地球物理反演成像方法综述

地球物理反演概述地球物理反演是近年来发展很快的地球物理学中利用地球表面及钻孔中观测到的物理数据推测地球内部介质物理参数分布和变化的方法。

其目的就是根据观测数据等已知信息求取地球物理模型。

众所周知，地球物理学中有地震学、电磁学、重力学、地磁学、地热学、放射性学和井中地球物理等学科。

尽管地球物理学家研究地球所依据的物性参数不同，方法各异，但就工作程序而言，一般都可分为数据采集，资料处理和反演解释等三个阶段。

数据采集就是按照一定的观测系统、一定的测线、测网布置，在现场获得第一手、真实可靠的原始资料。

所以数据采集是地球物理工作的基础，是获得高质量地质成果的前提和条件；资料处理的目的是通过各种手段，去粗取精，去伪存真，压制干扰，提高信噪比，使解释人员能从经过处理的资料(异常或响应)中，较准确的提取出测区的地质、地球物理信息。

所以，资料处理是从原始观测数据到地球物理模型之间的必不可少的手段和过渡阶段；反演解释的目的，用地球物理的术语来说，就是实现从地球物理异常(或响应)到地球物理模型的映射，使解释人员能从经过处理的地球物理资料(异常或响应)中提取出获得最接近真实情况的地质、地球物理模型，圆满的完成提出的地质任务。

虽然各种地球物理方法的原理、使用的仪器设备和资料采集方式有很大的不同，但是它们资料处理和反演解释的基础确有许多共同之处。

前者的基础是时间(空间)序列分析，后者的基础是反演理论。

在本文中只涉及地球物理资料的反演解释，地球物理反演是地球物理资料定量解释的理论和算法基础，也是地球物理资料处理技术的基础之一。

1 地球物理反演概述地球物理反演理论是近二三十年来才发展起来的地球物理学的一门重要分支，它是研究从地球物理观测数据向量，到地球物理模型参数向量映射理论和方法的一门学科。

虽然地球物理问题千差万别，但把地球物理观测数据和地球物理模型参数联系起来的数学表达式，却只有线性和非线性两大类。

如以d 表示观测数据向量，m 表示模型参数向量，f 是表示联系d 和m 的函数或泛函表达式，则凡满足(1)d m f m f m m f =+=+)()()(2121(2))amf=af(m()两个条件时，称f为线性函数或线性泛函，故这类问题叫线性问题，其中a为常数。

相反，不满足上面两个条件之一的所有问题都统称为非线性问题。

在地球物理中，不分线性和非线性，从模型参数m到观测数据d的变换(或映射)，统称为正演或正问题，并记为：)(md=；反之，由观测数据d反推模型参数m的变f换(或映射)，叫反演或反问题，并记为：)=。

大多数反演方法都是基于最优m-(1df化的原理，即从大量已知模型的正演结果中，选出方差(或其它范数规则)为最小的那个模型作为待求模型的解。

因此，正演是反演的前提和瓶颈，成了提高反演速度的关键。

一般说来，地球物理反演的目标函数都是高次非线性函数，有多个极值。

反演时，如初始模型选取不当，不靠近目标函数的全局极小，因而在迭代过程中，只能在局部极小点附近搜索，很难跳出局部极小的阱，这时，只能获得局部最优解；有的反演方法，由于初始模型选取和参数修改的随机性，在搜索的过程中，可能在模型空间全局寻优，其解就是全局最优解。

所以也有的学者主张将地球物理反演问题分为局部寻优和全局寻优两类。

正如反演理论家R．L．Parker在其著名的论文‘Understanding Inverse Theory’中提出，地球物理反演理论必须回答以下4个问题：d，i=1,2,3,…,M之（1）解的存在性(Existence)。

即给定一组地球物理观测数据i后，是否存在一个能拟合观测数据的地球物理模型m?（2）解的非唯一性(Non-uniqueness)。

如能求得能拟合观测数据的地球物理模型，解是唯一的还是非唯一的?（3）模型构制(Model Construction)。

如何求得能拟合观测数据的一个地球物理模型?（4）解的评价(Appraisa1)。

既然解是非唯一，地球物理反演所获得的任一解又有何意义?理论严格证明，给定一组地球物理观测数据以后，总可以找到一个能拟合它的地球物理模型。

由于观测数据的个数并非无限，不构成一个数据的完备群，加之每一个观测数据均有误差，这就决定了地球物理反问题的解是非惟一的。

虽然反演问题的解是非惟一的，但这个非惟一解仍然是有意义的。

如前所说，地球物理反演理论是近二三十年来才发展起来的，在上世纪70年代以前，地球物理资料的定量解释从属于各种单一的观测方法，没有形成适用于各种地球物理方法的统一的反演理论。

60年代末至70年代初以美国Backus和Gilbert为首的一批地球物理学家和应用数学家研究了地球物理数据和地球模型的共性，揭示了地球物理反问题内在的非唯一性，并提出用算子谱分析构成反问题解估计的方法，以及评价解估计的各项准则。

这一时期的研究成果为地球物理反演建立了基本理论框架：即地球模型在数学上可以用有限个有序的函数集合来表示，它们与线性抽象空间的元相对应；地球物理数据是有限个不精确实数组成的集合，它们与地球模型的联系表示为有限个泛函方程式组成的方程组；由于零空间的存在和数据的有限性，地球物理反问题不存在唯一解，而只能根据某些准则求取解的某种平均(称为解估计)；由于反问题高度的非唯一性，对求取的解估计必须进行评价，评价的准则之一是在分辨率和方差之间取最佳折衷。

应用这种理论于离散的地球模型，在70年代发展了针对非线性地球物理反问题的所谓“广义线性反演”方法，在解决地球振荡、地震波与地球波速结构、大地电磁和重磁反问题中迅速得到了广泛应用。

随着偏微分算子理论等现代数学工具的发展和计算机科学的飞速进步，在80年代地球物理反演研究的中心迅速地转移到偏微分方程反问题的轨道上来。

根据运动方程和本构方程，大多数地球物理现象都可以用二阶双曲型、椭圆型或抛物型偏微分方程的边值问题描述，因此地球物理反问题本质上是相应类型的偏微分方程系数项或源项的反演。

例如，地震反问题可表为声波或弹性波方程系数项的反演，重磁反问题表为泊松方程源项的反演，地热反问题表为热传导方程系数项反演等。

与正问题研究相反，由于零空间造成的多解性最为严重，泊松方程反问题的求解最为困难，而波动方程反问题研究的相对比较充分，并且已经证实，一维波动方程反问题存在精确解。

高维波动方程反演采用的主要方法包括基于优化理论的方法、逆散射、层析成像反演、摄动法、纯数值方法等。

2 非线性反演及其线性化地球物理反演研究的是如何根据各种地球物理观测数据推测地球内部的结构形态和物质性质。

地球内部物质组成及结构的复杂性决定了这类问题的非线性属性。

即使在经典物理学的线性理论框架上，一些地球物理现象也会表现出非线性。

因此，求解非线性问题在地球物理反演的研究中有着十分重要的地位。

地球物理反演的出发点是反映地球内部现象的数学物理方程。

通常情况下，这些方程都是非线性的，只能用数值法求解，如有限元法、有限差分法等。

然而，这些纯数值法计算量很大，即使利用最现代的计算设备，也难以在高维问题中得到实际应用。

因此，在某些条件下，常采用近似方法求解。

相对而言，线性反演比较简单，所需内存小，计算工作量也不大；非线性反演问题则不同，它要比线性反演问题困难得多、复杂得多。

解决非线性问题有两种办法，一是把非线性问题线性化，按线性问题解决，然后通过迭代的办法，逐次逼近，求得反演问题的近似解；一是不走线性化的路子，而按非线性的办法进行反演。

实践证明，非线性问题线性化的办法，简单、易行，在许多情况下也可以取得较好的结果，但是在目标函数具多极值的情况下，在反演迭代中，容易陷入局部极小，而且反演结果极大的取决于初始模型，也可能使反演出现不稳定，甚至无解。

近年来，对非线性反演问题的研究已有了长足的进步，国内外学者先后发表并实现了一些具有巨大潜力和应用价值的非线性反演方法的文章。

如蒙特卡洛法(Mont e-Carlo Method)，模拟退火法(Simulated Annealing)，人工神经元法(Artificial Neural Network)，遗传算法(Genetic Algorithm)，多尺度反演法(Multi-Scale Inversion)，同伦反演法(Homotopy Method)，非线性共轭梯度法(Non-Linear Conjugate Gradient M ethod)，原子跃迁法(Atomic Transition Algo-rithm)，量子退火法(Quantum Annealin g)，量子遗传法(Quantum Genetic Algorithm)，蚂蚁觅食法(Ant Colony Optimization Algorithm)，免疫算法(Immune algorithm)，离子群算法(Particle Swarm Optimizatio n)，演化博弈算法(Evolution-ary Game)等等。

这些方法的原理各不相同，基础也不一样，有的基础是数学，如蒙特卡洛法，同伦反演法，非线性共轭梯度法；有的基础是物理，如多尺度反演法，模拟退火法，原子跃迁法，量子退火法，量子遗传法；有的是生物，基于仿生原理，如人工神经元法，遗传算法，蚂蚁觅食法，免疫算法，演化博弈算法等等。

即便是基于仿生的各种方法，其原理也不一样。

正由于此，目前还没有一种各家都可接受的非线性反演的分类方法。

虽然非线性反演的方法有很多，但是从实用角度出发，比较常用的方法还是线性化，即用一系列的线性过程来逼近，用迭代过程来求解，在每一次迭代中都用线性方法将积分方程化为线性泛函来求解，实现线性化的基础是泛函的泰勒级数展开。

这种迭代方法被称为广义线性反演方法，这种近似方法在研究弱散射问题上仍然有着很强的优势。

从数学的角度来讲，线性近似方法是最基本的近似方法，由于原理简单、运算时间短，而被广泛应用。

其中最常用的线性化方法有Born近似和Rytov近似。

Born近似方法是基本的线性方法，在实际应用中，根据不同的情况又发展出了一些变形。

Born近似方法假设在异常体内的散射场为零，用入射场来近似总场，从而使非线性积分方程线性化。

在反演问题中，常常利用最小二乘法和Born近似方法进行反复迭代。

这种迭代的优点是概念简单、易于实现、抗噪声能力强及每次迭代时间短，其缺点是收敛速度慢。

变形Born近似方法也是在反演中常用的方法，在每次迭代中，背景介质的参数都要根据上次迭代结果做相应的修正。

这种方法的特点是收敛速度快，但是每次迭代都要计算更新的背景介质的格林函数，计算工作量较Born近似方法大得多。

在研究三维电阻率层析成像方法时，A．Lumbangh等人对传统的Born迭代成像方法进行了改进。

这种方法不需要与真实电阻率结构有关的初始模型，同时在正演时没有使用Born近似，避免了处理大对比度问题时将出现的困难。