2015高中数学 1.3.1利用导数判断函数的单调性课件 新.
所以函数 y f ( x) 在区间 (,0)上是单调
减函数.
问题五 你能利用导数作出函数 f ( x) x x y 的草图吗？ y f ( x)
3
2 3 9
ym
3 3
o
3 3
x
2 3 9
例3 已知方程 x 3 x m 0有三个不同的实数
解，则实数 m 的取值范围为
f '( x ) 0
f ( x)在(a, b)内单调递增
f '( x ) 0 f ( x )在(a, b)内单调递减
y y=f(x) y
y=f(x) o x o
x
问题四 利用导数求函数单调区间的步骤是：
（1）确定函数 y f ( x ) 的定义域； （2）求导数 f '( x ) ；
作业布置
必做题:《教材》P27 练习A：3、4
ax 选做题：判断函数 f ( x) x 2 1 (a 0)在
区间 (1,1) 上的单调性.
（3）在定义域范围解不等式 f '( x ) 0 和 f '( x) 0 ；
（4）根据（3）的结果确定函数 y f ( x )的单调区间.
x f ( x ) e x在区间 (,0) 例2 求证：函数 上是
单调减函数.
证明：
f ( x) e x 1
x x ( , 0 ) 因为当 时，e 1 即 f ( x) 0
.
试结合 y x 思考：若函数在某区间上单调递 增，那么在该区间上是否必有导数大于零？
3
拓展：已知函数 f ( x) x mx 3x 2 在R上单调 递增，求实数 m 的取值范围.
3
心得体会
1、通过本节课的学习，你学到了哪些新知识？
能解决哪些问题？
2、本节课我们用到了哪些数学思想方法？
问题一 f ( x) x 2 2x 1的单调区间是什么?
y
单调增区间：(1 ， )x NhomakorabeaO
1
单调减区间： (， 1)
问题二 你能确定 f ( x) e x 的单调区间吗？
x
问题三 能不能利用导数研究函数的单调性？
y f ( x)在区间 ( a, b)内可导 一般的，
合集下载
1.3.1函数的单调性与导数1-人教A版高中数学选修2-2课件
令(x
1)(x x2
1)
0，解得 1
x
0或0
x
1
y x 1 的单调减区间是(1,0)和(0,1) x
注: 如果一个函数具有相同单调性的单调区间不止 一个，这些单调区间一般不能用“∪”连接，而 只能用“逗号”或“和”分开。
四、课堂练习 1、判断下列函数的单调性, 并求出单调区间:
(1) f ( x) x 2 2x 4; (2) f ( x) e x x;
2
3
3
因 此 ， 函 数f ( x)的 递 增 区 间 是(2k 2 ,2k 2 )(k Z );
3
3
递 减 区 间 是(2k 2 ,2k 4 )(k Z ).
3
3
(2) f ( x) x ln(1 x) 1 2
解：函数的定义域是(1,)，f ( x) 1 1 x 1 . 2 1 x 2(1 x)
2
2
归纳： 1°什么情况下，用“导数法” 求函数单调性、单 调区间较简便？
总结: 当遇到三次或三次以上的,或图象很难画出的函数求 单调性问题时，应考虑导数法。
2°求可导函数f(x)单调区间的步骤： ①求定义域
②求f'(x)
③令f'(x)>0解不等式⇒f(x)的递增区间 f'(x)<0解不等式⇒f(x)的递减区间
(2) f ( x) x 2 2x 3;
(3) f ( x) sin x x, x (0, );
(4) f ( x) 2x 3 3x 2 24x 1.
解:
(3)因为f ( x) sin x x, x (0, )，所以f ( x) cos x 1 0.
因此，函数f ( x) sin x x在x (0, )上单调递减
1.3.1函数的单调性与导数-人教A版高中数学选修2-2课件
已知导函数的下列信息：
分析：
当2 x 3时，f '( x) 0; f ( x)在此区间递减
当x 3或x 2时，f '( x) 0; f ( x)在此区间递增
当x 3或x 2时，f '( x) 0. f ( x)图象在此两处
附近几乎没有升降
试画出函数 f ( x) 图象的大致形状。变化,切线平行x轴
内的图象平缓.
设 f '(x)是函数 f ( x) 的导函数，y f '(x)的图象如
右图所示,则 y f (x) 的图象最有可能的是( C )
y
y f (x)
y
y f (x)
y
y f '(x)
o 1 2x o 1 2x
o
2x
(A)
(B)
y y f (x)
y y f (x)
2
o1
x o 12
2：求函数 y 3x2 3x 的单调区间。
解： y' 6x 3
令y ' 0得x 1 , 令y ' 0得x 1
2
2
y 3x2 3x 的单调递增区间为 (1 , ) 2
单调递减区间为 (, 1) 2
变1：求函数 y 3x3 3x2 的单调区间。
解： y' 9x2 6x 3x(3x 2)
步骤：
（1）求函数的定义域 （2）求函数的导数 （3）令f’(x)>0以及f’(x)<0,求自变量x的取值范围，即 函数的单调区间。
练习:判断下列函数的单调性
• (1)f(x)=x3+3x; • (2)f(x)=sinx-x,x∈(0,π); • (3)f(x)=2x3+3x2-24x+1; • (4)f(x)=ex-x;
【数学】1.3.1《利用导数判断函数的单调性》课件(新人教B版选修2-2)
3
2
− 2x − 3y ;
f (x ) = x 3 + 3 x
x
所示.
图1.3 − 5(1)
(2)因为f (x ) = x 2 − 2x − 3, 所以f ' (x ) = 2x − 2 = 2(x − 1). ' (x ) > 0,即x > 1时,函数f (x ) = x 2 − 2x − 3单调递增; 当f 当f ' (x ) < 0, 即x < 1时,函数f (x ) = x 2 − 2x − 3单调递减 . 函数f (x ) = x 2 − 2x − 3 的图象如图1.3 − 5(2)所示.
1.3.1 利 导 判 函 的 调 用 数 断 数 单 性
h
() 1 观察 图 .3 −11表示高 h 台跳水运动员的高度 随 h 时间变化的函数 (t) =
− 4.9t + 6.5t +10 , 的图象 ( 1 图 .3 −12)表示高台跳水 v t 运动员的速度 随时间变
2
O
a
b
t
图 . −
y
y=x
O
y=x
x
()
y
( )
y=x
O
x X
y y=
x
x
O
x
O
( )
图. −
( )
y
y = f(x)
(x , f (x ))
O
(x , f (x )) , 导数f (x )表示函数f (x )在点(x , f (x )) ' 处的切线的斜率.在 x = x 处, f (x ) > , 切线是" 左 下右上" 式的, 这时,函数f (x )在 x 附近单调递增; 在 x = x 处, f ' (x ) < , 切线是" 左上右下" 式的, 这时,函 数f (x )在x 附近单调递减.
2
− 2x − 3y ;
f (x ) = x 3 + 3 x
x
所示.
图1.3 − 5(1)
(2)因为f (x ) = x 2 − 2x − 3, 所以f ' (x ) = 2x − 2 = 2(x − 1). ' (x ) > 0,即x > 1时,函数f (x ) = x 2 − 2x − 3单调递增; 当f 当f ' (x ) < 0, 即x < 1时,函数f (x ) = x 2 − 2x − 3单调递减 . 函数f (x ) = x 2 − 2x − 3 的图象如图1.3 − 5(2)所示.
1.3.1 利 导 判 函 的 调 用 数 断 数 单 性
h
() 1 观察 图 .3 −11表示高 h 台跳水运动员的高度 随 h 时间变化的函数 (t) =
− 4.9t + 6.5t +10 , 的图象 ( 1 图 .3 −12)表示高台跳水 v t 运动员的速度 随时间变
2
O
a
b
t
图 . −
y
y=x
O
y=x
x
()
y
( )
y=x
O
x X
y y=
x
x
O
x
O
( )
图. −
( )
y
y = f(x)
(x , f (x ))
O
(x , f (x )) , 导数f (x )表示函数f (x )在点(x , f (x )) ' 处的切线的斜率.在 x = x 处, f (x ) > , 切线是" 左 下右上" 式的, 这时,函数f (x )在 x 附近单调递增; 在 x = x 处, f ' (x ) < , 切线是" 左上右下" 式的, 这时,函 数f (x )在x 附近单调递减.
高二数学131利用导数判断函数单调性.pptx
f(x)是减函数.
第8页/共39页
例3．找出函数f(x)=x3－4x2+x－1的单调区间。
解：f ’(x)=3x2－8x+1，
令3x2－8x+1>0，解此不等式得
x 4 13 或 x 4 13
3
3
因此，区间 (,
4 13 )和( 4 13 ,
3
3
)
为f(x)的单调增区间；
第9页/共39页
第6页/共39页
解：由于是匀速旋转，阴影部分的面积S(t) 开始和最后时段缓慢增加，中间时段S增 速快，
图A表示S的增速是常数，与实际不符， 图A应否定；
图B表示最后时段S的增速快，也与实际 不符，图B也应否定；
图C表示开始时段与最后时段S的增速快， 也与实际不符，图C也应否定；
图D表示开始与结束时段，S的增速慢， 中间的时段增速快，符合实际，应选D。
第7页/共39页
例2．确定函数f(x)=x2－2x+4在哪个区间 内是增函数，哪个区间内是减函数. 解：f ’(x)=(x2－2x+4)’=2x－2.
令2x－2＞0，解得x＞1. ∴当x∈(1，+∞)时，f ’(x)＞0，
f(x)是增函数.
令2x－2＜0，解得x＜1. ∴当x∈(－∞，1)时，f ’(x)＜0，
5
∴ y=x2(1－x)3的单调增区间是(0，2 )
5
第12页/共39页
令x(1－x)2(2－5x)＜0， 解得x＜0或x＞ 2 且x≠1.
5
∵ x=1为拐点， ∴ y=x2(1－x)3的单调减区间是
(－∞，0)，( 2 ，+∞)
5
第13页/共39页
练习题 1．函数y=3x－x3的单调增区间是( C )
第8页/共39页
例3．找出函数f(x)=x3－4x2+x－1的单调区间。
解：f ’(x)=3x2－8x+1，
令3x2－8x+1>0，解此不等式得
x 4 13 或 x 4 13
3
3
因此，区间 (,
4 13 )和( 4 13 ,
3
3
)
为f(x)的单调增区间；
第9页/共39页
第6页/共39页
解：由于是匀速旋转，阴影部分的面积S(t) 开始和最后时段缓慢增加，中间时段S增 速快，
图A表示S的增速是常数，与实际不符， 图A应否定；
图B表示最后时段S的增速快，也与实际 不符，图B也应否定；
图C表示开始时段与最后时段S的增速快， 也与实际不符，图C也应否定；
图D表示开始与结束时段，S的增速慢， 中间的时段增速快，符合实际，应选D。
第7页/共39页
例2．确定函数f(x)=x2－2x+4在哪个区间 内是增函数，哪个区间内是减函数. 解：f ’(x)=(x2－2x+4)’=2x－2.
令2x－2＞0，解得x＞1. ∴当x∈(1，+∞)时，f ’(x)＞0，
f(x)是增函数.
令2x－2＜0，解得x＜1. ∴当x∈(－∞，1)时，f ’(x)＜0，
5
∴ y=x2(1－x)3的单调增区间是(0，2 )
5
第12页/共39页
令x(1－x)2(2－5x)＜0， 解得x＜0或x＞ 2 且x≠1.
5
∵ x=1为拐点， ∴ y=x2(1－x)3的单调减区间是
(－∞，0)，( 2 ，+∞)
5
第13页/共39页
练习题 1．函数y=3x－x3的单调增区间是( C )
函数的单调性与导数PPT教学课件
A1型最密堆积（配位数为12）（例如铜）
2.离子晶体属非等径圆球的密堆积方式：
大球先按一 定的方式做 等径圆球密 堆积
小球再填充 到大球所形 成的空隙中
配位数：一个原子或离子周围所邻接的原子 或离子数目。
NaCl：Cl－ 离 子密先堆以积，AN1a型＋ 离紧 子再填充到空 隙中。
ZnS： S2－离子 先以A1型紧密 堆积，Zn2＋ 离 子再填充到空 隙中。
第一层:密置型排列 第二层:将球对准 1，3，5 位。
1
6
2
5
3
4
12
6
3
54
对准 2，4，6 位，其情形是一样的 吗？
密置双层只有一种
思考
取A、B两个密置层，将B层放 在A层的上面，有几种堆积方式？ 最紧密的堆积方式是哪种？它有 何特点？
2
A
B
1
第一种排列
A
B
12
6
3
A
54
B
A
于是每两层形成一个 周期，即 AB AB 堆 积方式。
对于给定区间上的函数f(x): 1.如果对于这个区间上的任意两个自变量x1,x2,当x1<x2时， 都有 f(x1)<f(x2),那么就说f(x)在这个区间上是增函数. 2.如果对于这个区间上的任意两个自变量x1,x2,当x1<x2时， 都有f(x1)>f(x2),那么就说f(x)在这个区间上是减函数 对于函数y＝f(x)在某个区间上单调递增或单调递减的性 质，叫做f(x)在这个区间上的单调性，这个区间叫做f(x) 的单调区间。
1. 等径圆球的密堆积
把乒乓球装入盒中，盒中 的乒乓球怎样排列才能使 装入的乒乓球数目最多？
原创1：3.3.1 利用导数判断函数的单调性
数 f(x)的单调区间，实质 上是转化为解不等式 f′(x)>0 或 f′(x)<0，不等式的解集就 是函数的单调区间．
(2)如果函数的单调区间不止一个时，应用“及”、 “和”等连接，而不能写成并集的形式．如本例(2)中的单调 减区间不能写成(0，π)∪32π，2π.
1－3x2<0，解得
x<－
33或
x>
3 3.
因此，函数
f(x)
的
单
调
减
区
间
为
－∞，－
3 3
，
33，＋∞.
(2)f′(x)＝cos x＋sin x＋1＝ 2sinx＋4π＋1. 令 2sinx＋4π＋1>0，得 0<x<π 或32π<x<2π. 因此函数的单调增区间为(0，π)与32π，2π. 令 2sinx＋4π＋1<0，得 π<x<32π， 因此函数的单调减区间为π，32π.
第三章 导数及其应用
§3.3 导数的应用
3.3.1 利用导数判断函数的单调性
1.通过实例了解函数导数的符号与函数单调性之间的关系； 2.能够利用导数研究函数的单调性； 3.会求函数的单调区间.
1.利用导数研究函数的单调性，求函数的单调区间．(重点) 2.利用数形结合思想理解导函数与函数单调性之间的关系．(难点) 3.常与方程、不等式等结合命题.
题目类型三、由单调性求参数的取值范围
例3.若函数f(x)＝ax3－x2＋x－5在R上单调递增，求实数a的 取值范围．
[题后感悟] (1)一般地，已知函数的单调性，如何求参数的取值范 围？
函数在区间[a，b] 上单调递增减
―→
f′x≥0f′x≤0在 区间[a，b]上恒成立
(2)如果函数的单调区间不止一个时，应用“及”、 “和”等连接，而不能写成并集的形式．如本例(2)中的单调 减区间不能写成(0，π)∪32π，2π.
1－3x2<0，解得
x<－
33或
x>
3 3.
因此，函数
f(x)
的
单
调
减
区
间
为
－∞，－
3 3
，
33，＋∞.
(2)f′(x)＝cos x＋sin x＋1＝ 2sinx＋4π＋1. 令 2sinx＋4π＋1>0，得 0<x<π 或32π<x<2π. 因此函数的单调增区间为(0，π)与32π，2π. 令 2sinx＋4π＋1<0，得 π<x<32π， 因此函数的单调减区间为π，32π.
第三章 导数及其应用
§3.3 导数的应用
3.3.1 利用导数判断函数的单调性
1.通过实例了解函数导数的符号与函数单调性之间的关系； 2.能够利用导数研究函数的单调性； 3.会求函数的单调区间.
1.利用导数研究函数的单调性，求函数的单调区间．(重点) 2.利用数形结合思想理解导函数与函数单调性之间的关系．(难点) 3.常与方程、不等式等结合命题.
题目类型三、由单调性求参数的取值范围
例3.若函数f(x)＝ax3－x2＋x－5在R上单调递增，求实数a的 取值范围．
[题后感悟] (1)一般地，已知函数的单调性，如何求参数的取值范 围？
函数在区间[a，b] 上单调递增减
―→
f′x≥0f′x≤0在 区间[a，b]上恒成立
利用导数判断函数的单调性课件
热传导分析
利用导数分析热量在物体中的传递规律，研究热 力学中的热传导问题。
弹性力学分析
通过导数分析弹性物体的应力应变关系，研究弹 性力学中的问题。
练习题与答案解析
练习题
01
判断函数$f(x) = x^{3} - 3x^{2} + 4$的单调性。
02
判断函数$g(x) = ln(x + sqrt{x^{2} + 1})$的单调性。
导数的几何意义
总结词
导数的几何意义是函数图像在某 一点的切线斜率。
详细描述
导数的几何意义是函数图像在某 一点的切线斜率。在函数图像上 取一点，在该点处作切线，切线 的斜率即为该点的导数值。
导数的性质
总结词
导数具有一些重要的性质，如可加性、可乘性、链式法则等。
详细描述
导数具有一些重要的性质，如可加性、可乘性、链式法则等。 这些性质在判断函数的单调性、极值、拐点等方面具有重要 作用。通过掌握这些性质，可以更好地理解和应用导数。
利用导数判断函数的 单调性课件
• 导数的定义与性质 • 导数与函数单调性的关系 • 利用导数判断函数单调性的方法 • 实际应用举例 • 练习题与答案解析
目录
导数的定义与性质
导数的定义
总结词
导数描述了函数在某一点处的切线斜 率。
详细描述
导数是函数在某一点处的切线斜率， 表示函数在该点的变化率。通过求导， 可以得到函数在某一点的0，即$f'(x) leq 0$。
函数单调性的判定
根据导数的符号判断函数单调性：若$f'(x) > 0$，则函数单调递增；若$f'(x) < 0$，则函数
单调递减。
对于分段函数，需要分别求出各段函数的导数，再根 据导数的符号判断分段函数的单调性。
利用导数分析热量在物体中的传递规律，研究热 力学中的热传导问题。
弹性力学分析
通过导数分析弹性物体的应力应变关系，研究弹 性力学中的问题。
练习题与答案解析
练习题
01
判断函数$f(x) = x^{3} - 3x^{2} + 4$的单调性。
02
判断函数$g(x) = ln(x + sqrt{x^{2} + 1})$的单调性。
导数的几何意义
总结词
导数的几何意义是函数图像在某 一点的切线斜率。
详细描述
导数的几何意义是函数图像在某 一点的切线斜率。在函数图像上 取一点，在该点处作切线，切线 的斜率即为该点的导数值。
导数的性质
总结词
导数具有一些重要的性质，如可加性、可乘性、链式法则等。
详细描述
导数具有一些重要的性质，如可加性、可乘性、链式法则等。 这些性质在判断函数的单调性、极值、拐点等方面具有重要 作用。通过掌握这些性质，可以更好地理解和应用导数。
利用导数判断函数的 单调性课件
• 导数的定义与性质 • 导数与函数单调性的关系 • 利用导数判断函数单调性的方法 • 实际应用举例 • 练习题与答案解析
目录
导数的定义与性质
导数的定义
总结词
导数描述了函数在某一点处的切线斜 率。
详细描述
导数是函数在某一点处的切线斜率， 表示函数在该点的变化率。通过求导， 可以得到函数在某一点的0，即$f'(x) leq 0$。
函数单调性的判定
根据导数的符号判断函数单调性：若$f'(x) > 0$，则函数单调递增；若$f'(x) < 0$，则函数
单调递减。
对于分段函数，需要分别求出各段函数的导数，再根 据导数的符号判断分段函数的单调性。