地球物理反演理论.pdf
(完整word版)地球物理反演理论综述
目录摘要 (2)一、反演问题基本概念 (2)二、线性反演问题 (3)三、线性反演问题的求解 (5)3。
1适定和超定问题 (5)3。
2欠定问题 (5)3.3混定问题 (6)四、非线性反演方法 (6)4。
1线性化迭代算法 (6)4。
2最速下降法 (6)4.3 共轭梯度法 (7)4。
4遗传算法 (8)4。
5模拟退货法 (9)4。
6人工神经网络法 (9)总结: (10)地球物理反演理论综述摘要在地球物理学中,其核心问题就是如何根据地面上的观测信号推测地球内部与信号有关部分的物理状态。
不同的地球物理问题，其数学物理是不同的；同一个物理问题，应为观测方式不同,也会有不同的物理模型。
在地球物理学中,大多数的观测数据核模型参数之间是不满足线性关系的.但是在一定近似条件想均可简化或近似简化为线性关系.因此线性反演是地球物理的关键问题。
关键词: 反演；线性反演；非线性反演一、反演问题基本概念把数据模型中的一个点定义为m，把数据空间中的一个点定义为d，两者的关系可以成：d=Gm式中，G为模型空间M到数据空间D的一个映射，也称反函数算子，反应了模型m与数据d之间的物理规律从空间映射来看，如果存在一个映射A，使得m=Ad则A为有数据空间D到模型空间M的映射，即A为G的逆映射，称逆算子。
也可以写成=dm1-G我们把给定模型m求解数据d的过程称为正演;把给定数据d求解模型参数m的过程称为繁衍问题.图1。
1模型空间域数据空间之间的映射关系示意图反演问题的研究归纳为四个方面的问题：1) 解的存在性：给定数据d ，按照物理定律，能否找到满足要求的模型参数m ；2) 模型构制：若解存在,如何让构制问题的数学模型使得反演问题的解能迅速而准确地确定；3) 解的非唯一性：若解存在，其是否唯一;4) 解的评价：若解的非唯一性的，如何从非唯一解中获取真实解的信息.关于上述四方面问题的研究就构成了地球物理反演的基本理论。
二、线性反演问题为了使问题简单明了而又不失一般性，我们在此讨论一维问题。
地球物理反演理论
地球物理反演理论一、解释下列概念1.分辨矩阵数据分辨矩阵描述了使用估计的模型参数得到的数据预测值与数据观测值的拟合程度，可以表示为[][]pre est g obs g obs obs d Gm G G d GG d Nd --====，其中，方阵g N GG -=称为数据分辨矩阵。
它不是数据的函数, 而仅仅是数据核G （它体现了模型及实验的几何特征）以及对问题所施加的任何先验信息的函数。
模型分辨矩阵是数据核和对问题所附加的先验信息的函数，与数据的真实值无关，可以表示为()()est g obs g true g ture ture m G d G Gm G G m Rm ---====，其中R 称为模型分辨矩阵。
2.协方差模型参数的协方差取决于数据的协方差以及由数据误差映射成模型参数误差的方式。
其映射只是数据核和其广义逆的函数, 而与数据本身无关。
在地球物理反演问题中,许多问题属于混定形式。
在这种情况下,既要保证模型参数的高分辨率, 又要得到很小的模型协方差是不可能的,两者不可兼得,只 有采取折衷的办法。
可以通过选择一个使分辨率展布与方差大小加权之和取极小的广义逆来研究这一问题:()(1)(cov )u aspread R size m α+-如果令加权参数α接近1,那么广义逆的模型分辨矩阵将具有很小的展布,但是模型参数将具有很大的方差。
而如果令α接近0,那么模型参数将具有相对较小的方差, 但是其分辨率将具有很大的展布。
3.适定与不适定问题适定问题是指满足下列三个要求的问题：①解是存在的；②解是惟一的；③解连续依赖于定解条件。
这三个要求中，只要有一个不满足，则称之为不适定问题4.正则化用一组与原不适定问题相“邻近”的适定问题的解去逼近原问题的解,这种方法称为正则化方法。
对于方程c Gm d =，若其是不稳定的，则可以表述为()T T c G G I m G d α+=，其中α称为正则参数，其正则解为1()T T c m G G I G d α-=+。
地球物理反演
2. 基于褶积模型的波阻抗反演
§6 反演结果的评价
1. 评价问题的提出 2. 评价准则 3. 平均函数A决定分辨率 4. 平均函数与哪些因素有关？
§7 解的稳定性
1. 稳定性的概念 2. 举例 3. 稳定性与核函数的性质有关
§8 线性反演问题综述
1. 构造一组新的正交基 2. 的含义 3. 模型构制（解的存在性） 4. 解的非唯一性 5. 长度最小模型是核函数的线性组合
§7 L 范数解
1． L 范数解的物理意义 2．目标函数
第三章 广义反演法
§1 广义逆 §2 矩阵奇异值分解(SVD)和自然逆 §3 广义反演法 §4 数据分辨矩阵 §5 参数分辨矩阵 §6 特征值对反演结果的影响 §7 分辨率高的和方差大小的测度 §8 最佳折衷解
§1 广义逆
§2 矩阵奇异值分解(SVD)和自然逆
数据加权的例子 1. 权系数矩阵为对角矩阵
E eTWee, diag(We ) (1,1, 2,1,1)T
三、等式限制条件
问题:
d Gm Fm h
目标函数:
E (d Gm)T (d Gm) T [Fm h]
例一
m1
1 N
(1, 1, , 1)mm2N
地球物理反演理论
刘学伟
第一章 绪论
§1 反演的目的和任务 §2 几个反演例子 §3 非线性问题线性化与连续模型离散化 §4 模型构制 §5 解的非唯一性 §6 反演结果的评价 §7 解的稳定性 §8 线性反演问题综述
§1 反演的目的和任务
1．什么是反演，什么是正演？ 2．地球物理反演： 3．反演理论中的四大问题： 4．数学物理模型和响应函数的正演问题：
z
地球物理反演理论课件
m (G T G )1G T d 1 当 r (G T G ) N , 解存在 ； 2 当 r (G T G ) N , 解不存在 ， 因逆矩阵不存在
m(G T G ) 1 G T d
N h1N M M N N M M 1
；
( a 即使 M N ， 解也不存在 )
(b 这等同于 M 个方程中线性无关的方
Zi z i1
g
( z ,
j )dz
4
d Gm
d1
m1
G11 G12
G1N
0
dd2
mm2 GG21
G22
G2N
0
4
8
12
Z
dM
mN
GM1
GM1
GM
M
m
i
Yangtze University
• 反演理论
4
二 参数化模型反演
参数化模型线性反演理论—引言
参数化模：能型用有限个参数模 表型 征的 3、可用有限参数加义 变的 量连 定续模 。 型
C GG T 1 GG T max 很大 。 min ( a \ 条件数大 ， 称为坏条件问题 )
(b \ 条件数大 ， 解 d Gm 称为病态问题 )
( c \ 数据中的误差会被放大
)
Yangtze University
• 反演理论
9
二 参数化模型反演
参数化模型线性反演理论—混定问题的马奎特法
程个数小于 N )
( c 这种情况下 ， 称数据方程是奇异的
，G T G 是奇异阵 )
( d G T G R R T 有些特征值为零 )
3 当 r (G T G ) N , 解存在 。 但 G T G 有一些特征值很小 , G T G 的条件数
地球物理反演
主讲：朱良保
符号规则：黑体小写拉丁字母代表矢量，黑体大写拉丁字母代表矩阵（非一维）。 带下角标的非黑体拉丁字母代表分量。
1．前言
物理科学中一个非常重要的研究领域就是如何由观测数据来推断物理参数。如：太阳的 内部结构，储油层的深度，Moho面的深度，核幔边界的形态等。如果给定物理体系的参数， 一般来说，由物理定律能够计算出与观测数据相对比的理论数据。由物理定律根据给定的物 理参数计算出数据是正演问题。如图1
(14)
其中
ΛT = (λ1 λ2 Lλn )
(15)
为拉格朗日乘数矢量。用下角标表示
求导数并令其为零得
S = mi2 + λi (di − Aij m j )
∂S ∂mk
= 2mk − λi Aik
2mk = λi Aik
即
2m = AT Λ
（16）
进而得
2Am = AAT Λ
7
2d = AAT Λ
推得
AlTi di = AlTi Aik m~k
设 (AT A)−1 存在，则
m~ = (AT A)−1 AT d
（10）
5
所以方程组（6）的最小二乘解为
m~
=
1 3
⎜⎜⎝⎛
2 −1
−1 2
11⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎝⎛
1 ⎟⎞ 2⎟ 2 ⎟⎠
m~1
=
2 3
（11）
m~2
=
5 3
图3中的小黑方块就是这一解，他离三条直线的距离最近。 由（10）可知方程组（9）的最小二乘意义下的广义逆为
A −g = (AT A)−1 AT
根据（4），分辨矩阵
R = (AT A)−1 AT A = I
地球物理反演
三维反 演成像
地下储 层剩余 油分布m
地球物理正反演研究对象 1、模型m：物性参数和几何参数 2、异常数据d：一系列有限的有误差的离散的 观测值 3、 m和d数学物理关系：非线性问题d=f(m)， 线性问题d=Gm（课程 重点） 数据是模型的函数（泛函）， 它是连接模型和数据的“纽带”
地球物理正反演研究对象
地球物理反演——模型构制
非线性反演
d=f(m)
（1）梯度法：传统的最速下降法 （2）尝试法：从初始模型 出发，通过 mo 正演做反演，可以人机交互联作 （3）人工神经网络（ANN）法 （4）蒙特卡洛法 （5）模拟退火法 （6）遗传算法 （7）多尺度反演法
地球物理反演——多解性问题
多解性问题：地球物理勘探反演解释中共 同存在的问题 原因至少有二， 1 、观测的异常数据通常是有限的和离散的； 2 、地球物理问题本身固有的。 以磁异常的反演为例，决定磁异常特征的 两个主要因素是场源的几何因子（形态、位置） 和物性因子（磁化强度的大小、方向）。当这 些因素不同的组合时可以获得相同的磁异常分 布特征。以下为三个反演多解性的典型例子。
线性反演
d M GM N mN
（1）M=N=r时，——克莱姆法则 （2）M>N=r时，超定问题—— 最小二乘法模型 （3）N>M=r时，欠定问题—— 解的欧几里德长度为最小模型 （4）Min(M,N)>r时，混定问题—— 阻尼最小二乘法模型（马奎特方法） (r为矩阵G的秩)
2.1 线性反演问题的最小方差解
数据拟合
T
最小方差解
1 T
最小范数解
模型最短
m (G G) G d
N阶
m GT (GGT )1 d
M阶
地球物理反演
1968)证明了，在线性反演中由于数据量的不足以及误差，反演的不唯一性是必然的。非线 性反演更是如此。
反演的非唯一性特征意味着，存在许多反演模型能够解释观测数据，由观测数据反演得 到的模型不一定就是真实的模型。由图1表征的反演过程过于简单了。我们必须做一些其他 的事情。实际的反演过程分两步进行。假如用m表示真实的模型，d表示数据。第一步由数
正问题
真模型 m
数据 d
评估问题
推断模型
m~
推断问题
图 2.反演过程是推断加评估
一般来说，观测数据是离散的。而模型可以是离散的，也可以是连续的。就模型而言， 反演分离散方法和连续方法，处理上有所不同。模型参数与数据的关系有时是线性的，有时 是非线性的。对于线性问题，目前的有比较成熟的解决方案。非线性问题比较复杂，还没有 找到很好的方案解决模型评估问题。一种方案是对非线性问题做局部近似使其线性化，然后 采取循环迭代，逐步接近非线性问题的解，其结果依赖于初始模型的选择。另一种方案是模 型空间的全局搜索。目前，无论哪种方案都不能很好地解决非线性反演问题。非线性方法的 研究是一个挑战。
(14)
其中
ΛT = (λ1 λ2 Lλn )
(15)
为拉格朗日乘数矢量。用下角标表示
求导数并令其为零得
S = mi2 + λi (di − Aij m j )
∂S ∂mk
= 2mk − λi Aik
2mk = λi Aik
即
2m = AT Λ
（16）
进而得
2Am = AAT Λ
7
2d = AAT Λ
正演
模型 m
数据 d
反演
图 1. 正反演的传统定义
反演问题是根据一组观测数据来重建物理模型。需要强调的是，任何形式的反演过程都必须 借助正演手段。没有理论上的正演，就不可能把观测数据有效地与物理参数联系起来，反演 就失去方向。
地球物理反演理论课件(1)
C GTG 1 GTG max 很大时， 病态。 min 5 GTG 2 I也是N N的方阵，r(GTG 2 I ) N,逆矩阵存在， 非奇异；
GTG 2 I的条件数为
C
GT G 2 I 1 GT G 2 I
max 2 min 2
通过调节2 的大小可使C 的条件数降低， 使求解变成良态。
Yangtze University
• 反演理论
5
二 参数化模型反演
参数化模型线性反演理论—超定问题的最小方差解
观测数据的个数(M )多于模型参数的个数(N)
观测数据的个数(M )多于模型参数的个数(N)
并且G的秩r(G) N M 采用最小误差拟合法是合适的 尽可能的拟合数据。
d
G
m
(M 1) (M N ) (N 1)
• 反演理论
18
二 参数化模型反演
参数化模型线性反演理论—例解
一个数据的地球密度问题
假定地球密度为两个常数， 分界面在u0 0.7937。 1833
1 0
(u)
u2du
1 6
1
2
10998 1
1
1 2
纯欠定问题
10998 1 2
当作混定问题解 马奎特解法
G 1 1
GT
1 1
GT
G
1 1
17
二 参数化模型反演
参数化模型线性反演理论—例解 一个数的地球密度问题 解的性质 假定地球密度为两个常数， 分界面在u0 0.7937。
10988 1
1
1 2
纯欠定问题
在所有可能的解中， 只当：
1 5499， 2 5499时，
E
mT m
12