数学直线与方程题型总结
高考直线方程题型归纳
高考直线方程题型归纳知识点梳理 1．点斜式方程设直线l 过点P 0x 0,y 0,且斜率为k ,则直线的方程为y －y 0=kx －x 0,由于此方程是由直线上一点P 0x 0,y 0和斜率k 所确定的直线方程,我们把这个方程叫做直线的点斜式方程.注意：利用点斜式求直线方程时,需要先判断斜率存在与否. 1当直线l 的倾斜角α=90°时,斜率k 不存在,不能用点斜式方程表示,但这时直线l 恰与y 轴平行或重合,这时直线l 上每个点的横坐标都等于x 0,所以此时的方程为x =x 0.2当直线l 的倾斜角α=0°时,k =0,此时直线l 的方程为y =y 0,即y －y 0=0.3当直线l 的倾斜角不为0°或90°时,可以直接代入方程求解. 2．斜截式方程：如果一条直线通过点0,b 且斜率为k ,则直线的点斜式方程为y =kx + b 其中k 为斜率,b 叫做直线y =kx +b 在y 轴上的截距,简称直线的截距. 注意：利用斜截式求直线方程时,需要先判断斜率存在与否.1并非所有直线在y 轴上都有截距,当直线的斜率不存在时,如直线x =2在y 轴上就没有截距,即只有不与y 轴平行的直线在y 轴上有截距,从而得斜截式方程不能表示与x 轴垂直的直线的方程.2直线的斜截式方程y =kx +b 是y 关于x 的函数,当k =0时,该函数为常量函数.x =b ；当k ≠0时,该函数为一次函数,且当k >0时,函数单调递增,当k <0时,函数单调递减.3直线的斜截式方程是直线的点斜式方程的特例;要注意它们之间的区别和联系及其相互转化.3．直线的两点式方程若直线l 经过两点Ax 1,y 1,Bx 2,y 2,x 1≠x 2,则直线l 的方程为112121y y x x y y x x --=--,这种形式的方程叫做直线的两点式方程. 注意1当直线没有斜率x 1=x 2或斜率为零y 1=y 2时,不能用两点式112121y y x x y y x x --=--表示它的方程；2可以把两点式的方程化为整式x 2－x 1y －y 1= y 2－y 1x －x 1,就可以用它来求过平面上任意两点的直线方程； 如过两点A 1,2,B 1,3的直线方程可以求得x =1,过两点A 1,3,B －2,3的直线方程可以求得y =3.3需要特别注意整式x 2－x 1y －y 1= y 2－y 1x －x 1与两点式方程112121y y x x y y x x --=--的区别,前者对于任意的两点都适用,而后者则有条件的限制,两者并不相同,前者是后者的拓展; 4．直线的截距式方程若直线l 在x 轴上的截距是a ,在y 轴上的截距是b ,且a ≠0,b ≠0,则直线l 的方程为1x ya b+=,这种形式的方程叫做直线的截距式方程; 注意：1方程的条件限制为a ≠0,b ≠0,即两个截距均不能为零,因此截距式方程不能表示过原点的直线以及与坐标轴平行的直线；2用截距式方程最便于作图,要注意截距是坐标而不是长度；3要注意“截距相等”与“截距绝对值相等”是两个不同的概念,截距式中的截距可正、可负,但不可为零; 截距式方程的应用1与坐标轴围成的三角形的周长为：|a |+|b；2直线与坐标轴围成的三角形面积为：S =1||2ab ；3直线在两坐标轴上的截距相等,则k =－1或直线过原点,常设此方程为x +y =a 或y =kx . 5．直线方程的一般形式方程Ax +By +C =0A 、B 不全为零叫做直线的一般式方程. 注意1．两个独立的条件可求直线方程：求直线方程,表面上需求A 、B 、C 三个系数,由于A 、B 不同时为零,若A ≠0,则方程化为0B Cx y A A++=,只需确定,B C A A 的值；若B ≠0,同理只需确定两个数值即可；因此,只要给出两个条件,就可以求出直线方程； 2．直线方程的其他形式都可以化成一般式,解题时,如果没有特殊说明应把最后结果化为一般式,一般式也可以化为其他形式; 3．在一般式Ax +By +C =0A 、B 不全为零中,若A =0,则y =CB -,它表示一条与y 轴垂直的直线；若B =0,则Cx A=-,它表示一条与x 轴垂直的直线.6.直线方程的选择1待定系数法是求直线方程的最基本、最常用的方法,但要注意选择形式,一般地已知一点,可以待定斜率k ,但要注意讨论斜率k 不存在的情形,如果已知斜率可以选择斜截式待定截距等；2直线方程的几种特殊形式都有其使用的局限性,解题过程中要能够根据不同的题设条件,截距式方程 一般式能表示所有的直线求直线方程的最后结果均可以化为一般式方程典型例题剖析题型1．直线的点斜式方程例1．一条直线经过点M －2,－3,倾斜角α=135°,求这条直线的方程;例2．求斜率为33,且分别满足下列条件的直线方程： 1经过点M 3,－1；2在x 轴上的截距是－5. 题型2．直线的斜截式方程例3．若直线Ax +By +C =0通过第二、三、四象限,则系数A 、B 、C 需满足条件AA 、B 、C 同号 BAC <0,BC <0 CC =0,AB <0 DA =0,BC <0例4．直线y =ax +b a +b =0的图象是例5．写出过下列两点的直线方程,再化成斜截式方程. 1P 12,1,P 20,－3；2P 12,0,P 20,3;例6． 三角形的顶点是A －5,0、B 3,－3、C 0,2,求这个三角形三边所在的直线方程. 题型4．直线的截距式方程例7．已知直线的斜率为61,且和坐标轴围成面积为3的三角形,求该直线的方程;例8．过点A 1,4且纵截距与横截距的绝对值相等的直线共有的条数为 A 1 B 2 C 3 D 4 题型5．直线的一般式方程例9．已知直线经过点A 6,－4,斜率为－34,求直线的点斜式和一般式方程.例10．把直线l 的方程x －2y +6=0化成斜截式,求出直线l 的斜率和它在x 轴与y 轴上的截距,并画图. 题型6.定点问题 例11、已知直线所过定点的横、纵坐标分别是等差数列{}的第一项与第二项,若,数列的前n 项和为T n ,则T 10=A. B. C. D.题型7.对称问题例12、已知直线l 1：y ＝2x ＋3,直线l 2与l 1关于直线y ＝－x 对称,则直线l 2的斜率为A. B ．－ C ．2 D ．－2例13、直线关于直线对称的直线方程是A． B．C． D．例14、直线2x－y－4=0上有一点P,它与两定点A4,－1,B3,4的距离之差最大,则P点坐标是_________例15.1求点A3,2关于点B－3,4的对称点C的坐标；2求直线3x－y－4＝0关于点P2,－1对称的直线l的方程；3求点A2,2关于直线2x－4y＋9＝0的对称点的坐标．题型8.最值问题例16、若点m,n在直线4x＋3y－10＝0上,则m2＋n2的最小值是A．2 B．2 C．4 D．2例17、直线与直线互相垂直,则的最小值为A．1 B．2 C．4 D．5例18.过点P1,2作直线l,交x,y轴的正半轴于A、B两点,求使△OAB面积取得最小值时直线l 的方程.题型9．创新问题例19．已知两直线a1x+b1y+1=0和a2x+b2y+1=0的交点为P2,3,求过两点Q1a1,b1,Q2a2,b2的直线方程.例20、已知点A－1,0,B1,0,C0,1,直线y＝ax＋ba>0将△ABC分割为面积相等的两部分,则b的取值范围是A．0,1 B. C. D.例21、在平面直角坐标系中,定义dP,Q=|x1﹣x2|+|y1﹣y2|为两点Px1,y1,Qx2,y2之间的“折线距离”,在这个定义下,给出下列命题：①到原点的“折线距离”等于1的点的集合是一个圆；②到原点的“折线距离”小于等于2的点构成的区域面积为8；③到M0,﹣2,N0,2两点的“折线距离”相等的点的轨迹方程是y=0；④直线y=x+1上的点到N0,2的“折线距离”的最小值为1．其中真命题有A．1个B．2个C．3个D．4个例22、已知两定点M-2,0,N2,0,若直线上存在点P,使得,则该称直线为“A 型直线”.给出下列直线： ①, ②, ③, ④,其中是“A 型直线”的序号是 .例23、已知直线l ：A ,B 不全为0,两点,,若,且,则A ．直线l 与直线P 1P 2不相交B ．直线l 与线段P 2 P 1的延长线相交C ．直线l 与线段P 1 P 2的延长线相交D ．直线l 与线段P 1P 2相交例24. 已知实数x,y 满足y ＝x 2－2x ＋2－1≤x≤1．试求错误!的最大值与最小值．强化训练1．下列说法中不正确的是A 点斜式y －y 0=kx －x 0适用于不垂直于x 轴的任何直线B 斜截式y =kx +b 适用于不垂直x 轴的任何直线C 两点式112121y y x x y y x x --=--适用于不垂直于坐标轴的任何直线 D 截距式1x ya b+=适用于不过原点的任何直线2．直线3x －2y =4的截距式方程为A 3142x y -=B 11132x y -=C 3142x y -=-D 1423x y +=-3．过点3,－4且平行于x 轴的直线方程是 ；过点5,－2且平行于y 轴的直线方程是 ;4．过点P 1,3的直线分别与两坐标轴交于A 、B 两点,若P 为AB 的中点,求直线的方程. 5．已知△ABC 中,A 1,－4,B 6,6,C －2,0,求：1△ABC 的平行于BC 边的中位线的一般式方程和截距式方程； 2BC 边的中线的一般式方程,并化为截距式方程. 6．如果AC <0,BC <0,那么直线Ax +By +C =0不通过A 第一象限B 第二象限C 第三象限D 第四象限7．直线l 过点P 1,3,且与x ,y 轴正半轴所围成的三角形的面积等于6,则l 的方程是 A 3x +y －6=0 Bx +3y －10=0 C 3x －y =0 Dx －3y +8=08．若直线2m 2+m －3x +m 2－my =4m －1在x 轴上的截距为1,则实数m 是A 1B 2C －21D 2或－219．已知直线l ：Ax +By +C =0A 2+B 2≠0,点Px 0,y 0在l 上,则l 的方程可化为AAx +x 0+By +y 0+C =0 BAx +x 0+By +y 0=0 CAx －x 0+By －y 0+C =0 DAx －x 0+By －y 0=010．经过点－3,－2,在两坐标轴上截距相等的直线方程为 11．若点a ,12在过点1,3及点5,7的直线上,则a = .12．、在平面直角坐标系中,是坐标原点,设函数的图象为直线,且与轴、轴分别交于、两点,给出下列四个命题：①存在正实数,使△的面积为的直线仅有一条；②存在正实数,使△的面积为的直线仅有两条；③存在正实数,使△的面积为的直线仅有三条；④存在正实数,使△的面积为的直线仅有四条.其中所有真命题的序号是 .13、在平面直角坐标系xOy中,设点、,定义：．已知点,点M为直线上的动点,则使取最小值时点M的坐标是．141已知直线l：2m2+m－3x+m2－my－4m+1=0,求m的取值范围2如果ab>0,bc<0,那么直线ax－by－c必经过第几象限。
直线与方程知识点总结与题型
第三章：直线与方程的知识点姓名 班别 学号倾斜角与斜率1. 当直线l 与x 轴相交时，我们把x 轴正方向与直线l 向上方向之间所成的角叫做直线l 的倾斜角.当直线l 与x 轴平行或重合时, 我们规定它的倾斜角为0°. 则直线l 的倾斜角α的范围是0απ≤<.2. 倾斜角不是90°的直线的斜率，等于直线的倾斜角的正切值，即tan k θ=. 如果知道直线上两点1122(,),(,)P x y P x y ，则有斜率公式2121y y k x x -=-. 特别地是，当12x x =，12y y ≠时，直线与x 轴垂直，斜率k 不存在；当12x x ≠，12y y =时，直线与y 轴垂直，斜率k =0.注意：直线的倾斜角α=90°时，斜率不存在，即直线与y 轴平行或者重合. 当α=90°时，斜率k =0；当090α︒<<︒时，斜率0k >，随着α的增大，斜率k 也增大；当90180α︒<<︒时，斜率0k <，随着α的增大，斜率k 也增大. 这样，可以求解倾斜角α的范围与斜率k 取值范围的一些对应问题.两条直线平行与垂直的判定1. 对于两条不重合的直线1l 、2l ，其斜率分别为1k 、2k ，有：（1）12//l l ⇔12k k =；（2）12l l ⊥⇔121k k ⋅=-.2. 特例：两条直线中一条斜率不存在时，另一条斜率也不存在时，则它们平行，都垂直于x 轴；….直线的点斜式方程1. 点斜式：直线l 过点000(,)P x y ,且斜率为k ，其方程为00()y y k x x -=-.2. 斜截式：直线l 的斜率为k ，在y 轴上截距为b ，其方程为y kx b =+.3. 点斜式和斜截式不能表示垂直x 轴直线. 若直线l 过点000(,)P x y 且与x 轴垂直,此时它的倾斜角为90°，斜率不存在，它的方程不能用点斜式表示，这时的直线方程为00x x -=，或0x x =.4. 注意：0y y k x x -=-与00()y y k x x -=-是不同的方程，前者表示的直线上缺少一点000(,)P x y ，后者才是整条直线.直线的两点式方程1. 两点式：直线l 经过两点111222(,),(,)P x y P x y ，其方程为112121y y x x y y x x --=--， 2. 截距式：直线l 在x 、y 轴上的截距分别为a 、b ，其方程为1x ya b+=.3. 两点式不能表示垂直x 、y 轴直线；截距式不能表示垂直x 、y 轴及过原点的直线.4. 线段12P P 中点坐标公式1212(,)22x x y y ++.直线的一般式方程1. 一般式：0Ax By C ++=，注意A 、B 不同时为0. 直线一般式方程0(0)Ax By C B ++=≠化为斜截式方程A C y x B B =--，表示斜率为A B -，y 轴上截距为CB-的直线.2. 与直线:0l Ax By C ++=平行的直线，可设所求方程为10Ax By C ++=；与直线0Ax By C ++=垂直的直线，可设所求方程为10Bx Ay C -+=.3. 已知直线12,l l 的方程分别是：1111:0l A x B y C ++=（11,A B 不同时为0），2222:0l A x B y C ++=（22,A B 不同时为0），则两条直线的位置关系可以如下判别：（1）1212120l l A A B B ⊥⇔+=； （2）1212211221//0,0l l A B A B AC A B ⇔-=-≠；（3）1l 与2l 重合122112210,0A B A B AC A B ⇔-=-=； （4）1l 与2l 相交12210A B A B ⇔-≠.如果2220A B C ≠时，则11112222//A B C l l A B C ⇔=≠；1l 与2l 重合111222A B CA B C ⇔==；1l 与2l 相交1122A BA B ⇔≠. 两条直线的交点坐标1. 一般地，将两条直线的方程联立，得到二元一次方程组1112220A x B y C A x B y C ++=⎧⎨++=⎩. 若方程组有惟一解，则两条直线相交，此解就是交点的坐标；若方程组无解，则两条直线无公共点，此时两条直线平行；若方程组有无数解，则两条直线有无数个公共点，此时两条直线重合.2. 方程111222()()0A x B y C A x B y C λ+++++=为直线系，所有的直线恒过一个定点，其定点就是1110A x B y C ++=与2220A x B y C ++=的交点. 两点间的距离1. 平面内两点111(,)P x y ，222(,)P x y，则两点间的距离为：12||PP .特别地，当12,P P 所在直线与x 轴平行时，1212||||PP x x =-；当12,P P 所在直线与y 轴平行时，1212||||PP y y =-；点到直线的距离及两平行线距离 1. 点00(,)P x y 到直线:0l Ax By C ++=的距离公式为d =2. 利用点到直线的距离公式，可以推导出两条平行直线11:0l Ax By C ++=，22:0l Ax By C ++=之间的距离公式d =，推导过程为：在直线2l 上任取一点00(,)P x y ，则0020A x B yC ++=，即00A x B y C +=-. 这时点00(,)P x y 到直线11:0l Ax By C ++=的距离为d ==一.选择题1.(安徽高考) 过点(1,0)且与直线x-2y=0平行的直线方程是（ ） A.x-2y-1=0 B. x-2y+1=0 C. 2x+y-2=0 D. x+2y-1=02. 过点(1,3)P -且垂直于直线032=+-y x 的直线方程为（ ） A. 012=-+y x B. 052=-+y x C. 052=-+y x D. 072=+-y x3. 已知过点(2,)A m -和(,4)B m 的直线与直线012=-+y x 平行，则m 的值为（ ） A. 0 B. 8- C. 2 D. 104.(安徽高考)直线过点（-1，2），且与直线2x-3y+4=0垂直，则直线的方程是（ ） A . 3x+2y-1=0 B. 3x+2y+7=0 C. 2x-3y+5=0 D. 2x-3y+8=05.设直线ax+by+c=0的倾斜角为θ，切sin cos 0θθ+=则a,b 满足 （ ） A. a+b=1 B. a-b=1 C. a+b=0 D. a-b=06. 如果直线ax+2y+2=0与直线3x-y-2=0平行，则系数a= A 、 -3 B 、-6 C 、23- D 、327.点P （-1，2）到直线8x-6y+15=0的距离为（ ） A 2 B 21 C 1 D 278. 直线mx-y+2m+1=0经过一定点，则该点的坐标是 A （-2，1） B （2，1） C （1，-2） D （1，2）9. （上海文，15）已知直线12:(3)(4)10,:2(3)230,l k x k y l k x y -+-+=--+=与平行，则k 得值是（ ）A. 1或3B.1或5C.3或5D.1或210、若图中的直线L 1、L 2、L 3的斜率分别为K 1A 、K 1﹤K 2﹤K 3B 、K 2﹤K 1﹤K 3C 、K 3﹤K 2﹤K 1D 、K 1﹤K 3﹤K 212、与直线2x+3y-6=0关于点(1,-1)对称的直线是（ ）A.3x-2y-6=0B.2x+3y+7=0C. 3x-2y-12=0D. 2x+3y+8=0 13. 若直线ax + by + c = 0在第一、二、三象限，则( )A. ab ＞0，bc ＞0B. ab ＞0，bc ＜0C. ab ＜0，bc ＞0D. ab ＜0，bc ＜0 14.（2005北京文）“m=21”是“直线(m+2)x+3my+1=0与直线(m －2)x+(m+2)y －3=0相互垂直”的 ( )A.充分必要条件B.充分而不必要条件C.必要而不充分条件D.既不充分也不必要条件15. 如果直线 l 经过两直线2x - 3y + 1 = 0和3x - y - 2 = 0的交点，且与直线y = x 垂直，则原点到直线 l 的距离是( )A. 2B. 1 2C. 22 16. 原点关于x - 2y + 1 = 0的对称点的坐标为( ) A. ⎪⎭⎫ ⎝⎛52 ，54- B. ⎪⎭⎫ ⎝⎛54 ，52- C. ⎪⎭⎫ ⎝⎛52 ，54D. ⎪⎭⎫ ⎝⎛54 ，52- 二、填空题1. 点(1,1)P -到直线10x y -+=的距离是________________.2.已知A(-4,-6),B(-3,-1),C(5,a)三点共线，则a 的值为（ ）3.经过两直线11x+3y －7=0和12x+y －19=0的交点，且与A （3，－2）， B （－1，6）等距离的直线的方程是 。
直线与方程经典题型总结(超值)
直线与方程一、 知识要点： 1、直线的斜率：倾斜角不是90°的直线．它的倾斜角的正切叫做这条直线的斜率．直线的斜率常用k 表示，即 αtan =k 2、直线的斜率公式：在坐标平面上，已知两点P1(x1，y1)、P2(x2，y2)， 由于两点可以确定一条直线，直线P1P2就是确定的．当x1≠x2时，直线的倾角不等于90°时，这条直线的斜率也是确定的．怎样用P2和P1的坐标来表示这条直线的斜率？P2分别向x 轴作垂线P1M1、P2M2，再作P1Q ⊥P2M ，垂足分别是M1、M2、Q ．那么：α=∠QP1P2(图甲)或α=π-∠P2P1Q(图乙)在图甲中：121212tan x x y y Q P QP --==α 在图乙中：xx y y QP QP Q P P --==<-=2121212tan tan α如果P 1P 2向下时，用前面的结论课得：xx y y x x y y --=--=2122121tan α 综上所述，我们得到经过点P1(x1，y1)、P2(x2，y2)两点的直线的斜率公式：3、直线的点斜式方程：①其中(00,x y )为直线上一点坐标，k 为直线的斜率。
式方程，简称点斜式。
4、直线斜截式方程：………… ②我们把直线l 与y 轴交点（0，b ）的纵坐标b 叫做直线l 在y 轴上的截距(即纵截距)。
方程②是由直线l 的斜率k 和它在y 轴上的截距b 确定的，所以叫做直线斜截式方程，简称为斜截式。
5、直线方程的两点式：),(2121121121y y x x x x x x y y y y ≠≠--=-- 其中2211,,,y x y x 是直线两点),(),,(2211y x y x 的坐标. 6、直线方程的截距式：1=+byax ,其中a ,b 分别为直线在x 轴和y 轴上截距.7、直线方程的一般形式：Ax+By+C=0 （A 、B 不全为0） 8、两条直线的交点坐标： 设两直线的方程是l 1： A 1x+B 1y+C 1=0， l 2： A 2x+B 2y+C 2=0．(2)当A 1B 2-A 2B 1=0时：方程无解，即两直线平行.9、两点间的距离公式：思考题1、如图（1），求两点A （—2，0），B （3，0）间的距离。
直线与方程知识点总结
直线与方程知识点总结一、直线的表示1、比例表达式：对于任意的两个不同的点A(x1,y1)与B(x2,y2)，它们所连成的直线上任意的一点P(x,y)都满足比例关系：$$\frac{y-y_1}{y_2-y_1}=\frac{x-x_1}{x_2-x_1}$$2、斜截式：也叫斜率表达式：对于任意的两个不同的点A(x1,y1)与B(x2,y2)，它们所连成的直线可用如下斜率表达式：$$y-y_1=k(x-x_1)$$其中，k为斜率，可以根据两点A(x1,y1)与B(x2,y2)，计算得出：$$k=\frac{y_2-y_1}{x_2-x_1}$$3、标准方程：直线可以用标准方程表达：$$Ax+By+C=0$$其中，A、B、C可以根据两点A(x1,y1)与B(x2,y2)，计算得出：$$A=y_2-y_1,B=x_1-x_2,C=x_2y_1-x_1y_2$$二、方程的表示1、一元一次方程：一元一次方程可以按如下形式表示：$$Ax+B=0$$其中，A、B为常数，A≠0，解析解可以表示为：$$x=-\frac{B}{A}$$2、一元二次方程：一元二次方程可以按如下形式表示：$$Ax^2+Bx+C=0$$其中，A、B、C为常数，A≠0，解析解可以表示为：$$x=\frac{-B\pm\sqrt{B^2-4AC}}{2A}$$3、二元一次方程：二元一次方程可以按如下形式表示：$$Ax+By+C=0$$其中，A、B、C为常数，解析解可以表示为：$$x=\frac{-B\pm\sqrt{B^2-4AC}}{2A}$$$$y=\frac{-A\pm\sqrt{B^2-4AC}}{2B}$$4、同次及非同次线性方程组：。
直线方程重点题型
直线方程重难点题型1、斜率问题1. 若三点)2,2(A ，)0,(a B ，),0(b C )0(≠ab 共线，则=+ba 11 。
2. 若直线先向做平移一个单位，再向上平移两个单位，所得直线与原直线重合，则该直线的斜率为 。
3. 直线01=++y ax 与连接)3,2(A ，)2,3(-B 的线段相交，则a 的取值范围是（ ）A . ]2,1[-B . ),2[)1,(+∞⋃--∞C . ]1,2[-D . ),1[)2,(+∞⋃--∞4. 已知实数y x ,满足222+-=x x y )11(≤≤-x ，试求23++x y 的最大值与最小值。
拓展：著名数学家华罗庚曾说过：“数形结合百般好，割裂分家万事休。
”事实上，很多代数问题可以转化为几何问题加以解决。
如：22)()(b y a x -+-可以转化为平面上的点),(y x M 与点),(b a N 的距离。
结合上述观点，可得102204)(22+++++=x x x x x f 的最小值为 。
2、求直线方程 5. 已知两直线07:111=++y b x a l ，07:222=++y b x a l 都经过点)5,3(，则经过点),(11b a ，),(22b a )(21a a ≠的直线方程 。
3、中点问题6. 一条直线l 被两条直线064:1=++y x l 和0653:2=--y x l 截得的线段中点M 恰好是坐标原点，求直线l 的方程。
7. 过点)1,0(M 作直线，使得它被两条直线0103:1=+-y x l 和082:2=-+y x l 所截得的线段恰好被点M 平分，求此直线的方程。
4、距离问题8. 到直线012:=++y x l 的距离为55的点的轨迹方程为（ ） A . 直线022=-+y x B . 直线02=+y xC . 直线02=+y x 或直线022=-+y xD . 直线02=+y x 或直线022=++y x9.已知正方形的中心为直线2x－y＋2=0和x＋y＋1=0的交点，正方形一边所在直线的方程为x＋3y－5=0，求其他三边所在直线的方程．5、对称问题及应用（1）点关于直线对称10.已知P(2,3)和直线l:x＋y＋1=0．求(1)点P关于直线l的对称点；(2)若一束光线由P点射到l上，反射后经过点Q(1,1)，求入射光线及反射光线的方程．11.如图，已知)0,4(A，)4,0(B，从点)0,2(P射出的光线经直线AB反射后再射到OB上，最后经直线OB反射后又回到点P，则光线所经过的路程是。
(shi)数学直线与方程题型总结
定义：（1）直线的倾斜角：x 轴正向与直线向上方向之间所成的角叫直线的倾斜角。
特别地，当直线与x 轴平行或重合时,我们规定它的倾斜角为0度。
因此，倾斜角的取值范围是0°≤α＜180°（2）直线的斜率：倾斜角不是90°的直线，它的倾斜角的正切叫做这条直线的斜率。
直线的斜率常用k 表示。
即tan k α=。
斜率反映直线与轴的倾斜程度。
一、直线的倾斜角和斜率1、已知直线的倾斜角为，将直线绕直线与x 轴交点逆时针旋转45︒的直线，求的倾斜角。
2、已知两点A （-1，-5），B （3，-2），直线l 的倾斜角是直线AB 倾斜角的一半，求l 的斜率。
练习：1、 已知，求直线x +y-1=0的倾斜角的范围；2、 已知两点A （-1，-5），Q （m ，1）的直线的斜率k ；3、 已知点M 是直线l:2x-y=4,与x 轴交点，求直线绕点M 逆时针旋转45︒的直线方程4、已知直线35y x =+的倾斜角是直线l 的倾斜角的大小的5倍，且直线l 分别满足下列条件： （1）过点(34)P -，；（2）在x 轴上截距为2-；（3）在y 轴上截距为3．求直线l 的方程． 5、已知直线l 经过点P （1,1），且与线段MN 相交，又M （2，-3），N （-3，-2），求直线l 的斜率k 的取值范围6、求经过点（-5，6）且与直线2x+y-5=0的夹角为 45的直线方程。
二、两直线的位置关系（垂直、平行）的值平行，求实数与直线已知直线a ay x a l ay x l 01)13(:012:.121=---=-+的值平行，求实数与直线已知直线a y a x a l ay x a l 03)2()2(:013)2(:.221=-++-=+++3.求a 为何值时，直线l 1：(a ＋2)x ＋(1－a )y －1＝0与直线l 2：(a －1)x ＋(2a ＋3)y ＋2＝0互相垂直？4.求过点P (1，－1)，且与直线l 2：2x ＋3y ＋1＝0垂直的直线方程．5.已知直线l 1：x+y+2=0, l 2：2x-3y-3=0,求经过的交点且与已知直线3x +y -1=0平行的直线l 的方程。
史上最全直线与直线方程题型归纳
直线与直线方程一、知识梳理1. 直线的倾斜角与斜率：在平面直角坐标系中，对于一条与x轴相交的直线，如果把x轴绕着交点按逆时针方向旋转到和直线重合时所转的最小正角记为，那么就叫做直线的倾斜角•当直线和x轴平行或重合时，我们规定直线的倾斜角为0。
•倾斜角的取值范围是0°< v 180° .倾斜角不是90 °的直线，它的倾斜角的正切叫做这条直线的斜率，常用k表示•倾斜角是90°的直线没有斜率.2. 斜率公式：经过两点R（x i, yj, P2（X2, y2）的直线的斜率公式：k 池一匕（x i X2）X2 X i7•斜率存在时两直线的平行：h〃|21= 2且12.&斜率存在时两直线的垂直：l1l2 k1k2 1 •9.特殊情况下的两直线平行与垂直：当两条直线中有一条直线没有斜率时：（1）当另一条直线的斜率也不存在时，两直线的倾斜角都为90 °，互相平行；（2）当另一条直线的斜率为0时，一条直线的倾斜角为90 °,另一条直线的倾斜角为0°,两直线互相垂直.二、典例精析题型一：倾斜角与斜率【例1】下列说法正确的个数是（）①任何一条直线都有唯一的倾斜角；②倾斜角为300的直线有且仅有一条；③若直线的斜率为tan ，则倾斜角为④如果两直线平行，则它们的斜率相等A. 0 个个个个练习】如果AC 0且BC 0 ，那么直线Ax By C 0不通过（）A. 第一象限B.第二象限C. 第三象限D. 第四象限【例2】如图,直线l经过二、三、四象限，1的倾斜角为a，斜率为k，则（）A. k sin a >0 B . k cos a >0 C . k sin a <0 D. k cos a <0【练习】图中的直线li, I2, I s的斜率分别为k i, k2, k s,则（）.A. k1< k2< k s B．k3< k1 < k2C. k s< k2< k i D．k1<k3<k2【例3】经过点P 1,2 作直线l ，若直线l 与连接A 0，—1 ，B 4,1 的线段总有公共点，求直线l的倾斜角与斜率k的取值范围。
史上最全直线与直线方程题型归纳
曲线与曲线圆程之阳早格格创做一、知识梳理1.曲线的倾斜角与斜率：正在仄里曲角坐标系中，对付于一条与x 轴相接的曲线，如果把x 轴绕着接面按顺时针目标转动到战曲线沉适时所转的最小正角记为α，那么α便喊干曲线的倾斜角.当曲线战x 轴仄止或者沉适时，咱们确定曲线的倾斜角为0°.倾斜角的与值范畴是0°≤α＜180°.倾斜角不是90°的曲线，它的倾斜角的正切喊干那条曲线的斜率，时常使用k 表示.倾斜角是90°的曲线不斜率.2.斜率公式：通过二面),(),,(222111y x P y x P 的曲线的斜率公式：)(211212x x x x y y k ≠--=()0不全为、B A7．斜率存留时二曲线的仄止：21//l l ⇔1k =2k 且21b b ≠. 8．斜率存留时二曲线的笔曲：⇔⊥21l l 121-=k k ．9．特殊情况下的二曲线仄止与笔曲:当二条曲线中有一条曲线不斜率时：(1)当另一条曲线的斜率也不存留时，二曲线的倾斜角皆为90°，互相仄止；(2)当另一条曲线的斜率为0时，一条曲线的倾斜角为90°，另一条曲线的倾斜角为0°，二曲线互相笔曲．二、典例粗析题型一：倾斜角与斜率【例1】下列道法粗确的个数是（ ） ①所有一条曲线皆有唯一的倾斜角； ②倾斜角为030的曲线有且仅有一条； ③若曲线的斜率为θtan ，则倾斜角为θ； ④如果二曲线仄止，则它们的斜率相等A. 0个B.1个C.2个D.3个 【训练】如果0<AC 且0<BC ，那么曲线0=++C By Ax 短亨过（ ）【例2】如图，曲线l 通过二、三、四象限，l 的倾斜角为α，斜率为k ，则( )A ．ksinα>0B ．kcosα>0C ．ksinα≤0D ．kcosα≤0【训练】图中的曲线l1，l2，l3的斜率分别为k1，k2，k3，则()．A ．k1＜k2＜k3B ．k3＜k1＜k2C ．k3＜k2＜k1D ．k1＜k3＜k2【例3】通过面()2,1P 做曲线l ，若曲线l 与对接()10—，A ，()1,4B 的线段总有大众面，供曲线l 的倾斜角α与斜率k 的与值范畴. 【训练】已知二面()4,3-A ，()2,3B ，过面()1-2，P 的曲线l 与线段AB 有大众面，供曲线l 的斜率k 的与值范畴.【例4】若曲线l 的圆程为2tan +=αx y ，则（ ）A.α一定是曲线l 的倾斜角 B.α一定不是曲线l 的倾斜角C.α—π一定是曲线l 的倾斜角D.α纷歧定是曲线l 的倾斜角【训练】设曲线0=++c by ax 的倾斜角为α，且0cos sin =+αα，则b a 、谦脚（ ）A.1=+b aB.1=b a —C.0=+b aD.0=b a —题型二：斜率的应用 【例5】若面()()()4,0,0,2,2C a B A ，共线则a的值为_________________.【训练】若三面()()()b C a B A ,0,0,2,2，()0≠ab 共线，则ba11+的值为_____________.【例6】已知真数y x 、谦脚82=+y x ，当32≤≤x 时，供xy 的最大值为_______，最小值为_________________ 【训练】1、若45ln ,23ln ,12ln ===c b a ，则（ ）A.c b a <<B.a b c <<C.b a c <<D.c a b <<2、供函数1212+=x x y —的值域.题型三：二曲线位子闭系的推断已知，二曲线21,l l 斜率存留且分别为21,k k ，若二曲线仄止或者沉合则有21__________k k ，若二曲线笔曲则有21__________k k . 【例7】已知曲线1l 的倾斜角为 60，曲线2l 通过面()3,1，A ，()322—，—B ，推断曲线1l 与2l 的位子闭系.【训练】1、已知面()3,2P ，()5,4Q ,()a A ，—1，()2,2a B 当a 为何值时，曲线PQ 与曲线AB 相互笔曲？2、已知曲线1m 通过面()()3,23—，，a B a A ，曲线2m 通过面()()5,6,3N a M ，，若21m m ⊥，供a 的值.【例8】正在仄里曲角坐标系中，对付Ra ∈，曲线012:012:21=+=+—和—y ax l ay x l （ ）.A 互相仄止 .B 互相笔曲.C 闭于本面对付称 .D 闭于曲线x y —=对付称【训练】曲线()()()()07425084123=++=+++——与—y a x a y a x a 笔曲，供a 的值.题型四：供曲线圆程（一）面斜式【例9】根据条件写出下列曲线的圆程：（1）通过面A(1,2),斜率为2；（2）通过面B （—1,4），倾斜角为 135； （3）通过面C （4,2），倾斜角为 90；（4）通过面D （—3，—2），且与x 轴仄止.已知曲线过一面，可设面斜式【训练】已知ABCAD⊥于D,∆中，()()()0,2，CA，BCB—，46,2，1—供AD的曲线圆程.（二）斜截式【例10】根据条件写出下列曲线的圆程：（1）斜率为2，正在y轴上的截距是5；150，正在y轴的截距为—2；（2）倾斜角为（3）倾斜角为 45，正在y轴上的截距为0.已知斜率时，可设斜截式：3，且与坐标轴围成的三角形周少是12的【训练】供斜率为4曲线l的圆程.（三）截距式【例12】根据条件写出下列曲线的圆程：（1)正在x轴上的截距为—3，正在y轴上的截距为2；（2)正在x轴上的截距为1，正在y轴上的截距为—4；与截距相闭的问题，可设截距式【训练】曲线l过面()3,4P，且正在轴x上的截距之比为1:2，轴、y供曲线l的圆程.（四）二面式【例11】供通过下列二面的曲线圆程：（1)A(2,5),B(4,3) (2)A(2,5),B(4,5) (3)A(2,5),B(2,7) 适时应用“二面决定一条曲线”【训练】过面()1,0M 做曲线l ，使他被二条已知曲线04:103:21=+++y x l y x l 和—所截得的线段AB被面M l 的圆程.【例12】1、已知面A （3,3）战曲线l ：2543—x y =.供：（1）通过面A 且与曲线l 仄止的曲线圆程； （2）通过面A 且与曲线l 笔曲的曲线圆程.2、已知三角形三个顶面的坐标分别为A （—1,0），B （2,0），C （2,3），试供AB 边上的下的曲线圆程.(思索：如果供AB 边上的中线、角仄分线呢？）【例13】已知曲线l 的斜率为2，且l 战二坐标轴围成里积为4的三角形，则曲线l 的圆程为________________．【训练】已知，曲线l 通过面（—5，—4），且与二坐标轴所围成的三角形里积为5，则曲线l 的圆程为________________ 【例14】曲线l 不通过第三象限，其斜率为k ，正在y 轴上的截距为b （0≠b ），则（ ）A.00>≤b k 且 B.0<≥b k 且 C.00><b k 且D.00>>b k 且【训练】二条曲线y=ax+b 与y=bx+a 正在共背来角坐标系中的图象位子大概是（ ） A ． B ． C ． D ．三、课后训练<一>采用题：1、若曲线l ：y=kx-3与曲线2x+3y-6=0的接面位于第一象限，则曲线l 的倾斜角的与值范畴（ ）A ．[6π，3π) B ．(6π，2π) C ．(3π，2π) D ．[6π，2π]2、已知曲线l1：（k-3）x+（5-k ）y+1=0与l2：2（k-3）x-2y+3=0笔曲，则K 的值是（ ）A ．1或者3B ．1或者5C ．1或者4D ．1或者23、曲线y=3x 绕本面顺时针转动90°，再背左仄移1个单位，所得到的曲线为（ ）A ．3131+=x y — B ．131+=x y — C ．33—x y = D ．13+=x y<二>挖空题：1、正在仄里曲角坐标系中，如果x 与y 皆是整数，便称面（x ，y ）为整面，下列命题中粗确的是 _________________（写出所有粗确命题的编号）．①存留那样的曲线，既不与坐标轴仄止又不通过所有整面 ②如果k 与b 皆是无理数，则曲线y=kx+b 不通过所有整面 ③曲线l 通过无贫多个整面，当且仅当l 通过二个分歧的整面④曲线y=kx+b 通过无贫多个整面的充分需要条件是：k 与b 皆是有理数⑤存留恰通过一个整面的曲线．2、若面()21—，P 正在曲线l 上的射影为()1,1—Q ，则曲线l 的圆程为__________________.3、正在仄里曲角坐标系xOy 中，过坐标本面的一条曲线与函数f(x)=x2的图象接于P 、Q 二面，则线段PQ 少的最小值是________________. <三>解问题：1、设曲线1l ：11+=x k y ，2l ：12—x k y =，其中真数21,k k 谦脚0221=+•k k ，道明1l 与2l 相接.2、已知曲线圆程为b kx y +=，当[][]13,8,4,3—时—∈∈y x ，供此曲线的圆程.3、当20<<a 时，曲线1l ：422:422222+=+=a y a x l a y ax 与——战二坐标轴围成一个四边形，问a 与何值时，那个四边形的里积最小?并供出最小里积.。
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定义：（1）直线的倾斜角：x 轴正向与直线向上方向之间所成的角叫直线的倾斜角。
特别地，当直线与x 轴平行或重合时,我们规定它的倾斜角为0度。
因此，倾斜角的取值范围是0°≤α＜180°（2）直线的斜率：倾斜角不是90°的直线，它的倾斜角的正切叫做这条直线的斜率。
直线的斜率常用k 表示。
即tan k α=。
斜率反映直线与轴的倾斜程度。
一、直线的倾斜角和斜率1、已知直线的倾斜角为，将直线绕直线与x 轴交点逆时针旋转45?的直线，求的倾斜角。
2、已知两点A （-1，-5），B （3，-2），直线l 的倾斜角是直线AB 倾斜角的一半，求l 的斜率。
练习：1、 已知，求直线x +y-1=0的倾斜角的范围；2、 已知两点A （-1，-5），Q （m ，1）的直线的斜率k ；3、 已知点M 是直线l:2x-y=4,与x 轴交点，求直线绕点M 逆时针旋转45?的直线方程4、已知直线353y x =-+的倾斜角是直线l 的倾斜角的大小的5倍，且直线l 分别满足下列条件： （1）过点(34)P -，；（2）在x 轴上截距为2-；（3）在y 轴上截距为3．求直线l 的方程． 5、已知直线l 经过点P （1,1），且与线段MN 相交，又M （2，-3），N （-3，-2），求直线l 的斜率k 的取值范围6、求经过点（-5，6）且与直线2x+y-5=0的夹角为 45的直线方程。
二、两直线的位置关系（垂直、平行）的值平行，求实数与直线已知直线a ay x a l ay x l 01)13(:012:.121=---=-+的值平行，求实数与直线已知直线a y a x a l ay x a l 03)2()2(:013)2(:.221=-++-=+++3.求a 为何值时，直线l 1：(a ＋2)x ＋(1－a )y －1＝0与直线l 2：(a －1)x ＋(2a ＋3)y ＋2＝0互相垂直4.求过点P (1，－1)，且与直线l 2：2x ＋3y ＋1＝0垂直的直线方程．5.已知直线l 1：x+y+2=0, l 2：2x-3y-3=0,求经过的交点且与已知直线3x +y -1=0平行的直线l 的方程。
练习：1、已知经过点A （－2，0）和点B （1，3a ）的直线1 与经过点P （0，－1）和点Q （a ，－2a ）的直线2互相垂直，求实数a 的值。
2、已知两直线1110a x b y ++=和2210a x b y ++=交点是(23)P ，，则过点111()Q a b ，，222()Q a b ，的直线方程为3、已知直线l1：（t+2）x+(1-t)y=1与l2：（t-1）x+(2t+3)y+2=0相互垂直，求t的值。
三、两直线的交点问题1、直线l过过点(30)P，作直线l，使它被两相交直线220x y--=和30x y++=所截得的线段恰好被P 点平分，求点l的方程2.已知直线l1：x+y+2=0, l2：2x-3y-3=0,求经过的交点且与已知直线3x+y-1=0平行的直线l 的方程。
练习：1、直线baxy+=与abxy+=在同一坐标系下可能的图是（）2、如果直线0=++cbyax（其中cba,,均不为0）不通过第一象限，那么cba,,应满足的关系是（）A．0>abc B．0>ac C．0<ab D．cba,,同号3、两条直线1x ym n-=与1x yn m-=的图象是下图中的（）四、点到点、直线的距离1、已知点A（a,-5）与B（0,10）间的距离是17，求a 的值。
2、已知点A（-1,2），B（2，7），在x轴上求一点P，使︱PA︱=︱PB ︱，并求的︱PA︱值。
3、求点A(-2,3)到直线l:3x+4y+3=0的距离d=。
xＣ4、已知点（a,2）到直线l: x-y+1=0的距离为2，则a= 。
(a ＜0)练习：1.求过点M (－2，1)且与A (－1，2)，B (3，0)两点距离相等的直线方程．2.已知点A (a ，2)(a ＞0)到直线l ：x －y ＋3＝0的距离为1，则a 等于( )B ．2－2 －1 ＋13、已知点P （2，-1），求过P 点且与原点距离为2的直线l 的方程，求过P 点且与原点距离最大的直线l 的方程，最大距离是多少五、两平行直线间的距离1、求平行直线l 1:2x-7y-8=0与l 2:6x-21y-1=0的距离2、两条互相平行的直线分别过点A (6，2)和B (－3，－1)，如果两条平行直线间的距离为d ，求：(1)d 的变化范围；(2)当d 取最大值时，两条直线的方程．3、求与直线l ：5x －12y ＋6＝0平行，且到l 的距离为2的直线的方程．4、求两平行线1l ：3x+4y=10和2l ：3x+4y=15的距离。
练习：1、 求过点M （-2，1）且与A （-1，2），B （3，0）两点距离相等的直线方程。
2、 直线1l 过点A （0,1），2l 过点（5,0），如果1//l 2l ，且1l 与2l 的距离为5，求1l 、2l的方程4、直线l 经过点P （2，-5），且与点A （3，-2）和点B （-1,6）的距离之比为1:2，求直线l 的方程六、横过定点问题1、直线3)2(+-=x k y 必过定点，该定点的坐标为（ ）A ．（3，2）B ．（2，3）C ．（2，–3）D ．（–2，3）2、求证：不论t 取何值时，直线（t+2）x-(t-1)y=-6t-3都恒过定点。
(三种方法)练习：1、已知直线5530l ax y a --+=∶，求证：不论a 为何值，直线l 恒过第一象限．2、直线l 的方程为(a －2)y ＝(3a －1)x －1(a ∈R)．求直线l 必过定点；七、利用斜率求解1、已知实数x,y 满足y=,求的最大值和最小值2、若点A （2，–3），B （–3，–2），直线l 过点P （1，1），且与线段AB 相交，则l 的斜率k 的取值范围是（ ）A ．43≥k 或4-≤kB ．43≥k 或41-≤kC ．434≤≤-kD ．443≤≤k3、已知直线l 过P(－1，2)，且与以A(－2，－3)、B(3，0)为端点的线段相交，求直线l 的斜率的取值范围．练习：1、 已知直线l 过P(－1，2)，且与以A(－2，－3)、B(3，0)为端点的线段相交，求直线l 的斜率的取值范围．2、 已知直线l 经过点P （1,1），且与线段MN 相交，又M （2，-3），N （-3，-2），求直线l 的斜率k 的取值范围。
八、点、直线的对称问题1、求点A （2,4）关于点（3,5）对称的点C 的坐标。
2、在直线l:3x-y=0上求一点p,使得 （1）P 到A （4,1），B （0,4）的距离之差最大；（2）P 到A （4,1），C （3,4）的距离之和最小。
3、（直线关于点对称）已知直线l ：y=4x+3，求：直线l 关于点A （6，2）的对称直线的方程。
4、（直线关于直线对称）求直线关于1l :2x+y-4=0关于直线l ：3x+4y-1=0的对称直线2l的方程。
练习：1、求直线 y=2x+3关于直线l : y=x+1对称的直线方程。
2、已知直线l ：求点A （2,2）关于直线2x-4y+9=0的对称点坐标。
3、2x-3y+1=0，点A （-1，-2），求：a. 点A 关于直线l 的对称点A '的坐标b. 直线m ：3x-2y-6=0关于直线l 的对称直线m '的方程c. 直线l 关于点A （-1，-2）对称的直线l '的方程4、已知直线l ：y=3x+3，求：（1） 点P （4，5）关于l 的对称点坐标；（2） 直线y=x-2关于l 的对称直线的方程；（3） 直线l 关于点A （3，2）的对称直线的方程。
九、直线上动点与已知点距离的最大最小值a. 在直线l 上求一点P 使|PA |+|PB |取得最小值时，若点A 、B 位于直线l 的同侧，则作点A （或点B ）关于l的对称点A'（或点B'），连接A B'（或AB'）交l于点P，则点P即为所求。
若点A、B位于直线l的异侧，直接连接AB交l于P点，则点P即为所求。
可简记“同侧对称异侧连”。
即两点位于直线的同侧时，作其中一个点的对称点；两点位于直线的异侧时，直接连接两点即可。
b. 在直线l上求一点P使||PA|-|PB||取得最大值时，方法与a恰好相反，即“异侧对称同侧连”。
=，在直线l上求一点P，使|PA|+|PB|最小。
（1）已知两点A（3，-3），B（5,1），直线:l y x||PA|-|PB||最大（2）求一点P，使十、直线与坐标轴围成的图形面积或周长问题1、已知直线l过点P（3,2），且与x轴正半轴、y轴正半轴分别交于A，B两点，求三角形AOB面积的最小值及此时l的方程，求直线l在两坐标轴上截距之和的最小值A-，，且与两坐标轴围成三角形面积为4，求直线l方程．2、直线过定点(23)3、已知点A(1，3)，B(3，1)，C(－1，0)，求△ABC的面积．练习：1、已知直线l经过点P（3,2）且被两平行直线1l：x+y+1=0和2l：x+y+6=0截得的线段长为5，求直线l的方程2、一条光线从A(3，2)发出，经x轴反射，通过点B(－1，6)，求入射光线和反射光线所在的直线方程．。