝叶斯估计贝叶斯估计是一种基于贝叶斯理论的参数估计方法。

它将参数看作是一个随机变量，并给出参数的后验分布。

贝叶斯估计的核心思想是根据样本数据和先验知识来更新参数的分布，从而得到参数的后验分布。

概率论第七章参数估计

L( ) max L( )
称^为
的极大似然估计（MLE）.
求极大似然估计(MLE)的一般步骤是：
(1) 由总体分布导出样本的联合概率分布 (或联合密度);
(2) 把样本联合概率分布(或联合密度)中自变量看成已知常数,而把参数看作自变量, 得到似然函数L( );
(3) 求似然函数L( ) 的最大值点(常常转化为求ln L( )的最大值点) ，即的MLE;
1. 将待估参数表示为总体矩的连续函数 2. 用样本矩替代总体矩，从而得到待估参
数的估计量。
四. 最大似然估计（极大似然法）
在总体分布类型已知条件下使用的一种参数估计方法 .
首先由德国数学家高斯在1821年提出。英国统计学家费歇1922年重新发现此
方法，并首先研究了此方法的一些性质 .
例：某位同学与一位猎人一起外出打猎.一只野兔从前方窜过 . 一声枪响，野兔应声倒下 .
p值 P(Y=0) P(Y=1) P( Y=2) P(Y=3) 0.7 0.027 0.189 0.441 0.343 0.3 0.343 0.441 0.189 0.027
应如何估计p?
若：只知0<p<1, 实测记录是 Y=k
(0 ≤ k≤ n), 如何估计p 呢?
注意到
P(Y k) Cnk pk (1 p)nk = f (p)
第七章参数估计
参数估计是利用从总体抽样得到的信息估计总体的某些参数或参数的某些函数.
仅估计一个或几个参数.
估计新生儿的体重
估计废品率
估计降雨量
估计湖中鱼数
…
…
参数估计问题的一般提法:
设总体的分布函数为 F(x, )，其中为未知参数 (可以是向量).从该总体抽样，得样本

第7章参数估计

对于是非标志（即服从两点分布的变量)来说，若将其具体表现分别用1、0数量化，成数就是其平均数是非标志的方差＝P(1-P)
x 1 0
f P 1－p
x
xf f
1 p 0 (1 p) p (1 p)
p
2 (x x)2 f (1 p)2 p (0 p)2 (1 p)
f
p (1 p)
似然函数常简记为L或 L 1,2, ,k
未知参数的函数。
38
若有 ˆi (x1, x2,..., xn ) i 1, 2, k 使得
L x1, x2,..., xn;ˆ1, ˆ 2,
, ˆ k
max L (1 ,2 , ,k )
x1, x2,..., xn; 1, 2,
, k
则 ˆi (X1, X2,..., Xn) 为参数θi的极大似然估计量。
中选出一个使样本观察值出现的概率为最大的 ˆ 作
为θ的估计量。
称 ˆ 为θ 的极大似然估计量。
37
2.似然函数的数学表达式
设X1,X2,…Xn是取自总体X的一个样本，样本的联合密度 (连续型）或联合分布律 (离散型)为 :
f (x; 1，2 , , k )
定义似然函数为：
n
L L x1,..., xn; 1, 2, , k f xi; 1, 2, , k i 1 x1, x2 ,..., xn 给定的样本观察值
§7.1.4抽样误差
1.误差：调查结果与实际值之间的差异抽样调查中的误差
登记性误差(非抽样误差) 误差代表性误差随系机统误误差差（（抽非样抽误样差误）差）
2.抽样误差—由于抽样的随机性而产生的样本指标对总体指标的代表性误差。抽样误差可以计算并加以控制，但不可以避免。

第四章参数估计

x
n
总体标准差，若未知，可用样本
标准差代替
36
总体均值的置信区间引例
(２未知)
例：某商场从一批袋装食品中随机抽取10袋，测得每袋重量（单位：克）分别为789，780，794， 762，802，813，770，785，810，806，要求以95%的把握程度，估计这批食品的平均每袋重量的区间范围。假定食品重量服从正态分布。
0.95，Ｚ/2=1.96
x Z 2
n
,
x
Z
2
n
26 1.96 6 ,26 1.96 6
100
100
24.824,27.176
我们可以95％的概率保证平均每天参加锻炼的时间在24.824～ 27.176 分钟之间。
一般置信水平
一般使用的置信水平是：90%, 95%, 99%
Confidence Level
▪ 总体服从正态分布,且总体方差（２）已知 ▪ 如果不是正态分布，可以由正态分布来近似 (n 30)
2. 使用正态分布统计量Ｚ
Z
x s
m ~ N (0,1)
n
3. 总体均值在1-置信水平下的置信区间为
s
s
x
Za 2
,x n
Za 2 n
总体均值的置信区间
(２已知)
抽样极限误差:
s x Za 2 n
❖ 定理1
当总体 X ~ N ( m , s 2 ) 时，抽自该总体
的简单随机样本 x1 , x 2 , , x n 的样本平均数
服从数学期望为，方差为 s2的正态分布，
n
即 x ~ N (m, s2 ) 。
n
Z x ~ N (0,1) n

参数估计PPT课件

如何根据数据选择合适的模型，以及如何进行有效的假设检验是参数估计面临的重要挑战。
高维数据问题
随着数据维度的增加，参数估计的准确性和稳定性面临更大的挑战。
异方差性和非线性问题
在实际应用中，数据往往存在异方差性和非线性关系，这增加了参数估计的难度。
参数估计的发展趋势与未来研究方向
1 2 3
贝叶斯推断
区间估计是一种统计推断方法，它利用样本信息来估计未知参数的可能取值范围。
区间估计的性质
区间估计给出的是未知参数的一个可能取值范围，而不是一个具体的点估计值。
区间估计的优缺点
优点
区间估计能够给出未知参数的一个可能取值范围，从而为决策者提供更多的信息，有助于理解参数的不确定性。
缺点
由于区间估计给出的范围较宽，可能会引入较大的误差。此外，对于某些复杂模型，构造有效的区间估计可能比较困难。
在贝叶斯估计中，先验分布代表了我们对未知参数的先验知识或信念，而后验分布则是结合先验信息和样本数据后对未知参数的更新信念。
贝叶斯估计的核心思想是将参数看作随机变量，并利用概率论来描述我们对参数的认知不确定性。
贝叶斯估计的优缺点
优点
贝叶斯估计能够综合考虑先验信息和样本数据，给出参数的后验分布，从而为决策提供更全面的信息。此外，贝叶斯估计方法灵活，可以适用于不同类型的数据和问题。
点估计的优缺点
总结词
点估计的优缺点
详细描述
点估计的优点在于它提供了一个简洁的表示未知参数的方法，并且可以利用各种统计方法进行推断和分析。然而，点估计也存在一些缺点，如它可能会受到样本误差的影响，导致估计结果不够准确；另外，当样本容量较小时，点估计的效果可能会较差。
点估计的常见方法：矩估计、最小二乘法等

07心理统计学-第七章参数估计

犯错误的概率，常用α（或p）表示。则1-α为置信度。（显著性水平越高表示的是α值越小，即犯错误的可
能性越低） α为预先设定的临界点，常用的如.05、.01、.001；p 为检验计算所得的实际（犯错误）概率。
第一节点估计、区间估计与标准误
三、区间估计与标准误
3、区间估计的原理与标准误
转换成比率为
p

n
p, SE p

n

pq n
同理可得公式7-17。自习[例7-12、例7-13]
1、从某地区抽样调查400人，得到每月人均文化消费为 160元。已知该地区文化消费的总体标准差为40元。试问该地区的每月人均文化消费额。（α=.05，总体呈正态
分布）
2、上题中总体方差未知，已知Sn-1=44元。 3、已知某中学一次数学考试成绩的分布为正态分布，总体标准差为5。从总体中随机抽取16名学生，计算得平均数为81、标准差为Sn=6。试问该次考试中全体考生成绩平均数的95%置信区间。 4、上题中总体方差未知，样本容量改为17人。 5、假定智商服从正态分布。随机抽取10名我班学生测得智商分别为98、102、105、105、109、111、117、 123、124、126（可计算得M=112，Sn≈9.4），试以95% 的置信区间估计我班全体的智商平均数。返回
值表，求tα /2（df）。
5、计算置信区间CI。
σ2已知，区间为M-Zα /2 SE <μ< M+Zα /2 SE；
σ2未知，区间为M-tα /2(df)SE <μ< M+tα /2(df)SE。
6、对置信区间进行解释。
二、σ2已知，对μ的区间估计（Z分布，例7-1 & 2）三、σ2未知，对μ的区间估计（t分布，例7-3 & 4）

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第6章参数估计
3
6.2.1 总体均值区间估计的基本内容
▪ 当总体方差σ2已知时总体均值的区间估计
对于给定的显著性水平，可以构造均值的置信区间为：
n
n
X Z / 2
, X Z / 2
总体方差未知时总体均值的区间估计对于给定的显著性水平，总体均值的置信区间为：
▪
样本量n的大小为：
n
Z / 2 2
e2
2
▪ 从上式可以看出，必要样本容量 n与总体方差、抽样极限误差，置信水平之间具有下述关系：
在其他条件不变的情况下，总体方差越大，必要样本容量n便越大，必要样本容量与总体方差成正比；置信水平越大，必要样本容量便越大，二者成正方向关系；抽样极限误差越大，样本容量就越小，二者成反方向关系。
择TINV函数。单击“确定”按钮，打开TINV函数对话框
如图所示。
⑧在“Probability”中输入“1－D5”，所显示的值是0.05。
；在“Deg_freedom"中输入自由度的表达式，即“D1－
1”，所显示值是9，单击“确定”按钮，单元格D6中显示
值为2.262159。
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第6章参数估计
28
⑥将单元格P2：V2的公式复制到P2：V1001区域中的各个单元格中。
复制完成，V列中大部分单元格中都显示为TRUE，如图所示。
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第6章参数估计
29
6.3.3 区间估计的含义
▪ 下面利用V列的逻辑函数确认是否大部分样本所构造的置信区间包含总体均值100。
第六章参数估计
本章内容
▪ 6.1 参数估计的基本内容 ▪ 6.2 总体均值区间估计 ▪ 6.3 利用Excel理解区间估计 ▪ 6.4 总体比例区间估计 ▪ 6.5 总体标准差及方差的估计
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第6章参数估计
1
6.1 参数估计的基本内容
参数估计主要内容是通过统计量估计总体参数。参数估计的方法有两种，即点估计与区间估计。
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第6章参数估计
16
计算结果如图所示：
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第6章参数估计
17
6.3 利用Excel理解区间估计的含义
▪ 6.3.1 利用Excel模拟区间估计 ▪ 6.3.2 利用随机数发生器生成样本 ▪ 6.3.3 区间估计的含义 ▪ 6.3.4 案例研究：市场研究中使用区间估计
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第6章参数估计
14
②在单元格B1中输入极限误差2，在单元格B2中输入置信度0.96(或96%)。
③在单元格B4中输入标准差5。单元格B3中需要输入与B2中置信度相对应的Z值。使用NORNSINV 函数，可以把左侧概率转换成Z值。
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第6章参数估计
①打开“第6章参数估计.xls“工作薄，选择“均值”工作表，如图所示。
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第6章参数估计
5
②选择单元格D1，在“插入”菜单中选择“函数” 选
项，打开“粘贴函数”对话框如图所示。
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第6章参数估计
6
③在“函数分类”列表中选择“统计”，在“函数名” 列表中选
④在“分布”对话框中选择“正态”选项。在“参数” 对话框中的“平均值”中输入100，“标准偏差” 中输入15。
⑤在“输出选项”中选择“输出区域”，输入地址 A2，这样第一组数据将取代先前建立的样本数据，并以A2作为初始地址。单击“确定”按钮，由于第一个样本取代了已存在的数据，Excel将打开一个警告窗口。在警告窗中单击“确定”按钮。
15
④在单元格B3中输入公式“=NORMSINV(B2)”，计算与B2的置信度相应的左侧Z值。显示对应于96%的置信度的Z值为1.750686。
⑤在B5单元格中根据上面样本容量的计算公式，输入公式“=(B3^2*B4^2)/B1^2” 计算样本容量，显示值为19.15564。
⑥在B6单元格输入“=CEILING(B5,2)”，显示值为20。
22
⑨ 在 Probability 中输入1 － $Y$2 ， Y2 要绝对引用，在 Deg_freedom中输入15－1。单击“确定”按钮后，在单元格S2中显示的值是2.144789。
⑩在单元格T2中输入公式“=P2-S2*R2”，以计算估计下限，其值为 87.61706 。在单元格 U2 中输入公式 “ =P2+S2*R2” ，以计算估计下限，其值为 112.3829 。
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第6章参数估计
25
6.3.2 利用随机数发生器生成样本
▪ 随机数发生器可以采用不同的分布抽取样本，这里采用正态分布，并假定总体的均值为100，标准差为15。操作如下：
①打开“第6章参数估计.xls”工作簿，选择“模拟区间”工作表。
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第6章参数估计
20
⑤在单元格P2中输入公式为“=AVERAGE(A2:O2)”，计算样本的均值，显示的值是100。
⑥在单元格Q2中输入公式“=STDEV(A2:O2)”，计算样本的标准差。显示的值是22.36068。
⑦ 在单元格R2中输入公式“=Q2/SQRT(15)”，计算标准误差，即样本标准差除以15的平方根，显示值为5.773503。
③在单元格Y2中输入置信度95%，它表示有95% 样本所构造的置信区间包含总体均值。
④在单元格A2中输入65。选择A2，在“编辑” 菜单中选择“填充”选项，在填充选项中选择 “序列”，打开序列对话框如图所示。
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第6章参数估计
19
在“序列产生在”框中选择“行”，在步长值中输入5，在终止值中输入135，单击“确定”按钮。数据出现在A2：O2区域中。
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第6章参数估计
13
6.2.4 利用Excel计算必要样本单位数
例某快餐店想在置信度为96%的条件下估计午餐时间每位顾客的平均支出，根据过去经验，每个顾客平均支出的标准差不超过5元，要抽取多少样本才能使其抽样极限误差不超过2元呢?
①打开“第6章参数估计.xls”工作簿，选择 “样本容量”工作表，如图所示：
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第6章参数估计
24
②在“Logical1”中输入表达式“t2<=100”，在 Logical2”中输入表达式“u2>=100”。表中估计下限 T2的值是87.61706，小于100，估计上限U2的值是 112.3829，大于100，所以计算结果为真，显示为 “TRUE”，单击“确定”按钮，计算结果如图所示。
X t / 2
S n
,
X
t / 2
S
n
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第6章参数估计
4
6.2.2 利用Excel计算总体均值置信区间
例某工厂想检验一批灯泡的质量，抽取10个样本对其耐用小时进行检测，结果如下： 1326 1336 1351 1365 1209 1343 1259 1365 1308 1349 试以95%的置信度估计这批灯泡的平均耐用小时。
▪ 在单元格D5中输入置信度95%，注意加上百分号。在单元格D6中使用TINV函数计算在95%置信度和自由度下的t值。
⑥选择单元格D6，在“插入”菜单中选择“函数” 选项，打开“粘贴函数”对话框。
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第6章参数估计
9
⑦在“函数分类”列表中选择“统计”，在“函数名” 列表中选
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第6章参数估计
18
6.3.1 利ห้องสมุดไป่ตู้Excel模拟区间估计
①打开“第6章参数估计.xls”工作簿，选择“模拟区间”工作表。
②在单元格A1中输入“样本”，在P1:V1各单元格中分别输入“均值”、“标准差”、“标准误差”、“t 值”、“估计下限”、“估计上限”、“逻辑函数”，在单元格Y1中输入“置信度”。
点估计就是以单个数值对总体参数做出估计。区间估计即在结论中指出未知总体参数所在区间
的上下限，并给出估计结论的可靠性。
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第6章参数估计
2
6.2 总体均值区间估计
▪ 6.2.1 总体均值区间估计的基本内容 ▪ 6.2.2 利用Excel计算总体均值置信区间 ▪ 6.2.3 必要样本容量的计算公式 ▪ 6.2.4 利用Excel计算必要样本单位数
①在W4到W6的单元格中分别键入:“正确估计”、 “错误估计”和“总计”。
②在X3和Y3单元格中分别键入“次数”和“百分比”。
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第6章参数估计
30
③选择单元格X4，输入条件计数函数公式 “=COUNTIF(V2:V1001,TRUE)”。该公式计算V2： V1001范围内出现“TRUE”的个数。在X4单元格中的数值近似于950。
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第6章参数估计
21
⑧ 选定单元格S2，在“插入”菜单中选择“函数”选项，
打开“粘贴函数”对话框。在“函数分类”列表中选择
“统计”，在“函数名”列表中选择函数TINV。单击
“确定”按钮，打开TINV函数对话框如下页图所示。
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第6章参数估计