高等桥梁结构理论作业汇总
高等桥梁结构理论课程讲义2014-01
Eads Bridge（ Over the Mississippi at St. Louis, Missouri，1867-1874 ）
Britannia Bridge
Britannia Bridge（改建后）
（三）桁架分析理论（钢材出现，1856年开始）
1847年美国工程师S. Whipple撰写了《桥梁建筑研究》，把桁架设计从经验 时代推进到科学时代，建议用铸铁做压杆，用锻铁做拉杆，形成金属桁架桥；
1857年德国工程师H.Gerber受木桁架的启发，建造了多腹杆格子桁架桥，后 来这种结构被推广到带挂孔的桁架体系；
尽管有限元软件功能强大，但近代桥梁工程师所创立的各种古典解析理论和 近似方法仍具有定性分析的意义，对于工程师在桥梁结构概念设计阶段进行估计 和把握体系力学性能、理解规范和分析病害等具有重要的意义。
（二）预应力混凝土技术
预应力概念在古代最初的应用是以绳索或铁箍缠绕桶板做水桶。直到1886年， 这一概念才应用到混凝土中。美国工程师P.H.Jackson独立地获得了在混凝土拱 内张紧钢拉杆做专用楼板的专利。1888年德国人C. E. W.Doehring获得了在楼板 受荷载前用施加预应力钢筋来加强的专利。
且牢固，申请专利。（混凝土结构的创始人！）1875年建造了世界上第一座跨 度为13.8m的钢筋混凝土人行桥（Chazelet Bridge）。The important point of Monier‘s idea was that it combined steel and concrete in such a way that the best qualities of each material were brought into play.
高等桥梁结构理论
u( z, s) u0 ( z, s) (s) ' ( z)
' ' ' E u0 ( z ,0) ( z ) ( s )
由自平衡条件及扭转中心扇性零点的特性,可得: B (s) l J (s)
其中
'' Bl E ( z ) ( s)ds EJ ( s ) '' ( z )
解弹性地基梁的挠度y就等于解箱梁的畸变角 2 书表中给出两种物理模型之间的相似关系. 通过对比关系,把求解具有端横隔板的箱梁的畸变角和双力矩 BA的问题转化为求解在一定边界条件下弹性地基梁的挠度y及弯矩M 的问题. 2.2.6 用弹性地基梁比拟法应用示例(自学) 2.3 小 结 本章介绍了在偏心荷载作用下箱形梁的扭转与畸变计算理论.主 要两部分内容即基于乌曼斯基理论约束扭转微分方程的建立及其有 限差分的解法和用能量-变分法单室梯形箱梁畸变微分方程的推导及 其弹性地基梁比拟法的求解.
1.2 悬臂板的实用公式介绍
1.英国利物浦大学沙柯(Sawko)公式
mx f (0, y ) P A' 1 A' y ch( / ) a0 a0
长悬臂无限宽矩形Sawko公式满足四个条件 最大剪应力可用下式计算 2P Qmax 适用于长悬臂常截面无边梁的情况 2.贝达巴赫(Baider Bahkt)计算公式 P 1 m x A '' A '' y ch x Baider Bahkt公式同样满足四个条件 适用于长悬臂变截面带边梁的情况 3.变厚度矩形板的解析解
第一篇 桥梁空间分析理论
高等桥梁结构理论 (1)
钢-混凝土组合结构在桥梁工程中的应用摘要：钢筋混凝土梁形式多种多样，是房屋建筑、桥梁建筑等工程结构中最基本的承重构件，应用范围极广。
本文介绍了钢-混凝土组合梁的概念、构造特点，以及钢混组合结构的发展历史及其在桥梁工程中的应用现状。
关键词：钢-混凝土组合梁，研究现状，优点，桥梁工程The Application of Steel – ConcreteComposite Structure in Bridge Engineering Abstract：Reinforced concrete beams have a variety of forms,it is the most basic building load-bearingcomponents in housing construction and bridge construction engineering structure, with a wide range of applications.This paper introduces the concept of steel-concrete composite beams,structural characteristicsof steel-concrete composite structure , and the development history and application in bridge engineering. Keywords:Steel- concrete composite beam,research status,advantages,bridge engineering1.钢-混凝土组合梁简介钢-混凝土组合结构是由钢材和混凝土两种不同性质的材料经组合而成的一种新型结构。
它是钢和混凝土两种材料的合理组合，充分发挥了钢材抗拉强度高、塑性好和混凝土抗压性能好的优点，弥补彼此各自的缺点，使两种材料组合后的整体工作性能要明显优于二者性能的简单叠加，极大地提升了其综合性能。
高等桥梁结构理论课程作业
1 / 11一，箱梁扭转和畸变理论1、薄壁杆件在纯扭矩作用下，纵向位移（翘曲）不受约束时，截面上只有剪应力，而无正应力，称为自由扭转或纯扭转。
2、在自由扭转分析时，采用了截面周边投影不变形假定，因此，截面内任一点),(y x p 的位移可用扭转角ϕ及平面内坐标的一次函数表达。
即⎭⎬⎫=-=ϕϕx v y u3、根据弹性力学的静力、几何及物理方程，引用应力函数),(y x ψ表达的自由扭转基本方程为：z G y x ∂∂-=∂∂+∂∂ψψψ22222 及 ⎰⎰=Az y x M d d 2ψyxz ∂∂=ψτ xyz ∂∂-=ψτ 4、开口和闭口截面自由扭转均采用薄膜比拟法，利用式（5-10）～（5-13）给出的关系进行分析，二者扭转角微分方程具有相同的表达式。
即TzGI M z =∂∂ϕ 或 z T M GI ='ϕ其中扭转常数T I ，对于开口和闭口截面则具有不同的计算方法和公式，开口和闭口截面的剪应力分布不同，前者沿壁厚呈反对称分布，中面剪应力为零，后者沿壁厚均匀分布，中面剪应力不为零，剪力流沿周边为常数。
开口和闭口截面抗扭强度和刚度的数值相差可达数倍乃至数十倍、上百倍。
乌曼斯基闭口薄璧直杆约束扭转理论的三个基本假定： 1）横截面的周边不变形2）横截面上法向应力和剪应力沿壁厚是均匀分布的3）横截面上轴向位移沿本截面的分布规律与自由扭转时是相同的。
箱梁约束扭转小结：1、薄壁杆件受扭时，截面的纵向翘屈位移受到约束，则称为约束扭转。
约束扭转正应力合成约束扭转双力偶，而对应于约束扭转正应力的约束扭转剪应力，则合成约束扭转力矩，对于开口截面约束扭转双力矩 000d s l B t s ωσω=⎰3 / 11约束扭转力矩 000d s l M t s ωτρ=⎰2、约束扭转分析中，采用自由扭转分析得出的翘曲位移表达式，对于闭口截面，由于自由扭转剪应力沿壁厚均匀分布，中面剪应变不为零，扇性坐标采用修正公式（6-10）、式（6-14），当计及约束扭转的剪应变的影响时，翘曲位移采用式（6-15），其中θ为待定函数。
高等桥梁结构理论(第五章)
第五章 斜桥计算理论本章介绍斜交桥的参数及斜交板的受力特征、各项同性斜交板的微分方程、斜梁桥的计算、超静定简支斜梁的内力。
最后做一小结。
5.1 斜交桥的参数及受力特征1．斜梁排当斜交板或斜交梁排的斜交角θ（见图5-1图示定义）小于20°时，一般可忽略斜交作用，按斜交跨径的正交桥进行分析计算，这样计算出的纵向弯矩与剪力均偏于安全方面。
如果用半连续体方法（见参考文献[3]）分析斜交梁桥的荷载横向分布，则可以根据下面介绍的两个无量纲参数来确定。
⎪⎪⎭⎪⎪⎬⎫=⎪⎭⎫ ⎝⎛=L a EI LD a L m y θεπηtan 2)(1234 （5-1）式中：m ——和谐数；y D ——横向单位长度的挠曲刚度；EI ——一片主梁的挠曲刚度； η、ε——两个无量纲参数。
图5-1 斜交桥参数与斜交角定义L -斜交跨径；a -主梁间距；θ-斜交角；α-桥台或桥梁支承处的倾角式（5-1）可以确定三片主梁的荷载横向分布系数（参考文献[1]的论述）。
对于斜交多主梁，设跨径为16m ，跨中弯矩与支点反力如图5-2所示。
θtan a (m) θtan a (m)图5-2 五片斜主梁，M 与R 变化曲线a -主梁间距；θ-斜交角在斜梁排中，如图5-3所示，如果A、B、C和D代表车轮，轴距为'l，A与B、C 与D的横向间距为a，我们可将斜梁排转成正交桥，A、B、C、D位置不变，如图5-3b）。
如将AB与CD也转一个斜交角，则按图5-3c）算出的正交桥的结果与原斜交桥图5-3a）的结果是等价的。
a）b）c）图5-3 斜梁排的转换2.斜交板斜交板与直交板不同，它有许多特殊之处，其受力特征比斜梁排更为突出。
斜交板随宽跨比、抗弯刚度、抗扭刚度，斜交角、支承条件、荷载形式的不同而变化，现扼要说明如下：错误！未找到引用源。
图5-4 斜交板纵向弯矩变化线（1）斜交板在均布荷载作用下，沿桥跨方向的最大弯矩随 角的增大从跨中向钝角部位移动，如图5-4所示，实线表示︒=50α时纵向最大弯矩的位置，虚线表示︒=70α，点虚线表示︒=30α时的相应位置。
同济大学高等桥梁结构理论——混凝土箱梁桥实用精细化分析方法
（每块板的三层指标应力）
面外（反映局部荷载）
面内（反映整体荷载）
混混凝凝土土桥桥梁梁实实用用精精细细化化分分析析方方法法
桥梁结构的实用精细化分析模型
桥梁结构的实用精细化分析模型特点 实用性：可以直接联系配筋（相比块体单元） 精细化：拆解了空间效应（相比单梁模型）
一个箱梁截面的空间网格划分
混混凝凝土土桥桥梁梁实实用用精精细细化化分分析析方方法法
桥梁结构的指标应力
空间网格模型的指标应力
构件 箱梁顶板
箱梁底板 箱梁腹板
受力方向 纵向面外上缘 横向面外上缘 横向面外下缘 中间层面内 纵向面外下缘 横向面外上缘 横向面外下缘 中间层面内 中间层面内
应力特征 一维应力 一维应力 一维应力 二维应力 一维应力 一维应力 一维应力 二维应力 二维应力
混混凝凝土土桥桥梁梁实实用用精精细细化化分分析析方方法法
桥梁结构的实用精细化分析模型
腹板1
顶板
腹板2
腹板3
底板
一个箱梁截面的空间网格划分
混混凝凝土土桥桥梁梁实实用用精精细细化化分分析析方方法法
桥梁结构的实用精细化分析模型
箱梁截面的空间网格划分
混混凝凝土土桥桥梁梁实实用用精精细细化化分分析析方方法法
高等桥梁结构理论
混凝土桥梁 实用精细化分析方法
徐栋
同济大学桥梁工程系 二Ο一二年三月
主要内容
桥梁结构一些“经典概念”的探讨 桥梁结构的指标应力 桥梁结构的实用精细化分析模型
混混凝凝土土桥桥梁梁实实用用精精细细化化分分析析方方法法
桥梁结构一些“经典概念”的探讨
桥梁结构的三种主要空间效应 薄壁效应：直箱梁桥、弯箱梁桥 问题：超静定剪力流、约束扭转、翘曲的计算 各腹板的荷载分布：多腹板宽箱梁桥 问题： “影响面在纵横向有相似的图形”不成立 剪力滞效应：宽翼缘箱(T)梁桥、钢砼叠合梁桥 问题： “有效分布宽度”概念仅适用于简支窄梁（剪应 力为竖直方向）
桥梁高等钢结构理论
钢结构的研究、设计、施工甚至维护都是围绕上述三个方面的问题展开。 本科阶段：强度问题，部分简单的稳定问题；方法成熟、计算准确。
研究生阶段：稳定和疲劳问题。超百年研究史，稍复杂的问题仍难以从 理论上解决，特别是局部稳定和构造的疲劳问题，主要以 数值模拟和试验研究为主。
1.1 钢结构的强度问题
1.1.1 强度问题破坏形式
（1-12）
微分方程（1-12）的通解： y Acoskx B sin kx Q x 2k 2 EI
（1-13）
当Q=0时，图1-5为理想的轴心受压杆件，式（1-13）变为：
y Acoskx Bsin kx
（1-14）
位移边界条件：x=0,y=0; x=L, y=0; 解得：
（3）强度破坏（除个别受剪脆断及低温脆断外）大都为塑性破坏，即 破坏之前会出现明显的变形，容易被觉察并采取措施防止破坏。
钢结构设计的目的：
在于使结构的可靠与经济之间选择一种合理的平衡，力求以最经济 的途径与适当的可靠度满足各种预定的功能（安全性、耐久性）的要求。 就是说，结构设计的准则应为：由各种作用所产生的作用效应（内力和 变形）不大于结构和连接的抗力或限值（由几何参数、材料性能甚至荷 载性质决定）。
如果采用容许应力来描述式（1-4），设
R f
K
y
f 为钢材的屈服强度，a为构件截面几何特征 y
则式（1-4）可写成：
f
f
S y y [ ]
K KKK
K
123
（1-5）
对于原A3钢： K 1.231.143 1.41 对于原16Mn钢： K 1.231.175 1.45
[ ] 2400 1700 1.41
1.1.2 基于强度的钢结构设计方法发展概述
高等桥梁结构理论
1.2 悬臂板的实用公式介绍
1.英国利物浦大学沙柯(Sawko)公式
mx
f
(0, y) P
A'
1 ch( A' y
/
)
a0 a0
长悬臂无限宽矩形Sawko公式满足四个条件 最大剪应力可用下式计算
2P
Qmax
适用于长悬臂常截面无边梁的情况
代数方程求解.具体过程见书.
2.荷载布置(自学)
3.翘曲扭转应力及剪应力验算(自学)
2.1.2 扭转中心、截面几何特征值计算
1.扭转中心A位置:
A C yx x y C
2.示例(自学)
2.2 薄壁箱梁的畸变
2.2.1 畸变微分方程的基本未知量
用能量-变分法推导单室梯形箱梁畸变微分方程,并利用“板梁框
M K '(z) '(z)
GJ
4.闭口箱梁约束扭转微分方程
由上两式可得:
5.边界条件
'''' (z) k 2 '' (z)
EJ
mt
2.1.2有限差分方程的建立、 荷载布置、 翘曲扭转应力及剪应力验算 1.箱梁段有限差分方程的建立
将箱梁约束扭转微分方程改写为:
可把梁等分为数段,根据B边l'' 界 K条2B件l 和 微m分t 定义,将微分方程转化为
对于无边梁的情况,可得:
PA0
1
A0 y a0
/
/
a0
2
m e x
1.5 小 结
(1)规范(JTJ-85)有关有效分布宽度的规定中存在欠缺.当 l0 2.5m ,无论 变截面或等截面均可利用它进行设计计算.
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高等桥梁结构理论课程作业参考答案（2014版）【作业1】如图1所示薄壁单箱断面，试分别计算：（1）该截面在竖向弯矩m kN M x ⋅=100作用下的正应力（注：平截面假定成立。
）；（2）该截面在竖向剪力kN Q y 100=通过截面中心作用下的剪应力分布。
图1 薄壁单箱断面几何尺寸（单位：cm ）【参考答案】由于该截面关于y 轴对称，故需要确定主轴ox 轴的位置，假定ox 轴距离上翼缘中心线为a ，由0=x S ，得0)2(212)2(0.3212)5.20.35.2(22=-⨯--⨯-⨯+⋅++δδδδa a a a即04.01.04.03.06.01.08.022=+--+-+a a a a a0.15.1=a ，即m a 667.0=由ANSYS 计算截面几何特性参数，计算结果如图2所示。
具体几何特性计算结果为：竖向抗弯惯性矩为)(064.1)(10064.1448m cm I x =⨯=, 横向抗弯惯性矩为)(370.5)(10370.5448m cm I y =⨯=， 扭转常数为：)(470.1)(1047.1448m cm I y =⨯=， 截面几何中心至顶板中心线距离为)(667.0m a =。
（1）截面在竖向弯矩m kN M x ⋅=100作用下，由初等梁理论可知，截面正应力分布由下式 计算，即y y y I M x x z 96.93984064.1000,100===σ（Pa ） （m y m 667.0333.1≤≤-），具体截面正应力分布如图3所示。
XYO Sig1=62688PaSig2=125282Pa图2截面在竖向弯矩m kN M x⋅=100作用下正应力分布图（2）截面在竖向剪力kNQ y 100=作用下，闭口截面弯曲剪应力计算公式可知，截面剪应力为⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛+-=⎰⎰δδds ds S S I Q q xx x y 划分薄壁断面各关键节点如图3（a ）所示。
将截面在1点处切口，变为开口截面，求x S 、⎰δds和⎰ds S xδ。
作y 图如图3（b ）所示。
（a ）薄壁断面节点划分图（单位：cm ）XY0.667-1.333O（b ）y 图（单位：cm ）**3XY12945367s810G.C.0.100050.2890.26680.20.2-0.2-0.10005-0.16680.1668-0.289-0.2668-0.2（c ）点1处开口对应的x S 图（以s 绕几何中心逆时针方向为正，单位：cm 3）XY12945367s810G.C.-94.03-271.62-250.75-187.97-187.97187.9794.03156.77-156.77271.62250.75187.972（d ） 闭口截面剪应力图（单位：kPa ）图3薄壁截面剪应力计算图式（注：剪力流为正时，对应逆时针方向；剪力流为负对应顺时针方向）由⎰=sx ydF S 0可求出该开口截面各点处的x S （以s 绕截面几何中心逆时针方向为正），即0)1(=x S ，0)9(=x S ，0)10(=x S ；)(10005.02)()2(32/0m ba x d a S b x ==-⨯⨯=⎰-δδ右； )(16675.01.05.2677.0)2(30m ad dx a S dx -=⨯⨯-=-=⨯⨯-=⎰δδ左)(2668.0)2/()()2(3)2/(0m b d a x d a S b d x =+=-⨯⨯=⎰+-δδ下)(289.002224445.02668.02)2()()2()3(320m a S y d y S S x a x x =+=+=-+=⎰δδ下)(20015.008884445.0289.02)3()()3()4(320m y S y d y S S x x y x x x=-=-=-+=⎰-δδ)(200.00.31.0333.120015.0)4()()4()5(32/2/m b y S dx y S S x x b b x x x -=⨯⨯-=-=-+=⎰-δδ)(289.008884445.0200.02)5()5()6(320m y S dy y S S x x y x x x-=--=-=+=⎰-δδ)(2668.002224445.0289.02)6()6()7(320m a S dy y S S x ax x -=+-=+=+=⎰δδ下)(10005.02-)7(3m abS x -==δ左)(16675.0)7(3m ad S x ==δ右故在1点处切口对应的开口截面各点处的x S 如图3（c ）所示。
现求⎰ds S xδ，考虑到x S 关于y 轴反对称，故0=⎰ds S xδ，即0=⎰⎰δδdsdsS x。
即截面在竖向剪力kN Q y 100=作用下的剪应力为)(85.939kPa S S I Q qx x xy-=-==δδτ，具体分布如图3（d ）所示。
从图3（d ）中可以看出，单箱薄壁截面腹板剪应力较大，而翼缘板靠近腹板处剪应力较大，向两侧逐渐减小。
【作业2】应用ANSYS 软件分析一悬臂薄壁箱梁分别在（工况一）梁端作用集中载和（工况二）梁上作用均布载时箱梁固定端、1/4，1/2和3/4处的顶板、底板正应力分布，并分析顶底板与腹板连接处的剪力滞系数变化规律。
（略！）【作业3】已知某预应力混凝土简支箱梁，计算跨径为40m ，沿梁长等截面。
截面尺寸如4所示。
采用C40混凝土，剪切模量为MPa G 410445.1⨯=，弹性模量为MPa E 41040.3⨯=。
荷载为跨中作用一偏心荷载kN P 0.451=，偏心距为m e 35.2=（计算约束扭转时，可简化为集中力矩m kN M k ⋅≈=0.106085.1059）图4 薄壁预应力混凝土箱梁截面尺寸（单位：cm ）图5 截面划分及计算尺寸（单位：cm ）【参考答案】 1）截面几何特性计算 （1）截面几何中心对顶板中心线取面积矩，即)(73608.43m S =，面积)(96.42m A =； 箱梁截面几何中心距离顶板中心线距离为：)(955.0/m A S e y ==； （2）惯性矩截面绕x 、y 轴的惯性矩分别为4556.4m I x =、4365.25m I y =。
（3）广义扇性坐标)(s c ω计算将以截面几何中心（.）为极点的扇性坐标记为c ω，将以扭转中心A 为极点的扇性坐标记为A ω。
扇性坐标原点取在y 轴与顶板中心线的交点上，如图5所示。
则根据广义扇性坐标定义可知：⎰⎰⎰Ω-=s sc tdstds ds s 00)(ρω式中，2928.19212.27.4)(m ds s =⨯⨯==Ω⎰ρ，32044.49=⎰tds ， 40405.0=Ω⎰tds ；具体截面各节点广义扇性坐标计算公式如下，具体计算结果如表1所示。
① 箱梁闭口部分：⎰⎰-=ssc tds ds s 040405.0)(ρω； ② 顶板悬臂部分：左侧⎰+=sc c ds s s 35.2'3,)()(ρωω；右侧⎰-=s c c ds s s 35.23,)()(ρωω。
表1 薄壁箱梁截面关键节点广义扇性坐标)(s c ω计算汇总（a ）箱梁截面广义扇性坐标)(s c ω（单位：m 2）xyG.C.s4.75123451'2'3'5'676'-4.752.35-2.35（b ）箱梁截面x 坐标图（单位：m ） 图6 箱梁截面广义扇性坐标与x 坐标图（4）扭转（剪切）中心的确定设扭转中心与截面几何中心的距离分别为x α和y α，具体计算公式为xAcxxI ydA s I I cx ⎰==)(ωαω，xAcyyI xdA s I I cy ⎰-=-=)(ωαω考虑到y 轴为对称轴，且广义扇性坐标关于y 轴反对称，则广义扇性坐标)(s c ω与直角坐标y 的惯性积0)(==⎰Ac ydA s I cx ωω，0=xα，即扭转中心在y 上，故只需求y α。
扇性惯性积⎰=AcxdA s I cy )(ωω可采用箱梁截面x 坐标图（图6（b ）所示）与广义扇性坐标)(s c ω图（图6（a ）所示）乘得到，即 []∑⎰+++∆==)2()2(6)(j i j j iiijij Ac x x x xt S xdA s I cy ωωωω扇性惯性积⎰=AcxdA s I cy )(ωω具体计算结果汇总见表2。
表2 扇性惯性积⎰=AcxdA s I cy )(ωω具体计算结果汇总表即扭转中心与截面几何中心竖向距离为：)(3000.0365.258048.32m I I yy cy -=⨯-=-=ωα即扭转中心A 坐标为（0，），在截面几何中心的正下方处。
图7所示为采用ANSYS 计算得到的该截面的剪切中心位置，从图7中可以看出剪切中心位于几何中心正下方，与本文计算结果比较接近。
图7 薄壁箱梁截面剪切中心ANSYS 计算结果（5）主扇性坐标)(s A ω计算将扇性坐标极点从几何中心C 移到剪切中心A 处，按下式进行主扇性坐标计算，即 C y x s s x y c A +-+=ααωω)()(其中，C 为积分常数，与广义扇性静矩⎰=sc tds s S c 0)(ωω有关，即Atds s AS C scc ⎰==)(ωω。
由于广义扇性坐标)(s c ω关于y 轴反对称，则0)(0===⎰Atds s AS C scc ωω故x s s c A 3.0)()(-=ωω，据此可计算得到各节点的主扇性坐标，结果如表3所示。
对应的主扇性坐标)(s A ω图如图8所示。
表3 主扇性坐标)(s A ω的计算结果汇总表图8箱梁截面主扇性坐标)(s A ω（单位：m 2）（6）广义扇性静矩计算在计算截面约束扭转剪应力时，需要首先计算闭口截面的广义扇性静矩：⎰⎰-=tds t ds S S S ωωω ① 计算主扇性坐标下的扇性静矩⎰=sA tds s s S 0)()(ωω，取主扇性坐标零点（4点）为)(s S ω计算的起点，即在距离i 点为s 处的广义扇性静矩s S ,ω按下式计算，即 ii i i i i i s l s t s t S S ⋅⋅-+⋅⋅+=+2)(21,,ωωωωω 在1+i 节点处的1,+i S ω为2)(1,1,ii i i i i l t S S ⋅++=++ωωωω 式中，i S ,ω为板段计算起点的广义扇性静矩。
由4点开始依次计算，则各板段起点处的s S ,ω及1,+i S ω均可以计算。
本算例中各板段的广义扇性静矩具体计算如下： ① 4-3'段：)(3533.0235.222.03667.1235.222.0))3667.1(0.0(04'3,m S -=⨯⨯-=⨯-++=ω② 3'-1'段：(2'与3'之间距离为)(51701.04.22089.122.0)3667.16453.1(089.122.03667.13533.042'2,m S -=⨯⨯⨯++⨯⨯--=ω)(27952.04.224.222.0)3667.16453.1(4.222.03667.13533.042'1,m S -=⨯⨯⨯++⨯⨯--=ω③ 3'-6'段：(3'与6'之间主扇性坐标0点距离3'点为)(6326.012.223624.130.0)3667.176.0(3624.130.03667.13533.042'10,m S -=⨯⨯⨯++⨯⨯--=ω)(54623.012.2212.230.0)3667.176.0(12.230.03667.13533.042'6,m S -=⨯⨯⨯++⨯⨯--=ω④ 6'-7段：)(24261.0235.234.0)0.076.0(54623.047,m S -=⨯⨯++-=ω ⑤ 7-6段：)(54623.0235.234.0)76.00.0(24261.046,m S -=⨯⨯-+-=ω ⑥ 6-3段：（主扇性坐标“零”值10距离6点）)(6326.012.227576.030.0))76.0(3667.1(7576.030.076.054623.04210,m S -=⨯⨯⨯--+⨯⨯--=ω)(3533.0212.230.0)3667.176.0(54623.043,m S -=⨯⨯+-+-=ω⑦ 3-4段：)(0.0225.322.0)0.03667.1(3533.044,m S =⨯⨯++-=ω（验证了计算结果的正确性！） ⑧ 3-1段：(2与3之间距离为，注：计算该段是为顺时针方向，故S 、L 均应去负值！))(51701.0)4.2(2089.122.0)3667.16453.1()089.1(22.03667.13533.0422,m S -=-⨯⨯⨯--+-⨯⨯+-=ω)(27975.02)4.2(22.0)6453.13667.1(3533.041,m S -=-⨯⨯-+-=ω对应该截面主扇性静矩如图9所示。