三角函数的诱导公式(一)
《三角函数的诱导公式(一)》示范课教案【高中数学】
《三角函数的诱导公式（一）》教学设计◆教学目标1.了解三角函数的诱导公式的意义和作用.2.理解诱导公式的推导过程.3.能运用有关诱导公式解决一些三角函数的求值、化简和证明问题．◆教学重难点◆教学重点：推导出四组的诱导公式，能正确运用诱导公式将任意角的三角函数化为锐角的三角函数．教学难点：解决有关三角函数求值、化简和恒等式证明问题．◆课前准备PPT课件．◆教学过程一、新课导入对称美是日常生活中最常见的，在三角函数中－α、π±α、2π－α等角的终边与角α的终边关于坐标轴或原点对称，那么它们的三角函数值之间是否也存在对称美呢？引语：要解决这个问题，就需要进一步学习三角函数的诱导公式.（板书：7.2.3三角函数的诱导公式（一））设计意图：情境导入，引入新课。
【探究新知】问题1：当角α分别为30°，390°，－330°时，它们的终边有什么特点？它们的三角函数之间有什么关系？师生活动：学生分析解题思路，给出答案．预设的答案：它们的终边重合．由三角函数的定义知，它们的三角函数值相等．诱导公式一：sin（α＋k·2π）＝sinα，cos（α＋k·2π）＝cosα，tan（α＋k·2π）＝tanα，其中k∈Z.即终边相同的角的同一三角函数值相等．问题2：角π＋α的终边与角α的终边有什么关系？角π＋α的终边与单位圆的交点P1(cos(π＋α)，sin(π＋α))与点P(cosα，sinα)呢？它们的三角函数之间有什么关系？师生活动：学生分析解题思路，给出答案．预设的答案：角π＋α的终边与角α的终边关于原点对称，P1与P也关于原点对称，它们的三角函数关系如下：诱导公式二：sin(π＋α)＝－sinα，cos(π＋α)＝－cosα，tan(π＋α)＝tanα.问题3：角－α的终边与角α的终边有什么关系？角－α的终边与单位圆的交点P2(cos(－α)，sin(－α))与点P(cosα，sinα)有怎样的关系？它们的三角函数之间有什么关系？师生活动：学生分析解题思路，给出答案．预设的答案：角－α的终边与角α的终边关于x轴对称，P2与P也关于x轴对称，它们的三角函数关系如下：诱导公式三：sin（－α）＝－sinα，cos（－α）＝cosα，tan（－α）＝－tanα.问题4：角π－α的终边与角α的终边有什么关系？角π－α的终边与单位圆的交点P3(cos(π－α)，sin(π－α))与点P(cosα，sinα)有怎样的关系？它们的三角函数之间有什么关系？师生活动：学生分析解题思路，给出答案．预设的答案：角π－α的终边与角α的终边关于y轴对称，P3与P也关于y轴对称，它们的三角函数关系如下：诱导公式四：sin(π－α)＝sinα，cos(π－α)＝－cosα，tan(π－α)＝－tanα.追问1：如何记忆这四组诱导公式呢？预设的答案：2kπ＋α(k∈Z)，－α，π±α的三角函数值，等于α的同名函数值，前面加上一个把α看成锐角时原函数值的符号，可以简单地说成“函数名不变，符号看象限”．“函数名不变”是指等式两边的三角函数同名；“符号”是指等号右边是正号还是负号；“看象限”是指假设α是锐角，要看原三角函数值是取正值还是负值，如sin (π＋α)，若把α看成锐角，则π＋α是第三象限角，故sin (π＋α)＝－sinα． 追问2：诱导公式一、二、三、四的作用是什么？预设的答案：公式一的作用在于把绝对值大于2π的任一角的三角函数问题转化为绝对值小于2π的角的三角函数问题；公式三的作用在于把负角的三角函数转化成正角的三角函数；公式二、公式四的作用在于把钝角或大于180°的角的三角函数转化为0°～90°之间的角的三角函数．设计意图：培养学生分析和归纳的能力.【巩固练习】例1. 求值：(1)sin (-60°)+cos 120°+sin 390°+cos 210°；（2师生活动：学生分析解题思路，给出答案．预设的答案：(1) 原式=-sin 60°+cos (180°-60°)+sin (360°+30°)+cos (180°+30°) =-sin 60°-cos 60°+sin 30°-cos 30°1122=+=（2 cos1012cos102︒=︒.反思与感悟：利用诱导公式求任意角三角函数的步骤： (1)“负化正”——用公式一或三来转化；(2)“大化小”——用公式一将角化为0°到360°间的角； (3)“小化锐”——用公式二或四将大于90°的角转化为锐角； (4)“锐求值”——得到锐角的三角函数后求值．设计意图：掌握利用诱导公式求任意角三角函数的方法。
三角函数的诱导公式(一)
三角函数的诱导公式(一)常用的诱导公式有以下几组：三角函数诱导公式一：任意角α与-α的三角函数值之间的关系：sin(-α)=-sinαcos(-α)=cosαtan(-α)=-tanαcot(-α)=-cotα三角函数诱导公式二：设α为任意角，π+α的三角函数值与α的三角函数值之间的关系：sin(π+α)=-sinαcos(π+α)=-cosαtan(π+α)=tanαcot(π+α)=cotα三角函数诱导公式三：利用公式二和公式三可以得到π-α与α的三角函数值之间的关系：sin(π-α)=sinαcos(π-α)=-cosαtan(π-α)=-tanαcot(π-α)=-cotα三角函数诱导公式四：设α为任意角，终边相同的角的同一三角函数的值相等：sin(2kπ+α)=sinα(k∈Z)cos(2kπ+α)=cosα(k∈Z)tan(2kπ+α)=tanα(k∈Z)cot(2kπ+α)=cotα(k∈Z)三角函数诱导公式五：利用公式一和公式三可以得到2π-α与α的三角函数值之间的关系：sin(2π-α)=-sinαcos(2π-α)=cosαtan(2π-α)=-tanαcot(2π-α)=-cotα三角函数诱导公式六：π/2±α及3π/2±α与α的三角函数值之间的关系：sin(π/2+α)=cosαcos(π/2+α)=-sinαtan(π/2+α)=-cotαcot(π/2+α)=-tanαsin(π/2-α)=cosαcos(π/2-α)=sinαtan(π/2-α)=cotαcot(π/2-α)=tanαsin(3π/2+α)=-cosαcos(3π/2+α)=sinαtan(3π/2+α)=-cotαcot(3π/2+α)=-tanαsin(3π/2-α)=-cosαcos(3π/2-α)=-sinαtan(3π/2-α)=cotαcot(3π/2-α)=tanα(以上k∈Z)注意：在做题时，将a看成锐角来做会比较好做。
三角函数诱导公式(一)
三角函数诱导公式(一)1、公式一： 设α为任意角，终边相同的角的同一三角函数的值相等： sin （2kπ+α）=sinα， k∈z cos （2kπ+α）=cosα， k∈z tan （2kπ+α）=tanα， k∈z cot （2kπ+α）=cotα， k∈z sec （2kπ+α）=secα， k∈z csc （2kπ+α）=cscα， k∈z2、公式二：α为任意角，π+α的三角函数值与α的三角函数值之间的关系： sin （π+α）=－sinα cos （π+α）=－cosαtan （π+α）= tanα cot （π+α）= cotαsec (π+α) =—secα csc (π+α) =—cscα3、公式三：任意角α与 -α的三角函数值之间的关系：sin （－α）=－sinα cos （－α）= cosα tan （－α）=－tanα cot （－α）=－cotαsec (—α) = secα csc (—α) =—cscα4、公式四：利用公式二和公式三可以得到π-α与α的三角函数值之间的关系： sin （π－α）= sinα cos （π－α）=－cosα tan （π－α）=－tanα cot （π－α）=－cotα sec (π—α) =—secα csc (π—α) = cscα5、公式五：利用公式一和公式三可以得2π-α与α的三角函数值之间的关系： sin （2π－α）=－sinα cos （2π－α）= cosα tan （2π－α）=－tanα cot （2π－α）=－cotα sec (2π—α) = secα csc (2π—α) =—cscα习题1.下列等式中,恒成立的是( )(A) sin(1800+2000)=sin2000 (B)cos(-α)=—cos α(C) cos(1800+2000)=—cos2000 (D)sin(-α)=sin α2.sin 2(π+α)-cos(π+α)cos(-α)+1的值是( )(A) 2sin 2α (B)0 (C)1 (D)2 3.sin(-619 )的值是( ) (A) 21(B) -21 (C) 23(D) -234.已知cos(π-x)=—21,23π<x<2π,则sin(2π-x)的值等于( ) (A) 21(B)± 23(C)23 (D) -235.计算sin 34πcos(-6π)tan(-45π)=_________. 6.化简sin 2(-α)tan α+cos 2(π+α)cot α-2 sin(π+α) cos(-α)=__ ___7.计算:sin(-15600)cos9300+cos(-13800) sin(-14100)=_______.8.已知COS(6π+θ)= 33,则COS(65π-θ)=__________. 9.求下列各三角函数值:(1) sin(-13200 ) (2) tan9450 (3)cos655π (4)cot(-322π)10.已知cos(π-α)=- 21,计算: (1) sin(2π-α); (2)cot[2)12(π+k +α](k ∈Z)11.已知sin(α-π) =2cos(2π-α),求)sin()cos(3)2cos(5)sin(ααπαπαπ----+-的值12.(1)求值sin 2(-300) +sin 22250 +2sin2100 +cos 2(-450) ;(2)若sin(π+α)=41,求[]1)cos(cos )cos(-++απααπ—)cos()cos()2cos()cos(απαπαπα-+++-- 值;13．化简:)(cos )tan()2cot()cos()(sin 32πααππααππα++--++。
三角函数的诱导公式
角的三角函数值.
思考: 给定一个角α. （1）角π-α、π+α的终边与角α的终边有什么关 系？它们的三角函数之间有什么关系？ （2）角-α的的终边与角α的终边有什么关系？它们的 三角函数之间有什么关系？
－的终边
＋的终边
y
r =1
α O
α的终边
P1(x, y)
cos180 cos 180
cos180 cos,
所以
原式
cos sin
sin cos
1.
讨论:你能归纳一下把任意角的三角函数转化成锐角三角函 数的步骤吗？
任意负角的 三角函数
用公式三或一
任意正角的 三角函数
用公式一
锐角的三 角函数
用公式二或四
0～2 的角的
三角函数
1. 三角函数诱导公式的推导过程,理解 “函数名不变，符号看象限”
【思路分析】 由题目可获取以下主要信息：
①已知的都是含有角 α 加上一个常量的函数值；
②待求的是含有角α加上一个常量的函数值．
解答本题中的(1)可先利用诱导公式化简角求值．
π (2)注意 3 ＋α
与
α－53π之间的关系．
π (3)关注 6 ＋α
与76π＋α
之间的关系．
题型三 化简 例 4 化简： (1)sin(－α)cos(－α－π)tan(2π＋α)；
＝－sin4π3 ＝－sinπ＋π3 ＝sinπ3 ＝
3 2.
(2)cos269π＝cos4π＋5π6 ＝cos5π6 ＝cosπ－π6
π ＝－cos 6 ＝－
3 2.
(3)tan(－855°)＝－tan855°＝－tan(2×360°＋135°)
三角函数的诱导公式(1)
讲授新课
思考下列问题二：
(1) 角与(180o+)的终边关系如何？
[互为反向延长线或关于原点对称]
(2) 设与(180o+)的终边分别交单位圆于P，
P'，则点P与P'具有什么关系？ [关于原点对称] (3) 设点P(x, y)，那么点P'坐标怎样表示？ [P′(－x,－y)]
讲授新课
三角函数的 诱导公式
第一课时
讲授新课
诱导公式 (一)
sin(2k ) sin (k Z) cos(2k ) cos(k Z) tan( 2k ) tan (k Z)
诱导公式的结构特征
①终边相同的角的同一三角函数值相等；
②把求任意角的三角函数值问题转化为
求0°～360°角的三角函数值问题.
思考下列问题一： (3) 设210o、30o角的终边分别交单位圆于
点P、P'，则点P与P'的位置关系如何？ [关于原点对称] (4) 设点P(x，y)，则点P'怎样表示？ [P' (－x,－y) ] (5) sin210o与sin30o的值关系如何？
想一想！
对于任意角 ，sin与sin(180＋ )
思考下列问题二：
(4) sin与sin(180o+)、cos与cos(180o+)、 tan与tan(180o+)关系如何？
(5) 经过探索, 你能把上述结论归纳成公式 吗？其公式特征如何？
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诱导公式(二)
sin(180 ) sin cos(180 ) cos tan(180 ) s180 sin 360 ．
sin 180 cos180
课堂小结
三角函数的诱导公式
三角函数的诱导公式重点知识讲解1、正、余弦的诱导公式公式一：sin(α＋k·360°)=sinαcos(α＋k·360°)=cosα（k∈Z）公式二：sin(180°＋α)=－sinαcos(180°＋α)=－cosα公式三：sin(－α)=－sinαcos(－α)=cosα公式四：sin(180°－α)=sinαcos(180°－α)=－cosα公式五：sin(360°－α)=－sinαcos(360°－α)=cosα总结：α＋k·360°（k∈Z），－α，180°±α，360°－α的三角函数，等于α的同名函数值，前面加上一个把α看成锐角时原函数值的符号。
注：正切等其余的函数的诱导公式可通过同角三角函数关系式推导出。
2、诱导公式的推导诱导公式二、三可由单位圆中的三角函数线来导出，即寻求180°＋α（或－α）与α的同名三角函数值之间的关系，公式四、五可由公式一、二、三推导.由五组诱导公式，可将任意角的三角函数值转化为0°～90°的三角函数值，从而利用数学用表查值.利用诱导公式可以把任意角的三角函数转化为锐角三角函数，即：例1、推导出180°＋α，－α，180°－α，360°－α的正切、余切的诱导公式.精析：借助公式二、三、四、五和同角三角函数关系式推导.解答：过程略.tan(180°＋α)=tanα，cot(180°＋α)=cotαtan(－α)=－tanα，cot(－α)=－cotαtan(180°－α)=－tanα，cot(－α)=－cotαtan(360°－α)=－tanα，cot(360°－α)=－cotα小结：“函数名不变，正负看象限”不仅对于公式一～五成立，对于正切、余切函数也都成立，应深刻理解其含义.2、诱导公式的应用——化简、求值、证明.例2、设的值为（）A．B．C．－1D．1精析：利用诱导公式将条件等式和欲求式都化到α的同名三角函数上去，再利用同角三角函数基本关系式求解.解答：答案：A例3、计算=____________.精析：诱导公式的一个重要作用就是将任意角的三角函数转化为锐角三角函数，于是可着眼于角的变换，并辅以特殊角的三角函数值求解.解答：例4、已知A、B、C为△ABC的三个内角，求证：（1）cos（2A＋B＋C）=－cosA；（2）精析：△ABC的三内角应满足A＋B＋C=π，注意到左右两边角的差异，利用诱导公式可证.解答：∵A、B、C是△ABC的三个内角，∴A＋B＋C=π.（1）cos（2A＋B＋C）=cos（π＋A）=－cosA；（2）三、难点知识解析灵活运用诱导公式对含n的式子的讨论等是本节内容的难点.例5、已知函数f(x)=asin(πx＋α)＋bcos(πx＋β)，其中a，b，α，β都是非零实数，且满足f(1997)=－1，则f(1998)=（）A．－1B．0C．1D．2精析：利用诱导公式寻求f(1998)与f(1997)的关系，并注意1998π=1997π＋π的数量关系.解答：f(1997)=asin(1997π＋α)＋bcos(1997π＋β)=－asinα－bcosβ，f(1998)=asin(1998π＋α)＋bcos(1998π＋β)=asinα＋bcosβ，两式相加，有f(1997)＋f(1998)=0，∴f(1998)=1，故选C.答案：C例6、若，则α的取值范围是__________.精析：采取逆向思维的方法，先用诱导公式和同角基本关系式将式子化简，再对比左右两边，得出α的取值范围.解答：原式变形为例7、化简.精析：为能应用诱导公式，需对整数n的奇偶性进行讨论.解答：当n为偶数时，设n=2k(k∈Z),原式=；当n为奇数时，设n=2k＋1（k∈Z），原式故原式=2tanα.例8、化简（1）tan1°·tan2°·tan3°·…·tan88°·tan89°（2）2－sin221°－cos221°＋sin417°＋sin217°cos217°＋cos217°精析：对90°的偶数倍的诱导公式应能熟练掌握和运用，而对于90°的奇数倍的诱导公式若能加以探索和掌握，则更能在解题时得心应手.解答：（1）∵tanα=cot(90°－α)，且tanα·cotα=1∴原式=tan1°·tan2°·tan3°·…·tan44°·tan45°·cot46°·…·cot1°=1·1·…·tan45°=tan45°=1（2）原式=2－(sin221°＋cos221°)＋sin217°(sin217°＋cos217°)＋cos217°=2－1＋sin217°＋cos217°=2。
三角函数的诱导公式(一)
枣庄三中2012-2013学年第二学期高一数学教案§1.3 三角函数的诱导公式（一）组编人：朱文军教材分析：三角函数的诱导公式是圆的对称性的“代数表示”，因此，用数形结合的思想，从单位圆关于坐标轴、直线y x =、原点等的对称性出发研究诱导公式，是一个自然的思路。
教科书以“思考”和“探究”为引导，利用单位圆的对称性，让学生自主发现终边分别关于原点或坐标轴对称的角的三角函数值之间的关系，使得诱导公式（数）与单位圆（形）得到紧密结合，成为一个整体，不仅大大简化了诱导公式的推导过程，缩减了认识、理解诱导公式的时间，而且还有利于学生对公式的记忆，减轻学生的记忆负担。
课时分配： 2课时，本节课为第1课时 教学目标：重点: 用联系的观点，发现并证明诱导公式，体会化归思想。
难点: 如何引导学生从单位圆的对称性与任意角终边的对称性中，发现问题，提出研究方法。
知识点: 理解和掌握公式的内涵及结构特征，会初步运用诱导公式求三角函数的值，并进行简单三角函数式的化简和证明。
能力点: 运用数形结合的思想探究问题、解决问题，理解对称变换思想在学生学习过程中的渗透。
教育点: 渗透分类讨论的数学思想，提高分析和解决问题的能力。
考试点: 运用公式进行三角函数的求值、化简及恒等证明。
教具准备： 教学案、多媒体课件、三角板 课堂模式：诱思探究一、 引入新课:我们利用单位圆定义三角函数，而圆具有很好的对称性。
能否利用圆的这种对称性来研究三角函数的性质呢？例如，能否从单位圆关于x 轴、y 轴、直线y x =的轴对称性以及关于原点O 的中心对称性等出发，获得一些三角函数的性质呢？【师生活动】教师抛出问题，引导学生去进行初步思考，一方面使学生了解了本节课的学习内容，另一方面也为学生提供了探究问题的思路。
【设计意图】问题导学，抛出问题，引导学生思考，体现诱思探究的教学思路。
二、 探究新知：探究 给定一个角α，⑴角πα-、πα+的终边与角α的终边有什么关系？它们的三角函数之间有什么关系？⑵角α-的终边与角α的终边有什么关系？它们的三角函数之间有什么关系？答案：⑴πα+的终边与角α的终边关于原点对称；πα-的终边与角α的终边关于y 轴对称；⑵α-的终边与角α的终边关于x 轴对称【师生活动】教师提出问题，学生先独立思考，然后小组讨论，最后小组展示。
三角函数诱导公式1
任意角三角函数的定义
设α是一个任意角，它的终边与单位圆交于点
P(x，y)，那么：
y
（1）正弦sinα＝ y
P(x,y)
（2）余弦cosα＝ x
（3）正切tanα＝ y
O
1x
x
思考：已知角α，则它的终边与单
位圆的交点坐标可以表示为？
P(cos , sin )
诱导公式一：终边相同的角的同名三角函数的值相等.
sin( 2k ) _s_i_n__,cos( 2k ) _c_o_s__, tan( 2k ) _t_an___（. k z）
思考：它的作用是什么？
利用公式一可以把绝对值较大的角的三角函数转化
为 00 到360（0 0到2）内的角的三角函数值. （大化小）
求下列三角函数值：
（1）sin 420 sin(360 60) sin 60 3
cos120 cos(180 60) cos 60 1 2
公式一： 大化小
sin( 2k ) sin cos( 2k ) cos (k Z ) tan( 2k ) tan
公式二： 大化小
sin( ) sin cos( ) cos tan( ) tan
等于 的同名三角函数值前面加上把 看作
锐角时原函数值的符号。
简记为“函数名不变，符号看象限”
四.巩固应用
例1.求下列三角函数值
(1) cos225
（2） （3）
(4) cos(2040)
利用诱导公式把任意角的三角函数转化为 锐角三角函数一般可按下面步骤进行
任意负角 的三角函数
用公式一 或公式三
1、从特殊到一般的推理方法：
2、数形结合的思想：
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新课
任意角的 三角函数
(公式一或三 )
0 ~ 2间角
的三角函数
(公式二或四 )
锐角的三 角函数
10.08.2020
新课
首页 练1、利用公式求下列函 三数 角值:
教学过程 (1)cos4( 200);
(2)sin(7);
6
引入 进行
(3)sin(1300)0; (4)cos(79).
6
小结
作业
EXIT
10.08.2020
新课
首页 例2、化简下列各式:
co1s80 ( 0)si n (360)0 教学过程 (1)sin (180)0 co1 s(80 0);
引入 进行
(2)sin 3()c, o3s ().
小结
2
2
作业
EXIT
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首页
教学过程
引入 进行 小结 作业
EXIT
2
引入
奇变偶不,符 变号看象. 限
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新课
首页 例1、利用公式求下列三函角数值:
教学过程 (1)cos2250;
(2)sin11 ;
3
引入 (3)sin(16);
(4)cos(2040)0.
进行
3
小结
作业
EXIT
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教学过程
引入 利用公式一 ~ 四， 进行 把任意角三角函 小结 数转化为锐角三 作业 角函数的过程：
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教学过程
引入 § 1.3 三角函数的诱导公式
进行 小结
(一)
作业
EXIT
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引入
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教学过程
引入 进行 小结 作业
EXIT
sin( ) sin; cos( ) cos; tan( ) tan.
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
sin() sin; cos() cos; tan() tan.
(公式二)
(公式三 )
sin( ) sin; cos( ) cos; tan( ) tan.
(公式四 )
10.08.2020
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教学过程
引入 进行 小结 作业
EXIT
(公式五 )
sin( ) cos ;
2
cos( ) sin .
2
sin( ) cos;
(公式六 )
2
cos( ) sin .
小结
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教学过程
引入 进行 小结 作业
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作业
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结束
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