二分法和牛顿法的比较
数值分析——二分法和牛顿法
二分法和牛顿法的比较二分法的基本思想是对有根区间[a,b]逐次分半，首先计算区间[a,b]的中间点x0，然后分析可能出现的三种情况：如果f(x0)f(a)<0，则f(x)在区间[a,x0]内有零点；如果f(x0)f(b)<0，则f(x)在区间[x0,b]内有零点；如果f(x0)=0，则x0是f(x)在区间[a,b]内所求零点。
但是二分法的缺点是收敛速度慢且不能求复根。
牛顿迭代法的基本思想是将方程f(x)=0中函数f(x)线性化，以线性方程的解逼近非线性方程的解其迭代函数为)(')()(x f x f x x -=ϕ。
牛顿迭代法的缺点是可能发生被零除错误，且可能出现死循环。
用二分法和牛顿法分别计算多项式024323=-+-x x x 的解。
该多项式的解为1、1+i 和1-i ，使用二分法计算时，区间为(-1,2)，使用牛顿法计算时取初始值为0。
误差都为0.0001。
编程如下二分法(erfen.m)：syms x ;fun=x^3-3*x^2+4*x-2; a=-1; b=2;d=0.0001; f=inline(fun); e=b-a; k=0;while e>d c=(a+b)/2; if f(a)*f(c)<0 b=c; elseif f(a)*f(c)>0a=c; elsea=c;b=c; end e=e/2; k=k+1; end k x=(a+b)/2牛顿法(newton.m)：function [k,x,wuca] = newton() k=1; x0=0; tol=0.0001; yx1=fun(x0); yx2=fun1(x0); x1=x0-yx1/yx2; while abs(x1-x0)>tol x0=x1; yx1=fun(x0); yx2=fun1(x0); k=k+1; x1=x1-yx1/yx2; end k x=x1wuca=abs(x1-x0)/2 endfunction y1=fun(x) y1=x^3-3*x^2+4*x-2; endfunction y2=fun1(x)y2=3*x^2-6*x+4; end 分析结果得知，在相同的误差精度下，二分法需要计算15次，而牛顿法只需计算5次，得知牛顿法比二分法优越。
MAAB计算方法迭代法牛顿法二分法实验报告
MAAB计算方法迭代法牛顿法二分法实验报告实验目的：比较MAAB计算方法中迭代法、牛顿法和二分法的优缺点，探究它们在求解方程中的应用效果。
实验原理：1、迭代法：将方程转化为x=f(x)的形式，通过不断迭代逼近方程的根。
2、牛顿法：利用函数在特定点的切线逼近根的位置，通过不断迭代找到方程的根。
3、二分法：利用函数值在区间两端的异号性质，通过不断二分缩小区间，最终逼近方程的根。
实验步骤：1、选择一元方程进行求解，并根据方程选择不同的计算方法。
2、在迭代法中，根据给定的初始值和迭代公式，进行迭代计算，直到满足预设的迭代精度要求。
3、在牛顿法中，选择初始点，并根据切线方程进行迭代计算，直到满足预设的迭代精度要求。
4、在二分法中，选择区间，并根据函数值的异号性质进行二分，直到满足预设的迭代精度要求。
5、根据计算结果，比较三种方法的求解效果，包括迭代次数、计算时间、求解精度等指标。
实验结果与分析：通过对多个方程进行测试，得到了以下实验结果：1、迭代法的优点是简单易懂，适用范围广，但当迭代公式不收敛时会导致计算结果不准确。
2、牛顿法的优点是收敛速度较快，但需要计算函数的一阶导数和二阶导数，对于复杂函数较难求解。
3、二分法的优点是收敛性较好，不需要导数信息，但收敛速度较慢。
4、对于线性方程和非线性方程的求解，牛顿法和迭代法通常比二分法更快速收敛。
5、对于多重根的方程，二分法没有明显优势，而牛顿法和迭代法能更好地逼近根的位置。
6、在不同的方程和初值选择下，三种方法的迭代次数和求解精度略有差异。
7、在时间效率方面，二分法在收敛速度较慢的同时，迭代次数较少，牛顿法在收敛速度较快的同时，迭代次数较多，而迭代法对于不同方程有较好的平衡。
结论：1、对于不同类型的方程求解，可以根据具体情况选择合适的计算方法。
2、迭代法、牛顿法和二分法各有优缺点，没有绝对的最优方法，需要权衡各种因素选择最适合的方法。
3、在实际应用中，可以根据方程的特点和精度要求综合考虑不同方法的优劣势，以获得较好的求解效果。
牛顿迭代法与其他迭代法
牛顿迭代法与其他迭代法迭代法是一种常见的数值计算方法，用于求解方程的近似解。
其中，牛顿迭代法是一种较为常用且有效的迭代法。
本文将对牛顿迭代法与其他迭代法进行比较和探讨。
一、牛顿迭代法的原理和步骤牛顿迭代法是由英国物理学家牛顿在17世纪提出的一种寻找方程近似解的方法。
其基本思想是通过不断逼近函数的零点，找到方程的根。
牛顿迭代法的步骤如下：1.选择一个初始值x0；2.根据当前的近似解x0，利用函数的导数计算切线的斜率；3.通过切线与x轴的交点得到下一个近似解x1；4.重复步骤2和步骤3，直到满足精度要求为止。
牛顿迭代法的优点在于它通常具有较快的收敛速度，尤其在接近根的地方。
然而，牛顿迭代法可能会收敛到局部极值点，而不是全局极值点，这是其存在的一个不足之处。
二、牛顿迭代法与其他迭代法的比较除了牛顿迭代法，还存在着其他常用的迭代法，比如二分法和割线法。
下面将对牛顿迭代法与这两种方法进行比较。
1. 牛顿迭代法 vs. 二分法二分法是一种简单而广泛使用的迭代法。
它通过不断将搜索区间二分来逐步逼近方程的根。
二分法的步骤如下：- 选择一个初始的搜索区间[a, b]，使得方程的根位于[a, b]之间；- 计算搜索区间的中点c=(a+b)/2；- 比较函数在c处的取值与零的关系来确定下一步搜索的区间，即更新[a, b]为[a, c]或者[c, b]；- 重复上述步骤，直到满足精度要求。
与牛顿迭代法相比，二分法的收敛速度较慢。
然而，二分法具有简单易懂、稳定可靠的特点，在某些情况下仍然被广泛使用。
2. 牛顿迭代法 vs. 割线法割线法是一种类似于牛顿迭代法的迭代法，它通过直线的割线逼近方程的根。
割线法的步骤如下：- 选择两个初始值x0和x1，使得x0和x1分别位于方程的根的两侧；- 计算通过(x0, f(x0))和(x1, f(x1))两点的直线的方程；- 求解该直线与x轴的交点得到下一个近似解x2；- 重复上述步骤，直到满足精度要求。
非线性方程求解算法比较
非线性方程求解算法比较在数学和计算机科学领域中，非线性方程是一种无法简单地通过代数方法求解的方程。
因此，研究和开发高效的非线性方程求解算法是至关重要的。
本文将比较几种常见的非线性方程求解算法，包括牛顿迭代法、割线法和二分法。
通过对比它们的优缺点和适用范围，可以帮助人们选择最适合的算法来解决特定的非线性方程问题。
一、牛顿迭代法牛顿迭代法是一种常用的非线性方程求解算法。
它基于泰勒级数展开，使用函数的导数信息来逼近方程的根。
具体步骤如下：1. 选择初始近似值$x_0$。
2. 计算函数$f(x_0)$和导数$f'(x_0)$。
3. 根据牛顿迭代公式$x_{n+1}=x_n-\frac{f(x_n)}{f'(x_n)}$，计算下一个近似解$x_{n+1}$。
4. 重复步骤2和步骤3，直到达到预设的收敛条件。
牛顿迭代法的收敛速度很快，通常二次收敛。
然而，它对于初始值的选择非常敏感，可能会陷入局部极值点，导致找到错误的根。
因此，在使用牛顿迭代法时，需要根据具体问题选择合适的初始近似值。
二、割线法割线法是另一种常见的非线性方程求解算法。
它是对牛顿迭代法的改进，使用两个近似解来逼近方程的根。
具体步骤如下：1. 选择初始近似值$x_0$和$x_1$。
2. 计算函数$f(x_0)$和$f(x_1)$。
3. 根据割线公式$x_{n+1}=x_n-\frac{f(x_n)(x_n-x_{n-1})}{f(x_n)-f(x_{n-1})}$，计算下一个近似解$x_{n+1}$。
4. 重复步骤2和步骤3，直到达到预设的收敛条件。
与牛顿迭代法相比，割线法不需要计算导数，因此更加灵活。
然而，割线法的收敛速度比牛顿迭代法慢，通常是超线性收敛。
与牛顿迭代法一样，割线法也对初始近似值的选择敏感。
三、二分法二分法是一种简单直观的非线性方程求解算法。
它利用函数在根附近的特性，通过不断缩小区间范围来逼近方程的根。
具体步骤如下：1. 选择初始区间$[a,b]$，其中$f(a)$和$f(b)$异号。
二分法和牛顿迭代法求解方程的比较
二分法和牛顿迭代法求解方程的比较200822401018 徐小良一、问题叙述求解1232cos 0x x -+=的解；通过编写matlab 程序分别用分析二分法和牛顿迭代法求解方程，通过两种方法的比较，分析二者求解方程的快慢程度。
二、问题分析由matlab 画图命令，容易得到此方程解的范围为（2，4）；两种迭代方法，在使用相同的误差（0.00001）的情况下，得出matlab 迭代次数，通过次数的比较得出二者求解速度快慢比较。
三、实验程序及注释（1）、二分法程序：clear; %清除所有内存数据； f=inline('12-3*x+2*cos(x)');format long %数据显示格式设为长型； a=2;b=4; %求解区间； er=b-a;ya=f(a);k=0;er0=0.00001; %误差分析； while er>er0 x0=.5*(a+b); y0=f(x0); if ya*y0<0b=x0; %二分法求解程序； elsea=x0; ya=y0; enddisp([a,b]);er=b-a;k=k+1 %显示各个区间值和求解次数； enddisp([a,b]); %显示最后一个区间值； （2）、牛顿迭代法程序：clear; %清除所有内存数据； f=inline('12-3*x+2*cos(x)');format long %数据显示格式设为长型； b=3;a=4;k=0; %求解区间； y0=f(b);y=f(a);while abs(b-a)>0.00001 t=a-y*(a-b)/(y-y0);b=a;y0=y; %牛顿迭代法求解程序； a=t;y=f(a); k=k+1;disp([b,a]);k %显示各个区间值和求解次数； enddisp([b,a]); %显示最后一个区间值；四、实验数据结果及分析表2：牛顿迭代法程序结果五、实验结论通过表1可知，在二分法下，程序迭代了17次后和第18次的结果一致，即程序迭代了17次达到要求的试验误差；通过表2可知，在牛顿迭代法下，程序迭代了4次后和第5次的结果一致，即程序迭代了4次达到要求的试验误差；二者比较明显可以看出牛顿迭代法的求解效率要远远优于二分法。
二分法、牛顿法、割线法、简易牛顿法
二分法、牛顿法、割线法、简易牛顿法二分法是一种简单而常用的求解方程近似解的方法。
其基本思想是将函数的定义域分为两个部分，并通过比较函数在这两个部分的取值来确定方程的解在哪一部分。
然后，再将该部分继续二分，直到找到近似解为止。
牛顿法是一种迭代求解方程根的方法。
它基于函数的局部线性逼近，通过不断更新当前的近似解，直到满足精度要求为止。
牛顿法的核心思想是利用函数的导数来不断修正当前的近似解，使得每次迭代都能更接近方程的根。
割线法是一种类似于牛顿法的迭代求解方程根的方法。
它也是基于函数的局部线性逼近，但不需要计算函数的导数。
割线法通过连接两个近似解的割线来估计方程的根，并利用割线与坐标轴的交点作为下一个近似解，不断迭代直到满足精度要求。
简易牛顿法是对牛顿法的一个简化版本。
在简易牛顿法中，不需要每次迭代都计算函数的导数，而是利用两个近似解的函数值来估计导数。
这样可以减少计算量，并在一定程度上提高计算效率。
二分法、牛顿法、割线法和简易牛顿法都是常用的求解方程近似解的方法，它们各自有着不同的特点和适用范围。
在实际应用中，我们可以根据具体的问题选择合适的方法来求解方程的近似解。
二分法适用于函数在定义域上单调且连续的情况，它的收敛速度较慢但稳定可靠。
牛顿法适用于函数在定义域上具有充分光滑的情况，它的收敛速度较快但对初值敏感。
割线法适用于函数在定义域上具有充分光滑的情况，它的收敛速度介于二分法和牛顿法之间。
简易牛顿法是对牛顿法的简化，适用于函数在定义域上具有充分光滑的情况，它的收敛速度介于割线法和牛顿法之间。
无论是二分法、牛顿法、割线法还是简易牛顿法，它们的求解过程都可以表示为迭代的形式。
通过不断更新当前的近似解，直到满足精度要求为止。
在每一次迭代中，我们都可以利用函数的信息来修正当前的近似解，使其更接近方程的根。
这种迭代的过程可以通过循环结构来实现，其中迭代的终止条件可以是近似解的精度达到要求或者迭代次数达到一定的限制。
平方根的计算方法
平方根的计算方法导言：平方根（square root）是数学中常见的运算，用于求一个数的平方根。
计算平方根可以帮助我们解决很多实际问题，例如在几何学、物理学和工程学中的应用。
本文将介绍几种计算平方根的方法，并探讨它们的优缺点。
一、牛顿法（Newton's Method）牛顿法是一种迭代法，通过不断逼近平方根的值来得到更加精确的结果。
该方法基于牛顿-拉夫逊法则，其迭代公式如下：x_(x+1) = x_x - (x_x^2 - x)/(2x_x)其中，x为需要求平方根的数，x为迭代次数，x_x为迭代过程中的近似值。
通过迭代计算，x_x将逐渐逼近平方根。
牛顿法的优点是收敛速度快、迭代次数较少，适用于求解大部分整数和实数的平方根。
但是，牛顿法需要选择一个合适的初始值，否则可能导致结果偏离真实值。
二、二分法（Bisection Method）二分法是一种基于区间划分的方法，通过不断将区间缩小，逐渐逼近平方根的值。
该方法的思路是，如果一个数的平方大于待求平方根的数，那么这个数的平方根必然在该数左侧；反之，如果一个数的平方小于待求平方根的数，那么这个数的平方根必然在该数右侧。
通过不断将区间一分为二，可以逐步缩小范围。
二分法的优点是简单易实现，并且收敛性较好。
然而，与牛顿法相比，二分法的收敛速度较慢，需要更多的迭代次数。
三、连分数（Continued Fraction）法连分数法是一种将平方根表示为连分数的方法，通过截断连分数的展开式，可以近似计算平方根的值。
以求解正整数的平方根为例，设平方根为一个无限连分数：√x = x_0 + 1/(x_1 + 1/(x_2 + 1/(x_3 + 1/(x_4 + ...))))其中，x_x为连分数的系数。
通过不断截断、逼近连分数的展开，可以得到近似的平方根。
连分数法的优点是可以提供较为准确的结果，并且在计算机实现时能够保持高精度。
然而，连分数法的计算步骤繁琐，对于非整数的平方根计算较为复杂。
初中数学 立方根的逼近算法有哪些
初中数学立方根的逼近算法有哪些求解立方根是一个常见的数学问题，有许多逼近算法可以用于近似计算立方根。
下面将介绍一些常用的逼近算法：1. 二分法：这是一种简单且直观的逼近算法。
假设我们要求解一个正实数a 的立方根x，我们可以通过逐步逼近来求解。
首先，我们选择一个初始的上界u 和下界l，使得l^3 < a < u^3。
然后，我们计算中间值m = (l + u) / 2，分别计算m^3 的值。
如果m^3 > a，则更新上界为m；如果m^3 < a，则更新下界为m。
重复这个过程，直到达到所需的精度。
2. 牛顿法：牛顿法是一种迭代方法，用于逼近函数的零点。
对于求解立方根的问题，我们可以将问题转化为求解函数f(x) = x^3 - a = 0 的零点。
然后，我们可以使用牛顿法来逼近这个零点。
首先，我们选择一个初始的近似解x_0，然后使用迭代公式x_{n+1} = x_n - f(x_n) / f'(x_n) 来更新近似解。
重复这个迭代过程，直到达到所需的精度。
3. 迭代法：迭代法是一种基于递推公式的逼近算法。
对于求解立方根的问题，我们可以使用迭代公式x_{n+1} = (2 * x_n + a / (x_n^2)) / 3 来逼近立方根。
我们选择一个初始的近似解x_0，然后使用迭代公式来更新近似解。
重复这个迭代过程，直到达到所需的精度。
4. 线性插值法：线性插值法是一种通过在已知数据点之间进行线性插值来逼近函数值的方法。
对于求解立方根的问题，我们可以选择一些已知的立方数，然后使用线性插值法来逼近立方根。
例如，如果我们要求解125 的立方根，我们可以选择已知的立方数64 和216，然后使用线性插值法来逼近125 的立方根。
需要注意的是，这些逼近算法都是近似计算立方根的方法，并且可能会有误差。
选择适当的逼近算法取决于所需的精度和计算效率。
在实际应用中，还可以结合多个逼近算法来提高计算的准确性和效率。
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学院
理学院
专业班
信息10-2班
日期
2012-3-13
学号
10071228
姓名
王绍梅
成绩
实验题目
非线性方程求根: 算法设计与比较
指导老师
申淑谦
实验目的：
编写牛顿法和二分法的matlab程序，探讨这两种方法的计算效果
实验内容：
分别编写牛顿法和二分法的matlab程序
实验要求：
用上述两种方法计算函数x^3+4x^2-10=0。
在达到相同精度的前提下，比较其迭代次数等。
实验步骤
牛顿迭代法
function [x,i]=newtonmethod(x0,f,ep,Nmax)
% 牛顿法求非线性方程根
% x0是输入初始值, f是输入函数, 精度要求ep, Nmax为最大迭代次数
% x是输出迭代序列,i是迭代次数
二分法
function [x,k]=bisection(a,b,f,ep)
% 二分法解非线性方程
% 输入区间[a,b],函数f和误差ep, Nmax为最大二分次数
% x为输出近似根, k为二分次数
运行结果及分析
1.牛顿法选初始值1.5，二分法的含根区间为[1,2],分析二者的收敛速度，并选择自己喜欢的图表表示;
牛顿法的迭代速度要远远快于二分法
2. 对牛顿法选不同的初始值，分析初值的选取对牛顿法收敛速度的影响。
当x0=1.1时
当x0=2.1时
源程序
（见附件）。