苏教版数学必修一新素养同步讲义：3.1 3.1.2 第1课时 指数函数的概念、图象及性质

3．1.2指数函数

第1课时指数函数的概念、图象及性质

1.了解指数函数的实际背景．

2.理解指数函数的概念、意义、图象和性质．3．掌握与指数函数有关的函数定义域、值域、单调性问题．

[学生用书P

41]

1．指数函数的定义

一般地，形如y＝a x(a>0且a≠1)的函数叫做指数函数，其中x 为自变量，定义域为

R．

2．指数函数的图象与性质

a>10

图象

性质定义域R

值域(0，＋∞)

定点(0，1)

单调性增函数减函数

性质相应的y值

x>0时，y>1；

x＝0时，y＝1；

x<0时，0

x>0时，0

x＝0时，y＝1；

x<0时，y>1

1．判断(正确的打“√”，错误的打“×”)

(1)指数函数y＝a x中，a可以为负数．()

(2)指数函数的图象一定在x轴的上方．()

(3)函数y＝2－x的定义域为{x|x≠0}．()

★★答案★★：(1)×(2)√(3)×

2．下列函数：①y＝(－2)x；②y＝2x；③y＝2－x；④y＝3×2x.其中指数函数的个数为() A．0B．1

C．2 D．4

★★答案★★：C

3．若f (x )＝(a 2－3)a x 是指数函数，则a ＝________． ★★答案★★：2

4．函数f (x )＝2x ，x ∈[0，2]的值域是________． ★★答案★★：[1，4]

指数函数的概念[学生用书P41]

下列函数中，哪些是指数函数． ①y ＝(－8)x ；②y ＝2x 2－1；③y ＝a x ； ④y ＝(2a －1)x ⎝⎛⎭⎫a >1

2且a ≠1；⑤y ＝2×3x . 【解】 ①中底数－8<0，所以不是指数函数． ②中指数不是自变量x ，所以不是指数函数．

③中底数a ，只有规定a >0且a ≠1时，才是指数函数． ④因为a ＞1

2且a ≠1，所以2a －1＞0且2a －1≠1，

所以y ＝(2a －1)x ⎝⎛⎭⎫a ＞1

2且a ≠1为指数函数． ⑤中3x 前的系数是2，而不是1，

所以不是指数函数．故只有④是指数函数．

只需判定其解析式是否符合y ＝a x (a >0，且a ≠1)这一结构形式，其具备的特点为：

1.指出下列函数中，哪些是指数函数．

(1)y ＝πx ；(2)y ＝－4x ； (3)y ＝(1－3a )x ⎝⎛⎭

⎫a <1

3且a ≠0； (4)y ＝(a 2＋2)－

x ；(5)y ＝2×3x ＋a (a ≠0)．

解：根据指数函数的定义，指数函数满足：①前面系数为1；②底数a ＞0且a ≠1；③指数是自变量．

(1)y ＝πx ，底数为π，满足π＞0且π≠1，前面系数为1，且指数为自变量x ，故它是指数函数．

(2)y ＝－4x ，前面系数为－1，故它不是指数函数．

(3)y ＝(1－3a )x ，因为a <1

3且a ≠0，所以1－3a >0且1－3a ≠1，前面系数为1，且指数

为自变量x ，故它是指数函数．

(4)y ＝(a 2

＋2)－x

＝⎝⎛⎭⎫1a 2＋2x

，底数1

a 2＋2∈⎝⎛⎦

⎤0，12，前面系数为1，指数为自变量x ，故它是指数函数．

(5)y ＝2×3x ＋a (a ≠0)，3x 前面系数为2≠1，故它不是指数函数． 故(1)(3)(4)为指数函数．

指数式的比较大小问题[学生用书P42]

比较下列各组数的大小． (1)1.8－

π，1.8－

3；(2)1.7－0.3

，1.9

－0.3

；

(3)0.80.6，0.60.8.

【解】 (1)构造函数f (x )＝1.8x .

因为a ＝1.8＞1，所以f (x )＝1.8x 在R 上是增函数． 因为－π＜－3，所以1.8－

π＜1.8－

3. (2)因为y ＝⎝⎛⎭⎫

1.71.9x

在R 上是减函数， 所以1.7－

0.31.9－0.3＝⎝⎛⎭⎫1.71.9－0.3＞⎝⎛⎭⎫1.71.90

＝1.

又因为1.7－0.3与1.9

－0.3

都大于0，

所以1.7

－0.3

＞1.9－0.3

.

(3)取中间值0.80.8.

因为y ＝0.8x 在R 上单调递减，而0.6＜0.8， 所以0.80.6＞0.80.8.

又因为0.80.80.60.8＝⎝⎛⎭⎫0.80.60.8＞⎝⎛⎭⎫0.80.60

＝1，且0.60.8＞0，

0．80.8>0，所以0.80.8＞0.60.8.所以0.80.6＞0.60.8.

对于同底数幂，应利用指数函数的单调性求解；对于同指数的两个函数值，应根据“在y 轴的右侧，图象由上到下，底数越来越小”来判断数值的大小；对于不同底数，不同指数的两个函数值，可找一中间函数值，通过“搭桥”来达到比较两个数的大小的目的．

2.比较下列各组中两个数的大小：

(1)0.63.5和0.63.7； (2)(2)

－1.2

和(2)

－1.4

；

(3)⎝⎛⎭⎫3213和⎝⎛⎭⎫322

3； (4)π－2

和⎝⎛⎭

⎫13－1.3

.

解：(1)考察函数y ＝0.6x ，因为0<0.6<1，所以函数y ＝0.6x 在实数集R 上是单调减函数．又因为3.5<3.7，所以0.63.5>0.63.7.

(2)考察函数y ＝(2)x .因为2>1，所以函数y ＝(2)x 在实数集R 上是单调增函数．又因为－1.2>－1.4，所以(2)

－1.2

>(2)

－1.4

.

(3)考察函数y ＝⎝⎛⎭⎫32x

.因为32>1，所以函数y ＝⎝⎛⎭⎫32x

在实数集R 上是单调增函数．又因为13<23，所以⎝⎛⎭⎫3213<⎝⎛⎭⎫322

3

.

(4)因为π－2

＝⎝⎛⎭

⎫1π2<1，⎝⎛⎭⎫13－1.3

＝31.3>1，

所以π－2

<⎝⎛⎭

⎫

13－1.3

.

与指数函数有关的函数定义域与值域问题[学生用书P42]

求下列函数的定义域和值域： (1)y ＝2

1

x －4

；(2)y ＝

1－⎝⎛⎭⎫12x

.

【解】 (1)x 应满足x －4≠0，所以x ≠4， 故函数y ＝2

1

x －4

的定义域为{x |x ≠4}．

因为x ≠4，所以1x －4

≠0，所以21

x －4

≠1.

所以y ＝21x －4

的值域为{y |y >0，且y ≠1}．

(2)因为x 应满足1－⎝⎛⎭⎫

12x

≥0， 所以⎝⎛⎭⎫12x

≤1＝⎝⎛⎭⎫120

，所以x ≥0. 所以函数y ＝

1－⎝⎛⎭⎫

12x

的定义域为{x |x ≥0}．

因为⎝⎛⎭⎫12x ≤1，且⎝⎛⎭⎫12x

>0，所以0<⎝⎛⎭⎫12x

≤1. 所以0≤1－⎝⎛⎭⎫

12x

<1，即0≤y <1. 所以函数y 的值域为{y |0≤y <1}．

函数y ＝a f (x )的定义域的求解方法