可以判断真假的语句叫命题

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考点陪练 1.已知命题“非空集合 M的元素都是集合 P的元 素”是假命题，那么以下命题中真命题的个数 为( ) ①M的元素都不是P的元素； ②M中有不属于P的元素； ③M中有P的元素； ④M的元素不都是P的元素． A． 1 B．2 C．3 D． 4

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x－1 5． (2011· 四川成都 3 月调研)设条件 p： ≥0； 条件 q： (x－1)(x x＋1 ＋1)≥0，则 q 是 p 的________条件．( A．充分不必要 C．充要 )
B．必要不充分 D．既不充分也不必要
解析：p：x<－1或x≥1；q：x≤－1或x≥1，p⊆q. 因此q是p的必要不充分条件． 答案：B
名师作业· 练全能
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(2)四种命题的关系 若两个命题互为逆否命题，则它们有相同的真 假性，若两个命题为互逆命题或互否命题，则 它们的真假性没有关系． 3．反证法 欲证“若 p 则 q”为真命题，从否定其结论即 “非 Q”出发，经过正确的逻辑推理导出矛盾， 从而“非 Q”为假，即原命题为真，这样的方 法称为反证法．
x1＋ x2>2， 请思考以下问题： x1x2>1
是方程的两根均大于 1 的充要条件
吗？为什么不对？
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探究：求证：关于x的方程x2＋mx＋1＝0有两 个负实根的充要条件是m≥2. 证明：(1)充分性：因为m≥2，所以Δ＝m2－4≥0， 方程x2＋mx＋1＝0有实根． 设x2＋mx＋1＝0的两个实根为x1、x2， 由根与系数的关系知x1x2＝1>0. 所以x1、x2同号． 又因为x1＋x2＝－m≤－2， 所以x1、x2同为负根．
解析：由命题“非空集合M的元素都是集合P的 元素 ” 是假命题，可得非空集合 M 的元素不都 是集合P的元素，故②、④正确，①、③错误． 答案：B

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2．原命题：“设a、b、c∈R，若ac2＞bc2，则 a ＞ b”的逆命题、否命题、逆否命题中真命题 共有( ) A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 解析： 由题意可知，原命题正确，逆命题错误， 所以否命题错误，而逆否命题正确，故选B. 答案：B
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[解析 ]
设方程的两根分别为 x1、 x2，则原方程有两个大于 1 的
根的充要条件是
Δ＝ m2－ 43m－2≥ 0， x1－1＋x2－1>0， x1－1x2－ 1>0，
Δ＝m2－ 12m＋8≥0， 即x1＋ x2－ 2>0， x1x2－x＋ x2＋1>0.

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类型一 复合命题真假的判断 解题准备： 判断一个命题的真假时常用以下方 法： 1．依据定义直接判定； 2．利用原命题与其逆否命题的真假等价关系； 3．利用集合的观点去解决，即建立命题p，q相 应的集合，p：A＝{x|p(x)成立}，q：B＝{x|q(x) 成立}． 当A⊆B时，则“若p则q为真”； 当B⊆A时，则“若q则p为真”．

(3)该命题为假． 逆命题：若二次函数 y ＝ ax2 ＋ bx ＋ c 的图象与 x 轴有公共点，则b2－4ac<0.为假． 否 命 题 ： 若 二 次 函 数 y ＝ ax2 ＋ bx ＋ c 中 b2 － 4ac≥0 ， 则 该 二 次 函 数 图 象 与 x 轴 没 有 公 共 点．为假． 逆否命题：若二次函数 y＝ax2＋bx＋c的图象与 x轴没有公共点，则b2－4ac≥0.为假． [点评] 根据四种命题的定义，分别写出各种命 题，然后再进行判断，特别是否命题的真假， 21 共 57 页 可以从逆命题的真假来判断．四种命题之间的 等价关系，经常应用在真假性的判断上．

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(2)必要性： 因为 x2＋ mx＋ 1＝ 0 的两个实根 x1、 x2 均为负， 且 x1x2 ＝ 1， 所以
1 m－ 2＝－ (x1＋ x2)－ 2＝－x1＋ － 2 x1
x12＋ 2x 1＋ 1 x1＋ 12 ＝－Байду номын сангаас＝－ ≥0， x1 x1 所以 m≥2. 综合(1)(2)知命题得证．

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快解：将所猜能获奖的记为√，不能获奖的记为 ×，由题意得下表：
歌手 观众 A B C D 1 2 3 4 5 6
√ √ √ ×
√ √ √ ×
× × √ ×
× √ × √
× √ × √
× √ × √

从表中可以看出，所猜3号的结果只有一人猜对， 是C猜对的，3号歌手获得了特别奖． 33 共 57 页

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3．(2011·重庆十二校一检)如果命题“非p或非 q”是假命题，则下列各结论中正确的是( ) ①命题“p且q”是真命题 ②命题“p且q”是假命题 ③命题“p或q”是真命题 ④命题“p或q”是假命题 A．①③ B．②④ C．②③ D．①④

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(3)真值表：表示命题真假的表叫真值表． 复合命题的真假可通过下面的真值表来加以判 定： p q 非p p或q p且q 真 真 假 真 真 真 假 假 真 假 假 真 真 真 假 假 假 真 假 假

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2.四种命题 (1)四种命题 一般地，用 p 和 q 分别表示原命题的条件和结论， 用綈p和綈q分别表示p和q的否定．于是四种命 题的形式为：

类型三 反证法在证明题中的应用 解题准备： 反证法是一种常用的数学方法，属 于一种间接证法．高考中证明问题的正面思考 有困难时常考虑此方法 ．当待证命题中出现 “ 不可能 ” 、 “ 一定 ” 、 “ 至多 ” 、 “ 唯一 ” 等词语时，多运用反证法．

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【典例3】 a，b，c为实数，且a＝b＋c＋1， 证明：两个一元二次方程x2＋x＋b＝0，x2＋ax ＋c＝0中至少有一个方程有两个不相等的实数 根． [分析] 本题若直接分析要分两种情况讨论，要 证明两次，过程比较繁琐，可以从结论的对立 面分析，即两个方程都没有两个不等的实数根， 用反证法进行证明．

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[证明] 假设两个方程都没有两个不等的实数根， 则 Δ1＝1－4b≤0，Δ2＝a2－4c≤0，∴Δ1＋Δ2＝1－ 4b ＋ a2 － 4c≤0.∵a ＝ b ＋ c ＋ 1 ， ∴ b ＋ c ＝ a － 1.∴1－4(a－1)＋a2≤0，即a2－4a＋5≤0.但是a2 －4a＋5＝(a－2)2＋1>0，故矛盾． 所以假设不成立，原命题正确，即两个方程中 至少有一个方程有两个不相等的实数根． [点评] 反证法可应用于数学证明的各个方面， 只要是直接证明有困难的，且有可能从结论的 否定推出矛盾的都可以．本题是方程的根的分 24 共 57 页 布问题，所以要考虑方程的判别式．

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【典例2】 判断下列命题的真假，写出它们的 逆命题、否命题、逆否命题，并判断这些命题 的真假． (1)若ab≤0，则a≤0或b≤0. (2)若a>b，则ac2>bc2. (3)若在二次函数 y＝ ax2＋ bx＋ c中 b2－4ac<0， 则该二次函数图象与x轴有公共点．
第三讲 逻辑联结词与四种命题

充要条件
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回归课本 1.逻辑联结词 (1) 可以判断真假的语句叫命题．不含逻辑联结 词的命题叫做简单命题；由简单命题与逻辑联 结词构成的命题，叫做复合命题． (2)逻辑联结词 或：两个简单命题至少一个成立． 且：两个简单命题均成立． 非：对一个命题的否定． 3 共 57 页
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快速解题 技法 有6名歌手进入决赛的电视歌曲大奖赛， 组委会只设一名特别奖．赛前观众A猜：不是 1 号就是 2 号能获特别奖； B 猜： 3 号不可能获特 别奖； C 猜： 4、 5、 6号都不可能获特别奖； D 猜；能获特别奖的是4、5、6号中的一个，赛后 结果表明，四人中只有一人猜对了．问：谁猜 对了？几号歌手获特别奖？
解析：命题“非p或非q”是假命题，则“非p” 与“非q”都是假命题，命题p与命题q都是真命 题，因此“p且q”是真命题，命题“p或q”是 真命题． 答案：A

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4．若非空集合A，B，C满足A∪B＝C，且B不 是A的子集，则 ( ) A．“x∈C”是“x∈A”的充分不必要条件 B．“x∈C”是“x∈A”的必要不充分条件 C．“x∈C”是“x∈A”的充要条件 D ．“ x∈C”既不是“ x∈A”的充分条件也不 是“x∈A”的必要条件 解析： 由 A∪B ＝ C ，且 B 不是 A 的子集，知 A C，故x∈A⇒x∈C，而x∈C⇒/ x∈A.故选B. 12 共 57 页 答案：B

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[解析] 先判断各个命题的真假，再由四种命题 的定义写出其他三种命题，判断真假． (1)该命题为真． 逆命题：若a≤0或b≤0，则ab≤0.为假． 否命题：若ab>0，则a>0，b>0.为假． 逆否命题：若a>0，b>0，则ab>0.为真． (2)该命题为假． 逆命题：若ac2>bc2，则a>b.为真． 否命题：若a≤b，则ac2≤bc2.为真． 逆否命题：若ac2≤bc2 ，则 a≤b.为假． 20 共 57 页

类型四 充要条件的判断与探求 解题准备： 证明和判断充要条件的基本思路和 方法： 充要条件的证明应首先分清充分条件与必要条 件，即明确推出符号 “ ⇒ ” 的推理方向，从而 确立已知和结论，其次结合已知条件逐步进行 论证．