(完整版)高一不等式及其解法习题及答案.doc
高一数学不等式试题答案及解析
高一数学不等式试题答案及解析1.定义，设实数满足约束条件则的取值范围是（）A．［－5，8］B．［－5，6］C．［－3，6］D．［－8，8］【答案】A【解析】分析：由题意可得约束条件所满足的可行域如图所示的正方形ABCD，由Z=当x+2y＜0时的可行域即为图中的四边形MCDN，Z=2x-y在N（-2，1）处取得最小值-5，在B （2，-2）处取得最大值6；当x+2y≥0时的可行域为图中的四边形ABMN，Z=3x+y在C（2，2）处取得最小值8，从而可求Z的取值范围解答：解：由题意可得约束条件所满足的可行域如图所示的正方形ABCD由Z=当x+2y＜0时的可行域即为图中的四边形MCDN，Z=2x-y在N（-2，1）处取得最小值-5，在B （2，-2）处取得最大值6当x+2y≥0时的可行域为图中的四边形ABMN，Z=3x+y在C（2，2）处取得最小值8∴-5≤Z≤8故选：A点评：本题主要考查了简单的线性规划，解题的关键是要根据题目中的定义确定目标函数及可行域的条件以及，属于知识的综合应用题．2.下列命题不正确的是A．B．C．D．【答案】D【解析】略3.目标函数，变量满足，则有（）A．B．C．无最大值D．既无最大值，也无最小值K^S*5U.C#O【答案】A【解析】略4. 2010年4月14日清晨我国青海省玉树县发生里氏7．1级强震。
国家抗震救灾指挥部迅速成立并调拨一批救灾物资从距离玉树县400千米的某地A运往玉树县，这批救灾物资随17辆车以千米/小时的速度匀速直达灾区，为了安全起见，每两辆车之间的间距不得小于千米。
设这批救灾物资全部运送到灾区（不考虑车辆的长度）所需要的时间为小时。
求这批救灾物资全部运送到灾区所需要的最短时间，并指出此时车辆行驶的速度。
【答案】（千米/小时）时，取得最小值为8（小时）【解析】由题可得关系式为从而当且仅当，即（千米/小时）时，取得最小值为8（小时）5.（1）已知x<，求函数y＝4x－2＋的最大值；（2）已知x>0，y>0且＝1，求x＋y的最小值．【答案】（1）1；（2）16【解析】本题主要考察函数万能公式的运用，在第一小问中函数化简须与分式分母相对应，在运用万能公式时，要注意不要将符号弄反，解不等式即可求出最大值。
高一数学不等式试题答案及解析
高一数学不等式试题答案及解析1.已知a＞b, c＞d,则（）A．ac＞bd B．C．D．【答案】D【解析】略2.设，且，则（）A．B．C．D．【答案】Ｄ【解析】由题意，，又，则，所以，则，，由且，可得，故3.（1）已知x<，求函数y＝4x－2＋的最大值；（2）已知x>0，y>0且＝1，求x＋y的最小值．【答案】（1）1；（2）16【解析】本题主要考察函数万能公式的运用，在第一小问中函数化简须与分式分母相对应，在运用万能公式时，要注意不要将符号弄反，解不等式即可求出最大值。
在第二小问中，将条件乘入到所求结果中去，再将式子进行展开，利用万能公式，解不等式即可求出最小值。
试题解析：（1）x<，∴4x－5<0．∴y＝4x－5＋＋3＝－[（5－4x）＋]＋3＝1．≤－2＋3＝1，ymax（2）∵x>0，y>0且＝1，∴x＋y＝（x＋y）＝10＋≥10＋2＝16，即x＋y的最小值为16【考点】函数万能关系不等式4.（12分）已知函数y=的定义域为R．（1）求a的取值范围．（2）若函数的最小值为，解关于x的不等式x2﹣x﹣a2﹣a＜0．【答案】（1）；（2）【解析】（1）定义域为，指被开方数恒大于等于0，讨论两种情况当或是两种情况；（2）函数的最小值，指被开方数为抛物线时的顶点函数值是，所以先根据顶点坐标求参数，然后将参数代入二次不等式，解不等式．试题解析：（1）∵函数y=的定义域为R，∴a=0时，满足题意；a＞0时，△=4a2﹣4a≤0，解得0＜a≤1；∴a的取值范围是{a|0≤a≤1}；（2）∵函数y的最小值为，∴≥， a∈[0，1]；∴ax2+2ax+1≥；当a=0时，不满足条件；当1≥a＞0时，ax2+2ax+1的最小值是=，∴a=；∴不等式x2﹣x﹣a2﹣a＜0可化为x2﹣x﹣＜0，解得﹣＜x＜；∴不等式的解集是{x|﹣＜x＜}．【考点】1．二次函数;2．二次函数的性质；3．解二次不等式．5.已知实数满足约束条件则的最大值是．【答案】9【解析】作出可行域及目标函数线如图，平移目标函数线使之经过可行域，当目标函数线过点时目标函数线的纵截距最大此时也最大．，所以．【考点】线性规划．6.下列结论正确的是A．若，则B．若，则C．若则D．若，则【答案】D【解析】对于A若c<0则错,对于B,若A,B都是负数则错，对于C,只有两个同向且全正的不等式才恒成立，故只有D正确．【考点】不等式的基本性质．7.（本小题满分8分）已知函数．（Ⅰ）当时，解关于的不等式；（Ⅱ）当时，解关于的不等式．【答案】（Ⅰ）（Ⅱ）当时，，则不等式的解集为，或；当时，不等式化为，此时不等式解集为；当时，，则不等式的解集为，或【解析】第一问考查了一元二次不等式的解法，第二问首先对二次三项式因式分解得到，再分类讨论两根的大小得到不等式的解集．试题解析：（Ⅰ）当时，不等式可化为，即，解得，所以不等式的解集为．（Ⅱ）当时，不等式可化为，即，则，当时，，则不等式的解集为，或；当时，不等式化为，此时不等式解集为；当时，，则不等式的解集为，或．【考点】一元二次不等式的解法，分类讨论的思想．8.已知变量，满足则的最小值为__________．【答案】【解析】如图，当目标函数过点时，函数取得最小值，,目标函数的最小值是．【考点】线性规划9.已知，，，则的最小值是_________．【答案】【解析】∵，，，∴由基本不等式可得≥2=2当且仅当时，取最小值2．故答案为：2【考点】基本不等式10.若实数x，y，且x+y=5，则的最小值是（）A．10B．C．D．【答案】D【解析】，，当且仅当即时取得．故D正确．【考点】基本不等式．11.若关于的不等式在区间上有解，则实数的取值范围为（）A．B．C．（1，+∞）D．【答案】A【解析】因为，则不等式可化为：，设，由题意得只需，因为函数为区间上的减函数，所以，所以选A【考点】1．分离参数；2．存在性问题；12.若，且，则的最小值是（）A．B．C．2D．3【答案】B【解析】由已知条件可得（b=c时等号成立），所以，故选B【考点】不等式和最值计算综合问题13.若，则（）A．B．C．D．【答案】C【解析】不等式的两边同时乘以负数，不等号方向改变，故A错，B错，C错，只有B对，故选B．【考点】不等式的基本性质．14.下列函数的最小值为2的是（）A．B．C．D．【答案】D【解析】，在其定义域上没有最小值，因为自变量的区间右端点是开的而导致取不到最小值，利用均值不等式取不到最小值，故只能选D．【考点】对勾函数与均值不等式．15.已知，则的最大值是．【答案】3【解析】求解该不等式组在第一象限及与坐标轴的交点坐标是（0，2），（1，4），（5，0），（0，0），分别代入目标函数z=-x+y，得2，3，-5，0比较得最大值是3，当且仅当x=1，y=4时取得最大．【考点】线性规划的应用．16.（12分）已知函数，（1）当时，解不等式；（2）比较的大小；（3）解关于x的不等式．【答案】（1）；（2）详见解析；（3）详见解析【解析】（1）当时，将不等式分解因式，得到解集；（2）比较大小，可以做差，然后通分，分解因式，然后讨论的范围，比较两数的大小；（3）第一步，先分解因式，第二步，根据上一问的结果得到与的大小关系，得到解集．试题解析：解：（1）当时，有不等式，∴，∴不等式的解集为：；（2）∵且∴当时，有当时，有当时，；（3）∵不等式当时，有，∴不等式的解集为；当时，有，∴不等式的解集为；当时，不等式的解集为．【考点】1．解二次不等式；2．比较大小．17.（本题满分12分）已知函数，的解集为（1）求，的值；（2）为何值时，的解集为R．【答案】（1）；（2）【解析】（1）不等式的解集的端点就是其对应方程的实根，所以代入，解，然后根据韦达定理求；（2）代入上一问的结果，问题转化为解集为，所以讨论两种情况，和．试题解析：解（1）由已知得是方程的两根，的解集为（2）由（1）得解集为，当时，不等式解集为成立，当时，由（1）（2）可得．【考点】1．二次不等式的解法；2．二次不等式恒成立；3．韦达定理．18.不等式的解集是．【答案】【解析】根据解一元二次不等式得口诀“大于取两边，小于取中间”可得不等式的解集是【考点】解一元二次不等式19.关于不等式的解集为，则等于（）A．B．11C．D．【答案】C【解析】二次不等式的解集的端点值就是二次方程的实根，所以根据韦达定理，，解得，，所以【考点】1．一元二次不等式的解法；2．韦达定理．20.（共10分）（1）解不等式：；（2）解关于的不等式：【答案】（1）；（2）详见解析．【解析】（1）将此分式不等式转化为相乘形式，即，即，然后按二次不等式求解；（2）解此类型的含参二次不等式，第一步，先分解因式，第二步，讨论两根的大小关系，根据根的大小关系，写出不等式的解集．试题解析：解：（1）原不等式等价于故原不等式的解集为（2）原不等式可化为综上：不等式的解集为：【考点】1．解分式不等式；2．解含参二次不等式．21.已知，则的最小值是（）A．10B．C．12D．20【答案】C【解析】，，当且仅当时取得等号．【考点】基本不等式．22.若，则下列正确的是（）A．B．C．D．【答案】D【解析】A．若，则不成立，所以错误；B．若，则不成立，所以错误；C．若，则不成立，所以错误；D因为，不等式两边同时减去同一个数，不等号方向不变，所以正确，故选择D【考点】不等式性质23.不等式的解集是____________________．【答案】【解析】不等式变形为：，分解因式可得：，所以解集为【考点】解一元二次不等式24.函数f（x）＝，若f（x0）＝3，则x的值是（）A．1B．C．D．【答案】D【解析】f（x）＝3，所以，舍去，或，其中舍去，或，舍去，综上，故选D【考点】分段函数求值25.三个数，，的大小关系为（）A．B．C．D．【答案】C【解析】，所以有，故选C．【考点】指数的大小比较．26.若，，且恒成立，则的最小值是（）A．B．C．D．【答案】B【解析】分离参数得恒成立，两边平方得，而，当且仅当时等号成立，所以，故选B．【考点】1、不等式性质；2、均值不等式；3、不等式的恒成立．【方法点晴】本题主要考查的是含参不等式的恒成立问题，属于中档题题．首先利用不等式的性质将不等式变形分离出常数，转化为求的最大值问题，再平方后运用基本不等式求其最大值，注意分析等号能否取得．27.若0＜a＜1，且logba＜1，则（）A．0＜b＜a B．0＜a＜b C．0＜a＜b＜1D．0＜b＜a或b＞1【答案】D【解析】利用对数函数的单调性和特殊点，分b＞1和0＜b＜1两种情况，分别求得a、b的关系，从而得出结论．解：当b＞1时，∵logb a＜1=logbb，∴a＜b，即b＞1成立．当0＜b＜1时，∵logb a＜1=logbb，∴0＜b＜a＜1，即0＜b＜a，故选D．【考点】对数函数的单调性与特殊点．28.设，则的大小关系A．B．C．D．【答案】B【解析】在同一直角坐标系中画出函数：的图像（略），由图像可知.故选B.【考点】指数函数和对数函数的图像和性质.29.若关于x的不等式（2x－1）2<ax2的解集中整数恰好有3个，则实数a的取值范围是__________.【答案】【解析】关于x的不等式（2x－1）2<ax2等价于，其中且有，故有，不等式的解集为，所以解集中一定含有1,2,3，可得，所以，解得.【考点】含参数的一元二次方程的解法.30.下列不等式中，解集为的是（）A．B．C．D．【答案】D【解析】A．，解集为；B．解集为；C．解集为；解集为，选D【考点】不等式的解集31.下列不等式中，解集为的是（）A．B．C．D．【答案】D【解析】A．，解集为；B．解集为；C．解集为；解集为，选D【考点】不等式的解集32.已知实数满足，设，则的取值范围是（）A．B．C．D．【答案】D【解析】设且，则，令，所以，当时上述不等式中的等号成立，所以.【考点】基本不等式的应用．【方法点晴】本题主要考查了基本不等式的应用，其中正确构造基本不等式的应用条件是使用基本不等式的基础和关键，试题思维量大，运算繁琐，属于难题，着重考查了构造思想和转化与化归思想的应用，本题的解答中，设且，得，即可利用基本不等式，可求得的值，即可求解取值范围．33.下列关于的不等式解集是实数集R的为（）A．B．C．D．【答案】C【解析】A中的解集是，B中的解集是，C中的解集是R，D中的解集是，故答案为C．【考点】不等式的解法.34.已知，那么下列不等式中正确的是（）A．B．C．D．【答案】D【解析】由题根据不等式的性质，A,B，C选项，数的正负不明，错误；而选项D，无论取任何数都成立。
高一数学一元二次不等式解法练习题及答案word版本
高一数学一元二次不等式解法练习题及答案[ ]A a xB x a ．＜＜．＜＜11a aC x aD x x a ．＞或＜．＜或＞x a a11 例有意义，则的取值范围是．2 x x 2--x 6 例3 若ax 2＋bx －1＜0的解集为{x|－1＜x ＜2}，则a ＝________，b ＝________．例4 解下列不等式(1)(x －1)(3－x)＜5－2x(2)x(x ＋11)≥3(x ＋1)2(3)(2x ＋1)(x －3)＞3(x 2＋2)(4)3x 2-+--+-31325113122x x x x x x ＞＞()() 例不等式＋＞的解集为5 1x 11-x [ ] A ．{x|x ＞0}B ．{x|x ≥1}C ．{x|x ＞1}D ．{x|x ＞1或x＝0} 例与不等式≥同解的不等式是6 0x x--32 [ ]A ．(x －3)(2－x)≥0B ．0＜x －2≤1C ．≥230--x x D ．(x －3)(2－x)≤0 例不等式＜的解为＜或＞，则的值为7 1{x|x 1x 2}a ax x -1 A a B a C a D a ．＜．＞．＝．＝－12121212若 ＜ ＜ ，则不等式 － － ＜ 的解是 0 a 1 (x a)(x ) 0 1 a8.不等式|x 2－3x|＞4的解集是________．9.设全集U ＝R ，A ＝{x|x 2－5x －6＞0}，B ＝{x||x －5|＜a}(a 是常数)，且11∈B ，则[ ]A ．(U A)∩B ＝RB ．A ∪(U B)＝RC ．(U A)∪(U B)＝R D ．A ∪B ＝R9.判定以下关系是否正确(1){a}{a}⊆(2){1，2，3}＝{3，2，1}(3){0}∅⊂≠(4)0∈{0}(5){0}(6){0}∅∅∈＝________．11. 已知集合A ＝{2，4，6，8，9}，B ＝{1，2，3，5，8}，又知非空集合C 是这样一个集合：其各元素都加2后，就变为A 的一个子集；若各元素都减2后，则变为B 的一个子集，求集合C ．12. 已知集合S ＝{2，3，a 2＋2a －3}，A ＝{|a ＋1|，2}，S A ＝{a ＋3}，求a 的值．13. 已知集合A ＝{2，4，6，8，9}，B ＝{1，2，3，5，8}，又知非空集合C 是这样一个集合：其各元素都加2后，就变为A 的一个子集；若各元素都减2后，则变为B 的一个子集，求集合C ．14. 设S ＝{1，2，3，4}，且M ＝{x ∈S|x 2－5x ＋p ＝0}，若S M ＝{1，4}，则p ＝________．10 已知 ， ， ， ， ，则满足条件集合 的个数为 ≠ {a b} A {a bc d} A ⊆ ⊂。
高一不等式的试题及答案
高一不等式的试题及答案一、选择题1. 若不等式 \( ax^2 + bx + c > 0 \) 的解集为 \( (-1, 1) \)，则下列选项中正确的是：A. \( a < 0 \) 且 \( b^2 - 4ac = 0 \)B. \( a > 0 \) 且 \( b^2 - 4ac = 0 \)C. \( a < 0 \) 且 \( b^2 - 4ac > 0 \)D. \( a > 0 \) 且 \( b^2 - 4ac > 0 \)答案：B2. 若不等式 \( |x - 3| < 2 \) 的解集为：A. \( (1, 5) \)B. \( (-2, 5) \)C. \( (1, 5) \cup (-2, 5) \)D. \( (-∞, 5) \cup (1, +∞) \)答案：A3. 若不等式 \( \frac{1}{x} < 1 \) 的解集为：A. \( x < 0 \) 或 \( x > 1 \)B. \( x < 0 \) 或 \( 0 < x < 1 \)C. \( x < 0 \) 或 \( x > 1 \)D. \( 0 < x < 1 \)答案：A4. 若不等式 \( x^2 - 4x + 4 \geq 0 \) 的解集为：A. \( R \)（实数集）B. \( (-∞, 2] \cup [2, +∞) \)C. \( (-∞, 4] \cup [4, +∞) \)D. \( [0, +∞) \)答案：A5. 若不等式 \( \log_2(x+1) > 1 \) 的解集为：A. \( x > 1 \)B. \( x > 0 \)C. \( x > -1 \)D. \( x > 2 \)答案：A二、填空题6. 若不等式 \( ax^2 + bx + c \leq 0 \) 的解集为 \( [1, 2] \)，则 \( a \)、\( b \)、\( c \) 之间的关系是 \( a > 0 \)，\( b = -3a \)，\( c = 2a \)。
高中数学必修5一元二次不等式及其解法精选题目(附答案)
高中数学必修5一元二次不等式及其解法精选题目（附答案）1．一元二次不等式我们把只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的不等式，称为一元二次不等式，即形如ax2＋bx＋c＞0(≥0)或ax2＋bx＋c＜0(≤0)(其中a≠0)的不等式叫做一元二次不等式．2．一元二次不等式的解与解集使一元二次不等式成立的x的值，叫做这个一元二次不等式的解，其解的集合，称为这个一元二次不等式的解集．3．一元二次不等式与相应的二次函数及一元二次方程的关系表题型一：一元二次不等式解法1.解下列不等式：(1)2x2＋5x－3<0；(2)－3x2＋6x≤2；(3)4x2＋4x＋1>0；(4)－x2＋6x－10>0.题型二：三个“二次”关系的应用2.若不等式ax 2＋bx ＋2>0的解集是⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪－12<x <13，则a ＋b 的值为( )A ．14B ．－10C ．10D ．－143.已知一元二次不等式x 2＋px ＋q ＜0的解集为⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪－12＜x ＜13，求不等式qx 2＋px ＋1＞0的解集．题型三：解含参数的一元二次不等式4.解关于x 的不等式x 2＋(1－a )x －a ＜0.巩固练习：1．不等式6x 2＋x －2≤0的解集为( )A.⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪－23≤x ≤12B.⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪x ≤－23或x ≥12 C.⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪x ≥12D.⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪x ≤－23 2．设a <－1，则关于x 的不等式a (x －a )⎝ ⎛⎭⎪⎫x －1a <0的解集为( )A.⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪x <a 或x >1a B ．{x |x >a } C.⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪x >a 或x <1aD.⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪x <1a 3．在R 上定义运算⊙：a ⊙b ＝ab ＋2a ＋b ，则满足x ⊙(x －2)<0的实数x 的取值范围为( )A ．(0,2)B ．(－2,1)C ．(－∞，－2)∪(1，＋∞)D ．(－1,2)4．不等式mx 2－ax －1>0(m >0)的解集可能是( )A.⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪x <－1或x >14 B ．R C.⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪－13<x <32 D ．∅5．函数y ＝17－6x －x 2的定义域为( )A ．[－7,1]B ．(－7,1)C ．(－∞，－7]∪[1，＋∞)D ．(－∞，－7)∪(1，＋∞)6．已知全集U ＝R ，A ＝{x |x 2－1≥0}，则∁U A ＝________.7．若二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c (a <0)的图象与x 轴的两个交点为(－1,0)和(3,0)，则不等式ax 2＋bx ＋c <0的解集是________．8．已知函数f (x )＝⎩⎨⎧x 2＋2x ，x ≥0，－x 2＋2x ，x <0.若f (a )≤3，则a 的取值范围是________．9．解关于x 的不等式x 2－3ax －18a 2>0. 10．若函数f (x )＝2 018ax 2＋2ax ＋2的定义域是R ，求实数a 的取值范围．参考答案：1.[解] (1)Δ＝49>0，方程2x 2＋5x －3＝0的两根为x 1＝－3，x 2＝12， 作出函数y ＝2x 2＋5x －3的图象，如图①所示．由图可得原不等式的解集为⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪－3<x <12.(2)原不等式等价于3x 2－6x ＋2≥0.Δ＝12>0，解方程3x 2－6x ＋2＝0，得x 1＝3－33，x 2＝3＋33，作出函数y ＝3x 2－6x ＋2的图象，如图②所示，由图可得原不等式的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪⎪x ≤3－33或x ≥3＋33. (3)∵Δ＝0，∴方程4x 2＋4x ＋1＝0有两个相等的实根x 1＝x 2＝－12.作出函数y ＝4x 2＋4x ＋1的图象如图所示．由图可得原不等式的解集为⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪x ≠－12，x ∈R.(4)原不等式可化为x 2－6x ＋10<0，∵Δ＝－4<0， ∴方程x 2－6x ＋10＝0无实根，∴原不等式的解集为∅. 2.解：由已知得，ax 2＋bx ＋2＝0的解为－12，13，且a <0. ∴⎩⎪⎨⎪⎧－b a ＝－12＋13，2a ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－12×13，解得⎩⎨⎧a ＝－12，b ＝－2，∴a ＋b ＝－14.3.解：因为x 2＋px ＋q ＜0的解集为⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪－12＜x ＜13，所以x 1＝－12与x 2＝13是方程x 2＋px ＋q ＝0的两个实数根，由根与系数的关系得⎩⎪⎨⎪⎧13－12＝－p ，13×⎝ ⎛⎭⎪⎫－12＝q ，解得⎩⎪⎨⎪⎧p ＝16，q ＝－16 .所以不等式qx 2＋px ＋1＞0即为－16x 2＋16x ＋1＞0，整理得x 2－x －6＜0，解得－2＜x ＜3.即不等式qx 2＋px ＋1＞0的解集为{x |－2＜x ＜3}．4.[解] 方程x 2＋(1－a )x －a ＝0的解为x 1＝－1，x 2＝a ，函数y ＝x 2＋(1－a )x －a 的图象开口向上，则当a ＜－1时，原不等式解集为{x |a ＜x ＜－1}；当a ＝－1时，原不等式解集为∅；当a ＞－1时，原不等式解集为{x |－1＜x ＜a }． 5.设a ∈R ，解关于x 的不等式ax 2＋(1－2a )x －2>0.5.解：(1)当a ＝0时， 不等式可化为x －2>0，解得x >2，即原不等式的解集为{x |x >2}．(2)当a ≠0时，方程ax 2＋(1－2a )x －2＝0的两根分别为2和－1a .①当a <－12时，解不等式得－1a <x <2，即原不等式的解集为⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪－1a <x <2；②当a ＝－12时，不等式无解，即原不等式的解集为∅；③当－12<a <0时，解不等式得2<x <－1a ，即原不等式的解集为⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪2<x <－1a ； ④当a >0时，解不等式得x <－1a 或x >2，即原不等式的解集为⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪x <－1a 或x >2. 练习：1.解析：选A 因为6x 2＋x －2≤0⇔(2x －1)·(3x ＋2)≤0，所以原不等式的解集为⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪－23≤x ≤12. 2.解析：选A ∵a <－1，∴a (x －a )·⎝ ⎛⎭⎪⎫x －1a <0⇔(x －a )·⎝ ⎛⎭⎪⎫x －1a >0.又a <－1，∴1a >a ，∴x >1a 或x <a .3.解析：选B 由a ⊙b ＝ab ＋2a ＋b ，得x ⊙(x －2)＝x (x －2)＋2x ＋x －2＝x 2＋x －2<0，所以－2<x <1.4.解析：选A 因为Δ＝a 2＋4m >0，所以函数y ＝mx 2－ax －1的图象与x 轴有两个交点，又m >0，所以原不等式的解集不可能是B 、C 、D ，故选A.5.解析：选B 由7－6x －x 2>0，得x 2＋6x －7<0，即(x ＋7)(x －1)<0，所以－7<x <1，故选B.6.解析：∁U A ＝{x |x 2－1<0}＝{x |－1<x <1}． 答案：{x |－1<x <1}7.解析：根据二次函数的图象知所求不等式的解集为(－∞，－1)∪(3，＋∞)． 答案：(－∞，－1)∪(3，＋∞)8.解析：当a ≥0时，a 2＋2a ≤3，∴0≤a ≤1；当a <0时，－a 2＋2a ≤3，∴a <0.综上所述，a 的取值范围是(－∞，1]．9.解：将x 2－3ax －18a 2>0变形得(x －6a )(x ＋3a )>0， 方程(x －6a )(x ＋3a )＝0的两根为6a ，－3a .所以当a >0时，6a >－3a ，原不等式的解集为{x |x <－3a 或x >6a }；当a ＝0时，6a ＝－3a ＝0，原不等式的解集为{x |x ≠0}； 当a <0时，6a <－3a ，原不等式的解集为{x |x <6a 或x >－3a }． 10.解：因为f (x )的定义域为R ，所以不等式ax 2＋2ax ＋2>0恒成立． (1)当a ＝0时，不等式为2>0，显然恒成立；(2)当a ≠0时，有⎩⎨⎧ a >0，Δ＝4a 2－8a <0，即⎩⎨⎧a >0，0<a <2，所以0<a <2.综上可知，实数a 的取值范围是[0,2)．。
高一不等式及其解法习题及答案
一元二次不等式的解法【教学目标】1. 会解一元二次不等式、高次不等式和分式不等式2. 利用分类讨论的思想解含参不等式【教学重难点】分类讨论的数学思想【教学过程】题型一.解一元二次不等式例1. 解下列不等式（1）02322>--x x （2）0262≥+--x x（3）07422<+-x x （4）0962>+-x x方法总结：【变式练习】1-1.已知不等式02>++c bx ax 的解集为（2,3），求不等式02<++a bx cx 的解集 题型二.解高次不等式例2.求不等式0)6)(4(22≤--x x 的解集方法总结：【变式练习】2-1. 解不等式0)2()1()1(32≥++-x x x x题型三.解分式不等式例3-1.解下列不等式 （1）012<-+x x ； （2）221≤-+x x ； （3）12731422<+-+-x x x x 方法总结：题型四.解含参数的一元二次不等式例4-1：解关于x 的不等式)(0222R a ax x ∈>++方法总结：【变式练习】1.已知a ∈R ，解关于x 的不等式01)1(2<++-x a ax2.解不等式12)1(>--x x a 题型五.不等式恒成立问题 例5-1：若不等式02)1()1(2>+-+-x a x a ，对x ∈R 恒成立，求a 的取值范围方法总结：【变式练习】1. 已知xa x x x f ++=2)(2对任意的0)(),,1[≥+∞∈x f x 恒成立，求a 的取值范围。
2. 设函数m mx mx x f +--=6)(2(1) 若对于]3,1[∈x ，f(x)<0恒成立，求实数m 的取值范围.(2) 若对于]2,2[-∈m ，f(x)<0恒成立，求实数m 的取值范围. 【课后练习】1. 不等式01692≤++x x 的解集是_______________________2. 不等式02732≤+-x x 的解集是_______________________3. 022>++bx ax 的解集是⎭⎬⎫⎩⎨⎧<<-3121x x ，则a-b=_________ 4. 已知不等式)0(02≠<++a c bx ax 的解集是∅，则( )A. 0,0>∆<aB. 0,0≤∆<aC. 0,0≤∆>aD. 0,0>∆>a5. 不等式2)1(52≥-+x x 的解集是_______________________ 6. 函数43)1ln(2+--+=x x x y 的定义域为___________________7. 若a>1,则不等式0)1)((>--ax a x 的解集是_______________________ 8. 设函数⎩⎨⎧≤++>-=)0()0(2)(2x c bx x x x f ，若f(-4)=f(0),f(-2)=0,则关于x 的不等式f(x)1≤的解集为____________________9. 若关于x 的不等式0)1)((>--a x a x a 的解集为)1,(aa ，则a 的取值范围为____________________ 10.若集合A={}=<+-012ax ax x ∅，则实数a 的范围是_____________ 11.。
高一数学不等式部分经典习题及答案
ab ；⑥若a<b<0,贝贝—>—；cdab3.不等式一．不等式的性质：1■同向不等式可以相加；异向不等式可以相减：若a>b，c>d,则a+c>b+d(若a>b,c<d，则a-c>b-d)，但异向不等式不可以相加；同向不等式不可以相减；2．左右同正不等式：同向的不等式可以相乘，但不能相除；异向不等式可以相除，但不能相乘：若a>b>0,c>d>0,则ac>bd(若a>b>0,0<c<d,则a>—)；3•左右同正不等式：两边可以同时乘方或开方：若a>b>0，则a n>—或%疮>n b;4.若ab>0,a>b,则1<1；若ab<0,a>b,则1>1。
如abab(1) 对于实数a,b,c中，给岀下列命题：①若a>b,则ac2>bc2；②若ac2>bc2,则a>b；③若a<b<0,贝Ua2>ab>b2；④若a<b<0,贝』<—；⑦若c>a>b>0,贝卩a>b；⑧若a>b丄>,则a>0,b<0oc一ac一bab其中正确的命题是(答：②③⑥⑦⑧);(2) __________________________________________________ 已知-1<x+y<1,1<x一y<3，则3x一y的取值围是(答：1<3x-y<7)；c(3) 已知a>b>c，且a+b+c=0,则_的取值围是二.不等式大小比较的常用方法：1.作差：作差后通过分解因式、配方等手段判断差的符号得岀结果2•作商(常用于分数指数幂的代数式)；3•分析法;4. 平方法；答：5. 分子(或分母)有理化；6. 利用函数的单调性；7．寻找中间量或放缩法；8．图象法。
高一数学一元二次不等式解法练习题及解答
高一数学一元二次不等式解法练习题及答案[ ]分析 求算术根，被开方数必须是非负数．解 据题意有，x 2－x －6≥0，即(x －3)(x ＋2)≥0，解在“两根之外”，所以x ≥3或x ≤－2．例3 若ax 2＋bx －1＜0的解集为{x|－1＜x ＜2}，则a ＝________，b ＝________．分析 根据一元二次不等式的解公式可知，－1和2是方程ax 2＋bx －1＝0的两个根，考虑韦达定理．解 根据题意，－1，2应为方程ax 2＋bx －1＝0的两根，则由韦达定理知例若＜＜，则不等式－－＜的解是1 0a 1(x a)(x )01aA a xB x a．＜＜．＜＜11a a C x aD x x a．＞或＜．＜或＞x aa11分析比较与的大小后写出答案． a 1a解∵＜＜，∴＜，解应当在“两根之间”，得＜＜．选．0a 1a a x A 11a a 例有意义，则的取值范围是．2 x x 2--x 6例4 解下列不等式 (1)(x －1)(3－x)＜5－2x (2)x(x ＋11)≥3(x ＋1)2 (3)(2x ＋1)(x －3)＞3(x 2＋2)分析 将不等式适当化简变为ax 2＋bx ＋c ＞0(＜0)形式，然后根据“解公式”给出答案(过程请同学们自己完成)．答 (1){x|x ＜2或x ＞4}(4)R (5)R说明：不能使用解公式的时候要先变形成标准形式．[ ]A ．{x|x ＞0}B ．{x|x ≥1}-=-+=-=-=-⎧⎨⎪⎪⎩⎪⎪baa ()()1211122×得ab ==-1212，．(4)3x 2-+--+-31325113122x x x x x x ＞＞()()(2){x|1x }≤≤32(3)∅例不等式＋＞的解集为5 1x 11-xC ．{x|x ＞1}D ．{x|x ＞1或x ＝0}分析 直接去分母需要考虑分母的符号，所以通常是采用移项后通分．∵x 2＞0，∴x －1＞0，即x ＞1．选C ．说明：本题也可以通过对分母的符号进行讨论求解．[ ]A ．(x －3)(2－x)≥0B ．0＜x －2≤1D ．(x －3)(2－x)≤0故排除A 、C 、D ，选B ．两边同减去2得0＜x －2≤1．选B ． 说明：注意“零”．[ ]解不等式化为＋－＞，通分得＞，即＞，1x 000111122----xx x x x 例与不等式≥同解的不等式是6 0x x--32C ．≥230--xx 解法一原不等式的同解不等式组为≥，≠． ()()x x x ---⎧⎨⎩32020解法二≥化为＝或－－＞即＜≤x 320x 3(x 3)(2x)02x 3--x例不等式＜的解为＜或＞，则的值为7 1{x|x 1x 2}a axx -1[(a －1)x ＋1](x －1)＜0，根据其解集为{x|x ＜1或x ＞2}答 选C ．说明：注意本题中化“商”为“积”的技巧．解 先将原不等式转化为∴不等式进一步转化为同解不等式x 2＋2x －3＜0，即(x ＋3)(x －1)＜0，解之得－3＜x ＜1．解集为{x |－3＜x ＜1｝． 说明：解不等式就是逐步转化，将陌生问题化归为熟悉问题． 例9 已知集合A ＝{x|x 2－5x ＋4≤0}与B ＝{x|x 2－2ax ＋a ＋2A aB aC aD a ．＜．＞．＝．＝－12121212分析可以先将不等式整理为＜，转化为 0()a x x -+-111可知－＜，即＜，且－＝，∴＝．a 10a 12a 1112a -例解不等式≥．8 237232x x x -+-3723202x x x -+--≥即≥，所以≤．由于＋＋＝＋＋＞，---+-+++-2123212314782222x x x x x x x x 002x x 12(x )022≤，若，求的范围．0}B A a ⊆分析 先确定A 集合，然后根据一元二次不等式和二次函数图像关解 易得A ＝{x|1≤x ≤4} 设y ＝x 2－2ax ＋a ＋2(*)4a 2－4(a ＋2)＜0，解得－1＜a ＜2．说明：二次函数问题可以借助它的图像求解． 例10 解关于x 的不等式(x －2)(ax －2)＞0．分析 不等式的解及其结构与a 相关，所以必须分类讨论．系，结合，利用数形结合，建立关于的不等式．B A a ⊆(1)B B A 0若＝，则显然，由Δ＜得∅⊆(2)B (*)116若≠，则抛物线的图像必须具有图－特征：∅应有≤≤≤≤从而{x|x x x }{x|1x 4}12⊆12a 12042a 4a 201412a 22－·＋＋≥－·＋＋≥≤≤解得≤≤a a--⎧⎨⎪⎪⎩⎪⎪22187综上所述得的范围为－＜≤．a 1a 187解 1° 当a ＝0时，原不等式化为 x －2＜0其解集为{x|x ＜2}；4° 当a ＝1时，原不等式化为(x －2)2＞0，其解集是{x|x ≠2}；从而可以写出不等式的解集为： a ＝0时，{x|x ＜2｝；a ＝1时，{x|x ≠2}；说明：讨论时分类要合理，不添不漏．2 a 02(x 2)(x )0°当＜时，由于＞，原不等式化为－－＜，其解集为22a a {x|2ax 2}＜＜；3 0a 12(x 2)(x )0°当＜＜时，因＜，原不等式化为－－＞，其解集为22a a {x|x 2x }＜或＞；2a5 a 12(x 2)(x )0°当＞时，由于＞，原不等式化为－－＞，其解集是22a a {x|x x 2}＜或＞．2aa 0{x|2a x 2＜时，＜＜｝；0a 1{x|x 2x }＜＜时，＜或＞；2aa 1{x|x x 2}＞时，＜或＞．2a例11 若不等式ax 2＋bx ＋c ＞0的解集为{x|α＜x ＜β}(0＜α＜β)，求cx 2＋bx ＋a ＜0的解集．分析 由一元二次函数、方程、不等式之间关系，一元二次不等式的解集实质上是用根来构造的，这就使“解集”通过“根”实现了与“系数”之间的联系．考虑使用韦达定理：解法一 由解集的特点可知a ＜0，根据韦达定理知：∵a ＜0，∴b ＞0，c ＜0．解法二 ∵cx 2＋bx ＋a ＝0是ax 2＋bx ＋a ＝0的倒数方程． 且ax 2＋bx ＋c ＞0解为α＜x ＜β，－＝α＋β，＝α·β．bac a⎧⎨⎪⎪⎩⎪⎪即＝－α＋β＜，＝α·β＞．ba c a()00⎧⎨⎪⎪⎩⎪⎪又×，b a a c b c=∴＝－α＋β①由＝α·β，∴＝α·β②b c c a a c (1)111对＋＋＜化为＋＋＞，cx bx a 0x x 022b c ac由①②得α，β是＋＋＝两个根且α＞β＞，1111x x 002b c a c ∴＋＋＞即＋＋＜的解集为＞α或＜β．x x 0cx bx a 0{x|x x }22b c a c 11说明：要在一题多解中锻炼自己的发散思维．分析 将一边化为零后，对参数进行讨论．进一步化为(ax ＋1－a)(x －1)＜0． (1)当a ＞0时，不等式化为(2)a ＝0时，不等式化为x －1＜0，即x ＜1，所以不等式解集为{x|x ＜1}；综上所述，原不等式解集为：例13 (2001年全国高考题)不等式|x 2－3x|＞4的解集是________． 分析 可转化为(1)x 2－3x ＞4或(2)x 2－3x ＜－4两个一元二次不等式．答 填{x|x ＜－1或x ＞4}．∴＋＋＜的解集为＞α或＜β．cx bx a 0{x|x x } 211例解关于的不等式：＜－∈．12 x 1a(a R)xx -1解原不等式变为－－＜，即＜， (1a)00x x ax a x -+--111(x )(x 1)01{x|a 1a x 1}－－＜，易见＜，所以不等式解集为＜＜；a a a a ---11(3)a 0(x )(x 1)01{x|x 1x }＜时，不等式化为－·－＞，易见＞，所以不等式解集为＜或＞．a a a aa a---111当＞时，＜＜；当＝时，＜；当＜时，＞或＜．a 0{x|a 1ax 1}a 0{x|x 1}a 0{x|x x 1}--a a1由可解得＜－或＞，．(1)x 1x 4(2)∅例14 (1998年上海高考题)设全集U＝R，A＝{x|x2－5x－6＞0}，B＝{x||x－5|＜a}(a是常数)，且11∈B，则[ ]A．(U A)∩B＝RB．A∪(U B)＝RC．(U A)∪(U B)＝RD．A∪B＝R分析由x2－5x－6＞0得x＜－1或x＞6，即A＝{x|x＜－1或x＞6}由|x－5|＜a得5－a＜x＜5＋a，即B＝{x|5－a＜x＜5＋a}∵11∈B，∴|11－5|＜a得a＞6∴5－a＜－1，5＋a＞11 ∴A∪B＝R．答选D．说明：本题是一个综合题，涉及内容很广泛，集合、绝对值不等式、一元二次不等式等内容都得到了考查不等式中恒成立问题的解法研究在不等式的综合题中，经常会遇到当一个结论对于某一个字母的某一个取值范围内所有值都成立的恒成立问题。
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一元二次不等式的解法【教学目标】
1.会解一元二次不等式、高次不等式和分式不等式
2.利用分类讨论的思想解含参不等式
【教学重难点】
分类讨论的数学思想
【教学过程】
题型一 .解一元二次不等式
例1. 解下列不等式
（） 2
x 2 3 2 0
（ 2）6x
2
x 2 0
1 x
（3）2x2 4x 7 0 （ 4）x2 6x 9 0
方法总结：
【变式练习】
1-1.已知不等式ax 2bx c 0 的解集为（2,3），求不等式 cx 2bx a0 的解集
题型二 .解高次不等式
例 2.求不等式( x2 4)( x 6) 2 0 的解集
方法总结：
【变式练习】
2-1. 解不等式x( x 1)2 ( x 1)3 ( x 2)0
题型三 .解分式不等式
例 3-1.解下列不等式
（1）x
2 0 ；（ 2）
x
1 2 ；（3） x2 4x 1 1 1 x x 2 3x2 7x 2
方法总结：
题型四 .解含参数的一元二次不等式
例 4-1：解关于x的不等式2x2ax 2 0(a R) 方法总结：
【变式练习】1. R ax
2
(a 1)x 1 0 已知 a ∈，解关于 x 的不等式
a(x1)
2.解不等式 1
题型五.不等式恒成立问题
例 5-1：若不等式( a 1)x 2 (a 1) x 2 0 ，对x ∈ R恒成立，求 a 的取值范围
方法总结：
【变式练习】
1. 已知f ( x) x 2 2x a
对任意的 x [1, ), f ( x) 0 恒成立，求a的取值范围。
x
2.设函数 f ( x) mx 2 mx 6 m
(1) 若对于x [1,3] ，f(x)<0 恒成立，求实数m 的取值范围.
(2)若对于 m [ 2,2] ，f(x)<0恒成立，求实数m的取值范围.
【课后练习】
1. 不等式 9x2 6x 1 0 的解集是_______________________
2. 不等式 3x 2 7x 2 0 的解集是_______________________
3. ax 2 bx 2 0 的解集是x 1 x 1
，则 a-b=_________
2 3
4. 已知不等式 ax 2 bx c 0( a 0) 的解集是?，则( )
A. a 0, 0
B. a 0, 0
C. a 0,0
D. a 0,0
5. 不等式
x 5
2 的解集是_______________________ (x 1) 2
6. 函数 y ln( x 1) 的定义域为 ___________________
x2 3x 4
7. 若 a>1, 则不等式(x a)( x 1 ) 0 的解集是_______________________
a
8. 设函数 f ( x)
2( x 0)
，若 f(-4)=f(0),f(-2)=0, 则关于 x 的不等式x 2 bx c(x 0)
f(x) 1的解集为____________________
9. 若关于 x 的不等式 a(x a)( x 1) 0 的解集为 (a, 1
) ，则a的取值范围为
____________________
a a
10. 若集合 A= x ax2 ax 1 0 ?，则实数 a 的范围是 _____________。