不等式解决方案问题
不等式方案问题
不等式方案问题引言不等式方案问题是数学中的一个重要概念，常常涉及到解决实际问题中的不等式方程，如经济增长模型、最优化问题等。
本文将介绍不等式方案问题的定义、解法以及应用。
一、不等式方案问题的定义不等式方案问题是指在满足一定条件下，求解不等式方程的解集合。
通常以形如 $f(x) \\geq 0$ 或 $f(x) \\leq 0$ 的形式存在，其中f(x)可以是一个复杂的数学表达式。
不等式方程的解集合往往表示了满足某种条件的变量的取值范围。
二、不等式方案问题的解法解决不等式方程的关键是确定变量的取值范围。
常用的解法包括如下几种：1. 图像法可以通过绘制函数的图像来直观地找出不等式的解集合。
只需将不等式转化为f(x)=0的形式，然后绘制f(x)的图像，通过观察图像的上升和下降趋势以及零点的位置，可以快速确定不等式的解集合。
2. 代数法代数法是通过代数运算来求解不等式方程。
可以利用常用的不等式性质和数学运算法则，对不等式进行变形，从而得到使不等式成立的取值范围。
3. 数学推导法数学推导法是通过对不等式的推理与证明来解决问题。
利用数学推导的方法，可以得到不等式解集的精确形式，更准确地描述变量的取值范围。
三、不等式方案问题的应用不等式方程是数学建模和应用题中常见的问题形式。
在实际应用中，不等式方程的解集合往往表示了变量的可行解范围，对于解决一些实际问题具有重要意义。
1. 经济增长模型经济增长模型是一个涉及到不等式方程的经济学模型。
通过研究经济增长过程中的供需关系、生产要素的合理配置等问题，可以建立相应的不等式方程来描述经济增长的可行解范围。
2. 最优化问题最优化问题是指在满足一定约束条件下，寻找使目标函数取得最大或最小值的变量取值。
在解决最优化问题时，往往需要建立约束条件的不等式方程，并通过求解不等式方程的解集合来确定问题的最优解。
3. 工程设计工程设计中，不等式方程常常用于描述资源的分配、系统约束等问题。
不等式中的方案设计问题
’，
（ ） 该 超 市 同 时 一 次 购 进 甲 、 两 种 商 品共 １若 乙 ８ 件 ， 好 用 去 １０ 元 ， ： 购 进 甲 、 Ｏ 恰 ６０ 求 能 乙两 种 商 品
各多少件？
（） 超市为使 甲 、 ２该 乙两 种 商 品 共 ８ 元 的 总 利 Ｏ 润 （ 润 ： 价 一 价 ） 少 于 ６ ０ ， 又 不 超 过 利 售 进 不 ０元 但 ６ ０ ， 你 帮 助 该 超 市 设计 相 应 的进 货 方 案． １元 请
物 全 部 运走 ， 中每 辆 甲 型汽 车 最 多 能 装该 种 货 其 物 １ 吨 ，每 辆 乙型 汽 车 最 多 能 装 该 种 货 物 １ 吨． ６ ８
已 知租 用 １ 甲型 汽 车 和２ 乙 型 汽 车 共 需 费 用 辆 辆 ２ ０ 元 ； 用２ 甲型 汽车 和 １ 乙 型汽 车 共 需 费 ５０ 租 辆 辆 用 ２ ５ 元 ，且 同 一 种 型 号 汽 车 每 辆 租 车 费 用 相 ４０
１ ．购 票 的 方 案 设计
例 １ ２ ０ 年 ８ ，北 京 奥 运会 帆 船 比赛 将 在 青 岛 国 际帆 船 ０８ 月 中心 举 行．观 看 帆 船 比赛 的船 票 分 为 两 种 ： Ａ种船 票 ６ ０ 张 ， ０ 元／ 曰
种 船 票 １ ０ ／ ． 旅 行 社 要 为 一 个 旅 行 团 代 购 部 分 船 票 ， 购 ２元 张 某 在
同．
、
第 二 种 方 案 的 票 费 为 ： ｘ ０ １０ ９ ４ ８ ６ ６ ０＋ ２ ｘ ＝ ６ ０
（ ） 元 ；
所 以 ， 一 种 方 案更 合 算 ． 第 ２ ．进 货 的 方 案 设计 例２ 某 超 市 销 售 有 甲 、 两种 商 品 ， 乙 甲商 品每 件进价ｌ元 ， 价１元 ； ０ 售 ５ 乙商 品 每件 进 价 ３ 元 ， 价 Ｏ 售
列不等式解决实际问题
解：（1）设该店订购甲款运动服x套，则订购乙款运动服（30-x）套
{ 由题意可得
350x+200(30-x) ≧7600 350x+200(30-x) ≦8000
解得 10⅔≦x≦13⅓
∵x取整数
∴x取11、12、13；30-x取19、18、17
∴共有三种方案。方案一：甲。
解：（1）每个书包的价格为28元，每本词典的价格为20元。
（2）设购买书包y个，则购买词典（40-y）个
｛ 由题意可得 1000 - [28 y + 20 (40-y) ] ≧100 1000 - [28 y + 20 (40-y) ] ≦120
解得
10 ≦y ≦12.5
∵y为整数
∴y取10、11、12.
方案三：甲款13套、乙款17套。
（2）三种方案分别获利为
方案一：（400-350）*11+（300-200）*19=2450（元）
方案二：（400-350）*12+（300-200）*18=2400（元）
方案三：（400-350）*13+（300-200）*17=2350（元）
∴方案一即甲款11套、乙款19套获利最多。
1、某市自来水公司按如下标准收取水费：若每户每月用水不超过 10立方米，则每立方米收费1.5元，若每户每月用水超过10立方米， 则超过部分每立方米收费2元。已知小亮家某月的水费不少于25元， 那么，他家这个月的用水量至少是多少？
解：设小亮家这个月的用水量为x立方米
由题意可得 10*1.5+2（x-10) ≥25
解得
x ≦10
∴5<x ≦10
答：最多可购买10件该商品。
4、郑老师想为学生购买学习用品，了解到某商店每个书包价格比 每本词典多8元，用124元恰好可以买到3各书包和2本词典。 （1）每个书包和每本词典的价格各是多少？ （2）郑老师计划用1000元为全部40位同学每人购买1件学习用品 （1个书包或1本词典），余下不少于100元且不超过120元的钱购 买体育用品，共有哪几种购买书包和词典的方案？
七年级下册方程组与不等式组解决《方案选择》应用题含答案
七年级下册不等式组《方案选择》专题1、为解决中小学大班额问题，东营市各县区今年将改扩建部分中小学，某县计划对A 和B 两类学校进行改扩建，根据预算，改扩建2所A 类学校和3所B 类学校共需资金7800万元，改扩建3所A 类学校和1所B 类学校共需资金5400万元。
（1）改扩建1所A 类学校和1所B 类学校所需资金分别是多少万元？（2）该县计划改扩建A 、B 两类学校共10所，改扩建资金由国家财政和地方财政共同承担。
规定若国家财政拨付资金不超过11800万元；地方财政投入资金不少于4000万元，其中地方财政投入到A 、B 两类学校的改扩建资金分别为每所300万元和500万元。
请问共有哪几种改扩建方案？解：（1）设改扩建1所A 类学校需资金x 万元，改扩建1所B 类学校需资金y 万元则依题意可得⎩⎨⎧=+=+54003780032y x y x∴⎩⎨⎧==18001200y x ∴改扩建1所A 类学校需资金1200万元，改扩建1所B 类学校需资金1800万元 （2）设改扩建A 类学校m 所，则改扩建B 类学校（10-m ）所依题意可得:()()()()⎩⎨⎧≥-+≤--+-400010500300118001050018003001200m m m m∴⎩⎨⎧≥-+≤-+4000500500030011800130013000900m m m m ∴⎩⎨⎧≤≥53m m∴53≤≤m ∵m 是正整数 ∴m=3或4或5 即共有3种方案方案一：改扩建A 类学校3所，B 类学校7所 方案二：改扩建A 类学校4所，B 类学校6所 方案三：改扩建A 类学校5所，B 类学校5所2、某房地产开发公司计划建A、B两种户型的住房共80套。
该公司所筹资金不少于2090万元，但不超过2096万元。
且所筹资金全部用于建房，两种户型的建房成本和售价如下表（1）该公司对这两种户型住房有哪几种建房方案？（2）该公司如何建房获得利润最大？（3）根据市场调查，每套B型住房的售价不会改变，每套A型住房的售价将会提高a 万元（a＞0），且所建的两种住房可全部售出，该公司如何建房获得利润最大？解：（1）设A种户型的住房建x套，则B种户型的住房建（80-x）套根据题意，得()()⎩⎨⎧≤-+≥-+20968028252090802825xxxx，解得48≤x≤50∵x取非负整数，∴x为48，49，50（2由题意知：W=5x+6（80-x）=480-x∵k=-1，W随x的增大而减小∴当x=48时，即A型住房建48套，B型住房建32套获得利润最大（3）根据题意，得W=5x+(6-a)(80-x)=(a-1)x+480-80a∴当0＜a＜l时，x=48，W最大，即A型住房建48套，B型住房建32套当a=l时，a-1=0，三种建房方案获得利润相等当1＜a＜6时，x=50，W最大，即A型住房建50套，B型住房建30套3、某班到毕业时共结余经费1800元，班委会决定拿出不少于270元但不超过300元的资金为老师购买纪念品，其余资金用于在毕业晚会上给50位同学每人购买一件文化衫或一本相册作为纪念．已知每件文化衫比每本相册贵9元，用200元恰好可以买到2件文件衫和5本相册。
10道一元一次不等式应用题和答案过程
10道一元一次不等式应用题和答案过程1.某水产品市场管理部门计划建造2400平方米的大棚，内设有A种和B种店面各80间。
A种店面的平均面积为28平方米，月租费为400元；B种店面的平均面积为20平方米，月租费为360元。
全部店面的建造面积不低于大棚总面积的85%。
现在要确定A种店面的数量。
解：设A种店面为a间，B种店面为80-a间。
根据题意，28a+20(80-a)≥2400×85%，化简得8a≥440，即a≥55.因此，A种店面至少应有55间。
为使店面的月租费最高，设月租费为y元，根据题意可得y=75%a×400+90%(80-a)×360=300a+-24a=-24a。
因为a≥55，所以当a=55时，y取最大值，即月租费最高为元。
2.水产养殖户XXX计划进行大闸蟹与河虾的混合养殖。
每亩地水面租金为500元，每亩水面可在年初混合投放4公斤蟹苗和20公斤虾苗。
每公斤蟹苗的价格为75元，饲养费用为525元，当年可获得1400元收益；每公斤虾苗的价格为15元，饲养费用为85元，当年可获得160元收益。
现在要求出每亩水面虾蟹混合养殖的年利润，并确定XXX应租多少亩水面，向银行贷款多少元，才能使年利润达到元。
解：每亩水面的成本包括水面年租金、苗种费用和饲养费用，即成本=500+75×4+15×20+525×4+85×20=4900元。
每亩水面的收益为1400×4+160×20=8800元。
因此，每亩水面的年利润为8800-4900=3900元。
设租a亩水面，贷款为4900a-元。
根据题意，收益为8800a，成本不超过元，即4900a≤，解得a≤10.2亩。
为使年利润达到元，可列出方程3900a+0.1(4900a-)=，解得a≈13.08亩，即XXX应租13亩水面，向银行贷款约为元。
某手机生产厂家决定对一款原售价为2000元的彩屏手机进行调价，按新单价的八折优惠出售。
利用基本不等式解决实际问题的步骤
利用基本不等式解决实际问题的步骤利用基本不等式解决实际问题的步骤基本不等式是解决实际问题中经常用到的不等式之一，它可以帮助我们求解关于不等式的最大值和最小值，从而为实际问题提供有效的解决方案。
下面将详细介绍利用基本不等式解决实际问题的步骤。
第一步：理解问题在利用基本不等式解决实际问题之前，我们需要先清楚地理解问题的背景和要求。
阅读问题时，我们应该注意问题中所涉及的不等式以及所需要求解的目标。
了解问题的意义和限制条件，这将有助于我们找到正确的解决方案。
第二步：确定变量和建立不等式一旦理解了问题，我们需要确定适当的变量和建立相应的不等式。
通过定义合适的变量，可以将问题转化为数学形式，并使其更易于处理。
在建立不等式时，我们应该根据问题的条件和要求，确定不等式的方向和形式。
这需要我们对不等式性质的熟悉和理解。
第三步：应用基本不等式基本不等式的形式是一个比较常见的形式，如AM-GM不等式、Cauchy-Schwarz不等式、柯西–布尼亚可夫斯基不等式等。
在应用基本不等式时，我们需要根据问题的具体要求选择合适的不等式。
注意不等式的形式和条件，以及需要满足的限制条件。
根据基本不等式的性质，我们可以对不等式进行变形和运算。
第四步：解决不等式在应用基本不等式后，我们将得到一个或多个不等式。
为了解决这些不等式，我们可以采用求解方法，如取等条件、符号组合方法等。
取等条件是指当不等号取等时，不等式的取等条件和最优解。
应用符号组合方法可以得到不等式的解集，并找到满足问题要求的特定解。
第五步：验证解的有效性在求解不等式之后，我们需要验证解的有效性。
这可以通过代入验证法来实现。
将解代入原始问题中，并验证所得到的结果是否满足问题的条件和要求。
如果解满足问题的条件和要求，则我们可以得出结论，否则需要重新检查求解过程。
第六步：给出结论在验证解的有效性之后，我们可以得出结论。
结论应该与问题的要求一致，并明确地给出答案。
在给出结论时，我们还应该说明所使用的基本不等式和求解方法，以便于读者理解我们的解题过程。
列不等式解方案设计问题
列不等式解方案设计问题山东 王芳列不等式解决实际问题是数学中的一个难点,在解决问题式,需要认真审题,找到题目中的不等式关系,然后设出相应的未知数,列出不等式.请看几例.例1 （河南）某公司为了扩大经营，决定购进6台机器用于生产某种活塞.现有甲、乙两种机器供选择，其中每种机器的价格和每台机器日生产活塞的数量如下表所示.经（1）按该公司要求可以有几种购买方案？（2）若该公司购进的6台机器的日生产能力不能低于380个，那么为了节约资金应选择哪种方案？解析：（1）设购买甲种机器x 台，则购买乙种机器（6－x ）台.由题意，得75(6)34x x +-≤，解这个不等式，得2x ≤，即x 可以取0、1、2三个值，所以，该公司按要求可以有以下三种购买方案：方案一：不购买甲种机器，购买乙种机器6台；方案二：购买甲种机器1台，购买乙种机器5台；方案三：购买甲种机器2台，购买乙种机器4台；（2）按方案一购买机器，所耗资金为30万元，新购买机器日生产量为360个；按方案二购买机器，所耗资金为1×7＋5×5＝32万元；，新购买机器日生产量为1×100＋5×60＝400个；按方案三购买机器，所耗资金为2×7＋4×5＝34万元；新购买机器日生产量为2×100＋4×60＝440个.因此，选择方案二既能达到生产能力不低于380个的要求，又比方案三节约2万元资金，故应选择方案二.例2 (广元)为了保护环境，某企业决定购买10台污水处理设备．现有A 、B 两种型号设备，且A 、B 两种型号设备的价格分别为每台15万元、12万元．经预算，该企业购买设备的资金不超过．．．130万元．（1）请你设计，该企业有几种购买方案；（2）A 、B 两种型号设备每台一个月处理污水量分别为250吨、220吨．若企业每月产生的污水量为2260吨，为了尽可能节省资金．．．．．．．，应选择哪种购买方案？ 解析：（1）设购买A 种型号设备x 台，则购买B 种（10-x ）台．据题意得 15x+12(10-x)≤130,解之得 x ≤310, 因为x 为非负整数，所以取1或2或3或0,所以该企业可有四种购买方案：方案一：购买A 种设备1台，B 种设备9台；方案二：购买A 设备2台，B 种设备8台；方案三：购买A 种设备3台，B 种设备7台；方案四：只购买B 种设备10台．（2）设购买A 种型号设备x 台，则购买B 种(10-x)台,据题意得：250x+220(10-x)≥2260,解得x ≥2,所以 x 为2或3．当x=2时，购买资金为：15×2+12×8=126（万元）当x=3时，购买资金为：15×3+12×7=129（万元）所以选择方案二即购买A 种设备2台，B 种设备8台节省资金．例3 (黑龙江）某房地产开发公司计划建A 、B 两种户型的住房共80套，该公司所筹资金不少于2090万元，但不超过2096万元，且所筹资金全部用于建房，两种户型的建房成本和售价如下表：(1)该公司对这两种户型住房有哪几种建房方案?(2)该公司如何建房获得利润最大?解析：(1)设A 种户型的住房建x 套，则B 种户型的住房建(80-x)套．由题意知2090≤25x+28(80-x)≤2096，解得48≤x≤50，因为 x 取非负整数， 所以 x 为48，49，50．所以有三种建房方案：①A 型48套，B 型32套；②A 型49套，B 型31套；③A 型50套，B 型30套.(2)第①种方案的利润为：5×48+6×32=432（万元）第②种方案的利润为：5×49+6×31=431（万元）.第③种方案的利润为5×50+6×30=430（万元）.所以A 型住房48套，B 型住房32套获得利润最大.。
一元一次不等式的方案问题解题思路
一元一次不等式的方案问题解题思路在数学学习中，不等式是一个重要的知识点。
而在不等式中，一元一次不等式也占有着举足轻重的地位，因为它不但对于初学者来说比较容易掌握，而且在实际生活中也有着广泛的应用。
本文将介绍如何解决一元一次不等式的方案问题，希望能够帮助大家更好地理解和应用这一知识点。
一、什么是一元一次不等式的方案问题在学习一元一次不等式时，我们会遇到方案问题，这是指询问满足某个不等式的变量范围。
例如，我们需要确定不等式 $3x+5>7$ 的解集，即 $x$ 的取值范围。
解决这类问题需要掌握一些基本的解题方法。
二、简单不等式的解法对于一元一次不等式，我们可以通过移项的方式将其转化为简单的形式，进而得到解的范围。
例如：$$3x+5>7$$将等式两边减去 $5$，得到：$$3x>2$$再将等式两边除以 $3$，得到：$$x>\frac{2}{3}$$因此，不等式 $3x+5>7$ 的解集为 $x>\frac{2}{3}$。
三、变式不等式的解法对于一些变式不等式，我们可以通过构造等价不等式的方法，将其转化为简单的形式。
例如：$$\frac{2x-3}{5-x}>0$$我们将其改写为$$(2x-3)(5-x)>0$$根据零点定理，不等式 $(2x-3)(5-x)>0$ 的解集为 $x<\frac{3}{2}$ 或 $x>5$。
注意到原不等式中的分母为$5-x$，而$x=5$ 会使$5-x=0$，从而分母无意义。
因此，不等式 $\frac{2x-3}{5-x}>0$ 的解集为 $x<\frac{3}{2}$ 或 $x>5$，即 $x$ 属于区间$(-\infty,\frac{3}{2})\cup(5,\infty)$。
四、绝对值不等式的解法对于绝对值不等式，我们可以将其变形为复合不等式，然后利用复合不等式的求解方法得到其解集。
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实际问题的 答案
检验
数学问题的解
2、 方案型问题现在我们有两种 解决方法，用列方程找临界状态解决 或用列不等式（组）的方法解决。
甲种货车 方案一 2辆 方案二 3辆 方案三 4辆
（2）方案一所需运费 300×2 + 240×6 =
2040元； 方案二所需运费 300×3 + 240×5 = 2100 元； 方案三所需运费 300×4 + 240×4 = 2160 元． 所以和灿应选择方案一运费最少，最少运 费是2040元．
答：①如果一个月内累计通话时间不足300分，那 么选择“方式二”收费少；②如果一个月内累计 通话时间等于300分，那么选择“方式一” 和“方 式二”均可；③如果一个月内累计通话时间超过 300分，那么选择“方式一”收费少。
解决这种方案型问题关键 是利用方程找到 “两种收费一样” 的 ， 再作出判断。 临界条件 现在你能用不等式的方法解决吗？
3．今秋，某市玉龙村水果喜获丰收，果农和 灿收获枇杷20吨，桃子12吨．现计划租用甲、 乙两种货车共8辆将这批水果全部运往外地销 售，已知一辆甲种货车装枇杷4吨和桃子1吨， 一辆乙种货车可装枇杷和桃子各2吨． （1）王灿如何安排甲、乙两种货车可一次性 地运到销售地？有几种方案？ （2）若甲种货车每辆要付运输费300元，乙 种货车每辆要付运输费240元，则果农和灿应 选择哪种方案，使运输费最少？最少运费是多 少？
解法二：设累计通话x分，则用方式一要收费 （30+0.3x）元，用方式二要收费0.4x元， ①当方式二收费大于方式一时， 0.4x＞30+0.3x 解得：x＞300，即此时方式一更优惠； ②当方式二收费等于方式一时， 0.4x=30+0.3x 解得：x=300，即此时方式一和方式二均可选择； ③当方式二收费小于方式一时， 0.4x＜30+0.3x 解得：x＜300， 即此时方式二更优惠。
求不等式组 2 x 3 0
3 x 5 0
整数解
二 ． 互学（探究）
方案 进行工作的具体计划或对某一问题制 定的规划 初中数学新课标强调提高学生运用为了考 查学生的能力，许多省市近几年的中考数学试 题中，结合现代社会实践，以及市场经济的一 些实际问题，出现了许多新型应用题．这其中 包括不等式型的分配方案应用题,下面请同学 们欣赏几道应用题中的方案设计型问题．
用一元一次不等式（组）解决实际问题 方案设计型应用问题
一. 自学（知识准备）
1. 用式子表示，并在数轴上画出来:
（1）大于3的数a； a﹥3
3
（2）不超过6的数b； b≤6
6
（4）不小于-4的数d; d≥-4
-4
（3）小于5的数c； c＜5
5
观察并思考： 1.不超过6的数有 无数 个；整数有 无数 个； 负整数有 无数 个；自然数有 7 个，分别 是 0,1,2,3,4,5,6 ；正整数有 6 个，分别 是 1,2,3,4,5,6 . 1 2.（1）方程2x-1=3的解有________个；（2） 无数 不等式2x-1＜3的解有________个，非负整数 2 0,1 的解有________个，分别是________，其解 集为_______ x＜2
（1）请你帮助商店算一算有多少种进货方案？ （不考虑除进价之外的其它费用） （2）哪种进货方案待商店销售购进的电视机 与洗衣机完毕后获得利润最多？并求出最多利润． （利润＝售价－进价）
1、 根据以上问题的解决过程， 你能从中发现什么？
实际问题
列不等式
数学问题 （一元一次不等式(组) ）
2. 某工厂现有甲种原料360千克，乙种原料 290千克，计划利用这两种原料生产A.B两种 产品共50件，已知生产一件A种产品需用甲种 原料9千克，乙种原料3千克，可获利700元， 生产一件B种产品需用甲种原料4千克，乙种 原料10千克，可获利1200元， （1）按需要安排A.B两种产品的生产件数，有 哪几种方案？请设计出来； （2）第（1）小题中哪中方案获利最大？最大 利润是多少？
（1）解：设安排甲种货车x辆，则安排乙种 货车（8－x）辆，依题意，得 ① 4 x 2(8 x) 20 ② x 2(8 x) 12 解此不等式组，由①得 x≥2，由 ②得x≤4， 即 2≤x≤4． ∵ x是正整数，∴ x可取的值为2，3， 4．
因此安排甲、乙两种货车有三种方案： 乙种货车 6辆 5辆 4辆
三 . 群学
国庆节期间，电器市场火爆．某商店需要购进一批电视机和洗衣机， 根据市场调查，决定电视机进货量不少于洗衣机的进货量的一半．计 划购进电视机和洗衣机共100台，商店最多可筹集资金161 800元电视 机与洗衣机的进价和售价如下表： 类别 进价（元/台） 售价（元/台） 电视机 1800 2000 洗衣机 1500 1600
例：小平的爸爸新买了一部手机，他从移 动公司了解到现在有两种通话计费方式：
方式一 月租费 本地通话费 30元/月 0.30元/分 方式二 0 0.40元/分
他正为选哪一种方式犹豫, 你能帮助他作个选择吗？
解：设累计通话x分，则用方式一要收费 （30+0.3x）元，用方式二要收费0.4x元， 如果两种计费方式的收费一样，则 0.4x=30+0.3x 移项，得：0.4x－0.3x=30 合并同类项，得：0.1x=30 系数化为1，得： x=300