理论力学课后习题第二章解答

理论力学课后习题第二章解答2.1 解 均匀扇形薄片，取对称轴为轴，由对称性可知质心一定在轴上。

有质心公式设均匀扇形薄片密度为，任意取一小面元，又因为所以对于半圆片的质心，即代入，有2.2 解 建立如图2.2.1图所示的球坐标系x x题2.1.1图⎰⎰=dm xdm x cρdS dr rd dS dm θρρ==θcos r x =θθθρθρsin 32a dr rd dr rd x dm xdm x c===⎰⎰⎰⎰⎰⎰2πθ=πππθθa a a x c 3422sin32sin 32=⋅==把球帽看成垂直于轴的所切层面的叠加（图中阴影部分所示）。

设均匀球体的密度为。

则由对称性可知，此球帽的质心一定在轴上。

代入质心计算公式，即2.3 解 建立如题2.3.1图所示的直角坐标，原来与共同作一个斜抛运动。

当达到最高点人把物体水皮抛出后，人的速度改变，设为，此人即以 的速度作平抛运动。

由此可知，两次运动过程中，在达到最高点时两次运动的水平距离是一致的（因为两次运动水平方向上均以作匀速直线运动，运动的时间也相同）。

所以我们只要比较人把物抛出后水平距离的变化即可。

第一次运动：从最高点运动到落地，水平距离题2.2.1图z ρ)(222z a dz y dv dm -===ρπρπρz )2()(432b a b a dm zdm z c++-==⎰⎰人W y题2.3.1图x v x v αcos v 0=水平v 1s①②③第二次运动:在最高点人抛出物体，水平方向上不受外力，水平方向上动量守恒，有可知道水平距离跳的距离增加了=2.4解 建立如图2.4.1图所示的水平坐标。

以，为系统研究，水平方向上系统不受外力，动量守恒，有① 对分析；因为②在劈上下滑，以为参照物，则受到一个惯性力（方向与加速度方向相反）。

如图2.4.2图所示。

所以相对下滑。

由牛顿第二定律有t a v s ⋅=cos 01gt v =αsin 0ααcos sin 201gv s =)(cos )(0u v w Wv v w W x x -+=+αu wW wa v v x ++=cos 0αααsin )(cos sin 0202uv gW w wg v t v s x ++==12s s s -=∆αsin )(0uv gw W w+题2.4.1图θ题2.4.2图1m 2m 02211=+x m xm 1m 相对绝a a a +=1m 2m 2m 1m 21x m F-=惯2m 1m 2m② 所以水平方向的绝对加速度由②可知③④联立①④，得⑤ 把⑤代入①，得⑥ 负号表示方向与轴正方向相反。

求劈对质点反作用力。

用隔离法。

单独考察质点的受力情况。

因为质点垂直斜劈运动的加速度为0，所以⑦把⑥代入⑦得，⑧水平面对劈的反作用力。

仍用隔离法。

因为劈在垂直水皮方向上无加速度，所以⑨于是⑩2.5解 因为质点组队某一固定点的动量矩θθcos sin 21111xm g m a m +='1m ..21'1cos //x a a -=θ绝..2..2..1cos cos sin x x g x -⎪⎭⎫⎝⎛==θθθg m x θsin m m 212+=θθcos sin 2..1g m m s m x θθθ2121..2sin cos sin =-=x 1R 1m 0sin cos ..2111=⎪⎭⎫⎝⎛-+-θθx m g m R g m m m m R θθ212211sin cos +=2R 0cos 122=--θR g m R g m m m m m R θ2122122sin )(++=∑=⨯=n1i i i m v r J i所以对于连续物体对某一定点或定轴，我们就应该把上式中的取和变为积分。

如图2.5.1图所示薄圆盘，任取一微质量元，所以圆盘绕此轴的动量矩=2.6 解炮弹达到最高点时爆炸，由题目已知条件爆炸后，两者仍沿原方向飞行知，分成的两个部分，，速度分别变为沿水平方向的，，并一此速度分别作平抛运动。

由前面的知识可知，同一高处平抛运动的物体落地时的水平距离之差主要由初速度之差决定。

进而转化为求，。

炮弹在最高点炮炸时水平方向上无外力，所以水平方向上的动量守恒：①以质点组作为研究对象，爆炸过程中能量守恒：② 联立①②解之，得题2.5.1图dr rd dm θρ⋅=2a Mπρ=J ⎰⎰⎰⎰⋅⋅=⨯=r rdrd r )ωθρv r dm J (ω221Ma 1M 2M 1v 2v 1v 2v ()221121V M V M U M M +=+()21M M +()E V M V M U M M -+=+222211221212121()221112M M M EM U v ++=()221122M M M EM U v +-=所以落地时水平距离之差=2.7 解 建立如题2.7.1图所示的直角坐标系。

当沿半圆球下滑时，将以向所示正方向的反向运动。

以、组成系统为研究对象，系统水平方向不受外力，动量守恒，即相对于地固连的坐标系的绝对速度为相对的运动速度② 故水平方向③竖直方向④在下滑过程中，只有保守力（重力）做功，系统机械能守恒： （以地面为重力零势能面）⑤=⑥把③④代入⑥s ∆s ∆⎪⎪⎭⎫⎝⎛+=-=-212121112M M E g V t v t v ss O题2.7.1图m M M V M m x mv MV =m xy O 牵相绝对V V +=V 相V m M θa u =V u v x -=θcos θusia v y =m 22MV 2121cos cos ++=绝mv mga mga θα2绝v 22y x v v +=⑦把①③代入⑤2.8证 以连线为轴建立如题2.8.1图所示的坐标。

设初始速度为与轴正向夹角碰撞后，设、运动如题2.8.2图所示。

、速度分别为、，与轴正向夹角分别为、。

以、为研究对象，系统不受外力，动量守恒。

方向：①垂直轴方向有：②可知③整个碰撞过程只有系统内力做功，系统机械能守恒：④ 由③④得即两球碰撞后速度相互垂直，结论得证。

2绝v θcos 222uV V u -+θθθ2cos 1cos cos 2Mm m a a g +--⋅= AB xv 题2.8.1图题2.8.1图A x 0θAB A B 1v 2v x 1θ2θA B x 22110cos cos θθmv mv mv +=x 2211sin sin 0θθmv mv -=()2121222120cos 2θθ+++=v v v v v 222120212121mv mv mv +=()0cos 22121=+θθv v ()⋅⋅⋅=+=+,2,1,0221k k ππθθ2.9 解 类似的碰撞问题，我们一般要抓住动量守恒定理和机械能守恒定理得运用，依次来分析条件求出未知量。

设相同小球为，初始时小球速度，碰撞后球的速度为，球的速度以碰撞后球速度所在的方向为轴正向建立如题2.9.1图所示的坐标(这样做的好处是可以减少未知量的分解，简化表达式)。

以、为系统研究，碰撞过程中无外力做功，系统动量守恒。

方向上有：①方向上有：②又因为恢复系数即=③用①-③④用④代入②得AB A 0v A 1v B 2v B x AB 题2.9.1图x ()210cos cos mv mv mv ++=βααy ()βαα+=sin sin 10mv mv 碰前相对速度碰后相对速度=e ()αβαcos cos 012v v v +-=e αcos 0v ()βα+-cos 12v v ()()βαα+-=cos 2cos 101v e v ()()()βαβααα++-=sin cos 2cos 1sin 00v e v ()ααβ2tan 21tan 1tan +-+=e e求在各种值下角的最大值，即为求极致的问题。

我们有得即=0所以即由因为=故= 所以()⎥⎦⎤⎢⎣⎡+-+=ααβ2tan 21tan 1arctan e e αβ0=αβd d ()()tan 21)tan 1(sec 1222=+---+αααe a e e α2tan 1a e --21tan e-=α()e e-+=181arctanmax β()e e-+=181tan max βmax 2max 2cot 1csc ββ+=()()21181e e +-+()()2maxmax 11811csc 1sin e e +-+==ββe e-+31⎪⎭⎫⎝⎛-+=-e e 31sin 1max β2.10 以为研究对象。

当发生正碰撞后，速度分别变为，，随即在不可伸长的绳约束下作圆周运动。

以的连线为轴建立如题2.10.1图所示。

碰撞过程中无外力做功，动量守恒：①随即在的约束下方向变为沿轴的正向，速度变为 故 方向上有② 故恢复系数定义有：=即③ 联立①②③得2.11 解 如图所示，21,m m 21,m m 1v '2v '2m AB AB x题2.10.1图211v v v '+'=211m m m 2m AB y 2v 'y 221111sin sin v m v m v m '+'=θθ碰前相对速度碰后相对速度=e 112sin v v v '-'θ1121sin sin v v v ev '-'-'=θθ12122211sin sin v m m em m v θθ+-='()121212sin sin 1v m m e m v θθ++='有两质点，中间有一绳竖直相连，坐标分别为：，质量为，开始时静止。

现在有一冲量作用与，则作用后，得到速度，仍静止不动：。

它们的质心位于原点，质心速度我为现在把坐标系建在质心上，因为系统不再受外力作用，所以质心将以速率沿轴正向匀速正向、反向运动。

由于质心系是惯性系，且无外力，所以，分别以速率绕质心作匀速圆周运动，因而他们作的事圆滚线运动。

经过时间后，如图所示：于是在系中的速度的速度：x题2.11.1图题2.12.2图A B ⎪⎭⎫ ⎝⎛2,0a A ⎪⎭⎫ ⎝⎛-2,0a B mI A I A mIv A =B 0=B v C 22AB AC m m m v v v v =+=C 2Av x A B 2Av t am Ita v t a v A A===22θxy O A ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-=+=θθsin 2)cos 1(2A Ay A Ax u v u v B因此2.12 解 对于质心系的问题，我们一般要求求出相对固定参考点的物理量，在找出质心的位置和质心运动情况，由此去计算物体相对或绝对物理量及其间的关系。